梅州市高一上学期期末考试数学试题【解析】

广东省梅州市兴宁龙田中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则A、10B、4C、D、2参考答案：D略2. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．16πB．16 C．D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是圆锥，求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面直径为4，高为4的圆锥，它的体积为V=?π?4=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体是什么图形，从而解得结果，是基础题．3. 若，则等于（）A． B． C． D．参考答案：C 解析：，4. （5分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）A． 1 B． 4 C． 3 D．不确定参考答案：C考点：三点共线．专题：计算题．分析：三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，由AB的斜率和AC的斜率相等，求出实数a的值．解答：∵三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，∴AB的斜率和AC的斜率相等，即=，∴a=3，故选 C．点评：本题考查三点共线的性质，当三点共线时，任意两点连线的斜率都相等．5. 给定映射，则在映射下，的原象是（）.A. B. C.D.参考答案：B略6. 若正数满足，则的最小值是（）（A）（B）（C）5 （D）6参考答案：C7. 设，是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）（2）参考答案：（1）;(2) .【分析】由韦达定理得x1+x2＝3，x1x2，（1）由通分代入韦达定理能求出结果．（2）由（x1+x2）（），，能求出结果．【详解】由韦达定理得x1+x2＝3，x1x2，（1）．（2）（x1+x2）（）＝3[（x1+x2）2﹣3x1x2）]＝3（9）．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．8. 若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则c等于()A．－a＋3b B．a－3bC．3a－b D．－3a＋b参考答案：B略9. （5分）正六棱锥底面边长为a，体积为a3，则侧棱与底面所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°参考答案：B考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据正六棱锥底面边长为a，体积为a3，确定侧棱及高的长，即可求侧棱与底面所成的角．解答：∵正六棱锥的底面边长为a，∴S底面积=6?=∵体积为a3，∴棱锥的高h=a∴侧棱长为a∴侧棱与底面所成的角为45°故选B．点评：本题考查棱锥的体积，其中根据已知条件计算出棱锥的底面积和高是解答本题的关键．10. 函数恒过定点（）....参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同，若t＝7，则在第8组中抽取的号码应是____参考答案：75略12. 幂函数的图象过点，则的解析式是_____________。

2019-2020学年广东省梅州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{}24U x Z x =∈-<<，{}1,0A =-，{}0,1,2B =,则()⋂=U C A B （ ） A ．{}0 B ．{}2,1--C ．{}1,2D ．()0,1,2【答案】C【解析】先确定集合U ,再利用交集与补集运算即可 【详解】{}}{24=1,0,1,2,3U x Z x =∈-<<-，则()⋂=U C A B }{1,2,3⋂{}0,1,2={}1,2故选:C 【点睛】本题考查集合的运算，准确确定集合U 是关键，是基础题 2．sin600︒=( )A ．B ．C ．12D ．12-【答案】B【解析】利用诱导公式将600sin o 化为60sin -o ，结合特殊角的三角函数可得结果. 【详解】因为()()600sin 720120sin 12012060sin sin sin oo oooo =-=-=-=-=-所以600sin o =- B. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A ．y 1x=-B ．y ＝3x ﹣3﹣xC ．y ＝tanxD ．y =【答案】B【解析】对选项逐一分析函数的定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，在定义域上没有单调性. 对于B 选项，13333xxx x y -=-=-在R 上是增函数又是奇函数，符合题意. 对于C 选项，函数的定义域为,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，在定义域上没有单调性. 对于D 选项，函数的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数. 综上所述，符合题意的是B 选项. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.4．设x ∈R ，向量a =r （x ，1），b =r（1，2），若a r ⊥b r ，则a b +r r ＝（ ）A ．BC ．D ．【答案】B【解析】利用向量垂直的坐标表示列方程，求得x 的值，由此求得a b +r r【详解】由于a r ⊥b r，所以1120x ⨯+⨯=，解得2x =-，所以()1,3a b +=-r r ，所以a b +==r r故选：B 【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量加法、模的坐标运算，属于基础题. 5．下列各式中成立的是（ ） A ．log 76＜log 67 B ．log 0.44＜log 0.46 C ．1.013.4＞1.013.5 D ．3.50.3＜3.40.3【答案】A【解析】根据对数函数、指数函数和幂函数的性质，判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据对数函数的性质可知7766log 6log 7log 6log 7<=<，故A 选项正确.对于B 选项，由于0.4log y x =在()0,∞+上递减，所以0.40.4log 4log 6>，故B 选项错误.对于C 选项，由于 1.01x y =在R 上递增，所以 3.4 3.51.01 1.01<，故C 选项错误. 对于D 选项，由于0.3y x =在R 上递增，所以0.30.33.5 3.4>，故D 选项错误.故选：A 【点睛】本小题主要考查根据对数函数、指数函数、幂函数的性质比较大小，属于基础题. 6．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π）【答案】C【解析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7．函数y ＝ln （1﹣x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项. 【详解】由10x ->，解得1x <，也即函数的定义域为(),1-∞，由此排除A,B 选项.当12x =时，1ln02y =<，由此排除D 选项.所以正确的为C 选项. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题. 8．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系为（ ） A ．sin 1＞cos 1＞tan 1 B ．cos 1＞sin 1＞tanl C ．tan 1＞sin 1＞cos 1 D ．sinl ＞tanl ＞cosl【答案】C【解析】根据1的大小，判断出sin1,cos1,tan1的大小关系. 【详解】 由于143ππ<<，所以tan11sin1cos10>>>>，所以C 选项正确.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数值比较大小，属于基础题.9．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2- B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 【答案】D【解析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．10．若函数y ＝f （x ）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，得到函数y 12=sinx 的图象；则函数y ＝f （x ）的解析式是（ ）A ．y 12=sin （122x π+）B ．y 12=sin （124x π-）C ．y 12=sin （2x 4π+）D ．y 12=sin （2x 2π-）【答案】D【解析】将图像变换反过来，由1sin 2y x =变换为()f x ，由此确定正确选项. 【详解】依题意，由1sin 2y x =向右移2π个单位，得到1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的12，得到()1sin 222f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本小题主要考查求三角函数图像变换前的解析式，属于基础题. 11．给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα＝1； ②函数y ＝sin （2π+x ）是偶函数：③直线x 8π=是函数y ＝sin （2x 54π+）的一条对称轴：④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则si nα＞sinβ．其中正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③C ．①③D ．②③④【答案】B【解析】利用二倍角公式和三角函数的值域，判断①的正确性；利用诱导公式及三角函数的奇偶性判断②的正确性；将8x π=代入5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据结果判断③的正确性；根据特殊角的三角函数值，判断④的周期性. 【详解】对于①，由于111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以①错误. 对于②，由于sin cos 2y x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以函数为偶函数，所以②正确. 对于③，将8x π=代入5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭得53sin sin 1442πππ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以8x π=是5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴，所以③正确. 