第4课时 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。

2010-2015年高考真题汇编 专题4 三角函数、解三角形考点4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1.（2015年湖南9，5分）将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.考点：三角函数的图象和性质.2.（2015年全国卷18，5分）函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 （A ）13,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭, （B ）132,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,2 （C ）13,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,（D ）132,2,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图象可得1512,2.244T T πωπω=-⇒==⇒=代入点1,04⎛⎫⎪⎝⎭可得4πϕ=，()cos().4f x x ππ∴=+f(x)的单调减区间为22,4322,441322,.44k x k k x k k x k k ππππππππππ≤+≤+-≤≤+-≤≤+∈Z 3.（2015年山东3，5分）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】124sin )],12(4sin[)34sin(πππ的图象向右平移只需要吧x y x x y =-=-=个单位即可。

第四节函数y＝Asinωx＋φ的图像及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ表所示x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A0先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图3­4­1，则ω＝( )【导学号：57962155】图3­4­1A ．5B ．4C ．3D ．2B [由图像可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.] 4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )【导学号：57962156】A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数的解析式为：y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.又因它为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3分(2)先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像.12分[规律方法] 1.变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位． 2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )【导学号：57962157】A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像图3­4­2如图3­4­2所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A. (2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (·南昌二模)如图3­4­3是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像，则f (π)＝( )【导学号：57962158】图3­4­3A.22 B ．－22 C.12D ．－12A [由图像可知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－π2＝4π，则ω＝2πT ＝12，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1代入函数解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1，结合0＜φ＜π，得φ＝π4，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，所以函数f (π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝cos π4＝22，故选A.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(·天津高考)已知函数f (x )＝4t an x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . 2分f (x )＝4t an x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 8分 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【导学号：57962159】[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 3分因为y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，所以周期为π.