高考数学(理)一轮复习达标训练：6.7数学归纳法(含答案)

限时集训 (三十八 ) 数学概括法(限时：50 分钟满分： 106 分 )一、选择题(共8 个小题，每题5 分，共40 分)1．假如命题 P(n)对n ＝k建立，则它对n ＝ k ＋ 2 也建立，若P(n)对n ＝ 2 也建立，则下列结论正确的选项是 ( )A ． P(n)对所有正整数 n 都建立B ． P(n)对所有正偶数 n 都建立C ． P(n)对所有正奇数 n 都建立D ． P(n)对所有自然数 n 都建立n ＋22n ＋ 11－ a2．用数学概括法证明“ 1＋ a ＋ a ＋ ＋ a＝(a ≠ 1)”，在考证 n ＝ 1 时，左端计算所得的项为 ()A ． 1B ． 1＋ a223C ． 1＋ a ＋aD ． 1＋ a ＋ a ＋ a1 11*3．利用数学概括法证明不等式 1＋ 2＋ 3＋ ＋2n － 1<f(n)(n ≥ 2，n ∈ N ) 的过程， 由 n ＝ k到 n ＝ k ＋ 1 时，左侧增添了 ( )A ．1项B ． k 项C ． 2k －1 项D ． 2k 项4．关于不等式 n 2＋ n<n ＋ 1(n ∈ N * )，某同学应用数学概括法的证明过程以下：(1)当 n ＝ 1 时，12＋ 1<1 ＋ 1，不等式建立．(2)假定当 n ＝ k(k ∈ N * )时，不等式建立，即k 2＋k <k ＋ 1 ， 则 当n ＝ k ＋ 1时 ，k ＋ 1 2 ＋ k ＋1 ＝k 2＋ 3k ＋2<k 2＋ 3k ＋ 2 ＋ k ＋2 ＝ k ＋ 2 2＝( k ＋ 1)＋ 1，当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式建立． 则上述证法 ( )A ．过程所有正确B ． n ＝ 1 验得不正确C ．概括假定不正确D ．从 n ＝k 到 n ＝ k ＋1 的推理不正确5．用数学概括法证明“当n 为正奇数时， x n ＋y n 能被 x ＋ y 整除”的第二步是 ()A ．假定 n ＝ 2k ＋ 1 时正确，再推 n ＝ 2k ＋3 时正确 ( 此中 k ∈ N * )B ．假定 n ＝2k － 1 时正确，再推 n ＝ 2k ＋1 时正确 (此中 k ∈ N *)C ．假定 n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋ 1 时正确 (此中 k ∈ N *)D ．假定 n ≤ k(k ≥ 1)时正确，再推n ＝k ＋ 2 时正确 ( 此中 k ∈ N * )6．用数学概括法证明 1＋ 2＋22＋ ＋ 2n －1＝ 2n － 1(n ∈ N * )的过程中， 第二步假定当 n ＝ k时等式建立，则当n ＝ k ＋ 1 时应获得 ( )A ． 1＋ 2＋22＋ ＋ 2k － 2＋2k － 1＝2k ＋1－ 1B ． 1＋ 2＋22 ＋ ＋ 2k ＋ 2k ＋ 1＝ 2k － 1－ 1＋2k ＋1 C ． 1＋ 2＋22 ＋ ＋ 2k － 1＋ 2k ＋ 1＝ 2k ＋1－1D ． 1＋ 2＋2 2＋ ＋ 2k － 1＋2k ＝ 2k － 1＋ 2k7．在数列 { a n } 中， a 1＝1，且 S n ＝ n(2n －1)a n ，经过求 a 2， a 3，a 4 ，猜想 a n 的表达式为3()11A. n － 1 n ＋ 1B.2n 2n ＋ 1C.2n － 1 112n ＋ 1D.2n ＋ 1 2n ＋ 2n ＋1**8．设函数 f(n)＝ (2n ＋9) ·3 ＋ 9，当 n ∈N 时， f(n)能被 m(m ∈ N )整除，猜想 m 的最大值为()A ． 9B ． 18C ． 27D ． 36二、填空题 (共 6 个小题，每题4 分，共 24 分)9．用数学概括法证明“ 2n >n 2＋1 关于 n ≥ n 0 的正整数 n 都建立”时，第一步证明中的开端值 n 0 应取 ________．10．二维空间中圆的一维测度(周长 )l ＝ 2πr ，二维测度 (面积 )S ＝πr 2 ，察看发现 S ′＝ l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝ 4πr 2，三维测度(体积 )V ＝4πr 3，察看发现3V ′＝ S.则四维空间中“超球”的三维测度V ＝ 8πr 3，猜想其四维测度W ＝ ________.11．察看以下等式：12＋22＝2 2＋ 12× 2＋1，612＋ 22＋ 32＝3 3＋12× 3＋ 1，622＋ 3 2＋ 4 2＝ 4 4＋1 4×2＋1， ，依据上述规律可得12 222＝1 ＋2 6＋ 2 ＋ 3＋ ＋ n________.12．以下图案由边长相等的黑白两色正方形按必定规律拼接而成，依此规律， 第 n 个图案中白色的正方形的个数为________．13．对大于或等于2 的自然数m 的 n 次方幂有以下分解方式：222333＋ 15＋ 17＋ 19.2 ＝ 1＋3,3 ＝ 1＋ 3＋5,4 ＝ 1＋ 3＋5＋ 7； 2 ＝3＋ 5,3 ＝ 7＋ 9＋ 11,4 ＝ 13 依据上述分解规律， 若 n 2＝ 1＋ 3＋ 5＋ ＋ 19, m 3(m ∈ N *)的分解中最小的数是21，则 m＋ n 的值为 ______．14．若数列 { a n } 的通项公式a n ＝ 12，记 c n ＝ 2(1－ a 1)(1 － a 2) (1－ a n )，试经过计算n ＋ 1c 1，c 2， c 3 的值，推断 c n ＝ ________.三、解答题 (共 3 个小题，每题14 分，共 42 分)15．用数学概括法证明： 1 2＋ 32＋ 52＋ ＋ (2n － 1)2＝12n(4n － 1)．31*116．设 0< a<1，定义 a 1＝ 1＋ a ， a n ＋1＝ a n ＋ a ，求证：对随意 n ∈ N ，有 1<a n <1－a .a n ＋ 1＋ a n － 117．已知数列 { a n } ，此中 a 2＝ 6 且a n ＋ 1－ a n ＋ 1＝n.(1)求 a 1， a 3， a 4；(2)求数列 { a n } 的通项公式；(3)设数列 { b n } 为等差数列，此中b n ＝a n且 c 为不等于零的常数，若S n ＝ b 1＋ b 2＋ ＋n ＋ cb n ，求1＋1＋ ＋ 1.S 1 S 2S n答 案[ 限时集训 (三十八 )]1． B 2.C 3.D4.D5.B6.D7.C8.D 9． 5 4n n ＋ 1 2n ＋ 1 10.2 πr11. 6n ＋ 212． 5n ＋ 313.1514.n ＋ 12115． 