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2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)2-12 (C)12(D) 2 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，x +20y -=37897988()a a a a a a a ===g 10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====g(5)43(1)(1x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a=1a +由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).AB C DA 1B 1C 1D 1O【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =g(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =g 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF =g 4（9）正方体ABCD -1111A B CD 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）3 （B ）3 （C ）23（D ）39.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD a ∆==⨯⨯=o g ,21122ACD S AD CD a ∆==g . 所以1313ACD ACD S DD DO a S ∆∆===g ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos O O O OD OD ∠===（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e , 3221log log 2e <<< ，32211112log log e<<<； c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •u u u v u u u v的最小值为(A) 4-+3-(C) 4-+3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=u u u v u u u v ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB •=-+u u u v u u u v此时x =【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭u u u v u u u v 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x x x--•==+-≥u u u v u u u v 【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x •=-+-=-+--=+-≥u u u v u u u v（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(C)()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y •=-⋅--=-+-u u u v u u u v12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max 3V =.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2010年全国高考数学试题（课标卷）解析（理科数学）1、D解析：由已知得，所以．2、A解析：，所以．另解：，下略．3、A解析：，所以，故切线方程为．另解：将点代入可排除B、D，而，由反比例函数的图像，再根据图像平移得在点处的切线斜率为正，排除C，从而得4、C解析：显然，当时，由已知得，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间的变化质点P到轴的距离先减小，再排除B，即得C．另解：根据已知条件得，再结合已知得质点P到轴的距离关于时间的函数为，画图得C．5、C解析：易知是真命题，而对：，当时，，又，所以，函数单调递增；同理得当时，函数单调递减，故是假命题．由此可知，真，假，假，真．另解：对的真假可以取特殊值来判断，如取，得；取，得即可得到是假命题，下略．6、B解析：根据题意显然有，所以，故．7、D解析：根据题意满足条件的．8、B解析：当时，，又由于函数是偶函数，所以时，的解集为或，故的解集为或．另解：根据已知条件和幂函数的图像易知的解集为或，故的解集为或．9、A 解析：由已知得，所以，又属于第二或第四象限，故由解得：，从而．另解：由已知得，所以10、、B解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知，所以球的半径满足：，故11、C解析：不妨设，取特例，如取，则易得，从而，选C．另解：不妨设，则由，再根据图像易得，故选12、B解析：由已知条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，，则有，两式相减并结合得，，从而，即，又，解得，故选B．13、解析：的几何意义是函数的图像与轴、直线和直线所围成图形的面积，根据几何概型易知．14、三棱锥、三棱柱、圆锥等15、解析：设圆的方程为，则根据已知条件得16、解析：设，则，由已知条件有，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以．17、解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，。
而所以数列{}的通项公式为。
（Ⅱ）由知①从而②①-②得。
即（18）解：以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则（Ⅰ）设则可得因为所以（Ⅱ）由已知条件可得设为平面的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线与平面所成角的正弦值为（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为（2）。
2010年普通高考数学试题（新课标）A 卷文科数学参考公式：样本数据12, n x x x 的标准差 锥体体积公式s = =13V s h 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2334,4S R V R ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合2,,4,|A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2|（2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665-（3）已知复数z =，则i = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+（C ）22y x =- （D ）22y x =-+（5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A （B（C（D （6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A ）54（B ）45（C ）65（D ）56 (9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){}20x f x ->=（A ）{}24x x x <->或（B ）{}04 x x x <>或（C ）{}06 x x x <>或（D ）{}22 x x x <->或（10）若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+= （A ）（B（C） （D（11）已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是（A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20）（12）已知函数f(x)=lg 1,01016,02x x x x <≤-+>⎧⎨⎩ 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc 的取值范围是（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2010年高考数学试题分类汇编——新课标选考内容（2010辽宁理数）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E（I ）证明：ABE∆ADC ∆ （II ）若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=21，求BAC ∠的大小。
