圆锥曲线与方程双曲线及其标准方程

3.2.1双曲线及其标准方程

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排：

第三章 圆锥曲线的方程

课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质

所在位置 教材第118页 教材第121页

新教材

内容

分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

核心素养培养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。

教学主线 双曲线的标准方程、几何性质

学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．

2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.

重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程

难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题

（一）新知导入

双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

（二）双曲线及其标准方程

知识点一 双曲线的定义

【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？

推导如何推导出圆锥曲线的标准方程

圆锥曲线是数学中重要的曲线类型，在几何学和物理学等领域有广泛的应用。推导出圆锥曲线的标准方程可以帮助我们更好地理解和研究它们的性质和特点。本文将从圆锥体的定义开始，逐步推导出圆锥曲线的标准方程。

第一步，我们先回顾一下圆锥体的定义。圆锥体是由一条直线L（生成直线）和一个点F（焦点）确定的，满足对于平面上的任意一点P，其到直线L的距离与到焦点F的距离之比都是常数e（离心率），即PF/PL=e。在圆锥体中，如果生成直线L是平行于两个相互垂直的直线（参考系中的轴），则生成的曲线就是圆锥曲线。

以下我们假设焦点F的坐标为(Fx, Fy, Fz)，离心率为e，生成直线L与x、y、z轴的交点坐标分别为(A, 0, 0)，(0, B, 0)和(0, 0, C)，其中A、B、C为正实数。我们将推导出椭圆、双曲线和抛物线三种圆锥曲线的标准方程。

一、椭圆的标准方程推导

假设点P(x, y, z)为椭圆上的一点，由椭圆的定义可得：

PF^2/PL^2 = (x - Fx)^2 + (y - Fy)^2 + (z - Fz)^2 / ((x - A)^2 + y^2 +

z^2) = e^2

化简上式，可以得到椭圆的标准方程：

((x - Fx)^2 + (y - Fy)^2 + (z - Fz)^2) / ((x - A)^2 + y^2 + z^2) = e^2 将该方程用参数表示，可以得到椭圆的参数方程：

x = Fx + (A - Fx)cosθ + (B - Fy)sinθ

y = Fy - (A - Fx)sinθ + (B - Fy)cosθ

z = Fz + Csinθ

其中，θ为角度变量，θ的取值范围根据椭圆的形状确定。

二、双曲线的标准方程推导

双曲线的定义与椭圆类似，只是离心率e>1。通过类似的推导过程，可以得到双曲线的标准方程：

((x - Fx)^2 + (y - Fy)^2 + (z - Fz)^2) / ((x - A)^2 + y^2 + z^2) = e^2

.

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 2.2.1 双曲线及其标准方程

[学生用书P105(单独成册)])

[A 根底达标]

1．平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，那么点M的轨迹方程是( )

A.x216－y29＝1 B．x216－y29＝1(x≥4)

C.x29－y216＝1 D．x29－y216＝1(x≥3)

解析：选D.由|MA|－|MB|＝6，且6＜|AB|＝10，得a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16.

故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支．

所以方程为x29－y216＝1(x≥3)．

2．双曲线方程为x2－2y2＝1，那么它的右焦点坐标为( )

A.22，0 B．52，0

C.62，0 D．(3，0)

解析：选C.将双曲线方程化成标准方程为x21－y212＝1，

所以a2＝1，b2＝12，所以c＝a2＋b2＝62，

故右焦点坐标为62，0.

3．以椭圆x23＋y24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )

A.x23－y2＝1 B．y2－x23＝1

C.x23－y24＝1 D．y23－x24＝1

解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线的方程为y2－x23＝1. .

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 4．(2021·绍兴高二检测)双曲线Γ：x2λ－y29＝1上有一点M到Γ的右焦点F1(34，0)的距离为18，那么点M到Γ的左焦点F2的距离是( )

A．8 B．28

C．12 D．8或28

解析：选D.因为双曲线Γ：x2λ－y29＝1的右焦点F1(34，0)，所以λ＝34－9＝25，所以双曲线Γ：x225－y29，可知||MF1|－|MF2||＝2a＝10，又|MF1|＝18，那么|MF2|D.

5．(2021·邯郸高二检测)设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，PF1→·PF2→的值为( )

1 双曲线及其标准方程

双曲线及其标准方程

双曲线(Hyperbola)是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹[1]。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于中轴的平面的交截线。

设双曲线的焦距为2c，双曲线上任意一点到焦点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(c>a>0)[2]

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为（-c,0），（c,0）

设M（x,y）为双曲线上任意一点，根据双曲线定义知

|MF1-MF2|=2a

即

以上两种方程都叫做双曲线的标准方程p。

方程推导：

椭圆和双曲线标准方程的推导方法大致有两种：一种是教材上移项平方的方法，另一种是资料上常见的构造对偶式的方法．这两种方法的运算量都比较大，尤其前一种方法需要两次移项平方．最近，笔者在进行椭圆的教学时，又发现了一种运算量较小的办法，即根据圆和椭圆的方程都具备“二元二次”的特征，可通过构造圆的方程能简化椭圆标准方程的推导过程，而该方法也同样适用于双曲线标准方程 2 的推导。

文章来源网络整理，请自行参考使用