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高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》专项训练及答案

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新高考数学《空间向量与立体几何》专题解析

一、选择题

1．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m，//n，则mn；

②若//，m，则m；

③若//m，//n，则//mn；

④若m，，则//m.

其中真命题的序号为（ ）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

【答案】A

【解析】

【分析】

逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.

【详解】

对于命题①，若//n，过直线n作平面，使得a，则//an，mQ，a，ma，mn，命题①正确；

对于命题②，对于命题②，若//，m，则m，命题②正确；

对于命题③，若//m，//n，则m与n相交、平行或异面，命题③错误；

对于命题④，若m，，则m或//m，命题④错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.

2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．273 B．276 C．274 D．272

【答案】D

【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】

几何体为一个三棱锥，高为33，底为一个直角三角形，直角边分别为333，，所以体积为1127=33333=322V，选D.

【点睛】

(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

3．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）

A．34 B．78 C．1516 D．2324

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥ABCDE，

该几何体的体积为1111711132228 故选B

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

4．如图，在长方体1111ABCDABCD中，13,1ABADAA,而对角线1AB上存在一点P，使得1APDP取得最小值，则此最小值为（ ）

A．7 B．3 C．1+3 D．2

【答案】A

【解析】

【分析】

把面1AAB绕1AB旋转至面1BAM使其与对角面11ABCD在同一平面上，连接1MD并求出，就

是最小值．

【详解】

把面1AAB绕1AB旋转至面1BAM使其与对角面11ABCD在同一平面上，连接1MD．1MD就是1||||APDP的最小值，

Q||||3ABAD，1||1AA，0113tan3,601AABAAB．

所以11=90+60=150MADooo

2211111111132cos13223()72MDADAMADAMMAD

故选A．

【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．

5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )

A．132 B．7 C．152 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．

【详解】

由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，

可得：该几何体的表面积为：22141212274．

故选：B．

【点睛】

思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

6．若四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为（ ）

A．2 B．25 C．425

D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据四面体的三视图可知：一侧面垂直于底面，且底面是以该侧面与底面的交线为直角边的直角三角形，然后根据面面垂直的性质定理，得到与底面的另一直角边为交线的侧面为直角三角形求解.

【详解】

由四面体的三视图可知：平面PAB平面ABC，BCAB，

所以BC⊥平面PAB，所以BCPB，

所以,ABCPBCVV是直角三角形，

如图所示：

所以直角三角形的面积和为:11112252252222ABCPBCSSABBCPBBCVV.

故选：B

【点睛】

本题主要考查三视图的应用以及线面垂直，面面垂直的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

7．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点P在线段1CB上，且12BPPC，平面经过点1,,APC，则正方体1111ABCDABCD被平面截得的截面面积为（ ）

A．36 B．26 C．5 D．534

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.

【详解】

如图所示：

1,,APC确定一个平面，

因为平面11//AADD平面11BBCC，

所以1//AQPC，同理1//APQC，

所以四边形1APCQ是平行四边形.

即正方体被平面截的截面.

因为12BPPC，

所以112CBPC，

即1PCPB

所以115,23APPCAC

由余弦定理得：22211111cos25APPCACAPCAPPC

所以126sin5APC 所以S四边形1APQC1112sin262APPCAPC

故选：B

【点睛】

本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

8．设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )

A．若//a，//b，则//ab B．若a，//ab，则b

C．若a，abrr，则//b D．若//a，abrr，则b

【答案】B

【解析】

【分析】

利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．

【详解】

若//a，//b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；

若a，//ab，则由直线与平面垂直的判定定理知b，故B正确；

若a，abrr，则//b或b，故C错误；

若//a，abrr，则//b，或b，或b与相交，故D错误．

故选：B．

【点睛】

本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

9．三棱柱111ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAACAA，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（ ）

A．33 B．66 C．34 D．36

【答案】B

【解析】

【分析】

设1AAcuuuvv，ABauuuvv，ACbuuuvv，根据向量线性运算法则可表示出1ABuuuv和1BCuuuuv；分别求解出11ABBCuuuvuuuuv和1ABuuuv，1BCuuuuv，根据向量夹角的求解方法求得11cos,ABBCuuuvuuuuv，即可得所求角的余弦值.

【详解】

设棱长为1，1AAcuuuvv，ABauuuvv，ACbuuuvv

由题意得：12abvv，12bcvv，12acvv

1ABacuuuvvvQ，11BCBCBBbacuuuuvuuuvuuuvvvv

22111111122ABBCacbacabaacbcaccuuuvuuuuvvvvvvvvvvvvvvvv

又222123ABacaaccuuuvvvvvvv

222212222BCbacbacabbcacuuuuvvvvvvvvvvvvv

11111116cos,66ABBCABBCABBCuuuvuuuuvuuuvuuuuvuuuvuuuuv

即异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为：66

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.

