第4章 因式分解(培优篇)含答案

因式分解·提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a xabx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a xabx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯ 分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

北师大版2020八年级数学下册第四章因式分解培优练习题（附答案）1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A ．(3－x)(3＋x)＝9－x 2B ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n)(m －n)C ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y)(y ＋1)D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y(2z －yz)＋z2．多项式224x y -分解因式的结果是（ ）A ．2(2)x y +B ．2(2)x y -C ．(2)(2)x y x y +-D ．(2)(2)y x y x +-3．下列变形，属于因式分解的有（ ）①x 2﹣16＝（x +4）（x ﹣4）②x 2+3x ﹣16＝x （x +3）﹣16③（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16 ④x 2+x ＝x （x +1）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）A ．a 2﹣4a+5=a （a ﹣4）+5B ．（x+2）（x+3）=x 2+5x+6C ．a 2﹣9b 2=（a+3b ）（a ﹣3b ）D ．x+1=x （1+1x） 5．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．2632(3)3xy xz x y z ++=++B ．2(6)(6)36x x x +-=-C ．2222()x xy x x y --=-+D ．2222333()a b a b -=+6．把x 2y ﹣2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x ﹣y ）2B ．x 2y ﹣y 2（2x ﹣y ）C ．y （x 2﹣2xy+y 2）D ．y （x+y ）2 7．下列从左到右的变形，哪一个是因式分解（ ）A ．()()22a b a b a b +-=- B ．()()()224441x y y x y x y y -+-=+-+- C ．()()()22211a b a b a b +-++=+-D ．24545x x x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭8．下列因式分解错误．．的是( ) A ．3x 2–6xy=3x(x –2y)B ．x 2–9y 2=(x –3y)(x+3y)C ．4x 2+4x+1=(2x+1)2D ．x 2–y 2+2y –1=(x+y+1)(x –y –1)9．分解因式：228168ax axy ay ++10．分解因式：x 2﹣4=_____．11．将x 3－xy 2分解因式的结果为_______________．12．已知x+y=6，xy=4，则x 2y+xy 2的值为 ．13．2328x x +-分解因式结果为_____________.14．已知不等式组12{1x mnx n +<->的解集是2<x<3,分解因式x 2-3x-2mn=_____________．15．将244x -分解因式得___________．16．分解因式：ab 2﹣6ab+9a=___________．17．分解因式：= ．18．分解因式：ax 2+2ax+a=____________．19．利用因式分解计算：3.68×15.7-31.4+15.7×0.32.20．分解因式：（1）y 2-4 （2）-3x 2+24x-4821．22157x x ++=22．（1）计算与化简：cos60°•tan30°（2）因式分解：3a 2﹣6a+3．23．（1）把下列各式因式分解：①2m(a －b)－3n(b －a) ② （2a+b)2 -（a+2b)2⑵计算：① (34x 2y －12xy 2－56y 3)(－4xy 2) ② (a+2b-3c)(a-2b+3c)24．因式分解：(1)3349x y xy - (2)222(6)6(6)9x x ---+25．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题 ：说明代数式224m m ++的值一定是正数.解：224m m ++=2213m m +++=()213m ++， ()()2210,133m m +≥∴++≥Q∴224m m ++的值一定是正数.（1）说明代数式a 2+6a +12的值一定是正数.（2）设正方形的面积为S 1 cm 2，长方形的面积为S 2 cm 2，正方形的边长为a cm ，如果长方形的一边长比正方形的边长少3cm ，另一边长为4cm ，请你比较S 1与S 2的大小关系，并说明理由.26．因式分解（1）；（2） 27．因式分解: (1)4x 2-9 (2) -3x 2+6xy-3y 228．432328x x x --=参考答案1．B【解析】A选项：右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B选项：m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)，符合因式分解的定义，故本选项正确；C选项：是恒等变形，不是因式分解，故本选项错误；D选项：右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选B.2．C【解析】x2-4y2=(x+2y)(x-2y)；故选C.3．B【解析】试题解析：①x2-16=（x+4）（x-4），是因式分解；②x2+3x-16=x（x+3）-16，不是因式分解；③（x+4）（x-4）=x2-16，是整式乘法；④x2+x=x(x+1))，是因式分解．故选B．4．C【解析】A. a2﹣4a+5=a（a﹣4）+5，不符合因式分解的定义，故此选项错误；B. （x+2）（x+3）=x2+5x+6，是多项式的乘法运算，故此选项错误；C. a2﹣9b2=(a+3b)(a−3b)，正确；D. x+1=x（1+1x）中1+1x不是整式，故此选项错误。

【4】因式分解考点一：应用因式分解恒等变形求值例1.若多项式x2﹣x+a可分解为（x+1）（x﹣2），则a的值为．例2.已知二次三项式x2+ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为．变式1：若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝，b＝．变式2：若x2+2（m﹣3）x+16＝（x+n）2，则m＝．考点二：待定系数法、赋值法在因式分解中的运用例1.若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为．变式1：已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n＝17，试求m、n 的值．变式2：因为（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2，这说明x2+x﹣2能被x﹣1整除，同时也说明多项式x2+x﹣2有一个因式为x﹣1，另外当x＝1时，多项式x2+x﹣2的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）已知x﹣2能整除x2+kx﹣16，求k的值；（2）已知（x+2）（x﹣1）能整除2x4﹣4x3+ax2+7x+b，试求a、b的值．考点三：根据完全平方公式求值(配方法)例1.已知x2﹣2（m﹣3）x+25是完全平方式，则m＝；若关于x、y的多项式9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则常数k的值为．变式：若多项式x2+（m﹣1）x+25是一个完全平方式，那么m＝．考点四：根据完全平方公式求值(知二求二)例1.已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．变式：（1）已知a﹣b＝6，a2+b2＝10，求ab，（a+b）2的值；（2）x+＝3，求x2+．（3）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，求a2+b2与ab的值；（4）若a+b＝﹣3，ab＝2，求a2+b2与（a﹣b）2的值．考点五：运用配方法求最值例1.阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）求代数式x2+4x+2020最小值．（2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值．（3）设a＞0，求a2+的最小值，并求出此时a的值．（4）仿照上述方法求代数式﹣x2﹣14x+10的最大（或最小）值，并写出相应的x的值．考点五：几何图形面积中运用因式分解例1.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解．变式：我们知道，对于一个图形通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请解答下列问题：（1）写出图2所表示的数学等式：；（2）已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝40，利用（1）中所得结论．求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片、若干个长为b宽为a 的长方形纸片，选用这些纸片拼出一个图形，使得它的面积是2a2+7ab+3b2．画出该图形，并利用该图形把多项式2a2+7ab+3b2分解因式．DM AP课堂练习1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．m2﹣2m﹣1 D．2．x2﹣5x+k中，有一个因式为（x﹣2），则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣63．不等式组：的解集是x＞4，那么m的取值范围是（）A．m≥4 B．m≤4 C．m＜4 D．m=44．如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．605．如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＜1 D．a﹣b＜06．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图9所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定7．