又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分 (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分三角函数的简单应用数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？【导学号：57962160】[解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12. 9分 又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分 [规律方法] 1.三角函数在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (·陕西高考)如图3­4­4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3­4­4A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.][思想与方法]1．由图像确定函数解析式由图像确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图像的最值点代入；若选零点代入，应根据图像升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图像上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图像得出y ＝A sin t 的值域．第11页共11页。

第四节函数y＝A sin（ωx＋φ）的图像及三角函数模型的简单应用错误!１．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin（ωx＋φ）（A>0，ω>0），x∈[0，＋∞）表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝错误!f＝错误!＝错误!ωx＋φφ２．用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x—错误!—错误!＋错误!错误!错误!—错误!错误!ωx＋φ0错误!π错误!２πy＝A sin（ωx＋φ）0A0—A0１．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；２．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；３．由y＝A sin ωx的图像得到y＝A sin（ωx＋φ）的图像时，需平移的单位数应为错误!，而不是|φ|. [试一试]１．y＝２sin错误!的振幅、频率和初相分别为（）Ａ．２，错误!，—错误!Ｂ．２，错误!，—错误!Ｃ．２，错误!，—错误!Ｄ．２，错误!，—错误!答案：A２．把y＝sin错误!x的图像上点的横坐标变为原来的２倍得到y＝sin ωx的图像，则ω的值为（）Ａ．１Ｂ．４Ｃ．错误!Ｄ．２答案：C１．由函数y＝sin x的图像变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图像的两种方法２．学会列表技巧表中“五点”相邻两点的横向距离均为错误!，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．[练一练]１．要得到函数y＝cos（２x＋１）的图像，只要将函数y＝cos ２x的图像（）Ａ．向左平移１个单位Ｂ．向右平移１个单位Ｃ．向左平移错误!个单位Ｄ．向右平移错误!个单位解析：选C ∵y＝cos（２x＋１）＝cos ２错误!，∴只要将函数y＝cos ２x的图像向左平移错误!个单位即可．２．用五点法作函数y＝sin错误!在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：错误!错误!错误!错误!错误!错误!考点一求函数y＝A sin（ωx＋φ）的解析式１．（２0１３·四川高考）函数f（x）＝２sin（ωx＋φ）错误!的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是（）Ａ．２，—错误!Ｂ．２，—错误!Ｃ．４，—错误!Ｄ．４，错误!解析：选A 由图知最小正周期T＝２错误!＝π，∴ω＝２，将图像最高点的坐标错误!代入f（x）＝２sin（２x＋φ），得sin错误!＝１，φ＝—错误!，选Ａ．２．（２0１４·东北三校联考）已知函数y＝A sin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）的最大值为４，最小值为0，最小正周期为错误!，直线x＝错误!是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（）Ａ．y＝４sin错误!Ｂ．y＝２sin错误!＋２C．y＝２sin错误!＋２Ｄ．y＝２sin错误!＋２解析：选D 由函数y＝A sin（ωx＋φ）＋k的最大值为４，最小值为0，可知k＝２，A＝２．由函数的最小正周期为错误!，可知错误!＝错误!，得ω＝４．由直线x＝错误!是其图像的一条对称轴，可知４×错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，从而φ＝kπ—错误!π，k∈Z，故满足题意的是y＝２sin错误!＋２．[类题通法]确定y＝A sin（ωx＋φ）＋b（A>0，ω>0）的步骤和方法（１）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝错误!，b＝错误!；（２）求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝错误!；（３）求φ，常用的方法有：１代入法：把图像上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图像与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．