证明： (1) 当 n ＝1 时，左侧＝ 1 ＝ 1，右侧＝× 1× (4－ 1)＝ 1，等式建立．(2)假定当 n ＝ k(k ∈N *)时等式建立，即 12＋ 32＋ 52＋ ＋(2k － 1)2＝13k(4k 2－1)．2222212 212则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ＋ (2k － 1) ＋ (2k ＋ 1) ＝ 3k(4k － 1)＋ (2k ＋ 1) ＝ 3k(4k －1)＋ 4k 2＋ 4k ＋ 11212＝ 3k[4(k ＋ 1) － 1] － 3k ·4(2k ＋ 1)＋ 4k ＋4k ＋ 1＝ 3k[4(k ＋ 1)2－ 1]＋13(12k2＋ 12k ＋ 3－ 8k 2－ 4k)1＝ 12－1]＋12－ 1]3k[4(k ＋ 1)3[4(k ＋ 1)12－ 1]＝ 3(k ＋ 1)[4( k ＋ 1) ．即当 n ＝ k ＋ 1 时等式也建立．由 (1)， (2) 可知，对全部 n ∈N * ，等式都建立．16． 证明： (1) 当 n ＝1 时， a 1＝ 1＋a>1 ，又 a 1＝1＋ a< 1，明显命题建立．1－ a*1(2)假定 n ＝k(k ∈N )时，命题建立，即 1< a k <.即当 n ＝ k ＋ 1 时，由递推公式，知 a k ＋ 1＝ 1＋ a ，a k1由假定可得 (1－ a)＋ a<a k ＋ a<11＋ a< .1－ a于是当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也建立，1即 1<a k ＋1<.1－ a由 (1)(2)可知，对随意 n ∈N *，1有 1<a n <.1－ aa2＋ a 1－ 1 3＋ a 2－ 1 a4＋ a 3－ 1 17． 解： (1)∵a 2＝ 6， ＝ 1，a＝3，解得＝ 2，a 2－ a1＋ 13－ a2＋ 1a 4－ a3＋ 1aa 1＝ 1，a 3＝15， a 4＝ 28.(2)由上边的 a 1， a 2， a 3， a 4 的值能够猜想 a n ＝ n(2n － 1)．下边用数学概括法加以证明：①当 n ＝ 1 时， a 1＝ 1× (2－ 1)＝ 1，结论建立．②假定当 n ＝ k 时，结论正确，即a k ＝ k(2k － 1)，k ＋ 1＋ a k －1 则当 n ＝ k ＋ 1 时，有a＝ k ，k ＋1－ a k ＋ 1a∴(k － 1)a k ＋ 1＝ (k ＋ 1)a k － (k ＋1)＝ (k ＋ 1) ·k(2k － 1)－ (k ＋ 1)＝ (k ＋ 1)(2k 2－ k － 1)＝ (k ＋ 1)(2k ＋ 1)(k － 1)(k － 1≠ 0)．∴a k ＋ 1＝ (k ＋ 1)[2( k ＋ 1)－ 1]．即当 n ＝ k ＋ 1 时，结论也建立．由①②可知， { a n } 的通项公式a n ＝ n(2n －1) ．(3)∵{ b n } 是等差数列，∴ 2b 2＝ b 1 ＋ b 3，即 2a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 . 2＋ c 1＋ c 3＋ c∵a 1＝ 1，a 2＝ 6， a 3＝ 15 且 c ≠ 0，1由上式解得 c ＝－ 2，b n a n n 2n 11 12n. n2 22n 1S n b1 b2b n n(n 1)111111 S1S2S n1× 2 2×3n n 11 1 112231 1n n 111 n . n1 n 1。

第七节 数学归纳法时间：45分钟 分值：100分基础必做一、选择题1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析 总项数为n 2－n ＋1，f (2)＝12＋13＋14.故选D.答案 D2．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析 1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12>12764，整理得2n>128，解得n >7.∴初始值至少应取8. 答案 B3．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋3)＝(k ＋2)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋3)＝(k ＋3)2解析 当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋3)＝(k ＋1)2＋(2k ＋3)＝(k ＋2)2.答案 B4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题不成立D ．当n ＝4时，该命题成立解析 因为当n ＝k 时命题成立可推出n ＝k ＋1时成立，所以n ＝5时命题不成立，则n ＝4时命题也一定不成立．答案 C5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －1n ＋1B.12n2n ＋1C.12n －12n ＋1D.12n ＋12n ＋2解析 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2(2×2－1)a 2， 即a 1＋a 2＝6a 2.∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3.∴a 3＝135＝15×7，同理可得a 4＝17×9. 答案 C6．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k)解析 (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任意k ∈N *都成立．故选D. 答案 D 二、填空题7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．解析 ∵n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立． 答案 2k ＋18．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系是__________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)29．