【几何十讲】三角形的五心-B （欧拉线心）（外心、重心与垂心） 陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置． 从赛题统计方面来看，其中又以内心问题最为突出，必须熟悉五心的基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用．外心、重心与垂心ABC ∆的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则有(1)、,,O G H 三点共线（欧拉线）且:::1:2OG GH DG AG DO AH ===；(2)、2,2,2BOC A COA B AOB C ∠=∠=∠=；(3)、13AGB BGC CGA ABC ∆=∆=∆=∆；(4)、,,HAB HBC HCA ∆∆∆与ABC ∆具有相等的外接圆半径；(5)、ABC ∆的垂心H 是其垂足三角形的内心．例1、ABC ∆中，O 为外心，三条高,,AD BE CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ， FD 和AC 交于点N ；求证：0(1)、,OB DF OC DE ⊥⊥；0(2)、OH MN ⊥． （2001全国联赛）证一、（纯几何方法）设OK AB ⊥于K ，则1==2KOB AOB C ∠∠，又由AFDC 共圆，D则BFD C KOP ∠==∠，所以KOPF 共圆，所以0==90OPF OKF ∠∠，因此OB DF ⊥，同理有OC DE ⊥．为证OH MN ⊥，由,AEDB AFDC 分别共圆，=,==FDB A MDB EDC A ∠∠∠，2FDM A BOC ∠==∠，设OB CF T =，在直角三角形BTF 中，由于DF BT ⊥， 则==OTC BTF DFB ∠∠∠，因此COT ∆∽MDF ∆，且其对应边互相垂直． 作DG ∥MN ，于是只要证，OH DG ⊥，即要证MDG ∆∽COH ∆，由=DMF OCT ∠∠， 只要证=MG CH MD CO… ① 因===MG MG MF ND MF ND CT MD MF MD NF MD NF CO⋅⋅⋅ … ② 据①②，只要证=ND CHNF CT… ③ 注意CDH ∆∽AFH ∆，CTB ∆∽AHB ∆，NDC ∆∽NAF ∆，则 =,=CH CD AH AB AH AF CT CB ，相乘得==CH AB CD AB NCCT BC AF BC NF⋅⋅⋅ … ④ 由③④，只要证=ND ABNC BC… ⑤ 由于DCE ∆∽ACB ∆，且DC 平分NDE ∠，则=DN NCDE CE， 所以==ND DE AB NC CE BC，因此OH DG ⊥，即有OH MN ⊥．证二、（利用根轴性质）为证OB DF ⊥，只要证，2222=OD OF BD BF --， 据斯特瓦特定理，2222=+=CD BDOD R R CD BD R CD BD BC BC⋅⋅-⋅-⋅，同样有 22=OF R BF AF -⋅，据AFDC 共圆，又有=BF BA BD BC ⋅⋅，所以 22==()()OD OF BF AF BD CD BF AB BF BD BC BD -⋅-⋅--⋅-2222=()+()=BF BA BD BC BD BF BD BF ⋅-⋅--，因此OB DF ⊥，同理有OC DE ⊥．再证OH MN ⊥，据CF MA ⊥，得2222=MC MH AC AH -- … ①； 由BE NA ⊥得2222=NB NH AB AH -- … ②； 由DA BC ⊥得2222=BD CD BA AC -- … ③； 由OB DF ⊥得2222=BN BD ON OD -- … ④ 由OC DE ⊥得2222=CM CD OM OD -- … ⑤①＋③+④ －②-⑤得2222=NH MH ON OM --，所以OH MN ⊥．证三、（面积与三角方法）（仅证OH MN ⊥．）如图，作DW ∥AN ，点W 在MN 上，在OBH ∆与NDW ∆中，因为OB ND ⊥， BE AN ⊥，即BH DW ⊥，于是=NDW OBH ∠∠；为证OH WN ⊥，只要证NDW ∆∽OBH ∆，即要证=DW BHDN BO… ① 因1cos ===2cos sin sin BH BD AB B B BO C R R C ⋅⋅，==DW DW EN MD EN DN EN DN ME DN ⋅⋅ … ②， 而sin sin 2==sin sin EN EDN A DN DEN B∠∠， sin cos sin cos sin 2=====sin sin cos sin sin 2MD AMD AM AD BAD AD B AB B B BME AME AM AE A AE A AB A A A∆⋅∠∆⋅． 