如图10，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA,点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B． C． D．8．若x2+mx﹣n能分解成（x﹣1）（x+4），则m= ，n= ．9．若x同时满足不等式2x+3＞0与x﹣2＜0，则x的取值范围是．10．已知：x2﹣y2=8，x ﹣y=4，则x+y= ．11．已知21012a b-=，20232024ab=，则2224a b ab-的值为．12. 已知12-=m , 则2023202220212m m m +-的值是 ．13．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为52°，则底角B 的大小为 ．14．如图，已知一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠）的图象与x 轴相交于点A （3，0）．若正比例函数y mx =（m为常数，且0m ≠）的图象与一次函数的图象相交于点P ，且点P 的横坐标为1，则关于x 的不等式()0k m x b -+>的解集为 ，关于x 的不等式组0,0mx kx b <⎧⎨-<⎩的解集为 ．15．若关于x 的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m 的取值范围是 ．16．已知关于x 的不等式组只有4个整数解，则a 的取值范围是 ．17．解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．253(2)(1)123x x x x 523(1)(2)131522x x x x18. 分解因式.（1）4x 2（y ﹣2）+9（2﹣y ） （2）4﹣m 2+2mn ﹣n 2(3) 321025x x x -+； （4）()()224292m n m n ---．19．我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．物资种类 A B C每辆汽车运载量（吨）12 10 8每吨所需运费（元/吨）240 320 20020．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，已知AC=10，OA=8．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．21．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P 与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP＝°（2）如图2、3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．22．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC ＝∠CPA＝120°，此时，PA+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB ＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．。

第四章因式分解一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)1．下列从左到右的变形，是因式分解的是()A．(3－x)(3＋x)＝9－x2B．m3－mn2＝m(m＋n)(m－n)C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z2．一次课堂练习，小璇同学做了如下4道因式分解题，你认为小璇做得不正确的一题是()A．a3－a＝a(a2－1) B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)3．如果多项式4a2－(b－c)2＝M(2a－b＋c)，那么M表示的多项式应为()A．2a－b＋c B．2a－b－c C．2a＋b－c D．2a＋b＋c4．若a2＋8ab＋m2是一个完全平方式，则m应是()A．b2B．±2b C．16b2D．±4b5．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能()A．被8整除B．被m整除C．被m－91整除D．被2m－1整除6．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是()A．3 B．2 C．1 D．－17．因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b 的值，分解的结果是(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b因式分解的正确结果为() A．(x＋2)(x－3) B．(x－2)(x＋1) C．(x＋6)(x－1) D．无法确定8．若a，b，c是三角形三边的长，则代数式(a2－2ab＋b2)－c2的值()A．大于零B．小于零C．大于或等于零D．小于或等于零二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)9．因式分解：3a2－3b2＝______________．10．计算：201820192－20172＝________．11．请在二项式x2－□y2中的“□”里面添加一个整式，使其能因式分解，你在“□”中添加的整式是________(写出一个即可)．12．在半径为R的圆形钢板上，裁去半径为r的四个小圆，当R＝7.2 cm，r＝1.4 cm时，剩余部分的面积是________cm2(π取3.14，结果精确到个位)．13．若△ABC的三边长分别是a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是____________．14．如图4－Z－1，已知边长为a，b的长方形，若它的周长为24，面积为32，则a2b ＋ab2的值为________．图4－Z－1三、解答题(本大题共5小题，共44分)15．(9分)将下列各式因式分解：(1)2x3y－2xy3；(2)3x3－27x；(3)(a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)．16．(7分)给出三个多项式：12x2＋2x－1，12x2＋4x＋1，12x2－2x，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．17．(8分)阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，∴n＝4，m＝4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)若a2＋b2－4a＋4＝0，则a＝________，b＝________；(2)已知x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求x y的值；(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长．18．(10分)如图4－Z－2①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．图4－Z－2(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m，n的代数式表示)．方法一：________________________________________________________________________；方法二：________________________________________________________________________.(2)根据(1)的结论，请你写出代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系．(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a＋b＝6，ab＝5，求a－b的值．19．(10分)阅读材料：对于多项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式．但对于多项式x2＋2ax －3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变．解题过程如下：x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)参照上述材料，回答下列问题：(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法()A．提公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法D．没有因式分解(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________；(3)请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．参考答案1．[答案] B2．[解析] A a 3－a ＝a (a 2－1)＝a (a ＋1)(a －1)．故选A.3．[解析] C 4a 2－(b －c )2＝[2a ＋(b －c )][2a －(b －c )]＝(2a ＋b －c )(2a －b ＋c )．故选C.4．[答案] D5．[解析] A 因为(4m ＋5)2－9＝(4m ＋5)2－32＝(4m ＋5＋3)(4m ＋5－3)＝(4m ＋8)(4m ＋2)＝4·(m ＋2)·2(2m ＋1)＝8(m ＋2)(2m ＋1)，所以(4m ＋5)2－9一定能被8整除．6．[解析] A ∵(m －n )2－2m ＋2n ＝(m －n )2－2(m －n )＝(m －n )(m －n －2)，m －n ＝－1，∴原式＝(－1)×(－1－2)＝3.故选A.7．[解析] A 因为甲看错了a 的值，分解的结果为(x ＋6)(x －1)，所以b ＝－6.因为乙看错了b 的值，分解的结果是(x －2)(x ＋1)，所以a ＝－1.所以x 2＋ax ＋b ＝x 2－x －6＝(x ＋2)(x －3)． 8．[解析] B (a 2－2ab ＋b 2)－c 2＝(a －b )2－c 2＝(a －b ＋c )(a －b －c )．因为a ，b ，c 是三角形三边的长，所以a ＋c ＞b ，a ＜b ＋c ，即a －b ＋c ＞0，a －b －c ＜0，所以(a －b ＋c )(a －b －c )＜0，即(a 2－2ab ＋b 2)－c 2＜0.故选B.[点评] 本题要充分挖掘题目的隐含条件，即a ，b ，c 是三角形的三边长，则a ，b ，c 应是正数且满足三角形三边的关系．9．[答案] 3(a －b )(a ＋b )10．[答案] 14[解析] 原式＝2018（2019＋2017）×（2019－2017）＝20184036×2＝14. 11．[答案] 答案不唯一，如412．[答案] 138[解析] 剩余部分的面积为πR 2－4πr 2.当R ＝7.2 cm ，r ＝1.4 cm 时，πR 2－4πr 2＝π(R －2r )(R ＋2r )＝π×(7.2－2.8)×(7.2＋2.8)＝π×4.4×10≈3.14×44≈138(cm 2)．