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2，S 3，S 4分别为__________，由此猜想S n ＝__________.解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1， ∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3，∴S 2＝32.同理，分别令n ＝2，n ＝3，可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n－12n －1.答案 32，74，1582n－12n －1三、解答题10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立． 11．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3， ∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k－12k －1＝2k ＋1－12k －1.∴a k ＋1＝2k ＋1－12k， 由①②可知，对n ∈N *，a n ＝2n－12n －1都成立．培优演练1．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析 在n ＝k ＋1时，没用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．∴从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确．答案 D2．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N *)能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )A ．56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34·34k ＋1＋52·52kC ．34k ＋1＋52k ＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34·34k ＋1＋52·52k ＋1＝(56＋25)·34k ＋1＋52·52k ＋1＝56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)．答案 A3．设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )片(平面区域)，则f (2)＝________，f (n )＝________.(n ≥1，n 是自然数)解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2.答案 4 n 2－n ＋24．(2014·某某卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，某某数a 的取值X 围． 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知得，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x1＋3x，…，可得g n (x )＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立， 即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k x1＋g k x ＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x1＋k ＋1x.即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立， 即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x (x ≥0)，即φ′(x )＝11＋x－a1＋x2＝x ＋1－a1＋x2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立， 综上可知，a 的取值X 围是(－∞，1]．。

专题7.6数学归纳法练基础1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++ 时，从n k =到1n k =+等式左边需增添的项是（）A ．22k +B ．[]2(1)1k ++C ．[(22)(23)]k k +++D ．[][](1)12(1)1k k ++++【答案】C 【解析】分别写出n k =和1n k =+时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.【详解】当n k =时，左边123(21)k =+++++ ，共21k +个连续自然数相加，当1n k =+时，左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++ ，所以从n k =到1n k =+，等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++.故选：C.2．（2020·全国高三专题练习）已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1-111234+-+…+1-1n =2111 (24)2n n n ⎛⎫+++⎪++⎝⎭时，若已假设n=k (k ≥2，k 为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A ．n=k+1时等式成立B ．n=k+2时等式成立C ．n=2k+2时等式成立D ．n=2(k+2)时等式成立【答案】B 【解析】直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．【详解】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设(2)n k k =为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即2n k =+时等式成立，不是1n k =+，因为k 是偶数，1k +是奇数，故选：B ．