２五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”（即图像上升时与x轴的交点）时ωx＋φ＝0；“第二点”（即图像的“峰点”）时ωx ＋φ＝错误!；“第三点”（即图像下降时与x轴的交点）时ωx＋φ＝π；“第四点”（即图像的“谷点”）时ωx＋φ＝错误!；“第五点”时ωx＋φ＝２π.考点二函数y＝A sin（ωx＋φ）的图像[典例]（１）画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（２）将函数y＝sin x的图像作怎样的变换可得到f（x）的图像？[解] （１）列表取值：x错误!错误!π错误!π错误!π错误!π错误!x—错误!0错误!π错误!π２πf（x）0３0—３0描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．（２）先把y＝sin x的图像向右平移错误!个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的２倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的３倍，得到f（x）的图像．本例第（２）问变为：由函数y＝sin x的图像作怎样的变换可得到y＝２sin错误!的图像？解：把y＝sin x的图像上所有的点向左平移错误!个单位，得到y＝sin错误!的图像，再把y＝sin错误!的图像上的点的横坐标缩短到原来的错误!倍（纵坐标不变），得到y＝sin错误!的图像，最后把y＝sin错误!上所有点的纵坐标伸长到原来的２倍（横坐标不变），即可得到y＝２sin错误!的图像．[类题通法]函数y＝A sin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图像的两种作法（１）五点法：用“五点法”作y＝A sin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，错误!，π，错误!π，２π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．（２）图像变换法：由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝A sin（ωx＋φ）的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．提醒：五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同．[针对训练]１．（２0１３·全国卷Ⅱ）函数y＝cos（２x＋φ）（—π≤φ<π）的图像向右平移错误!个单位后，与函数y＝sin错误!的图像重合，则φ＝________.解析：y＝cos（２x＋φ）的图像向右平移错误!个单位得到y＝cos错误!的图像，整理得y＝cos（２x—π＋φ）．∵其图像与y＝sin错误!的图像重合，∴φ—π＝错误!—错误!＋２kπ，∴φ＝错误!＋π—错误!＋２kπ.即φ＝错误!＋２kπ.又∵—π≤φ<π，∴φ＝错误!.答案：错误!２．（２0１４·合肥模拟）设函数f（x）＝cos（ωx＋φ）错误!的最小正周期为π，且f错误!＝错误!.（１）求ω和φ的值；（２）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图像．解：（１）最小正周期T＝错误!＝π，∴ω＝２．∵f错误!＝cos错误!＝cos错误!＝—sin φ＝错误!，∴sin φ＝—错误!.∵—错误!<φ<0，∴φ＝—错误!.（２）由（１）得f（x）＝cos错误!，列表：x0错误!错误!π错误!π错误!ππ２x—错误!—错误!0错误!π错误!π错误!πf（x）错误!１0—１0错误!图像如图所示．考点三函数y＝A sin（ωx＋φ）的图像与性质的综合应用M，N是它与x轴的两个交点，D，C分别为它的最高点和最低点，点F（0,１）是线段MD的中点，MD·MN ＝错误!.（１）求函数f（x）的解析式；（２）求函数f（x）的单调递增区间．[解] （１）由已知F（0,１）是线段MD的中点，可知A＝２，∵MD·MN＝错误!·错误!＝错误!（T为f（x）的最小正周期），∴T＝错误!，ω＝３，∴f（x）＝２sin（３x＋φ），设D点的坐标为（x D,２），则由已知得点M的坐标为（—x D，0），∴x D—（—x D）＝错误!T＝错误!×错误!，则x D＝错误!，则点M的坐标为错误!，∴sin错误!＝0．∵0<φ<错误!，∴φ＝错误!，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝２sin错误!.（２）由２kπ—错误!≤３x＋错误!≤２kπ＋错误!（k∈Z），得２kπ—错误!≤３x≤２kπ＋错误!（k∈Z），得错误!—错误!≤x≤错误!＋错误!（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间为错误!（k∈Z）．[类题通法]函数y＝A sin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的性质（１）奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝A sin（ωx＋φ）为奇函数；φ＝kπ＋错误!（k∈Z）时，函数y＝A sin（ωx＋φ）为偶函数．（２）周期性：y＝A sin（ωx＋φ）存在周期性，其最小周期为T＝错误!.（３）单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由—错误!＋２kπ≤ωx＋φ≤错误!＋２kπ，k∈Z得单调增区间；由错误!＋２kπ≤ωx＋φ≤错误!＋２kπ，k∈Z得单调减区间．