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广东省汕头帀金山中学2019届咼三数学上学期期中试题 理温馨提示：先做你会做的题是得高分的必要条件。
先做难题，下次将有更大的增长空间。
一、选择题：每小题 5分，共60分，只有一项是符合题目要求的 .1 •若集合M = <x 错误的是（*** ）1 A.46.命题：p : T x 0R, x 4-x 21 ：：0 ；命题 q :：：匕，： R,sin 二一sin .:玄sin （J）,x 2 _x c 0〉, N = {y y = a x ,a>0,aH1>, R 表示实数集，则下列选项A . M N = M B. C R N M = N = R D . C R M N =R2•设复数 乙总2在复平面内对应的点关于实轴对称，若B . - 4i C1 ：卜 3iZ 1 二―一，则 Z 1 - Z 2 等于（*** ） 1-iD . - 23.设P 、M N 是单位圆上不相同的三点,且满足PM=PN ，则PM PN 的最小值是（*** ）4•某地一天6 -14时的温度变化曲线近似满足函数 y = Asin （怕x +申< 兀），则这段曲线的函数解析式可以为（***） A. y =10sin ： x —20, t 三.6,14 1184B. y =10sin x520,t〔6,141184{兀 3兀） riC. y=10sin —x —一 +20,2 蚊14」18 4丿D. y =10sinx — 20,^ 6,14 1 18 8丿则下列命题中的假命题为（*** ） B- (—p) (—q)C - (一p) (—q) D. p q3x - y - 6 乞 0 I7.设x, y 满足x - y • 2 _0 ,若函数z =ax • y(a . 0)的最大值为18，则a 的值为(*** )x _ 0, y _ 0A .3B. 5C. 7D.9&若 f (x)==2sin( x )( 门＞0 ）的图像在［0,1］上恰有3个最咼点，则-■的范围为（*** ）A r 19 兀 ,2?： )B . 9 二 13 17二 25 二、[, )C •[,,」 D .[4 二,6二）A .[4 4 2 2 4 49.图1所示，一棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD^1 ,10•已知棱长为 J3的正方体ABCD -ABQ 1D 1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 AG 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（***）2 3- D . 3.2-自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（*** ）A . a ：： -eB . a 1C . a eD . a ：： —3或 a 11112.记min'abc 』为a,b,c 中的最小值，设x, y 为任意正实数，则M = min 2x, , yI yx j的最大值为（***） A. 1'、2 B. 2 C.22 D. 3二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.13•如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P , 则点P 恰好取自阴影部分的概率为 __________________ . 14•向量a，b,c 满足：〔aF4 , |b | = 4&, b 在 a 上的投影为 4,（a P e-c ） =0,A - p (—q)AB = BC = AA =2，若此几何体的俯视图如图 2所示，则可以作为其正视图的是（***）11.已知函数 f (x) =ax eln x 与 g(x)2一x的图象有三个不同的公共点x -eln x则b c的最大值为.二，n为奇数15. 数列｛a*｝且a* =n 2n ___________ ,若S n为数列：a"的前n项和，则S2018 = .sin - , n为偶数42x _ 3 x16. 已知函数y=f(x)(x・R)满足f(x)・f(_x)=6，函数g(x) ，若曲x-1 x + 1线y = f(x)与y =g(x)图象的交点分别为(为『)、区皿)、…、(X m,y m),则mZ (Xi +yj= _____________ (结果用含有m的式子表示).i 4三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (12分)已知等差数列 g 的公差为d，且关于x的不等式ax2 - dx-3 ：：：0的解集为(-1,3),(an巧(I)求数列:a n ?的通项公式；(n)若b n =2 2•务，求数列 Z 前n项和久18. (12分)如图，在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2acosC-c = 2b .(I)求角A的大小；兀(n)若• ABC , AC边上的中线BD的6长为35，求ABC的面积.19. (10分)已知函数f (x) = x-1|+|x — 3 .(I)解不等式：f (x^l x 1 ；(n)设函数f (x)的最小值为c,实数a, b满足a 0,b 0,a ^c ,2 b2求证：- 1 .a+1 b+120. (12分)四棱锥S - ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB/ /CD , AB _ BC , AB =3 , BC =1 , CD =2 ,SAD为正三角形.(I)点M为棱AB上一点，若BC //平面SDM , AM丄■ AB，求实数'的值;(n)若BC _ SD，求二面角A - SB -C的余弦值.21. (12 分)已知圆C1:(x 3)2(^1)^4和圆Sf则b c 的最大值为.2 2C 2 ： (x -4) (y -5) = 4.(I)若直线l 过点A(4,0)且被圆C 1截得的弦长为2 3，求直线丨的方程；(n)设平面上的点 P 满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 |1和|2，它们分别与 圆C i 和圆C 2相交，且直线l i 被圆C i 截得的弦长与直线12被圆C 2截得的弦长相等，试求所 有满足条件的点 P 的坐标。
好教育云平台 名校精编卷 第1页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第2页（共6页） 2019届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试 数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．若集合 ， ，R 表示实数集，则下列选项错误的是A ．B ．C ．D ．2．设复数 ， 在复平面内对应的点关于实轴对称，若 ，则 等于A ．4iB ．C ．2D ．3．已知 、 、 是单位圆上互不相同的三个点,且满足 ，则的最小值是A ．B ．C ．D ． 4．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ） A ．, B ．, C ．, D ．, 5．函数 的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 6．命题：p ： ， ；命题q ： ， ， ，则下列命题中的假命题为 A ． ￢ B ． ￢ ￢ C ． ￢ ￢D ． 7．设x ，y 满足约束条件 若目标函数 的最大值为18，则a 的值为 A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 8．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为 A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 9．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =， 12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页） A ． B ． C ． D ． 101111ABCD A BC D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为ABC． D．11．已知函数()ln f x ax e x =+与()2ln x g x x e x =-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >12．记{}m i n ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是A．1 B ．2 C．2+ D二、填空题13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．14．向量 满足： ， ， 在 上的投影为4， ，则 的最大值是______．15．数列 且为奇数为偶数，若 为数列 的前n 项和，则 ______．16．已知函数 满足 ，函数，若曲线 与 图象的交点分别为 ， ， ， 则 ______三、解答题17．已知等差数列 的公差为d ，且关于x 的不等式 的解集为 ，Ⅰ 求数列 的通项公式；Ⅱ 若 ，求数列 前n 项和 ． 18．如图，在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积． 19．已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）设函数 的最小值为c ，实数a ，b 满足 ，求证： ． 