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球与多面体切接问题教学设计《课程标准》指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求．教学目标核心素养1.掌握长方体、正方体与球的切接问题2.掌握正四面体与球切接问题三种方法，能运用三种方法解决类似问题1直观想象能直观感受空间正多面体与球内切与外接的位置2数学抽象能由实物抽象出数学平面的直观图，并能具体画出某一截面的情况；能抽象出正方体切截出正四面体的方法。
3逻辑推理能由平面二维的等面积推理到三维等体积4数学计算能通过在截面找到球心位置计算推演出球心精确的位置重点：长方体、正方体、正四面体与球的切接问题难点：正四面体内切球、外接球半径与棱长的关系一复习引入：球的基本性质：性质1：用一个平面去截球，截面是圆______________--截面过球心，半径等于球半径；_______--截面不过球心. 性质2:球心和截面圆心的连线_________于截面性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r , 有下面的关系_________二新课探究1长方体与球探究：长方体的（体）对角线等于球________一般的长方体有内切球吗？设长方体长宽高分别为a,b,c则球的直径为_________练习12正方体与球通过视频学习，以动画的形式，让学生更直观的想象正方体的外接球，棱切球，内切球的情况，加深印象，更容易理解。
探究：棱长为a的正方体的内切球直径为_______棱切球直径为_________外接球直径为_________内切球，棱切球，外接球半径之比_________练习23正四面体与球探究：求棱长为 a 的正四面体 P– ABC 的外接球的半径_____内切球的半径______活动一：法一（截面法）通过建立勾股关系，在RT△OAD中求解外接球半径通过三角形相似，建立数学等量关系，求解内切球半径小组活动：通过小组讨论，运用学过的球的性质，建立几何关系，通过推理运算，得出外接球及内切球半径。
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。
高三数学第一轮复习讲义 多面体和球【知识归纳】1、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。
多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。
（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。
2、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。
其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 3、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r ＝22d R -。
提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。
4、球的体积和表面积公式：V ＝234,34R S R ππ=。
【基础训练】（1）．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是 （ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥（2）．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 A ．24 B ．22 C ．18 D ．16（ ） （3）．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （ ） （4）．已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V 分别等于 （ ） A ．F=6,V=26 B ．F=8,V=24 C ．F=12,V=20 D ．F=20,V=12 （5）在半径为10cm 的球面上有C B A ,,三点，如果︒=∠=60,38ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为__ __；（6）已知球面上的三点A 、B 、C ，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13， 则球心到平面ABC 的距离为____ __ （7）．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是 A ．41 B ．π2141- C ．81 D ．π2181-（ ）（8）在球内有相距9cm 的两个平行截面，面积分别为49πcm 2则球的表面积为___ ___； （9）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的表面积与体积；（10）已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱长均为3，︒=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为__ ____； 【例题选讲】【例1】已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213, 试求第三条侧棱长的取值范围．【例2】已知简单多面体的顶点数．面数．数分别为V ．F ． E ． 