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第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.1.经历二次函数对称轴和顶点坐标公式的探究过程,提高学生知识的转化能力.2.通过解决实际问题,训练学生把数学知识运用于实践的能力.通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.【重点】1.掌握运用配方法把一般式转化成顶点式的方法.2.能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.【难点】用配方法推导y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习配方法和二次函数顶点式的有关知识.导入一:某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系:m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式.学生分析数量关系:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860.问题这个二次函数关系式:y=-3x2+252x-4860与我们前面学的形如y=a(x-h)2+k(顶点式)的形式一样吗?[设计意图]通过两种函数表达式的对比,让学生产生认知冲突,初步感知一般式与顶点式之间的关系,为下面两者之间的转化打下了良好的基础.导入二:神舟十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球.如下图所示,某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.问题公式h=-5t2+150t+10和我们前面学过的二次函数的关系式一样吗?这样的函数的图象和性质又是怎样的呢?[设计意图]通过一些图片的欣赏,让学生感受国家的强大,身为一名中学生应树立“少年强,中国强”的意识,立志为建设强大的祖国努力学习.承接创设的问题情境,借助“火箭升空”问题引出本节课的内容,使学生的学习更有针对性,做到有的放矢.问题你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?【学生活动】学生独立思考后,统一答案:研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质的关键是把二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式.【师生活动】要求学生独立解决,师巡视,及时发现问题.代表展示,师生共同订正:解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3.[设计意图]通过学生复习顶点式y=a(x-h)2+k,增强学生利用顶点式的意识,学生自然而然地要把y=2x2-4x+5转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,为下面例题的解决奠定了良好的基础.求二次函数y=2x-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解析:根据上面的分析,要求y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标,首先要利用配方法把y=2x2-8x+7转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式.【学生活动】要求学生先独立解决,然后同伴交流,相互订正.代表展示:解:y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1.因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).【做一做】确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:(1)y=3x2-6x+7;(2)y=2x2-12x+8.【学生活动】学生独立解答,代表展示,师生共同订正.解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)+7-3=3(x-1)2+4.因此,二次函数y=3x2-6x+7图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)+8-18=2(x-3)2-10.因此,二次函数y=2x2-12x+8图象的对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-10).[设计意图]让学生在解题的过程中去总结、发现解决问题的方法和步骤,熟练掌握利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法.2求二次函数y=ax+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.【师生活动】学生小组讨论后,代表说明解题思路和方法,师生共同解答.解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得y=ax2+bx+c=a+c=a+c=a+.因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标是.【教师点评】1.形如y=a(x-h)2+k的二次函数能够直接说出顶点坐标,所以我们把它叫做顶点式.2.至此,整个初中阶段的所有的二次函数的形式我们就都讨论过了.[设计意图]引导学生利用自己所掌握的配方法的思想逐步把二次函数的一般式转化为顶点式,使学生在推理转化的过程中体会不同形式之间的联系.感受数学的变换和迷人的魅力,从而更加喜欢数学.2【做一做】如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?你有哪些计算方法?与同伴交流.解析:解决实际应用问题的关键是什么.学生思考后回答:解决实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题.【教师活动】提示学生本题可以运用不同的方法进行解答.【学生活动】学生讨论后,得出两种方法:(1)运用配方法转化成顶点式;(2)总结运用公式.解法1:y=x2+x+10=(x2+40x)+10=(x2+40x+400-400)+10=(x+20)2+1.∴对称轴为直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).解法2:这里a=,b=,c=10,∴-=-=-20,===1,∴对称轴是直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).[设计意图]让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中利用数学模型来解决实际问题的过程.求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:(1)配方法:y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k.