13．[答案] 等腰三角形[解析] ∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ，∴a ＋2ab －c －2bc ＝0，∴(a －c )＋2b (a －c )＝0，∴(a －c )(2b ＋1)＝0.∵2b ＋1≠0，∴a ＝c.14．[答案] 384[解析] 由题意易得a ＋b ＝12，ab ＝32，∴a 2b ＋ab 2＝ab (a ＋b )＝384.故答案为384.15．[解析] (1)先提取公因式2xy ，再用平方差公式；(2)先提取公因式3x ，再运用平方差公式；(3)先提取公因式(a －b )，再运用平方差公式．无论哪一道题目都需要分解到底．解：(1)2x 3y －2xy 3＝2xy (x 2－y 2)＝2xy (x ＋y )(x －y )．(2)3x 3－27x＝3x (x 2－9)＝3x (x ＋3)(x －3)．(3)(a －b )(3a ＋b )2＋(a ＋3b )2(b －a )＝(a －b )[(3a ＋b )2－(a ＋3b )2]＝(a －b )(3a ＋b ＋a ＋3b )(3a ＋b －a －3b )＝8(a －b )2(a ＋b )．16．解：(1)⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －1＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋4x ＋1＝x 2＋6x＝x (x ＋6)．(2)⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－2x＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1)．(3)⎝⎛⎭⎫12x 2＋4x ＋1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－2x＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2.(答案不唯一，选择其中一种即可)17．解：(1)2 0(2)∵x 2＋2y 2－2xy ＋6y ＋9＝0，∴x 2＋y 2－2xy ＋y 2＋6y ＋9＝0，即(x －y )2＋(y ＋3)2＝0，则x－y＝0，y＋3＝0，解得x＝y＝－3，∴x y＝(－3)－3＝－127.(3)∵2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，∴2a2－4a＋2＋b2－6b＋9＝0，∴2(a－1)2＋(b－3)2＝0，则a－1＝0，b－3＝0，解得a＝1，b＝3，∵a，b，c都是正整数，由三角形三边关系可知，三角形的三边长分别为1，3，3，则△ABC的周长为1＋3＋3＝7.18．解：(1)方法一：(m＋n)2－4mn；方法二：(m－n)2.(2)(m＋n)2－4mn＝(m－n)2.(3)由(2)可知(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝62－4×5＝16.∴a－b＝4或a－b＝－4.19．解：(1)C(2)平方差公式法(3)m2－6mn＋8n2＝m2－6mn＋8n2＋n2－n2＝m2－6mn＋9n2－n2＝(m－3n)2－n2＝(m－2n)(m－4n)．。

北师大版八年级数学下册第四章因式分解自主学习培优训练1（附答案详解）1．多项式 x 2 - 4 因式分解的结果是（ ）A ．(x + 2)2B ．(x - 2)2C ．(x + 2)(x - 2)D ．(x + 4)(x - 4)2．多项式24x x m -+可以分解为(3)(7)x x +-，则m 的值为 ( )A ．-4B ．-21C ．21D ．43．若x -y +3=0，则x （x -4y ）+y （2x +y ）的值为（ ）A ．9B ．－9C ．3D ．－34．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．22()()x y x y x y -=-+B ．42=2×3×7C ．22(2)(1)x x x x --=-+D ．221(21)1x x x x --=--5．已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x +的值是（ ）A ．1或﹣2B ．﹣1或2C ．1D ．﹣26．下列能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．21x -B ．()21x x +C ．21x +D ．2x x -7．若4x 2＋kx ＋25＝(2x －5)2，那么k 的值（ ）A ．﹣4B ．﹣30C ．﹣20D ．08．下列各式成立的是（ ）A ．－x －y ＝－（x －y ）B ．y －x ＝x －yC ．（x －y ）2＝（y －x ）2D ．（x －y ）3＝（y －x ）39．方程4326131240x x x x -+-+=的不同有理根的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．410．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是() A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形11．因式分解：2m 2n ﹣4mn+2n=_____．12．分解因式：23a a +=_______________．13．因式分解:2122abc bc - =_________．14．分解因式：m 2（x-y ）-4（x-y ）=___________________ .15．将多项式224ax ay -因式分解得______16．分解因式：22222()4x y x y +-＝_____________．17．若2222690m mn n n ++-+=，则2m n的值为______________ 18．分解因式：2x 2﹣20x+50=_____．19．如果把多项式23x x m -+分解因式得(1)()x x n -+，那么m —n=_________. 20．因式分解与整式乘法的过程_____.21．给出三个多项式：a 2+3ab ﹣2b 2，b 2﹣3ab ，ab+6b 2，任请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式．22．求使不等式成立的x 的取值范围：（x ﹣1）3﹣（x ﹣1）（x 2﹣2x+3）≥0．23．3269ab ab ab -+．24．先阅读材料，再回答问题：分解因式：(a-b)2-2(a-b)+1.解：将“a -b”看成整体，令a-b=M ，则原式=M2-2M+1=(M-1)2,再将a-b=M 还原，得到：原式=(a-b-1)2.上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：（1）分解因式：9+6(x+y)+(x+y)2=____________________.（2）分解因式：x 2-2xy+y 2-1=____________________.（3）若n 为正整数，则(n+1)(n+4)(n 2+5n)+4的值为某一个整数的平方，试说明理由． 25．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1．26．已知（a＋b）（a+b－8）+16=0，求２（a+b）的值.27．因式分解：（1）x2-9y2；（2）a2b+2ab+b．28．分解因式（1）a3﹣2a2+a；(2)x4-1629．分解因式：（1）4a2-8ab+4b2；（2）（2）x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）30．利用因式分解化简多项式．1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2016.参考答案1．C【解析】分析：根据公式a 2﹣b 2=（a +b ）（a ﹣b ），进行计算即可．详解：x 2﹣4=（x +2）（x ﹣2）．故选C ．点睛：本题主要考查对因式分解﹣平方差公式的理解和掌握，能熟练地运用公式分解因式是解答此题的关键．2．B【解析】∵24x x m -+=()()37x x +-=x 2-7x +3x -21= x 2-5x -21,∴m =-21.故选B.3．A【解析】解：∵x -y +3=0，∴x -y =－3．原式=2242x xy xy y -++=2()x y -=2(3)-=9．故选A ．4．C【解析】A. ∵ ()()22x y x y x y +-=-是乘法运算，故不正确； B. ∵42=2×3×7是分解因数，故不正确；；C. ∵ ()()2221x x x x --=-+是因式分解，故正确；； D. ∵ ()221211x x x x --=--的右边不是积的形式，不是因式分解，故不正确；． 故选C.5．D【解析】∵x 2+211x x x++=0∴（x+1x ）2-2+x+1x=0， ∴[（x+1x ）+2][（x+1x）﹣1]=0， ∴x+1x=1或﹣2． ∵x+1x=1无解， ∴x+1x =﹣2． 故选D ．6．A【解析】根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，A 选项：()()2111x x x -=+-，可知能用平方差公式进行因式分解.故选：A.7．C【解析】【分析】把等式右边按照完全平方公式展开，利用左右对应项相等，即可求k 的值．【详解】∵4x 2+kx+25=（2x-5）2=4x 2-20x+25，∴k=-20，故选D ．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．8．C【解析】根据添括号法则，可知-x-y=-（x+y ），故不正确；根据x-y 与y-x 互为相反数，故不正确；根据x-y 与y-x 互为相反数，可知（x －y ）2＝（y －x ）2，故正确；根据x-y 与y-x 互为相反数，可知（x －y ）3＝-（y －x ）3，故不正确.故选：C.9．C【解析】【分析】首先观察x=1是方程的一个根故可以把方程x4-6x3+13x2-12x+4=0化成（x-1）（x3-5x2+8x-4）=0，再次发现x=1是方程x3-5x2+8x-4=0的一个有理根，于是原方程可以化为（x-1）2（x2-4x+4）=0，即可求出不同有理数的个数．【详解】解：观察可知x=1是方程x4-6x3+13x2-12x+4=0的一个根，即（x-1）（x3-5x2+8x-4）=0，观察可知x=1还是x3-5x2+8x-4=0，原方程可以化为（x-1）2（x2-4x+4）=0，解得x=1或2，原方程的不同有理根有2个，故选C．【点睛】本题主要考查高次方程的知识点，解答本题的关键是把方程x4-6x3+13x2-12x+4=0进行因式分解，此题难度不大．10．C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．故选C．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．2n(m-1)2【解析】分析：原式提取2n ，再利用完全平方公式分解即可．详解：原式=2n （m 2-2m+1）=2n （m-1）2，故答案为：2n （m-1）2点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．