几何计数(二)
(★★★)(迎春杯试题)图中共有____个正方形。
⑴(★★★)你能数出下图中共有多少个三角形吗？
⑵(★★★)数一数：下图中有几个正方形？
例1
例2
(★★★★)(迎春杯试题)
用4种不同的颜色来涂正四面体(如图，每个面都是完全相同的正三角形)的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法。(将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的)
(★★★★)如图，其中每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米，7厘米，9厘米，2厘米和4厘米，6厘米，5厘米，1厘米。求：
⑴图中长方形的个数；
⑵包含“@”号的长方形的个数；
⑶所有长方形面积的和。
例3
例4
例5
(★★★★)如图所示，在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点。以AB上
的点为一个端点、CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不
相交于同一个点，求所有这些线段在AB与CD之间的交点数。
例6
(★★★)一个棱长为12的正方体是由1728个木制的棱长是1的小正方体堆垒而成。那么，你从一点最多能看到棱长是1的小正方体____个。
(★★★)如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型。把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有二面涂上红色的小正方体多_____块。
例7
化学竞赛专题讲座 二、共价粒子的空间构型（分子结构） Lewis 结构 共振论 价层电子互斥模型（VSEPR ） 等电体原理 杂化轨道 一、Lewis 结构 共振论 1．令共价粒子中所有原子价层电子数为8（H 为 2）时的电子总数为n 0，实际各原子价层电子数之和（加阴离子的电荷数、减阳离子的电荷数）为n v ，则： 共价键数==(n 0—n v )/2 其中n 0—n v == n s 共用电子数 2．依上述要求写出各种Lewis 结构式（以点线式表示），并用形式电荷Q F 对其稳定性进行判断： Q F == n v —n r （孤对电子数）—n s == 某原子所形成的价键数—该原子的单电子数（碳C 为4） 8—该原子价电子数 a.各原子的Q F 为零的结构最稳定； b.若相邻原子的Q F ≠0时，通常是 ①Q F 要小；②非金属性强（电负性大）的原子Q F ＜0，另一原子Q F ＞0为稳定结构； ③相邻原子的Q F 为同号则不稳定，但N 2O 4例外。 （二）共振论 个相对合理的Lewis 结构式表示，在不改变原子的相对位置时，变换价键表 示形式，用Lewis 式的“混 合” （三）键级 【1】 N 2F 2有三种异构体（已合成了2种）、N 4H 4（H 化学环境完全相同），写出它们的Lewis 式并讨论其稳定性。 N 2F 2 ： N 4H 4： 因为：n 0 = 638 = 48 ， n v = 3 36 + 235 + 7—1 == 34 所以：共价键数==(n 0—n v )/2 ==(48—34)/2 = 7 较稳定 最稳定（S=N 键的键长最短） 对原子为8电子构型的粒子的简捷判定式 各共振体中指定价键的总数 键级== N=N N=N N=N N=N N=N Cl + S —S N N S ⊕ +2 Cl + S —S N N S ⊕ +2 Cl + S —S N N S ⊕ ⊕ Cl + S —S N N S ⊕ ⊕ O O N —N O O ⊕ ⊕ H H N —N H H 0 0 中N —N 键的键长＞ 中的N —N 键键长。 Cl + S —S N N S ⊕ ⊕
第五讲三角形的五心 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB 于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN 的对称点P′.试证：P′点在△ ABC外接圆上. （杭州大学《中学数学竞赛习题》）分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′ =NP =NC，故点M 是△ P′BP 的外心，点 N 是△ P′PC的外心. 有11 ∠BP′P= 1 2∠ BMP= 1∠BAC， 22 11 ∠ PP′C= ∠ PNC= ∠BAC. 22 ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC. 从而，P′点与 A，B，C共圆、即P′在△ ABC外接圆上. 由于P′P平分∠ BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC. 例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△ APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ ABC 相似. （ B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》） 分析：设O1，O2，O3 是△APS，△BQP， △CSQ的外心，作出六边形 O1PO2QO3S后再由外心性质可知 ∠PO1S=2∠A， ∠QO2P=2∠B， QC ∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠ O1PO2+ ∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△ O2QO3绕着O3点旋转到△ KSO3，易判断△ KSO1≌△ O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△ O1KO3. 1 ∴∠ O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K 2 1( ∠ O2O1S+∠ SO1K) 2 1 = ( ∠ O2O1S+∠ PO1O2) 1 = 1∠ PO1S=∠ A； 2 同理有∠ O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ ABC.