（４）对称性：利用y＝sin x的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）求解，令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求得x.利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋错误!（k∈Z）求解，令ωx＋φ＝kπ＋错误!（k∈Z）得其对称轴．[针对训练]（２0１３·安徽江南十校联考）将函数y＝sin x的图像向右平移错误!个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的４倍．这样得到函数f（x）的图像．若g（x）＝f（x）cos x＋错误!.（１）将函数g（x）化成g（x）＝A sin（ωx＋φ）＋B其中A，ω>0，φ∈错误!的形式；（２）若函数g（x）在区间错误!上的最大值为２，试求θ0的最小值．解：（１）由题意可得f（x）＝４sin错误!，∴g（x）＝４sin错误!cos x＋错误!＝４错误!cos x＋错误!＝２（sin x cos x—错误!cos２x）＋错误!＝２sin错误!.（２）∵x∈错误!，∴２x—错误!∈错误!，要使函数g（x）在错误!上的最大值为２，当且仅当２θ0—错误!≥错误!，解得θ0≥错误!π.故θ0的最小值为错误!π.错误![课堂练通考点]１．（２0１３·浙江高考）函数f（x）＝sin x cos x＋错误!cos ２x的最小正周期和振幅分别是（）Ａ．π，１Ｂ．π，２Ｃ．２π，１Ｄ．２π，２解析：选A 由f（x）＝sin x cos x＋错误!cos ２x＝错误!sin ２x＋错误!cos ２x＝sin错误!，得最小正周期为π，振幅为１．２．（２0１３·山东高考）将函数y＝sin（２x＋φ）的图像沿x轴向左平移错误!个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．0 Ｄ．—错误!解析：选B 把函数y＝sin（２x＋φ）的图像向左平移错误!个单位后，得到的图像的解析式是y＝sin 错误!，该函数是偶函数的充要条件是错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为错误!.３．（２0１４·渭南一模）函数y＝sin ωx（ω>0）的部分图像如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．π解析：选A 由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠C＝90°，∴错误!|AB|＝y max—y min＝１—（—１）＝２，即|AB|＝４，而T＝|AB|＝错误!＝４，解得ω＝错误!，故选Ａ．４．函数y＝A sin（ωx＋φ）（A、ω、φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[—π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.解析：由函数y＝A sin（ωx＋φ）的图像可知：错误!＝错误!—错误!＝错误!，则T＝错误!π.∵T＝错误!＝错误!π，∴ω＝３．答案：３５．（２0１３·安徽高考）设函数f（x）＝sin x＋sin错误!.（１）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；（２）不画图，说明函数y＝f（x）的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到．解：（１）因为f（x）＝sin x＋错误!sin x＋错误!cos x＝错误!sin x＋错误!cos x＝错误!sin错误!，所以当x＋错误!＝２kπ—错误!，即x＝２kπ—错误!（k∈Z）时，f（x）取最小值—错误!.此时x的取值集合为xx＝２kπ—错误!，k∈Z.（２）先将y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的错误!倍（横坐标不变），得y＝错误!sin x 的图像；再将y＝错误!sin x的图像上所有的点向左平移错误!个单位，得y＝f（x）的图像．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷１．（２0１４·滨州一模）把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移错误!个单位，得到的函数图像的解析式是（）Ａ．y＝cos ２xＢ．y＝—sin ２xＣ．y＝sin错误!Ｄ．y＝sin错误!解析：选A 由y＝sin x图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y＝sin ２x，再向左平移错误!个单位得y＝sin ２错误!，即y＝cos ２x.２．（２0１３·全国大纲卷）若函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0）的部分图像如图，则ω＝（）Ａ．５Ｂ．４Ｃ．３Ｄ．２解析：选B 由函数的图像可得错误!＝错误!·错误!＝错误!—x0＝错误!，解得ω＝４．３．（２0１４·威海高三期末）函数f（x）＝sin（２x＋φ）错误!的图像向左平移错误!个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数f（x）在错误!上的最小值为（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选A 由函数f（x）的图像向左平移错误!个单位得f（x）＝sin错误!的图像，因为是奇函数，所以φ＋错误!＝kπ，k∈Z，又因为|φ|<错误!，所以φ＝—错误!，所以f（x）＝sin错误!.又x∈错误!，所以２x—错误!∈错误!，所以当x＝0时，f（x）取得最小值为—错误!.４．（２0１３·福建高考）将函数f（x）＝sin （２x＋θ）—错误!<θ<错误!的图像向右平移φ（φ>0）个单位长度后得到函数g（x）的图像，若f（x），g（x）的图像都经过点P错误!