(2)公式法:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.1.(2014·新疆中考改编)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是()A.开口向下B.对称轴是直线x=-1C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有公共点解析:二次函数y=(x-1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.故选C.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为()解析:∵二次函数图象开口方向向上,∴a>0.∵对称轴为直线x=->0,∴b<0.∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴y=ax+b的图象经过第一、三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y=的图象在第一、三象限,只有B选项图象符合.故选B.3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则a-b+c=.解析:将(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.4.某市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是m.解析:∵水在空中喷出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中喷出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴水喷出的最大高度为4m.故填4.5.写出下面抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)y=-2x2+6x;(2)y=x2+2x-3.解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x)=-2+=-2+,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标为.(2)y=x2+2x-3=(x2+4x)-3=(x2+4x+4)-2-3=(x+2)2-5,开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-5).第4课时求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:1.配方法:一般式:y=ax2+bx+c顶点式:y=a(x-h)2+k.2.公式法:二次函数y=ax2+bx+c:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.一、教材作业【必做题】1.教材第41页随堂练习.2.教材第41页习题2.5第1,2,3题.【选做题】教材第41页习题2.5第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x…-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…则该函数图象的顶点坐标为()A.(-3,-3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D.(0,-6)2.(2015·黔西南中考改编)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,下列说法中错误的是()A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)B.顶点坐标是(1,-3)C.函数图象过点(3,0),(-1,0)D.当x<0时,y随x的增大而减小3.(2015·常州中考)二次函数y=-x2+2x-3图象的顶点坐标是.4.已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)该抛物线的对称轴是直线,顶点坐标为;(2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线;xy(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.【能力提升】5.(2015·荆州中考)将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为()A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+66.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限.7.一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-x2+x+,铅球运行路线如图所示.(1)求铅球推出的水平距离;(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.8.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.【拓展探究】9.(2014·绍兴中考)若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.(2)探究下列问题:①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应的函数的特征数;②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?【答案与解析】1.B(解析:∵x=-3和-1时的函数值都是-3,相等,∴二次函数图象的对称轴为直线x=-2,∴顶点坐标为(-2,-2).)2.B (解析:A ,∵y =x 2-2x -3,∴当x =0时,y =-3,∴函数图象与y 轴的交点坐标是(0,-3),故本选项说法正确;B ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴顶点坐标是(1,-4),故本选项说法错误;C ,∵y =x 2-2x -3,∴当y =0时,x 2-2x -3=0,解得x =3或x =-1,∴函数图象过点(3,0),(-1,0),故本选项说法正确;D ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴对称轴为直线x =1,又∵a =1>0,图象开口向上,∴当x <1时,y 随x 的增大而减小,∴当x <0时,y 随x 的增大而减小,故本选项说法正确.故选B .)3.(1,-2)(解析:∵y =-x 2+2x -3=-(x 2-2x +1)-2=-(x -1)2-2,∴顶点坐标是(1,-2).故填(1,-2).)4.解:(1)x =1(1,3)(2)填表及画抛物线如下:x …-10123…y …-1232-1…(3)因为在对称轴直线x =1右侧,y 随x 的增大而减小,又x 1>x 2>1,所以y 1<y 2.5.B (解析:将y =x 2-2x +3化为顶点式,得y =(x -1)2+2.