十二、多面体与旋转体 知识、方法、技能 多面体与旋转体的概念和性质是解决其计算与证明的基础，因此对概念的深刻，对性质、公式和定理要熟练掌握． I ．柱体 柱体包括梭往和圆柱． 1．柱体侧面积和体积 侧面积公式：S cl =（c 为直截面周长，l 为侧棱长） 体积公式: V Sh =（S 为底面积，h 为高）. 2．四梭柱 四棱柱 ?????→?底面是平行四边形平行六面体????→?侧棱垂直于底面 直平行六面体 ???→ ?底面是矩形 长方体 ????→?底面是正方形正四棱柱???→?棱长都相等 正方体. (l)长方体的性质 ①长方体的四条对角线长度相等，它们交于一点且在该点互相平分． ②长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和． ③长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是,,αβγ，则 1cos cos cos 2 2 2 =++γβα． ④长方体的一条对角线与过一个顶点的三个面所成的角分别是123,,θθθ，则 12 2 2 23cos cos cos 1θθθ++=． (2)正方体的性质 ①正方体的对角线和与它不相交的面对角线垂直． ②正方体过同一条对角线的三个对角面两两所成的小于90 的二面角都等于60 ． II ．锥体（锥体包括棱锥和圆锥） 1．锥体的侧面积和体积 正棱锥的侧面积公式：' 12 S ch =（c 是底面周长，' h 是斜高； 圆锥的侧面积公式：12S cl =（c 是底面周长，l 是母线长）； 锥体的体积公式：13V Sh = (S 为底面积，h 为高）． 2．四面体 四面体是立体几何中最基本的，也是最重要的几何体，它相当于平面几何中三角形所处的地位．四面体与三角形有着相类似的性质． 四面体的性质： ①连接四面体对棱中点的线段交于一点，且这点平分这些线段． ②连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点G ，且这点将所在线段分成的比为3:1，G 称为四面体重心． ③四面体的二面角的平分面粉对棱所成的比等于形成这个二面角的两个侧面的面积之比． ④每个四面体都有内切球，球心I 是四面体的各个二面角的平分面的交点，此点到各面的距离等于球半径． 设四面体四个面的面积分别为1234,,,S S S S , V 表示它的体积，r 表示内切球的半径, 1234,,,h h h h 分别表示各顶点到对面所作的高，有 1234 3V r S S S S = +++， 1 2 3 4 11111r h h h h = + + + ．
全国中学生化学竞赛预赛专题讲座 第一讲差量法 例1、用氢气还原10克CuO，加热片刻后，冷却称得剩余固体物质量为8.4克，则参加反应CuO的质量是多少克？ 例2、将CO和CO2的混合气体2.4克，通过足量的灼热的CuO后，得到CO2的质量为3.2克，求原混合气体中CO和CO2的质量比？ 例3、将30克铁片放入CuSO4溶液中片刻后，取出称量铁片质量为31.6克，求参加反应的铁的质量？ 例4、已知同一状态下，气体分子间的分子个数比等于气体间的体积比。把30mL甲烷和氧气的混合气体点燃，冷却致常温，测得气体的体积为16mL，则原30mL中甲烷和氧气的体积比？ 例5、给45克铜和氧化铜的混合物通入一会氢气后，加热至完全反应，冷却称量固体质量为37克，求原混合物中铜元素的质量分数？ 答案：1、8克2、7∶53、11.2克4、8∶7 7∶235、82.2% 练习1、将盛有12克氧化铜的试管，通一会氢气后加热，当试管内残渣为10克时，这10克残渣中铜元素的质量分数？ 练习2、已知同一状态下，气体分子间的分子个数比等于气体间的体积比。现有CO、O2、CO2混合气体9ml，点火爆炸后恢复到原来状态时，体积减少1ml，通过氢氧化钠溶液后，体积又减少3.5Ml，则原混和气体中CO、O2、CO2的体积比？ 练习3、把CO、CO2的混合气体3.4克，通过含有足量氧化铜的试管，反应完全后，将导出的气体全部通入盛有足量石灰水的容器，溶液质量增加了4.4克。 求⑴原混合气体中CO的质量？ ⑵反应后生成的CO2及原混合气体中CO2的质量比？ 练习4、CO和CO2混合气体18克，通过足量灼热的氧化铜，充分反应后，得到CO2的总质量为22克，求原混合气体中碳元素的质量分数？ 练习5、在等质量的下列固体中，分别加入等质量的稀硫酸(足量)至反应完毕时，溶液质量最大的是() A Fe B Al C Ba(OH)2 D Na2CO3 练习6、在CuCl2和FeCl3溶液中加入足量的铁屑m克，反应完全后，过滤称量剩余固体为m克，则原混合溶液中CuCl2及FeCl3物质的量之比为()(高一试题) A 1∶1B3∶2 C 7∶ D 2∶7 练习7 P克结晶水合物A?nH20，受热失去全部结晶水后，质量为q克，由此可得知该结晶水合物的分子量为() Ａ18Pn/(P—q) B 18Pn/q C18qn/P D18qn/(P—q) 答案：1 、96% 5、A 6 、C7、A 第二讲平均值法 例题：
