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1 ma
mb k
0
a b 第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答
一、（35 分）如图，质量分别为ma 、mb 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k0 的绝缘轻弹簧连接。
（1）
t 时，弹簧处于原长，小球 a 有一沿两球连线向右的初速度v0
，小球b 静止。若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t
) 的速度。
（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为 L0 ，记静电力常量为 K 。求小球所带电荷量
和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。参考解答：
（1）如图， t
时刻弹簧的伸长量为
u
l l0
有
d 2u dt2
式中
k0u ①
ma mb ②
ma mb
为两小球的约化质量。由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为
f
2π
③
最后一步利用了②式。t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为
u Asin t B cost ④
式中 A 、B 为待定常量。t 时，弹簧处于原长，即
uB
将 B 代入④式得
a 相对于b 的速度为
u Asin t ⑤
vdra drb du A cost ⑥
a dt dt dt
t 时有 WORD格式-可编辑
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本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网 第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题
一、在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管的长度ｌ＝76ｃｍ，管内封闭有ｎ＝1．0×10－3ｍｏｌ的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少?已知管外大气的压强为76ｃｍＨｇ，每摩尔空气的内能Ｕ＝ＣＶＴ，其中Ｔ为绝对温度，常量ＣＶ＝20．5Ｊ·（ｍｏｌ·Ｋ）－1，普适气体常量Ｒ＝8．31Ｊ·（ｍｏｌ·Ｋ）－1
图1
二、如图1所示，在真空中有一个折射率为ｎ（ｎ＞ｎ0，ｎ0为真空的折射率），半径为ｒ的质地均匀的小球，频率为ν的细激光束在真空中沿直线ＢＣ传播，直线BC与小球球心O的距离为ｌ（ｌ＜ｒ），光束于小球体表面的点Ｃ经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小．
三、1995年，美国费米国家实验室ＣＤＦ实验组和ＤＯ实验组在质子反质子对撞机ＴＥＶＡＴＲＯＮ的实验中，观察到了顶夸克，测得它的静止质量ｍ1＝1．75×1011ｅＶ／ｃ2＝3．1×10－25ｋｇ，寿命τ＝0．4×10－24ｓ，这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一．
1．正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为Ｕ（ｒ）＝－ｋ（4ａｓ／3ｒ），式中ｒ是正、反顶夸克之间的距离，ａｓ＝0．12是强相互作用耦合常数，ｋ是与单位制有关的常数，在国际单位制中ｋ＝0．319×10－25Ｊ·ｍ．为估算正、反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动．如能构成束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正、反顶夸克之间的距离ｒ0．已知处于束缚态的正、反夸克粒子满足量子化条件，即
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精品文档 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2017年9月16日
一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：
（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；
（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。
解：
（1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得
sinFmgma ①
式中，a是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1（规定小圆柱在最低点时10）与之间的关系为
1()Rr ②
由②式得，a与的关系为
22122()ddarRrdtdt ③
考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得
212drFIdt ④
式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量
212Imr ⑤
由①②③④⑤式及小角近似
sin ⑥
得
22203()dgdtRr ⑦
1
十年真题－热学（复赛）
1．（34届复赛7）如气体压强-体积图所示，摩尔数为ν的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A到B为直线过程，自B到A为等温过程．双原子理想气体的定容摩尔热容为52R，R为气体常量．
（1）求直线AB过程中的最高温度；
（2）求直线AB过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度Tc；
（3）求整个直线AB过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功．
解析：（1）直线AB过程中任一平衡态气体的压强p和体积V满足方程p－p0p0－p02＝V－V02V02－V0
此即 p＝32p0－p0V0V ①
根据理想气体状态方程有：pV＝νRT ②
由①②式得： T＝1νR－p0V0V2＋32p0V＝－p0νRV－34V02＋9p0V016νR ③
由③式知，当V＝34V0时， ④
气体达到直线AB过程中的最高温度为：Tmax＝9p0V016νR ⑤
（2）由直线AB过程的摩尔热容Cm的定义有：dQ＝νCmdT ⑥
由热力学第一定律有： dU＝dQ－pdV ⑦
由理想气体内能公式和题给数据有：dU＝νCVdT＝ν52RdT ⑧
