高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》专项训练及答案

新《空间向量与立体几何》专题

一、选择题

1．已知正方体1111ABCDABCD的棱1AA的中点为E，AC与BD交于点O，平面过点E且与直线1OC垂直，若1AB，则平面截该正方体所得截面图形的面积为( )

A．64 B．62

C．32 D．34

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方体的垂直关系可得BD平面11ACCA，进而1BDOC，可考虑平面BDE是否为所求的平面，只需证明1OEOC即可确定平面.

【详解】

如图所示，正方体1111ABCDABCD中，E为棱1AA的中点，

1AB，则2113122OC，2113424OE，2119244EC，

22211OCOEEC，1OEOC；又BD平面11ACCA，

1BDOC，且OEBDOI，1OC平面BDE，

且113622224BDESBDOEg，

即截该正方体所得截面图形的面积为64.

故选:A.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.

2．如图，在长方体1111ABCDABCD中，13,1ABADAA,而对角线1AB上存在一点P，使得1APDP取得最小值，则此最小值为（ ）

A．7

B．3

C．1+3 D．2

【答案】A

【解析】

【分析】

把面1AAB绕1AB旋转至面1BAM使其与对角面11ABCD在同一平面上，连接1MD并求出，就

是最小值．

【详解】

把面1AAB绕1AB旋转至面1BAM使其与对角面11ABCD在同一平面上，连接1MD．1MD就是1||||APDP的最小值，

Q||||3ABAD，1||1AA，0113tan3,601AABAAB．

所以11=90+60=150MADooo

2211111111132cos13223()72MDADAMADAMMAD

故选A．

【点睛】

本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．

3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )

A．132 B．7 C．152 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．

【详解】

由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，

可得：该几何体的表面积为：22141212274．

故选：B．

【点睛】

思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A．23

B．13 C．12 D．34

【答案】B

【解析】

分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于21111=33，

选B.

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.

5．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点P在线段1CB上，且12BPPC，平面经过点1,,APC，则正方体1111ABCDABCD被平面截得的截面面积为（ ）

A．36 B．26 C．5 D．534

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.

【详解】

如图所示：

1,,APC确定一个平面，

因为平面11//AADD平面11BBCC，

所以1//AQPC，同理1//APQC，

所以四边形1APCQ是平行四边形.

即正方体被平面截的截面.

因为12BPPC，

所以112CBPC，

即1PCPB

所以115,23APPCAC

由余弦定理得：22211111cos25APPCACAPCAPPC

所以126sin5APC

所以S四边形1APQC1112sin262APPCAPC

故选：B

【点睛】

本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

6．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，ABBCD平面，BCDV是边长为3的等边三角形，若2AB，则球O的表面积为( )

A．16 B．323 C．12 D．32

【答案】A

【解析】

【分析】 先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2SD求解即可.

【详解】

BCDV外接圆直径323sin32CDdCBD ,

故球的直径平方222222(23)16DABd,故外接球表面积216SD

故选：A

【点睛】

本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d,再利用锥体高h,根据球直径22Ddh求解即可.属于中等题型.

7．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )

A．92 B．922 C．32 D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．

【详解】

由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABCDEF，所得的组合体，

其截面是一个梯形BCFE，

上底长为22112，下底边长为222222，

高为：222322()22，

故截面的面积1329(222)222S，

故选：A．

【点睛】

本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

8．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）

A．34 B．78 C．1516 D．2324

【答案】B

【解析】

【分析】 【详解】

由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥ABCDE，

该几何体的体积为1111711132228

故选B

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

9．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中,点12,PP分别是线段1,ABBD（不包括端点）上的动点,且线段12PP平行于平面11AADD,则四面体121PPAB的体积的最大值是

A．124 B．112 C．16 D．12

【答案】A

【解析】

由题意在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点12,PP分别是线段1,ABBD上的动点，

且线段12PP平行于平面11121,AADDPPBADB，

设1,(0,1)PBxx，即1222,PPxP到平面11AABB的距离为x，

所以四棱锥121PPAB的体积为2111(1)1()326Vxxxx，

当12x时，体积取得最大值124，故选A．

点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．

10．如图，在正方体1111ABCDABCD，点P在线段1BC上运动，则下列判断正确的是（ ）

①平面1PBD平面1ACD

②1//AP平面1ACD

③异面直线1AP与1AD所成角的取值范围是0,3π

④三棱锥1DAPC的体积不变

A．①② B．①②④ C．③④ D．①④

【答案】B

【解析】

【分析】

由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④．

【详解】

正方体中易证直线AC平面11BDDB，从而有1ACBD，同理有11BDAD^，证得1BD平面1ACD，由面面垂直判定定理得平面1PBD平面1ACD，①正确；

正方体中11//ABCD，11//BCAD，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面11ABC//平面1ACD，而1AP平面11ABC，从而得1//AP平面1ACD，②正确；

当P是1BC中点时，1AP在平面11ABCD内，正方体中仿照上面可证1AD平面11ABCD，从而11ADAP，1AP与1AD所成角为90．③错；

∵11DAPCPADCVV，由1//BC平面1ACD，知P在线段1BC上移动时，P到平面1ACD距离相等，因此1PADCV不变，④正确．

故选：B．

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．

11．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．

A．130 B．140 C．150 D．160

【答案】D

【解析】

设直四棱柱1111ABCDABCD中，对角线119,15ACBD，

因为1AA平面,ABCDACÌ,平面ABCD，所以1AAAC，

在1RtAAC中，15AA，可得221156ACACAA,

同理可得2211200102BDDBDD，

因为四边形ABCD为菱形，可得,ACBD互相垂直平分，

所以2211()()1450822ABACBD，即菱形ABCD的边长为8，

因此，这个棱柱的侧面积为1()485160SABBCCDDAAA，

故选D.

点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何