解析几何专题讲座 题型一 圆锥曲线的概念及性质 【例1】椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.? ? ? ?0，22 B.????0，12 C ．[2－1,1) D.????12，1 又e ＝c a ，∴2e 2＋e ≥1，∴2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0，又0
高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若 则三点共线。 塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点， 则 塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点 的充要条件是 广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP= ∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有
解析几何二轮复习建议 南京一中 引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。 坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。 以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。 基本题型一：求基本量 1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现． 2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量． 例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____． 解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3?1－1?0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3． 当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3． 例2．(2008天津）设椭圆x 2m 2＋y 2 m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点 的距离为1，则P 到右准线的距离为___________ 解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝1 2 ，根据
圆 基础知识 如果没有圆，平面几何将黯然失色． 圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系． 圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形” 将构成圆的综合问题的基础． 本部分着重研究下面几个问题： 1．角的相等及其和、差、倍、分； 2．线段的相等及其和、差、倍、分； 3．二直线的平行、垂直； 4．线段的比例式或等积式； 5．直线与圆相切； 6．竞赛数学中几何命题的等价性． 命题分析 例1．已知A 为平面上两个半径不等的⊙1O 和⊙2O 的一个交点，两圆的外公切线分别为2121,Q Q P P ，1M 、2M 分别为11Q P 、22Q P 的中点，求证：2121AM M AO O ∠=∠． 例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形． 例3．延长AB 至D ，以AD 为直径作半圆，圆心为H ，G 是半圆上一点，ABG ∠为锐角．E 在线段BH 上，Z 在半圆上，EZ ∥BG ，且2EZ ED EH =?，BT ∥HZ ．求证：ABG TBG ∠=∠3 1． 例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等． 例5．设A ∠是△ABC 中最小的内角，点B 和C 将这个三角形的外接圆分成两段弧，U 是落在不含A 的那段弧上且不等于B 与C 的一个点，线段AB 和AC 的垂直平分线分别交线段AU 于V 和W ，直线BV 和CW 相交于T ．证明：TC TB AU +=． 例6．菱形ABCD 的内切圆O 与各边分别切于H G F E ,,,，在⌒EF 与⌒GH 上分别作⊙O 切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q ，求证：MQ ∥NP ． 例7．⊙1O 和⊙2O 与△ABC 的三边所在直线都相切，H G F E ,,,为切点，并且FH EG ,的延长线交于点P ．求证：直线PA 与BC 垂直． 例8．在圆中，两条弦CD AB ,相交于E 点，M 为弦AB 上严格在E 、B 之间的点．过M E D ,,的圆在E 点的切线分别交直线BC 、AC 于G F ,．已知t AB AM =，求EF CE （用t 表示）． 例9．设点D 和E 是△ABC 的边BC 上的两点，使得CAE BAD ∠=∠．又设M 和N