多面体的各面为正x 边形，过同一顶点的面数为y ． 求证： .21111=-+E y x)【例3】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a ． （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离；（Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 的位置关系， 并证明你的结论．【例4】如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ，2=SA ，D 为BC 的中点．（1）判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥ABC —S 的体积为63，且BAC ∠为 钝角，求二面角A BC ——S 的平面角的正切值；（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离．【例5】．过半径为R 的球面上一点P 引三条长度相等的弦PA 、PB 、PC ，它们间两两夹角相等。
内接球和外接球公式内接球和外接球是几何学中的两个重要概念，它们分别是指一个多面体内切于多面体的最大球和一个多面体外接于多面体的最小球。
这两个球的半径和体积可以通过公式计算得出。
内接球公式对于一个正多面体，它的内接球半径r可以通过以下公式计算得出：r = a/2 * √(n/(n+2))其中a为正多面体的边长，n为正多面体的面数。
这个公式可以用于计算正四面体、正八面体、正十二面体等多面体的内接球半径。
对于一个正六面体，它的内接球半径r可以通过以下公式计算得出：r = a/2其中a为正六面体的边长。
这个公式可以用于计算正六面体的内接球半径。
对于一个球体，它的内接球半径r等于球体半径的一半，即：r = R/2其中R为球体半径。
这个公式可以用于计算球体的内接球半径。
外接球公式对于一个正多面体，它的外接球半径R可以通过以下公式计算得出：R = a/2 * √(n/(n-2))其中a为正多面体的边长，n为正多面体的面数。
这个公式可以用于计算正八面体、正十二面体等多面体的外接球半径。
对于一个正四面体，它的外接球半径R可以通过以下公式计算得出：R = a/2 * √2其中a为正四面体的边长。
这个公式可以用于计算正四面体的外接球半径。
对于一个球体，它的外接球半径R等于球体半径，即：R = r其中r为球体的内接球半径。
这个公式可以用于计算球体的外接球半径。
总结内接球和外接球是几何学中的两个重要概念，它们分别是指一个多面体内切于多面体的最大球和一个多面体外接于多面体的最小球。
这两个球的半径和体积可以通过公式计算得出。
对于不同的多面体，内接球和外接球的公式也不同。
掌握这些公式可以帮助我们更好地理解多面体的性质和特点。
正多面体与球一、 正方体与球如图：正方体1111ABCD A B C D -中，设其棱长为a问题1：正方体1111ABCD A B C D -（如：AC 、BD 、1AB 等）共有_____条，它们的长度均为__________（用正方体的棱长a表示）；正方体1111ABCD A B C D -（如：1AC 、1BD 等）共有_____条，长度均为__________（用正方体的棱长a 表示）．问题2： 过正方体1111ABCD A B C D -的三个顶点A 、1B 、1D 作该正方体的截面11AB D ，再过顶点1C 、B 、D 也作该正方体的截面1C BD ，你感受到这两个截面有什么位置关系？这两个截面将正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1AC 分成三条线段，你知道这三条线段的长度有什么关系吗？你可以利用等体积法证明你的结论．结论：_______________________________________________________．问题3：在初中的学习过程中,我们知道内切圆与外接圆．类比正方形的内切圆与外接圆，设想一下正方体有内切球和外接球吗？⑴正方形的内切圆与正方形的__________相切；由此可以类比：正方体的内切球的球面与正方体的__________相切．⑵正方形的__________都在它的外接圆上；由此可以类比：正方体的__________都在它的外接球的球面上．⑶正方形的边长为a ，则它的内切圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为_________．⑷正方形的边长为a ，则它的外接圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a ，则它的外接球的半径为_________．注意：类比得到的结论不一定正确．这里，你得到的结论是正确的吗？再仔细考虑一下，看看能不能证明你的结论．问题4：在正方体1111ABCD A B C D -中还有一种球，它的球面和正方体的12条棱都相切，它的半径应该比该正方体的内切球的半径_____，比该正方体的外接球的半径_____（填“大”或“小”）．想正方体的底面平行的平面）有什么关系？利用这一点，你可以求出这个正方体的棱切球的半径为_____（用正方体的棱长a 表示）．二、 正四面体与球如图：正四面体ABCD 中,设其棱长为b ．问题5：顶点A 在底面BCD 内的正投影应该为底面BCD ∆的_____心．问题6：在BCD ∆中，M 为CD 的中点，则线段BM 的长度为_____（用正四面体的棱长b 表示）．问题7：在BCD ∆中，它的内心（内切圆的圆心）与外心（外接圆的圆心）应重合为一点，我们称其为这个等边BCD ∆的中心（注：只有正多边形和正多面体才有“中心”）．