人教版高中数学必修二《简单多面体的外接球问题》

教学设计课题：简单多面体的外接球问题学校：姓名：教案教学过程（师生活动）设计意图知识梳理4.三角形外接圆的圆心与半径直角三角形等边三角形一般三角形正弦定理：数学来源于生活，培养从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，用数学的方法解决问题的数学素养.通过展示模型让学生直观感受多面体的外接球，激发学生的学习兴趣，使学生产生探索欲望.让学生回顾已学的知识，有利于本节课的顺利进行，从学生已有的认知水平出发，引发学生积极思考，相互交流.1.球的体积公式：343V Rπ=2.球的表面积公式：24S Rπ=3.球的截面圆圆心与球心dO'O历年涉及真题2016Ⅱ文4 2017Ⅰ文162017Ⅲ文9 理8 2018Ⅲ文12 理102020Ⅰ文12 理10 2020Ⅱ文11 理10重心圆心：半径：高的OACBOCBA圆心：斜边的中点半径：斜边的一半R——外接圆半径ABC球的半径圆的半径两心距RCcBbAa2sinsinsin===''OOO截面圆⊥知识梳理例题讲解5.长方体的外接球6.正方体的外接球二、割补法通过视频探究演示，体会求长方体外接球半径的方法，并再此方法的基础上归纳求外接球半径的公式.培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力，深刻体会化归的数学思想.利用类比的数学方法快速得到正方体外接球的半径计算公式.以高考真题开篇，充分调动学生的积极性，提高重视程度.长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.正方体外接球的直径等于正方体的体对角线.A BCDD1C1B1A1O1.（2017Ⅱ文15）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.球表面积外接球半径长宽高长方体体对角线分析：解：设外接球半径为，表面积为R S2222cbaR++=ππ144144214141232222=⨯===++=SRR，aaaaR⋅=++=32222自主探究归纳方法探究一割补长方体和正方体师：小组合作，试一试能在长方体和正方体中割补出哪些简单的多面体.生：小组活动后展示成果.师：将小组成果画下来.引导学生探究可以补成长方体和正方体的类型，动态演示割补过程，将问题简单化.各小组进行模型操作，理解补体法，培养动手操作能力与合作交流能力.教师通过引导，鼓励学生自主探索、动手实践、合作交流，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．通过图形动态演示与动手操作模型，发展几何直观和空间想象能力，培养学生的数学直观想象素养.注重分析的过程，理清解题思路，强调计算方法.2.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且则此三棱锥的外接球的体积为__________ .ABCP-，，，257===PCPBPA527ACBP分析墙角型三棱锥墙角型补成长方体长方体外接球半径3.已知三棱锥中则该三棱锥外接球的半径为__________ .BCDA-，，，52513======CDABBCADBDACABCDabc三式相加⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+202513222222bacbca⎪⎩⎪⎨⎧===？222cba()582222=++cba归纳方法加强练习师：不能借助长方体和正方体解题的题型，一般通过确定球心构造直角三角形来解决外接球问题.探究二外接球的球心师：请一位同学发表自己的看法.培养学生观察与归纳的能力，帮助学生进一步巩固知识，并能运用构造直角三角形解决问题.通过图形动态演示，归纳解题方法，明确构造直角三角形关键在于定两心：底面外接圆圆心和外接球的球心.学以致用，强调具体问题具体分析，考虑问题要全面.CBAA'B'C'底面是一般三角形的直三棱柱它的外接球球心在哪？外接球的半径怎么求？4.已知正三棱锥的底面外接圆半径为1，侧棱长为3，则该正三棱锥外接球半径为_________．BCDA-1O13AOBCDRd-=22()12222=--RR课堂小结数学方法：①类比②数形结合③化归通过反思进行小结归纳，培养概括能力.帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.布置作业学生独立完成例题解题过程，巩固今天的内容.板书设计简单多面体的外接球问题长方体：割补法：多面体外接球墙角型双垂直正四面体对棱相等构造直角三角形：定两心（圆心，球心）2.完成课后练习.1. 完成今天所有题目的解答过程；1.长方体：3.割补法：①墙角型②双垂直③正四面体④对棱相等4.构造法：直角三角形2.正方体：定两心（圆心，球心）正方体：球的半径圆的半径两心距球的半径圆的半径两心距2222aaaR++=a⋅=32222cbaR++=2222cbaR++=2222aaaR++=a⋅=3。