高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量 一、三角函数部分 1．(集训试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且 A C ， A B sin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根，则△ABC （B ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由log b x=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ， 因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ， ∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A= 41，而sinA>0，∴sinA=2 1. 因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B 。 2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（C ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π 3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 4．（2006年南昌市）若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( B ) A ．sin θ= 11+-b ab B ．cos θ=1 1+-a ab C ．tan cot θθ+=) 1)(1(21)1(2++-+++b a ab b a D ．tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a 5．（2006安徽初赛）已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间， ∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是 （ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定 6．（2006陕西赛区预赛）若3 3sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是(C) A ．[0, ]4 π B ．[,]4 ππ C ．5[, ]4 4ππ D ．3[,)42 ππ 7．（2006年江苏）在△ABC 中，1tan 2A =，310 cos 10 B =．若△AB C 的最长边为1，则最短边的长为 （ D ） A ．455 B ．355 C ．255 D ．5 5 8．(2005年浙江)设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x x x f 2cos 2 sin )(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解】： 2)(1= x f 是以任何正实数为周期的周期函数；)(2x f 不是周期函数。 因为x sin 是以π21=T 为周期 的周期函数, x 2cos 是以222π =T 为周期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数，故)(2x f 不是周期函数。 )(3x f 不是周期函数。 因为2sin x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以2 22π =T 为周期的周期函数,
化学竞赛专题讲座 胡征善 四、配合物 一、常见的一些配位体——配体为多原子时，粗体字表示的原子往往是配位原子 二、配合物的同分异构现象 构造异构 配合物的同分异构现象几何异构 空间异构 （立体异构）旋光异构
2．空间异构 （1）几何异构 ② 单齿配体数为4的平面四方配合物 对于M a 2b 2和M a 2bc ，它们存在两种几何异构体 b a b a M M c a a c b a b a 对于M abcd ，它存在三种几何异构体 ③ 单齿配体数为6的正八面体配合物 对于M a 4b 2 b a b a M M b a a b b c c b M M a d a d b a b a 顺式 反式 顺式 反式 b d M a c Cl NH 3 Cl NH 3 Pt Pt Cl NH 3 H 3N Cl 顺—二氯二氨合铂（Ⅱ） 反—二氯二氨合铂（Ⅱ） 橙黄色晶体 鲜黄色晶体 有抑制某些癌的作用 没有治癌作用 a b a a a a M M b a a a b b 顺式 反式