证明：（Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠因为A E B A C ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠=故△ABE ∽△ADC. ……5分（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC=，即AB ·AC=AD ·AE. 又S=12AB ·ACsin BAC ∠，且S=12AD ·AE ，故AB ·ACsin BAC ∠= AD ·AE.则sin BAC ∠=1，又BAC ∠为三角形内角，所以BAC ∠=90°. ……10分（2010辽宁理数）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ：O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。
（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。
解：（Ⅰ）由已知，M 点的极角为3π，且M 点的极径等于3π， 故点M 的极坐标为（3π，3π）. ……5分 （Ⅱ）M点的直角坐标为（6π），A （0,1），故直线AM 的参数方程为1(1)6x t y π⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） ……10分 （2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。
绝对经典2010年全国各省高考数学试题经典完整分类汇编2010年全国各省高考数学试题经典完整分类汇编——集合与逻辑（2010上海文数）16.“”是“”成立的[答]（）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.解析：，所以充分；但反之不成立，如（2010湖南文数）2.下列命题中的假命题是A.B.C.D.【答案】C【解析】对于C选项x＝1时，，故选C（2010浙江理数）（1）设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，则（A）（B）（C）（D），可知B正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题（2010陕西文数）6.“a＞0”是“＞0”的 [A](A)充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：本题考查充要条件的判断，a＞0”是“＞0”的充分不必要条件（2010陕西文数）1.集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B= [D](A){xx＜1} （B）{x－1≤x≤2}(C){x－1≤x≤1} (D){x－1≤x＜1}{x－1≤x≤2}｛xx＜1｝{x－1≤x＜1}，，则（A）（B）（C）（D）解析：选D.在集合中，去掉，剩下的元素构成（2010辽宁理数）(11)已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是(A)(B)(C)(D)【答案】C【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力。
【解析】由于a>0,令函数，此时函数对应的开口向上，当x=时，取得最小值，而x0满足关于x的方程ax=b,那么x0==,ymin=，那么对于任意的x∈R,都有≥=（2010辽宁理数）1.已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=（A）{1,3}(B){3,7,9}(C){3,5,9}(D){3,9}【答案】D【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力。
专题一集合与常用逻辑用语1、（10年山东卷理T1）已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=（A ）{x|-1<x<3} (B){x|-1≤x ≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x ≤-1或x ≥3} 2、（10年山东卷文T1）已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U C M = A. {}22x x -<< B. {}22x x -≤≤ C ．{}22x x x <->或 D. {}22x x x ≤-≥或 3、（10年山东卷理T3）在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行4、（10年山东卷文T1）已知全集R =U ，集合{}240M x x =-≤ ，则UM =（A ）{}22x x -<< （B ）{}22x x -≤≤（C ）{}22x x x <->或（D ） {}22x x x ≤-≥或5、（10年山东卷文T4）在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两个平面平行 6]、（10年山东卷文T7）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a ”是“数列{}n a 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分而不必要条件（D ）既不充分也不必要条件专题二数系的扩充与复数的引入1、（10年山东卷理T2） 已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)32、（10年山东卷文T2）已知2a ib i i +=+(,)a b R ∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（A ）-1（B ）1（C ）2（D ）3专题三函数1、（10年山东卷理T4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D2、（10年山东卷理T10）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-,08,10105,02y x y x y x 则目标函数y x z 43-=的最大值和最小值分别为（A ）3，-11（B ）-3，-11（C ）11，-3 （D ）11，3理（11）函数22x y x-=的图象大致是（A ）（B ）（C ）（D ）3、（10年山东卷文T3）)13(log )(2+=xx f 的值域为（A ）(0,)+∞ （B ）[)0,+∞（C ）(1,)+∞（D ）[)1,+∞4、（10年山东卷文T5）设()f x 为定义在R 上的函数。
考点 22 简单多面体与球1.（2010 ·四川高考理科· Ｔ 11）半径为 R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为 B ， BCD 是平面 内边长为 R 的正三角形， 线段AC, AD 分别与球面交于点 M ， N，那么 M , N两点间的球面距离是（ ）R arccos17R arccos18（ A ）25（ B ）25 1R4R（C ） 3（D ） 15【命题立意】 此题考察了两点间的球面距离（即求弧长） 问题，解三角形， 平行线平分线段成比率的知识，考察了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力.【思路点拨】欲求M , N 两点间的球面距离，依据弧长公式可知，需求MON的弧度数，从而转变为求线段 MN 的长度 .∵题目中所给条件大多集中在 BCD 内， 故探究 MN 与 CD 的数目关系 .【规范解答】选 A . 连接 BM ，∵ AB 为球 O的直径，∴BM AC ，在 Rt ABC 中，AB 2R, BC R, ACAB 2 BC 25RBC 2 CMCA CMBC 2 5 RAMAC CM4 5 R由射影定理可得CA5.则5.同理，连接BN,则△ ABM ≌△ ABN, 则ANAM ,又 ACAD ,MNAM 4 MN4CD 4 R∴MN ∥CD .∴CDAC 5,即55 .在三角形MON中 , OM=OM=R,MN4 R5 利用余弦定理可得：cos MON =OM2ON 2 MN 217MON arccos172OM ON 25，∴25, ∴M,N 两点间的球面距离为R arccos1725 .2.（ 2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ 12）已知在半径为 2 的球面上有 A ， B ， C ， D 四点，若 AB=CD=2, 则四周体 ABCD 的体积的最大值为（）2 34 38 3(A)3 (B)3(C)23(D)3【命题立意】本小题主要考察几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离的空间想象能力及推理运算能力.,经过球这个载体考察考生【思路点拨】当AB CD 时体积最大，选择适合的底和高，利用三棱锥体积公式求解.【规范解答】选 B.方法一：当 AB CD 时，体积最大，如图：过 CD 作平面 PCD ，使AB平面PCD,交 AB 与点 P ,设点 P 到 CD 的距离为 h ,V四周体ABCD 1 SPCD AB1 1h 22h3 323 ,当直径经过AB则有 2与 CD 的中点时,hmax2 2212 23 ,故Vmax4 33 .方法二：如图：当异面直线AB 与 CD 间的距离最大，且AB CD 时，四周体 ABCD 的体积最大，分别取AB与 CD的中点 E，F ，连结 EF ，此时球心O 为线段EF 的中点，则2 2 2 V A BCD 1S ECD AB 1 1 2 2 3 2 4 3EF 2OA AE 22 1 23. 3 3 2 3 . 3．（ 2010·湖北高考理科·Ｔ 13）圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个同样的球（球的半径与圆柱的底面半径同样）后，水恰巧吞没最上边的球（如下图），则球的半径是 ____cm.【命题立意】此题主要考察圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解能力．【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为8cm 的水的体积即为 3 个球的体积和。