将抛物线y =x 2-2x +3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y =(x -4)2+4.故选B .)6.四(解析:根据图象得:a <0,b >0,c >0,故一次函数y =bx +c 的图象不经过第四象限.)7.解:(1)当y =0时,-x 2+x +=0,解得x 1=10,x 2=-2(不合题意,舍去),所以铅球推出的水平距离是10m .(2)y =-x 2+x +=-(x 2-8x +16-16)+=-(x 2-8x +16)++=-(x -4)2+3.当x =4时,y 取最大值3,所以铅球行进高度不能达到4m ,最高能达到3m .8.解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入,得3a=-3,解得a=-1,故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3.∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1).(2)答案不唯一,如:先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0),落在直线y=-x上.9.解:(1)由题意可得出y=x2-2x+1=(x-1)2,∴此函数图象的顶点坐标为(1,0).(2)①由题意可得出:y=x2+4x-1=(x+2)2-5,∴将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到y=(x+1)2-4=x2+2x-3的图象,∴图象对应的函数的特征数为[2,-3].②∵一个函数的特征数为[2,3],∴函数解析式为y=x2+2x+3=(x+1)2+2.∵一个函数的特征数为[3,4],∴函数解析式为y=x2+3x+4=+,∴将原函数的图象先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度就可以得到.本节课的内容较多,整体上难度较大,所以需要学生比以往的课更要集中精力,所以上课伊始就设计一些情境,吸引了学生的注意力,充分调动学生学习的热情,并对学生进行爱国主义教育,以达到触动学生心灵的目的,从而更好地进入学习状态.本节课的重点是用配方法求二次函数图象的对称轴及顶点坐标,对学生来说会感觉有难度,所以可以要求学生在上课前对配方法进行复习,以简化配方法的难度.通过对实际应用题的解答让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用,再次感悟数学源于生活又服务于生活.在学生归纳二次函数性质的时候,由于引导不力,学生归纳得比较片面或者没有找出关键点.教师要注意引导学生从多个角度进行考虑,而且要组织学生展开充分的讨论,对大家的观点集中考虑,这样有利于训练学生的归纳能力.随堂练习(教材第41页)解:(1)直线x=3;(3,-15).(2)直线x=8;(8,1).(3)直线x=1.25;(1.25,-1.125).(4)直线x=0.75;(0.75,9.375).习题2.5(教材第41页)1.解:(1)开口向上,对称轴:直线x=2,顶点坐标为(2,5).(2)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-3).(3)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-1).(4)开口向下,对称轴:直线x=-6,顶点坐标为(-6,27).2.解:y=x2-2x+1=(x-1)2,将二次函数y=(x-1)2的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度就得到二次函数y=(x+2)2+2的图象.y=(x+2)2+2=x2+4x+6,所以b=4,c=6.这条抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,2).=1135,即经3.解:∵h=-5t2+150t+10=-5(t2-30t-2)=-5[(t-15)2-227]=-5(t-15)2+1135.∴当t=15时,h最大过15s时,火箭到达它的最高点,最高点的高度是1135m.4.解:(1)当0≤x<13时,学生的接受能力逐渐增强;当13≤x≤30时,学生的接受能力逐渐降低.(2)经过13min,学生的接受能力最强.5.提示:y=(x-20)2+1,即y=x2-x+10.1.由于本节课的重点是利用配方法把二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化成顶点式y=a(x-h)2+k,所以课前对一元二次方程中配方法知识的复习就显得尤为重要.2.本节课整体难度较大,只靠学生自己的能力达不到最好的效果,所以要引导学生积极、主动地与其他同学进行合作交流,并加强对配方法的巩固练习,为公式法的得出奠定良好的基础.3.对于公式法的推导,由于难度较大,所以可以采用师生合作的方式共同完成.已知:二次函数y=-x2+2x+3.(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标.(2)画出函数图象.(3)根据图象:①写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围;②写出当-2<x<2时,函数值y的取值范围.〔解析〕(1)配方后即可确定顶点坐标及对称轴.(2)确定顶点坐标及对称轴、与坐标轴的交点坐标即可作出函数图象.(3)根据图象利用数形结合的方法确定答案即可.解:(1)y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1-4)=-(x-1)2+4,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,3),故图象如下图所示:(3)①当y为正数时,-1<x<3.②当-2<x<2时,-5<y<4.[解题策略]本题考查了二次函数的性质,解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象.。
第2课时利用二次函数解决利润问题【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.【过程与方法】经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.【情感态度】积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣.【教学重点】探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.【教学难点】从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题一、情景导入，初步认知问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元.根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件.若设销售单价为x(20＜x＜35的整数)元，该商店所获利润为y元.请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情.二、思考探究，获取新知1.