对于 M a 3b 3 面式：3个相同的配体占据八面体一个面的各个顶点。 经式：3个相同的配体好像占据地球的经纬线（经纬线用“ ”表示） 。 对于M a 2b 2c 2 （2）旋光异构（亦称对映异构）——一个分子或离子完全没有对称性（指无对称中对称面或对称的旋转轴）或只有对称的旋转轴，它的镜像不能与自己重叠。 例如：[Co(en)2Cl 2] 对映异构 旋光异构现象与人类有密切关系，多数天然物质具有旋光性。例如：烟草中天然尼古丁是左旋的，有很大的毒性，而人工合成的尼古丁毒性很小；二羟基苯基—1—丙氨酸的左旋体可作为药物，是治疗振颤性麻痹症的特效药，而其右旋体则毫无药效。 三、特殊配合物——过渡金属羰基配合物和“夹心”配合物（π电子配合物） 1. 过渡金属羰基配合物 除锆和铪的羰基配合物尚未制得外，其他过渡金属都能形成羰基配合物。 ① EAN(18电子)规则——金属原子价电子数[（n —1）d x n s y , 价电子数为x+y] + 配位体 提供的电子总数==18。 b a b a b a M M b a b b a a 面式 经式 b a b M c a b c b a b a c M M a b a c c b a b c b a b M M c b a c a c Cl en Co en Cl en en Cl Cl Co Co Cl Cl en en
第三讲点共线、线共点 在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1. 点共线的证明 点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线; 证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。n (n ≥ 4 点共线可转化为三点共线。 例 1 如图, 设线段 AB 的中点为 C , 以 AC 和 CB 为对角线作平行四边形AECD , BFCG 。又作平行四边形 CFHD , CGKE 。求证:H , C , K 三点共线。证连 AK , DG , HB 。 由题意, AD EC KG , 知四边形 AKGD 是平行四边形, 于是 AK DG 。同样可证 AK HB 。四边形 AHBK 是平行四边形,其对角线 AB , KH 互相平分。而 C 是AB 中点,线 段 KH 过 C 点,故 K , C , H 三点共线。 例 2 如图所示,菱形 ABCD 中,∠ A =120 为△ ABC 外接圆, M 为其上 一点,连接 MC 交 AB 于 E , AM 交 CB 延长线于 F 。求证:D , E , F 三点共线。
证如图,连 AC , DF , DE 。 因为 M 在 上, 则∠ AMC =60°=∠ ABC =∠ ACB 有△ AMC ∽△ ACF ,得 CD CF CA CF MA MC ==。又因为∠ AMC =BAC ,所以△ AMC ∽△ EAC ,得 AE AD AE AC MA MC ==。所以 AE AD CD CF =,又∠ BAD =∠ BCD =120°,知△ CFD ∽△ ADE 。所以∠ ADE =∠DFB 。因为 AD ∥ BC ,所以∠ ADF =∠ DFB =∠ ADE ,于是 F , E , D 三点共线。 A
高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
高二化学竞赛辅导培训计划 一、辅导思想 1、举全备课组之力参与竞赛辅导。 2、辅导教师认真备课、上课，精心辅导。 3、辅导教师严格学生课堂管理。 4、强调竞赛辅导纪律，关注参赛学生进出教室。 二、辅导要求 教师方面：1．多研讨，多做题。 2．加强资料的搜集和分类管理。 3．做好学生的出勤和考试管理。 学生方面：1．加强出勤，保证出满勤； 2．创造条件，使学生能在足够时间完成相关内容。 3．加强指导，努力提高学生的兴趣和信心。 三、辅导计划 1．把选拔出的选手组成竞赛班，以讲座的形式复习基础知识，这个阶段是较大规模的复习训练。 2．进入专题训练。以小专题的形式加强训练。 3. 模拟考试。这个阶段主要任务是设计模拟竞赛试卷，改卷，评卷。取材范围广，如历届赛题，培训题等等。这一阶段要求老师与学生充分发挥主观能动性，认真严肃对待每一次测试，限时保质保量完成。 四、做好竞赛学生工作 1. 抓好竞赛学生的思想工作 2. 引导竞赛学生掌握正确的学习方法 3. 抓好课堂教学中基础知识的掌握与竞赛能力的培养 4. 抓好知识的拓宽、加深，培养竞赛拔尖人才 五、辅导时间 利用晚上化学自习进行，其它时间待定 六、负责老师： 每位教师按要求精心组织竞赛内容，力求习题精选，知识点覆盖全面，涉及常见易错点。当堂讲解知识点及习题，有针对性和突破性的专题辅导。 七、辅导措施： 1、注重基础知识训练。 由于竞赛命题大多以课本为依据，因此在辅导时要紧扣课本，严格按照由浅入深、由易到难、由简到繁、循序渐进的原则，适时联系课本内容。 2、不拘泥于课本，适当扩展深度。 由于竞赛题目往往比平时考试试题难，教师必须在课本的基础上加以延伸、拓
