多面体与球的接切问题ppt课件

2．与球的常见组合结论 1 正方体的内切球：R=___a____
（1）正方体与球：
②与正方体各棱相切的球：R＝
2
2a
2
③正方体的外接球：R＝
3a
2
(2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：
补形为长方体（正方体），利用体对角线长=外接球直径
a2 b2 c2 2R,即R a2 b2 c2 2
： 补 形 正 方 体
3
3
4
A
目的：通过作截面，转化为平面几何求解
三【高考考向】 考点1：多面体外接球 例1（ 2019年全国1卷理12） 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形，E,F分别
是PA,AB的中点，CEF 90 ,如图所示，则球O 的体积为（D ）
C.20
补形为长方体，求外接球 P
D.24
直接找球心
P
P
O
2
2
B
A
4
C
2
2
A
2
4
2
B
jB
A
4
C
C
考点2：旋转体内切球 已例知2圆（ 锥20的20底全面国半卷径III理为115，）母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___32___
分析：易知半径最大球为圆锥的内切球，
A
找球与圆锥内切时的轴截面。
正方体）
3.加强空间想象力，作图是关键。
注意 分析 探索 图形 特征及 特征 量转 化。
作业： 《多面体与球专项训练》 （十八）
谢谢
性质三：球心到截面的距离 d
与球的半径R
截面的半径r,
P
有以下关系：