2010年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2010•江苏）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=1．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即a=1故答案为1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．2．（5分）（2010•江苏）设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接对复数方程两边求模，利用|2﹣3i|=|3+2i|，求出z的模．【解答】解：z（2﹣3i）=2（3+2i），|z||（2﹣3i）|=2|（3+2i）|，|2﹣3i|=|3+2i|，z的模为2．故答案为：2【点评】本题考查复数运算、模的性质，是基础题．3．（5分）（2010•江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3∴故填：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n；（2）算出事件A中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件A的概率，即P（A）=．4．（5分）（2010•江苏）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有30根在棉花纤维的长度小于20mm．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于20mm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．【解答】解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，则频数为100×（0.01+0.01+0.04）×5=30．故填：30．【点评】本题考查频率分布直方图的知识．考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．5．（5分）（2010•江苏）设函数f（x）=x（e x+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可【解答】解：因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为奇函数由g（0）=0，得a=﹣1．故答案是﹣1【点评】考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法．6．（5分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是4．【考点】双曲线的定义．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】d为点M到右准线x=1的距离，根据题意可求得d，进而先根据双曲线的第二定义可知=e，求得MF．答案可得．【解答】解：=e=2，d为点M到右准线x=1的距离，则d=2，∴MF=4．故答案为4【点评】本题主要考查双曲线的定义．属基础题．7．（5分）（2010•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是63．【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+…+2n≥33的最小的S值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+…+2n≥33的最小的S值∵S=1+2+22+23+24=31＜33，不满足条件．S=1+2+22+23+24+25=63≥33，满足条件故输出的S值为：63．故答案为：63【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5分）（2010•江苏）函数y=x2（x＞0）的图象在点（a k，a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=21．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出函数y=x2在点（a k，a k2）处的切线方程，然后令y=0代入求出x的值，再结合a1的值得到数列的通项公式，再得到a1+a3+a5的值．【解答】解：在点（a k，a k2）处的切线方程为：y﹣a k2=2a k（x﹣a k），当y=0时，解得，所以．故答案为：21．【点评】考查函数的切线方程、数列的通项．9．（5分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（﹣13，13）．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于1即可．【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即，c的取值范围是（﹣13，13）．【点评】考查圆与直线的位置关系．（圆心到直线的距离小于1，此时4个，等于3个，等于1，大于1是2个．）是有难度的基础题．10．（5分）（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【考点】余弦函数的图象；正切函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．【点评】考查三角函数的图象、数形结合思想．11．（5分）（2010•江苏）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是（﹣1，﹣1）．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．【解答】解：由题意，可得故答案为：【点评】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．12．（5分）（2010•江苏）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是27．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先分析题目由实数x，y满足条件3≤xy2≤8，4≤≤9．求的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到：，，代入求解最大值即可得到答案．【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则有：，，再根据，即当且仅当x=3，y=1取得等号，即有的最大值是27．故答案为：27．【点评】此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意，属于中档题．13．（5分）（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4．【考点】正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】由+=6cosC，结合余弦定理可得，，而化简+==，代入可求【解答】解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======故答案为：4【点评】本题主要考查了三角形的正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属于基本公式的综合应用．14．（5分）（2010•江苏）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；方法二：令3﹣x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：（方法一）利用导数求函数最小值．，=，当时，S′（x）＜0，递减；当时，S′（x）＞0，递增；故当时，S的最小值是．（方法二）利用函数的方法求最小值．令，则：故当时，S的最小值是．【点评】考查函数中的建模应用，等价转化思想．一题多解．二、解答题（共9小题，满分110分）15．（14分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）（方法一）由题设知，则．