三角恒等变换专题复习(带答案)

三角恒等变换专题复习

教学目标：

1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ

±±,2

的正弦、余弦、正切的诱导公式；

2、理解同角三角函数的基本关系式：

；

3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。 教学重难点：

可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 【基础知识】

一、同角的三大关系：

① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin α

α

= cot α ③ 平方关系 2

2

sin cos 1αα+=

温馨提示：

（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网]

（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。

二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限

用诱导公式化简，一般先把角化成

,2

k z α+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判

断角2

k π

α+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间0

(0,360)的角，再变到区间

00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算。

三、和角与差角公式 ：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=m

变 用 tan α±tan β=tan (α±β)(1μtan αtan β)

四、二倍角公式：

sin 2α= 2sin cos αα.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

2

2tan tan 21tan α

αα

=-

五、注意这些公式的来弄去脉

这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m 推导出来。 六、注意公式的顺用、逆用、变用。

如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1

sin cos sin 22

ααα=

变用22cos 1cos 2

αα+=

22cos 1sin 2αα-= 2

1cos 4cos 22

αα+= 七、合一变形（辅助角公式）

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()22sin cos αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB

=

A

． 八、万能公式

ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= α

α

α2tan 1tan 22tan -=

九、用αsin ，αcos 表示2

tan

α

α

αααα

sin cos 1cos 1sin 2

tan

-=

+=

十、积化和差与和差化积

积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；

)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.

和差化积 2

cos

2sin 2sin sin ϕ

θϕ

θϕθ-+=+

2

sin

2cos

2sin sin ϕ

θϕθϕθ-+=-

2cos 2cos 2cos cos ϕ

θϕθϕθ-+=+ 2

sin 2sin 2cos cos ϕ

θϕθϕθ-+=-

十一、方法总结

1、三角恒等变换方法

观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）

（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，

如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·α+β2 , α+β2 = (α－β2)－(α

2 －β)等.

（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

）， （3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和

合并等。

2、恒等式的证明方法灵活多样

①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.

②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.

③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 左

右

=1";

④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.

【例题精讲】

例1 已知α为第四象限角，化简：α

α

ααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-

解：（1）因为α为第四象限角

所以原式=α

ααααα2

2

22cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααα

ααααα

sin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=

例2 已知ο

ο

360270<<α，化简

α2cos 2

1

212121++ 解：ο

ο

Θ360270<<α，02

cos

,0cos <>∴α

α

所以原式2111cos211

cos 22222

αα++=+21cos cos cos 222ααα+=

==- 例3 tan20°+4sin20°

解：tan20°+4sin20°=0

020

cos 40sin 220sin +