对于④，例如390,30αβ==o o为第一象限角，则()sin390sin 36030sin30=+=oo oo，即sin sin αβ=，所以④错误. 故正确的为②③. 故选：B 【点睛】本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题. 12．关于函数f （x ）1xx=+（x ∈R ），有下述四个结论： ①任意x ∈R ，等式f （﹣x ）+f （x ）＝0恒成立； ②任意x 1，x 2∈R ，若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）； ③存在m ∈（0，1），使得方程|f （x ）|＝m 有两个不等实数根；④存在k ∈（1，+∞），使得函数g （x ）＝f （x ）﹣kx 在R 上有三个零点． 其中包含了所有正确结论编号的选项为（ ） A ．①②③④ B ．①②③C ．①②④D ．①②【答案】B【解析】根据函数的奇偶性判断①的正确性，根据函数的单调性判断②的正确性，根据()f x 的图像判断③的正确性，根据()f x 与y kx =的图像判断④的正确性.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=-，所以()()0f x f x -+=，即函数为奇函数，故①正确.()f x 为R 上的奇函数，()00f =，当0x >时，()1111111x x f x x x x+-===-+++为增函数，所以()f x 在R 上是增函数，所以②正确.()f x 是R 上的奇函数、增函数，且当0x >时，()1111f x x=-<+.则()f x 为偶函数，且当0x >时，()1111f x x=-<+，()f x 递增；当0x =时，()00f =；当0x <时，()f x 递减.由此画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，当()0,1m ∈是，()y f x =与y m =有两个不同的交点，所以③正确.画出()f x 与y kx =的图像如下图所示，由图可知，当1k >时，两个函数图像没有三个交点，所以④正确.证明如下：当0x ≥时，()1f x x x=+，()()()'221111x x f x x x +-==++，()'01f =，所以y x =于()f x 的图像相切.当0x ≤时，()1xf x x=-，()()()'221111x xf x x x -+==--，()'01f=，所以y x =于()f x 的图像相切.结合图像可知()f x 与y x =的图像只有一个公共点，当1k >时，()f x 与y x =的图像也只有一个公共点.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题 13．函数y 21ln x x -=-的定义域为_____．【答案】（1，2）．【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根被开发数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】 依题意，2010x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，所以函数的定义域为()1,2.故答案为：()1,2 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.14．已知非零向量a r ，b r 满足|a r |＝2|b r |，且（a b -r r）⊥b r ，则a r 与b r 的夹角为_____．【答案】3π． 【解析】根据两个向量垂直的表示列方程，结合向量数量积的运算公式，化简求得a r与b r的夹角的余弦值，进而求得夹角的大小.【详解】由于（a b -r r）⊥b r ，所以()0a b b -⋅=r r r ，即20a b b ⋅-=r r r ，2cos ,0a b a b b ⋅⋅-=r r r r r ，22cos ,0b b a b b ⋅⋅-=r r r r r ，所以1cos ,,,23a b a b π==r r r r .故答案为：3π【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 15．已知sin 2α2425=，则tanα＝_____． 【答案】43或34． 【解析】利用“1”的代换的方法，化简求得tan α的值. 【详解】依题意2222sin cos 2tan 24sin 22sin cos sin cos tan 125ααααααααα====++，化简得224tan 50tan 240αα-+=，即212tan 25tan 120αα-+=，()()3tan 44tan 30αα--=，解得4tan 3α=或3tan 4α=.故答案为：43或34【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16．函数f （x ）＝log 2（kx 2+4kx +3）．①若f （x ）的定义域为R ，则k 的取值范围是_____；②若f （x ）的值域为R ，则k 的取值范围是_____． 【答案】[0，34） k 34≥ 【解析】（1）根据()f x 的定义域为R ，对k 分成0,0,0k k k =><三种情况分类讨论，结合判别式，求得k 的取值范围.（2）当()f x 值域为R 时，由00k >⎧⎨∆≥⎩求得k 的取值范围.【详解】函数f （x ）＝log 2（kx 2+4kx +3）．①若f （x ）的定义域为R ，可得kx 2+4kx +3＞0恒成立，当k ＝0时，3＞0恒成立；当k ＞0，△＜0，即16k 2﹣12k ＜0，解得0＜k 34＜；当k ＜0不等式不恒成立，综上可得k 的范围是[0，34）； ②若f （x ）的值域为R ，可得y ＝kx 2+4kx +3取得一切正数， 则k ＞0，△≥0，即16k 2﹣12k ≥0，解得k 34≥． 故答案为：(1). [0，34） (2). k 34≥【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的定义和值域求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题17．已知f （α）()()()322sin cos tan tan sin ππααπααπαπ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=----． （1）化简f （α）； （2）若f （α）45=，且α为第三象限角，求cos （α3π+）的值．【答案】（1）f （α）cos α=-，（2）410． 【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简()f α表达式.（2）由()45f α=，求得cos α的值，进而求得sin α的值，再由两角和的余弦公式，求得cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】（1）f （α）()()()322sin cos tan cos sin tan cos tan sin tan sin ππααπααααααπαπαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭===------⋅， （2）由f （α）45cos α==-， 又已知α为第三象限角，所以sinα＜0，所以sinα35==-， 所以cos （α3π+）＝cosαcos 3π-sinαsin 3π4134525210⎛⎫=-⨯--⋅=⎪⎝⎭．【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题.18．已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数．(1)求()f x 的表达式；(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明(3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<-【解析】(1)根据指数函数定义得到，2331a a -+=检验得到答案.(2) ()22x x F x -=-，判断(),()F x F x -关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠，∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =；（2）由（1）得()22x x F x -=-， ∴()22x x F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增，即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2x x -<<-． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力. 19．已知向量()cos 2sin ,2a θθ=-v ，()sin ,1b θ=v ．（1）若//a b v v，求tan 2θ的值； （2）若()()f a b b θ=+⋅r r r ，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，求()f θ的值域． 【答案】（1）815（2）52,2⎡⎢⎣⎦ 【解析】（1）根据//a b r r 的坐标关系，得到1tan 4θ=，再代入22tan tan 21tan θθθ=-即可求值. （2）用正弦、余弦，二倍角公式和辅助角公式化简()f θ，得到5()2242f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，求出()f θ的值域. 【详解】 （1）若a b r r P ，则cos 2sin 2sin 0θθθ--=， ∴1tan 4θ=.∴2122tan 84tan 211tan 15116θθθ⨯===--. （2）()()2f a b b a b b θ=+⋅=⋅+r r r r r r 22cos sin 2sin 2sin 1θθθθ=-+++2sin cos sin 3θθθ=-+11cos 2sin 2322θθ-=-+1155sin 2cos 22222242πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，∴52444πππθ≤+≤，∴sin 2124πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴()522f θ+≤≤， ∴()f θ的值域为52,2⎡+⎢⎣⎦． 【点睛】本题第一问主要考查向量平行的坐标表示和正切二倍角公式，考查计算能力.第二问主要考查正弦，余弦的二倍角公式和辅助角公式以及三角函数的值域问题，属于中档题. 20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x （台）是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数()f x ；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）【答案】（1）()f x ()()21300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【解析】（1）利润=收益-成本，由已知分两段当0400x 剟时，和当400x >时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【详解】解：（1）月产量为x 台，则总成本为()20000100x +元，从而()()()20000100R x x x f -+=()()21300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩．（2）由（1）可知，当0400x ≤≤时，()()21300250002f x x =--+， ∴当300x =时，()max 25000f x =；当400x >时，()60000100f x x =-是减函数，()6000010040025000f x <-⨯<，∴当300x =时，()max 25000f x =，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【点睛】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．21．已知函数f （x ）＝sin （3ωx 3π+），其中ω＞0．（1）若f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若f （x ）在（0，3π]上是增函数，求ω的最大值． 【答案】（1）ω13=，θ＝kπ6π+，k ∈Z ．（2）最大值为16． 【解析】（1）先求得()f x θ+的表达式，根据()f x θ+的最小正周期和奇偶性，求得,ωϕ的值，（2）先有0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求得3,333x πππωωπ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，由32ππωπ+≤求得ω的最大值.【详解】（1）由f （x ）＝（3ωx 3π+），其中ω＞0，∴f （x +θ）＝（3ωx +3ωθ3π+）， ∵f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数， ∴23πω=2π，∴ω13=， ∵3ωθ33ππθ+=+=kπ2π+，k ∈Z ，即 θ＝kπ6π+，k ∈Z ． 综上可得，ω13=，θ＝kπ6π+，k ∈Z ．（2）（x ）＝（3ωx 3π+）在（0，3π]上是增函数， 在（0，3π]上，3ωx 3π+∈（3π，ωπ3π+]， ∴ωπ32ππ+≤，∴ω16≤，即ω的最大值为16． 【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.22．设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈． （1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立， 即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax = x R ∈Q 0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+< 所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝， 因为＜5，所以函数()f x 的最小值为． （3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--）而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m <<故m 的取值范围是()0,2【考点】函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。

广东省梅州市2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴．选D．2.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．【详解】由题意，，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式化简、求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.如图所示，D是的边AB的中点，则向量A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则知，，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化．【详解】由题意，根据三角形法则和D是的边AB的中点得，，所以，故选：A．【点睛】本题主要考查了平面向量加法的三角形法的应用，其中解答中结合图形和题意，合理利用平面向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数的图象的一个对称中心为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正切函数的对称中心为，可求得函数y图象的一个对称中心．【详解】由题意，令，，解得，，当时，，所以函数的图象的一个对称中心为．故选：C．【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】试题分析：因为的图象向左平移个单位得到函数的图象，所以要得到函数的图象，只需要将函数的图象向左平移个单位，故选A.考点：三角函数的平移变换.6.设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数，，的单调性，借助于0和1，即可对a、b、c比较大小，得到答案．【详解】由题意，可知函数是定义域上的增函数，，又是定义域上的增函数，，又是定义域上的减函数，，所以，故选A．【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数、对数函数的单调性，借助指数函数、对数函数的单调性进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若，且，则的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解．【详解】由题意，知，且，所以，则，．故选：B．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，排除B、C，又因为时，，此时，所以排除D，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.9.函数的值域为 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为又因为，所以函数的值域为，故选C.考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.三角函数的图像与性质；3.二次函数.10.已知函数，且，则A. B. 0 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】分别求和，联立方程组，进行求解，即可得到答案.【详解】由题意，函数，且，，则，两式相加得且，即，，则，故选：D．【点睛】本题主要考查了函数值的计算，结合函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11.已知是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式求解，即可得到答案．【详解】解：如图所示，因为、E分别是边AB、BC的中点，且，．故选：C．【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的三角形法则，以及数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.12.定义域为R的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则=( )A. 0B.C.D. 1【答案】C【解析】本题考查学生的推理能力、数形结合思想、函数方程思想、分类讨论等知识。

广东省梅州市济平中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则下列对应关系中不能看作从到的映射的是( )．A．B．C．D．参考答案：C略2. 当时，（）A. B. C. D.参考答案：C略3. 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )A、 B、C、 D、参考答案：B 4. 把曲线先沿轴向右平移个单位，再沿轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为( )A. B.C. D.参考答案：C5. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5，6}，则?U A等于( )A．{1，3，5} B．{2，4，6} C．{2，4} D．{1，3，5，6}参考答案：C【考点】补集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据补集的定义，求出A在全集U中的补集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5，6}，∴?U A={2，4}．故选：C．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目．6. 已知定义在R上的奇函数在满足，且区间上单调递增，则（）A. B.C. D.参考答案：D略7. 在△ABC中，若，则△ABC是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 非等腰三角形D. 直角三角形]参考答案：B【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得到,求得，即可求解，得到答案．【详解】由题意知，在中，若，即，化简得，即,所以，即，所以是等腰三角形，故选B．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8. 定义在上的函数满足，当时，则A．B．0 C．D．1参考答案：Ｄ9. 数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N＋)，那么a4的值为( )．A．4 B．8 C．15 D．31参考答案：C10. 在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形参考答案：B 【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（B﹣A）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．【解答】解：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB．∴cosAsinB﹣sinAcosB=0．∴sin（B﹣A）=0，∵A和B是三角形的内角，∴B=A．故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．参考答案：【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】至少有一个红球的对立事件为取到两个白球，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个红球的概率．【解答】解：∵甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，至少有一个红球的对立事件为取到两个白球，∴至少有一个红球的概率为：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．