从而得：．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：由E是AC，BD的中点，易得D（1，4）从而得：BC=、AD=；（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，从而得：．或者由，，得：【解答】解：（1）（方法一）由题设知，则．所以．故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，从而5t=﹣11，所以．或者：，，【点评】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力．16．（14分）（2010•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E 到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P ﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．由V A﹣PBC=V P﹣ABC，，得，故点A到平面PBC的距离等于．【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．17．（14分）（2010•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD﹣AB=DB即可得到H．（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α﹣β）=，再根据均值不等式可知当d===55时，tan（α﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．【解答】解：（1）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．AD﹣AB=DB，故得﹣=，得：H===124．因此，算出的电视塔的高度H是124m．（2）由题设知d=AB，得tanα=，tanβ===，tan（α﹣β）====d+≥2，（当且仅当d===55时，取等号）故当d=55时，tan（α﹣β）最大．因为0＜β＜α＜，则0＜α﹣β＜，所以当d=55时，α﹣β最大．故所求的d是55m．【点评】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决．18．（16分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．（1）设动点P满足PF2﹣PB2=4，求点P的轨迹；（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设点P（x，y），由两点距离公式将PF2﹣PB2=4，变成坐标表示式，整理即得点P的轨迹方程．（2）将分别代入椭圆方程，解出点M与点N的坐标由两点式写出直线AM与直线BN的方程联立解出交点T的坐标．（3）方法一求出直线方程的参数表达式，然后求出其与x的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过x轴上的定点．方法二根据特殊情况即直线与x轴垂直时的情况求出定点，然后证明不垂直于x轴时两线DM与DN斜率相等，说明直线MN过该定点．【解答】解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（﹣3，0）．由PF2﹣PB2=4，得（x﹣2）2+y2﹣[（x﹣3）2+y2]=4，化简得．故所求点P的轨迹为直线．（2）将分别代入椭圆方程，以及y1＞0，y2＜0，得M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即．联立方程组，解得：，所以点T的坐标为．（3）点T的坐标为（9，m）直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即．分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x1≠﹣3，x2≠3，解得：、．（方法一）当x1≠x2时，直线MN方程为：令y=0，解得：x=1．此时必过点D（1，0）；当x1=x2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）．所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．（方法二）若x1=x2，则由及m＞0，得，此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）．若x1≠x2，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得k MD=k ND，所以直线MN过D点．因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力19．（16分）（2010•江苏）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知2a2=a1+a3，数列是公差为d的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式（用n，d表示）；（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n＞cS k都成立．求证：c的最大值为．【考点】等差数列的性质；归纳推理．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a1、d的方程，求出a1，进而推出s n，再利用a n与s n的关系求出a n．（2）利用（1）的结论，对S m+S n＞cS k进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c 的最大值的范围，利用夹逼法求出a的值．【解答】解：（1）由题意知：d＞0，=+（n﹣1）d=+（n﹣1）d，∵2a2=a1+a3，∴3a2=S3，即3（S2﹣S1）=S3，∴，化简，得：，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2d2﹣（n﹣1）2d2=（2n﹣1）d2，适合n=1情形．故所求a n=（2n﹣1）d2（2）（方法一）S m+S n＞cS k⇒m2d2+n2d2＞c•k2d2⇒m2+n2＞c•k2，恒成立．又m+n=3k且m≠n，，故，即c的最大值为．（方法二）由及，得d＞0，S n=n2d2．于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有．所以c的最大值．另一方面，任取实数．设k为偶数，令，则m，n，k符合条件，且．于是，只要9k2+4＜2ak2，即当时，．所以满足条件的，从而．因此c的最大值为．【点评】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．20．（16分）（2010•江苏）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数．（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；②求函数f（x）的单调区间．（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）①先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）=h（x）（x2﹣bx+1）这种形式，再说明h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，即可证明函数f （x）具有性质P（b）；②根据第一问令φ（x）=x2﹣bx+1，讨论对称轴与2的大小，当b≤2时，对于x＞1，φ（x）＞0，所以f′（x）＞0，可得f（x）在区间（1，+∞）上单调性，当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴，可求出方程φ（x）=0的两根，判定两根的范围，从而确定φ（x）的符号，得到f′（x）的符号，最终求出单调区间．（2）先对函数g（x）求导，再m分m≤0，m≥1，0＜m＜1进行，同时运用函数的单调性即可得到．【解答】解：（1）①f′（x）=∵x＞1时，恒成立，∴函数f（x）具有性质P（b）；②当b≤2时，对于x＞1，φ（x）=x2﹣bx+1≥x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0所以f′（x）＞0，故此时f（x）在区间（1，+∞）上递增；当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴，方程φ（x）=0的两根为：，而当时，φ（x）＜0，f′（x）＜0，故此时f（x）在区间上递减；同理得：f（x）在区间上递增．综上所述，当b≤2时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）；当b＞2时，f（x）的单调减区间为；f（x）的单调增区间为．