教师提问：（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）销售量可以表示为；销售额(销售总收入）可以表示为；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 .（3）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元.2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义.【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大(小)值的方法.鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法.【归纳结论】求二次函数最大（小）值的方法：（1）配方化为顶点式求最大（小）值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；（3）利用图象找顶点求最大（小）值.三、运用新知，深化理解1.见教材P48例2.2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与 x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：当每天的房价增加x 元时，就会有10x 个房间空闲.∴一天订住的房间数为（50-10x ），每间房可获利（180 + 2-20)，从而可列出函数关系式.答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.3.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0. 1元， 其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值解:设每件商品降价x 元（0＜x ＜2)，该商品每天的利润为y 元.商品每天的利润y 与x 的函数关系式是：y=（10-x-8）（100+100x ）即y=-100x 2+100x+200配方得21-100+2252y x =-（）因为x=1/2时，满足0≤x ≤2.所以当x=1/2时，函数取得最大值，最大值y=225.答：将这种商品的售价降低1/2元时，能使销售利润最大4.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x(十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式;（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10?30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【教学说明】通过练习，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型.四、师生互动，课堂小结求二次函数最大(小)值的方法：（1）配方化为顶点式求最大(小)值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大(小)值；（3）利用图象找顶点求最大(小)值.1.布置作业：教材“习题2.9”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释;课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教案一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第二章第四节的一部分。
这部分内容主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过生动的例题和练习题，使学生掌握二次函数图像的特点，学会通过二次函数图像解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立实际问题与二次函数之间的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数图像的特点，了解二次函数在实际生活中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次函数图像的特点，学会通过二次函数图像解决实际问题。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，如何引导学生运用数学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学问题，培养学生的数学思维。
2.利用多媒体辅助教学，展示二次函数图像，让学生更直观地了解二次函数的特点。
3.采用分组讨论的教学方法，鼓励学生合作交流，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生转化为二次函数问题。
2.准备多媒体教学课件，展示二次函数图像。
3.准备练习题，巩固学生对二次函数应用的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如抛物线运动、物体运动等，引导学生思考这些问题是否可以转化为二次函数问题。
让学生认识到二次函数在实际生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件，展示二次函数图像的特点，如开口方向、顶点坐标、对称轴等。
同时，教师通过举例讲解，让学生了解如何从实际问题中提取二次函数的信息。
第二章二次函数课题：二次函数【学习目标】1．探索并归纳二次函数的定义．能够表示简单变量之间的二次函数关系．2．经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．【学习重点】经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．【学习难点】正确区分并列出二次函数关系式．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，b，c的取值范围是全体实数，二次项系数a≠0.方法指导：判断二次函数的关键是先将表达式化简，确保含有二次项，即二次项系数不为零．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是一次函数？其一般形式有哪些？答：形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫一次函数．2．下列关系式中：y＝2x＋1，y＝－x－4，y＝2x，y＝5x2，y＝－4x，y＝ax＋1.其中一次函数有哪些？反比例函数有哪些？答：一次函数有：y＝2x＋1，y＝－x－4，y＝－4x.反比例函数有：y＝2 x .自学互研生成能力知识模块一二次函数的定义阅读教材P29～P30，完成下面的内容：什么是二次函数？答：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系，可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数，其中x是自变量，a，b，c，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．