故由②，sin 2sin 2===2cos sin 2sin DW MD EN B AB DN ME DN A B⋅⋅，因此①成立，故结论得证． 证四、（解析法）0(1)、取D 为原点，DA 为Y 轴，建立直角坐标系，设三顶点坐标为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，则重心为,33b c a G +⎛⎫⎪⎝⎭，于是AB 的方程为：1x y b a +=，AC 的方程为：1x y c a +=；再设垂心为(0,)H h ，则CH 的方程为：1x yc h+=； 由于CH AB ⊥，则1CH AB h a ahk k c b bc ⎛⎫⎛⎫-=⋅=-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，bc h a =-，于是CH 的方程为：1x ay c bc -=，且垂心坐标为0,bc H a ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理得，BH 的方程为：1x ayb bc-=； 因,,O G H 共线（欧拉线），且点O 外分线段HG 为定比3-：3HOOG=-；记00(,)O x y ， 则00(3)31(3)2b c b c x ++-+==+-，2(3)31(3)2bc aa bc a y a -+-+==+-，即2,22b c a bc O a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故2232()02OHa bc bc a bc a a kbc a b c +⎛⎫-- ⎪+⎝⎭==++-，2202()2OB a bc a bc a k b c a c b b +-+==+--，2()OC a bc k a b c +=-， 因DF 过CH 与AB 的交点F ，故DF 的方程可表为：110x ay x y c bc b a λ⎛⎫⎛⎫--++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意DF 过原点，得1λ=-，所以DF 的方程为：1110a x y c b a bc ⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理知，DE 的方程为：1110a x y c b a bc ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以2()DF a b c k a bc -=+，2()DEa cb k a bc-=+； 由于1,1OB DF OC DE k k k k ⋅=-⋅=-，所以,OB DF OC DE ⊥⊥；0(2)、先求MN 的方程：一方面，由于MN 过DF 与AC 的交点N ，故MN 的方程可表为：11110a x y x y c b a bc c a μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：111a x y c b a bc μμμ+-⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即111a x y c b abc μμγγγμ+-⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ … ① 另一方面，由于MN 过DE 与AB 的交点M ，故MN 的方程可表为：11110a x y x y c b a bc b a γ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即： 111a x y cb a bc γγγ-+⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即111a x y cb abc γγμμγμ-+⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ … ② 由于方程①和②表示同一条直线MN ，所以1111c b c b μγγμ+-⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… ③， 11a a a bc a bc μγγμ-+⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ … ④ 由③得()()0c b γμγμ-+-=，显然有0,0c b ><，0c b ->，所以0γμγμ+-= …… ⑤ 由④得2()()0a bc μγ++=，（因2()DF a b c k a bc -=+，2()DE a c b k a bc-=+有意义，则20a bc +≠） 所以0μγ+= ……⑥，由⑤⑥得2,2γμ==-，于是MN 的方程为：1132a x y b c a bc ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2()(3)2a b c x bc a y abc +++=，因此，2()3MN a b c k a bc +=-+， 前已得到23()OH a bck a b c +=+，所以1OH MN k k ⋅=-，从而OH MN ⊥．例2、如图，以ABC ∆的一边BC 为直径作圆，分别交,AB AC 所在直线于,E F ，过,E F 分别作圆的切线交于一点P ，直线AP 与BF 交于一点D ；证明：,,D C E 三点共线．证：连,,EF EC CD ，则弦切角PEF PFE EBF ∠=∠=∠，由AF BF ⊥，得09090BAF EBF PEF ∠=-∠=-∠12EPF =∠，以P 为圆心，()PE PF =为半径作P ，交直线BA 于A '，则12EA F EPF BAF '∠=∠=∠， 故,A A '共点；所以PA PE =，090PAE ABC PEA PEC ∠+∠=∠+∠=，得BC AP ⊥，因此C 是ABD ∆的垂心．所以CD AB ⊥，又因CE AB ⊥，则,,D C E 三点共线．例3、如图，,M N 分别是ABC ∆的边,AB AC 上的点，且1BM CNMA NA+=； 求证：线段MN 过ABC ∆的重心．证：取AC 的中点E ，MN 截ABE ∆于,,M P N ，1EP BM ANPB MA NE⋅⋅=，则1BP BM AN CN AN PE MA NE NA NE ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22NE ANAN NE =⋅=，因为P 在中线BE 上，所以P 是重心． 以上用到，()()NA CN NE EA CN NE EC CN -=+-=+- ()2NE CN NE CN NE =++-=．例4、12,O O 是ABC ∆的旁切圆，已知 1O 分别切,,AB BC CA 三边于,,D E F ；2O 分别切,,AB BC CA 三边于,,M N K ；1212, O O EF S O O MN T ==；MN EF P =；ED NK H =.证明：()1. ,,P A H 共线1l ，,,,E D H T 共线2l ，,,,N K H S 共线3l ；DB()1232. , , l BC l PN l PE ⊥⊥⊥.证：()1. 作AQ BC ⊥于Q ，设1QANM P =，12,O O 的半径分别记为12,r r ， 则222costan22sin tan 22B A AM AT AMT B B TO MTO r ∆===∆ 同理，1tan 2tan 2AAS CSO = ，因为1P A ∥2O N ，则122P A AT r TO =，故12tan 2tan2A P A rB =⋅. 又设2QA EF P =，则 21tan2tan2A P A r C =⋅ ，为证12P A P A =，只要证， 21cot cot 22B Cr r =，即BN CE =，连21, BO CO ，因122, O B BO MN BO ⊥⊥，故1O B ∥MN ，同理，21O C O C ⊥，于是21BCO O 共圆，得212CBO CO O ∠=，12212212cotcot cos 22O C B CBN r r CO O r O C CE O C ==∠===，所以 12P A P A =. 即,,EF MN AQ 三线共点.()2.因, 222B BBED ENM BMN π∠=∠=∠=-，所以 ED MN ⊥，因 2tan 2tan 2A AT B TO =，而11tan 2tan 2A r AD AD BDB r DB =⋅=， 所以，2AT AD TO DB =，因此 DT ∥2BO ，而 2BO MN ⊥，所以DT MN ⊥，且,,E D T 共线.即,,E D T 所共直线为PEN ∆的一条高线；同理可得，,,N K S 共线，且其所共直线也构成PEN ∆的一条高线，因此ED 与NK 的交点H 为PEN ∆的垂心，故在另一条高线PAQ 上，因此结论得证.例5、如图， ABC ∆中，AB AC =，AB AC ⊥，,E F 是BC 上的点，且045EAF ∠=；AEF ∆的外接圆分别交,AB AC 于,M N ．求证：BM CN MN +=．