（2）由题设知：g（x）的导函数g′（x）=h（x）（x2﹣2x+1），其中函数h（x）＞0对于任意的x∈（1，+∞）都成立，所以，当x＞1时，g′（x）=h（x）（x﹣1）2＞0，从而g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理可得β∈（x1，x2），所以由g（x）的单调性知g（α），g（β）∈（g（x1），g（x2）），从而有|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，符合题设；②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，于是由α＞1，β＞1及g（x）的单调性知g（β）≤g（x1）＜g（x2）≤g（α），所以|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符．③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，进而得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符因此，综合①、②、③得所求的m的取值范围为（0，1）．【点评】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．21．（10分）（2010•江苏）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣2，1）．设k为非零实数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．D：设a、b是非负实数，求证：．【考点】参数方程化成普通方程；基本不等式；直线和圆的方程的应用．【专题】不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．【分析】A、连接OD，则OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解．B、由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解．C、在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a值．D、利用不等式的性质进行放缩证明，然后再进行讨论求证．【解答】解：A：（方法一）证明：连接OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．（方法二）证明：连接OD、BD．因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，AB=2OB．因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．B满分（10分）．由题设得由，可知A1（0，0）、B1（0，﹣2）、C1（k，﹣2）．计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|=2×1=2．所以k的值为2或﹣2．C解：ρ2=2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x，（x﹣1）2+y2=1，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以，解得：a=2，或a=﹣8．D（方法一）证明：==因为实数a、b≥0，所以上式≥0．即有．（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得==当a≥b时，，从而，得；当a＜b时，，从而，得；所以．【点评】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力，及图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．另外此题也考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．22．（2010•江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，﹣3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率．【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，﹣3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=﹣3）=0.2×0.1=0.02．4﹣n件．由题设知4n﹣（4﹣n）≥10，解得，又n∈N，得n=3，或n=4．所求概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查独立重复试验的概率公式，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为高考题的解答题目出现．23．（10分）（2010•江苏）已知△ABC的三边长都是有理数．（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．【考点】余弦定理的应用；数学归纳法．【专题】解三角形．【分析】（1）设出三边为a，b，c，根据三者为有理数可推断出b2+c2﹣a2是有理数，b2+c2﹣a2是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数，根据余弦定理可知=cosA，进而可知cosA是有理数．（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数，再假设n≥k（k≥2）时，结论成立，进而可知coskA、cos（k ﹣1）A均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得cos（k+1）A，根据cosA，coskA，cos （k﹣1）A均是有理数推断出cosA，coskA，cos（k﹣1）A，即n=k+1时成立．最后综合原式得证．【解答】解：（1）证明：设三边长分别为a，b，c，，∵a，b，c是有理数，b2+c2﹣a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数．（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；当n=2时，∵cos2A=2cos2A﹣1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当n=k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k﹣1）A均是有理数．当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA﹣sinkAsinA，，，解得：cos（k+1）A=2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A∵cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数，∴2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A是有理数，∴cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数．即当n=k+1时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．【点评】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．。
考点8、数列的综合应用1. （2010·湖北高考理科·Ｔ7）如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形， 再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去 .设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）A ．22r π B. 283r π C.24r π D.26r π【命题立意】本题主要考查正六边形的性质、正六边形的内切圆半径与其边长的关系、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查无穷递缩等比数列前n 项和极限的计算，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】先由正六边形的内切圆半径与其边长的关系求出相邻两圆的半径的关系，从而将所有内切圆的面积按从小到大的顺序排列构造一个等比数列{}n a ，由公比(0,1)q ∈知lim n n S →∞=11a q- 【规范解答】选C ，设正六边形第n 个内切圆的半径为n r ，面积为n a ，则013cos302n n r r +==，从而1n a +=34n a ，由21a r π=，34q =，(0,1)q ∈知{}n a 是首项为2r π，公比为34的等比数列。
所以lim n n S →∞=11a q -=2314r π-=42r π.【方法技巧】对于等比数列{}n a ，若公比1q <，则其前n 项和n S 当n 趋向于正无穷大时极限存在且lim n n S →∞=11a q-。