范例1：(兰州中考)下列函数表达式中，一定为二次函数的是( C)A．y＝3x－1B．y＝ax2＋bx＋c C．s＝2t2－2t＋1D．y＝x2＋1 x仿例1：如果y＝(a－1)x2－ax＋6是关于x的二次函数，那么a的取值范围是( B)A．a≠0 B．a≠1 C．a≠1且a≠0 D．无法确定仿例2：若y＝(m2＋m)xm2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则( D)A．m＝－1或m＝3 B．m≠－1且m≠0C．m＝－1 D．m＝3仿例3：已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则二次项系数a＝5，一次项系数b＝－3，常数项c＝1．仿例4：二次函数y＝－4(1＋x)(x－3)化为一般形式是y＝－4x2＋8x＋12．学习笔记：与一元二次方程应用题相联系，熟悉二次函数表达式列法．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决.知识模块二列出实际问题中的二次函数表达式阅读教材P29～P30，完成下面的内容：范例2：在边长为6的正方形中间挖去一个边长为x(0<x<6)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，写出y关于x的函数表达式．解：y＝36－x2(0<x<6)．仿例1：某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为x，写出三月份的印书量y(万册)与x的函数表达式．解：y＝50(1＋x)2.仿例2：如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为x cm，写出y关于x的函数表达式．解：y＝(80＋2x)(50＋2x)，y＝4x2＋260x＋4000.仿例3：n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛次数m与球队数n之间的关系式为m＝n（n－1）2．仿例4：如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P是线段BC上一点(P不与B重合)，且PB＝MD，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x的关系式为y＝－25x2＋4x(0＜x≤6)．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数的定义知识模块二列出实际问题中的二次函数表达式检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数的图象与性质(一)形如y＝x2和y＝－x2的图象与性质【学习目标】1．使学生会用描点法画出y＝x2的图象，理解抛物线的有关概念．2．使学生经历、探索二次函数y＝x2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．【学习重点】使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y＝x2的图象是教学的重点．【学习难点】用描点法画出二次函数y＝x2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法指导：让学生理解抛物线对称性、顶点、对称轴、最大最小值结合开口上下决定，而对于对称轴两侧图案增减性要观察图象分辨清楚．学习笔记：y＝x2是最简单的二次函数，其图象叫抛物线，并且关于y轴对称，顶点在坐标原点，在对称轴左右两侧，y随x的变化情况不同．y＝－x2的图象与y＝x2的开口方向不同，开口大小相同，并且两个图象关于x轴对称．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是二次函数？答：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的函数叫做二次函数．2．用描点法画函数图象的步骤有哪些？答：列表，描点，连线．自学互研生成能力知识模块二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质阅读教材P32～P33，完成下面的内容：1．二次函数y＝x2和y＝－x2图象性质是什么？答：二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线交点是抛物线的顶点，它的图象有最低点；当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，函数y有最小值0．二次函数y＝－x2的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称，对称轴与抛物线交点是抛物线的顶点，它的图象有最高点；当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，函数y有最大值0．2．y＝－x2开口向下，它的图象与y＝x2关于x轴对称．范例1：已知正方形的边长为xcm，面积为ycm2，下列图象能够表示y与x之间的函数关系的是( C)仿例1：对于函数y＝x2，下列结论正确的是( D)A．无论x取任何实数，y的值总是正的B．y的值随x的增大而增大C．y的值随x的增大而减小D．图象关于y轴对称行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．仿例2：抛物线y＝x2与y＝－x2共有的性质是( B)A．开口向上B．关于y轴对称C．都有最高点D．y随x的增大而增大仿例3：已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( A)A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y3<y2<y1D．y2<y1<y3范例2：函数y＝x2的顶点坐标是(0，0)，若点(m，4)在其图象上，则m＝±2．仿例1：函数y＝x2与y＝－x2的图象关于x轴对称，也可以认为y＝－x2的图象是函数y＝x2的图象绕原点旋转180°而得到．仿例2：在y＝－x2中，已知－2≤x<1，则y的取值范围是－4≤y≤0．仿例3：给出下列四个函数：①y＝－x；②y＝x；③y＝1x；④y＝x2.当x<0时，y随x的增大而减小的个数有( C)A．1个B．2个C．3个D．4个变例：二次函数y＝－x2与一次函数y＝－12x－1在同一坐标系中的大致图象为( C)交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数的图象与性质(二)形如y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质【学习目标】1．会作y＝ax2和y＝ax2＋c的图象，理解a与c对二次函数图象的影响，能说出y＝ax2＋c与y＝ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．经历探索二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．【学习重点】理解并归纳二次函数y＝ax2、y＝ax2＋c的图象和性质．【学习难点】对y＝ax2、y＝ax2＋c图象性质的理解和运用．