八年级(上)数学提高班讲义(三)

八年级上数学期末复习讲义第一章 勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。

格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得a 2 +b 2 =c 2=82 +152 =64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。

（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）。

[基础训练]1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m 2．以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)6，7，8 (D)8，9，103．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．4、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是 （ ）A 、20cm;B 、10cm;C 、14cm;D 、无法确定5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树A C 160m图1－1梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？［本章小专题］专题一：勾股定理的应用例1、 如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD的长。

DC BA例2、 如图1－2，AC BD ⊥，垂足为O ，问22AB CD +与22BC AD +相等吗？理由是为什么？ODCBA小专题二：勾股定理的验证例：如图1－3，将四个全等的直角三角形拼成正方形，直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边边长为c ，利用此图验证勾股定理。

第一讲 三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【变式题组】1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( )A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.GFE DBAC1．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.2．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________.3．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.【变式题组】1．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.2．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.3．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.(第1题图)FE DBA C(例4题图)BDACE(第3题图)A BCDE FOBA C(第2题图)FEBCAD (第3题图)FDBCA E(第2题图)ABFE D C(第1题图)ABEDC1．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.3．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【变式题组】 1.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【变式题组】1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)OBA C(第3题图)P OBA C(例6题图)E DAB C(第2题图)DE PC AG B F (第1题图)F E DAB C C'B'A BC2．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高1．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定 3．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________. 9．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第1题图)α22°OBMA(第2题图)B'A'AO B(第3题图)αEDCBAE D AB CF G10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，∠DAE ＝13∠BAC ，求∠BAC 的度数培优升级·奥赛检测1．在△ABC 中，2∠A ＝3∠B ，且∠C －30°＝∠A +∠B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是30°的直角三角形D ．等腰直角三角形 B ． C ．2．已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a ≤b ≤c ，如果b ＝7，则这样的三角形共有( )A ．21个B ．28个C ．49个D ．54个 3．在△ABC 中，∠A ＝50°，高BE 、CF 交于O 点，则∠BOC ＝______________. 4．在等腰△ABC 中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________. 5．如图，BP 平分∠ABC 交CD 于点F ，DP 平分∠ADC 交AB 于点E ，若∠A ＝40°，∠C ＝38°，则∠P ＝ ______________.6．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为(0，a )和(9，a ).点E 在AB 上 ，且AE ＝13AB ．点F 在OC 上 ，且OF ＝13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为16，试求α的值.(第9题图)D EBACxy EBG FOCAγβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FE DABC(第13题图)D E ABC4321(第12题图)DBA CG FE PAB CDBACDEF 7．如图，已知四边形ABCD 中，∠A +∠DCB ＝180°，两组对边延长后分别交于P 、Q 两点，∠P 、∠Q 的平分线交于M ，求证PM ⊥QM .第二讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【变式题组】 1．（武汉2011）下列判断中错误的是（ ） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 MQPABCDA F C ED B 2．（黄冈）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【变式题组】1．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A BC DO F E A C E F B D3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【变式题组】1．（绍兴2013）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°2．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF3．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图B （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AFECB DA B C D F E【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【变式题组】 1．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .2．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am3．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DBF AC E NMPDD A CB FE21ABC P Q EF D1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°3．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 4．（武汉2012）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE6．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对7．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.8．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB的度数为_______.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______E2 1N AB DC 第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第3题图第1题图C AO D BP第2题图ACA /B B /a αcca50° b72° 58°D C10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .D A C .QP.B第10题图AB CDE 第9题图EABC D ABC DEF O C AEBD 第7题图第8题图D B A CE FA EB F DC BD E C l AAEF C DB 培优升级·奥赛检测1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③3．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC4．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 6．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）7．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.8．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：AC ＝2AE .AB E D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图4321NM ABO DP A D EG CHBA EB DC 9．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝180°. AH ⊥AH 于H ，HA 的延长线交DE 于G. 求证：GD＝GE .第三讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PNP CA B MN M N A B D C P E D A BC D CA B 321FEDCAB 1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【变式题组】1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD CBDSS ∆∆2．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BDD E C A B DF E B A C第1题图D C B A第2题图D B CA E P 第3题图Q S R PBA C 第4题图E F B D A C 第5题图E B C A 1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）第6题图F ED PA B C 第7题图P ABCE F 第8题图DABC E第9题图ED C AB 第10题图K NMQ CBA F BDE C A OFE D A B Cl 1l 2DC FG E P AB C D E O B A 7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .培优升级·奥赛检测1．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A ．一处 B ．二处 C ．三处 D ．四处2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，则D 到AB边的距离为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．123．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________GPF E DCBAPD AB C Q P C B A4．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD＝__________5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD间的距离等于__________ 6．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G ＝12(∠ACB －∠B )7．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞DB －DC8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP第四讲 轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式题组】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【变式题组】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【变式题组】1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【变式题组】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．【例5】（荆州）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．【变式题组】1．如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．2．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形。

第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

2017年下学期八年级数学上册辅导讲义第1讲等腰三角形性质及判定【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.EACF 举一反三：【变式】已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝BC ＝BD ，AD ＝AE ，DE ＝CE ，求∠B 的度数．类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC ＝8cm ，且|AC －BC|＝2cm ，那么腰AC 的长为( )． A ．10cm 或6cm B ．10cm C ．6cm D ．8cm 或6cm类型三、等腰三角形性质和判定综合应用4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD ＝∠FCD ． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．举一反三：【变式】如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD ． (1)求证：BE ＝AD ；(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；(3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由．【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或17D ．10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的有( )①△BDF ，△CEF 都是等腰三角形； ②DE ＝DB ＋CE ；③AD ＋DE ＋AE ＝AB ＋AC ； ④BF ＝CF. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5. 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠度数是（ ） A ．60° B．70° C．80° D．不确定6. 如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，若AD 、AE 三等分∠BAC ，则图中等腰三角形有 （ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个二.填空题7．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为 ．9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．12. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.求证：EF平分∠AEB．15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．21N MFE D B CA EP QDCA B第2讲 等边三角形考点 方法 破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．(1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状。

三角形面积（讲义）一、知识点睛1．三角形相关概念：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的____________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的________叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．在△ABC 中，作出AC边上的高线．________即为所求．（4）三角形的相关定理：180⎧⎪︒⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和是；角直角三角形两锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．面积问题：（1）处理面积问题的思路：①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．（2）处理面积问题方法举例：①利用平行转移面积：如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．②利用等分点转移面积：两个三角形底相等时，面积比等于_____之比，高相等时，面积比等于_____之比．二、精讲精练1．现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（）A ．5B ．6C ．7D ．103．△ABC 的三边分别为4，9，x ．（1）求x 的取值范围；（2）求△ABC 的周长的取值范围；（3）当x 为偶数时，求x ；（4）当△ABC 的周长为偶数时，求x ；（5）若△ABC 为等腰三角形，求x ．第2题图4．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）A．①，②都正确B．①，②都不正确C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确5．如图所示，在△ABC中，BC边上的高是_______，AB边上的高是_______；在△BCE中，BE边上的高是________，EC边上的高是_________；在△ACD 中，AC边上的高是________，CD边上的高是________．6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能7．如图，在正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE 的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于_________．第7题图第8题图8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，延长DC到E，使CE=AB，连接BD，BE，若梯形ABCD的面积为25cm2，则△BDE的面积是__________．9．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK 上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为____________．第9题图10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．第10题图第11题图11．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是_______个．12．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，AE =2DE ，若△ABE 的面积是4，则△ABC 的面积是_______．第12题图第13题图13．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．14．如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF S △BEF =（）A ．1B ．2C ．3D ．415．如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =_______．第14题图第15题图16．如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF的面积是______．第16题图第17题图17．如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是_____________．18．如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为20cm2，△CDQ的面积为35cm2，则阴影四边形EPFQ的面积是_________．19．如图，若梯形ABCD面积为6，E，F为AB的三等分点，M，N为DC的三等分点，则四边形EFNM的面积是_________．三、回顾与思考_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ __________________________________【参考答案】【知识点睛】1.（1）线段，在三角形内部，重心；（2）线段，在三角形内部，内心；（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部；作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转移法；（2）②对应高，对应底【精讲精练】1．B2．C3．（1）5＜x＜13（2）18＜x＜26（3）6，8，10，12（4）7，9，11（5）9 4．C5．AF，CE，CE，BE，DC，AC6．C7．28．25cm29．1610．6 11．512．1213．214．B15．1 16．3，1517．144cm218．55cm219．2三角形面积（作业）1.现有2cm，4cm，6cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A，B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米第2题图第3题图3.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高4.在直角三角形，钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能5.