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1 ma
mb k
0
a b 第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答
一、（35 分）如图，质量分别为ma 、mb 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k0 的绝缘轻弹簧连接。
（1）
t 时，弹簧处于原长，小球 a 有一沿两球连线向右的初速度v0
，小球b 静止。若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t
) 的速度。
（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为 L0 ，记静电力常量为 K 。求小球所带电荷量
和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。参考解答：
（1）如图， t
时刻弹簧的伸长量为
u
l l0
有
d 2u dt2
式中
k0u ①
ma mb ②
ma mb
为两小球的约化质量。由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为
f
2π
③
最后一步利用了②式。t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为
u Asin t B cost ④
式中 A 、B 为待定常量。t 时，弹簧处于原长，即
uB
将 B 代入④式得
a 相对于b 的速度为
u Asin t ⑤
vdra drb du A cost ⑥
a dt dt dt
t 时有 WORD格式-可编辑
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第30届全国中学生物理竞赛复赛试题
一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v(00v). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g.
二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为m（为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短.
碰撞 时滑块C恰好静止在距轴为r（r>l）处.
1. 若碰前滑块A的速度为0v，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；
2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度0v应满足的条件.
三、（25分）一质量为m、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆，
1. 令mL表示细杆质量线密度. 当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为
kEkL
式中，k为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出、和的值.
2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k的值.
3. 试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g. 0v 2
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第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷
本卷共16题，满分200分．
一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．
1．下列说法中正确的是
A．水在0℃时密度最大．
B．一个绝热容器中盛有气体，假设把气体中分子速率很大的如大于vA的分子全部取走，则气体的温度会下降，此后气体中不再存在速率大于vA的分子．
C．杜瓦瓶的器壁是由两层玻璃制成的，两层玻璃之间抽成真空，抽成真空的主要作用是既可降低热传导，又可降低热辐射．
D．图示为一绝热容器，中间有一隔板，隔板左边盛有温度为T的理想气体，右边为真空．现抽掉隔板，则气体的最终温度仍为T．
2．如图，一半径为R电荷量为Q的带电金属球，球心位置O固定，P为球外一点．几位同学在讨论P点的场强时，有下列一些说法，其中哪些说法是正确的？
A．若P点无限靠近球表面，因为球表面带电，根据库仑定律可推知，P点的场强趋于无穷大．
B．因为在球内场强处处为0，若P点无限靠近球表面，则P点的场强趋于0
C．若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变．
D．若保持Q不变，而令R变大，同时始终保持P点极靠近球表面处，则P点的场强不变．
3．图中L为一薄凸透镜，ab为一发光圆面，二者共轴，S为与L平行放置的屏，已知这时ab可在屏上成清晰的像．现将透镜切除一半，只保留主轴以上的一半透镜，这时ab在S上的像
A．尺寸不变，亮度不变．
B．尺寸不变，亮度降低．
C．只剩半个圆，亮度不变．
D．只剩半个圆，亮度降低．
4．一轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端连一小物块，小物块放在摩擦系数为μ的水平面上，弹簧处在自然状态，小物块位于O处．现用手将小物块向右移到a处，然后从静止释放小物块，发现小物块开始向左移动．
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第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2015年9月19日
说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。图中p、+e和e分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始，质子p与12C核发生反应生成13N核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。已知+e、p和He核的质量分别为0.511 MeV/c2、1.0078 u和4.0026 u（1u≈931.494
MeV/c2），电子型中微子e的质量可以忽略。
（1）写出图中X和Y代表的核素；
（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式；
（3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。
二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。开始时细杆静止；有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度0v运动，与A球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。
（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C碰后的速度表出）；
（2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C的速度和系统的动能。
三、（20分）如图，一质量分布均匀、半径为r的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v0与竖直方向成（π3π22）角，并同时以角速度0（0的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k，重力加速度大小为g。忽略空气阻力。
（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度；
（2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度；
（3）若让角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s随变化的函数关系式、s的最大值以及s取最大值时r、0v和0应满足的条件。