立身以立学为先，立学以读书为本 平面几何选讲 反演变换 基础知识 一. 定义 1. 设O 是平面π上的一个定点，k 是一个非零常数．如果平面π的一个变换，使得对于平面π上任意异 于O 的点A 与其对应点'A 之间，恒有（1）' ,,A O A 三点共线；（2）'OA OA k ?=，则这个变换称为平面π 的一个反演变换，记做(,)I O k ．其中，定点O 称为反演中心，常数k 称为反演幂，点'A 称为点A 的反点． 2. 在反演变换(,)I O k 下，如果平面π的图形F 变为图形'F ，则称图形'F 是图形F 关于反演变换(,)I O k 的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形． 3. 设两条曲线u v 、相交于点A ，l 、m 分别是曲线u v 、在点A 处的切线（如果存在），则l 与m 的交角称为曲线u v 、在点A 处的交角；如果两切线重合，则曲线u v 、在点A 处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交． 二. 定理 定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点． 定理2. 在反演变换(,)I O k 下，设A B 、两点（均不同于反演中心O ）的反点分别为' ' A B 、，则有''B A = ''k A B AB OA OB = ?． 定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变． 定理 4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线． 定理5. 在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆． 定理6. 在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反． 定理7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切． 定理8. 如果两直线平行，则其反形（两圆或一圆一直线）相切于反演中心． 典型例题 一. 证明点共线 例1. ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ， 设L 、M 、N 分别是EF 、FD 、DE 的中点．求证：ABC 的外心、 内心与LMN 的外心三点共线． 证明：如图，设ABC 的内心为I ，内切圆半径为r ．以内心I 为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换2 (,)I I r ，则A 、B 、C 的 反点分别为L 、M 、N ，因而ABC 的反形是LMN 的外接圆．故ABC 的外心、内心和LMN 的外心三点共线． 二. 证明线共点 例2. 四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设ABP 、BCP 、CDP 、DAP 的 I N M L F E D C B A
高中化学竞赛用书推荐 常规/高考类： 化学岛 用户名： 密码：woaihuaxuedao 以下是另一个公邮 icholand. 密码:huaxuedaogongyou 提供公共邮箱的目的还是方便大家交流，如果遇到超出流量限制的问题，可以直接把邮件转发出去。 尽管以前有XX的Gbaopan。。但是貌似很多人并不清楚密码。。 附上： 部分优秀资料帖索引 《高中化学重难点手册》（华中师范大学出版社，王后雄老师主编）；历年高考试题汇编（任何一种，最好有详细解析的，比如三年高考两年模拟）；《高中化学读本》（很老的人民教育出版社甲种本化学教材，最近有更新版本）；《高中化学研究性学习》（龙门书局，施华、盛焕华主编）南师大化科院创办的《化学教与学》每年的十套高考模拟题题型新颖质量比较高，可作为江苏预赛的模拟卷，不少5月份预赛原题就出自本套模拟题。 初赛类： 比较经典的有《化学高考到竞赛》（陕西师范大学出版社，李安主编，比较老）；《高中化学奥林匹克初级本》（江苏教育出版社，段康宁主编）；《高中化学竞赛初赛辅导》（陕西师范大学出版社，李安、苏建祥主编）；《高中化学竞赛热点专题》（湖南师范大学出版社，肖鹏飞、苏建祥、周泽宇主编，版本比较老，但编排体系不错）；最新奥林匹克竞赛试题评析·高中化学》（南京师范大学出版社，马宏佳主编，以历年真题详细解析为主，可作为课外指导）；《最新竞赛试题选编及解析高中化学卷》（首都师范大学出版社）；《化学竞赛教程》（华东师范大学出版社，三本，王祖浩、邓立新、施华等人编写，适合同步复习），还有一套西南师范大学出版社的《奥林匹克竞赛同步教材·高中化学》（分高一、高二和综合卷，综合卷由严先生、吴先生、曹先生等参加编写，绝对经典），还有浙江大学出版社《高中化学培优教程》AB教程、《金牌教程·高一/二化学》（邓立新主编，南京大学出版社）。