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是_______个．6.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为．第6题图第7题图7.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，那么阴影部分的面积是．8.已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S△BGD=8，S△AGE=3，那么△ABC的面积是．第8题图第9题图9.两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S△EDC=6，S△BEC=18，则△AEB的面积是，△AED的面积是．10.如图所示，在□ABCD中，点E是AD的中点，点F在边CD上，CF=2DF，若□ABCD的面积为12，则△EDF的面积是_______．第10题图第11题图11.四边形ABCD与AEFG均为正方形，△ABH的面积为6cm2，图中阴影部分的面积是______________．12.多项式4x2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．13.已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥DG．【参考答案】1．A2．D3．C4．B5．56．87．1cm28．309．6；210．111．6cm212．5；-4，-4x2，x4，-8x，8x13．证明略三角形面积（随堂测试）1.现有2cm，3cm，4cm，5cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，一个面积为50cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC的面积是________________．第2题图第3题图3.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则点C的个数是_______个．（在图中标出点C的位置）4.如图，在□ABCD中，点E，F分别是是AB，BC的中点，连接EF，若□ABCD的面积是8cm2，则△BEF的面积是________．【参考答案】1．C2．25cm23．104．1cm2三角形综合应用（讲义）一、知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：1.三角形中的隐含条件是：_____________________________________________________；_____________________________________________________；_____________________________________________________．2.角平分线出现时采用______________解决问题．3.高线出现时考虑__________或__________．4.中线、周长一起出现时，考虑________和________的关系．二、精讲精练1.下列五种说法中：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不少于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余，正确的有___________________________________．2.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=60°，∠B=55°．将纸片一角折叠使点C落在△ABC内，则∠1+∠2的度数为______．第2题图第3题图3.如图，一个五角星的五个角的和是________．4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．5.如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，则∠AEC=________；如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α，∠ABC=β，则∠AEC=_________________．图①图②6.探究：（1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，猜想∠P和∠A有何数量关系？（2）如图②，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想 P和∠A有何数量关系？（3）如图③，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE，猜想∠P和∠A有何数量关系？图①图②图③7.如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．（1）∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数为____________；（2）∠BOD和∠COE的数量关系是________________．第7题图8.在锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度数．9.等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为__________．10.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为________．11.等腰三角形的周长是25cm，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为________________．12.已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是________________．13.如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是____________．14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．（1）若AB=6，AC=8，BC=10，则AD=____________；（2）若AB=2，BC=3，则AC:AD=____________．第14题图第15题图15.如图所示，在△ABC中，若AB=2cm，AC=3cm，BC=4cm，AD，BF，CE为△ABC的三条高，则这三条高的比AD:BF:CE=____________________．16.如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC ，求证：PD +PE =BF ．三、回顾与思考_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】1.三角形中的隐含条件：1．三角形内角和是180°；2．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；3．三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边．2.设元3.互余，面积4.边长，周长【精讲精练】1．①③⑤2．130°3．180°4．360°5．35°；12（α+β）6．（1）∠P =90°+12∠A（2）∠P =12∠A（3）∠P=90° 12∠A7．（1）90°（2）∠BOD=∠COE8．130°9．5cm或7cm10．3cm11．5cm或353cm12．213．22cm14．（1）245（2）3:215．3:4:616．（1）72（2）略三角形综合应用随堂测试题姓名________5.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=．6.如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF，EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B=65°，∠D=45°，则∠F的大小是________．第1题图第2题图7.等腰三角形周长为14cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为5cm，则此等腰三角形的底边长为___________．8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，其中∠A=40°，∠B=72°，求∠FDE．【参考答案】1．180°2．55°3．434．16°三角形综合应用（作业）1.满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）A ．∠B +∠A =∠CB ．∠A :∠B :∠C =2:3:5C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角2.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______________．3.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =__________．第3题图第4题图4.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若∠CAB 与∠CBA 的平分线相交于点O ，则∠AOB =__________．5.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 与外角平分线CE 的反向延长线相交于点D ，若∠A =30°，则∠D =________．第5题图第6题图6.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC ，∠B =40°，∠C =70°，则∠DFE =__________．7.等腰三角形的周长为21cm ，其中一边长为6cm ，则该等腰三角形的底边长为__________．第2题图8.等腰三角形周长为17cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为4cm，则此等腰三角形的底边长为__________．9.如图，在△ABC中，若AB=2cm，BC=4cm，则△ABC的高AD与CE的比是__________．10.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA的度数．11.如图，在△ABC 中，AD为∠BAC的角平分线，G为AD的中点，延长BG交AC于E．CF⊥AD于H，交AB于F．下列说法中正确的有_____________________．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的中线；③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF边CF上的高；⑤BG是△ABD的中线．12.已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由.【参考答案】1．C2．270°3．360°4．135°5．15°6．15°7．6cm或9cm 8．3cm或253cm9．12 10．30°；120°第12题图第9题图第10题图第11题图11．③④⑤12．∠AED=∠C，证明略平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）一、知识点睛1．如果两个角的和是____，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是____，那么称这两个角互为补角；①_____或_____的余角相等，②_____或_____的补角相等．2．对顶角：____________________________________________；③对顶角____．3．④三角形的内角和为_____，⑤直角三角形两锐角_____．已知：如图，△ABC．求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．证明：_____，______________________________，∵MN∥BC∴∠B=∠1，∠C=∠2（）∵∠1+∠2+∠3=180°（）∴∠BAC+∠B+∠C=180°（）二、精讲精练1．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOD=50°，则∠BOC的度数是______．