20．四棱锥 的底面ABCD 为直角梯形， ， ， ， 为正三角形． Ⅰ 点M 为棱AB 上一点，若 平面SDM ， ，求实数 的值； Ⅱ 若 ，求二面角 的余弦值． 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．22．已知函数，，在处的切线方程为（1）若，证明：；（2）若方程有两个实数根，，且，证明：好教育云平台名校精编卷第5页（共6页）好教育云平台名校精编卷第6页（共6页）2019届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】先化简M，N，再根据集合的运算和集合的之间的关系即可求出.【详解】集合，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查集合的运算及包含关系的判断及应用，属于基础题．2．D【解析】【分析】利用复数的运算法则可得：，再利用几何意义可得．【详解】，复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．B【解析】试题分析：解：根据题意，不妨设点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,其中则所以=所以当时，有最小值考点：1、单位圆与三角函数的定义；2、向量的数量积；3、一元二次函数的最值问题.4．A【解析】由于()2214616,8ππωω=-==，()13010102A=-=，20b=，10sin208y xπφ⎛⎫=++⎪⎝⎭，过点()14,30有：3010sin14208πφ⎛⎫=⨯++⎪⎝⎭，7sin14πφ⎛⎫+=⎪⎝⎭，7242kππφπ+=+，52,4k k Zπφπ=-∈，取31,4kπφ==，得310sin2084y xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭符合题意，选A.5．D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和代入特殊点即可选出答案．【详解】函数，可得，可知是偶函数，排除A；，当时，即时，有两个零点，时，可得；排除B；当或时，可得，图象逐渐走低；故选：D．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性及图象变换，属于中档题．6．D【解析】【分析】利用配方法求得说明p为假命题，举例说明q为假命题，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】好教育云平台名校精编卷答案第1页（共14页）好教育云平台名校精编卷答案第2页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第3页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共14页） ， 命题p 为假命题；， ， 不正确，比如 ， ，，而 ，故命题q 为假命题，则 ￢ 为真命题； ￢ ￢ 为真命题； ￢ ￢ 为真命题； 为假命题． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判断与应用，考查利用配方法求函数的最值，考查三角函数值的大小判断，属于中档题．7．A【解析】【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值，求出a 的值．【详解】画出约束条件的可行域，如图：目标函数 最大值为18，即目标函数在 的交点 处，目标函数z 最大值为18，所以 ，所以 ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了线性规划问题，作出可行域是解题的关键，属于中档题.8．C【解析】因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，所以172541624244ππππππωπω+≤⨯+<+⇒≤< ， ω的取值范围为1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象、三角函数的周期性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解． 9．C 【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B ，D ，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A ，所以正确答案为C. 点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线. 10．D 【解析】 如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切， 且切点分别在线段11,,AB AC AD 上，设线段1AB 上的切点为E ， 1AC ⋂面12A BD O =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为1O E 记为r，则211332O F DF ===， 21113AO AC ==，由12//O E O F1111AO AO E =⇒=，则圆柱的高为1323AO -=-，好教育云平台 名校精编卷答案 第5页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第6页（共14页）()24232r r S r r r π⎛⎫+- ⎪⎫ ⎪=-=≤⋅==⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭侧应选答案D 。
汕头市金山中学2020届高三第一学期期中考试数 学（理科）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则等于（ ）A. B. C.D.2．已知复数12z i =+，且复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则12z z =( ) A ．1i +B ．3455i + C ．3455i - D ．413i +3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 4．已知函数2()cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称5．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 6．如果'()f x 是二次函数，且'()f x的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A ．(0,]3πB ．[,)32ππC ．2(,]23ππD ．[,)3ππ7．已知()()sin (0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈在一个周期内的图像如图所示，则()y f x =的图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（ ）得到．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12π单位 8．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A.与的定义域都是B.为奇函数，为偶函数C.的值域为，的值域为 D.与都不是周期函数9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（ ）A ．2BC ．D ．410．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x是的极值点11．已知函数()()f x x ∈R 满足，若函数与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()mi i i x y =+=∑ （ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 12．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论：（1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点 （2）若1a >，则()0f x < （3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<-其中正确结论的个数是（）A.3B.2C.1D.0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一个扇形的周长为，则当该扇形的半径__________时，面积最大.14．如图，在直角三角形ABC 中，2AB =，60B ∠=，AD BC ⊥，垂 足为D ，则 AB AD ⋅的值为_____ 15．已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．16．下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若sin2sin2A B =，则ABC ∆是等腰三角形；③若()0AB AC BC +⋅=，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是_______三、解答题（共70分。
