双曲线的几何性质(一)

三 里 屯 一 中 教 案

项目 内容

课题 2.3.2双曲线的简单几何性质（2）

修改与创新

教学

目标 1.知识与技能

理解直线与双曲线的位置关系，并掌握直线与双曲线的位置关系及其判定；掌握弦长公式的求法；会用坐标法解决简单的直线与双曲线关系中有关“中点弦”的问题的处理技巧——“设点代点、设而不求”.

2.过程与方法

通过数形两个方面对直线和双曲线的位置关系进行讨论并推导，把握类比以及数形结合的思想方法，增强学生分析问题和解决问题的能力.

3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,发展学生对数形的认识，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.

教学重、

难点 【教学重点】直线与双曲线的位置关系

【教学难点】利用代数表达形式表达直线与双曲线的位置关系

教学

准备 多媒体课件

教学过程

一.情景设置

问题1：从图形上看，直线与圆和有几种位置关系？

相交，相切和相离.

问题2：从图形上看，直线与椭圆有几种位置关系？

相交，相切和相离

问题3：直线与双曲线有几种位置关系？也具有类似圆或者椭圆的位置关系吗？

这是我们今天要学习的内容。

二. 探究新知

活动一: 从“形”上感受直线与双曲线位置关系

学生通过画线，感受直线与双曲线的位置关系.

（一）相交

有两个公共点(在同一支) 有两个公共点(分别在两支) 有一个公共点（直线与渐近线平行）

（二）相切 （三）相离

只有一个公共点 没有公共点

总结：位置关系与公共点的个数：

相交：

相切：一个公共点

相离：无公共点

活动二：从“数”上探究直线与双曲线位置关系

直线l ：ykxm ， 双曲线C：22221xyab

第7课时 双曲线的几何性质(1)

教学过程

一、 问题情境

问题1 前面的课依据椭圆的标准方程争辩了椭圆的哪几种性质?

解 范围、对称性、顶点、离心率.

问题2 椭圆+=1(a>b>0)的具体几何性质是什么?

问题3 现在能依据双曲线的标准方程争辩双曲线的几何性质吗?

二、 数学建构

类比椭圆+=1(a>b>0)的几何性质,探讨双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(程序是:同学:自我思考→得出初步结论→小组争辩→得出满足结论→回答所得结论(与大家沟通);老师:启发诱导→点拨释疑→补充完善)

(1)范围:观看双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围.

双曲线在两条直线x=±a的外侧.留意:从双曲线的方程如何验证?

从标准方程-=1可知-1=,由此双曲线上点的坐标都适合不等式≥1,即x2≥a2,|x|≥a,即双曲线在两条直线x=±a的外侧.

(2)对称性:双曲线-=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线-=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.

(3)顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.

在双曲线-=1的方程中,对称轴是x轴、y轴,所以令y=0得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0),它们是双曲线-=1的顶点,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做双曲线的实半轴长.令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点.我们定义点(0,±b)为虚轴的端点B1,B2,它们的连线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.

等轴双曲线的性质:①渐近线方程为y=±x;②渐近线相互垂直;③离心率e=.等轴双曲线可以设为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时焦点在x轴上,当λ<0时焦点在y轴上.

列表:

方程

性质 +=1(a>b>0) -=1(a>0,b>0)

1 学案：2.3.2双曲线的简单几何性质（第1课时）

【学习目标】

1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。

2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。

【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。

【学习难点】渐近线方程的导出。

一、 知识回顾

1、双曲线的定义：

2、双曲线的标准方程：

3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？

二、合作探究

（一）试一试

类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程)0,0(,12222babyax，研究它的几何性质。

①范围 ：由双曲线的标准方程可得：22by 从而得x的范围： ；即双曲线在不等式 和

所表示的区域内。22ax= 从而得y的范围为 。

②对称性：以x代x，方程不变，这说明

所以双曲线关于 对称。同理，以y代y，方程不变得双曲线关于 对称，以x代x，且以y代y，方程也不变，得双曲线关于 对称。

③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程12222byax里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为1A（ ）2A（ ） ；我们把1B（ ）2B（ ）也画在y轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。

④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。

例1 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，两曲线的离心率之比为3：7，求两曲线方程.

解：若焦点在x轴上，设所求椭圆及双曲线方程分别为：

）；0(

111212212babyax）；0,( 122222222babyax

离心率分别为e1,e2，

依题意：a1－a2=4且e1：e2=11ac：7322ac，

又c1=c2=13,

∴a1=7,a2=3.

故.4,36222222212121acbcab

∴所求椭圆与双曲线方程分别为：

1364922yx或.14922yx

当焦点在y轴上时，可得两曲线方程为

1364922xy或.14922xy

例2 直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.

解：如图所示，若以AB为直径的圆经过原点，则有OA⊥OB,设A(x1、y1)、B（x2、y2）,则11122xyxy

即x1·x2+y1y2=0 ①

把y=ax+1代入3x2－y2=1得3x2－(ax+1)2=1

化简得 （3－a2）x2－2ax－2=0 ②

∴x1+x2=232aa,x1·x2=－,322a

则y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1

=113232222aaaaa

把y1y2=1代入①得x1x2+1=0，即232a+1=0

∴a=±1，再由②，若方程有解，Δ>0，

则4a2+4×2(3－a2)>0

解得6a,即a=±1成立. ∴当a=±1时，以AB为直径的圆各过原点.

例3 在双曲线12222byax(a>0,b>0)的两条渐近线上分别取A、B两点，使2cOBOA，其中c是半焦距，O是中心，求AB中点P的轨迹方程.