第1题图第2题图2．如图，∠COD为平角，AO⊥OE，∠AOC=2∠DOE，则有∠AOC=_______．3．已知：如图，OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若∠BOD:∠AOC=5:2，则∠AOC=_____，∠BOD=_______．4．‘如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则∠A的余角是_______和________，∠ACD=∠_______，∠BCD=∠______．5．如图，△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D，F，若∠AED=140°，则∠C=，∠BDF=，∠A=．第5题图第6题图AE BD，∠1=110o，∠2=30o，则∠C=______．6．已知：如图，//7．已知：如图，∠BAC与∠GCA互补，∠1=∠2，若∠E=46°，则∠F的度数是多少？8．已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．求证：BE∥CF．证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD()∴______=______=90°（垂直的性质）∵∠1=∠2()∴∠EBC=∠BCF()∴___∥___()9．已知：如图，∠1＋∠2=180°，∠3=∠B．求证：∠AED=∠C.证明：∵∠1＋∠2=180°（）∠1＋∠DFE=180°（）∴_____=______（）∴∥（）∴∠3=∠ADE（）∵∠3=∠B（）∴∠ADE=∠B（）∴___∥___（）∴∠AED=∠C（）10．已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠F=∠A.证明：∵∠1=∠2（）∠1=∠DGF（）∴∠2=∠DGF（）∴____∥_____（）∴∠D=∠FEC（）∵∠C=∠D（）∴∠FEC=∠C（）∴DF∥AC（）∴∠F=∠A.（）三、回顾与思考___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _____________________________________【参考答案】一、知识点睛1．90°；180°；同角；等角；同角；等角．2．具有公共顶点且角的两边互为反向延长线；相等．3．180°；互余；如图，过点A作BC的平行线MN；两直线平行，内错角相等；1平角=180°；等量代换．二、精讲精练第9题图第10题图1．50°2．60°3．60°；150°4．∠ACD，∠B；∠B；∠A5．50°；40°；80°6．40°；7．46°；8．已知；∠ABC，∠BCD；已知；等角的余角相等；BE，CF；内错角相等，两直线平行；9．已知；1平角=180°；∠2，∠DFE，同角的补角相等；AB，EF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；DE，BC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．10．已知；对顶角相等；等量代换；CE，BD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．平行线与内角和的综合应用（随堂测试）1．已知：如图，AD与AB，CD交于A，D两点，EC，BF 与AB，CD交于E，F，且∠1=∠2，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．证明：∵∠1=∠2（）∠CGD=∠1（）∴______=______（等量代换）∴CE//BF（）∴_____=∠3（）又∵∠B＝∠C（）∴∠3＝______（）∴____//_____（）∴______=______（）第1题图2．已知：如图，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B=∠ADE．求证：AD∥EF．证明：∵EF⊥BC，DE⊥AB（）∴∠EFB=∠AED=90°（垂直的性质）∴∠BEF+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∠BAD+∠ADE=90°（）第2题图∵∠B=∠ADE（）∴∠BEF=∠BAD（）∴______∥______（）【参考答案】1．已知；对顶角相等；∠CGD，∠2；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等；已知；∠B；等量代换；AB，CD；内错角相等，两直线平行；∠A，∠D，两直线平行，内错角相等．2．已知，直角三角形两锐角互余；已知；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．平行线与三角形内角和的综合应用（作业）1.如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠AOF =3∠FOB ，∠AOC =90°，则∠EOC =．第1题图第2题图2.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =55°，∠1=25°，则∠DBE =________．3.如图，∠1+∠2=180°，∠3=90°，则∠4=______.4.如图，D 是△ABC 边BC 上的一点，∠1=∠B ，若∠ADC =60°，则∠BAC =_______．解：∵∠B +∠C ＋∠BAC =180°（）∠1+∠C ＋∠ADC =180°（）∵∠1=∠B （）∴∠BAC =∠ADC （等式的性质）∵∠ADC =60°（）∴∠BAC =________（）第4题图5.已知：如图，△ABC ．求证：∠A +∠B +∠ACB =180°．证明：作BC 的延长线CE ，过点C 作CD ∥AB ，∵CD ∥AB ∴∠A =∠1（）∠B =∠2（）∵∠1+∠2+∠3=180°（）∴∠A +∠B +∠ACB =180°（）6.已知：如图，AB ∥CD ，∠BAE =∠DCE =45°．求证：∠E =90°．证明：∵AB ∥CD ()∴______+______=180°()∵∠BAE =∠DCE =45°()∴∠1+45°+∠2+45°=______即∠1+∠2=_______()∴∠E =180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°()7.已知：如图，∠1=∠ACB ，∠2=∠3．求证：CD ∥HF .证明：∵∠1=∠ACB （）∴____∥____（）∴∠2=____（）∵∠2=∠3（）∴∠3=____（）∴____∥____（）第6题图第5题图第7题图【参考答案】1．45°；2．30°；3．90°；4．60°，三角形三个内角的和是180°三角形三个内角的和是180°；已知；已知；60°；等量代换．5．两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；1平角=180°；等量代换．6．已知；∠BAC，∠ACD，两直线平行，同旁内角互补；已知；180°，90°，等式的性质；三角形三个内错的和等于180°；7．已知；DE，BC；同位角相等，两直线平行；∠DCB，两直线平行，内错角相等；已知；∠DCB，等量代换；CD，HF，同位角相等，两直线平行．三角形的外角（讲义）一、知识点睛1._________________________组成的角，叫做三角形的外角．2.三角形外角定理：三角形的一个外角等于____________________________________．已知：如图，∠2是△ABC的一个外角．求证：∠2=∠A+∠B证明：如图，∵∠A+∠B+∠1=180°（）∠1+∠2=180°（）∴∠2=∠A+∠B（）二、精讲精练11．已知：如图，AC∥ED，∠C=25°，∠B=35°，则∠E的度数是（）A．60°B．85°C．70°D．50°第1题图第2题图12．已知：如图，在△ABE中，D是边BE上一点，C是AE延长线上一点，连接CD，若∠BDC=140°，∠B=35°，∠C=25°，则∠A=．13．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________．14．如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A =60°，∠ACD =35°，∠ABE =20°，则∠BDC =_____，∠BEC =_____．第4题图第5题图15．已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长线于点G ，∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =______．16．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE 平分∠BAC ，BF 平分∠ABC ，它们相交于点O ，∠BAC =50°，∠C =70°，则∠DAC =____，∠AED =_____，∠BOE =______．17．已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD ∥BC ．第6题图第7题图18．已知：如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，∠E=30°，求∠ACD 的度数．解：∵AB∥CE（）∴∠ABE=_______（）∵∠E=30°（）∴∠ABE=_______（）∵BE是∠ABC的平分线（）∴∠ABC=2∠ABE=2×30°=60°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∠A=50°（）∴∠ACD=______+______=______+______=_______（）19．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，且∠ADE=∠C，求证：∠AED=2∠EDB证明：∵∠ADE=∠C（）∴_____∥_____（）∴∠EDB=∠DBC（）∵BD平分∠ABC（）∴∠EBD=∠DBC（角平分线的定义）∴∠EDB=∠EBD（）∵∠AED是△BDE的一个外角（）∴∠AED=_____+_____=2∠EDB（）20．已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，∠ADE=∠B，DE交AC于点F，连接CE．求证：∠EFC=2∠FDC．第8题图第9题图第10题图【参考答案】一、知识点睛1．三角形的一边与另一边的延长线；2．和它不相邻的两个内角的和；三角形三个内角的和为180°；1平角=180°；等式性质．二、精讲精练1．A2．80°；3．75°；4．95°，80°；5．145°；6．20°，85°，55°；7．证明：如图，∵AD平分∠EAC（已知）∴∠EAC=2∠EAD（角平分线定义）∵∠EAC为△ABC的一个外角（外角的定义）∠B=∠C（已知）∴∠EAC=∠B+∠C=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠EAD=∠B（等式性质）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）8．已知；∠E，两直线平行，内错角相等；已知；30°，等量代换；已知；已知；∠A，∠ABC，50°，60°，110°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；9．已知；DE，BC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；外角的定义；∠EBD，∠EDB，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；10．证明：如图，∵∠B=∠ADE（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠FDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）∵CD平分∠ACB（已知）∴∠DCB=∠FCD（角平分线的定义）∴∠FDC=∠FCD（等量代换）∵∠EFC是△DFC的一个外角（外角的定义）∴∠EFC=∠FDC+∠FCD=2∠FDC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）几何证明每日一题（三角形的外角）1．已知：如图，直线AD与直线EB、FC分别相交于点G，H，若∠BEF+∠CFE=180°，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．2．已知：如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A=50°，求∠BOC的度数．