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．解题思路：二次函数y＝ax2＋c的性质大致与二次函数y＝ax2的性质对应相同，只是顶点坐标发生了改变．方法指导：二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的平移规律可以简记为“上加下减”．情景导入生成问题旧知回顾：二次函数y＝x2与y＝－x2的图象性质是怎样的？填写下表：开口方向顶点对称轴最大/最小值当x>0时，y随x 变化情况y＝x2上(0，0)y轴y最小值＝0当x>0时，y随x 增大而增大y＝－x2下(0，0)y轴y最大值＝0当x>0时，y随x 增大而减小自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝ax2的图象与性质阅读教材P35～P36，完成下面的内容：二次函数y＝ax2(a≠0)图象性质是怎样的？答：抛物线y＝ax2(a≠0)，当a>0时，开口向上，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴，当x>0时，y 随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，当x＝0时，y有最小值0；当a<0时，开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴，当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大，当x＝0时，y有最大值0.范例1：对于函数y＝5x2，下列结论正确的是( C)A．y随x的增大而增大B．图象开口向下C．图象关于y轴对称D．无论x取何值时，y的值总是正的仿例1：已知二次函数y＝(m－2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是m<2．仿例2：已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求抛物线的表达式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；学习笔记：抛物线y＝ax2＋c在坐标系中的位置是由二次函数的类型决定的；系数a决定抛物线的开口方向和大小，c代表顶点的纵坐标，其为正，表明顶点在y轴正半轴上；反之，则在y轴负半轴上；c＝0，表明顶点在原点．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．(3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标；(4)写出y随x的增大而增大的x的取值范围．解：(1)y＝－2x2；(2)当x＝－1时，y＝－2≠－4，∴点B不在此抛物线上；(3)当y＝－6时，－2x2＝－6，∴x1＝3，x2＝－3，∴纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)和(－3，－6)；(4)x<0.知识模块二二次函数y＝ax2＋c的图象与性质阅读教材P35～P36，完成下面的内容：二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象性质是什么？答：二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标为(0，c)，是由抛物线y＝ax2向上(c >0)或向下(c <0)平移|c|个单位得到的．范例2：函数y＝－32x2＋2的图象开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)，当x＝0时，y有最大值，此时y＝2．仿例1：二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式为( C) A．y＝x2－2B．y＝(x－2)2C．y＝x2＋2 D．y＝(x＋2)2仿例2：已知二次函数y＝ax|a|－2＋1，在对称轴左侧，y随x增大而减小，则a＝4．仿例3：抛物线y＝2x2－3是由y＝2x2向下平移__3__个单位得到的，当x>0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y＝2x2－3有最小值，是－3．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数y＝ax2的图象与性质知识模块二二次函数y＝ax2＋c的图象与性质检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数的图象与性质(三)形如y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能指出图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．2．经历作图对比，了解y＝ax2与y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象之间的平移关系，明确其对称轴与顶点坐标的变化．【学习重点】y＝ax2与y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象之间的平移关系，对称轴、顶点坐标．【学习难点】分辨几种函数之间的平移关系，识记它们的对称轴和顶点坐标的变化．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．方法指导：记住平移的方式有助于确定图象的顶点和对称轴．情景导入生成问题旧知回顾：1．抛物线y＝ax2＋c的图象性质是怎样的？答：一般地，抛物线y＝ax2＋c的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点．2．抛物线y＝ax2＋c是由y＝ax2怎样平移得到的？答：抛物线y＝ax2＋c可由抛物线y＝ax2沿y轴方向平移|c|个单位得到，当c>0时，向上平移，当c<0时，向下平移．自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质阅读教材P37～P38，完成下面的内容：抛物线y＝a(x－h)2可以看成由抛物线y＝ax2沿x轴平移得到的：当h>0时，向右平移h个单位长度；当h<0时，向左平移|h|个单位长度，抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝h，顶点坐标为(h，0)，当a>0时，开口向上，且x>h时，y随x的增大而增大，当x<h时，y随x的增大而减小；当a<0时，开口向下，且x>h时，y随x的增大而减小，当x<h时，y随x的增大而增大．范例1：已知抛物线y＝－(x－1)2，下列说法中不正确的是( C)A．顶点坐标为(1，0)B．对称轴为x＝1C．当x<2时，y随x的增大而增大D．当x>1时，y随x的增大而减小仿例1：抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( A)A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位仿例2：抛物线y＝2(x＋1)2与x轴的交点坐标是(－1，0)，与y轴的交点坐标是(0，2)．