3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∈N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（）A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1【答案】C 【解析】根据数学归纳法、不等式特点知n k =有左侧1111 (2321)k ++++-，1n k =+有左侧11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，即可判断增加的项数.【详解】n k =时，左边=1111 (2321)k ++++-，而n ＝k ＋1时，左边＝11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，增加了1111 (22121)k k k +++++-，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项，故选：C.4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式()*1114,21225n N n n n n ∈+++≤≥++ 时，可将其转化为证明（）A ．()*11141,2122521n n n n n n N +++≤+∈≥+++ B ．()*14,2122521111n n n n n n N +++≤∈-≥+++ C ．()*114,21225211N n n n n n n +++≤∈+≥++ D ．()*11141,212252N n n n n n n+++≤∈-≥++ 【答案】B 【解析】各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于45，利用排除法即可.【详解】根据放缩法证明不等式，首先排除A ，C ；D 选项当2n =时，左端值为11735341260+==，右端为411133542065-==，不等式不成立，故只要证明B 成立，原不等式即成立.故选：B.5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“1111...(,1)2321n n n N n *++++<∈>-”的过程中，由假设“n k =”成立，推导“1n k =+”也成立时，左边应增加的项数是（）A．k B．1k +C．2kD．21k +【答案】C 【解析】利用数学归纳法证明“1111...(,1)2321n n n N n *++++<∈>-”的过程中，假设“n k =”成立1111...(,1)2321k k n N n *++++<∈>-;当1n k =+时，左边为1111111.......1(,1)2321221221k k k k k k n N n *++++++++<+∈>-++-故增加的项数为2k 项.故答案为：C.6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈ 能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【解析】分别写出n k =和1n k =+时的对应的结果，再比较差异，得到答案.【详解】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++，比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项.故答案为：57.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足214(3)(2,)n n S a n n N *-=+∈≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =______________．【答案】21n -【解析】当1n =时，11a =；当2n =时，221224(3)16,4,3S a S a =+=∴==；当3n =时，232334(3)36,9,5S a S a =+===；当4n =时，243444(3)64,16,7S a S a =+===，猜想得21n a n =-，故21n a n =-，下面用数学归纳法证明：①11a =，满足21n a n =-，②假设n k =时，结论成立，即21k a k =-，可得2k S k =，则22214(3)(22)4(1)k k S a k k +=+=+=+，222111(1),(1)21k k k k S k a S S k k k +++∴=+=-=+-=+2(1)1k =+-，也满足21n a n =-，结合①②可知，21n a n =-，故答案为21n a n =-．8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列中，1=1,r1=1+∈∗用数学归纳法证明：<r1∈∗.【答案】见解析.【解析】当=1时，2=1+11+1=32，1<2，所以，=1时，不等式成立；假设=（∈∗）时，<r1成立，则当=+1时，r2−r1=1+r11+r1−r1=1+r11+r1−(1+1+)=11+−11+r1=r1−(1+)(1+r1)>0，所以，=+1时，不等式成立．综上所述，不等式<r1(∈∗)成立．9.（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 满足()*2N n n S n a n =-∈.（1）计算123a a a 、、，并猜想n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】(1)11a =；232a =；374a =；()*121N 2n n n a n --=∈.(2)证明见解析.【详解】分析：（1）将n 进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.详解：（1）当1n =时，1112a S a ==-，∴11a =；当2n =时，122222a a S a +==⨯-，∴232a =；当3n =时，1233323a a a S a ++==⨯-，∴374a =；由此猜想()*121N 2n n n a n --=∈；（2）证明：①当1n =时，11a =结论成立，②假设n k =（1k ≥，且*N k ∈）时结论成立，即1212k k k a --=，当1n k =+时，()11121k k k k a S S k a +++=-=+-122k k k k a a a +-+=+-，∴122k k a a +=+，∴1122122k k k ka a +++-==，∴当1n k =+时结论成立，由①②可知对于一切的自然数*N n ∈，1212n n n a --=成立.