3．已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，DE的延长线交BC的延长线于点F．若∠ACB=50°，∠DFB=30°，∠ADF=80°，求∠A的度数．∠BAC且AD平分∠EDF，若∠CFD=75°，则∠BED的度数为多少？若∠D=∠A+∠B，∠BFE=75°，∠G=35°，求∠EFG的度数．【参考答案】1.证明：如图，∵∠BEF+∠CFE=180°（已知）∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠BGH+∠CHG=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BGH是△ABG的一个外角（外角的定义）∴∠BGH=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠CHG是△CHD的一个外角（外角的定义）∴∠CHG=∠C+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BGH+∠CHG=180°（等式性质）2.证明：如图，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（已知）∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB（角平分线的定义）∵∠A=50°（已知）∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12∠ABC-12∠ACB=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A=115°（三角形的三个内角的和等于180°）3.解：如图，∵∠ADF是△BDF的一个外角（外角的定义）∴∠ADF=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ADF=80°，∠DFB=30°（已知）∴∠B=50°（等式性质）∵∠ACB=50°（已知）∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-50°=80°（三角形的三个内角的和等于180°）4.证明：如图，∵AD平分∠BAC且AD平分∠EDF（已知）∴∠FAD=∠EAD，∠FDA=∠EDA（角平分线的定义）∴∠FAD+∠FDA=∠EAD+∠EDA（等式性质）∵∠CFD是△ADF的一个外角（外角的定义）∴∠CFD=∠F AD+∠FDA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BED是△ADE的一个外角（外角的定义）∴∠BED=∠EAD+∠EDA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BED=∠CFD（等量代换）∵∠CFD=75°（已知）∴∠BED=75°（等量代换）5.证明：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B（已知）∴∠D=∠ACF（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠FEG=∠BFE（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）∵∠G=35°（已知）∴∠EFG=180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的三个内角的和等于180°）三角形的外角（随堂测试）1．如图，AB∥CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠A=30°，∠EGD=70°，求∠E 的度数．解：∵_____∥______（）∴∠EFB=______（）∵∠EGD=70°（）∴∠EFB=_______（）∵∠EFB是△AEF的一个外角（）∴∠EFB=_______+_______（）∵∠A=30°（）∴∠E=______-________=______-________=_______（）2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=30°，∠BDC=60°，求∠BDE的度数．解：∵∠BDC是△ABD的一个外角（）∴∠BDC=____+______（）∵∠A=30°，∠BDC=60°（）∴∠ABD=____-______=____-______=______（）∵BD是∠ABC的平分线（）∴∠DBC=∠ABD=_______（）∵DE∥BC（）∴∠BDE=______=_____（）【参考答案】1．AB，CD，已知；∠EGD，两直线平行同位角相等；已知；70°，等量代换；外角的定义；∠A，∠E，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠EFB，∠EAB，70°，30°，40°，等式性质．2．外角的定义；∠ABD，∠A，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠BDC，∠A，60°，30°，30°，等式性质；已知；30°；角平分线的定义；已知；∠DBC，30°，两直线平行内错角相等．三角形的外角（作业）1．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°第1题图第2题图2．如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为AC上一点，延长BC到点D，连接DE．若∠1=115°，∠A=40°，∠2=35°，则∠3=_______．3．如图，AB∥CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠E=40°，∠CGE=110°，则∠A=_______．第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE是∠BAC的平分线，若∠B=70°，∠C=30°，则∠BAD=_______，∠AED=_______．5．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，AD⊥BC，BE是∠ABC的平分线，AD，BE相交于点F，求∠AFB的度数．解：∵∠C=60°，∠BAC=50°（）∴∠ABC=180°-_____-∠C=180°-50°-60°=70°（）∵BE是∠ABC的平分线（）∴∠EBD=12∠ABC=35°（角平分线的定义）∵AD⊥BC（）∴∠ADB=90°（垂直的性质）∵∠AFB是△BDF的一个外角（）∴∠AFB=______+_______=______+_______=________（）6．填写下列解题过程中的推理根据：如图，在△ABC中，∠A=40°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠BDC=70°，求∠C的度数．解：∵∠BDC是△ABD的一个外角（）∴∠BDC=∠A+∠ABD（）∵∠A=40°，∠BDC=70°（）∴∠ABD=______（）∵BD平分∠ABC（）∴∠ABC=2∠ABD（角平分线的定义）∴∠ABC=60°（）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-______-______=______（）7．已知：E是AB，CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．第6题图第5题图【参考答案】1．C；2．40°；3．30°；4．20°，70°；5．已知；∠BAC；三角形三个内角的和等于180°；已知；已知；外角的定义；∠FDB；∠FBD；90°；35°；125°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；6．外角的定义；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；30°；等式性质；已知；等式性质；40°；60°；80°；三角形三个内角的和等于180°；7．证明：如图，∵∠AFE是△FEB的一个外角（外角的定义）∴∠AFE=∠E+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠E+∠B（已知）∴∠AFE=∠D（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）全等三角形性质及判定（讲义）一、知识点睛1.由_____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“__________”表示．2.三角形有关定理：三角形两边之和____________第三边，两边之差___________第三边．3._____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“__________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等．4.全等三角形的判定定理：______________________________．二、精讲精练1.作出下图三角形的高线．第1题图第2题图2.如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，____________，__________，对应角∠B=∠DEF，________，_________．3.如图，△ACO≌△BCO，对应边AC=BC，___________，__________，对应角∠1=∠2，__________，__________．第3题图第4题图4.如图，△ABC≌△DEC，对应边___________，___________，___________，对应角_______________，_______________，______________．5.如图，若AD=CB，AB=DC，则_________≌__________，理由是___________________；若∠B=∠D，∠BCA=∠DAC，则_________≌________，理由是___________．第5题图第6题图6.如图，AD，BC相交于点O，若AO=DO，BO=CO，则__________≌___________，理由是________________．7.如图，AO=BO，若加上一个条件_____________________，则△AOC≌△BOC，理由是_________________________．第7题图第8题图8.如图，∠1=∠2，若加上一个条件____________________，则△ABE≌△ACE，理由是_______________．9.如图，AD，BC相交于点O，∠A=∠C，若加上一个条件_______________，则△AOB≌△COD，理由是___________．10.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D ．①②③都带去第9题图11.如图，AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是____________或____________或____________．第11题图第12题图12.如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB =DE ，AC =DF ，如果∠__________=∠____________，则△ABC ≌△DEF ，所以BC =________，因此BE =________．13.如图，AE =BF ，AD ∥BC ，AD =BC ，则△ADF ≌_________，理由是__________，因此DF =__________．14.已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ．求证：△ADC ≌△AEB ．15.已知：如图，AB ＝CD ，AB //DC ．试猜想AD 和BC 相等吗？并说明理由．第13题图第14题图第15题图16.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：CD DE．第16题图三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“△”表示．2．三角形有关定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“≌”表示．全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS．二、精讲精练1．略2．