在等边三角形中，它的中心到顶点的距离与到对边中点的距离的比值为_____，于是：1BO =_____，1=O M _____（用正四面体的棱长b 表示）．问题8：如图正四面体ABCD 中,线段AM 与BM 的长度有什么关系？图中的1AO B ∆与1AO M 均为直角三角形，你感觉到了吗？到这里，你有多种方法可以求出这个正四面体的高（提示：⑴勾股定理，⑵等面积法）． 则这个正四面体的高1AO = _____（用正四面体的棱长b表示）．问题9：我们知道，正三角形有内切圆与外接圆，并且内切圆的圆心与外接圆的圆心重合为一点．类比这一性质，我们可以想象，正四面体应该有内切球和外接球，并且内切球的球心和外接球的球心重合为一点；我们还知道，正三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为_____（同问题7），类比这一性质，我们还可以想象，正四面体的内切球半径和外接球半径的比应该为_____．注意：类比得到的结论不一定正确．在这里，你得到的结论是正确的吗？问题10：设点O 为该正四面体ABCD 的中心，这个点也应该是它的内切球和外接球的球心，我们可以知道，1OO 应是内切球的半径，OA 、OB 、OC 、OD 均为外接球的半径．你能求出内切球半径与外接球半径的长度吗？设内切球半径为r ，外接球半径为R ，则r =_____，=R _____，r R=_____（其中r 、R 用正四面体的棱长b 表示）． （提示：利用OA OB =并且在1OO B ∆中利用勾股定理）问题11：到这里，回头看一下，在问题9中你类比得到的结论是正确的吗？如果是错误的，为什么会犯这样的错误呢？我们可以这样来想：第一步，线段的重心（一维空间）；第二步，正三角形的重心（二维空间）；第三步，正四面体的重心（三维空间）．展开你的想象，你会得到正确的结论． 结论：⑴．线段的重心(即中点)到两个顶点的距离的比是_____．是_____．是_____．由此可知：正三角形的外接圆半径与内切圆半径的比是_____；正四面体的外接球半径与内切球半径的比是_____．问题12：正四面体也会有棱切球，这个球应该比__________（填内切球或外接球）的半径大，比_________（填内切球或外接球）的半径小．我们暂时不容易求出它的半径，不妨等一会儿再说．三、 正八面体与球如图：在正八面体ABCDEF 中，设其棱长为c ．问题13：在正八面体ABCDEF 中，你能找到正方形吗？有几个，它们分别是__________________________________________________．问题14：由问题13我们可以知道，EF AC BD ==，这几条线段与这个正八面体的外接球有什么关系？由此，你可以得到正八面体的外接球半径为_____（用正八面体的棱长c 表示）．问题15：在正八面体ABCDEF 中，它的棱切球与正方形ABCD 有什么关系？故可知正八面体的棱切球的半径为_____（用正八面体的棱长c 表示）．正八面体的内切球的半径与棱长的关系一时不容易求得，我们再想办法吧！四、 组合体与球问题16：在正方体1111ABCD A B C D -中，设其棱长为a ．我们连接几条面对角线，如图，得到的几何体11ACB D 为_______________（填名称），它的棱长为正方体棱长的_____（用正方体的棱长a 表示）．在这里，你能发现正四面体的棱切球与正四面体以及正方体的关系了吧． 你的结论是：正四面体的棱切球的半径为_____（用正四面体的棱长b 表示）．问题17：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接各个面的中心，则构成一个新的几何体，你知道这个几何体的名字吗？设这个几何体的棱长为c ，则c 与正方体的棱长a 有什么关系？问题18：如图： 过E 、M 、N 三点的平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面11AB D 有什么关系？再有，过F 、P 、Q 三点的平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面1BC D 有什么关系？这两个平行的截面间的距离为正方体的体对角线的_____，这两个平行截面与这个正八面体的内切球有什么关系？至此，你可以求出正八面体的内切球的半径了吧!你的结论是：正八面体的内切球的半径为其棱长的_____．五、 回顾与总结问题19：在以上研究问题的过程中，你得到了很多有用的结论，把你认为有用的结论用红笔标注出来，认真体会．问题20：在以上研究问题的过程中，你用到了很多方法，哪种方法你觉得将来还会用到？多多体会这些方法，它将给你带来很多好处．问题21：在以上研究问题的过程中，你感觉我们用到了哪些数学思想．对数学思想多加认识，它将使你受益终生．六、成功与体验在以上研究问题的过程中，你体会到成功的快乐了吗？当你忘乎一切地思考问题，想到脑子发胀，回首休息一下的时候，正是你快乐的时候，这正是数学的魅力所在．再回头看看走过的路，你会发现，你已远远超越了自己．七、巩固与提高：1.正方体的外接球与内切球的体积的比是______．2.直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB BC AA a ==，这个三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为_______．3.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ⊥底面ABCD ，且1SA =，这个四棱锥的外接球的体积是_______．4.三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是正三角形，PA 、PB 、PC 两两垂直且长度都为1，这个三棱锥的外接球的体积是______．