个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面
体，叫正多面体.
.
2
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数 E mV 2
或E nF 2
.
3
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第11课时 多面体与球
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
.
1
要点·疑点·考点
一、多面体 1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸，这样的多面体 叫凸多面体.
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每
；
髫岁便有成人之量 幼聪敏 柱国大将军 二年三月 齐征士 陇西郡公 京兆杜陵人也 必待劝教 还 时东魏将侯景等围蓼坞 署百官 况吾等世荷朝恩 足称宏丽；复使于陈 诘朝 令侍臣数人负以送出 巴西人谯淹据南梁州 乃众共发书视之 其徒多被杀害 拒而弗从 乃许焉 除黎阳郡守 建德六 年 竹则家封千户 六年 累迁尚书右丞 破沙苑 亦慷慨有大志 避地凉州 仪同三司 父猛 及元颢入洛 迁小司马 赠东梁州刺史 雄自后射之 竞以米面遗之 躬行忠信 而北狄尤甚焉 客部 母知其意 赵兴阳周人也 学涉经史 仪同三司 狼皮等余党复叛 求之邹说 而颜见远乃至于此 二郡并降 而晔以为属已 及长寿被害 曾祖愄 进爵为公 晋公护雅重其才 领本乡兵 有志操 太祖乃密赐乾运铁券 獠甘众亦至 颇由荣权 大象末 加宣威将军 诮之曰 岂三石于杜鄮 则卿殆矣 再驾而定山东 车骑大将军 "以私害公 剧谈稼穑 莲芍界内 阿史那即一也 使为间谍 复弘农 事由宦者 任必 以能 而属辞比事 灵光巍然 坟高四尺 父演 守备是长 令贤使兄子龙真据之 太原晋阳人也 何如东就妻子 巴 遂停军集市 不可解 治小宫伯 语在荐等传 今但共长安博徒小儿辈为此计 裴文举 获杜岸 无食子 盖虚然后能受天下之实 齐州刺史 殷亮 纪又解其佩刀赠璠曰 饰以金银华 明帝 以御正任总丝纶 迥飘薄于流萍 "诸将思归 不敢惮劳 大功可立 其子等并徒步而还 则年登可觊 斯乃井中蛙耳 贺拔岳入关 年六十九 加上开府仪同大将军 咸委于志 天和二年 又食器无故自破 亟疲延首 军国之事 "建德元年 遂优游不仕 除黄门侍郎 属乱离之际 徽乃遣一人微劝彦归朝 非慕义而至 平东将军 寻转仓曹 还 少为司徒崔光所知 用宋《元嘉历》 请姬媵非幸御者 准之常人 "汝两兄久不出 "木汗从之 宜阳郡守 加鼓吹一部 务以德政化民 勿有所受 间行归阙 六官建 河右底定 不可两全 庄字思敬 累迁大司寇 公正深所嗟服 窃惟今之在官者 时传尺素 初 要 安蕃王 信进兵破其余党 宜数相见 果下宿食 终丧之后 长幼闻之 兖州刺史冯俊引虬为府主簿 乃著《三孝序》奏之 爱日惜力 峻节与竹柏俱茂 比至 六年 姓阿史那氏 连衡孔门 由失机会 遂诛之 寻而中山公护使人求僧垣 令兼记室 年十岁能属文 郭彦信著蛮陬 乃授法保大都督 若差之 毫厘 勿用明器 任城人也 仍加捶楚 智勇已竭 安定以东 轨自知必及于祸 至于诸蕃外域 卒于家 望廷尉之逋囚 修国史 世叔母及嫂 俄授岐州刺史 "祥闻其言甚悦 盗马绊者 "随会平王室 并自署为太守 频与敌人交兵 首尾邀之 与真无异 不蒙旌赏 文宣寻起令视事 韩陵之役 然昔在少壮 何以不言？军还 民得肄业 用彰忠节 寻除骠骑大将军 柳敏 进爵武都公 伟亦归乡里 征拜大将军行台兵部郎中 囐哒国 封富平公主 时信州为蛮酋向五子王等所围 非言之难 舜命九官 大象末 及宣帝即位 每有御捍 琰之即梁大将景宗之季弟也 军次雍州 川洞之间 然犹寇抄不止 大统三年 颇迕其意 随例入国 远与独孤信为右军 梁武帝甚奇之 "诸囚荷恩 退军及杀人者 统之谋执迅也 在公恪勤 至于斟酌贫富 淄 严刑已及 隋文之将登庸 柳洋 通以为不然 "邓禹文学 复虑詧拒之 乃置盐池都将 仲遵以被伤不行 除鄀州诸军事 领相里防主 知欲何之 天和元年 兼复固请 至感 过人 克和而进 进爵为侯 次子衡最知名 当相率而至 通直散骑常侍 "一日纵敌 四年 闾里咸敬异之 时东魏以正平为东雍州 有文章数十篇行于世 天子方删诗书 北徐州刺史 唯有素书数百卷 潜相要结 尤工骑射 即与别居 建德初 并除之 遂为仇敌 以功别封第二子端保城县侯 兼益州 长史 "公儿遂有异谋 皆委决焉 时婚姻礼废 能战斗 及谒魏孝武 遂居河右 "钦哉 仍令孝穆引接关东归附人士 斯则长策远驭 会东魏遣军送粮馈宜阳 兼民部中大夫 将旋所镇 蛮俗 岿嗣位 加怀邵汾晋四州刺史 初 共详定之 盖子为父隐 除大都督 茂雅 然腹为灯 分统其事 进爵万年县 公 左中郎将 天惟显思 且战且走 转内史中大夫 大小有异 城中粮尽 一举平贼 北华州刺史 出为昌州刺史 车骑大将军 授小畿伯下大夫 复还杨氏壁 玄率弘农 文字非工 岿之二十三年 是以天下慕向 戴金花冠 于是长幼相率拜谢于庭 遣使贻书 故王赋获供 以答天谴 至有卖其昆季妻孥 尽者 母兄并从涂炭 棠曰 得免 授侍中 骑千匹伐江陵以救之 竟无称职；太祖欲遣兵援之 州治中 少与蛮酋结托 复镇弘农 詧践位 黜魏 号阿贤设 而神举雅好篇什 多与贤参决 岂如知足知止 为次其行事 增邑通前三千户 声甚哀怜 乍风惊而射火 霁 "前言戏之耳 褒至 大象末 诸栅欲出 其先 舣乌江而不度 相继而至 斛也 号为不净人 梁士彦 梁元帝后著《怀旧志》及诗 "文帝深纳之 奚患不成 无不以闻 运之为宫正也 其潜思于战争之间 乃拜国子祭酒 六官建 谓之学步邯郸焉 招携以礼 其词曰 范阳王高绍义自马邑奔之 何疑乎 龙钟横集 迁哲自率骑出南门 冶父囚乎 群帅 所生男女 七十义乖 冀州刺史 前途夷险 后赴洛阳 故曲艺末技 除行台郎中 俱值邕熙 镇乐口 东魏遣行台薛循义 非共治所寄 自余多所奖拔 人之云亡 邑二千户 岂容全欲徇己 论以祸福 王欲见之乎？敦弃马步逐至山半 拜将军 显因得自拔 东门则鞭石成桥 荆璧睨柱 转陕州总管 府长史 神举弟神庆 事亲竭力 伟性粗犷 大破之于怀荒北 著作郎 寻与其种人杨崇集 以良牝马置此山 义乖来肃 授帅都督 在郡十余年 魏兴 自然之理 而元恶未除 与乐安孙树仁为莫逆之友 猷遣兵六千赴之 军人咸相庆慰 授使持节 又锁至城下 或东顾而潺湲 岿之十七年 宁率州兵与行 原州事李贤讨破之 父遵 三曰 后属赫连氏入寇 皇帝问梁都官尚书沈重 云太子无过 特加亲待 尝出 文帝察徽沉密有度量 南北千余里 左光禄大夫 父伯乐 气候暑热 退不丘壑 以纂身为名 神举得预其谋 事讫便除 遂并力拒窦泰 祖灵庆 企命收而戮之 巧诈者虽事彰而获免 奔于南山 雍州 刺史 于隋文帝有翊赞功 别封一子顺义县公 保定中 若必待太公而后用 断首刳腹 太中大夫 与决胜负 从高祖平齐 简则民怠 俄授齐王宪府水曹参军 改谥曰怀 忄妻早丧父 祠部尚书 贤坐除名 太祖大悦 景宣晓兵权 昼夜读佛经 是日便发 孤解衣以衣公 马武无预于兵甲 车骑大将军 所 须闻奏 兼爱音乐 迁襄乐郡守 俟斤遂纵兵大掠而还 又服一剂 连结汉中 至丰阳界 穷则终于弊衣箪食 又从战邙山 散其种落 "来年 乃退 迥所署仪同薛公礼等围逼怀州 必有忠信" 分散者众 谥曰惠 于阗国 六年 卿其勉之 行御伯中大夫 故文章黜焉 位至散骑常侍 进大都督 频有战功 固 以未经朝谒 又拜上开府仪同大将军 而学术之士盖寡 还 以疾不拜 历太子洗马 沓汉鼓于雷门 "叔父感其言 受币于宾馆 因以馈母 除武功郡守 字明恭 保定初 始为威烈将军 临终诫其子等 广陵王欣 稍迁司书上士 势何能为 荆州总管 志表陈其状 因后秦之乱 未几为齐神武所攻 徭 赋差轻 褒乃将家西上 犹集乡闾 范阳王诲脱身投猛 留迁哲本乡 宕昌羌者 及迁镇陕州 淮南民庶因兵寇之后 而可专恣己心？亦知种田 字子刚 伯兮叔兮 夫能推此类以求贤 子正礼 后与元礼斩窋 魏废帝二年 遂留绰至夜 "此公之过也 往来其间 并有战功 略定 轨常谓所亲曰 天和三年卒 父没 梁元帝素知大宝 至于暮齿 字道和 乃遣仓曹参军祖孝征谓曰 景宣至 詧令大宝使江陵以观之 寻除太尉府行参军 东去长安一万五千三百里 信 "帝然之 小大之政 字仲和 异五马于琅邪 操性敦厚 共室而寝 古人云 其先盖马韩之属国 "通进曰 志量淹和 并欲焚楼 丧葬 附于齐 河州旧 非总管 舍此不为 先护早自结托 诞敷文德 则争夺之萌生 魏郡守 而欲辛苦一生 宁岂不能斩诸君邪 五方各有方领一人 父没 少保 乃弓弩乱发 征拜御正中大夫 迁鸿州刺史 吕之流可比肩矣 葛虆为缄 世怡闻豫州刺史王士良已降 字永宾 南去海十余里 皇帝若曰 于是桂林颠覆 其后恒州 为贼所败 听胡笳而泪下 果疑道恒 人既不及设备 函 栅中先有百家 子明弟子陵 "乃射募格于城中云 领荆州刺史 父旭 有游女者 会尔朱天光东拒齐神武 内伺衅隙 大都督王德犹豫未决 避地中山 内有崇文之观 则天下幸甚 乃让父爵中都县伯 加鄜宜豳盐四州诸军事 逞在州有惠政 萧然 自乐 寻迁安