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠ACB=∠F3．AO=BO，CO=CO，∠A=∠B，∠ACO=∠BCO4．AB=DE，AC=DC，BC=EC，∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DCE5．△ADC，△CBA，SSS，△ADC，△CBA，AAS6．△AOB，△DOC，SAS7．AC=BC，SSS（其它答案合理也可以）8．BE=CE，SAS（其它答案合理也可以）9．AO=OC，ASA（其它答案合理也可以）10．C11．AC=AE，∠B=∠D，∠C=∠E12．∠A=∠D，EF，CF13．△BCE，SAS，CE14．证明：在△ADC和△AEB中A AAC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（公共角）（已知）（已知）∴△ADC ≌△AEB （ASA ）15．解：AD =BC ，理由如下：∵AB ∥DC ∴∠ABD =∠CDB 在△ABD 和△CDB 中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD ABD CDBBD DB （已知）（已证）（公共边）∴△ABD ≌△CDB （SAS ）∴AD =CB （全等三角形对应边相等）16．解：∵AD 平分∠BAC∴∠CAD =∠EAD ∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90°∵∠C ＝90°∴∠DEA =∠C 在△CAD 和△EAD 中C DEA CAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边）∴△CAD ≌△EAD （AAS ）∴CD =ED （全等三角形对应边相等）全等三角形性质及判定（每日一题）姓名_________ 1.已知：如图，DF=CE，AD=BC，∠D=∠C．求证：△AED≌△BFC．2.已知：如图，在等边三角形ABC中，∠C=∠ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE相交于点F．求证：△ABD≌△BCE．3.已知：如图，AB=CD，AC=BD．求证：12∠=∠．4.如图，在正方形ABCD，DEFG中，AD=CD，DE=DG，∠EDG=∠ADC=90°，连接CG交AD于点N，连接AE交CG于点M．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．考答案】1．证明：如图，∵DF =CE ∴DF -EF=CE -EF 即DE =CF在△AED 和△BFC 中AD BCD CDE CF （已知）（已知）（已证）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△BFC （SAS ）2．证明：如图，∵AC =BC AE =CD∴AC -AE =BC -CD 即CE =BD在△ABD 和△BCE 中AB BCABD CBD CE （已知）（已知）（已证）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△BCE （SAS ）3．证明：如图，在△ABC 和△DCB 中AB CD AC BDBC BC （已知）（已知）（公共边）=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCB （SSS ）∴∠ABC =∠DCB ，∠ACB =∠DBC ∵∠1=∠ABC -∠DBC ∠2=∠DCB -∠ACB ∴∠1=∠24．证明：如图，（1）∵∠EDG ＝∠ADC∴∠EDG +∠ADG=∠ADC +∠ADG 即∠ADE ＝∠CDG 在△ADE 和△CDG 中AD CDADE CDGDE DG （已知）＝（已证）（已知）=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CDG （SAS ）∴AE =CG （2）AE ⊥CG ∵∠ADC =90°∴∠GCD +∠CND =90°∵△ADE ≌△CDG ∴∠EAD ＝∠GCD ∵∠ANG ＝∠CND ∴∠EAD +∠ANG =90°∴∠AMC =90°即：AE ⊥CG全等三角形性质及判定（随堂测试）1.已知：如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，______________，_______________，对应角∠ABC=∠DEF，_______________，_______________．第1题图第2题图2.如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，若加上一个条件_______________，则△ABC≌△ADE，理由是_________．3.已知：如图，A，F，C，D在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．求证：EC=BF．【参考答案】1.AC=DF BC=EF∠A=∠D∠C=∠F2.AE=AC SAS或者∠B=∠ADE ASA或者∠C=∠E AAS3.证明略全等三角形性质及判定（作业）1.作出下图三角形的高线．2.如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个第2题图第3题图3.如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，_____________，___________，对应角∠B=∠DEF，___________，__________．4.如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，若加上一个条件______________________，则△ABC≌△DEF，理由是_______________．。

八年级数学培优系列讲义（教师版）：第一讲分式从分数到分式学习要求：掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件．课堂学习检测一、填空题1．用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成______的形式，如果除式B中______，该分式的分式．2．把下列各式写成分式的形式：（1）5÷xy为______.（2）（3x＋2y）÷（x－3y）为______.3．甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时．4．n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．5．轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米／时，轮船在逆流中航行s千米所需要的时间可用式子表示成______小时．6．当x＝______时，分式7．当x＝______时，分式x3x 1x21x 1没有意义．的值为0．8．分式xy，当字母x、y满足______时，值为1；当字母x，y满足______时值为－1．二、选择题9．使得分式aa 1有意义的a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠110．下列判断错误的是（）C．a≠－1D．a＋1＞0A．当x 23x 1时，分式有意义3x 2B．当a≠b时，分式aba b2有意义C．当x 122x 1时，分式值为04xD．当x≠y时，分式x yx x有意义11．使分式A．0xx 5值为0的x值是（）B．5C．－5D．x≠－512．当x＜0 时，A．1|x|x的值为（）B．－1C．±1D．不确定1．．22213．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（)A ．x 1xB ．x 1x 1C ．x 1 x 1D ．x 1x 1三、解答题14．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？x y3 x y 3 x 2 y 2 x ( x 1) ; ; ; ; ;x y x 2 1 3 x y 2 x( x 2)( x 3)15．x 取什么值时，的值为 0？x 2;x1π一、填空题16．当 x =______时，分式2 x2x 6综合、运用、诊断无意义．17.使分式 2 x (x 3) 2有意义的条件为______．18.分式 2x 5 ( x 1) 2有意义的条件为______．19．当______时，分式| x | 4 x 4的值为零．20．若分式 6 7 x的值为正数，则 x 满足______．二、选择题21．若 x 、 y 互为倒数，则用 x 表示 y 的正确结果是（）A ．x ＝－yB ． x 1yC ． y1 xD ． y1 x22．若分式 5a b 3a 2b有意义，则 a 、b 满足的关系是（）A ．3a ≠2bB ． a1 5b 2C ． b a 32D ． ab 323．式子 x 2 x 2 x 2的值为 0，那么 x 的值是（） A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在24．若分式 a 9 a a 6的值为 0，则 a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．a ≠－225．若分式 1b 2b 2 1的值是负数，则 b 满足（）A ．b ＜0B ．b ≥1C ．b ＜1三、解答题D ．b ＞122 2 2 2 2226．如果分式y |y | 322y 3的值为0，求y的值．27．当x为何值时，分式12x 1的值为正数？28．当x为何整数时，分式42x 1的值为正整数？拓展、探究、思考29．已知分式y ay b,当y＝－3时无意义，当y＝2时分式的值为0，求当y＝－7时分式的值．分式的基本性质测试2学习要求掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分．课堂学习检测一、填空题1．A A M,B B M其中A是整式，B是整式，且B≠0，M是______．2．把分式yx中的x和y都扩大3倍，则分式的值______．3．x 11xx 2( )4．(3x) 5xy23x2y.5．1( )x y x2y2．6．1x( )y 24y2二、选择题7．把分式a29ab 3b约分得（）A．a 3b 3B．a 3b 3C．a 3aD．a 3a8．如果把分式x 2yx y中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）3A．扩大10倍沈进老师培优系列资料B．缩小10倍C．是原来的23D．不变9．下列各式中，正确的是（）A．a m ab m bB．a ba bC．ab 1b 1ac 1c 1D．xx y1y x y三、解答题10．约分：（1）10ab15ac（2）1.6x y3.2x y（3）m 1m21（4）y24x y 4x2x y211．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．（1）35a;（2）3x5y2；（3）2b5a;（4）11y15x综合、运用、诊断一、填空题12．化简分式：（1）x y(y x)3_____；（2）x2996x x2_____．13．填空：(1)m nm n()n mm n;(2)2a 12b()1 2a1b14．填入适当的代数式，使等式成立．（1）a2ab 2b2( )a b （2）11a( ).a b ab二、选择题15．把分式2xx y中的x、y都扩大m倍（m≠0），则分式的值（）42223a b22bA ．扩大 m 倍B ．缩小 m 倍C ．不变D ．不能确定16．下面四个等式：①x y x y x y x y x yx y; ② ; ③ ; 22 22 22④x y x y22其中正确的有（）A ．0 个 ab 17．化简a 2 2ab b 2B ．1 个的正确结果是（ ）C ．2 个D ．3 个A ． a b a bB ．a b a bC ．12abD ．1 2a b18．化简分式9ab 3a 2b 6ab 2后得（ ）A ．3a ba 2b 2ab 2B ．3ab a 6ab2C ．3aba 2bD ．3a 3abb 2b三、解答题 19．约分：（1）12a 2 (b a )27( a b )32（2）x 3x 2 xx 6（3）m 2 4m16 m 2（4）x 4 x 4 x 220．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）x x 2 y（2）b a 2 a（3）1 x x 1x2 x（4）3m m 1m 22拓展、探究、思考21．（1）阅读下面解题过程：已知 x 2x 2 , 求1 5x 2 x 4 1的值．