12. 已知f（x）为奇函数，当x∈[1，4]时，f（x）=x（x+1），那么当﹣4≤x≤﹣1时，f（x）的最大值为．参考答案：﹣2【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性求解函数的闭区间上的最大值即可．【解答】解：当x∈[1，4]时，f（x）=x（x+1），函数的最小值为：2，f（x）为奇函数，﹣4≤x≤﹣1时，f（x）的最大值为：﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查二次函数的性质，考查的最值，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．13. 已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B=．参考答案：{﹣1，0，2}【考点】并集及其运算．【分析】根据两集合并集的感念进行求解即可．【解答】解：集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B={﹣1，0，2}故答案为：{﹣1，0，2}【点评】本题主要考查两集合的并集的感念，注意有重复的元素要当做一个处理．14. 设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．参考答案：2【考点】G8：扇形面积公式．【分析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求α即可．【解答】解：S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．故答案为：2．15. 已知函数则的值为_________；参考答案：16. 满足的的集合为____________。

广东省梅州市东山中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（）A、 B、 C、 D、参考答案：A略2. 若函数有零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围。

【详解】令，得，，令，则，所以，，构造函数，其中，由于，，，所以，当时，直线与函数在区间有交点，因此，实数的取值范围是，故选：D。

【点睛】本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题。

3. 下列函数中,是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.参考答案：B略4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．B．C．D．参考答案：D5. 下列函数是偶函数的是（）A. B. C. D.参考答案：B6. 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯.A. 14B. 12C. 8D. 10参考答案：B【分析】设第一层有盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以为首项，以为公比的等比数列，求得第一层的盏数，由此即可求解，得到答案.【详解】设第一层有盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以为首项，以为公比的等比数列，所以七层宝塔的灯的盏数的总数为，解得，所以从上至下的第三层的灯的盏数为盏，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数的应用，其中解答中认真审题，得到第一层至第七层的等的盏数构成一个以为首项，以为公比的等比数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7. 已知全集U=R，集合，，则等于 ( ）A． B． C． D．参考答案：A8. 若，则下列不等式成立的是 ( )A. B. C. D. 参考答案：B9. 函数是（）A. 最小正周期为的偶函数B. 最小正周期为的奇函数C. 最小正周期为的偶函数D. 最小正周期为的奇函数参考答案：B试题分析：原函数可化为，奇函数，故选B．考点：1、诱导公式； 2、函数的奇偶性.10. 在△ABC中，，，则的值是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用正弦定理的推论即可求解.【详解】因为，，由正弦定理.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理的推论，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则。

2020-2021学年广东省梅州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣3x＝0}，则∁U A＝（）A．{0}B．{1}C．{2}D．{1，2}2．设x∈Z，集合A＝{x|x＝2n+1，n∈N}，集合B＝{y|y＝4n+2，n∈N}．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定和命题p的真假为（）A．∃x∈A，2x∈B，且p是真命题B．∃x∉A，2x∈B，且p是假命题C．∃x∈A，2x∉B，且p是真命题D．∀x∉A，2x∉B，且p是假命题3．“密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么200密位对应弧度为（）A．B．C．D．4．已知函数y＝f（x）的图象是连续的曲线，且有如表的对应值表：x123456y﹣120.10112﹣4056.7﹣76.2则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知x＞0，y＞0，则的最小值为（）A．B．10C．12D．6．若R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，且f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣3，3）7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c8．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数f（t）之间，满足函数模型：，当f（t）＝0.1时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t约为（）（参考数据：e1.1≈3）A．10B．20C．30D．40二、多项选择题（共4小题）.9．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x B．C．y＝﹣x2D．10．下列说法正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则a+b＞2bC．若a＞b，则log2a＞log2b D．若a＞b，则2a＞2b11．如图是函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象，则A sin（ωx+φ）＝（）A．3sin（x+）B．C．D．12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，关于函数D（x）有以下四个命题，其中真命题是（）A．函数D（x）是奇函数B．∀x，y∈R，D（x+y）＝D（x）+D（y）C．函数D（D（x））是偶函数D．∃x∈R，D（D（x））＝1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算：＝．14．已知，则＝．15．已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是．16．已知函数，若g（x）＝f（x）﹣a恰好有三个零点，则实数a 的取值范围是．四、解答题（共6小题）.17．已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，点为角α终边上一点，将角α的终边逆时针旋转90度得到角β．（1）求cosα，sinα，sinβ，cosβ的值；（2）求tan2α，的值．19．已知函数f（x）＝log a（1﹣4x）﹣log a（1+4x）（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并给予证明；（3）当时，求关于x的不等式f（x）＜1的解集．20．已知函数f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2+6x．（1）求f（1）和f（3）的值；并求出x＞0时，函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．21．在①是函数f（x）图象的一条对称轴；②是函数f（x）的一个零点；③函数f（x）图象的一条对称轴与它相邻的一个零点之间的距离为．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数，_______．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）区间至少取得两次最小值，求m的最大值．22．2020年11月，第二届梅州互联网大会（简称“MIC2020”）在梅州顺利开幕，会议以“创新引领慧聚苏区”为主题，聚焦互联网前沿技术与应用，聚焦数字经济、人工智能技术与产业创新发展，会议还重点展示了梅州互联网产业和人工智能技术相关扶持政策．国内某人工智能机器人制造企业有意落户梅州互联网产业园，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2300（万元），每年生产机器人x（百个），需另投入成本C（x）（x）（万元），且，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．（1）求年利润L（x）（万元）关于年产量x（百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）（2）该企业决定当企业年最大利润超过1700（万元）时，才选择落户梅州互联网产业园．请问该企业能否落户产业园，并说明理由．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣3x＝0}，则∁U A＝（）A．{0}B．{1}C．{2}D．{1，2}解：∵集合U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣3x＝0}＝{0，3}，∴∁U A＝{1，2}．故选：D．2．设x∈Z，集合A＝{x|x＝2n+1，n∈N}，集合B＝{y|y＝4n+2，n∈N}．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定和命题p的真假为（）A．∃x∈A，2x∈B，且p是真命题B．∃x∉A，2x∈B，且p是假命题C．∃x∈A，2x∉B，且p是真命题D．∀x∉A，2x∉B，且p是假命题解：命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定为：∃x∈A，2x∉B，对于x∈A，则2x＝4n+2，n∈N，即2x与y一样，故P为真命题，故选：C．3．“密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么200密位对应弧度为（）A．