(3)a a +【解析】试题解析：23a a +=a(a+3).13．2bc (6a -c )【解析】【分析】系数的最大公因数是2，相同字母的最小次幂的积是bc ，所以提公因式2bc 即可.【详解】2122abc bc -=2bc (6a -c ).【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键，公因式由各项系数的最大公因数和各项相同字母的最小次幂的积组成.14．（x-y ）（m+2）（m-2）【解析】m 2（x -y ）-4（x -y ），＝（x -y ）（m 2-4），＝（x -y ）（m +2）（m -2）.故答案为：（x -y ）（m +2）（m -2）.15．()()22a x y x y +-【解析】【分析】先提公因式a ，然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】原式()22a x 4y =-()()a x 2y x 2y =+-，故答案为()()a x 2y x 2y +-.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：一提（公因式），二套（公式），三彻底.16．(x+y)2(x-y)2【解析】分析：首先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式分解即可．详解：原式=(22x y 2xy ++)(22x y 2xy +-)= (x+y)2(x-y)2， 故答案为：(x+y)2(x-y)2点睛：此题考查了运用公式法分解因式，观察式子的特征，先利用平方差公式进行因式分解，再观察到每个括号内又都是完全平方的形式，分解即可.注意：在分解因式时，一定要分解彻底.17．13-【解析】∵m 2+2mn+2n 2-6n+9=0∴（m+n ）2+（n-3）2=0，∴m+n=0且n-3=0，∴m=-3，n=3， ∴213m n =-， 故答案为-13. 18．2（x ﹣5）2【解析】【分析】先提取公因式2，然后利用完全平方公式继续分解．【详解】222050x x -+2212()05x x =-+22(5)x =-．故答案为2（x ﹣5）2．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于提取公因式后进行二次因式分解．19．4【解析】分析：根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m 、n 的值．详解：x 2﹣3x +m 分解因式得（x ﹣1）（x +n ），得：x 2﹣3x +m =x 2+（n ﹣1）x ﹣n ．n ﹣1=﹣3，m =﹣n ．解得：m =2，n =﹣2，∴m -n =2－（－2）=4．故答案为：4．点睛：本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法得出相等的整式是解题的关键．20．互逆【解析】因式分解与整式乘法的过程是互逆的.21．（a+b ）（a ﹣b ）【解析】试题分析：根据平方差公式，可得答案．试题解析：（a 2+3ab ﹣2b 2）+（b 2﹣3ab ）=a 2+3ab ﹣2b 2+b 2﹣3ab=a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）．22．x≥﹣1．【解析】试题分析：将（x ﹣1）3﹣（x ﹣1）（x 2﹣2x+3）因式分解化为（x ﹣1）2（x+1），根据因（x ﹣1）2是非负数，要使（x ﹣1）3﹣（x ﹣1）（x 2﹣2x+3）≥0，必须x+1≥0，解不等式即可求得x 的取值范围.试题解析：（x ﹣1）3﹣（x ﹣1）（x 2﹣2x+3）=（x ﹣1）3﹣（x ﹣1）2（x ﹣2）=（x ﹣1）2（x+1）；因（x ﹣1）2是非负数，要使（x ﹣1）3﹣（x ﹣1）（x 2﹣2x+3）≥0，只要x+1≥0即可，即x≥﹣1．23．ab (b -3)2【解析】试题分析：先提公因式，然后用公式法分解即可．试题解析：解：原式=2(69)ab b b -+=2(3)ab b -．24．（1）(x+y+3)2 （2）（x-y+1）（x-y-1） （3）详见解析【解析】【分析】（1）根据题意，把x +y 看做整体即可因式分解；（2）先将x 2-2xy +y 2因式分解，再用整体思想，根据平方差公式因式分解；（3）先将(n +1)(n +4)去括号得到（n 2+5n +4），再将n 2+5n 看做整体，化简得完全平方式.【详解】（1）9+6(x +y )+(x +y )2= (x +y +3)2，故答案为(x +y +3)2；（2）x 2-2xy +y 2-1=（x -y ）2-1=（x -y +1）（x -y -1），故答案为（x -y +1）（x -y -1）；（3）(n +1)(n +4)(n 2+5n )+4=（n 2+5n +4）(n 2+5n )+4设M =n 2+5n ，则原式=（M +4）M +4=M 2+4M +4=（M +2）2将M =n 2+5n 代入还原,可得原式=（n 2+5n +2）2；∵n 为正整数，∴（n 2+5n +2）2也是正整数，∴(n +1)(n +4)(n 2+5n )+4是一个整数的平方.【点睛】本题主要考查整体思想，需要做题时多观察题目的特点.（1）直接利用整体思想即可；（2）需先分组再因式分解，这里用到了完全平方公式和平方差公式；（3）此问显然不能直接因式分解，通常这种情况下，都会尝试先去括号再重新观察式子的特点.25．（1）（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）【解析】试题分析：利用分组分解法、公式法进行因式分解．试题解析：（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y=（x 2﹣y 2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2=9m 2﹣（4x 2﹣4xy+y 2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1=（2a+1）2﹣b 2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．26．8.【解析】试题分析：首先将已知的代数式利用整体思想写成完全平方式，从而求出a+b 的值，然后得出答案．试题解析：因为（a+b ）（a+b －8）+16=()2a b +－8（a+b ）+16=()()22a b 24a b 4+-⨯++=()2a b 4+-=0所以 a+b ＝4. 所以 2（a+b ）＝8.27．（1）（x+3y ）（x ﹣3y ）；（2）b （a+1）2.【解析】【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】（1）原式=22(3)x y -=（x+3y ）（x ﹣3y ）；（2）原式=b （a 2+2a+1），=b （a+1）2.【点睛】考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法及平方差公式是解本题的关键．28．(1) =a （a ﹣1）2；（2）2(4)(2)(2)x x x ++-【解析】试题分析：(1)先提取公因式，再利用公式法因式分解.(2)利用两次平方差公式因式分解. 试题解析：解：（1）a 3﹣2a 2+a =a （a 2﹣2a +1）=a （a ﹣1）2(2)416x - =()()2244x x +-=()()()2422x x x ++- 点睛：(1)完全平方公式：2222a b a ab b ±=±+（）.(2)平方差公式：(a+b )(a-b )=22a b +.(3)常用等价变形：()2222 ,a b b a b a a b -=-=-+=-+ ()33a b b a -=--, ()()b a b a -=--,()22a b a b --=+.29．（1）4（a-b ）2；（2）（m ﹣n ）（x+y ）（x ﹣y ）【解析】分析：(1)、首先提取公因式4，然后利用完全平方公式进行因式分解；(2)、首先提取公因式(m －n)，然后利用平方差公式进行因式分解．详解：⑴、4a 2-8ab+4b 2 =4(a 2-2 ab+ b 2）=4()2a b -；⑵、x 2(m ﹣n)﹣y 2(m ﹣n)=(m ﹣n) (x 2﹣y 2)=(m ﹣n) (x+y) (x ﹣y)．点睛：本题主要考查的就是因式分解，属于基础题型．因式分解如果有公因式，首先就是提取公因式，然后利用公式法或十字相乘法进行因式分解．30．(1＋x)2017.【解析】【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出即可．【详解】1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2016=（1+x）（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2016=（1+x）2（1+x）+…+x（1+x）2016=（1+x）2017．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．。

第四讲因式分解（拆添项、配方、双十字、主元）拆添项一、拆项与添项：拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如22232a a a =-； 添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项，如221221a a a a +=+-+. 拆项和添项都是代数式的恒等变形.在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进行因式分解.这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需要同学们通过多做练习来掌握.【铺垫1】 ★★☆☆☆分解因式：387x x -+【例题1】 ★★★☆☆分解因式：（1）32x x +-（2）414x x --（3）42201820172018x x x +++配方法二、配方法：（1）定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．（2）方法：配方主要是配中项2ab ，或配一个平方项2b （或2a ）．如何配方依赖于对题目特点的观察和分析．应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式22A B -的形式，使多项式可分解为()()A B A B -+的形式．【铺垫2】 ★☆☆☆☆分解因式：421x x ++【例题2】 ★★☆☆☆分解因式：（1）444x y + （2）4259x x ++ （3）422423a a b b -+【例题3】 ★★★☆☆4322321x x x x ++++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：51x x ++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()444x y x y +++双十字相乘双十字相乘法：⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如FEyDxCyBxyAx+++++22的二次多项式进行因式分解.