双曲线的几何性质

双曲线的几何性质：

（1）范围、对称性

由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

（2）顶点

顶点：0,),0,(21aAaA，特殊点：bBbB,0),,0(21

实轴：21AA长为a2, a叫做半实轴长 虚轴：21BB长为b2，b叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

（3）渐近线

过双曲线12222byax的渐近线xaby（0byax）

（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率 范围：1e

双曲线形状与e的关系：1122222eacaacabk，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

（5）．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2e

（6）．共渐近线的双曲线系

如果双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax

（7）．双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(acace的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率．

（8）．双曲线的准线方程：

对于12222byax来说，相对于左焦点)0,(1cF对应着左准线caxl21:，相对于右焦点)0,(2cF对应着右准线caxl22:；

对于12222bxay来说，相对于上焦点),0(1cF对应着上准线cayl21:；相对于下焦点),0(2cF对应着下准线cayl22:

（9）.双曲线的焦半径（了解）

定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点21,FF的连线段，叫做双曲线的焦半径

焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：0201exaMFexaMF （21,FF分别是左、右焦点）

焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF （21,FF分别是下、上焦点）

（10）．双曲线的焦点弦：

定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦

焦点弦公式：

当双曲线焦点在x轴上时，

过左焦点与左支交于两点时： )(221xxeaAB

过右焦点与右支交于两点时：)(221xxeaAB

当双曲线焦点在y轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：)(221yyeaAB

过右焦点与右支交于两点时：)(221yyeaAB

（11）．双曲线的重要结论： （1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)2bpc。

（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22ba.

（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot2FPFFPFSb.

（4）焦点到渐近线的距离总是b.

（5）双曲线的切线方程:

(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.

(2)过双曲线22221xyab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.

（3）双曲线22221xyab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.

名 称 椭 圆 双 曲 线

图 象 xOy

xOy

定 义

平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆即aMFMF221

当2a﹥2c时，轨迹是椭圆

当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF

当2a﹤2c时，轨迹不存在 平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线即aMFMF221

当2a﹤2c时，轨迹是双曲线

当2a=2c时，轨迹是两条射线

当2a﹥2c时，轨迹不存在

标准方

程

焦点在x轴上时： 12222byax

焦点在y轴上时：12222bxay

注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在x轴上时：12222byax

焦点在y轴上时：12222bxay

常数cba,,的关 系 222bca 222bac，

渐近线 焦点在x轴上时：

0byax

焦点在y轴上时：

0bxay

课堂练习A组：

1已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)，，(40)，，则双曲线方程为（ ）

Ａ．221412xy Ｂ．221124xy Ｃ．221106xy Ｄ．221610xy

2平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20xy，则它的离心率为（ ）

A．5 B．52 C．3 D．2

3过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上的双曲线标准方程为____

4.6c，经过点（－5，2），焦点在x轴上的双曲线标准方程为____．

5.与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，的双曲线标准方程为____

6双曲线22231xy的渐近线方程是 ___

7双曲线2212xy的实轴长为 ____

8已知方程13522kykx表示椭圆，则k的取值范围____．

9过双曲线22143xy左焦点1F的直线交曲线的左支于MN，两点，2F为其右焦点，则22MFNFMN的值为___

10已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率5,4e一个焦点到一条渐近线的距离为6，则其焦距等于

11已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上的左支上且3221PFPF，则21PFF=__

12已知1F、2F是椭圆C：22+14xy的两个焦点，点P在椭圆C上且满足9021PFF，则21PFF的面积____．

13已知椭圆1422yx及直线mxy．

（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．

课堂练习B组：

1设12FF，分别是双曲线22-19yx的左、右焦点．若点P在双曲线上，且120PFPF，则12PFPF（ ）

A．10 B．210 C．5

D．25

2已知点P是双曲线)0,0(12222babyax右支上一点，12,FF分别为双曲线的左、右焦点，I为△12PFF的内心，若2121FIFIPFIPFSSS成立，则的值为 （ ）

A.222aba B.22aab C.ab D.ba

3若椭圆122nymx)0(nm和双曲线122tysx)0,(ts有相同的焦点1F和2F，而P是这两条曲线的一个交点，则21PFPF的值是( ) ．

A．sm B．)(21sm C．22sm D．sm

4在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点(4,0)A和(4,0)C，顶点B在椭圆221259xy上，则sinsinsinACB

5已知双曲线1222yxk0k的一条渐近线的法向量是2,1，那么k

6已知椭圆2221(0)16xymm和双曲线2221(0)9xynn有相同的焦点F1、F2，点P为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是

7以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程