B．C．D．解：∵将一个圆周分成6000等份，每一等份分是一个密位，∴一个密位所对的弧长l＝，∴200密位所对的弧长为200l＝，∴200密位的弧度数为：＝，故选：B．4．已知函数y＝f（x）的图象是连续的曲线，且有如表的对应值表：x123456y﹣120.10112﹣4056.7﹣76.2则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：由题意可知：f（1）f（2）＜0，f（3）f（4）＜0，f（4）f（5）＜0，f（5）f（6）＜0，函数y＝f（x）的图象是连续的曲线，函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有4个．故选：D．5．已知x＞0，y＞0，则的最小值为（）A．B．10C．12D．解：∵x＞0，y＞0，∴x+y++＝（x+）+（y+）≥2+2＝10，当且仅当x＝3，y＝2时，取得最小值10．故选：B．6．若R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，且f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣3，3）解：定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，且f（3）＝0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，由f（x）＞0得，﹣3＜x＜0或x＞3．故选：C．7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：，，∴a＜b＜c．8．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数f（t）之间，满足函数模型：，当f（t）＝0.1时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t约为（）（参考数据：e1.1≈3）A．10B．20C．30D．40解：由f（t）＝0.1，即，可得，e﹣0.22（3t﹣40）＝9＝32≈（e1.1）2＝e2.2，∴﹣0.22（3t﹣40）＝2.2，解得，t＝10，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x B．C．y＝﹣x2D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x，是正比例函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意，对于B，y＝，是反比例函数，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意，对于C，y＝﹣x2，是开口向下，对称轴为y轴的二次函数，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意，对于D，y＝（）x，是指数函数，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意，故选：BCD．10．下列说法正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则a+b＞2bC．若a＞b，则log2a＞log2b D．若a＞b，则2a＞2b解：对于A：若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确；对于B：若a＞b，则a+b＞2b，故B正确；对于C：若a＞b＞0，则log2a＞log2b，故C错误；对于D：若a＞b，则2a＞2b，故D正确．11．如图是函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象，则A sin（ωx+φ）＝（）A．3sin（x+）B．C．D．解：根据函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象，可得A＝2，×＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图，2×+φ＝π，∴φ＝，故A sin（ωx+φ）＝3sin（2x+）＝3cos（﹣2x），故选：BD．12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，关于函数D（x）有以下四个命题，其中真命题是（）A．函数D（x）是奇函数B．∀x，y∈R，D（x+y）＝D（x）+D（y）C．函数D（D（x））是偶函数D．∃x∈R，D（D（x））＝1解：由于，故函数D（x）为偶函数，则D（D（x））还为偶函数，故A错误，C正确；∃x∈R，当x＝时，D（）＝0，D（0）＝1，故B错误，D正确．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算：＝6．解：＝（lg8+lg125）﹣1+4＝3﹣1+4＝6．故答案为：6．14．已知，则＝﹣．解：设θ＝﹣α，则α＝﹣θ，且cosθ＝，则＝cos[2（﹣θ）﹣]＝cos（﹣2θ）＝cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣1＝﹣，故答案为：﹣．15．已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是（2，6）．解：∵幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），∴32m+1＝33，∴m＝1，幂函数f（x）＝x3，显然f（x）是奇函数，且在R上单调递增．若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则不等式即f（k2+3）＜f（8k﹣9），∴k2+3＜8k﹣9，∴2＜k＜6，故答案为：（2，6）．16．已知函数，若g（x）＝f（x）﹣a恰好有三个零点，则实数a 的取值范围是[1，2）．解：函数的图象如图所示，因为g（x）＝f（x）﹣a恰好有三个零点，即函数y＝f（x）与y＝a的图象有三个交点，由图象可知，实数a的取值范围是1≤a＜2．故答案为：[1，2）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x|x＞a}，（1）当a＝2时，N＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，则M∩N＝{x|2＜x＜3}，M∪N＝{x|x＞﹣2}；（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件，所以M⫋N，则a≤﹣2．18．在平面直角坐标系xOy中，点为角α终边上一点，将角α的终边逆时针旋转90度得到角β．（1）求cosα，sinα，sinβ，cosβ的值；（2）求tan2α，的值．解：（1）由题意得β＝α+90°，|OP|＝1，且sinα＝﹣，cosα＝，则sinβ＝sin（α+90°）＝cosα＝，cosβ＝cos（α+90°）＝﹣sinα＝．（2）tanα＝＝﹣2，则tan2α＝＝＝，＝＝＝＝＝．19．已知函数f（x）＝log a（1﹣4x）﹣log a（1+4x）（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并给予证明；（3）当时，求关于x的不等式f（x）＜1的解集．解：（1）对于函数f（x）＝log a（1﹣4x）﹣log a（1+4x）（a＞0，a≠1），可得，求得﹣＜x＜，故函数的定义域为（﹣，）．（2）f（x）为偶函数．证明：由于函数f（x）＝log a（1﹣4x）﹣log a（1+4x）＝的定义域为（﹣，）关于原点对称，且满足f（﹣x）＝f（x））＝，故f（x）为偶函数．（3）当时，求关于x的不等式f（x）＜1，即＜1，∴1﹣16x2＞，求得﹣＜x＜，故不等式的解集为（﹣，）．20．已知函数f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2+6x．（1）求f（1）和f（3）的值；并求出x＞0时，函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2+6x．所以f（1）＝﹣f（﹣1）＝5，f（3）＝﹣f（﹣3）＝9，设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝x2﹣6x＝﹣f（x），所以f（x）＝6x﹣x2，（2）f（x）的图象如图所示，若函数f（x）在区间上单调递增，则，解得，0＜a≤3，实数a的取值范围（0，3]．21．在①是函数f（x）图象的一条对称轴；②是函数f（x）的一个零点；③函数f（x）图象的一条对称轴与它相邻的一个零点之间的距离为．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数，_______．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）区间至少取得两次最小值，求m的最大值．解：f（x）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），①若是函数f（x）图象的一条对称轴，则ω﹣＝kπ+，即ω＝kπ+，k∈Z，得ω＝k+1，∵0＜ω＜2，∴当k＝0时，ω＝1．②若是函数f（x）的一个零点，则ω﹣＝kπ，即ω＝kπ+，k∈Z，得ω＝4k+1，∵0＜ω＜2，∴当k＝0时，ω＝1．③若函数f（x）图象的一条对称轴与它相邻的一个零点之间的距离为，则＝，即T＝2π，则＝2π，得ω＝1．综上ω＝1，则f（x）＝sin（x﹣）．（2）若m≤x≤，则m﹣≤x﹣≤0，若函数f（x）区间至少取得两次最小值，则m﹣≤﹣2π，即m≤﹣﹣2π＝﹣，即m的最大值为﹣．22．2020年11月，第二届梅州互联网大会（简称“MIC2020”）在梅州顺利开幕，会议以“创新引领慧聚苏区”为主题，聚焦互联网前沿技术与应用，聚焦数字经济、人工智能技术与产业创新发展，会议还重点展示了梅州互联网产业和人工智能技术相关扶持政策．国内某人工智能机器人制造企业有意落户梅州互联网产业园，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2300（万元），每年生产机器人x（百个），需另投入成本C（x）（x）（万元），且，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．（1）求年利润L（x）（万元）关于年产量x（百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）（2）该企业决定当企业年最大利润超过1700（万元）时，才选择落户梅州互联网产业园．请问该企业能否落户产业园，并说明理由．解：（1）由题意可知，当0＜x＜50时，L（x）＝600x﹣2300﹣10x2﹣200x＝﹣10x2+400x﹣2300；当x≥50时，L（x）＝600x﹣2300﹣602x+4500﹣＝2200﹣2x﹣；∴L（x）＝．（2）由（1）可知，当0＜x＜50时，L（x）＝﹣10x2+400x﹣2300＝﹣10（x﹣20）2+1700，当x＝20时，L（x）MAX＝L（20）＝1700，当x≥50时，L（x）＝2200﹣2x﹣＝1700﹣（2x﹣50+）≤1700﹣2×100＝1500，当且仅当2x﹣50＝100时，即x＝75时取到等号．综合可知企业最大的年利润不超过1700万元，故企业不会落户产业园．。