⑵条件：①21aaA=，21ccC=，21ffF=②Bcaca=+1221，Efcfc=+1221，Dfafa=+1221即：1a x1c y1f2a x2c y2f则=+++++FEyDxCyBxyAx22111222()()++++a x c y f a x c y f⑶步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F分解成两个因式填在第三列上.③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F++，检验是否等于()()1122a x f a x f++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.(4) 特殊情况：形如432Ax Bx Cx Dx E++++一元四次五项式．即：21a x1c x1e22a x2c x2e其中，12A a a=，1221B a c a c=+，1221D c e c e=+，12E e e=，特别的，121221C c c a e a e=++．【铺垫3】★☆☆☆☆分解因式：22232543x xy y yz zx z+++++.模块三【例题4】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）226136x xy y x y ---+-（2）2221076142712x xy y xz yz z ---+-【例题5】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）2256x y x y -++- （2）225624x xy y y -++-【例题6】 ★★★☆☆双十字相乘法分解因式： （1）4322656x x x x ++++ （2）432273108x x x x +++-注：关于x 的四次五项式的因式分解方法很多，个人理解，一般以系数的特征来区分用法， 如43222533x x x x ++++，一二项系数相同，四五项系数也相同，而第三项系数等于前后系数之和的，直接选用拆中项分组分解，得()()4322222333x x x x x +++++；如4325251x x x x ++++，一三五可配方，选用分组分解，得()()4232155x x x x ++++；如4323266x x x x -++-，系数相加为0，选用试根法，根为1，具体在后面讲次会讲解； 再比如还有待定系数法解决一般的四次五项式，不过所有方法中，相对而言双十字相乘法会更加便捷的解决一般的四次五项式，建议在这着重练习.主元十字主元十字法实际上属于分组分解法中的一类，方法是以某个字母为主（看作主元），把这个多项式看成关于主元的二次三项式，再用十字相乘法进行因式分解.【铺垫4】 ★★☆☆☆分解因式：32221a b a b ab a ++++.【例题7】 ★★★☆☆用主元法分解因式：（1）222a bc ac acd abd cd d ++--- （2）2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-模块四【例题8】 ★★★☆☆分解因式：()()()2211221y y x x y y +++++..【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()()()()2222221ab x y a b xy a b x y ---+-++【练习1】 分解因式：（1）332x x -+ （2）3212x x +- （3）3231x x -+【练习2】 分解因式：（1）32212x x x ---（2）32201820182017x x x +++ （3）42676x x x ---【练习3】 分解因式：（1）4414x y +（2）422416x x y y -+ （3）42204x x -+【练习4】 分解因式：224443x x y y --+-【练习5】 分解因式：4422222221x y x y x y +---+【练习6】 分解因式：43241x x x x +-++【练习7】 分解因式：（1）222332x xy y x y +++++ （2）22215196x xy y x y +-+-- （3）2220918183314x xy y x y +--+- （4）22xy y x y ++--【练习8】 分解因式：（1）432391112x x x x ++++ （2）432922x x x x --++11 【练习9】 ★★★☆☆分解因式：（1）432223816x x x x +--+ （2）4212312224x x x -+-【练习10】 分解因式：（1）322232b ab a b ac c ++++ （2）222324x y xy x xy y +++-- （3）23322222a x ax ax x ax +++--。

浙教版2022-2023学年七下数学第四章因式分解培优测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列添括号正确的是()A．−b−c=−(b−c)B．−2x+6y=−2(x−6y)C．a−b=+(a−b)D．x−y−1=x−(y−1)【答案】C【解析】A.−b−c=−(b+c)，故此选项不合题意；B.−2x+6y=−2(x−3y)，故此选项不合题意；C.a−b=+(a−b)，故此选项符合题意；D.x−y−1=x−(y+1)，故此选项不合题意；故答案为：C.2．下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（）A．(a−b)2+(a−b)=(a−b)(a−b+1)B．(x+2)(x+3)=x2+5x+6C．4a2−b2=(4a−b)(4a+b)D．m2−n2+2mn=(m−n)2【答案】A【解析】A、(a−b)2+(a−b)=(a−b)(a−b+1)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B、(x+2)(x+3)=x2+5x+6，从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、4a2−b2=(2a−b)(2a+b)，原式从左到右的变形错误，故本选项不符合题意；D、两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故答案为：A3．下列各式中，没有公因式的是（）A．3x−2与6x2−4x B．ab−ac与ab−bcC．2(a−b)2与3(b−a)3D．mx−my与ny−nx【答案】B【解析】A、∵6x2-4x=2x（3x-2），∴3x-2与6x2-4x的公因式是3x-2，故A不符合题意；B、∵ab-ac=a（b-c），ab-bc=b（a-c），∴ab-ac与ab-bc没有公因式，故B符合题意；C、∵2（a-b）2=（b-a）2，∴2（a-b）2与3（b-a）3的公因式是（b-a）2，故C不符合题意；D、∵mx-my=m（x-y），ny-nx=-n（x-y），∴mx-my与ny-nx的公因式是x-y，故D不符合题意.故答案为：B.4．把(a−b)+m(b−a)提取公因式(a−b)后，则另一个因式是（）A．1−m B．1+m C．m D．−m【答案】A【解析】(a−b)+m(b−a)=(a−b)(1−m)，∴另一个因式为（1-m），故答案为：A．5．课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗?（）道题D．第4道题【答案】C【解析】（1）a2-b2=（a+b）（a-b），可以用平方差公式因式分解，不符合题意；（2）49x2-y2z2=（7x-yz）（7x+yz），可以用平方差公式因式分解，不符合题意；（3）-x2-y2，前后项同号，不符合平方差公式特点，不可以用平方差公式分解，符合题意；（4）16m2n2-25p2=（4mn+5p）（4mn-5p），可以用平方差公式因式分解，不符合题意.故答案为：C.6．已知2x−y=1，xy=2，则4x3y−4x2y2+xy3的俼为（）A．-2B．1C．-1D．2【答案】D【解析】原式=xy(4x2−4xy+y2)=xy(2x−y)2，∵2x−y=1，xy=2，∴原式=2×12=2.故答案为：D.7．若要使4x2+mx+164成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（）A．±12B．-12C．±14D．-14【答案】A【解析】∵（2x-18）2=4x2-12x+164或[2x−(−18)]2=4x2+12x+164，∴m=-12或12.故答案为：A.8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱学B．爱五中C．我爱五中D．五中数学【答案】C【解析】∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），∴结果呈现的密码信息可能是：我爱五中．故答案为：C．9．将多项式16m2+1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（）A．-2B．−15m2C．8m D．−8m【答案】B【解析】A、16m2+1−2=16m2−1=(4m+1)(4m−1)，A不符合题意；B、16m2+1−15m2=m2+1，不能因式分解，B符合题意；C、16m2+1+8m=(4m+1)2，C不符合题意；D、16m2+1−8m=(4m−1)2，D不符合题意.故答案为：B.10．在√0，√1，√2，√3，√4，……，√364，√365中，有理数的个数是（）A．18B．19C．20D．21【答案】C【解析】∵192=361<365<202=400，∴19<√365<20∴√0，√1，√2，√3，√4，……，√364，√365中正好有20个完全平方数，即20个有理数.故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．分解因式：3a 2−12= ．【答案】3(a +2)(a −2)【解析】3a 2−12=3(a 2−4)=3(a +2)(a −2)故答案为：3(a +2)(a −2)．12．因式分解：a 3−6a 2+9a = ．【答案】a （a -3）2【解析】原式=a(a 2−6a +9)=a(a −3)2，故答案为：a （a -3）2．13．已知长方形的面积为3a 2−3b 2，如果它的一边长为a +b ，则它的周长为 （结果应化简）．【答案】8a −4b【解析】∵3a 2−3b 2=3(a 2−b 2)=3(a +b)(a −b)，长方形的一边长为a+b∴长方形的另一边长为3（a -b ）=3a -3b∴该长方形的周长为：（3a -3b+a+b ）×2=8a −4b ，故答案为：8a −4b .14．若 m −n =8 ，则 m 2−n 2−16n 的值是 .【答案】64【解析】∵m −n =8 ，∴m 2−n 2−16n = (m +n)(m −n)−16n = 8(m +n)−16n = 8m +8n −16n = 8m −8n = 8(m −n) = 8×8=64故答案为：64. 15．设 P =x 2−3xy ， Q =3xy −9y 2 ，若 P =Q ，则 x y 的值为 .【答案】3【解析】∵P =Q ， P =x 2−3xy ， Q =3xy −9y 2 ，∴x 2−3xy =3xy −9y 2 ，即 x 2−6xy +9y 2=(x −3y)2 =0，∴x=3y ∴x y =3.