2.（2010·上海高考理科·Ｔ１0）在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅．当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= ． 【命题立意】本题考查学生的分析推理和归纳能力．【思路点拨】观察矩阵的特点，找到n=9时(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅对应的数，再求解． 【规范解答】45．当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= 1+3+5+7++9+2+4+6+8=45. 【方法技巧】本题观察一定要仔细认真，因为n=9个数不多，可以将矩阵列出来再求解．3.（2010·湖北高考理科·Ｔ20）已知数列{}n a 满足: 112a =, ()()11312111n n n n a a a a ++++=--, ()101n n a a n +<≥g ；数列{}n b 满足：n b =21n a +-2n a （n ≥1）. (Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;(Ⅱ)证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力．【思路点拨】(Ⅰ)由题意构造新数列{}n c 满足：21n n c a =-，先求{}n c 的通项公式，再求{}n a 的通项公式，最后求{}n b 的通项公式。
2010年高考数学试题分类汇编——立体几何一、选择题1、（2010浙江理数）（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m //解析：选B ，可对选项进行逐个检查。
本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题2、（2010全国卷2理数）（11）与正方体1111ABC D A B C D -的三条棱A B 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.3、（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥S A B C D -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3 【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.4、（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）13解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为122121=⨯⨯⨯5、（2010辽宁文数）（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，A B B C ⊥，1SA A B ==，BC =O 的表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π解析：选A.由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为244.R ππ=7、（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个221【解析】D ：本题考查了空间想象能力∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，8、（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S A B C -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，S A 垂直于底面ABC ，S A =3，那么直线A B 与平面S B C 所成角的正弦值为（A ）4(B)4(C)4(D) 34【解析】D ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
考点18 双曲线1.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ9）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P2F =060，则P 到x 轴的距离为（ ）(A)(C)(D)【命题立意】本小题主要考查双曲线的几何性质、余弦定理，突出考查双曲线中的焦点三角形问题，通过本题可以有效地考查考生对知识的的综合运用能力及运算能力以及解决解析几何问题的解题技巧.【思路点拨】方法1：利用双曲线的第一定义列出方程求解；方法2：利用双曲线的第二定义，结合余弦定理求解；（3）直接利用双曲线的焦点三角形的面积公式2cot2θb S = 【规范解答】选B.（方法1）不妨设点P 在双曲线的右支上，m PF =||1，n PF =||2，2=-n m ，由余弦定理得2022)22(60cos 2=-+mn n m ，即822=-+mn n m ，联立得⎩⎨⎧=-+=-8222mn n m n m ，解得4=mn360sin 21021==∆mn S F PF ，设P 到x 轴的距离为h ，22||21=F F ， ∴3||2121=⋅h F F ，26=∴h . （方法2）不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支上,由双曲线的第二定义得21000||[(1a PF e x a ex c =--=+=，22000||[1a PF e x ex a c =-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=, 解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||y =（方法3）由焦点三角形面积公式得:12022601cot 1cot 2222F PF S b c h h θ∆====== 【方法技巧】在解决椭圆与双曲线问题中的焦点三角形时，一些重要的结论会给问题的解答带来极大的方便.如椭圆焦点三角形的性质：性质1：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形△21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.性质w . 性质2：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形△21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e . 2.（2010·江西高考理科·Ｔ１５）点00(,)A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x =__________【命题立意】本题主要考查双曲线的基本知识，考查双曲线的焦半径公式及对知识的灵活运用能力．【思路点拨】先确定双曲线的基本量，再由双曲线的焦半径公式求解.【规范解答】因为2=a ，24=b ，所以6=c ，3=e ，由焦半径公式得002x a ex =-，代入得00223x x =-，解得20=x .【答案】２.3.（2010·重庆高考文科·Ｔ21）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e = （1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如 图，已知过点11(,)M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交与G ,H 两点，求OG OH 的值.【命题立意】本小题考查双曲线的定义、标准方程、性质等基础知识，考查直线方程的基础知识，考查平面向量的运算求解能力，体现了方程的思想和数形结合的思想方法.【思路点拨】（1）由c 求出a ，再由222c a b =+求出b ；（2）点E 是关键点，根据点E 的坐标求出直线MN 的方程，解两条直线组成的方程组的点G ，H 的坐标，即向量OG ,OH 的坐标，再进行向量的数量积运算，化简、整理可得.【规范解答】(1)设C 的标准方程为22221x y a b -=(a ,0>b )， 则由题意知5=c，又c e a ==， 所以2a =，1b ==，C 的标准方程为2214x y -=C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y -=和20x y +=. （2）（方法一）由题意点(,)E E E x y 在直线1l ：1144x x y y +=和2l ：2244x x y y +=上， 因此有1144E E x x y y +=，2244E E x x y y +=，所以点M ，N 均在直线44E E x x y y +=上，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=； 设G ，H 分别是直线MN 与渐近线20x y -=及20x y +=的交点，解方程组2044E E x y x x y y -=⎧⎨+=⎩及2044E E x y x x y y +=⎧⎨+=⎩得：4222G E E G E E x x y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，4222H E E H E E x x y y x y ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩， 所以42(,)22E E E E OG x y x y =++ ，42(,)22E E E E OH x y x y =-- ， 故2244221222224E E E E E E E E E E OG OH x y x y x y x y x y =⋅-⋅=+-+-- ， 因为点E 在双曲线2214x y -=上，有2244E E x y -=，所以221234E E OG OH x y ==- .