广东省梅州市2024届高一上数学期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知1? 2?sin α + α = 4? 5?，则sin 43πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A. C.- 4? 5? D. 4? 5?2．设0a >且1a ≠，若log sin 2a x x >对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（） A.(0,)4π B.(0,]4π C.[,1)4πD.(,1)(1,)42ππ⋃3．已知角α的终边上一点(P x ，且cos 4α=，则x =（）C. D.4．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是（） A.15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C.31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭5．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是A.y =B.3x y =C.lg y x =D.13y x =6．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.7．已知两点()()4,8,2,4A B -，点C 在直线1y x =+上，则AC BC +的最小值为（）A.13B.9 74 D.108．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且//,m nαβ，则下列说法正确的是（） A.若m n ⊥，则αβ⊥B.若m n ⊥，则//αβC.若//m n ，则//αβD.若//m n ，则αβ⊥ 9．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是 A.12a =，32A > B.12a =，32A ≤ C.1a =，1A ≥ D.1a =，1A ≤10．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至8000，则C 大约增加了(lg 20.3010≈)（） A.10% B.30%C.60%D.90% 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年广东省梅州市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．（1，3]B．[1，3]C．（﹣2，1]D．（﹣2，1）2．sin(−22π3)=（）A．−12B．−√32C．12D．√323．寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步．刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着．不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离．兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会．而乌龟呢，它一刻不停地爬行．当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了．如图“路程s一时间t”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（）A．B．C．D．4．下列命题中，真命题的是（）A．∀x∈R，x2+2x≥0B．∀x∈R，x3＞x2C．∃x0∈R，使得sinx0=−54D．∃x0∈R，使得2x0＞3x05．设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的必要不充分条件的电路图是（）A．B．C ．D ．6．若a ＝log 23，b ＝log 3e ，c ＝ln 3，则（ ） A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b7．已知函数f(x)=2sin(2x +π6)，若方程f(x)=−√3在区间[0，β]内恰有两个实数根，则β的取值范围为（ ） A ．[7π12，3π4)B ．[7π12，5π4) C ．[3π4，5π4)D ．[3π4，19π12)8．已知f （x ）是定义在R 上且不恒为零的函数，对于任意实数a ，b 满足f （ab ）＝af （b ）+bf （a ），若f （3）＝2，则f(−1)+f(−13)=（ ）A ．−79B ．79C ．29D ．−29二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数是偶函数的是（ ） A ．f （x ）＝3x +3﹣x B ．f （x ）＝x |x | C ．f （x ）＝sin2xD ．f （x ）＝|x ﹣1|+|x +1|10．已知不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则下列结论正确的是（ ） A ．a ＜0B ．b ＜0C ．c ＞0D ．a ﹣b +c ＜011．下列关于函数f （x ）＝ln （x 2﹣x ）的说法中，正确的有（ ） A ．函数f （x ）的图像是轴对称图形 B ．函数f （x ）的图像是中心对称图形 C ．函数f （x ）的值域为RD ．函数f （x ）的单调递增区间是（1，+∞）12．设集合A 是实数集R 的子集，如果a ∈R 满足：∀ε＞0，∃x ∈A ，使得0＜|x ﹣a |＜ε，则称a 为集合A 的一个聚点．在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（ ） A ．{nn+1|n ∈Z ，n ≥0} B ．{1n|n ∈Z ，n ≠0}C ．{(13)n |n ∈Z}D ．{(1+1n)n |n ∈Z ，n ＞0}三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在直径为6的圆中，25弧度的圆心角所对的弧长为 ．14．已知函数f(x)={3−log 2x ，x ≥14x ，x ＜1，则f （a ）＝2，则a ＝ ．15．已知幂函数f （x ）＝x a 的图象过点(2，14)，若f （2m +1）＜f （3），则m 的取值范围是 ．16．若a ＞0，b ＞0，则min{a ，ba 2+4b2}的最大值是 ．（注：min {x ，y }表示{x ，y }中的较小值） 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |ax ﹣1＝0}，B ＝{x |x 2﹣2x +b ＝0}． （1）若A ∩B ＝{3}，求实数a ，b 的值及集合A ，B ； （2）若A ≠∅且A ∪B ＝B ，求实数a 和b 满足的关系式． 18．（12分）已知sinα=13，且α是第二象限角．（1）求tan α的值；（2）求cos 2α−cosαsinαsin 2α+1的值．19．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣ax +1，a ∈R ． （1）若a ＝2，求f （x ）在[﹣1，2]上的值域； （2）求f （x ）在[﹣1，2]上的最小值g （a ）． 20．（12分）已知函数f(x)=1−22x+1(x ∈R)． （1）判断函数f （x ）在R 上的奇偶性，并证明之； （2）判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义法证明； （3）写出f （x ）在R 上的值域（不用书写计算推导过程）． 21．（12分）如表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：（1）根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率d=0.027作为恒定增长率，记N（t）为经过时间t年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；（2）对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：N（t）＝N（0）•e rt，指出其中N（0），r的值；（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面．（参考数据：ln0.027＝﹣3.612，ln1.027＝0.027；1.02761＝5.08，1.02762＝5.22）22．（12分）已知函数f(x)=x+m 2|x|−3(x≠0)，m＞0．（1）当m＝2时，求f（x）的零点个数，并求出相应的零点；（2）讨论关于x的方程f（2x﹣1）＝m的解的个数．2023-2024学年广东省梅州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．（1，3]B．[1，3]C．（﹣2，1]D．（﹣2，1）解：集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣2＜x＜1}．故选：D．2．sin(−22π3)=（）A．−12B．−√32C．12D．√32解：sin(−22π3)=sin（﹣8π+2π3）＝sin2π3=√32．故选：D．3．寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步．刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着．不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离．兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会．而乌龟呢，它一刻不停地爬行．当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了．如图“路程s一时间t”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（）A．B．C．D．解：根据题意，乌龟始终匀速前进，其“路程s一时间t”的图象为一条线段，兔子中途休息了一会，其“路程s一时间t”的图象先增，再水平，最后增加，而最开始一段，兔子增加得快，最后乌龟先到大终点，排除A、C、D．故选：B．4．下列命题中，真命题的是（）A．∀x∈R，x2+2x≥0B．∀x∈R，x3＞x2C．∃x0∈R，使得sinx0=−5D．∃x0∈R，使得2x0＞3x04解：当x＝﹣1时，x2+2x＜0，故A错误；当x＝0时，x3＝x2，故B错误；sin x∈[﹣1，1]，故C错误；当x0＝﹣1时，满足2x0＞3x0，故D正确．故选：D．5．设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的必要不充分条件的电路图是（）A．B．C．D．解：对于A，若开关S闭合，则灯泡L亮；反之，若灯泡L亮，不一定是开关S闭合．故p是q充分不必要条件，故A不正确；对于B，若开关S闭合，则灯泡L亮；反之，若灯泡L亮，则开关S闭合．故p是q充分必要条件，故B不正确；对于C，若开关S闭合，则灯泡L不一定亮；反之，若灯泡L亮，开关S一定闭合．故p是q必要不充分条件，故C正确；对于D，若开关S闭合，则灯泡L亮；反之，若灯泡L亮，不一定是开关S闭合．故p是q充分不必要条件，故D不正确．故选：C．6．若a＝log23，b＝log3e，c＝ln3，则（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b解：1＝log22＜c＝ln3＜a＝log23，0＝log31＜log3e＜log33＝1，∴a＞c＞b．