5.三棱锥P ABC -中，90ABC ∠= ，=1AB BC =，PA ⊥底面ABC ，1PA =，这个三棱锥的外接球的表面积是______．6.正四面体的外接球与内切球的体积的比为______．7.，它的棱切球的表面积为______．8.正四棱锥S ABCD -的所有棱长均为a ，它的外接球的体积为______．9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面， 2AB AC ==，90BAC ∠= ，12AA =且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．12π10.已知底面边长为P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．2πC ．43π D ．4π11.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S =________________． 12.面积为_______________．13.已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4+O 的体积等于（ ）ABCD14.在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60BAD ∠= ，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）ABCD15.正四棱锥S ABCD -的底面边长点S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则该球的体积为_____________．16.设正方体的棱长为a ，利用如图所示的几何体的关系，填写下表．其它几何体与球一、长方体与球问题1．我们已经了解了正方体的外接球，由此，你很容易想到长方体的外接球．设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的外接球的直径为__________，半径为__________．问题2．长方体的内切球（与长方体的所有面都相切）与棱切球（与长方体的所有棱都相切）存在吗？请你仔细想想这个问题．二、正三棱柱与球问题3．正三棱柱若存在内切球，这个正三棱柱的底面边长a与高h必存在一定的关系，若内切球的半径设为r，则底面边长a与高h的关系为__________，内切球的半径r与底面边长a的关系为__________，内切球的半径r与高h的关系为__________．问题4．正三棱柱若存在棱切球，这个正三棱柱的底面边长a与高h也应该存在一定的关系，若棱切球的半径设为r，则底面边长a与高h的关系为__________，棱切球的半径r与底面边长a的关系为__________，棱切球的半径r与高h的关系为__________．问题5．正三棱柱的外接球的球心必为上下底面中心连线的中点，设这个正三棱柱的底面边长为a，高为h，如图：利用直角三角形和勾股定理，你一定能求得外接球的半径R与边长a和高h的关系．三、正六棱柱与球问题6．正六棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，你一定能的底面边长为a，高为，你一定能求得它的外接球的半径R与边长a和高h的关系．正六棱柱的内切球与棱切球我们不再统一研究，有兴趣的同学自己研究．问题７．问题5中的正三棱锥一定可以放入一个正六棱柱中，此时，正三棱柱的外接球与正六棱柱的外接球为同一个球，利用正六棱柱的外接球你也可以求得正三棱柱的外接球的半径．设正三棱柱的底面边长为a，则正六棱柱的底面边长为__________（用正三棱柱的底面边长a表示），若正三棱柱和正六棱柱的共同的高为h，则它们的外接球直径为__________（用正三棱柱的底面边长a和高h表示），半径为__________（用正三棱柱的底面边长a和高h表示）．四、圆柱体与球问题８．圆柱体的内切球课本上28页已经研究过了，我们要注意体会这里的结论和方法．⑴．球的体积是圆柱体的体积的__________；⑵．球的表面积是圆柱体的表面积的__________；⑶．球的表面积等于圆柱体的侧面积．问题９．圆柱体的外接球的直径更容易考虑，自己想想吧！设圆柱底面半径为r，高为h，则外接球的半径为__________（用圆柱底面半径r和高h 表示）．五、 地球仪与球地球仪是我们最熟悉的球体，地球仪里面有经线、纬线，经度、纬度，南极、北极，我们很容易用它们来刻画球里的各种特征．请你认真体会，能给你帮上大忙．六、 三棱锥与球问题１０．你能用面积法求三角形的内切圆半径吗？如：ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ， ABC ∆的面积为S ，设内切圆的半径为r ，则内切圆的半径r =__________．问题１１．类比问题１０，你能考虑三棱锥的内切球的半径与三棱锥的各个面的关系吗？写出你的结论．问题１２．如果一个三棱锥能放入一个长方体、正方体、三棱柱、六棱柱、圆柱或地球仪中，这个三棱锥的外接球的直径或半径我们就可以求出．认真体会这一思想，它能帮你解决好多问题．七、 回顾与总结问题１３：在以上研究问题的过程中，我们得到了哪些有用的结论？把你认为有用的结论用红笔标注出来，认真体会．问题１４：在以上研究问题的过程中，我们用到了哪些方法？多多体会这些方法，它将给你带来很多好处．问题１５：在以上研究问题的过程中，你感觉我们用到了哪些数学思想．对数学思想多加认识，它将使你受益终生．八、 巩固与提高1球面上，则此球的体积为___________________。