，则φ的值可以是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 因为函数f（x）的图像过点P，所以θ＝错误!，所以f（x）＝sin错误!；又函数f（x）的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g（x）＝sin错误!，所以sin错误!＝错误!，所以φ可以为错误!.５．函数f（x）＝A sin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图像如图所示，则f（0）的值是________．解析：由图可知：A＝错误!，错误!＝错误!—错误!＝错误!，所以T＝π，ω＝错误!＝２，又函数图像经过点错误!，所以２×错误!＋φ＝π，则φ＝错误!，故函数的解析式为f（x）＝错误!sin错误!，所以f（0）＝错误!sin错误!＝错误!.答案：错误!6．某城市一年中１２个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos错误!（x＝１,２,３，…，１２）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为２8℃，１２月份的月平均气温最低，为１8℃，则１0月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a＝错误!＝２３，A＝错误!＝５，∴y＝２３＋５cos错误!，当x＝１0时，y＝２３＋５cos错误!＝２0．５．答案：２0．５7．已知函数f（x）＝错误!sin错误!＋１．（１）求它的振幅、最小正周期、初相；（２）画出函数y＝f（x）在错误!上的图像．解：（１）振幅为错误!，最小正周期T＝π，初相为—错误!.（２）图像如图所示．8．已知函数f（x）＝２错误!sin错误!cos错误!—sin（x＋π）．（１）求f（x）的最小正周期；（２）若将f（x）的图像向右平移错误!个单位，得到函数g（x）的图像，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：（１）因为f（x）＝错误!sin错误!＋sin x＝错误!cos x＋sin x＝２错误!＝２sin错误!，所以f（x）的最小正周期为２π.（２）∵将f（x）的图像向右平移错误!个单位，得到函数g（x）的图像，∴g（x）＝f错误!＝２sin错误!＝２sin错误!.∵x∈[0，π]，∴x＋错误!∈错误!，∴当x＋错误!＝错误!，即x＝错误!时，sin错误!＝１，g（x）取得最大值２．当x＋错误!＝错误!，即x＝π时，sin错误!＝—错误!，g（x）取得最小值—１．第Ⅱ卷：提能增分卷１．（２0１４·长春调研）函数f（x）＝A sin（ωx＋φ）错误!的部分图像如图所示．（１）求函数y＝f（x）的解析式；（２）当x∈错误!时，求f（x）的取值范围．解：（１）由题中图像得A＝１，错误!＝错误!—错误!＝错误!，所以T＝２π，则ω＝１．将点错误!代入得sin错误!＝１，而—错误!<φ<错误!，所以φ＝错误!，因此函数f（x）＝sin错误!.（２）由于—π≤x≤—错误!，—错误!≤x＋错误!≤错误!，所以—１≤sin错误!≤错误!，所以f（x）的取值范围是错误!.２．已知f（x）＝A sin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的最小正周期为２，且当x＝错误!时，f（x）的最大值为２．（１）求f（x）的解析式．（２）在闭区间错误!上是否存在f（x）的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不正在，请说明理由．解：（１）由T＝２知错误!＝２得ω＝π.又因为当x＝错误!时f（x）max＝２，知A＝２．且错误!π＋φ＝２kπ＋错误!（k∈Z），故φ＝２kπ＋错误!（k∈Z）．∴f（x）＝２sin错误!＝２sin错误!，故f（x）＝２sin错误!.（２）存在．令πx＋错误!＝kπ＋错误!（k∈Z），得x＝k＋错误!（k∈Z）．由错误!≤k＋错误!≤错误!.得错误!≤k≤错误!，又k∈Z，知k＝５．故在错误!上存在f（x）的对称轴，其方程为x＝错误!.３．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：１每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；２入住客栈的游客人数在２月份最少，在8月份最多，相差约４00人；３２月份入住客栈的游客约为１00人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（１）试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；（２）请问哪几个月份要准备４00份以上的食物？解：（１）设该函数为f（x）＝A sin（ωx＋φ）＋B（A>0，ω>0，0<|φ|<π），根据条件１，可知这个函数的周期是１２；由２可知，f（２）最小，f（8）最大，且f（8）—f（２）＝４00，故该函数的振幅为２00；由３可知，f（x）在[２,8]上单调递增，且f（２）＝１00，所以f（8）＝５00．根据上述分析可得，错误!＝１２，故ω＝错误!，且错误!解得错误!根据分析可知，当x＝２时f（x）最小，当x＝8时f（x）最大，故sin错误!＝—１，且sin错误!＝１．又因为0<|φ|<π，故φ＝—错误!.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f（x）＝２00sin错误!＋３00．（２）由条件可知，２00sin错误!＋３00≥４00，化简，得sin错误!≥错误!⇒２kπ＋错误!≤错误!x—错误!≤２kπ＋错误!，k∈Z，解得１２k＋6≤x≤１２k＋１0，k∈Z.因为x∈N＋，且１≤x≤１２，故x＝6,7,8,9,１0．即只有6,7,8,9,１0五个月份要准备４00份以上的食物．。