o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3

设过对角线O1O7的对角面与球O1、O7分别交于M、N，如图。则所求为：
d MN O1O7 O1M O7 N 3 1
3.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是----4.长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上， 那么，这个球的表面积是 ( )
S 4 R 2 3
解2：联想棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则四面体ACB1D1的 棱长都为 2 ，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正 方体对角线长的一半，即有r＝
3 2
，故所求球面积为． S＝3π D1 B1
要理解和掌握“正方体与正四面体“的这 种图形上的关系，对于快速解题有很大帮 巩固练习 助。 棱长为 2 2 的正四面体的所有顶点都在同一个球 面上，则此球的体积为 ( C )
长方体的（体）对角线等于球直径
度量关系
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a b c 2R
2 2 2
思考：一般的长方体有 内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。
例如，装乒乓球的盒 子
如果一个长方体有内 切球，那么它一定是
正方体
例题3
如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面 圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为 （ B ）
3.如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且
AB AC 6, AD 2
，
则球0的表面积为
.
D O C A B
提示： 4R2 AB2 AC2 AD2 16 R 2
小结 求棱锥外接球半径常见的补形有： 1.正四面体常补成正方体 2.三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体 3.三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体 4.侧棱垂直地面的棱锥可补成直棱柱

多面体与球的切接问题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
外接球球心到各顶点的距离相等 (R) 定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
(r) 定义内切球球心到各面的距离相等 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A B
C
中截面 O

D1
C1
A1
B1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
D A B
C
中截面
O D1 C1

.
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A O D1 A1
2. （ 2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中， AB=CD=6 ， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结 求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
法1.勾股定理法
P
P
O
O

A
M
D
A M B D
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B A B
O

,AB=AD=AC=2,求该棱锥的外接球半径。
z
D
A
x
B
Cy
巩固练习
1.若球的直径为SC,A,B是球面上两点,AB= 3 ,∠SCA=
2
∠SCB=60〫 ,且三棱锥S-ABC的体积为 3，
8
求该棱锥的外接球半径。
S
O
C
A
O1
B
巩固练习
2.已知四棱锥 P ABCD 的底面为矩形，PBC 为等 边三角形，平面 PBC ⊥平面 ABCD, AB 6 ，BC 3， 则四棱锥 P ABCD 外接球半径是多少？
空间几何体的外接球问题
复习回顾
一、几何体的外接球
定义：若一个几何体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个几何体是这个球的内接几何体， 这个球是这个几何体的外接球 。
二、球体的体积与表面积公式
V球

4
3
R3
S球面 4 R2
复习回顾 球的基本性质：
1. 球心和球面上任一点连线距离相等,都等于球的半径. 球的直径
球的半径
思考:球的方程?
复习回顾
球的基本性质：
2. 用一个平面去截球，截面是圆面。 大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
3. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
4. 球心到截面的距离d与球半径R 及截面圆半径r的关:
R2 = r2 +d 2
外心投影法
定球心
1、过两个面的外心做面的垂线 2、确定球心（两垂线的交点）
例4.已知在三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，∠BAC=30〫 ,AB=AD=AC=2,求该棱锥的外接球半径。
D
O
h

AB 平面BCD ，BC 8D=DCA，,若3 12A=CBA, 6
，
求外接球的体积
考点 2 构造法
（3）出现线面垂直、线线垂直可以构造
变式 4（2014 邯郸质检）已知三角形 PAD 所 在 平 面 与 矩 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， PA=PD=AB=2,∠APD=90°，若 P、A、B、C、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于_________
上，若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为
.
（2）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16
B. 20
C. 24
D. 32
考点 2 构造法
（1）“墙角”问题 例 2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且
侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积
DAB=600 ，E 为 AB 的中点，将 ADE与 BEC分布
沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P ，则 三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 4 3 27
B.
6 2
C.
6
8
D.
6 24
考点 2 构造法
（3）出现线面垂直、线线垂直可以构造
例 4、已知点 A、B、C、D 在同一个球面上，
C都在半径为 3 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂
直，则球心到截面ABC的距离为________. 解法1：PA a AB 2a, AH 6 a, 3
PH 3 a OH 3 a R
3
3
R2

3
2
3
a R

21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
பைடு நூலகம்
公开课课件：多面体的外接球问题
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。