圆锥曲线与方程双曲线的几何性质

圆锥曲线第二定义内容及推论

本系列将介绍圆锥曲线的基础知识。圆锥曲线主要有椭圆、抛物线、双曲线。下面主要介绍它们的定义、标准方程、几何性质和一些特征量。同时，圆锥曲线的统一定义，即第二种定义，也将在下面介绍。

本文首发于如下：数学那些事sunsnow。

概述了双曲线的定义和几何性质。

1 双曲线定义

1 第一定义

平面内与两个定点f_1、f_2的距离之差的绝对值等于常数2a( 0 < 2a < |f_1f_2| )的点的轨迹称为双曲线。即双曲线上的点m满足

\left\|m f_{1}|-| m f_{2}\right\|=2 a \\

其中f_1、f_2为双曲线的焦点，2c=|f_1f_2|为双曲线的焦距，2a为双曲线的实轴。

2 第二定义

平面上到定点f与到定直线l距离之比为常数e( e>1 )的点的轨迹为双曲线。其中，定点f为双曲线的焦点，定直线l为双曲线的准线，常数e为双曲线的离心率。

2 几何性质

标准方程 双曲线的标准方程为

\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ &\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\

上面表达式所表示的双曲线焦点在x轴上；下面表达式所表示的双曲线焦点在y轴上。可见，哪个坐标前面的系数为正，双曲线焦点就在哪个轴上。下面以焦点在x轴上的双曲线为例进行介绍。即：

\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\

几何图形

离心率

双曲线的离心率e定义为

e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} \\

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一、双曲线的定义，标准方程

1. 双曲线第一定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。

2双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上的：

xaybab2222100()，

（2）焦点在y轴上的：

yaxbab2222100()，

（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。

注：c2＝a2＋b2

3.双曲线的几何性质：

（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222xxaybab()

1xaxa范围：，或

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。

<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）

线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。

41离心率：ecae()

e越大，双曲线的开口就越开阔。

5渐近线：ybax=

62准线方程：xac

5．若双曲线的渐近线方程为：xaby

则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

)0(2222byax

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1 22121xymmm若方程表示双曲线，则的取值范围是（）

AmBmm..2121或

CmmDmR..21且

2. 220abaxbyc时，方程表示双曲线的是（）

A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 22sinsincosxy设是第二象限角，方程表示的曲线是（）

1 双曲线的几何性质

【学习目标】理解双曲线的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单问题，从而培养学生分析、归纳、推理等能力

【重点难点】重点：双曲性的几何性质及其初步运用

难点：双曲线的渐近线、离心率的应用

一、 课前预习

1、双曲线kyx222的焦距是6，求k 。

2、椭圆的几何性质

焦点的位置 焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

范围

顶点

轴长 短轴长 长轴长

焦点

焦距 |21FF|=

对称性 对称轴 对称中心

离心率 e=

3、、探究互动 双曲线的简单几何性质：

①范围：由双曲线的标准方程得，222210yxba，进一步得： ．

这说明双曲线在不等式 所表示的区域；

②对称性：双曲线是以 轴和 轴为对称轴， 为称中心；

③顶点：双曲线有 个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做 ，焦点不在的对称轴叫做

④渐近线：直线 叫做双曲线22221xyab的渐近线；

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e）．

注：离心率与双曲线的张口的大小

由等式c2－a2=b2可得

11)(2222eacaacab

2 由上式可以看出，e越大，ab也越大，即渐近线y=±abx的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程

范围

顶点

轴长 实轴长 虚轴长

1 基础知识：

一 双曲线的定义：

在平面内，到两个定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数a2（a大于0且212FFa）的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点21FF、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

注意：

1. 双曲线的定义中，常数a2应当满足的约束条件：21212FFaPFPF，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；

2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：21212FFaPFPF)0(a，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F的一支；若21122FFaPFPF（)0(a），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F的一支；

3. 若常数满足约束条件：21212FFaPFPF，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；

4．若常数满足约束条件：21212FFaPFPF，则动点轨迹不存在；

5．若常数0a，则动点轨迹为线段21FF的垂直平分线。

二 双曲线的标准方程：

1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222babyax，其中222bac；

2．当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222babxay，其中222bac；

3.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax；

如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax；

4. 共焦点的双曲线系方程

12222kbykax 或 12222kbxkay

三 双曲线的几何性质：双曲线)0,0(12222babyax的几何性质

1.对称性：对于双曲线标准方程)0,0(12222babyax，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同

2 时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线)0,0(12222babyax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。