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{a n }满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上．（1）求234,,a a a 的值，并猜想数列{a n }的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．【答案】（1）23a =，37a =，415a =；21nn a =-；（2）证明见解析.【解析】（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.【详解】(1) 点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上可知，数列{}n a 满足：121n n a a +=+，11a = ，2343,7,15a a a ∴===．可猜得21n n a =-．(2)当1n =时，1211a =-=成立，假设当(1,)n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，则当1n k =+时，11212(21)121kk k k a a ++=+=-+=-成立，就是说*n N ∈，猜想正确；综上，21nn a =-．练提升1．（2021·全国）已知数列{}n a 满足()*1n n nna a n N a +=+∈，10a >，则当2n ≥时，下列判断一定正确的是（）A ．1n a n <+B ．211n n n n a a a a +++-<-C ．n a n ≥D ．1n a n ≥+【答案】C 【解析】根据特殊值法，分别令11a =，13a =，即可判断ABD 错误；再由数学归纳法证明C 选项正确.【详解】因为数列{}n a 满足()*1n n nna a n N a +=+∈，10a >，若13a =，则21113313a a a =+=+>，不满足1n a n <+，故A 错误；若11a =，则2112211a a a =+=<+，3223312a a a =+=<+，4334413a a a =+=<+，不满足1n a n ≥+，故D 错误；又此时43321a a a a -==-，不满足211n n n n a a a a +++-<-，故B 错误；因为10a >，所以21112a a a =+≥=，当且仅当111a a =，即11a =时，等号成立；构造函数()kf x x x=+，2k ≥，x k ³，所以22x k ≥，则()210kf x x '=->在[),x k ∈+∞上显然恒成立，所以()(),2kf x x k x=+≥在[),x k ∈+∞上单调递增；因此2y x x=+在[)2,x ∈+∞上单调递增，所以32222322a a a =+≥+=，猜想n a n ≥，对任意2n ≥恒成立；下面用数学归纳法证明：（1）当2n =时，21112a a a =+≥=，显然成立；（2）假设当()3n k k =≥时，不等式成立，即k a k ≥恒成立；则1n k =+时，1k n ka a a k +=+，因为函数()(),2kf x x k x=+≥在[),x k ∈+∞上单调递增；所以()()1f x f k k ≥=+，即11k kn a a k ka +=+≥+成立；由（1）（2）可得；n a n ≥，对任意2n ≥恒成立；故C 正确.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列{}n a ，满足()101a a a =<<，()()()*11ln 1n n n a a a n N ++=+∈，则（）A ．110n n a a n+<<<B．110n n a a n+<<<C ．110n n a a n+<<<D ．110x n a a n+<<<【答案】B 【解析】转化条件为()()*1ln 11n n na a n N a ++=∈+，令()()()ln 1,011x f x x x+=<≤+，通过导数可得()f x 单调递增，通过数学归纳法可证明如果*10,k a k N k<<∈，则11ln 1011k k a k+⎛⎫+ ⎪⎝⎭<<+，再令()ln 1,0x x x x ϕ=-+>，通过导数证明()()10x ϕϕ≤=后，适当放缩可得10n a n<<，进而可证明1n n a a +<，即可得解.【详解】因为()()()*11ln 1n n n a a a n N++=+∈，所以()()*1ln 11n n na an N a ++=∈+，令()()()ln 1,011x f x x x+=<≤+，则()()()21ln 11x f x x -+'=+，当01x <≤时，()()()21ln 101x f x x -+'=>+，()f x 单调递增，由题意，1101a a <=<，如果*10,k a k N k <<∈，则()11ln 1ln 10111k k ka k a a k+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭<=<++，设()ln 1,0x x x x ϕ=-+>，则()11x xϕ'=-，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 1≤-x x ，因为111k +>，所以111ln 111k k k ⎛⎫+<+-= ⎪⎝⎭，所以111ln 1111111k k k a k k k+⎛⎫+ ⎪⎝⎭<<=+++，所以对于任意的*n N ∈，均有10n a n<<，所以()1ln 111111n n n n n nn na a aa a a a a +++=<=<++-+.故选：B.3．（2020·浙江省桐庐中学）数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n N +=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的个数（）①10n n a a +<<；②22221231n a a a a a ++++< ；③对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a ++++>---- 成立；④11n a n <+.