52 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22解：x x 2 12 5( x 0),1x 1 x2 5 1 5 , 即 xx 2x x4211 1141 1 5 1722 2 x 2x2（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知xx 2 3x 12, 求x 4x 2 x 2 1的值．测试 3分式的乘法、除法学习要求1．学会类比方法、总结出分式乘法、除法法则． 2．会进行分式的乘法、除法运算．课堂学习检测一、填空题1．8x9 y ( ) ______． 2 y2 x2．x 2xy x 23x 3 y 3x______．3．1 a b(a b )______．4．a2ab b 2 2a b b 2 .a 2b 2 a 2 ab______．5．已知 x ＝2008，y ＝2009，则( x y )( x xy y 4 2)的值为______．二、选择题6．a m 2n 2(n m ) 的值为（ ）A ．2am nB ．am nC ．am nD ．am n7．计算ab 2 2cd3ax 4cd等于（ ）A ．2b 3xB ．3b 2xC ．2b 3xD ．3a b x 8c d8．当 x ＞1 时，化简|1 x | 1 x得（ ） A ．1 B ．－1C ．±1D ．0x( x )2 ( )23 242 2 2 2 2 2 26三、计算下列各题9．5y28x221xy10．m24n2m22m nm2mn m n11．x2111.(x 1)2x 1x 112．x(3a 2)25a2b5a b4x29a22x2四、阅读下列解题过程，然后回答后面问题13．计算：a2111 b c db c d解：a2b 111c db c d＝a÷1÷1÷1①＝a．②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．综合、运用、诊断一、填空题a12y214．c _____．15．3x y _____．b c16．一份稿件，甲单独打字需要a天完成，乙单独打字需b天完成，两人共同打需_____天完成．二、选择题17．计算(x 3)(x 2)x 3x21x2x的结果是（）A．x xx 2B．xx 122xC．x 2x2xD．x 2xx 118．下列各式运算正确的是（）A．m÷n·n＝m B．m n.1nm11 C．m m 1 m m D．m1mm 1三、计算下列各题19．(a 16)a 4a 420．(1a)2a(1a2).a a2a a27223x2232.2a ab a ab b 21．.a22ab b2b222．2x 644x x2(x 3)2.x 23x 拓展、探究、思考23．小明在做一道化简求值题：(x y x)x 2x y y x yxy,他不小心把条件x的值抄丢了，只抄了y＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？测试4分式的乘法、除法、乘方学习要求掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算．课堂学习检测一、填空题1．分式乘方就是________________．2．(2abc2) ____________．3．(3x22y2z)5____________．二、选择题4．分式(2a3b) 的计算结果是（）A．2a3b3B．6a9b3C．8a9b3D．8a27b35．下列各式计算正确的是（）A．x xy3yB．mm2m3C．a ba b2a b D．(a b)(b a)2a b6．n n2m2m22n2的结果是（）A．mnB．m 2m3C．nmD．－n7．计算(2ab)2b2b( )2()a a的结果是（）A．8abB．8ab6C．16ab52D．16ab528 42222a222.x233236556 3623m242363三、计算题8． ( 2a b 3c)39． ( 2 x y 5a )210．y 8x(2 y)11． (2a b)(4a b)2四、解答题12．先化简，再求值：（1）4x 2 1 2 4 x4x 2 4 x 1x, 1其中 x4（2）a 4 a 2b 2(a b)2a (ab ) b 2.b 2 a ,其中1 a , 2b ＝－1．综合、运用、诊断一、填空题13． (ab 1) ( ) ( ) ______． bab14．(3ab3 c 2 )2 (3b 2 ac ) 3______．二、选择题15．下列各式中正确的是（ ）A ． ( 3x 2 y ) 33x2 y 3B ． ( 2a a b)4a a 2 b 2C ． (x y x 2y ) 2 x y x 2y2 2D ． (mn m n) 3(m n ) (m n)3b16． ( ) （n 为正整数）的值是（）A ．22na 2nB ．4na 2nC ．2n 1a 2nD ．4na 2n17．下列分式运算结果正确的是（）92 232 2 2 32 256 7a 2 6 2232 2na b bbbA ．m 4 n 4m . n 5 m 3沈进老师培优系列资料a c ad B ． .b dbcC ． (2a 4a )a b a 2 b 2D ． (3x 3x )4 y4 y 3三、计算下列各题 aa 18． ( ) ( ) bb2 (2ab )219．b 3n 1c a 2n 13.a 2nb 3n 220．(a b ab) 2 .(a 1 )3b a a 2 b2四、化简求值21．若 m 等于它的倒数，求m 24m4m 4(m2mm 2) .(m2) 的值．拓展、探究、思考22．已知| 3a b 1| (5a5 2b ) 2 0.3a ab求 ( ) .( ba 3b 2 ) 3(6ba .) 2 的值．测试 5 分式的加减学习要求1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法．课堂学习检测一、填空题10n22 3 32 2 2 22 3 3221．分式2a2b,3b c9a c2的最简公分母是______．2．分式x 14x 1,,2x3x4x的最简公分母是______．3．分式m n,a(m 2)b(m 2)的最简公分母是______．4．分式x y,a(x y)b(y x)的最简公分母是______．5．同分母的分式相加减的法则是______．6．异分母的分式相加减，先______，变为______的分式，再加减．二、选择题7．已知x0,111x2x3x（）A．11B．2x6xC．56xD．116x8．x a a yx y y x等于（）A．x yx y B．x－y C．x－xy＋y D．x＋y b c a9．的计算结果是（）a b cA．b c aabc B．b2c ac2abca2bC．b2c acabca2bD．b c aabc10．3a 1a 3等于（)A．a 2a 61a B．a24a 2a 1C．a 4a 4aD．a11a11．x n 1x n 1x n 11x2等于（）A．x1n 1B．x1n 1C．1xD．1三、解答题12．通分：（1）b a1,,2a3b24a b（2）y2,a(x 2)b(x 2)11 2233333332222 2222222（3）a 1, 2( a 1) a 2 a（4）1 1 2, ,a b a 2 b 2 a 2 ab四、计算下列各题13．x2 x 4 xx 214．x 24 x 2 x 6 2x 2 2 x5 x 3 x 3 3 x15．7 3 122x 4 x 2 x 2 416．x2yxxy y 2 xy综合、运用、诊断一、填空题17．计算a 12 2 2 9 3 a的结果是____________．18. 2 3 53a 2 4b 6a b____________． 二、选择题19．下列计算结果正确的是（ ）A ． 1 1 4x 2 x 2 ( x 2)( x 2)B ．x211 y2 y 2x 2( x22 x 2 y 2 )( y 2x2)C ．3x 2 12 xy 3x6 x 2 y 2 y2D ．x 152 3x 29 3 x x 320．下列各式中错误的是（）A ．c d c d c d c d2da a aa5 2aB ． 12a 5 2a 5C ．x y1x y y xD ． x ( x 1) 2 1 (1 x ) 21x 1三、计算下列各题122 22x．．21．a 2b b2aa b b a a b22．y2x z y zx y z y x z y x z23．232a 152a 332a4a2924．112x1x1x1x24x1x3425．先化简(x 1x1),x2x x22x 1x再选择一个恰当的x值代入并求值．拓展、探究、思考26.已知A Bx 5x 2x25x 43x 10,试求实数A、B的值．27．阅读并计算：例：计算：1x(x 1)1(x 1)(x 2)1(x 2)(x 3)原式111111 x x 1x 1x 2x 2x 3 113x x 3x(x 3)仿照上例计算：2x(x 2)2(x 2)(x 4)2(x 4)(x 6)测试6分式的混合运算学习要求1．掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律．2．能正确进行分式的四则运算．课堂学习检测一、填空题131．化简9a b3a 2b 6ab 2______．2．化简6ab 2a 4a2＝______．3．计算 (11m 1 m 1) (m1) 的结果是______．x y 4． (1 ) 的结果是______． y x y 二、选择题5．x y x yx y x 2 y 2的结果是（ ）A ．x 2 y ( x y )2 2B ．x 2 y ( x y )2 2C ．( x y ) 2 ( x y ) x 2 y 2 x 2 y 226． (a b b ) 2b a 2 b 2的结果是（ ）A ．1 bB ．a b ab b2C ．a b a bD ．1 b (a b )7．(a ba b) 2 (a b a b ) 2a b a b的结果是（ ）A ．a b a bB ．a b a bC ． ( a b a b)2D ．1三、计算题8． 1 xx1 1 x9． 2 12m 3 9 m210．x24 x 211． (a1 a a 1 )1 aa 2a 112．(mmnmn ) (m ) m n m n13． (a a 11) (13a 1a 2)综合、运用、诊断一、填空题14． a b a b a b a b______． 15． 12 2 2______． m 2 9 3 m m 3二、选择题 16．（1－m ）÷（1－m 2）×（m ＋1）的结果是（）142 22 22D ．2 2 2A ．1 (1 m )2B ．1 (1 m )2C ．－1D ．117．下列各分式运算结果正确的是（）．①5a 3b 2 10c 5 25c .2c a 3b 4b 24②b 2c 3 a 2 bca 3 ba3111③ ( x 3). x 1 x 3 x 1④xy .x 1 x 11x 1 xyA ．①③B ．②④C ．①②D ．③④18．1 3a 3a 2b 2b 2b 2a等于（ ）A ．a baB ．b a bC ．3a 2b 3aD ．2b 3a 2b19．实数 a 、b 满足 ab ＝1，设M11, Na 1b 1 ab1 a 1 b, 则 M 、N 的大小关系为（）A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定三、解答下列各题20． ( yy 22 yy 21 y 4 y 4)y 4 y1 x 4 x x2 21． (1 ) (x 1 x x 1)四、化简求值22． [ 2 2 x y x y (x y )] 3x x y 3xx, 其中 5x ＋3y ＝0．拓展、探究、思考23．甲、乙两名采购员去同一家饲料公司购买两次饲料，两次购买时饲料的价格各不相同．两 位采购员的购货方式也各不相同，甲每次购买 1000 千克，乙每次只购买 800 元的饲料， 设两次购买的饲料单价分别为 m 元/千克和 n 元／千克（m ，n 为正整数，且 m ≠n ）， 那么甲、乙两名采购员两次购得饲料的平均价格分别是多少？谁的购买方法更合算？测试 7 整数指数幂学习要求1．掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 2．掌握科学记数法．课堂学习检测一、填空题152 22 2221．3 ＝______，1( )53______．2．（－0.02） ＝______， ( 12005 )______．3．（a2）－ 3＝______（a ≠0），( 3 )2______， ( 32 ) 1______．4．用科学记数法表示：1cm ＝______m ，2.7mL ＝______L ． 5．一种细菌的半径为 0.0004m ，用科学记数法表示为______m . 6．用小数表示下列各数：10 ＝______，2.5×10 ＝______．7．（3a b －2 ）3 ＝______，（－a b ） 2＝______． 8．纳米是表示微小距离的单位，1 米＝10 用科学记数法表示成______m . 二、选择题纳米，已知某种植物花粉的直径为 35000 纳米，1 9．