广东省深圳市高级中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科)

高级中学2014-2015学年第一学期期中测试高二数学〔文科〕本试卷分为第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部，第1卷为1-10题，共50分，第2卷为11-20题，共100分，总分为150分．考试用时120分钟．第1卷 (选择题共50分)一．选择题：〔本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. 命题p ：3是奇数，q ：5是偶数，如此如下说法中正确的答案是( ) A ．p 或q 为真 B ．p 且q 为真 C ．非p 为真 D ．非q 为假2. “02=-x x 〞是“1=x 〞的( )A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆心在直线270x y --=上，且与y 轴交于点(0,4)A -,(0,2)B -的圆的标准方程为 〔 〕A. 22(3)(2)5x y -+-= B. 22(2)(3)5x y +++= C. 22(2)(3)5x y -++= D. 22(2)(3)5x y -+-=4. 假设直线0x y a ++=与圆22()2x a y -+=相切，如此a =〔 〕 A ．1 B ．－1 CD ．1或－15. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为23，如此双曲线的渐近线方程为〔〕A. y =B. 2y x =±C. 2y x =±D. 12y x =±6. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，如此函数)(x f 在开区间),(b a 内有极大值点〔 〕A. 1个B. 2个C.3个D.4个7. 过点P 〔－1，4〕作圆0126422=+--+y x y x 的切线，如此切线长为〔 〕 A ．3B ．5C ．10D ．58. 与直线430x y -+=平行的抛物线22y x =的切线方程是( ) A ．410x y -+= B.410x y --= C ．420x y --=D.420x y -+=9. O 为坐标原点，F 为抛物线C :2y =的焦点，P 为C 上一点，假设|PF |＝42，如此△POF 的面积为( ) A. 2 B. 22C. 2 3 D. 4 10. ()x f x x e =⋅，方程()()()210f x tf x t R ++=∈有四个实数根，如此t 的取值范围为〔 〕A. 21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B. 21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ C. 21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ D. 212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭第2卷 (非选择题共100分)二．填空题：〔本大题共4小题，每一小题5分，总分为20分〕 11. x x x f cos ln )(+=，如此'()2f π=.12. 2,10x R x ax ∃∈-+≤为假命题，如此实数a 的取值范围为. 13. 假设椭圆2215x y m+=的离心率为105，如此实数m 的值为.14.设F 1,F 2是双曲线C: 22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点，假设在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，如此双曲线C 的离心率为.三．解答题：〔本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 15. 〔本小题总分为12分〕函数()sin(),(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π.〔1〕求ω和()12f π的值；〔2〕求函数()f x 的最大值与相应x 的集合.16. 〔本小题总分为12分〕设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B.〔1〕求弦AB 的垂直平分线方程； 〔2〕求弦AB 的长.17. 〔本小题总分为14分〕设函数x e x x f 221)(=. 〔1〕求函数)(x f 的单调区间；〔2〕假设当]2,2[-∈x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围.18．〔本小题总分为14分〕设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，椭圆C 上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4. 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设点P 是椭圆C 上的动点，1(0,)2Q ，求PQ 的最大值.19. 〔本小题总分为14分〕如下列图，抛物线E 关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.〔1〕求抛物线E 的标准方程与其准线方程；〔2〕当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值与 直线AB 的斜率．20. 〔本小题总分为14分〕函数()axf x a x =++21，()ln g x a x x =-〔a >0〕. 〔1〕当a =1时，求函数()f x 的极值；〔2〕求证：对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <成立.高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学〔文科〕答题卷一、选择题〔每题5分，10题共50分〕二、填空题〔每题5分，4题共20分〕 11. 12. 13. 14.三、解答题：(本大题6小题，总分为80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. 〔本小题总分为12分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案16. 〔本小题总分为12分〕17. 〔本小题总分为14分〕18. 〔本小题总分为14分〕19. 〔本小题总分为14分〕20.〔本小题总分为14分〕高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学〔文科〕答题卷解：〔1〕∵函数()sin()6f x x πω=+的周期是π且0ω>T ππω∴==2，解得2ω= … ……………………………………………………3分∴()sin(2)6f x x π=+…………………………4分∴()sin(2)sin 121263f ππππ=⨯+==………………………………………6分〔2〕∵1sin(2)16x π-≤+≤………………………………………….8分∴当22()62x k k Z πππ+=+∈即()6x k k Z ππ=+∈时()f x 取得最大值1 (10)分此时x 的集合为{,}6x x k k Z ππ=+∈…………………………………….12分16. 〔本小题总分为12分〕解：〔1〕圆方程可整理为：4)1(22=+-y x ，圆心坐标为〔1，0〕，半径r=2............2分 易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而23,321=∴-=k k AB ………….4分 所以，由点斜式方程可得：),1(230-=-x y整理得：0323=--y x ………………….6分〔2〕圆心〔1，0〕到直线,13323|12|013222=++==++d y x 的距离为……….8分故.135592)133(22||22=-⨯=AB ………………12分 17. 〔本小题总分为14分〕解:〔1〕)2(2121)(2+=+='x x e e x xe x f xx x..............................2分 令0)2(>+x x e x，得20-<>x x 或，∴)(x f 的增区间为)2,(-∞-和),0(∞+ ...............................4分令0)2(<+x x e x，得02<<-x ，∴)(x f 的减区间为)0,2(-..................................6分〔2〕因为当]2,2[-∈x 时，不等式恒m x f <)(成立 等价于max ()f x m <………………………...8分因为]2,2[-∈x ，令0)(='x f ，得2-=x ，或0=x ，∴2max ()2f x e =………………………….12分 ∴22e m >……………………………………….14分 18. 〔本小题总分为14分〕解：〔1〕椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12,F F 两点的距离之和是4，得24a =即2a =，又3(1,)2A 在椭圆上，223()1212b∴+=，解得23b =，于是21c =所以椭圆C 的方程是22143x y +=………………………6分 (2).设(,)P x y ，如此22143x y +=，22443x y ∴=-…………………….8分 222222214111713()4()52343432PQ x y y y y y y y =+-=-+-+=--+=-++…10分又3y -≤≤ .....................................12分∴当32y =-时，max PQ =………………………14分 19. 〔本小题总分为14分〕解：(1)由条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．.......................................1分∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.………………………...3分 故所求抛物线的方程是y 2＝4x …………………………….4分 准线方程是x ＝－1.…………………………….6分 (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，如此k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB .……………………….8分 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1 ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)．∴y 1＋y 2＝－4.…………………………12分 由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k AB＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)． ...........................................14分 20.〔本小题总分为14分〕解：〔1〕函数()f x 的定义域为R ，()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111…………….1分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：………5分∴当x =-1时，()f x 有极小值，极小值为12当x =1时，()f x 有极大值，极大值为32…………………………7分〔2〕()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111.当a >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,)-∞-1(,)-11(,)+∞1()f x '-+-()f x↘↗↘x (,)-∞-1(,)-11(,)+∞1所以()f x 在(,)01上单调递增，在(,e]1上单调递减，且2e(e)(0)e 1a f a a f =+>=+. 所以(0,e]x ∈时，min ()f x a =……………………..9分因为()ln g x a x x =-，所以()1ag x x '=-，令()0g x '=，得x a =①当0e a <<时，由()0g x >'，得0x a <<；由()0g x <'，得x a >，所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在(,e]a 上单调递减.所以max ()()ln g x g a a a a ==-. 因(ln )(2ln )(2ln e)0a a a a a a a a --=->-=>，对任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <………………………………12分②当e a ≥时，()0g x '≥在(0,e]上恒成立，所以函数()g x 在(0,e]上单调递增，max ()(e)e <g x g a a ==-. 所以对于任意(]12,0,e x x ∈，仍有12()()g x f x <.综上所述，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <. …………………14分()f x ' -0 +0-()f x↘↗↘。

2014-2015学年度⾼⼆第⼆学期期中考试（⽂科）数学试题（带答案）2014-2015学年⾼⼆第⼆学期期中考试数学试卷（⽂）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。

第Ⅰ卷1⾄2页，第Ⅱ卷3⾄4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。

第Ⅰ卷1⾄2页，第Ⅱ卷3⾄4页。

2. 答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效。

第Ⅰ卷⼀、选择题：该题共12个⼩题，每个⼩题有且只有⼀个选项是正确的，每题5分，共60分。

1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于（）A.1213B.513 C ．－513 D ．－12132．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的部分图象如图所⽰，则函数表达式为 ( )A ．y ＝－4sin π8x ＋π4B ．y ＝4sin π8x －π4C ．y ＝－4sin π8x －π4D ．y ＝4sin π8x ＋π43．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最⼤值和最⼩值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－54、已知某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）( )A.8π3 B ．3π C.10π3 D ．6π5.P 为ABC ?所在平⾯外⼀点，PB PC =,P 在平⾯ABC 上的射影必在ABC ?的（）A ．BC 边的垂直平分线上B ．BC 边的⾼线上 C ．BC 边的中线上D ．BAC ∠的⾓平分线上6．有⼀块多边形的菜地它的⽔平放置的平⾯图形的斜⼆测直观图是直⾓梯形，如图所⽰45ABC ∠=2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的⾯积为.（）A ．2+B ．C ．22+D ． 21+7. 下列条件中,能判断两个平⾯平⾏的是（）A ．⼀个平⾯内的⼀条直线平⾏于另⼀个平⾯;B ．⼀个平⾯内的两条直线平⾏于另⼀个平⾯C ．⼀个平⾯内有⽆数条直线平⾏于另⼀个平⾯D ．⼀个平⾯内任何⼀条直线都平⾏于另⼀个平⾯8.正四棱锥(顶点在底⾯的射影是底⾯正⽅形的中⼼)的体积为12，底⾯对⾓线的长为26，则侧⾯与底⾯所成的⼆⾯⾓为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9．已知函数sin()y A x m ω?=++的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为2π，直线3x π=是其图象的⼀条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（）A ．4sin(4)3y x π=+B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（）A ．5[,],1212k k k Z ππππ-+∈B ．511[,],1212k k k Z ππππ++∈C ．[,],36k k k Z ππππ-+∈D ．2[,],63k k k Z ππππ++∈11．实数x 、y 满⾜3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最⼤值为（）A 、27 B 、4 C 、29D 、512.极坐标⽅程52sin42=θρ表⽰的曲线是( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线的⼀⽀D 、抛物线第Ⅱ卷⼆、填空题：该题共4个⼩题，每题5分，共20分，请将答案规范书写在答题卡的相应位置。

高级中学2014－2015学年第二学期期中测试高二文科数学命题人：朱志敏 审题人： 刘金凤 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分. 全卷共计150分. 考试时间为120分钟. 注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 附：（1）回归直线方程：y a b x ∧∧∧=+ ；（2）回归系数：1221ni ii ni i x y nx yb x nx∧==-=-∑∑，a y b x ∧∧=-，11n i i x x n ==∑ ，11ni i y y n ==∑.第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 ( )A ．xy e－＝ B ．3y x ＝ C ．y lnx ＝ D ．y x ＝ 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点。

以上推理中（ ）A ．结论正确B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理形式错误4.若复数21(1)()z a a i a R =-++ ∈是纯虚数，则1z a+的虚部为 （ ） A ．25- B ．25i - C ．25 D ．25i5．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为 （ ）A ．0B ．2C ．3D ．66.函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ） A. [0,3] B. [1,0]- C. [1,3]- D. [0,2]7.如图所示,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点, 3BC =过C 作圆的切线l , 过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则DAC ∠ =( )A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒8.已知()f x 、()g x 均为[]1,3－上连续不断的曲线，根据下表能判断方程()()f x g x =有实数解的区间是 ( )A. (－C ． (0,1) D ．(2,3)9．直线12(t )2x ty t=+⎧⎨=+⎩是参数被圆229x y +=截得的弦长等于( )A.125B. 5C.D. 510.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为 （ ）A ．316B ． 78C ．34D ．5811.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．12a -<<B ．2a >或1a <-C ．2a ≥或1a ≤-D ．12a a ><-或12. 已知()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当(0,2]x ∈时，2()2log xf x x =+，则 (2015)f = ( )A ．2- B ．21C ．2D ．5第II 卷 （本卷共计90 分）注意事项：请用黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答，在试题卷上答题无效. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.在极坐标系中，点()20P ，与点Q 关于直线2sin θ=对称，则PQ = ． 14.已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为 。

高级中学2014－2015学年第二学期期中测试高二文科数学命题人：朱志敏 审题人： 刘金凤 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分. 全卷共计150分. 考试时间为120分钟. 注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 附：（1）回归直线方程：y a b x ∧∧∧=+ ；（2）回归系数：1221ni ii ni i x y nx yb x nx∧==-=-∑∑，a y b x ∧∧=-，11n i i x x n ==∑ ，11ni i y y n ==∑.第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 ( )A ．x y e －＝B ．3y x ＝ C ． y lnx ＝ D ．y x ＝ 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点。

以上推理中 （ ）A ．结论正确B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理形式错误4.若复数21(1)()z a a i a R =-++ ∈是纯虚数，则1z a+的虚部为 （ ） A ．25- B ．25i - C ．25 D ．25i5．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为 （ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．66.函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ） A. [0,3] B. [1,0]- C. [1,3]- D. [0,2]7.如图所示,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点, 3BC =过C 作圆的切线l ,A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒8.已知()f x 、()g x 均为[]1,3－上连续不断的曲线，根据下表能判断方程()()f x g x =有 )x－1 0 1 2 3 ()f x－0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 ()g x－0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A. (－C ． (0,1) D ．(2,3)9．直线12(t )2x ty t=+⎧⎨=+⎩是参数被圆229x y +=截得的弦长等于( )A.12591092125 10.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为 （ ）A ．316B ． 78C ．34D ．5811.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．12a -<<B ．2a >或1a <-C ．2a ≥或1a ≤-D ．12a a ><-或12. 已知()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当(0,2]x ∈时，2()2log xf x x =+，则 (2015)f = ( )A ．2-B ．21C ．2D ．5第II 卷 （本卷共计90 分） 注意事项：请用黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答，在试题卷上答题无效. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.在极坐标系中，点()20P ，与点Q关于直线32sin θ=对称，则PQ = ． 14.已知复数122,34,z m i z i =+=-若12zz 为实数，则实数m 的值为 。

广东省深圳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=254．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1B．﹣1 C．D．1或﹣15．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3B．C．D．58．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=09．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（）A．2B．2C．2D．410．（5分）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2） D．（2，）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．18．（14分）设F1，F2分别为椭C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（﹣∞，﹣）．故选B．点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：本题先对已知函数f（x）进行求导，再将代入导函数解之即可．解答：解：，∴，故答案为：．点评：本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，属于基础题．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据所给的特称命题写出它的否定：任意实数x，使x2+2ax+1≥0，根据命题否定是真命题，利用△≥0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：．故答案为：．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，解题的关键是利用命题的否定与原命题的对立关系，写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：分当m＞5和m＜5时两种情况，根据e=求得m．解答：解：当m＞5时，=，解得m=，当m＜5时，=解得m=3符合题意，故答案为：点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a，b，c的关系．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由正弦函数的周期公式可求ω，从而确定解析式即可求的值；（2）由正弦函数的图象和性质即可求出函数f（x）的最大值及相应x的集合．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（）的周期是π且ω＞0∴T=，解得ω=2∴f（x）=sin（2x+）∴f（）=sin（）=sin=（2）∵﹣1∴当2x+=+2kπ（k∈Z）即x=时f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x/x=}．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，属于基础题．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）根据圆的弦的性质可知，弦的垂直平分线过圆心，则问题可解；（2）利用垂径定理去求即可．解答：解：（1）圆方程可整理为：（x﹣1）2+y2=4，圆心坐标为（1，0），半径r=2，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而，∴．所以，由点斜式方程可得：，整理得：3x﹣2y﹣3=0．（2）圆心（1，0）到直线，故．点评：本题考查了直线与圆的位置关系中的相交弦问题，一般是利用几何法来解决．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）q求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为递增区间，导函数小于0得到f（x）的递减区间．（2）令导函数等于0求出根，然后求出根对应的函数值及区间的端点对应的函数值，求出f（x）的值域，得到m的范围．解答：解：（1）…（2分）令∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．…（6分）（2）令∴x=0和x=﹣2，…（8分）∴∴f（x）∈…（11分）∴m＜0…（12分）点评：求函数的单调区间常利用的工具是导数；解决不等式恒成立的问题，一般分离参数转化为求函数的最值．18．（14分）设F1，F2分别为椭C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意可求得a=2，b2=3，从而可求得椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）利用椭圆的参数方程，利用配方法与正弦函数的性质即可求得|PQ|的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F1，F2的距离之和等于4，∴2a=4，a=2．∴+=1，∴b2=3，∴椭圆的方程为：+=1，其焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）；（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），∵Q（0，），∴|PQ|2=4cos2θ+=4﹣4sin2θ+3sin2θ﹣sinθ+=﹣sin2θ﹣sinθ+=﹣+5≤5．∴|PQ|的最大值为．点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查椭圆的参数方程及两点间的距离，考查配方法与最值问题，属于难题．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．考点：抛物线的应用．专题：计算题．分析：（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA=﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．解答：解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e，总有g（x1）＜f（x2）成立化为g（x1）max＜f （x2）min，从而求解．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为R，，当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＞f（0）=a；f（x）在上单调递减，且．则f（x2）＞a，∵g′（x）=，①当0＜a＜e时，g（x）=alnx﹣x在（0，a）上单调递增，在上单调递减；故g（x1）max=g（a）=alna﹣a；则alna﹣a﹣a=a（lna﹣2）＜0；故对于任意x1，x2∈（0，e上单调递增，故g（x1）max=g（e）=a﹣e；故a﹣e﹣a=﹣e＜0，故对于任意x1，x2∈（0，e，总有g（x1）＜f（x2）成立．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，属于中档题．。

高级中学2014-2015学年第二学期期末测试 高一数学（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分，满分150分．考试用时l20分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60分) 一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{0，1，2，3，4}B ．{0，4}C ．{1，2}D ．{3} 2．已知向量(1,2),(3,1),a b =-=，那么a b ⋅的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3.等差数列{}n a 中, 1510a a +=,47a =,则数列{}n a 的公差为( ) A.1 B.2 C.3 D.44．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝05.在ABC △中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=( ) A.4π或34πB.34πC.4π D.6π6.设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A ．若//l α,//l β,则//αβ B ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ C ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥7. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．118.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB 和BC 上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC 和平面DEF 的位置关系是( )A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定9．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形10.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）11. 若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为( )AB ．2C ．D ．412.定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T 是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称 第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13. 若等比数列{}n a 满足241,2a a =则2135a a a =______ 14. 设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23， 则a ＝________．15.函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为______．16.如图3，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线MN 与AC 所成角是60︒；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为______ (注：把你认为正确的结论的序号都填上)． 图3 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）(1)已知x >1，求f (x )＝x ＋1x －1的最小值；图5FEPODBA图4OFEDCBA(2)已知0<x<25，求y＝2x－5x2的最大值.18. （本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c ＝1，△ABC的面积为 2.求cos A与a的值．19. （本小题满分12分）四面体ABCD所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱ABBD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．图420．（本小题满分12分）已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．21. （本小题满分12分）如图5，在边长为4的菱形ABCD中，60DAB︒∠=，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC EF O=．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA,PB,PD，得到如图6的五棱锥P ABFED-，且PB=（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求四棱锥P BFED-的体积.22. （本小题满分12分）已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足11a=,图5 图6()()1112n n n n nS n S ++-+=, n ∈N *. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k ，使k a ，2k S ， 4k a 成等比数列? 若存在，求k 的值； 若不存 在，请说明理由.高一下期末数学（文）答案一、选择题答卷（每题5分，12题共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A B A C B C A C B D B二、填空题答卷（每题5分，4题共20分）13.14; 14. 0; 15. 32 ; 16. ①③④三、解答题：本大题6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17. （本小题满分10分）(1)∵x >1，∴x －1>0， ∴f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1＝2＋1＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立.∴f (x )的最小值为3.…………5分 (3)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，P∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. …………10分18. （本小题满分12分）解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. ……2分因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ……6分 ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2. …………9分 ②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3. ……12分19. （本小题满分12分）解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ， …………3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23. …………6分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . …………8分 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形． …………10分 又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形． …………12分 20. （本小题满分12分）解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， …………2分 ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. …………4分(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ① …………6分 又直径|CD |＝410，∴r=|PA |＝210， …………7分∴(a ＋1)2＋b 2＝40 ② …………8分由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2 …………10分∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)， ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. …………12分21. （本小题满分12分）（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. …………………………2分∴EF AO ⊥，EF PO ⊥.∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AOPO O =，∴EF ⊥平面POA . …………………………4分 ∴BD ⊥平面POA . …………………………5分 （2）解：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=，∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==.在R t△BHO 中，BO …………………………7分在△PBO 中，22210+==BO PO PB ， ∴PO BO ⊥. ∵PO EF ⊥，EFBO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED . …………………………10分梯形BFED 的面积为()12S EF BD HO =+⋅=，………………………11分∴四棱锥P BFED -的体积11333V S PO =⋅=⨯=.………………12分22. （本小题满分12分）解：（1）解：∵11a =, ()()1112n n n n nS n S ++-+=, ∴2112212S S ⨯-==. ∴ 21112123S S a =+=+=. ∴ 2212a S a =-=. ………………2分（2）解法1: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得1112n n S S n n +-=+. ……………………3分∴ 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111S =, 公差为12的等差数列. ∴()()1111122n S n n n =+-=+. ∴ ()12n n n S +=. …………………………5分 当2n ≥时, 1n n n a S S -=- …………………………7分 ()()1122n n n n+-=- n =.而11=a 适合上式，∴ n a n =. …………………………9分解法2: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得()()112n n n n n n S S S ++--=，∴()112n n n n na S ++-=． ① …………………………4分 当2n ≥时，()()1112n n n n n a S ----=，② ①-②得()()()()1111122n n n n n n n n na n a S S +-+-----=-， ∴1n n na na n +-=． …………………………5分 ∴11n n a a +-=． …………………………６分 ∴ 数列{}n a 从第２项开始是以22a =为首项, 公差为1的等差数列. ………７分 ∴ ()22n a n n =+-=. …………………………８分而11=a 适合上式，∴ n a n =. …………………………9分（3）解：由(2)知n a n =, ()12n n n S +=. 假设存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列,则224k k k S a a =⋅.即()222142k k k k +⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦. …………………………10分∵ k 为正整数, ∴()2214k +=.得212k +=或212k +=-, 解得12k =或32k =-, 与k 为正整数矛盾. …………………………11分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列. …………………………12分。

高级中学2014-2015学年第一学期期中测试高二数学（理科）命题人：聂玉芬 审题人：孙东波 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分，满分150分．考试用时l20分钟．第Ⅰ卷 (选择题共40分)一．选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件2. 抛物线216y x =的焦点为 （ ）A.（0，2）B.（4，0）C.)D.()3．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －b D ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b4．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在的直线方程为 ( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝05.命题p ：不等式(1)0x x -<的解集为{x |0＜x ＜1}，命题q ：“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”成立的必要非充分条件，则 ( ) A ．p 真q 假B ．p 且q 为真C ．p 或q 为假D ．p 假q 真6. 若向量a ＝(1，λ，1)，b ＝(2，－1,1)且a 与b 的夹角的余弦值为16，则λ等于 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－2或265 D ．2或2657.若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ()0,0B ⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ()2,1 D ()2,2 8．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2，点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为ax ＋by ＋r 2＝0，那么( )A ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相离B ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相切C ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相交D ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相离第Ⅱ卷 (非选择题共110分)二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9.已知下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则方程x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可).10.命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_________________________.11.若直线y ＝x －m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是____________．12. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，∠EAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝AE ＝EF ＝1，平面ABFE ⊥平面ABCD .则点D 到平面BCF 的距离为_____________13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得213PF PF =，则双曲线的离心率e 的取值范围为______ ．14. 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为____________. 三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. 若p 是q的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．如图，正方形AMDE 的边长为2，B 、C 分别为AM 、MD 的中点．在五棱锥P －ABCDE中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD 、PC 分别交于点G 、H . (1)求证：AB ∥FG ；(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．17.在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆M 上． (1)求圆M 的方程；(2)若圆M 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．18.已知动点P与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-. （1）试求动点P 的轨迹方程C.（2）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程.19．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.D(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，2)，且长轴长与短轴长的比是2：1.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△PAB面积的最大值．高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学（理科）答题卷一、选择题（每题5分，8题共40分）二、填空题（每题5分，6题共30分）9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题：(本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. （本小题满分12分）16. （本小题满分12分）17. （本小题满分14分）D18. （本小题满分14分）19. （本小题满分14分）20.（本小题满分14分）高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学（理科）答题卷16 .（本小题满分12分）(1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG………………………5分(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，BC→＝(1,1,0)…………7分设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则zyE D PCFGH⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1，所以n ＝(0，－1,1)．……………………….9分 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝|n ·BC →|n ||BC →||＝12…………………………………11分因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. ……………………..12分17. （本小题满分14分）解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋2 2，0)，(3－2 2，0)故可设M 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(2 2)2＋t 2，解得t ＝1.∴圆M 的半径为32＋(t －1)2＝3.∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9…………………………………..6分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，∴2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2＝0. ②由①②，得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1……………………………………14分 18. （本小题满分14分）（1）解：设点(,)P x y 12=-，…………………3分整理得.1222=+y x 由于x ≠，所以求得的曲线C 的方程为221(2x y x +=≠………………………………………6分（Ⅱ）由.04)21(:.1,122222=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去 解得x 1=0, x 2=212,(214x x kk+-分别为M ，N 的横坐标）.………………………10分 由,234|214|1||1||22212=++=-+=k k k x x k MN.1:±=k 解得 ……………………………………………………………………12分所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0.………………………………………14分 19．（本小题满分14分）如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23. 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. ………………………………………6分 (2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m 、AA 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0. 不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．同样的，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0. 不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)．………………………………………10分于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝27·7＝27， 从而sin 〈m ，n 〉＝357. 所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.………………………………………14分20．（本小题满分14分）解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a :b ＝2:1，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2. 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1. ………………………………………4分(2)由题意知，两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知，P (1，2)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝k (x －1)，y 24＋x 22＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. ……6分设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k 2－22k －22＋k 2， 同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k 2.则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k 2. 所以k AB ＝y A －y B x A －x B＝2为定值．………………………………………9分 (3)由(2)，设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8.此时x A ＋x B ＝－2m 2，x A ·x B ＝m 2－44.点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3， |AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2 ＝ －32m 2＋12.∴S △PAB ＝12d ·|AB |＝12|m |3·24－3m 22＝12 m 2(8－m)22 当且仅当m 2＝8－m 2即m 2＝4时，S max ＝ 2.…………………………………14分。

高级中学2014—2015学年第二学期期中测试高一数学〔文科〕本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部，第1卷为1-10题，共50分，第2卷为11-20题，共100分．全卷共计150分．考试时间为120分钟． 第1卷〔本卷共50分〕一、选择题：〔本大题共10题，每一小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1．不等式()()31210x x +->的解集是〔〕A ．}31|{->x x B ．}21|{>x x C ．}2131|{<<-x x D ．}2131|{>-<x x x 或 2．等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是〔〕A ．15B ．30C ．31D ．643．过点〔－1，3〕且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔 〕 A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x4．等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，如此1a =〔 〕A. 21B. 22C.2 D.25．在ABC ∆中，假设°60A ∠=，°45B ∠=，BC =，如此AC =( )A ．B． C ．D．26.在△ABC 中AB ＝3，AC=2，AB →⋅AC →等于( ) A ．－32B ．－23C.23D.327．等差数列{}n a 中，a1＞0，d≠0，S3=S11，如此Sn 中的最大值是 ( )A ．S7B ．S7或S8C ．S14D ．S88．点n A 〔n ，n a 〕〔∈n N*〕都在函数xy a =〔01a a >≠，〕的图象上，如此37a a +与52a 的大小关系是A ．37a a +＞52aB ．37a a +＜52aC ．37a a +＝52aD ．37a a +与52a 的大小与a 有关9．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ，如此sin CED ∠=〔 〕A ．31010B ．C ．510D ．51510．整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，如此第70个数对是〔 〕A ．()2,11B ．()3,10C ．()4,9D ．()5,8第2卷〔本卷共计100分〕二、填空题：〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分〕 11．两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=假设12//l l ，如此a =_ _.12．在ABC ∆中，假设︒=120A ，AB=5，BC=7，如此ABC ∆的面积S=__________. 13．等比数列{an}中，73=a ，前3项的和S3=21，如此公比q 的值是 ．14．假设011<<b a ，如此如下不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+b aa b 中，正确的不等式是 ．〔填序号〕三、解答题：〔本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤〕 15．〔本小题12分〕 〔Ⅰ〕求以下不等式的解集：1． 22150x x --< 2．23x >-〔Ⅱ〕假设关于x 的不等式2122x x mx-+>的解集为()0,2，求实数m 的值．16．〔此题总分为12分〕在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，假设60B =，且1411)cos(-=+C B .〔1〕求C cos 的值； 〔2〕假设5=a ，求△ABC 的面积.17．〔本小题14分〕等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==〔Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列的前n 项和.18．〔本小题总分为14分〕如下列图，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？19．〔本小题总分为14分〕点(1,1)P 到直线l：的距离为5.数列{an}的首项11a =，且点列()*1,n n a a n N +∈均在直线l 上.〔Ⅰ)求b 的值；〔Ⅱ〕求数列{an}的通项公式； 〔III 〕求数列{}n na 的前n 项和n S .20．〔本小题总分为14分〕数列{an}的前n 项和为nS ，且满足2n S n =，数列{}nb 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，〔1〕求数列{an}的通项公式； 〔2〕假设对任意的*n N ∈，不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； 〔3〕是否存在正整数m ，n 〔1＜m ＜n 〕，使得1T ，m T ，nT 成等比数列？假设存在，求出所有m ，n 的值；假设不存在，请说明理由。