故答案为：316．若a=2018x+2019，b=2018x+2020，c=2018x+ 2021，则多项式a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc 的值为【答案】3 【解析】 a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc =12（2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2ac -2bc ） =12（a 2+b 2-2ab+b 2-2bc+c 2-2ac+a 2-2ac+c 2） =12[（a -b ）2+（b -c ）2+（a -c ）2] =12[（2018x+2019-2018x -2020）2+（2018x+2020-2018x - 2021）2+（2018x+2019-2018x -2021）2] =12[1+1+4]=3， 故答案为：3.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．分解因式：（1）x 2﹣4x（2）﹣2x 2+2（3）4x 5﹣4x 4+x 3（4）4（x+2y ）2﹣25（x ﹣y ）2．【答案】（1）解：原式=x （x ﹣4）（2）解：原式=﹣2（x+1）（x ﹣1）（3）解：原式=x 3（2x ﹣1）2（4）解：原式=[2（x+2y ）+5（x ﹣y ）][2（x+2y ）﹣5（x ﹣y ）]=3（7x ﹣y ）（3y ﹣x ）18．已知 x 2+x +1=0 ，求 x 3−x 2−x +7 的值.【答案】解：由 x 2+x +1=0 得 x 2+x =−1 ，∴x 3−x 2−x +7=x 3+x 2−2x 2−x +7=x(x 2+x)−2x 2−x +7=−x −2x 2−x +7=−2x 2−2x +7=−2(x 2+x)+7=2+7=919．阅读下列材料，并解答相关问题.对于二次三项式x 2+2ax+a 2这样的完全平方式，我们可以用公式法将它分解因式成(x+a)2的形式，但是，对于二次三项式x 2+2ax -3a 2，就不能直接用完全平方公式进行分解因式了，我们可以在二次三项式x 2+2ax -3a 2中先加上一项a 2，将其配成完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的大小不变，于是有x 2+2ax -3a 2=x 2+2ax+a 2-a 2-3a 2=(x+a)2-4a 2=(x+a+2a)(x+a -2a)=(x+3a)(x -a).利用上述方法把m 2-6m+8分解因式.【答案】解：m 2-6m+8=m 2-6m+9-9+8=(m -3)2-1=(m -3+1)(m -3-1)=(m -2)(m -4)20．若a+b=﹣3，ab=1．求12a 3b+a 2b 2+12ab 3的值． 【答案】解：∵a+b=﹣3，ab=1∴12a 3b+a 2b 2+12ab 3=12ab （a 2+2ab+b 2）=12ab （a+b ）2=12×1×（﹣3）2=92．21．（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算(a +b +c)2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路：①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[(a +b)+c]2或[a +(b +c)]2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；②可以用“数形结合”的方法，画出表示(a +b +c)2的图形，根据面积关系得到结果.请你在下面正方形中画出图形，并作适当标注；（2）利用（1）的结论分解因式：x 2+y 2+4−2xy +4x −4y = ；（3）小明根据“任意一个实数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最①x 2+y 2+2xy −6x −6y +20；②2x 2+y 2−2xy −4x +2y +10.【答案】（1）解：①方法一：(a +b +c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；方法二：(a+b+c)2=[a+(b+c)]2=a2+2a(b+c)+(b+c)2=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；②如图，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，（2）(x−y+2)2（3）解：①x2+y2+2xy−6x−6y+20=(x2+2xy+y2)−6(x+y)+20=(x+y)2−6(x+y)+20=(x+y)2−6(x+y)+9+11=(x+y−3)2+11∵(x+y−3)2≥0∴x2+y2+2xy−6x−6y+20≥11即当x+y=3时，x2+y2+2xy−6x−6y+20有最小值为11；②2x2+y2−2xy−4x+2y+10=x2−2xy+y2−2x+2y+x2−2x+1+9=(x−y)2−2(x−y)+(x−1)2+9=(x−y−1)2+(x−1)2+8∵(x−y−1)2≥0，(x−1)2≥0，∴当x−y−1=0，x−1=0，即x=1，y=0时，2x2+y2−2xy−4x+2y+10有最小值，为8.【解析】（2）x2+y2+4−2xy+4x−4y=x2+y2−2xy+4x−4y+4=(x−y)2−4(x−y)+4=(x−y+2)2故答案为：(x−y+2)2.22．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.A．提取公因式；B．平方差公式；C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式.（2）该同学因式分解的结果是否彻底？.（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.【答案】（1）C（2）不彻底；(x−2)4（3）解：设x2+2x=y，原式= y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4.【解析】（1）由y2+8y+16＝（y+4）2是利用了两数和的完全平方公式，故答案为：C；（2）∵（x2﹣4x+4）2= (x−2)4，∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为(x−2)4，故答案为：不彻底，(x−2)4；23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？【答案】（1）∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，∴36和2020是“和谐数”；（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.理由如下：∵(2k+2)2−(2k)2=4(2k+1);∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.24．（1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（）+x（）=（）2②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果：.（3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=.【答案】（1）1+x；1+x；1+x；（1+x）3；（1+x）4（2）（1+x）2018（3）1-x4n【解析】（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2；②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3；③1+x+x （1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4；看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018；（ 3 ）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=（1-x4）（1+x4）…（1+x2n）=1-x4n.。

北师大版八年级数学下册第四章因式分解自主学习培优训练（附答案详解）1．将多项式a （x-y ）+2by-2bx 分解因式，正确的结果是（ ）A ．（x-y ）（-a+2b ）B ．（x-y ）（a+2b ）C ．（x-y ）（a-2b ）D ．-（x-y ）（a+2b ）2．下列多项式能分解因式的是（ ）A ．2x +2y 2yB ．﹣2x ﹣2yC ．﹣2x +2xy ﹣2yD ．2x ﹣xy+2y3．计算所得的结果是（ ） A ． B ．- C ．-2 D ．2 4．下列从左到右分解因式正确的是（ ）A ．()322x x x x x x ++=+B ．()22251020524t t t t t t -+-=-++C ．()32246223p p p p p -=- D ．()()()()21x y y x y x y x ---=--- 5．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．（x ＋2）（x –2）＝x 2－4B ．.x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3xC ．x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）D ．x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－46．若a ，b ，c 是三角形的三边，则代数式（a-b ）2-c 2的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．等于零D ．不能确定7．若(x －3)(x －4)是多项式x 2－ax ＋12因式分解的结果，则a 的值是( )A ．12B ．－12C ．7D ．－78．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣1）＝x 2﹣1B ．x 2+2x +1＝x （x +2）+1C ．﹣4a 2+9b 2＝（﹣2a +3b ）（2a +3b ）D ．2x +1＝x （2+1x ） 9．下列多项中，能用完全平方公式分解的是：（ ） ①②③④⑤A ．①②B ．①③C ．②③D ．①⑤10．下列分解因式正确的是（ ）A ．3x 2﹣6x=x （3x ﹣6）B ．﹣a 2+b 2=（b+a ）（b ﹣a ）C ．4x 2﹣y 2=（4x+y ）（4x ﹣y ）D ．4x 2﹣2xy+y 2=（2x ﹣y ）211．已知a +b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b +2a 2b 2+ab 3的值_____．12．分解因式：3a 2+6a +3=_____．13．