（方法二）设(,)E E E x y ，由方程组11224444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩解得2112214()E y y x x y x y -=-，121221E x x y x y x y -=-，因为21x x ≠，所以直线MN 的斜率21214EE y y x k x x y -==-， 故直线MN 的方程为11()4E E x y y x x y -=--，注意到1144E E x x y y +=， 因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=.以下与解法一相同. 【方法技巧】（1）字母运算是解答本题的主要特点；（2）已知与未知的相互转化，即关于点E 的坐标两个等式1144E E x x y y +=和2244E E x x y y +=，通过转化字母的已知与未知的关系，E x 和E y 看作已知，点11(,)x y 和22(,)x y 代入方程44E E x x y y +=所得，简捷得到直线MN 的方程；（3）关键点E 在解题中的关键作用.4.（2010·重庆高考理科·Ｔ20）已知以原点O为中心，)F 为 右焦点的双曲线C的离心率e =. （1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中21x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G ，H 两点，求OGH ∆的面积。
2010年北京理一、选择题（共8小题；共40分）1. 集合P=x∈Z0≤x<3，M=x∈Z x2≤9，则P∩M= A. 1,2B. 0,1,2C. x0≤x<3D. x0≤x≤32. 在等比数列a n中，a1=1，公比q≠1．若a m=a1a2a3a4a5，则m= A. 9B. 10C. 11D. 123. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为 A. B.C. D.4. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 A. A88A92B. A88C92C. A88A72D. A88C725. 极坐标方程ρ−1θ−π=0ρ≥0表示的图形是 A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线6. a、b为非零向量．" a⊥b " 是 " 函数f x= xa+b⋅ xb−a为一次函数 " 的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设不等式组x+y−11≥0,3x−y+3≥0,5x−3y+9≤0表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D内的点，则a的取值范围是 A. 1,3B. 2,3C. 1,2D. 3,+∞8. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD 上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x,y,z大于零），则四面体PEFQ的体积 A. 与x，y，z都有关B. 与x有关，与y，z无关C. 与y有关，与x，z无关D. 与z有关，与x，y无关二、填空题（共6小题；共30分）9. 在复平面内，复数2i1−i对应的点的坐标为．10. 在△ABC中，若b=1，c=3，∠C=2π3，则a=．11. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在120,130,130,140,140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,150内的学生中选取的人数应为．12. 如图，⊙O的弦ED,CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE=；CE=．13. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为．14. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P x,y的轨迹方程是y=f x，则f x的最小正周期为；y=f x在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=2cos2x+sin2x．（1）求fπ3的值；（2）求f x的最大值和最小值．16. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=2，CE=EF=1．（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：CF⊥平面BDE；（3）求二面角A−BE−D的大小．17. 某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q p>q，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123P6125a b24125（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（2）求p，q的值；（3）求数学期望Eξ．18. 已知函数f x=ln1+x−x+k2x2k≥0．（1）当k=2时，求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程；（2）求f x的单调区间．19. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A−1,1关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于−13．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知集合S n=X X=x1,x2,…,x n,x i∈0,1,i=1,2,⋯,n n≥2，对于A=a1,a2,⋯,a n，B=b1,b2,⋯b n,∈S n，定义A与B的差为A−B=a1−b1,a2−b2,⋯,a n−b n；A与B 之间的距离为d A,B=n i=1a i−b i．（1）证明：∀A,B,C∈S n，有A−B∈S n，且d A−C,B−C=d A,B；（2）证明：∀A,B,C∈S n，d A,B，d A,C，d B,C三个数中至少有一个是偶数；（3）设P⊆S n，P中有m m≥2个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d P．证明：d P≤mn．2m−1答案第一部分1. B2. C 【解析】由于a1=1，q ≠1，则a m=a1a2a3a4a5=a15q10=q10，而a11=a1q10= q10，故m=11．3. C 【解析】由三视图可得该几何体的直观图，如图所示．4. A 【解析】由于2位老师不相邻，则先排8名学生，有A88种排法，老师的排法只要在8名学生形成的9个空隙中插入两个位置即可，有A92种排法，故不同的排法种数为A88A92．5. C【解析】由极坐标方程ρ−1θ−π=0，可得ρ=1或θ=π，而ρ=1表示的是一个圆，θ=π表示的是一条射线．6. B 【解析】f x= xa+b⋅ xb−a=x2a⋅b+x b2−a2−a⋅b.若a⊥b，则f x=x b2−a2,只有当b2−a2≠0时，函数f x才是一次函数；若函数f x是一次函数，那么a⋅b=0,b2−a2≠0.故 " a⊥b " 是" 函数f x= xa+b⋅ xb−a为一次函数 " 的必要而不充分条件．7. A 【解析】作出不等式组x+y−11≥0,3x−y+3≥0,5x−3y+9≤0所表示的平面区域D，如图阴影部分所示：要使指数函数y=a x的图象上存在区域D内的点，则有a>1，当指数函数y=a x的图象过点B2,9时，相应的a值最大，此时a=3，即a∈1,3．8. D 【解析】对于四面体PEFQ可以看成是三棱锥P−EFQ，其底面△EFQ的面积是固定的，故三棱锥P−EFQ的体积与x，y无关；而对于P的不同位置，三棱锥P−EFQ的高不断改变，故三棱锥P−EFQ的体积与z有关．第二部分9. −1,110. 111. 0.030，312. 5，27【解析】因为BD⊥AE，所以BE为直径，所以∠C=90∘，所以CE2=AE2−AC2．13. ±4,0，y=±3x14. 4，π+1【解析】如图点P横坐标从M到N的图象就是运动过程中点P的轨迹在一个周期内的图象．灰色阴影就是要求的面积．第三部分15. （1）fπ3=2cos2π3+sin2π3=−1+34=−14．（2）f x=22cos2x−1+1−cos2x=3cos2x−1,x∈R．