简单空间几何体的外接球问题教学设计一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。

本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。

二、教学目标设置知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。

情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。

三、学生学情分析多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。

球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。

四、教学过程设计（一）、新课引入1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.2、学生活动：展示长方形外接圆的求法学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为60。

，则四面体ABCD的外接球的半径为( ).【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。

（根据球的定义确定球心）【注】：小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心设计意图：通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义，通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。

确定简单多面体外接球的球心的策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径r或确定球心o的位置问题，其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心，下面作一些归纳、总结．1 由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1 正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．结论2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4 正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．例1 （2012年高考辽宁卷·文16）已知点p，a，b，c，d是球o表面上的点，pa⊥平面abcd，四边形abcd是边长为23的正方形.若pa＝26，则△oab的面积为________．图1解析因为外接球球心满足到各个顶点距离相等，直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等，故可知pc的中点即为球心o.如图1，在rt△pac中，ac＝26，pc＝43，故r＝23.球心满足oa＝ob＝r＝23，故△oab为等边三角形，所以其面积s＝33．评注（1）球心满足到各个顶点距离相等，故球心常常在某直角三角形的斜边中点处.另外，因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，故一个球中多个过截面圆圆心的垂线的交点必为球心.（2）此题还可以通过构造长方体找到球心，并获解．例2 （2010年高考全国ⅰ新课标卷·理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）.a.πa2b.73πa2c.113πa2d.5πa2图2解析设o1，o2分别是正三角形a1b1c1和正三角形abc的中心，又三棱柱abc—a1b1c1是正三棱柱，所以其外接球的球心o是o1o2的中点，如图2，于是其外接球的半径为r＝oo22+ao22＝（a2）2+（23ad）2＝（a2）2+（23×32a）2＝7a212，所以球的表面积为4π·r2＝73πa2，故选b．评注（1）正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心的连线的中点.（2）直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．2 构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例3 （2012年高考辽宁卷·理16）已知正三棱锥p—abc，点p，a，b，c都在半径为3的球面上.若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为________．图3解析因为pa，pb，pc两两互相垂直，故正三棱锥p—abc的外接球即是以pa，pb，pc为棱的正方体的外接球，球心是在其体对角线的交点处，如图3，易证op⊥平面abc，所以球心o到截面abc的距离即为球半径r减去正三棱锥p—abc的高.设pa＝a，则（2r）2＝3a2，所以a＝2.设正三棱锥p—abc的高为h，则va—pbc＝vp —abc，即13×12a2·a＝13×34（22）2h，解得h＝233，故球心到截面abc的距离为3－233＝33．评注（1）易知三棱锥o—abc是正三棱锥，求出其高即为所求.（2）构造正方体并找到球心是破解此题的关键．3 由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心o1的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．例4 三棱锥s—abc中，sa⊥平面abc，sa＝2，△abc是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为________．图4解析设o1是△abc的外心，如图4，则o1a＝o1b＝o1c.过点o1作平面abc的垂线oo1，由此可知直线oo1上任意一点与a，b，c的距离相等，故三棱锥s—abc的外接球的球心在直线oo1上，又要使oa＝os，则o在线段sa的垂直平分线do上，从而三棱锥s—abc的外接球的球心是直线o1o与do的交点．do＝ao1＝23ae＝33，在rt△aod中，ao2＝ad2＋do2＝43，于是s球表＝4π·ao2＝163π．评注（1）一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心且垂直于这个面的直线上.（2）此题也可以通过构造正三棱柱来解答，其球心是两底面三角形中心的连线的中点．。