10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

A．32 B． C．3 D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

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高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》真题汇编含答案解析

高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》真题汇编含答案解析

数学高考《空间向量与立体几何》复习资料

一、选择题

1．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m，//n，则mn；

②若//，m，则m；

③若//m，//n，则//mn；

④若m，，则//m.

其中真命题的序号为（ ）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

【答案】A

【解析】

【分析】

逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.

【详解】

对于命题①，若//n，过直线n作平面，使得a，则//an，mQ，a，ma，mn，命题①正确；

对于命题②，对于命题②，若//，m，则m，命题②正确；

对于命题③，若//m，//n，则m与n相交、平行或异面，命题③错误；

对于命题④，若m，，则m或//m，命题④错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.

2．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．163 B．643 C．16643 D．1664

【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 221116644444333V， 故选C.

3．已知圆锥SC的高是底面半径的3倍，且圆锥SC的底面直径、体积分别与圆柱OM的底面半径、体积相等，则圆锥SC与圆柱OM的侧面积之比为（ ）.

A．10:1 B．3:1 C．2:1 D．10:2

【答案】A

【解析】

【分析】

设圆锥SC的底面半径为r，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.

高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编及答案解析

高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编及答案解析

新《空间向量与立体几何》专题

一、选择题

1．已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S-AB-C的平面角为，则（ ）

A． B． C．a D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，分别求出SE与BC所成的角、SE与平面ABCD所成的角β、二面角S-AB-C的平面角的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小.

【详解】

四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，

所以四棱锥为正四棱锥，

（1）过E作//EFBC，交CD于F，过底面中心O作ONEF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接OM，如下图（1）所示：则tanSNSNNEOM==；

（2）连接,OE 如下图（2）所示，则tanSOOE=;

（3）连接OM，则tanSOOM ，如下图（3）所示：

因为,,SNSOOEOM

所以tantantan，

而,,均为锐角，

所以,

故选：C.

【点睛】

本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题.

2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．273

B．276

C．274 D．272

【答案】D

【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

【详解】

几何体为一个三棱锥，高为33，底为一个直角三角形，直角边分别为333，，所以体积为1127=33333=322V，选D.

【点睛】

(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》专项训练解析含答案

高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》专项训练解析含答案

新数学复习题《空间向量与立体几何》专题解析

一、选择题

1．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．

A．130 B．140 C．150 D．160

【答案】D

【解析】

设直四棱柱1111ABCDABCD中，对角线119,15ACBD，

因为1AA平面,ABCDACÌ,平面ABCD，所以1AAAC，

在1RtAAC中，15AA，可得221156ACACAA,

同理可得2211200102BDDBDD，

因为四边形ABCD为菱形，可得,ACBD互相垂直平分，

所以2211()()1450822ABACBD，即菱形ABCD的边长为8，

因此，这个棱柱的侧面积为1()485160SABBCCDDAAA，

故选D.

点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.

2．设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）

A．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β

B．若α⊥β，n∥α，则n⊥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β

D．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β

【答案】D

【解析】 【分析】

根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．

【详解】

由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：

在A中，若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故A错误；

在B中，若α⊥β，n∥α，则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；

在C中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误；

在D中，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，

高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》技巧及练习题附答案解析

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新《空间向量与立体几何》专题解析

一、选择题

1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

A．32 B． C．3 D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示

该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥1ABCDABBCBD，.

所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径2r为正方体体对角线的长.

即22221113r.

所以外接球的表面积为243r.

故选：C.

【点睛】

本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.

2．正方体1111ABCDABCD的棱长为1，动点M在线段1CC上，动点P在平面．．1111DCBA上，且AP平面1MBD.线段AP长度的取值范围为( )

A．1,2 B．1,3 C．3,22 D．6,22

【答案】D

【解析】

【分析】

以1,,DADCDD分别为,,xyz建立空间直角坐标系，设,,1Pxy，0,1,Mt，由AP平面1MBD，可得+11xtyt，然后用空间两点间的距离公式求解即可.

【详解】

以1,,DADCDD分别为,,xyz建立空间直角坐标系，

则11,0,0,1,1,0,0,1,,0,0,1ABMtD，,,1Pxy.

1,,1APxyuuur,11,1,1BDuuuur,1,0,0,1，BMttuuuur

由AP平面1MBD，则0BMAPuuuuruuur且01BDAPuuuuruuur

所以10xt且110xy得+1xt，1yt.

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