分解因式：=____________．14．如果多项式9x 2﹣axy+4y 2﹣b 能用分组分解法分解因式，则符合条件的一组整数值是a= ，b= ．15．已知21x x -=，则代数式3222020x x -+=______.16．分解因式：224a b =-____________．17．化简：481a -=______.18．把多项式2m 2﹣8n 2分解因式的结果是 ．19．多项式14abx －8ab 2x +2ax 各项的公因式是________.20．分解因式：﹣xy 2+4x ＝_____．21．因式分解：2a （x 2+1）2 -8ax 222．在括号前面添上“＋”或“－”或在括号内填空．(1)－a ＋b ＝________(a －b )；(2)－m 2－2m ＋5＝－(______________)；(3)(x －y )3＝________(y －x )3.23．若关于x 的二次三项式212x px +-能分解成两个整系数的一次多项式的积，则p 有多少个可能的取值？24．已知2210x x +-=，求432441x x x ++-的值．25．（2015秋•潮南区月考）因式分解：a 2+a+．26．把下列多项式分解因式：（1）39x x -； （2）22242a ab b ++27．因式分解⑴24ax a -(实数范围内)⑵3269a a a -+28．仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++，∴25n +=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2712x x -+可分解为(3)()x x a -+，则a =__________．（2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =__________．（3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值． 29．阅读材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴()20m n -=，()240n -=∴()()22228160m mn n n n -++-+=∴()()2240m n n -+-= ∴4n =，4m =根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知2245690x xy y y -+++=求x 、y 的值；（2）已知ABC ∆的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22614580a b a b +--+=，求ABC ∆的最大边c 的值.30．阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，由题意，得：()()243x x m x x n -+=++，则()22433x x m x n x n -+=+++{343n m n +=-∴=．解得：21m =-，7n =-，∴另一个因式为()7x -，m 的值为21-． 提出问题：()1已知：二次三项式25x x p +-有一个因式是()1x -，求p 的值． ()2已知：二次三项式223x x k +-有一个因式是()5x -，求另一个因式及k 的值．参考答案1．C【解析】试题分析：把（x-y ）看作一个整体，提取公因式（x-y ）即可。

《因式分解》单元培优测试题班级_________ 姓名_____________ 得分_____________注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟.一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10C﹒x2－8x+16＝(x－4)2D﹒6ab＝2a·3b2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1 3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（）A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn24﹒下列因式分解正确的是（）A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)B﹒x2+9＝(x+3)2C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x)D﹒a3－4a2＝a2(a－4)5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+14C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－y26﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（）A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－18﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（）A﹒－1B﹒1 C﹒－2D﹒29﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（）A﹒490B﹒245C﹒140D﹒196010.已知:a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（）A﹒0B﹒1C﹒2D﹒3二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11.请从4a2，(x+y)2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒12.用简便方法计算：20172－34×2017+289＝_________﹒13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么y x＝___________﹒15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒三、解答题（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.（8分）分解因式：（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2﹒（2）5a3b(a－b)3－10a4b2(b－a)2﹒18.（10分）分解因式：（1）(x2+16y2)2－64x2y2﹒（2）9(x－y)2－12x+12y+4﹒19.（10分）分解因式：（1）ac－bc－a2+2ab－b2﹒（2）1－a2－4b2+4ab﹒20.（8分）已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足(m+4)2－(n+4)2＝16，求代数式m2+n2－mn的值﹒21.（8分）如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒22.（10分）设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒23.（12分）如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？《因式分解》单元培优测试题参考答案Ⅰ﹒答案部分：11﹒答案不唯一，如：4a2－16＝4(a+2)(a－2)﹒12﹒4000000﹒13﹒7﹒14﹒14﹒15﹒a2015(a－2)2﹒16﹒2a+b，a+b﹒三、解答题17.（1）解：－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2(2a+5b－1)﹒（2）解：5a3b(a－b)3－10a4b3(b－a)2＝5a3b(a－b)3－10a4b2(a－b)2＝5a3b(a－b)2(a－b－2ab)﹒18.（1）解：(x2+16y2)2－64x2y2＝(x2+16y2)2－(8xy)2＝(x2+16y2+8xy)( x2+16y2－8xy)＝(x+4y)2(x－4y)2﹒（2）解：9(x－y)2－12x+12y+4＝[3(x－y)]2－12(x－y)+22＝[3(x－y)－2]2＝(3x－3y－2)2﹒19.（1）解：ac－bc－a2+2ab－b2＝c(a－b)－(a2－2ab+b2)＝c(a－b)－(a－b)2＝(a－b)[c－(a－b)]＝(a－b)(c－a+b)﹒（2）解：1－a2－4b2+4ab＝1－(a2－4ab+4b2)＝1－(a－2b)2＝[1+(a－2b)][1－(a－2b)]＝(1+a－2b)(1－a+2b)﹒20.解：∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，∴m，n互为相反数，即m+n＝0①，又∵(m+4)2－(n+4)2＝16，∴(m+n+8)(m－n)＝16，8(m－n)＝16，∴m－n＝2②，联立①②得2m nm n+=⎧⎨-=⎩，解得11mn=⎧⎨=-⎩，∴m2+n2－mn＝1+1+1＝3﹒21.解：（1）观察图形知：九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，所以2a2+5ab+2b2可分解为(2a+b)(a+2b)，故答案为：(2a+b)(a+2b)﹒（2）由题意，知：2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，∴(a+b)2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，∵a+b＞0，∴a+b＝7，则6a+6b＝6(a+b)＝6×7＝42，答：图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒22.解：能，假设存在实数k，(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)＝(2x－y)(－2x－y)＝－(2x－y)(2x+y)＝－(4x2－y2)＝－4x2+y2，把y＝kx代入，原式＝－4x2+(kx)2＝－4x2+k2x2＝(k2－4)x2，∵多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2，∴(k2－4)x2＝5x2，∴k2－4＝5，解得k＝±3，故满足条件的k的值有3或－3﹒23.