计算 ( ) 7 3的结果是（ ）A ．1 1B ．343 21C ．－343D ．－2110．下列各数，属于用科学记数法表示的是（ ）A ．20.7×10 －2 B ．0.35×10 － － －11．近似数 0.33 万表示为（ ）A ．3.3×10 2B ．3.3000×10C ．3.3×10D ．0.33×10 412．下列各式中正确的有（ ）1① ( ) 9; ②2 3＝－4；③a ＝1；④（－1） － ＝1；⑤（－3） ＝36．A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．1 个 三、解答题13．用科学记数法表示：（1）0.00016 （2）－0.0000312 （3）1000.5 （4）0.00003 万14．计算：（1）9 ÷9（2）101（3） ( )10515．地球的质量为 6×10 亿吨，太阳的质量为 1.98×10 亿吨，则地球的质量是太阳质量的多少倍（用负指数幂表示）？综合、运用、诊断一、填空题2 － 0 0 53 － － 2 2 － － 91 35C ．2004×10D ．3.14×10－ 3 3 22 0 － 1 2883 －2131916沈进老师培优系列资料16．1( )2 1(π)0______，－1＋（3.14）＋2＝______．17．1( )1(21)0|3|2______．18．计算（a）（ab）并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______．19．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．20．近似数－1.25×10有效数字的个数有______位．二、选择题21．( 31)0(0.125)200982009的结果是（）A．3B．32C．2D．0122．将( )61,(2)0,(3)2这三个数按从小到大的顺序排列为（）A．1(2)0()61(3)2B．1( )61(2)0(3)2 C．1(3)2(2)0()61D．1(2)0(3)2()61三、解答题23．计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式：（1）（a b）（a b）（2）（x y z）（3）（5m n）（－mn）24．用小数表示下列各数：（1）8.5×10－－－测试8分式方程的解法学习要求了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．课堂学习检测一、填空题1．分式方程______．1271x x 1x21若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是2．方程1x 11的解是______．1701－3222－－3－2322325232－－－－－－23322－－－－385（2）2.25×10（3）9.03×103．方程沈进老师培优系列资料x x 2的解是______．x 5x 64．x＝2是否为方程1x 2x 1x 23的解？答：______．5．若分式方程3x a2x 772x1的解是x＝0，则a＝______．二、选择题6．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（）A．1xx 1B．x3x214 x3x2C．345D．x516x 67．下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．x 3x 5435B．x a x ba b b aC．(x 1)x121x n xD．n m n8．将分式方程2y 5143y2y 6242y化为整式方程时，方程两边应同乘（）．A．（2y－6）（4－2y）C．4（y－2）（y－3）B．2（y－3）D．2（y－3）（y－2）9．方程x 1x 3的解是（）x 2x 4A．x＝－4B．x 12C．x＝3D．x＝110．方程14x2的解是（）x 3x 3A．0B．2C．3D．无解11．分式方程326x 2x x(x 2)的解是（）A．0B．2C．0或2D．无解三、解分式方程12．7xx 22013．56x2x 314．115xx 4x 415．7x x1x x6x 1综合、运用、诊断18222沈进老师培优系列资料一、填空题3216．当x＝______时，分式与的值互为相反数．x6x17．下列每小题中的两个方程的解是否相同？（1）x 23x2x 2与x＋2＝3（）（2）x 24x 2x 2与x＋2＝4（）（3）x 2113x1x 1与x＋2＝3（）18．当m＝______时，方程213的解为1．m x19．已知分式方程二、选择题x a2x4x 4有增根，则a的值为______．20．若分式方程2(x a)8的解为a(x 1)51x ,5则a等于（）A．56B．5C．56D．－521．已知a 111,b 1,用a表示c的代数式为（）b cA．c11bB．a11cC．c1aaD．ca 1a22．若关于x的方程A．3C．1m 1xx 1x 1有增根，则m的值是（）B．2D．－1111 23．将公式R R R12（）（R，R，R均不为零，且R≠R）变形成求R的式子，正确的是1 221RR A．R 212B．R1RR2R R2C．R1RR RR12R2D．R1RR2R R2三、解分式方程x 4x 24．1x 12xx 125．14xx 4x2x 2x 226．x1x2(x2)(x 3)2x27．58x 2x 13x 1 R R222x 219沈进老师培优系列资料28．若关于x的分式方程m 1x 1拓展、探究、思考2的解为正数，求m的取值范围．29．（1）如下表，方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程．猜想方程1的解，并将它们的解填在表中的空白处．序号1方程611x x 2方程的解（x<x )12x＝______，x＝______122 3…811x x 31011x x 4……x＝41x=51，，……x=62x=82a1（2）若方程1(a b)的解是x＝6，x＝10，猜想a、b的值，该方程是不是x x b（1）中所给出的一列方程中的一个？如果是，是第几个？（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解．测试9列分式方程解应用题学习要求会列出分式方程解简单的应用问题．课堂学习检测一、选择题1．某班学生军训打靶，有m人各中靶a环，n 人各中靶b环，那么所有中靶学生的平均环数是（）A．a bm nB．am bnm nC．1a b( )2m n1D．(a m bn)22．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程正确的是（）480480480480A．4B．20x x 20x x 412C．沈进老师培优系列资料4804804804804D．20 x 20x x 4x二、列方程解应用题3．一辆汽车先以一定速度行驶120千米，后因临时有任务，每小时加5千米，又行驶135千米，结果行驶这两段路程所用时间相等，求汽车先后行驶的速度．4．一个车间加工720个零件，预计每天做48个，就能如期完成，现在要提前5天完成，每天应该做多少个？5．甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个？6．某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨煤，已知现在采33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同．问现在平均每天采煤多少吨？综合、运用、诊断一、填空题7．仓库贮存水果a吨，原计划每天供应市场m吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．8．某人上山，下山的路程都是s，上山速度v，下山速度v，则这个人上山和下山的平均12速度是______．119．若一个分数的分子、分母同时加1，得;若分子、分母同时减2，则得,这个分数是______．23二、列方程解应用题10．某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为了使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12％，问原计划完成这项工程用多少月？11．某一工程招标时，接到甲、乙两工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元．目前有三种施工方案：方案一：甲队单独完成此项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成此项工程比规定日期多5天；方案三：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成．哪一种方案既能如期完工又最节省工程款？第十九章四边形测试 1平行四边形的性质(一)学习要求1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知 识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号 □“”表示，平行四边形 ABCD 记作__________。

作弊？三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级漫画释义3全等三角形的 经典模型（一）DCBA45°45°CBA等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.图1 图2图3 图4思路导航知识互联网题型一：等腰直角三角形模型ABCOMN AB COMN【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ，∵在△ANO 和△CMO 中，AN CM BAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°，典题精练A BCOMNFE DCB AN M 12A BCDEF3∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠=∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =，∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=． ∴105MDE MAC ∠=∠=， ∴EDM △≌CAM △．∴,EM MC DME AMC =∠=∠．又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，∴EMC △是等腰直角三角形．【例3】 已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ． 求证：ADB CDF ∠=∠． 【解析】 证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°． ∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠． ∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=° ∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．在ABM △和CAF △中， 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =． 在ADM △和CDF △中，M EDCBA MEDCBAM12A BCDEF 3P C B A PCBAD AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．在ACM △和BAD △中， 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△． ∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =． 在CMF △和CDF △中， 45=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．【例4】 如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足 PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．【解析】 补全正方形ACBD ，连接DP ，易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ，∴15BCP ∠=︒．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。