证：如右图，设,,,,BM x CN y BE b CF c EF a =====，则AB AC ===，将ABE ∆绕A 反时针旋转090至ACP ∆， 则090PCF PCA ACF ∠=∠+∠=，所以PCF ∆为直角三角形； 又显然045PAF EAF ∠==∠，所以PAF EAF ∆∆≌， 故由222PF PC FC =+，得222a b c =+ 记圆的半径为r ，则直径2MN r =，a EF ==，由圆幂定理，BM BA BE BF ⋅=⋅，CN CA CF CE ⋅=⋅，即()x b a b =+，()y c a c =+；所以222[()][()]2x y b c a b c a a b c r a b c a b c+=+++=++==++++，即BM CN MN +=．例6、过ABC ∆的外心O 任作一直线，分别交边,AB AC 于,M N ，F E ,分别是,BN CM 的中点.证明：EOF A ∠=∠.证：我们证明以上结论对任何三角形都成立．分三种情况考虑，对于直角三角形ABC ，结论是显然的，事实上，如图一中左图，若ABC ∠为直角，则外心O 是斜边AC 的中点，过O 的直线交,AB AC 于,M N ，则,O N 共点，由于F 是CM 的中点，故中位线OF ∥AM ，所以EOF OBA OAB A ∠=∠=∠=∠；P以下考虑ABC ∆为锐角三角形或钝角三角形的情况，（如图一中右边两图所示） （图一）先证引理：如右图，过O 的直径KL 上的两点,A B 分别作弦,CD EF ，连,CE DF ，分别交,K L 于,M N ，若OA OB =，则MA NB =. 引理证明：设CDEF P =，直线,CE DF 分别截PAB ∆，据梅涅劳斯定理，1AC PE BM CP EB MA ⋅⋅=，1BF PD ANFP DA NB ⋅⋅=； 则MA AC AD PE PF BM NB BE BF PC PD AN⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ … ① 而由相交弦，得PC PD PE PF ⋅=⋅ … ② 若O 的半径为R ，OA OB a ==，则22AC AD AK AL R a BK BL BE BF ⋅=⋅=-=⋅=⋅ …③，据①②③得，MA MB NB NA =，即1MA MA AB ABNB NB AB AB+===+.因此MA NB =.引理得证.回到本题，如下图（两图都适用），延长MN 得直径1KK ，在直径上取点1M ，使1OM OM =，设11CM O A =，连1A B 交1KK 于1N ，由引理，11MN M N =，（右图中则是11M N MN =）因此，O 是1NN 的中点，故,OE OF 分别是1NBN ∆及1MCM ∆的中位线，于是得1EOF BA C A ∠=∠=∠.11F E M (N)C B AO例7、锐角三角形ABC 的三边互不相等，其垂心为H ，D 是BC 的中点，直线, BHAC E CHAB F ==，AH BC T =，BDE 交CDF 于G ，直线AG 与, BDE CDF 分别交于,M N ．证明：()1、AH 平分MTN ∠；()2、, , ME NF AH 三线共点．证：如图，连,,,DE DF MB NC ，因BCEF 共圆，D 为圆心，则DE DF DB DC ===， 连,,GD GE GF ，由BDEG 共圆，得DGE DBE TAC ∠=∠=∠；又由CDFG 共圆，得DGF DCF TAB ∠=∠=∠，相加得，EGF EAF ∠=∠，故EGAF 共圆，又因EAFH 共圆，即有AGEHF 五点共圆，所以HGE HAE TAC DGE ∠=∠=∠=∠，即,,D H G 共线；五点圆AGEHF 的直径为AH ，设圆心为P （P 为AH 的中点），由090AGH AEH ∠=∠=，即DG MN ⊥，故MD 为BDE 的直径，从而MB BC ⊥，进而由090DGN ∠=，知DN 为CDF 的直径，所以NC BC ⊥，MB ∥AT ∥NC ，因直径MD 过BDE 的中点D ，故MD 垂直且平分弦BE ；同理，CDF 的直径DN CF ⊥，又由, BE AC CF AB ⊥⊥，所以 MD ∥AC ，ND ∥AB ，则 Rt ABT ∆∽Rt NCD ∆，则 BT AT DC NC=……○1； 由MD ∥AC ，得 Rt MDB ∆∽Rt ACT ∆， BD MBTC AT=……○2． ○1、○2相乘，并注意 BD CD =， 有BT MBTC NC=，所以 MBT ∆∽NCT ∆， 由此，TN TC ANTM TB AM==，故AT 平分MTN ∠. 