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】利用二次函数的性质及递推关系得0n a >，然后作差1n n a a +-，可判断①，已知等式变形为21n n n a a a +=-，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得12111111nn a a a +++>--- ，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．【详解】22111()24n n n n a a a a +=-+=--+，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则110,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴210n n n a a a +-=-<，∴10n n a a +<<，①正确；由已知21n n n a a a +=-，∴2221212231111()()()n n n n a a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=-< ，②正确；由110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及①得1112n a <-<，1121na <<-，∴12111111nn a a a +++>--- ，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时12311111111mb a a a a ++++>---- 成立，③正确；(i)已知112a <成立，(ii)假设11n a n <+，则222111112411n n n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=-+=--+<-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又2211110(1)12(2)(1)n n n n n -+-=-<+++++，即2111(1)12n n n -+<+++，∴112n a n +<+，由数学归纳法思想得④正确．∴4个命题都正确．故选：D ．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列{}n a 满足：10a =，()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈N ，前n 项和为n S （参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈，则下列选项错误的是（）.A ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列B ．1ln 3n n a a ++≤C ．2020670S <D ．212n n a a -≤【答案】C 【解析】设nn a eb =，则有11n n n b b b ++=，2211n n n b b b ++=+，11n n n b b b +=+，构建21()1x g x x +=+，求导分析可知导函数恒大于零，即数列21{}n b -，2{}n b 都是单调数列，分别判定13b b <，24b b >，即得单调性，数列{}n a 与{}n b 的单调性一致，可判定A 选项正确；B 、C 选项利用分析法证明，可知B 正确，C 错误；D 选项利用数学归纳法证分两边证21212n n b b -<<，即可证得212n n a a -<.【详解】∵()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈N，10a=，∴()2ln 10ln 2a e =+-=，33ln 3ln 2ln 2a =-=，4535ln ln ln 223a =-=，设nn a eb =，0n b >，1ln(1)111n n n n a b a n n n a n b b b ee e b ++-+++====，则1211211n n n n n b b b b b +++++==+，令21()1x g x x +=+，则21()0(1)g x x '=>+，∴()g x 单调递增，将2(,)n n b b -，2(,)n n b b +看作是函数()y g x =图象上两点，则220n nn n b b b b +-->-，∴数列21{}n b -，2{}n b 都是单调数列，111a b e ==，同理22b =，332b =，453b =，即13b b <，24b b >，∴21{}n b -单调递增，2{}n b 单调递减，而数列{}n a 与{}n b 的单调性一致，∴{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列，A 正确；由n n ae b =得ln n n a b =，11n n nb b b ++=要证111ln ln ln()ln 3n n n n n n a a b b b b ++++=+=≤，即证13n n b b +≤，即13n b +≤，即证2n b ≤，也即要证1112n n b b --+≤，等价于11n b -≥，显然2n =时，11b =，3n ≥时，21211n n n b b b ---+=>，故11n b -≥成立，∴不等式1ln 3n n a a ++≤成立．B 正确；欲证12ln 3n n n a a a ++++≥，只需证12ln ln ln ln 3n n n b b b ++++≥，即12ln()ln 3n n n b b b ++≥即123n n n b b b ++≥12121311n n n n n n n b b b b b b b ++⇔⋅⋅=+≥⇔≥+，显然成立，故12ln 3n n n a a a ++++≥1>，所以20201998199816663S S >>⨯=，故C 选项错误；欲证212n n a a -<，因单调性一致则只需证212n n b b -<，只需证21212n n b b -+<<因为1112b =<，若2112n b -<，则21212121211122112512n n n n b b b b -+--++==-<=++；又因为2122b =>，若212n b +>，则22222115122112512n n n n b b b b ++==->-++，由数学归纳法有21212n n b b -<<，则212n n a a -<成立故D 选项正确。

