２０１４年第１２期 中学数学月刊 ・ ３９ ・
中俄高中数学教材比较
以《圆锥曲线与方程》与《椭圆、双曲线和抛物线》为例
叶立军 陈思思 （杭州师范大学理学院 ３１００１２）
１ 问题的提出
教材作为依据课程标准和学生认知结构编写的教学
用书，是课程目标和教学内容的具体体现，是教师和学生
开展教学活动的主要工具，是一个国家教育思想和教育理
念的重要依托．要了解一个国家教育改革的理念和实质，
分析课程（教材）的改革是很好的切人点和突破口．因
此，几次重大的数学教育国际比较研究（如ＴＩＭＳＳ，
ＰＩＳＡ等）都把数学课程与教材作为核心内容之一进行
比较．
１００多年来，俄罗斯教育取得了辉煌成绩，形成了独
具特色的教育体系．其中，课程改革一直是俄罗斯基础教
育改革的一个重点．当前，我国也正如火如荼地开展新课
程改革，而数学教育改革是课程改革非常重要的一方面．
比较中俄两国的高中数学教材，分析两国教材不同的风
格、层次及特色，对我国数学教育改革有很好的比较价值
和借鉴意义．俄国阿塔纳相等主编的教材《１Ｏ一１１年级几
何》被冠名为“中小学‘莫斯科大学”’教材，是一套两用的
教材，既满足普通学校的学生使用，也适合深入学习数学
的班级或学校使用．这本教材曾在俄国教育部开展的中学
数学教材编写竞赛活动中获得一等奖，目前发行量最大．
同时，人民教育出版社的教材（以下简称人教版）在我国也
有着十分重要的地位．因此，我们选择了这两个版本的教
材作为比较对象．
圆锥曲线是平面解析几何中非常重要的内容，圆锥
曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系．阿塔纳
相（ＡＴａＨａｃａＨ ＪＩ．Ｃ．）等主编的《１Ｏ一１１年级几何》第八章
第４节的教学内容标题“：ｇａａ．ｎｃ，ｒＨｎｅｐ６ｏａａ １４ ｎａｐａ６ｏａａ”
（椭圆、双曲线和抛物线），与之对应，我国高中人教版数学
教材选修２－１的第二章的标题为“圆锥曲线与方程”，这两
圆锥曲线——椭圆
①基础知识：
一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中 叫做椭圆的焦点（F1 F2）。 叫做椭圆的焦距（|F1 F2|）。
★思考：|PF1|+|PF2|=|F1F2|时的轨迹是什么？
|PF1|+|PF2|<|F1F2|时呢？
二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e＜1)。
三、标准方程。
椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。
注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。
如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。
例如：x24＋y23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。∵4＞3 又∵4是X项的分母 ∴焦点在X轴上。
四、参数方程
cossinxayb（为参数）
四、椭圆的简单几何性质。
①、范围。
以焦点在X轴的椭圆为例：
∵ x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) ∴x2a2≤1 y2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a≤x≤a -b≤y≤b
②、对称性。
关于X、Y轴成轴对称。 关于原点成中心对称。
③、顶点。
坐标轴和椭圆的四个交点：A1 、A2 、B1 、B2。
长轴：|A1A2| 短轴：|B1B2|
连接B、F。构成RT△OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a2=b2+c2 （重要的性质）
④、离心率。
椭圆的离心率：e=ca （0＜e＜1） e越大越扁 e越小越近圆。
⑤、扩展。
通径：过焦点且垂直于长轴。
word 1 / 6 第1课时 椭圆的简单几何性质
[A 基础达标]
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8
C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x29＋y225＝1，
知a＝5，b＝3，c＝4.所以2a＝10，2b＝6，ca＝0.8.
2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是(
)
A.x216＋y29＝1或x29＋y216＝1
B.x225＋y29＝1或y225＋x29＝1
C.x225＋y216＝1或y225＋x216＝1
D．椭圆的方程无法确定
解析：选C.由题可知，a＝5且c＝3，所以b＝4，
所以椭圆方程为x225＋y216＝1或y225＋x216＝1.
3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是(
)
A.x24＋y216＝1或x216＋y24＝1 B.x24＋y216＝1
C.x216＋y24＝1 D.x216＋y220＝1
解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是x216＋y24＝1.故选C.
4．已知焦点在x轴上的椭圆：x2a2＋y2＝1，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为( )
A.32 B.12 word
2 / 6 C.154 D.33
解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a2－1，0)，不妨设Aa2－1，12，可得a2－1a2＋14＝1，
解得a＝2，椭圆的离心率为e＝a2－1a＝32.故选A.
5．已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值X围是( )
高中圆锥曲线知识点总结全面经典
高中数学椭圆的知识总结：
椭圆的定义：椭圆是平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2）时，动点P的轨迹。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；若PF1+PF2
椭圆的参数方程：当焦点在x轴上时，椭圆的参数方程为{x=a*cosθ。y=b*sinθ}，其中θ为参数；当焦点在y轴上时，椭圆的参数方程为{x=a*sinθ。y=b*cosθ}。
椭圆的几何性质：（1）椭圆的范围为- a≤x≤a。- b≤y≤b；（2）椭圆的焦点为两个焦点(±c,0)；（3）椭圆具有对称性，有两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心(0,0)，四个顶点(±a,0),(0,±b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；（4）椭圆的离心率为e=c/a，椭圆的形状由离心率e决定，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
点与椭圆的位置关系：（1）点P(x,y)在椭圆外部当且仅当a²+b²1.
直线与圆锥曲线的位置关系：（1）当Δ>0时，直线与椭圆相交；（2）当Δ=0时，直线与椭圆相切；（3）当Δ<0时，直线与椭圆相离。例如，直线y-kx-1=0与椭圆5x²+m²=1恒有公共点，当且仅当m²≤5/(1+k²)。
焦点三角形：椭圆上的一点与两个焦点所构成的三角形。
弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB=√(1+k²(x1-x2)²)；若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√(1+(y1-y2)²/k²)；若弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√(1+k²(y1-y2)²)。
圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆a²+b²=1中，以P(x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=-b²x/a²y。 1.如果椭圆x^2/36 + y^2/9 = 1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是；