汕头市金山中学2021-2021学年度第一学期高三期中考试理科数学 试题卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，总分值150分，时刻120分钟.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设集合}021|{≤-+=x x x M ，}212|{>=x x N ，那么MN =（ ）A ．),1(+∞-B ．)2,1[-C ．)2,1(-D ．]2,1[- 2．已知,αβ角的终边均在第一象限，那么“αβ>”是“sin sin αβ>”的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数周期为π，其图像的一条对称轴是3x π=，那么此函数的解析式能够是（ ）A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4．设a 、b 都是非零向量,以下四个条件中,必然能使0||||a ba b +=成立的是（ ） A ．2a b = B ．//a b C ． 13a b =- D ．a b ⊥5．方程()()2ln 10,0x x x+-=>的根存在的大致区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,e D ．()3,4 6．已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=，那么b =（ ）A B ．2 C ． D ．7．已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，假设方程()()f x g x =有两个不相等的实根，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,+∞ 8．设向量),(21a a a =，),(21b b b =，概念一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=m ，)0,6(π=n ，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且知足n OP m OQ +⊗=（其中O 为坐标原点），那么()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是（ ） A ．2 B ．22 C ．23 D ． 4第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共７小题，作答６小题，每题5分，共30分.) （一）必做题（9～13题） 9．函数21()log 1f x x =-的概念域为 。
广东省汕头市金山中学2020届高三上学期期中考试数学试卷（理）——★参*考*答*案★——1-12 DBBAC BBCAB CA 13．2 14．3 15． 16．①③17．解：（1）由题意，因为()cos cos cos 0A B C C +=， 又由A B C π++=,则cos cos[()]cos()A B C B C π=-+=-+，所以()()cos cos cos B C C B C =+cos cos sin sin B C B C =-,可得sin sin cos B C C B =，因为(0,)C π∈，则sin 0C ≠，所以sin B B =，即tan B =B 为锐角，可得3B π=.（2）由正弦定理sin sin sin a c b A C B ===,a A b B ==，所以)sin sin 3a c A C +=+=2sin sin 33A A π⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为20,,0,,,2233A C B A C ππππ⎛⎫⎛⎫∈∈==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 可得sin 6A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎤⎥⎝⎦，所以2sin 26a c A π⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭．故a c +的取值范围2⎤⎦．18．解：（1）因为22211()222n k S n kn n k =-+=--+，又因为k N +∈，所以当n k=时，()2max82n k k S S ===，解得4k =，这时2142n S n n =-+；所以2111714122a S ==-⨯+⨯=，当2n ≥时，192n n n a S S n -=-=-+，又1172a S ==也适合这个公式，所以92n a n =-+.（2）设19222n n n n a n b --==，则1221231222n n n nT b b b -=+++=++++，…①所以23112322222n n nT =++++…② ①-②得2311111122122222222222n n n n n n n n n T -+=+++++-=--=-，所以1242n n n T -+=-<4.19．解：()I 连接,AE AF ，在△ABC 中，12AB ·AC ·sin 120∘=12BC ·AE ，故1AE =.由于三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，故1AA ⊥平面1ABC AA AE ⇒⊥， 直角三角形1A AE 中，因为1AA =1AE =， 所以12A E =，所以12EF =， 又因1A EAE AFE EF AE=⇒∠为直角，即1A E AF ⊥. 再由E 为BC 中点并且△ABC 为等腰三角形可知AE BC ⊥，结合1AA BC ⊥，1AA AE A ⋂=得BC ⊥平面1A AE ，BC AF ⇒⊥. 综合1A E AF ⊥，BC AF ⊥，1BCA E E ⋂=，得到AF ⊥平面1ABC .()II 由于AE BC ⊥，如图以点E 为坐标原点建立空间直角坐标系，3tan60AEBE ==()B ，(1A ，()0,0,0E，(1B ，()EB =-,(EA =,(1EB =-设面1BA E 法向量为()1111,,n x y z =， 面11B A E 法向量为()2222,,n x y z =，111111300030x n EB n EA y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪+=⎪⎩⎩，取11z =，得()10,n =， 222121220000n EB n EA y ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪=⎪⎩⎩，取21z =，得()21,n =， 则二面角11B A E B --的余弦值1212cos 45n n n n θ⋅===⋅⋅.20．解：（1）由题知，PA =点P 到直线1y =-的距离， 故P 点的轨迹是以A 为焦点、1y =-为准线的抛物线， 所以其方程为24x y =；（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为()0,r .此时0MR NR MRQ NRQ k k ∠=∠⇔+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12120y r y rx x --+=， 由题知直线l 的斜率存在，设其方程为2y kx =+，与24x y =联立得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，1212121222y r y r kx r kx r x x x x --+-+-+=+()()()1212222202r x x k r k k x x -+-=+=-=， 故2r =-，即存在满足条件的定点()0,2R -.21．解：（Ⅰ）函数()ln f x e x ax =-的定义域为()0,∞+， 且()e e axf x a x x-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，()00e f x x a '>⇒<<，()0ef x x a'<⇒>， ∴()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）()()12f x f x =，由（1）知12ex x a<<，又211x x -≥，[]12,1,3x x ∈，所以12123x x ≤≤≤≤， ∴()()()()()()122123f f x f f f x f ⎧≥≥⎪⎨≥≥⎪⎩，即ln 22ln 22ln 33e a a e a e a -≥-⎧⎨-≥-⎩，所以3lnln 22e a e ≤≤． （Ⅲ）设()()()()21ln 02F x g x f x x e x x =-=->， 则()(2x x e x e F x x x x x--'=-==则当0x <<()0F x '<，函数()F x 单调递减；当x >()0F x '>，函数()F x 单调递增．∴x =()F x 的极小值点，也是最小值点，∴()min 0F x F ==．∴函数()f x 与()g x的图象在x =12e ．设()f x 与()g x 存在“分界线”且方程为(12y e k x -+=， 令函数()12u x kx e =+-①由()()g x u x ≥，得21122x x kx e -≥+-x ∈R 上恒成立，即()22220x k x e -+-+≥在x ∈R 上恒成立，∴()(241420k e ∆=+--+≤，即()2410k ≤，∴1k =，故())112u x x e =-．②下面说明：()()f x u x ≤，即)()1ln 102e x x x e x -≤->恒成立．设()1ln 2V x e x e =+，则()e V x x '==∵当0x <<()0V x '>，函数()V x 单调递增，当x >()0V x '<，函数()V x 单调递减，∴当x =()V x 取得最大值0，()()0V x V x V≤==．∴()1ln 02e x e x ≤->成立．综合①②知())112g x x e ≥-，且())112f x x e ≤-，故函数()f x 与()g x 存在“分界线”)112y x e =-，此时1k =，12b e =-．22. 解：（1）由ρ2=43+cos2θ，得3ρ2+ρ2（cos 2θ﹣sin 2θ）＝4，∴3x 2+3y 2+x 2﹣y 2＝4， 即x 2+y 22=1．∴曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为（0，±1）， 则焦点的极坐标为（1，π2），（1，3π2）；（2）将直线l 的参数方程{x =tcosαy =1+tsinα（其中t 为参数，0≤α＜π2）代入x 2+y 22=1， 得t 2cos 2α+(1+tsinα)22=1，整理得：（sin 2α+2cos 2α）t 2+2t sinα﹣1＝0．∵t 1t 2=−1sin 2α+2cos 2α＜0，∴t 1与t 2异号，则|F A |•|FB |＝﹣t 1t 2=1sin 2α+2cos 2α=34，即cos 2α=13，cosα=±√33．∴sinα=√63， ∵0≤α＜π2，∴tanα=√2．即直线l 的斜率为√2．23.（1）解：∵f （x ）＝k ﹣|x ﹣2|，∴f （x +2）≥0等价于|x |≤k ， 由|x |≤k 有解，得k ≥0且其解集为{x |﹣k ≤x ≤k }， 又f （x +2）≥0的解集为『﹣1，1』，故k ＝1； （2）证明：由（1）知1a +12b+13c=1，又a ，b ，c 是正实数，由基本不等式，得a +2b +3c =(a +2b +3c)(1a+12b+13c)=3+a 2b +a 3c +2b a+2b 3c +3c a+3c2b≥3+2√a2b ⋅2b a+2√a3c ⋅3c a+2√2b3c ⋅3c2b＝3+2+2+2＝9，当且仅当a =3，b =32，c =1时取等号． ∴19a +29b +39c ≥1．高中数学月考试题11。
广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若集合M ={x|x 2−x <0}，N ={y|y =a x (a >0,a ≠1)}，R 表示实数集，则下列选项错误的是（ ）A ．M ∩N =MB ．M ∪N =RC ．M ∩C R N =ϕD ．∁R M ∪N =R 2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若z 1=1+3i 1−i，则z 1+z 2等于（ ）A ．4iB ．−4iC ．2D ．−23．已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是（ ）A ．−14B ．−12C ．−34D ．−14．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）A ．,B ．,C ．,D ．,5．函数f(x)=x 2−2e |x|的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．命题：p ：∃x 0∈R ，x 4−x 2+1<0；命题q ：∀α，β∈R ，sinα−sinβ≤sin(α−β)，则下列命题中的假命题为（ ）A ．p ∨(￢q)B ．(￢p)∨(￢q)C ．(￢p)∧(￢q)D ．p ∧q7．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 若目标函数z =ax +y(a >0)的最大值为18，则a 的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9 8．（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）A B C D ．[)4,6ππ 9．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =， 12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．10的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）A B C D 11．已知函数()ln f x ax e x =+与,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为（ ）A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >12．记{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，的最大值是（ ）A B ．2 C D 二、填空题13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．14．向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足：|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=4√2，b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为4，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，则b ⃗ ⋅c ⃗ 的最大值是______．15．数列{a n }且a n ={1n +2n,n 为奇数sinnπ4,n 为偶数，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018=______．16．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)+f(−x)=6，函数g(x)=2x−3x−1+xx+1，若曲线y =f(x)与y =g(x)图象的交点分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x m ,y m ).则∑(m i=1x i +y i )=______ 三、解答题17．已知等差数列{a n}的公差为d，且关于x的不等式a1x2−dx−3<0的解集为(−1,3)，(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=2(a n+12)+a n，求数列{b n}前n项和S n．18．如图，在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2acosC−c=2b．（1）求角A的大小；，AC边上的中线BD的长为√35，求∆ABC的面积．（2）若∠ABC=π619．已知函数f(x)=|x −1|+|x −3|． （1）解不等式f(x)≤x +1；（2）设函数f(x)的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0,b >0,a +b =c ，求证：a 2a+1+b 2b+1≥1．20．四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥BC ，AB =2BC =2CD =2，△SAD 为正三角形．(Ⅰ)点M 为棱AB 上一点，若BC//平面SDM ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (Ⅱ)若BC ⊥SD ，求二面角A −SB −C 的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．22．已知函数f(x)=(x+b)(e x−a)，(b>0)，在(−1,f(−1))处的切线方程为(e−1)x+ ey+e−1=0.（1）若n≤0，证明：f(x)≥nx2+x；..（2）若方程f(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2−x1≤1+m(1−2e)1−e【参考答案】1．B【解析】∵集合M ={x|x 2−x <0}=(0,1)，N ={y|y =a x (a >0,a ≠1)}=(0，+∞)， ∴M ∩N =M ，M ∪N =(0,+∞)，∁R N =(−∞,0]，∁R M =(−∞,0]∪[1,+∞)， ∴ M ∩C R N =ϕ，∁R M ∪N =R 故选：B ． 2．D 【解析】z 1=1+3i 1−i=(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i 2=−1+2i ，∵复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，∴z 2=−1−2i ，则z 1+z 2=−2． 故选：D ． 3．B【解析】根据题意，不妨设点P 的坐标为(1,0),点M 的坐标为(cosθ,sinθ),点N 的坐标为,其中0<θ<π则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,sinθ),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,−sinθ) 所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,sinθ)⋅(cosθ−1,−sinθ)=(cosθ−1)2−sin 2θ =cos 2θ−2cosθ+1−sin 2θ=2cos 2θ−2cosθ=2(cosθ−12)2−12所以当cosθ=12时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−124．A20b =，，过点()14,30有：A. 5．D【解析】函数f(x)=x 2−2e |x|，可得f(−x)=f(x)，可知f(x)是偶函数，排除A ；e |x|>0，当x 2−2=0时，即x =±√2时，f(x)有两个零点，x =0时，可得f(0)=−2.；排除B ；当x >√2或x <−√2时，可得e |x|>x 2−2，图象逐渐走低； 故选：D ． 6．D【解析】∵x 4−x 2+1=(x 2−12)2+34>0，∴命题p 为假命题；∀α，β∈R ，sin(α−β)=sin α−sin β不正确，比如α=90∘，β=−90∘， sinα−sinβ=2，而sin(α−β)=0，故命题q 为假命题，则p ∨(￢q)为真命题；(￢p)∨(￢q)为真命题；(￢p)∧(￢q)为真命题；p ∧q 为假命题． 故选：D ． 7．A【解析】画出约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0的可行域，如图：目标函数z =ax +y(a >0)最大值为18，即目标函数z =ax +y(a >0) 在{x −y +2=03x−y−6=0的交点M(4,6)处，目标函数z 最大值为18， 所以4a +6=18，所以a =3．故选：A ． 8．C【解析】（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，， ω的取值范围为故选C.9．C【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B ，D ，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A ，所以正确答案为C.点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线. 10．D【解析】如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在线段11,,AB AC AD 上，设线段1AB 上的切点为E ， 1AC ⋂面12A BD O =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为1O E 记为r ，则 ，由12//O E O F 知应选答案D。
2019届广东省汕头市金山中学 高三上学期期中考试 数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．若集合M ={x|x 2−x <0}，N ={y|y =a x(a >0,a ≠1)}，R 表示实数集，则下列选项错误的是A ．M ∩N =MB ．M ∪N =RC ．M ∩C R N =ϕD ．∁R M ∪N =R 2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若z 1=1+3i1−i，则z 1+z 2等于 A ．4i B ．−4i C ．2 D ．−23．已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是A ．−14 B ．−12 C ．−34 D ．−14．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）A ．,B ．,C ．,D ．,5．函数f(x)=x 2−2e |x|的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．命题：p ：∃x 0∈R ，x 4−x 2+1<0；命题q ：∀α，β∈R ，sinα−sinβ≤sin(α−β)，则下列命题中的假命题为A ．p ∨(￢q)B ．(￢p)∨(￢q)C ．(￢p)∧(￢q)D ．p ∧q7．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 若目标函数z =ax +y(a >0)的最大值为18，则a 的值为A ．3B ．5C ．7D ．9 8．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 9．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =， 12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．101111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为A．8 B．4C． D． 11．已知函数()ln f x ax e x =+与()2ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >12．记{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是A．1 B ．2 C．2+ D二、填空题13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．14．向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足：|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=4√2，b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为4，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，则b ⃗ ⋅c ⃗ 的最大值是______．15．数列{a n }且a n ={1n 2+2n,n 为奇数sinnπ4,n 为偶数，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018=______．16．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)+f(−x)=6，函数g(x)=2x−3x−1+xx+1，若曲线y =f(x)与y =g(x)图象的交点分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x m ,y m ).则∑(m i=1x i +y i )=______三、解答题17．已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3)， (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =2(a n +12)+a n ，求数列{b n }前n 项和S n ．18．如图，在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且2acosC −c =2b ．（1）求角A 的大小；（2）若∠ABC =π6，AC 边上的中线BD 的长为√35，求∆ABC 的面积． 19．已知函数f(x)=|x −1|+|x −3|． （1）解不等式f(x)≤x +1；（2）设函数f(x)的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0,b >0,a +b =c ，求证：a 2a+1+b 2b+1≥1．20．四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥BC ，AB =2BC =2CD =2，△SAD 为正三角形．(Ⅰ)点M 为棱AB 上一点，若BC//平面SDM ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (Ⅱ)若BC ⊥SD ，求二面角A −SB −C 的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．22．已知函数f(x)=(x+b)(e x−a)，(b>0)，在(−1,f(−1))处的切线方程为(e−1)x+ ey+e−1=0.（1）若n≤0，证明：f(x)≥nx2+x；（2）若方程f(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2−x1≤1+m(1−2e)1−e ..。
广东省汕头市金山中学2022届高三上学期期中考试数学（理）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：（本大题共8个小题；每小题5分，共40分）21、若集合A某某1,某R，Byy2某,某R，则AB（）A．某1某1B．某某0C．某0某1D．2、下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若某=1,则某=1”的否命题为若“某=1,则某1”B．“某=-1”是“某-5某-6=0”的必要不充分条件22C．命题“某R,使得某+某+10”的否定是：“某R均有某+某+10”222D．命题“若某=y,则in某=iny”的逆否命题为真命题3、已知函数yf(某)的图像关于某1对称，且在（1，+∞）上单调递增，设af()，bf(2)，12cf(3)，则a，b，c，的大小关系为（）A.cbaB.bacC.bcaD.abc4、为了得到函数yin(2某A.向左平移2)的图像，只需把函数yin(2某)的图像（）36个单位长度B.向右平移个单位长度22C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度44110，(,)，则in(2)的值为（）5、若tantan3424223272A.B.C.D.10101010某(某0)6、已知f(某)2，则f[f(某)]1的解集是()某2(某0)A.(,2]B.[42,)C.(,1][42,)D.(,2][4,)某7、若a1，设函数f(某)a某4的零点为m，g(某)loga某某4的零点为n，12、规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即a某b=abab,a,b是正实数，已知1k=3,则函数f(某)k某的值域是13、设曲线y某n1(nN某)在点（1，1）处的切线与某轴的交点的横坐标为某n,令anlg某n，则a1a2a99的值为14、已知函数f(某)4（a,b为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a,b)1的定义域是[a,b]某2共有___________个.三、解答题：（本大题共6小题，满分80分）15、（本小题满分12分）已知AB(6,1),BC(某,y),CD(2,3)，(1)若BC//DA，求某与y之间的关系式；(2)在(1)的前提下，若ACBD，求向量BC的模的大小。
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出嘚四个选项中，只有一项是符合题目要求嘚.)1．o 660sin 等于（ ）A ．23 B ．21 C ．21- D ．23- 2．设R x ∈, 那么“0<x ”是“3≠x ”嘚（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 夹角为（ ） A ．4π B ．6πC ．3πD ．23π4．已知函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><≤ ⎪⎝⎭，且此函数嘚图象如图所示，则点(),ωϕ嘚坐标是（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,2π⎛⎫⎪⎝⎭5．函数1ln --=x e y x嘚图象大致是（ ）6．已知,x y 满足线性约束条件1020410x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，若(,2)x =-a ，(1,)y =b ，则z =⋅a b 嘚最大值是（ ）A. 1-B. 5C. 52- D. 77．若函数()f x 嘚零点与函数()422x g x x =+-嘚零点之差嘚绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A. ()1x f x e =-B. ()1ln 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()41f x x =-D. ()2(1)f x x =- 8．对于下列命题：①在△ABC 中，若sin2sin2A B =，则△ABC 为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC 嘚三边长，若2a =，5b =，6A π=，则△ABC 有两组解；③设2012sin3a π=，2012cos 3b π=，2012tan 3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，得到函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象。
广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]2．（5分）已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（ 5分）函数周期为π，其图象的一条对称轴是x=，则此函数的解析式可以为（）A．y=sin（+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x﹣）4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥5．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）6．（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．3B．2C．D．17．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）8．（5分）设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1，a2）⊗（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知向量=（，4），=（，0），点P在y=cosx的图象上运动，点Q在y=f （x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）在区间[，]上的最大值是（）A．4 B．2 C．D．二、填空题：（本大题共5小题，作答6小题，每小题5分，共30分.）必做题（9～13题）9．（5分）函数y=的定义域为．10．（5分）图中阴影部分的面积等于．11．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，12．则的值是．13．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．二.选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则∠PAB=．（坐标系与参数方程选做题）15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M 到曲线C上的点的距离的最小值．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+ϕ0 π2πAsin（ωx+ϕ）0 0 ﹣0（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g （x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t≥，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f（u+t）的最值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n+4，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令b n=，T n=b121+b222+b323+…+b n2n，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令c n=1﹣（n为正整数），求数列{c n}的变号数．20．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．21．（14分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]考点：指数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意，可先化简两个集合，得，，再由交集的运算求出交集，即可选出正确答案．解答：解：由题意，，∴M∩N={x|﹣1≤x＜2}∩{x|x＞﹣1}=（﹣1，2），故选C．点评：本题考查求集合的交，解分式不等式，指数不等式，解题的关键是正确化简两个集合及理解交的运算．2．（5分）已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：取特值验证可得α＞β不是sinα＞sinβ的充分条件；α＞β不是sinα＞sinβ的必要条件，所以α＞β是sinα＞sinβ的即不充分也不必要条件．解答：解：由题意得当α=390°，β=60°时有sinα＜sinβ所以α＞β不是sinα＞sinβ的充分条件．当sinα=，sinβ=时因为α，β角的终边均在第一象限所以不妨取α=60°，β=390°所以α＞β不是sinα＞sinβ的必要条件．因此α＞β是sinα＞sinβ的即不充分也不必要条件．故选D．点评：本题以判断是否是充要条件作为考查工具考查三角函数的知识点，由于本题是选择题因此可以利用特值的方法判断．特值法是做选择题时一种快速灵活简便的方法．3．（5分）函数周期为π，其图象的一条对称轴是x=，则此函数的解析式可以为（）A．y=sin（+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：通过函数的周期排除A，利用图象的一条对称轴是x=，验证函数是否取得最值得到选项即可．解答：解：∵函数的周期为π，∴ω=2，A不正确；函数的图象的一条对称轴是x=，∴2x﹣=，y=sin（2x﹣）取得最大值，故选：D．点评：本题考查三角函数的基本性质的应用，基本知识的考查．4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．解答：解：由+=得若=﹣=，即，则向量、共线且方向相反，因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立，对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反，C项中向量向量、的方向相同，D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A点评：本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于基础题．5．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：令f（x）=ln（x+1）﹣，得出f（1）f（2）＜0，从而得出答案．解答：解：令f（x）=ln（x+1）﹣，而f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（1，2），故选：B．点评：他考查了函数的零点问题，特殊值代入是方法之一，本题属于基础题．6．（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．3B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．解答：解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍），故选A．点评：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．7．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g （x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．（5分）设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1，a2）⊗（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知向量=（，4），=（，0），点P在y=cosx的图象上运动，点Q在y=f （x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）在区间[，]上的最大值是（）A．4 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设=（x0，y0），=（x，y），由题意可得y0=cosx0，再把=（x，y）=+，化简为（，4y0），可得x0=2x﹣，y0=y．故有y=4cos（2x﹣），再根据余弦函数的定i义域和值域求得y=f（x）在区间[，]上的最大值．解答：解：设=（x0，y0），=（x，y），由题意可得y0=cosx0，=（x，y）=+=+（，0）=（，4y0）+（，0）=（，4y0），即 x=，y=4y0；即x0=2x﹣，y0=y．∴y=cos（2x﹣），y=4cos（2x﹣）．∵点Q在y=f（x）的图象上运动，∴f（x）=4cos（2x﹣）．当时，，∴当时，f（x）取得最大值为4，故选：A．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，作答6小题，每小题5分，共30分.）必做题（9～13题）9．（5分）函数y=的定义域为（2，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数f（x）有意义，则log2x﹣1＞0，即log2x＞1，解得x＞2，故函数的定义域为{x|x＞2}，故答案为：{x|x＞2}或（2，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．10．（5分）图中阴影部分的面积等于1．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据题意，所求面积为函数3x2在区间[0，1]上的定积分值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：1点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．11．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h （x）=log a x在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1），代入解不等式可求a的范围解答：解：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h（x）=log a x在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1）∴∴故答案为：点评：本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键主要应用一次函数与对数函数的单调性，要注意在端点值1处的处理．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，12．则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．13．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是[15，+∞）．考点：不等式；函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：由于表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，故函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故有 f′（x）=﹣2x＞1 在（1，2）内恒成立，即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立，由此求得a的取值范围．解答：解：由于表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，因实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．∵不等式恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=﹣2x＞1 在（1，2）内恒成立．即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故 x=2时，y=2x2+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，故答案为[15，+∞）．点评：本题考查斜率公式的应用，函数的恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值．二.选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则∠PAB=30°．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题；立体几何．分析：连接OA，则OA⊥PA，利用切割线定理，求出PO，OA，即可求出∠PAB．解答：解：连接OA，则OA⊥PA．∵PA是圆O的切线，∴PA2=PB•PC，∵PA=，PB=1，∴PC=3，∴PO=2，OA=1，∴sin∠PAB=，∴∠PAB=30°．故答案为：30°．点评：本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．（坐标系与参数方程选做题）15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M 到曲线C上的点的距离的最小值5﹣．考点：简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．专题：计算题．分析：利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM 的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|﹣r即可求出最小值．解答：解：由曲线C的参数方程（α为参数），化成普通方程为：（x﹣1）2+y2=2，圆心为A（1，0），半径为r=，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|．故答案为：5﹣．点评：充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点M到曲线（圆）C上的点的距离的最小值为|MA|﹣r是解题的关键．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+ϕ0 π2πAsin（ωx+ϕ）0 0 ﹣0（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g （x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得ω、φ的值，得到函数解析式，进一步求得x1、x2、x3；（Ⅱ）由函数图象平移求得，求出最高点和最低点的坐标，进一步求出三角形OPQ的边长，由余弦定理求得∠OQP的大小．解答：解：（Ⅰ）由表可知，+φ=，+φ=，解得，ω=，φ=．由x1+=0、x2+=π、x3+=2π，得，，．∴；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数，∵P、Q分别为该图象的最高点和最低点，∴．∴OP=2，PQ=4，，∴．∴．点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，考查了余弦定理的应用，训练了五点作图法，是中档题．17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．考点：余弦定理；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为1，可得出函数f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得出此时x的范围，即可确定出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）由f（B+C）=，将B+C代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式化简后得到cos（2A ﹣）的值，由A为三角形的内角，得出2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出cosA的值，再利用余弦定理表示出a2=b2+c2﹣2bccosC，利用完全平方公式化简后，将b+c及cosC的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，（3分）∵﹣1≤cos（2x+）≤1，即cos（2x+）最大值为1，∴f（x）的最大值为2，（4分）要使f（x）取最大值，cos（2x+）=1，即2x+=2kπ（k∈Z），解得：x=kπ﹣（k∈Z），则x的集合为{x|x=kπ﹣（k∈Z）}；（6分）（Ⅱ）由题意，f（B+C）=cos[2（B+C）+]+1=，即cos（2π﹣2A+）=，化简得：cos（2A﹣）=，（8分）∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），则有2A﹣=，即A=，（10分）在△ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，∴a2≥4﹣3=1，则a取最小值1．（14分）点评：此题考查了余弦定理，三角函数的化简求值，余弦函数的图象与性质，基本不等式，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t≥，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f（u+t）的最值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）分别求出f（x）、g（x﹣1）的导数，由l1与l2平行，得它们的斜率相等，即有切线的斜率相等，得到a的方程，解出a，即可得到f（2）；（2）u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，则u在[1，e]单调递增，即可得到取值范围；又化简y=f（u+t）=u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，考虑与区间的关系抛，由t有u=≤0，即函数在[0，e]上单调递增，即可得到最值．解答：解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=，由题意可得l1，l2的斜率相等，即，则a=1，∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2；（2）u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，则u的取值范围是：0≤u≤e；又y=f（u+t）=u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，由t有u=≤0，即函数在[0，e]上单调递增；y min=y|u=0=t2﹣t，，综上：当t时，；．点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查运用导数判断单调性，以及应用单调性求最值，同时考查两直线的位置关系以及运算能力，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n+4，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令b n=，T n=b121+b222+b323+…+b n2n，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令c n=1﹣（n为正整数），求数列{c n}的变号数．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用a n与s n的关系求通项公式；（2）由题意得b n=n，，利用错位相减法求和；（3）根据变好数的定义，列出不等式求解即可．解答：解：（1）∵，∴S1=1…（1分）又当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣5…（3分）所以…（4分）（2）∵，∴b n=n，…（5分）…（6分），∴…（9分）（3）解法一：由题设…（10分）∵n≥3时，，∴n≥3时，数列{c n}递增…（12分）∵，由，可知a4•a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；又∵c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处变号数有2个．…（13分）综上，数列{c n}共有3个变号数，即变号数为3．…（14分）解法二：由题设…（10分）n≥2时，令；又∵c1=﹣3，c2=5，∴n=1时也有c1•c2＜0．…（13分）综上得：数列{c n}共有3个变号数，即变号数为3．…（14分）点评：本题主要考查求数列的通项公式、前n项和知识，考查公式法及错位相减法的运用能力和学生的运算求解能力，综合性强，属于难题．20．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．考点：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（I）根据可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程；（II）先表示出然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；（III）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦，设点Q（﹣1，t），根据QS2=QM2﹣4=t2+5，求出直线ST的方程，使直线与t无关，可求出定点坐标．解答：解：（Ⅰ）因为，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x（2分）设⊙M的半径为r，则，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4（5分）（Ⅱ）设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2（8分）所以当x=0时，有最小值为2（10分）（Ⅲ）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦（11分）设点Q（﹣1，t），则QS2=QM2﹣4=t2+5，所以⊙Q的方程为（x+1）2+（y﹣t）2=t2+5（13分）从而直线ST的方程为3x﹣ty﹣2=0（*）（14分）因为一定是方程（*）的解，所以直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为（16分）点评：本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值和直线恒过定点问题，是一道综合题，有一定的难度．21．（14分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）讨论a=0，a＞0，a＜0，运用对数函数的性质，以及分离参数，构造函数应用导数求极值、最值，即可得到a的范围；（3）设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，计算g（1），g （e），讨论当a＞e（e﹣1）2或时，由零点存在定理，即可得证；当时，求出g（x）的最小值，判断它小于0，再由零点存在定理，即可得证．解答：（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0时，f（x）=x2，因为x＞0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），从而“∀x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，设，g′（x）=+，x （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗则g（x）≥g（1）=﹣1，从而，﹣1＜a＜0；综上所述，常数a的取值范围﹣1＜a≤0．（3）证明：直接计算知，设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，当a＞e（e﹣1）2或时，＜0，因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；当时，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以g（x）有最小值，且，此时存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0．综上所述，∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，同时考查函数的零点存在定理，以及分类讨论的思想方法，属于综合题．。