因为cos x∈−1,1，所以，当cos x=±1时，f x取最大值2；当cos x=0时，f x取最小值−1．16. （1）设AC与BD交于点G．因为EF∥AG，且EF=1，AG=12AC=1．所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（2）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C−xyz．则C0,0,0,A 2,2,0,B 0,2,0,所以CF=2,2,1,BE=0,− 2,1,DE= − 2,0,1.所以CF⋅BE=0−1+1=0,CF⋅DE=−1+0+1=0.所以CF⊥BE，CF⊥DE，且BE∩DE=E，所以CF⊥平面BDE．（3）由（2）知，CF=22,22,1是平面BDE的一个法向量．设平面ABE的法向量n=x,y,z，则n⋅BA=0,n⋅BE=0.即x,y,z⋅0,− 2,1=0,x,y,z⋅2,0,0=0,所以x=0，且z=y，令y=1，则z=n=0,1,．从而cos n,CF=n⋅CFn CF=32.因为二面角A−BE−D为锐角，所以二面角A−BE−D的大小为π6．17. （1）事件A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知P A1=45,P A2=p,P A3=q.由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1−Pξ=0=1−6125=119125.（2）由题意知Pξ=0=P A1A2A3=151−p1−q=6125，Pξ=3=P A1A2A3=45pq=24125，整理得pq=625，p+q=1．由p>q，可得p=35，q=25．（3）由题意知a=Pξ=1=P A1A2A3+P A1A2A3+P A1A2A3=451−p1−q+15p1−q+151−p q=37 125.b=Pξ=2=1−Pξ=0−Pξ=1−Pξ=3=58,Eξ=0×Pξ=0+1×Pξ=1+2Pξ=2+3Pξ=3=9 .18. （1）当k=2时，f x=ln1+x−x+x2,fʹx=1−1+2x.由于f1=ln2,fʹ1=3 2 ,所以曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为y−ln2=32x−1,即3x−2y+2ln2−3=0.（2）由题fʹx=x kx+k−11+x,x∈−1,+∞.当k=0时，fʹx=−x.所以，在区间−1,0上，fʹx>0；在区间0,+∞上，fʹx<0．故f x的单调递增区间是−1,0，单调递减区间是0,+∞．当0<k<1时，由fʹx=x kx+k−1=0,得x1=0,x2=1−kk>0,所以，在区间−1,0和1−kk ,+∞ 上，fʹx>0；在区间0,1−kk上，fʹx<0．故f x的单调递增区间是−1,0和1−kk ,+∞ ，单调递减区间是0,1−kk．当k=1时，fʹx=x2.故f x的单调递增区间是−1,+∞．当k>1时，fʹx=x kx+k−1=0,得x1=1−k∈−1,0,x2=0.所以，在区间 −1,1−kk 和0,+∞上，fʹx>0；在区间1−kk,0上，fʹx<0．故f x的单调递增区间是 −1,1−kk 和0,+∞，单调递减区间是1−kk,0．综上所述，当k=0时，f x的单增区间是−1,0，单减区间是0,+∞．当0<k<1时，f x的单增区间是−1,0和1−kk ,+∞ ，单减区间是0,1−kk．当k=1时，f x的单增区间是−1,+∞．当k>1时，f x的单增区间是 −1,1−kk 和0,+∞，单减区间是1−kk,0．19. （1）因为点B与A−1,1关于原点O对称，所以点B的坐标为1,−1．设点P的坐标为x,y，由题意得y−1 x+1⋅y+1x−1=−13,化简得x2+3y2=4x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4x≠±1.（2）解法一：设点P的坐标为x0,y0，点M，N的坐标分别为3,y M，3,y N．则直线AP的方程为y−1=y0−1x+1,直线BP的方程为y+1=y0+1x−1.令x=3得y M=4y0+x0−3x0+1,y N=2y0−x0+3x0−1.于是△PMN的面积S△PMN=12y M−y N3−x0=x0+y03−x02x02−1.又直线AB的方程为x+y=0,AB=22,点P到直线AB的距离d=x+y2.于是△PAB的面积S△PAB=12AB ⋅d=x0+y0,当S△PAB=S△PMN时，得x0+y0=x0+y03−x02x02−1.又x0+y0 ≠0，所以3−x02=x02−1,解得x0=53．因为x02+3y02=4，所以y0=±339．故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为53,±339．解法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为x0,y0，则1PA ⋅ PB sin∠APB=1PM ⋅ PN sin∠MPN.因为sin∠APB=sin∠MPN,所以PA=PN,所以x0+10=3−x0,即3−x02=x02−1,解得x0=53．因为x02+3y02=4，所以y0=±339．故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为53,±339．20. （1）设A=a1,a2,⋯,a n,B=b1,b2,⋯,b n,C=c1,c2,⋯,c n∈S n,因为a i ,b i ∈ 0,1 ，所以a i −b i ∈ 0,1 , i =1,2,⋯,n ,从而A −B = a 1−b 1 , a 2−b 2 ,⋯, a n −b n ∈S n .又d A −C ,B −C = a i −c i ni =1− b i −c i ,由题意知a i ,b i ,c i ∈ 0,1 i =1,2,⋯,n .当c i =0时，a i−c i −b i −c i = a i −b i ;当c i =1时，a i−c i −b i −c i = 1−a i − 1−b i = a i −b i ,所以d A −C ,B −C = a i −b i ni =1=d A ,B .（2）设A = a 1,a 2,⋯,a n ,B = b 1,b 2,⋯,b n ,C = c 1,c 2,⋯,c n ∈S n ,d A ,B =k ,d A ,C =l ,d B ,C =ℎ.记O = 0,0,⋯,0 ∈S n ，由（1）可知d A ,B =d A −A ,B −A =d O ,B −A =k ，d A ,C =d A −A ,C −A =d O ,C −A =l ，d B ,C =d B −A ,C −A =ℎ，所以 b i −a i i =1,2,⋯,n 中1的个数为k ， c i −a i i =1,2,⋯,n 中1的个数为l ．设t 是使 b i −a i = c i −a i =1成立的i 的个数，则ℎ=l +k −2t ．由此可知，k ,l ,ℎ三个数不可能都是奇数，即d A ,B ，d A ,C ，d B ,C 三个数中至少有一个是偶数．（3） P =1C m 2 d A ,B A ,B∈P ，其中 d A ,B A ,B∈P 表示P 中所有两个元素间距离的总和，设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有t i 个1，m −t i 个0，则d A ,B A ,B∈P = t i n i =1m −t i .由于t i m −t i ≤m 24i =1,2,⋯,n , 所以d A ,B A ,B∈P ≤nm 24,从而d P=1m2d A,BA,B∈P≤nm2m2=mn.。
考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ).（A ）65 （B ） 56 （C ）5654322⨯⨯⨯⨯⨯ （D ）6543⨯⨯⨯⨯2【命题立意】本题主要考查分类、分步计数原理以及排列组合知识的应用，考查考生的逻辑推理能力．【思路点拨】因每同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案.【规范解答】选A ，每同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法.【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法。
若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题。
利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座有25651800C A =种不同选法. 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）A ． 152 B. 126 C. 90 D. 54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作知，司机职位很特殊。
按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人②司机安排2人，然后将其余的人安排到其它三个不同的位置。
【规范解答】选B ，当司机只安排1人时，有123343C C A =108(种)；当司机安排2人时有2333C A =18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126种。