为证 , , ME NF AH 三线共点，只要证 , ME NF 皆过点P ，据五点圆AGEHF 的圆心角22HPE HAE HBC EDC BME ∠=∠=∠=∠=∠，所以PE ∥ME ，因此,,M P E 共线；同理可得，,,N P F 共线，因此, , ME NF AH 三线共点．例8、锐角三角形ABC 中，, , BC a AC b AB c ===，在边,,BC CA AB 上分别有动点,,D E F ，试确定，当222DE EF FD ++取得最小值时DEF ∆的面积．解：对于任一个内接DEF ∆，暂将EF 固定，而让D 在BC 上移动，设EF 的中点为M ，则由中线长公式，222222EF DE DF DM +=+⋅，因此在EF 固定后，欲使222DE EF FD ++取得最小值，当使DM 达最小，但是M 为EF 上的定点，则当DM BC ⊥时，DM 达最小，再对,E F 作同样的讨论，可知，当222DE EF FD ++取得最小值时，DEF ∆的三条中线必定垂直于三角形ABC 的相应边；今设DEF ∆重心为G ，面积为0S ，ABC ∆的面积为S ，则3GDE GEF GFD S S S S ∆∆∆===……○1 由于,,GDCE GEAF GFBD 分别共圆，则, , DGE C EGF A FGD B πππ∠=-∠=-∠=-，故由○1，sin sin sin GD GE C GE GF A GF GD B ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，同除以2S ，得GD GE GE GF GD GFa b b c a c⋅⋅⋅==⋅⋅⋅，所以 GD GE GFa b cλ===， … ②，又由 2GD a GE b GF c S ⋅+⋅+⋅=，即()2222a b c S λ++=，所以2222Sa b cλ=++，因而 220113sin 3sin 322S GD GE C ab C S λλ=⋅⋅=⋅=()3222212S a b c =++． （其中2a b c S p ++==） 例9、如图，△PAB 中，,E F 分别是边,PA PB 上的点，在,AP BP 的延长线上分别取点,C D ，使 , PC AE PD BF ==；点,M N 分别是△PCD ，△PEF 的垂心.证明：MN AB ⊥.证：如图，设线段,,DE CF PF 的中点分别为,,G H K ，则K也是BD 的中点，据中位线知，在△BDE 中，KG ∥BE ，12KG BE =； 在△PCF 中，KH ∥PC ，12KH PC =，即 KH ∥AE ，12KH AE =，所以△KHG △EAB ， 且HG ∥AB ，12HG AB =.为证MN AB ⊥，只要证MN HG ⊥.以G 为圆心，DE 为直径作G ，其半径记为R ；以H 为圆心，CF 为直径作H ，其半径记为r ，设直线AC 交MD 于Q ，MC 交BD 于W ，由于点M 是△PCD 的垂心， 则MD PQ ⊥，MC PD ⊥，所以DWCQ 共圆，故有MQ MD MC MW ⋅=⋅ … … ①另一方面，由于90, 90,EQD FWC ︒︒∠=∠=可知，Q 在G 上，W 在H 上，从而2222, MQ MD MG R MC MW MH r ⋅=-⋅=-，因此○1化为2222MG R MH r -=-，即 2222MG MH R r -=- … …②又设直线NF 交AC 于S ，NE 交BD 于T ，由于点N 是△PEF 的垂心，，则NS PE ⊥， NE PF ⊥，所以ETFS 共圆，故有 NT NE NF NS ⋅=⋅ … … ③ 再由 90, 90,DTE CSF ︒︒∠=∠=可知，T 在G 上，S 在H 上，从而2222, NT NE NG R NF NS NH r ⋅=-⋅=-，因此③化为2222NG R NH r -=-，即 2222NG NH R r -=- … ④ 据②、④得，2222MG MH NG NH -=-， 故 MN GH ⊥，而HG ∥AB ，所以MN AB ⊥.例10、在ABC ∆中，3a c b +=,内心为I ，内切圆在,AB BC 边上的切点分别为,D E , 设K 是D 关于点I 的对称点，L 是E 关于点I 的对称点.求证：,,,A C K L 四点共圆.证：设直线BI 交ABC ∆的外接圆于点P ，易知P 是AC 的中点，记AC 的中点为M ，则PM AC ⊥．设点P 在直线DI 上的射影为N ， 由于3,a c b +=则半周长22a b cp b ++==， 于是2BD BE p b b AC CM ==-===， 又0,90ABP ACP BDI CMP ∠=∠∠=∠=所以DBI ∆∽MCP ∆，且相似比为2，熟知；PI PC PA ==。