仿例3：二次函数y＝－(x－3)2，当x<3时，y的值随x的增大而增大；当x>3时，y的值随x的增大而减小．学习笔记：y＝ax2、y＝ax2＋k和y＝a(x－h)2都是特殊形式的二次函数，是h、k等于0时，y＝a(x －h)2＋k的特例．学习时，注意体会特殊类型图象在坐标系中的位置特征．学习笔记：一般式转化成顶点式，才能运用平移规律．根据平移后的表达式确定平移前的表达式时易将平移规律用反．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．知识模块二二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质阅读教材P37～P38，完成下面的内容：1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象性质是怎样的？答：抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的形状相同，只是位置不同．当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．对称轴是直线x＝h，顶点坐标为(h，k)．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k怎样由y＝ax2平移得到？答：二次函数y＝a(x－h)2＋k是由y＝ax2先向左或向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位得到，其规律为“上加下减，左加右减”．范例2：抛物线y＝－23(x－1)2＋3的开口向下，顶点坐标为(1，3)，对称轴为直线x＝1，它可由抛物线y＝－23x2向右平移____1__个单位，再向上平移__3__个单位得到．当x>1时，y随x的增大而减小；当x＝1时，y有最大值是3．仿例1：(河南中考)已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2<y1<y3．仿例2：在平面直角坐标系中，把抛物线y＝－12x2＋1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的表达式是y＝－12(x＋1)2＋4．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质知识模块二二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________________________课题：二次函数的图象与性质(四)形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象与性质【学习目标】1．利用配方法将二次函数一般形式化为顶点式，进而求出对称轴和顶点坐标．2．经历二次函数一般形式转化为顶点式的过程，明确配方法的重要性．熟练转化并准确求出二次函数的对称轴和顶点坐标．【学习重点】利用配方法将二次函数一般形式化为顶点式，进而求出对称轴和顶点坐标．【学习难点】二次函数一般形式转化为顶点式在实际问题中的应用．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．方法指导：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标有两种方法：一是配方法，二是用顶点坐标公式．情景导入生成问题旧知回顾：y＝a(x－h)2＋k的图象性质是怎样的？答：抛物线y＝a(x－h)2＋k可以看成由抛物线y＝ax2向上(下)和向右(左)平移得到的，平移的方向和距离由h，k的值决定，抛物线y＝a(x－h)2＋k的对称轴为直线x＝h，顶点坐标为(h，k)，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．自学互研生成能力知识模块二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质阅读教材P39～P41，完成下面的内容：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)如何化为顶点式，其图象性质是怎样的？答：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可化为y＝a x＋b2a2＋4ac－b24a的形式，它的对称轴为直线x＝－b2a，顶点坐标为－b2a，4ac－b24a，当a>0时，开口向上，y有最小值，即当x＝－b2a时，y最小值＝4ac－b24a，且当x>－b2a时，y随x的增大而增大；当x<－b2a时，y随x的增大而减小．当a<0时，开口向下，y有最大值，即当x＝－b2a时，y最大值＝4ac－b24a，且当x>－b2a时，y随x的增大而减小，当x<－b2a时，y随x的增大而增大．范例1：把函数y＝－x2－4x－5配方得y＝－(x＋2)2－1，它的开口向下，顶点坐标是(－2，－1)，对称轴是直线x＝－2，最高点是(－2，－1)，当x＝－2，y有最大值是－1．仿例1：抛物线y＝3x2＋bx＋c的顶点坐标为23，0，则b＝－4，c＝43．仿例2：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( A)A．0B．－1C．1D．2学习笔记：掌握两种类型二次函数表达式的相互转化，明确y＝ax2＋bx＋c中a，b，c正负对图象位置和形状的影响．记住y＝a(x－h)2＋k中a，h，k各自表明的意义．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充纠错，最后进行总结评分．仿例3：如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；(2)请你设计一种平移方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．解：(1)将C(5，4)代入y＝ax2－5ax＋4a，得a＝1，∴y＝x2－5x＋4，P 52，－94；(2)∵y＝x2－5x＋4＝x－522－94，将其向左平移3个单位，再向上平移3个单位可得y＝x＋122＋34，顶点为－12，34.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：确定二次函数的表达式(一)【学习目标】1．学会已知两点确定二次函数表达式的方法，能够准确代入求解．2．经历已知两点(其中一个为顶点)求表达式，或已知表达式中只有两个未知系数也可代入两点求表达式，通过以上两种方法灵活利用题目条件求二次函数表达式．【学习重点】根据条件选择适当方法确立二次函数表达式．【学习难点】在实际运用中确立二次函数表达式．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．情景导入生成问题旧知回顾：1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化为顶点式是什么？顶点坐标是什么？答：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过配方化为顶点式为y＝a x＋b2a2＋4ac－b24a，顶点坐标为－b2a，4ac－b24a.2．y＝2(x－h)2＋k的顶点坐标是(3，－4)，则h＝3，k＝－4．3．y＝ax2＋4经过点(1，6)，则a＝2．