江苏省化学夏令营使用的讲义是马宏佳主编的《全国高中化学竞赛标准教程》（东南大学出版社），简明扼要，但由于不同教授编写不同章节，参差不齐；春雨出版的《冲刺金牌·高中化学奥赛辅导》（任学宝主编，吉林教育出版社）、《冲刺金牌·高中化学奥赛解题指导》（孙夕礼主编，吉林教育出版社）。《赛前集训·高中化学竞赛专题辅导》（施华编著，体现他的竞赛培训思维，华东师范大学出版社） 比较新颖的包括浙江大学出版社的林肃浩主编的竞赛系列《高中化学竞赛实战演练》（高一、高二）、《高中化学竞赛解题方法》、《冲刺高中化学竞赛（省级预赛）》、《冲刺高中化学竞赛（省级赛区）》、《高中化学竞赛解题方法》、《决战四月:浙江省高中化学竞赛教程(通向金牌之路)》《金版奥赛化学教程》（高一、高二、·综合）都是近年来体系、选题新颖的竞赛资料，足见浙江省对化学竞赛的重视，端木非常推荐。南京教研室刘江田老师2010年5月份主编的《高中化学竞赛全解题库》（南京大学出版社）选择了近年来省级赛区真题和各地新颖的预赛题，解析详细，适合缺少老师指导的同学参考。 决赛类： 比较经典的有《高中化学奥林匹克高级本》（江苏教育出版社，段康宁主编，完全按照大学的思路）；《金牌之路高中化学竞赛辅导》以及配套解题指导书（陕西师范大学出版社，李安主编）；《高中化学竞赛决赛辅导》（陕西师范大学出版社，李安、苏建祥主编）；《历届国际化学奥林匹克竞赛试题分析》（学苑出版社）；《最新国际国内化学奥林匹克竞赛优化解题题典》（吉林教育出版社），还有浙江大学出版社的浙江大学出版社《高中化学培优教程》“专题讲座”，《高中化学奥赛一
高中数学竞赛专题讲座之解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆C ：12 32 2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足） ，延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ） A ．]3 3 , 0( B ．]2 3,33( C ．)1,3 3 [ D ．)1,2 3( 解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ，所以 λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：????? =-+= y y x x 11)1(3λ λ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33 [32132232 2∈-=-λλ λ。故选C 。 2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D) A .212y x =- B .212y x = C .216y x =- D .216y x = 3．（2006年江苏）已知抛物线2 2y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△ POF 是直角三角形，则这样的点P 共有 （ B ） ()A 0个 ()B 2个 ()C 4个 ()D 6个 4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线122 22=-b y a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两 点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ A ） （A ）22a b ab - （B ）22a b ab - （C ）ab a b 2 2- （D ）ab a b 22- 5. (2005全国)方程 13 cos 2cos 3 sin 2sin 2 2 =-+ -y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),2 3cos()22cos(,22 322 0,32π ππ π π π->-∴< - <-< ∴>+ 即.3sin 2sin >又 ,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32 ,220>-∴<>∴<<< <ππ π方程表示的曲线是椭圆。 ) ()4 232sin(232sin 22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π
竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x
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