7．已知函数f(x)=2sin(2x +π6)，若方程f(x)=−√3在区间[0，β]内恰有两个实数根，则β的取值范围为（ ） A ．[7π12，3π4)B ．[7π12，5π4) C ．[3π4，5π4)D ．[3π4，19π12)解：函数f(x)=2sin(2x +π6)，由f(x)=−√3，得sin(2x +π6)=−√32，当x ≥0时，2x +π6=4π3或2x +π6=5π3或2x +π6=10π3，解得x =7π12或x =3π4或x =19π12， 显然7π12，3π4，19π12是方程f(x)=−√3的由小到大排列的3个正根，因为方程f(x)=−√3在区间[0，β]内恰有两个实数根， 则有3π4≤β＜19π12，所以β的取值范围为[3π4，19π12)．故选：D ．8．已知f （x ）是定义在R 上且不恒为零的函数，对于任意实数a ，b 满足f （ab ）＝af （b ）+bf （a ），若f （3）＝2，则f(−1)+f(−13)=（ ）A ．−79B ．79C ．29D ．−29解：f （ab ）＝af （b ）+bf （a ）， 当a ＝b ＝0时，f （0）＝0，当a ＝b ＝1时，f （1）＝2f （1），解得f （1）＝0， 当a ＝b ＝﹣1时，f （1）＝﹣2f （﹣1），解得f （﹣1）＝0， f （x ）是定义在R 上且不恒为零的函数， 令a ＝﹣1，b ＝x ，则f （﹣x ）＝﹣f （x ）+xf （﹣1）＝﹣f （x ）， 故函数f （x ）为奇函数， 令a ＝3，b =13，f （3）＝2，f （1）=3f(13)+13f(3)=0，解得f(13)=−29，故f(−13)=29，所以f(−1)+f(−13)=29．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列函数是偶函数的是（）A．f（x）＝3x+3﹣x B．f（x）＝x|x|C．f（x）＝sin2x D．f（x）＝|x﹣1|+|x+1|解：对于A，∵f（x）＝3x+3﹣x的定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），∴f（x）为偶函数，A正确；对于B，f（x）＝x|x|的定义域为R，且满足f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，B错误；对于C，f（x）＝sin2x的定义域为R，且满足f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，C错误；对于D，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|的定义域为R，且满足f（﹣x）＝|﹣x﹣1|+|﹣x+1|＝|x﹣1|+|x+1|＝f（x），∴f（x）为偶函数，D正确．故选：AD．10．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，1），则下列结论正确的是（）A．a＜0B．b＜0C．c＞0D．a﹣b+c＜0解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是方程ax2+bx+c＝0的解，且a＜0，选项A 正确；由根与系数的关系知，{−2+1=−ba−2×1=ca，解得b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，选项B正确，C正确；由不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，1），且﹣1∈（﹣2，1），所以a﹣b+c＞0，选项D错误．故选：ABC．11．下列关于函数f（x）＝ln（x2﹣x）的说法中，正确的有（）A．函数f（x）的图像是轴对称图形B．函数f（x）的图像是中心对称图形C．函数f（x）的值域为R D．函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）解：对于AB：函数f（x）＝ln（x2﹣x）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），f（﹣1）＝ln2，f（2）＝ln2，即f（﹣1）＝f（2），猜测函数f（x）的图像是轴对称图形，证明：f(12−x)=ln((12−x)2−(12−x))=ln(x2−14)，f(12+x)=ln((12+x)2−(12+x))=ln(x2−14)，可得f(12+x)=f(12−x)，即函数f （x ）的图像关于x =12对称，故A 正确，B 错误；对于C ：当x ∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，x 2﹣x ＞0，则f （x ）＝ln （x 2﹣x ）的值域为R ，C 正确； 对于D ：y ＝lnt 在（0，+∞）上单调递增，t ＝x 2﹣x 在（1，+∞）上单调递增， 所以函数 f （x ）的单调递增区间是（1，+∞），D 正确． 故选：ACD ．12．设集合A 是实数集R 的子集，如果a ∈R 满足：∀ε＞0，∃x ∈A ，使得0＜|x ﹣a |＜ε，则称a 为集合A 的一个聚点．在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（ ） A ．{nn+1|n ∈Z ，n ≥0} B ．{1n|n ∈Z ，n ≠0}C ．{(13)n |n ∈Z}D ．{(1+1n)n |n ∈Z ，n ＞0}解：根据“∀ε＞0，∃x ∈A ，使得0＜|x ﹣a |＜ε”，可知x 可以无限接近于a ， 因此，若a 为集合A 的一个聚点，则集合A 的元素的极限值为a ． 对于{n n+1|n ∈Z ，n ≥0}，由于lim n→+∞n n+1=1，所以1为该集合的一个聚点，而0不是，故A 不符合题意；对于{1n |n ∈Z ，n ≠0}，由于lim n→+∞1n =0，所以0为该集合的一个聚点，故B 符合题意；对于{(13)n |n ∈Z}，由于lim n→+∞(13)n =0，所以0为该集合的一个聚点，故C 符合题意；对于{(1+1n )n |n ∈Z ，n ＞0}，由于lim n→+∞(1+1n )n =e ≈2.718，所以0不是该集合的一个聚点，故D 不符合题意． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在直径为6的圆中，25弧度的圆心角所对的弧长为 65 ．解：直径为6的圆中，25弧度的圆心角所对的弧长为：62×25=65．故答案为：65．14．已知函数f(x)={3−log 2x ，x ≥14x ，x ＜1，则f （a ）＝2，则a ＝ 2或12 ．解：因为f （a ）＝2，当a ≥1时，3﹣log 2a ＝2，解得a ＝2， 当a ＜1时，4a ＝2，解得a =12．综合得a＝2或a=1 2．故答案为：2或1 2．15．已知幂函数f（x）＝x a的图象过点(2，14)，若f（2m+1）＜f（3），则m的取值范围是{m|m＜﹣2或m＞1}．解：幂函数f（x）＝x a的图象过点(2，14)，则2a=14，解得a＝﹣2，故f（x）＝x﹣2，f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（2m+1）＜f（3），则|2m+1|＞3，解得m＜﹣2或m＞1，故m的取值范围为{m|m＜﹣2或m＞1}．故答案为：{m|m＜﹣2或m＞1}．16．若a＞0，b＞0，则min{a，ba2+4b2}的最大值是12．（注：min{x，y}表示{x，y}中的较小值）解：设h=min{a，ba2+4b2}，则0＜h≤a，0＜h≤ba2+4b2，因为ab+4ba≥2√ab⋅4ba=4，当且仅当a＝2b时取等号，所以h2≤aba2+4b2=1ab+4ba≤14，所以0＜h≤1 2．故答案为：1 2．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|ax﹣1＝0}，B＝{x|x2﹣2x+b＝0}．（1）若A∩B＝{3}，求实数a，b的值及集合A，B；（2）若A≠∅且A∪B＝B，求实数a和b满足的关系式．解：（1）集合A＝{x|ax﹣1＝0}，B＝{x|x2﹣2x+b＝0}，A∩B＝{3}，∴{3a−1=09−6+b=0，解得a=13，b＝﹣3，∴A＝{x|13x−1=0}＝{3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{﹣1，3}．（2）∵A≠∅，∴A＝{x|ax﹣1＝0}＝{1a}，∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴1a∈{x|x2﹣2x+b＝0}，∴{1a 2−2a +b =0Δ=4−4b ≥0，∴实数a 和b 满足的关系式为b =−1a 2+2a． 18．（12分）已知sinα=13，且α是第二象限角．（1）求tan α的值；（2）求cos 2α−cosαsinαsin 2α+1的值．解：（1）因为sinα=13，且α是第二象限角，所以cos α=−2√23，故tan α=sinαcosα=12√2=−√24；（2）cos 2α−cosαsinαsin 2α+1=89+2√23×131+19=4+√25． 19．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣ax +1，a ∈R ． （1）若a ＝2，求f （x ）在[﹣1，2]上的值域； （2）求f （x ）在[﹣1，2]上的最小值g （a ）．解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2﹣2x +1，图象开口向上，对称轴为x ＝1， 所以f （x ）在[﹣1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 又f （﹣1）＝4，f （1）＝0，f （2）＝1， 所以f （x ）在[﹣1，2]上的值域为[0，4]；（2）二次函数f （x ）＝x 2﹣ax +1的对称轴为x =a2，当a2≤−1，即a ≤﹣2时，f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （﹣1）＝2+a ， 当﹣1＜a2＜2，即﹣2＜a ＜4时，f （x ）在[﹣1，a 2]单调递减，在[a 2，2]单调递增，此时f （x ）min ＝f （a 2）=−a 24+1，当a2≥2，即a ≥4时，f （x ）在[﹣1，2]上单调递减，此时f （x ）min ＝f （2）＝5﹣2a ， 综上，g （a ）={ 2+a ，a ≤−2−a 24+1，−2＜a ＜45−2a ，a ≥4．20．（12分）已知函数f(x)=1−22x+1(x ∈R)． （1）判断函数f （x ）在R 上的奇偶性，并证明之； （2）判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义法证明； （3）写出f （x ）在R 上的值域（不用书写计算推导过程）．解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：因为f（x）＝1−21+2x=2x−12x+1，所以f（﹣x）=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f（x），所以f（x）为奇函数；（2）f（x）在R上单调递增，证明如下：任取x1＜x2，则2x1−2x2＜0，1+2x1＞0，1+2x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）=21+2x2−21+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增；（3）因为1+2x＞1，所以0＜11+2x＜1，即0＜21+2x＜2，所以﹣1＜1−21+2x＜1，即函数的值域为（﹣1，1）．