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．解题思路：二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，如果已知顶点坐标(h，k)的值和另外一个点，即可求出a的值，达到求表达式的目的．方法指导：已知顶点坐标可以直接代入顶点式如顶点(1，2)可以直接设表达式y＝a(x－1)2＋2.学习笔记：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，若知道a，b，c中任意一个系数，只需知道图象上两个点坐标就可以求另外两个系数，达到求表达式的目的．行为提示：在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示，有补充、有质疑、有评价穿插其中．自学互研生成能力知识模块一已知顶点和另一点坐标求二次函数表达式阅读教材P42～P43，完成下面的内容：已知顶点坐标及图象上另一点坐标，能否求出二次函数表达式？如何进行？答：已知顶点坐标及图象上另一点坐标，可运用y＝a(x－h)2＋k，求二次函数的表达式．首先由顶点横纵坐标取代h，k，再将另一点坐标代入求出a的值即可．范例1：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式为y＝2x2＋4x＋5．仿例1：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则此二次函数表达式为( A)A．y＝－x2＋2x＋2B．y＝x2－2x－2C．y＝－x2－2x＋2 D．y＝－x2－2x－2仿例2：抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，则此抛物线的表达式是y＝－x2＋2x＋3．,(仿例1题图)),(仿例2题图)),(仿例3题图))仿例3：如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2－(a2－1)x＋1的图象，那么a的值是－1．知识模块二已知任意两点求二次函数表达式阅读教材P42～P43，完成下面的内容：范例2：已知二次函数y＝ax2＋bx－6的图象经过点A(1，－3)，B(－1，－3)，则二次函数的表达式为( A)A．y＝3x2－6B．y＝x2＋2x－6C．y＝9x2＋6x－6 D．y＝9x2－6x－6仿例：小聪做作业时不小心将题目：“已知二次函数y＝x2■x■的图象如图所示”污染，则题目中二次函数的表达式为y＝x2－73x－2．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一已知顶点和另一点坐标求二次函数表达式知识模块二已知任意两点求二次函数表达式检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：确定二次函数的表达式(二)【学习目标】1．学会运用待定系数法求二次函数表达式，熟练应用已知图象上三个点能确定二次函数表达式．2．经历二次函数表达式确定的又一基本方法，对待定系数法求函数表达式有更深入的了解．【学习重点】运用待定系数法确立二次函数表达式．【学习难点】会解相应的三元一次方程组，求出a，b，c的值．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：用待定系数法确定二次函数的表达式，需要根据题目条件灵活设表达式，然后将已知条件代入，得到方程或方程组，解方程(组)求出待定系数的值，就可以写出二次函数的表达式了．情景导入生成问题旧知回顾：1．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)且经过点(0，1)，则二次函数表达式为y＝－18x2＋2x＋1．2．已知抛物线y＝ax2－2x＋c过点(1，－4)和(2，－7)，则二次函数表达式为y＝－13x2－2x－53．3．什么是待定系数法？答：先设出未知系数，再根据已知条件求出未知系数从而确定函数表达式的方法叫待定系数法．自学互研生成能力知识模块已知三点求二次函数表达式阅读教材P44～P45，完成下面的内容：已知二次函数图象上三个点的坐标，如何求二次函数表达式？答：已知二次函数图象上三个点的坐标，可设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，再列出方程组确定二次函数的表达式．范例1：已知二次函数的图象经过(－1，4)，(2，4)，(3，10)三点，求这个二次函数的表达式．解：设表达式为y＝ax2＋bx＋c，将(－1，4)，(2，4)，(3，10)代入得a－b＋c＝4，4a＋2b＋c＝4，9a＋3b＋c＝10，解得a＝32，b＝－3 2，c＝1，∴y＝32x2－32x＋1.仿例1：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，那么a，b，c的值分别是( D)A．a＝－1，b＝－6，c＝4B．a＝1，b＝－6，c＝－4C．a＝－1，b＝－6，c＝－4 D．a＝1，b＝－6，c＝4仿例2：由表格中信息可知，若y＝ax2＋bx＋c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是( A)x －1 0 1ax2 1ax2＋bx＋c 8 3A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的教学难点。
本节内容主要介绍二次函数的定义、性质以及图象。
通过学习，使学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。
但在二次函数的图象和性质方面，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 教学目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征。
2.能够运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特征。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引发学生对二次函数的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.数形结合法：通过二次函数图象的展示，使学生直观地理解二次函数的性质。
3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质和图象的课件，以便进行直观展示。
2.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如抛物线跳跃游戏，引发学生对二次函数的兴趣。
引导学生思考：抛物线的形状是由什么因素决定的？2.呈现（15分钟）利用课件展示二次函数的定义和性质，让学生直观地了解二次函数的基本概念和图象特征。
同时，通过举例说明二次函数在实际生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个二次函数，分析其图象特征，并总结出二次函数的性质。
然后，进行小组间的分享和交流。
4.巩固（10分钟）针对刚才的学习内容，进行一些相关的练习题，检查学生对二次函数知识的掌握程度。
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