2016届高考数学一轮复习 6.7数学归纳法课时作业 理 湘教版一、选择题1.（2014·某某高三模拟）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需增添的代数式是()A.2k ＋2B.2k ＋3C.2k ＋1D.(2k ＋2)＋(2k ＋3)【解析】当n ＝k 时，左边是共有2k ＋1个连续自然数相加， 即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，左边是共有2k ＋3个连续自然数相加， 即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)，故选D. 【答案】D2.（2012·某某模拟）由数学归纳法证明不等式11123+++…+112n f n -<（）（n ≥2,n ∈N ）的过程，由n =k 到n =k +1时，左边增加了（ ）A.1项B.k 项C.2k -1项 D.2k项【解析】 当n =k ，左边=11111232k -++++…， 当n =k +1时，左边=1111112322k k -++++++……，故增加了11222k k k ---=项．选C.【答案】 C3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是() A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )>k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立【解析】对于A ，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错误．对于B ，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 错误． 对于C ，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 错误．对于D ，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D. 【答案】D4．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去…则第n 个图共挖去小正方形()A ．(8n－1)个 B ．(8n＋1)个 C.71(8n －1)个 D. 71(8n＋1)个 【解析】第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个…第n 个图挖去1＋8＋82＋…＋8n －1＝781n 个．【答案】C5.下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是 （ ） A.6+6·7kB.2+7k -1C.2（2+7k +1)D.3（2+7k）【解析】 （1）当k =1时，显然只有3（2+7k）能被9整除.(2)假设当k =n (n ∈N *)时,命题成立,即3(2+7n )能被9整除,那么3(2+7n +1)=21(2+7n)-36.36能被9整除.这就是说,k =n +1时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何k ∈N *都成立. 【答案】 D6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n ×3n -1=3n(na -b)+c 对一切n ∈N *都成立,则a 、b 、c 的值为 （ ）A.a =12,b =c =14B.a =b =c=14C.a =0,b =c =14D.不存在这样的a 、b 、c 【解析】 ∵等式对一切n ∈N *均成立,∴n =1，2，3时等式成立，即22313()1233(2)123333(3)a b c a b c a b c =-+⎧⎪+⨯=-+⎨⎪+⨯+⨯=-+⎩整理得3311897,812734a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩解得a =12,b =c =14. 【答案】 A 二、填空题 7.已知f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n)＞2n 时，f (2k +1)-f (2k )= .【解析】 ∵f (2k +1)=1+12+13+14+…+1k +11k ++…+12k +121k ++122k ++…+112k +， f （2k ）=1+12+13+14+…+1k +11k ++…+12k ，∴f (2k +1)-f (2k)=121k ++122k ++…+112k +.【答案】121k ++122k ++…+112k +8．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1、A 1A 2，A 2A 3是分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的圆弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心，AA 3为半径画圆弧…这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度l n 为.【解析】由条件知CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 对应的中心角都是3π2，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为3π2，3π2×2，3π2×3…，据题意，第一圈长度为3π2 (1＋2＋3)，第二圈长度为3π2 (4＋5＋6)，第n 圈长度为3π2［(3n －2)＋(3n －1)＋3n ］，故l n ＝3π2 (1＋2＋3＋…＋3n )＝3π2·2)3＋(13n n ＝(3n 2＋n )π. 【答案】(3n 2＋n )π9.在各项为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n =112n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则a 3= ,猜想数列{a n }的通项公式为 . 【解析】 由S n =112n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可计算出a 1=1,a 2a 3由a 1,a 2,a 3可归纳猜想出a n10.已知当n =1时，有（a -b ）（a +b ）=a 2-b 2,当n =2时，有（a -b ）（a 2+ab +b 2）=a 3-b 3，当n =3时，有（a -b ）（a 3+a 2b +ab 2+b 3）=a 4-b 4 ，当n ∈N *时，你能得到的结论是 .【答案】 (a -b )(a n+a n -1b +…+ab n -1+b n)=a n +1－b n +1三、解答题 11.考察：1=1 1-4=-(1+2) 1-4+9=1+2+3 1-4+9-16=-(1+2+3+4)……猜想第n 个等式并用数学归纳法给出证明． 【解析】 由已知各等式知：第n 个等式是：222212111234112n n n n n --+-+-++-⋅=-⋅（）…（）（）. 下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，左边=1，右边=1，左边=右边，故等式成立； （2）假设当n =k 时等式成立，即有：22221234-+-++…1211112k k k k k --+-⋅=-⋅（）（）（）. 则当n =k +1时，22221221234111k k k k --+-++-⋅+-⋅+…（）（）（）1211112k k k k k -+=-⋅+-⋅+（）（）（）（）21112k k k k +⎡⎤=-⋅-++⎢⎥⎣⎦（）（）（） 11222k k k k +⎡⎤=-⋅-++⎢⎥⎣⎦（）（） 1111112k k k +-+++=-⋅（）［（）］（）故当n =k +1时，等式也成立．由（1）（2）知：对于任意的n ∈N*等式都成立，即猜想正确．12．(2013·某某模拟)已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有2n a ≤a n －a n +1成立． (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与n1的大小，并证明你的结论． 【解析】(1)证明:由2n a ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －2n a . 因为在数列{a n }中，a n ＞0，所以a n ＋1＞0.所以a n －2n a ＞0.所以0＜a n ＜1. 故数列{a n }中的任意一项都小于1. (2)由(1)知0＜a n ＜1＝11，即a 1<11.那么a 2≤a 1－21a ＝－2141412121<≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ，由此猜想：a n ＜n1，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确，即a k ＜211≤k ，那么a k ＋1≤a k －2k a ＝<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-412121a-11111141211222+=--=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k kk k故当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜n1.13.数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和，对于n ∈N *，总有a n ，S n ，a 2n 成等差数列. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和为T n ，数列{T n }的前n 项的和为R n ，求证：当n ≥2时，R n -1=n (T n -1).（3）设A n 为数列212n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积，是否存在实数a ，使得不等式Aa 对一切n ∈N *都成立？若存在，求出a 的取值X 围，若不存在，请说明理由. 【解析】 （1）由已知有2S n =a n +a 2n . 当n ≥2时，2S n -1=a n -1+a 2n -1,∴2S n =a n +a 2n ,两式想减有：2a n =a n -a n -1+a 2n -a 2n -1, 即a n -a n -1=1.又当n =1时，2a 1=a 1+a 21⇒a 1=1,所以a n =n .(2)由（1）得T n =1+12+13+ (1)， R n =T 1+T 2+T 3+…+T n .当n =2时，R n -1=R 1=T 1=1，2（T 2-1）=1， 故当n =2时命题成立.假设n =k 时成立， 即R k -1=k （T k -1），则当n =k +1时，R k =R k -1+T k =k (T k -1)+T k =(k +1)T k -k=(k +1) 1k k T k ⎛⎫-⎪+⎝⎭ =(k +1) 111k T k ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭ =(k +1)(T k +1-1),说明当n =k +1时命题也成立. (3)据已知A n =1112a ⎛⎫-⎪⎝⎭2112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭…112n a ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则g (n )=A=1112a ⎛⎫-⎪⎝⎭2112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭…112n a ⎛⎫-⎪⎝⎭, (1)()g n g n + =1112n a +⎛⎫- ⎪⎝⎭＜1. 故g (n )单调递减，于是［g (n )］max =g. 要使不等式Aa 对一切n ∈N *都成立只需a即可.。