2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案
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第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2018年9月22日
说明:所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上的无效
（35届复赛）一、（40分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体。地球自转及地球 大气的影响可忽略。
从地球上空离地面髙度为h的空间站发射一个小物体，该物体相对于地球以某一初速 度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。已知地球半径为R,质呈为M,引力常量为G。
（1） 、若该物体能绕地球做周期运动,其初速度的大小应满足什么条件？
（2） 、若该物体的初速度大小为％，且能落到地而，求其落地时速度的大小和方向（速度与
其水平分量之间的夹角）、以及它从开始发射直至落地所需的时间。 已知:对于c<0, A = /?2 -4ac>0,有
dZ _ _JL_arcsin 竺工 + C f
, “
=
bx + cx2 c 2(-c) 品 yja +
式中C为积分常数。
解：（1）、E = 0时对应的扌〃巴二一G#f = 0
角动量守恒 加匕(R+ h) = mRvcosa
机械能守恒 -mV： -G --------- = -mV^ -G ——
2 R+h 2 R xdx
小球做椭圆运动，最近点和地球相切 解得忌佛 (R+h)%
cos
a =
—=^==
R
込
V 0 R+h
下面求时间
解 1、角动量守恒 mV{)(R+ h) = mrv& = mr
打吒一G四哎
2 0 R+h 2 r
机械能守恒 =l,wtv；+v；]-^-
1 2 f、、 GmM
=-ni[(—y + 广(—r 一 ------- 2 dt dt r
dr _ J (R+h)飞 | 2罗 * 芒 2GM + h)2 v(; + 2GMr + (v；- 2^)r R + h
-r2 + 2GMr 一 (R+ h)2 vj R + h
rdr
呂邑)r2 + 2GMr 一 (R+ h)S： R + h
rclr
兰竺)r2 + 2GM/・ - (R+ h)2 v(; R + h
令 C = x^-Z^£
可得 △ = /一4^・>0
.r xdx yja +bx + ex2 b . 2cx + b
由. ==- ----------- 一 ---- arcsin― +Q 可得
Ja + bx + cF c 2(-e) * 逅
2GMi：(R+h)
丄厂”『 R + h ・ v(;/?(R+h)-GM(R-h)
+GM -------------- ； ------ — + arcsin ------- ---------------- ； ------ -] 2GM - v；(R+ h) 2 GM(R+ h) - v：(R+ h)2
当初始速度为临界速輕彳册帀时，下落时间仏希［警严
解 2: 1 阴 _G〃M J
2 0 R+h 2 •加-G“M
r
F 2 2 2GM 2GM
*T l — T 0 R + h r v0(R+h) = rvcosa
得 Avsin a = rvjl_cos'a = y/r2v2 - r2v2 cos2 a = JrV -(R + 疔谛 解得v /供
de
It
消掉空可得
dt =
一 X(2R+h)h
(35届复赛)二、(40分)如图，一劲度系数为*的轻弹簧左端固左，右端连一质量为m 的小球;弹簧水平，它处于自然状态时小球位于坐标原点O;小球可在水平地面上滑动，它与 地面之间的动摩擦因数为“ o初始时小球速度为零，将此时弹簧相对于其原长的伸长记为
-兔(现＞0,但心并不是已知量)。重力加速度大小为g,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)如果小球至多只能向右运动，求小球最终静止的位置,和此种情形下人应满足的条
件；
(2)如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止的
位置,和此种情形下儿应满足的条件;
(3) 如果小球只能完成〃次往返运动(向右经过原点撚后向左经过原点，算1次往返)求小
球最终静止的位置，和此种情形下人应满足的条件;
(4) 如果小球只能完成〃次往返运动，求小球从开始运动直至最终静止的过程中运动的
总路程。则有 ^^)r2 + 2GM/・ - (R+ h)2 £ R + h 顾乐空2魏
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三、（40分）如图，一质量为M、长为/的匀质细杆AB自由悬挂于通过坐标原点O点的
水平光滑转轴上（此时，杆的上端A未在图中标出，可视为与O点重合），杆可绕通过°点的轴 在竖直平而（即x-y平而.X轴正方向水平向右）内转动;O点相对于地而足够高，初始时杆自然 下垂;一质量为m的弹丸以大小为v°的水平速度撞击杆的打击中心（打击过程中轴对杆的水 平作用力为零）并很快嵌入杆中。在杆转半圈至竖直状态时立即撤除转轴。重力加速度大小
为g。
（1）求杆的打击中心到o点的距离： （2）求撤除转轴前，杆被撞击后转过&（0*＜町角时转轴对杆的作用力：
3）以撤除转轴的瞬间为计时零点,求撤除转轴后直至杆着地前，杆端B的位置随时间t
变化的表达式心⑴和yB（t）:
（4）求在撤除转轴后,杆再转半圈时O、B两点的髙度差。
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四、（40分）loffc・ Pritchard磁阱可用来朿缚原子的运动，其主要部分如图所示，四根均通
有恒定电流I的长直导线1、2、3、4都垂直于x・y平面,它们与x・y平面的交点是边长为 2“、中心在原点O的正方形的顶点，导线1、2所在平而・与x轴平行，各导线中电流方向己在 图中标出。整个装置置于匀强磁场Bo^Bok（k为z轴正方向单位矢量）中。已知貞•空磁导率 心叶旳 乂 ~ N J - JTM/ZU "Me如叫叫）
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⑴求电流在通电导线外产生的总磁场的空间公布：
(2) 电流在原点附近产生的总磁场的近似表达式，保留至线性项：
(3) 将某原子放入磁阱中，该原子在磁阱中所受磁作用的束缚势能正比于英所在位置的 总磁感应强度勺“的大小，即磁作用末缚势能为正的常量。求该原子在原点O 附近所受磁场的作用力：
(4) 在磁阱中运动的原子最容易从x-y平而上什么位置逸出?求刚好能够逸出磁阱的原 子的动能。
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I
I
6-
4
(1) 四根通右直流电流/的导线/£ v-y平而内的空间坐标依次是
(-a,d), (as), (a,-d), (-a,-a)
取x轴和轴方向单位矢星为f和/,考虑通电导线外任一点(工丿)。导线1. 2、3. 4上的 电流在点(x,y)产生的磁场B八禺、禺、场为
B 一 &(一 D 一O 一 幺”十(兀十 a”
2兀(x 十 a)‘十(y+ a)‘
导线电流在通电启线外产生的总礎场的空间分布为
B =珂 +
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2兀 I' (x + «)2 +(y-n)2 (.x-a)'+(y-a)' (x-n)2 +(j+«)2 (x + z?)2 +(v + 6?)2 2K (x + d)? +(y-d)?
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