解：（1）是，∵28＝2×14＝(8－6)(8+6)＝82－62，2016＝2×1008＝(505－503)(505+503)＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；（2）是，∵(2k+2)2－(2k)2＝(2k+2+2k)(2k+2－2k)＝4(2k+1)，∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），则(2k+1)2－(2k－1)2＝(2k+1+2k－1)(2k+1－2k+1)＝4k×2＝8k，此数是8的倍数，由（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒Ⅱ﹒解答部分：一、选择题1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10C﹒x2－8x+16＝(x－4)2D﹒6ab＝2a·3b解答：A﹒右边2x(x+4)－1不是积的形式，故A项错误；B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10，是多项式乘法，不是因式分解，故B项错误；C﹒x2－8x+16＝(x－4)2，运用了完全平方公式，符合因式分解的定义，故C正确；D﹒6ab＝2a·3b，左边不是多项式，故D错误﹒故选：C﹒2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1解答：因为A﹒a2－1＝(a+1)(a－1)；B﹒a2+a－2＝(a+2)(a－1)；C﹒a2+a＝a(a+1)；D﹒(a－2)2－2(a+2)+1＝(a+2－1)2＝(a+1)2，所以结果中不含有因式a+1的选项是B﹒故选：B﹒3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（）A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn2解答：多项式15m3n2+5m2n－20m2n3中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有相同字母m，n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以多项式的公因式是5m2n﹒故选：C﹒4﹒下列因式分解正确的是（）A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)B﹒x2+9＝(x+3)2C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x)D﹒a3－4a2＝a2(a－4)解答：A﹒－a2－b2＝－(a2+b2)，不能进行因式分解，故A项错误；B﹒多项式x2+9不能进行因式分解，故B项错误；C﹒1－4x2＝(1+2x)(1－2x)，故C项错误；D﹒a3－4a2＝a2(a－4)，故D项正确﹒故选：D﹒5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+14C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－y2解答：A﹒a2－2ab+4b2中间乘积项不是这两数的2倍，故A项错误；B﹒4m2－m+14中间乘积项不是这两数的2倍，故B项错误；C﹒9－6y+y2＝(3－y)2，故C项正确；D﹒x2－2xy－y2不是两数的平方和，不能用完全平方公式，故D项错误﹒故选：C.6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定解答：∵M＝x2+y2，N＝2xy，∴M－N＝x2+y2－2xy＝(x+y)2≥0，则M≥N.故选：B.7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（）A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1解答：∵(x+1)(x－3)＝x2－3x+x－3＝x2－2x－3，∴x2+ax+b＝x2－2x－3，∴a＝－2，b＝－3，∴a+b＝－5，故选：A﹒8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（）A﹒－1B﹒1 C﹒－2D﹒2解答：∵x2－x－1＝0，∴x2－x＝1，∴x3－2x+1＝x3－x2+ x2－2x+1＝x(x2－x) + x2－2x+1＝x+ x2－2x+1＝x2－x+1＝1+1＝2﹒故选：D﹒9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（）A﹒490B﹒245C﹒140D﹒1960解答：由题意，知：a+b＝7，ab＝10，则a3b+2a2b2+ab3＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2＝10×49＝490﹒故选：A.10.已知:a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（）A﹒0B﹒1C﹒2D﹒3解答：∵a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，∴a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，∴a2+b2+c2－ab－ac－bc＝12[( a－b)2+( b－c)2+( a－c)2]＝12×(1+1+4)＝3﹒故选：D.二、填空题11.请从4a2，(x+y)2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒解答：答案不唯一，如：4a2－16＝4(a+2)(a－2)，故答案为：4a2－16＝4(a+2)(a－2)﹒12.用简便方法计算：20172－34×2017+289＝_________﹒解答：20172－34×2017+289＝20172－2×17×2017+172－172+289＝(2017－17)2＝20002＝4000000，故答案为：4000000﹒13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒解答：∵m－n＝2，∴2m2－4mn+2n2－1＝2(m2－2mn+n2)－1＝2(m－n)2－1＝2×4－1＝7﹒故答案为：7﹒14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么y x＝_______﹒解答：∵x2－2xy+2y2+4y+4＝x2－2xy+ y2+y2+4y+4＝(x－y)2+(y+2)2＝0，∴20x yy-=⎧⎨+=⎩，解得：22xy=-⎧⎨=-⎩，∴y x＝(－2)－2＝14，故答案为：14﹒15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒解答：a2017－4a2016+4a2015＝a2015·a2－a2015·4a+4a2015＝a2015(a2－4a+4)＝a2015(a－2)2，故答案为：a2015(a－2)2﹒16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒解答：所画示意图如下，∵2a2+3ab+b2＝a2+2ab+b2+a2+ab＝(a+b)2+a(a+b)＝(a+b)(a+b+a)＝(a+b)(2a+b)，∴所画长方形的长为2a+b，宽为a+b；故答案为：2a+b，a+b﹒三、解答题17.分解因式：（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2（2）5a3b(a－b)3－10a4b2(b－a)2解答：（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2(2a+5b－1)﹒（2）5a3b(a－b)3－10a4b3(b－a)2＝5a3b(a－b)3－10a4b2(a－b)2＝5a3b(a－b)2(a－b－2ab)﹒18.分解因式：（1）(x2+16y2)2－64x2y2（2）9(x－y)2－12x+12y+4解答：（1）(x2+16y2)2－64x2y2＝(x2+16y2)2－(8xy)2＝(x2+16y2+8xy)( x2+16y2－8xy)＝(x+4y)2(x－4y)2﹒（2）9(x－y)2－12x+12y+4＝[3(x－y)]2－12(x－y)+22＝[3(x－y)－2]2＝(3x－3y－2)2﹒19.分解因式：（1）ac－bc－a2+2ab－b2（2）1－a2－4b2+4ab解答：（1）ac－bc－a2+2ab－b2＝c(a－b)－(a2－2ab+b2)＝c(a－b)－(a－b)2＝(a－b)[c－(a－b)]＝(a－b)(c－a+b)﹒（2）1－a2－4b2+4ab＝1－(a2－4ab+4b2)＝1－(a－2b)2＝[1+(a－2b)][1－(a－2b)]＝(1+a－2b)(1－a+2b)﹒20.已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足(m+4)2－(n+4)2＝16，求代数式m2+n2－mn的值﹒解答：∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，∴m，n互为相反数，即m+n＝0①，又∵(m+4)2－(n+4)2＝16，∴(m+n+8)(m－n)＝16，8(m－n)＝16，∴m－n＝2②，联立①②得2m nm n+=⎧⎨-=⎩，解得11mn=⎧⎨=-⎩，∴m2+n2－mn＝1+1+1＝3﹒21.如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒解答：（1）观察图形知：九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，所以2a2+5ab+2b2可分解为(2a+b)(a+2b)，故答案为：(2a+b)(a+2b)﹒（2）由题意，知：2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，∴(a+b)2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，∵a+b＞0，∴a+b＝7，则6a+6b＝6(a+b)＝6×7＝42，答：图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒22.设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2？若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒解答：能，假设存在实数k，(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)＝(2x－y)(－2x－y)＝－(2x－y)(2x+y)＝－(4x2－y2)＝－4x2+y2，把y＝kx代入，原式＝－4x2+(kx)2＝－4x2+k2x2＝(k2－4)x2，∵多项式(x－y)(2x－y)－3x(2x－y)能化简5x2，∴(k2－4)x2＝5x2，∴k2－4＝5，解得k＝±3，故满足条件的k的值有3或－3﹒23.如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？解答：（1）是，∵28＝2×14＝(8－6)(8+6)＝82－62，2016＝2×1008＝(505－503)(505+503)＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；（2）是，∵(2k+2)2－(2k)2＝(2k+2+2k)(2k+2－2k)＝4(2k+1)，∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），则(2k+1)2－(2k－1)2＝(2k+1+2k－1)(2k+1－2k+1)＝4k×2＝8k，此数是8的倍数，由（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒。