高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》解析

新《空间向量与立体几何》专题

一、选择题

1．设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )

A．若//a，//b，则//ab B．若a，//ab，则b

C．若a，abrr，则//b D．若//a，abrr，则b

【答案】B

【解析】

【分析】

利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．

【详解】

若//a，//b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；

若a，//ab，则由直线与平面垂直的判定定理知b，故B正确；

若a，abrr，则//b或b，故C错误；

若//a，abrr，则//b，或b，或b与相交，故D错误．

故选：B．

【点睛】

本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．273 B．276 C．274 D．272

【答案】D

【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

【详解】

几何体为一个三棱锥，高为33，底为一个直角三角形，直角边分别为333，，所以体积为1127=33333=322V，选D.

【点睛】 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

3．已知圆锥SC的高是底面半径的3倍，且圆锥SC的底面直径、体积分别与圆柱OM的底面半径、体积相等，则圆锥SC与圆柱OM的侧面积之比为（ ）.

A．10:1

B．3:1

C．2:1 D．10:2

【答案】A

【解析】

【分析】

设圆锥SC的底面半径为r，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.

【详解】

设圆锥SC的底面半径为r，则高为3r，圆锥SC的母线长22910lrrr，

圆锥SC的侧面积为210rlr；

圆柱OM的底面半径为2r，高为h，

又圆锥的体积23133Vrrr，234rhr，4rh，

圆柱OM的侧面积为2224rhrhr，

圆锥SC与圆柱OM的侧面积之比为2210:10:1rr.

故选：A.

【点睛】

本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.

4．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥PABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（ ）

A．3417 B．23417 C．51717 D．31717 【答案】D

【解析】

【分析】

首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在PCD中利用余弦定理求出cosDPC进而求出CE，再在GFH中利用余弦定理即可得解.

【详解】

如图，取PA的中点F，AB的中点G，BC的中点H，连接FG，FH，GH，EF，

则//EFCH，EFCH，从而四边形EFHC是平行四边形，则//ECFH，

且ECFH.

因为F是PA的中点，G是AB的中点，

所以FG为ABP的中位线，所以//FGPB，则GFH是异面直线PB与CE所成的角.由题意可得3FG，1222HGAC.

在PCD中，由余弦定理可得2223636167cos22669PDPCCDDPCPDPC，

则2222cos17CEPCPEPCPEDPC，即17CE.

在GFH中，由余弦定理可得222cos2FGFHGHGFHFGFH9178317172317.

故选：D

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.

5．正方体1111ABCDABCD的棱长为1，动点M在线段1CC上，动点P在平面．．1111DCBA上，且AP平面1MBD.线段AP长度的取值范围为( )

A．1,2 B．1,3

C．3,22 D．6,22

【答案】D

【解析】

【分析】

以1,,DADCDD分别为,,xyz建立空间直角坐标系，设,,1Pxy，0,1,Mt，由AP平面1MBD，可得+11xtyt，然后用空间两点间的距离公式求解即可.

【详解】

以1,,DADCDD分别为,,xyz建立空间直角坐标系，

则11,0,0,1,1,0,0,1,,0,0,1ABMtD，,,1Pxy.

1,,1APxyuuur,11,1,1BDuuuur,1,0,0,1，BMttuuuur

由AP平面1MBD，则0BMAPuuuuruuur且01BDAPuuuuruuur

所以10xt且110xy得+1xt，1yt.

所以2221311222APxytuuur

当12t时，min62APuuur，当0t或1t时，max2APuuur，

所以622APuuur

故选：D

【点睛】

本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.

6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A．23

B．13 C．12 D．34

【答案】B

【解析】

分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于21111=33，

选B.

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.

7．设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）

A．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β

B．若α⊥β，n∥α，则n⊥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β

D．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】

由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：

在A中，若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故A错误；

在B中，若α⊥β，n∥α，则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；

在C中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误；

在D中，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，

∴若n⊥α，则n⊥β，故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

8．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．163 B．643 C．16643 D．1664

【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 221116644444333V， 故选C.

9．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )

A．92

B．922 C．32 D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．

【详解】

由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABCDEF，所得的组合体，

其截面是一个梯形BCFE，

上底长为22112，下底边长为222222，

高为：222322()22，

故截面的面积1329(222)222S，

故选：A．

【点睛】

本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

10．如图，在正三棱柱111ABCABC中，2AB,123AA，D，F分别是棱AB，1AA的中点，E为棱AC上的动点，则DEF的周长的最小值为()

A．222

B．232

C．62 D．72

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正三棱柱的特征可知ABC为等边三角形且1AA平面ABC，根据1AAAD可利用勾股定理求得2DF；把底面ABC与侧面11ACCA在同一平面展开，可知当,,DEF三点共线时，DEEF取得最小值；在ADF中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.

【详解】

Q三棱柱111ABCABC为正三棱柱 ABC∴为等边三角形且1AA平面ABC

ADQ平面ABC 1AAAD 132DF

把底面ABC与侧面11ACCA在同一平面展开，如下图所示：

当,,DEF三点共线时，DEEF取得最小值

又150FADo，3AF，1AD

22min32cos42372DEEFAFADAFADFAD

DEF周长的最小值为：72

本题正确选项：D