21．（12分）如表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：（1）根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率d=0.027作为恒定增长率，记N（t）为经过时间t年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；（2）对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：N（t）＝N（0）•e rt，指出其中N（0），r的值；（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面．（参考数据：ln0.027＝﹣3.612，ln1.027＝0.027；1.02761＝5.08，1.02762＝5.22）解：（1）假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率d=0.027作为恒定增长率，建立我国的人口增长模型为：N（t）＝7.05×（1+0.027）t；（2）对照马尔萨斯的人口指数增长模型，可得N（0）＝7.05，e r＝1.027，从而r＝ln1.027＝0.027；（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数：N（61）＝7.05×1.02761＝7.05×5.08≈35.811（亿），这个预测的数据远超于实际数据，其中原因主要是增长率恒定这个假设不成立，实际上人口增长率会受到环境和资源的影响，在一定的资源和环境之下，增长率会随着人口的增长而下降，不会保持恒定不变．22．（12分）已知函数f(x)=x+m 2|x|−3(x≠0)，m＞0．（1）当m＝2时，求f（x）的零点个数，并求出相应的零点；（2）讨论关于x的方程f（2x﹣1）＝m的解的个数．解：（1）当m＝2时，f（x）＝x+4|x|−3，当x＞0时，f（x）＝x+4x−3≥2√x⋅4x−3＝1，当且仅当x＝2时等号成立，所以函数f（x）无零点；当x＜0时，f（x）＝x−4x−3＝0，即，x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1，所以函数f（x）有1个零点；综上所述，函数f（x）有1个零点﹣1．（2）令t＝2x﹣1，则t＞﹣1且t≠0，当t＞0时，y＝t+m2t−3≥2√t⋅m2t−3＝2m﹣3，当且仅当t＝m时等号成立，所以当m＝2m﹣3，即m＝3时，方程f（t）＝m有1个实数根，当m＜2m﹣3，即m＞3时，方程f（t）＝m没有实数根，当m＞2m﹣3，即0＜m＜3时，方程f（t）＝m有2个实数根；当﹣1＜t＜0时，方程t−m2t−3＝m，即t2﹣（3+m）t﹣m2＝0，令g（t）＝t2﹣（3+m）t﹣m2，则g（0）＝﹣m2＜0，当g（﹣1）＝1+（3+m）﹣m2≤0，即m≥1+√172时，方程无实根，当g（﹣1）＝1+（3+m）﹣m2＞0，即0＜m＜1+√172时，方程有1个实数根；综上所述：当m＞3时，方程无实根，当m＝3时，方程有1个实根，当1+√172≤m＜3时，方程有2个实数根，当0＜m＜1+√172时，方程有3个实数根．。

广东省梅州市东联华侨中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若为任一非零向量，为模为1的向量，下列各式：①||＞||②∥③||＞0④||＝±1，其中正确的是（）A、①④B、③C、①②③D、②③参考答案：B2. 已知函数若对任意，都有= （）A．—1 B．1 C． 0D．参考答案：C略3. 函数的最小正周期是（）A． B． C． D．参考答案：D略4. （5分）下列图象表示的函数中没有零点的是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数的零点就是函数的图象和横轴交点的横坐标，观察图象可得结论．解答：由于函数的零点就是函数的图象和横轴交点的横坐标，观察图象可知A选项中图象对应的函数没有零点．故选A．点评：本题主要考查函数的零点的定义，属于基础题．5. 一扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为6，则它的面积是（）A．6πB．3πC．12πD．9π参考答案：A【考点】扇形面积公式．【分析】根据扇形的面积公式代入计算，即可得解．【解答】解：∵α=，r=6，∴由扇形面积公式得：S===6π．故选：A．6. 已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是()A．3x＋4y－1＝0 B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0 D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0参考答案：D7. 设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x?f（x）＜0的解集是( )A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；分类讨论；转化思想．【分析】由x?f（x）＜0对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式x?f（x）＜0转化为f（x）＞0或f （x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．【解答】解；∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，且在（0，+∞）内是增函数，∴f（3）=0，且在（﹣∞，0）内是增函数，∵x?f（x）＜0∴1°当x＞0时，f（x）＜0=f（3）∴0＜x＜32°当x＜0时，f（x）＞0=f（﹣3）∴﹣3＜x＜0．3°当x=0时，不等式的解集为?．综上，x?f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜3或﹣3＜x＜0}．故选D．【点评】考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．8. ( )A． B． C． D．参考答案：D9. 下列各组对象中不能构成集合的是（）A.所有的直角三角形B.圆上的所有点C.高一学生中家离学校很远的学生D.高一年级的班主任参考答案：C10. 下列函数中，周期为π，且在[]上为减函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x+）C．y=cos（2x+）D．y=sin（2x+）参考答案：D【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用函数的周期公式，求出A、B、C、D的周期，排除选项后，利用函数的单调性判断出满足题意的选项．【解答】解：对于A，y=cosx，周期为2π，不符合；对于B，y=﹣sinx，周期为2π，不符合；对于C，y=﹣sin2x，周期为π，在[]上为增函数；对于D，y=cos2x，周期为π，在[]上为减函数，故选D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数的周期性单调性，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f （x ）=，f （6）的值为．参考答案：16【考点】函数的值．【分析】由题意知f （6）=f （5）=f （4），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f（6）=f （5）=f （4）=24=16． 故答案为：16．12. （5分）下面给出五个命题：①已知平面α∥平面β，AB ，CD 是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB=CD ； ②a，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 一定是异面直线； ③三棱锥的四个面可以都是直角三角形． ④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ?α；⑤三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直； 其中正确的命题编号是 （写出所有正确命题的编号）参考答案：①③④⑤考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 作图题；空间位置关系与距离．分析： 利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对①②③④⑤五个选项逐一判断即可．解答： ①∵AB∥CD，∴过AB 与CD 作平面γ，使得γ与α与β各有一条交线BC 与AD ，则四边形ABCD 为平行四边形，故AB=CD ，①正确；②a，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，如图，显然a ，c 相交，不是异面直线，故②错误； ③三棱锥的四个面可以都是直角三角形，如图：PA⊥底面ABC ，BC⊥AB，则BC⊥平面PAB ，于是BC⊥PB，从而该三棱锥的四个面都是直角三角形，故③正确；④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β， 由面面平行的性质得，PQα，故④正确；对于⑤，三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直，正确，下面进行证明： 设三棱锥P ﹣ABC 中，PB⊥AC，PC⊥AB，求证：PA⊥BC证明：作PH⊥平面ABC，垂足H，分别连结AH、BH、CH，与AB、BC、AC分别交于F、D、E点，CH是PC在平面ABC的射影，且PC⊥AB，根据三垂线定理，CH（CF）⊥AB，同理可得，BH（BE）⊥AC，H是两条高线的交点，故H是三角形ABC的垂心，故AD⊥BC，AD是PA在平面ABC的射影，∴PA⊥BC．综上所述，①③④⑤正确．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间直线间的位置关系、线面垂直的判定与性质、面面平行的性质及三垂线定理的应用，考查作图与推理分析的能力，属于中档题．13. 等差数列中，若，则参考答案：4略14. 已知数列的通项公式为，则前10项和；；15. 函数的单调递减区间是 .参考答案：(－∞,－3]16. 已知幂函数f（x）=x a的图象过点，则log a8= ．参考答案：3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由题意可得=，解得a的值，可得 log a8 的值．【解答】解：∵已知幂函数f（x）=x a的图象过点，∴=，解得a=2，∴log a8=log28=3，故答案为：3．17. 已知椭圆4x2+kx2=4的一个焦点是（0，），则k= ．参考答案：1【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，先将椭圆方程化为标准形式可得x2+=1，进而由其焦点的坐标可得，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆4x2+kx2=4化为标准形式可得x2+=1，又由其一个焦点是（0，），则椭圆的焦点在y轴上，且c=，则有，解可得k=1，故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。