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专题：函数的定义域、值域、解析式的求法一、定义域 128)(2++=x x x f 43-)(2++=x x x f 143)(2+--=x x x x fx y 311l o g 7-= 抽象函数的定义问题1. 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数()12+x f 的定义域为2.已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是二、值域1、直接法：1y =+12+=x yy =2.二次函数223y x x =+- ()x R ∈ 223y x x =+-[1,2]x ∈242y x x =-++[1,1]x ∈-3.分离常数法：132x y x -=- 4.换元法：2y x =+0()f x =)2(log 221x y -=1x x y -+=三．解析式的求法1、配凑法23)1(2+-=+x x x f 221)1(xx x x f +=+ 2.换元法x x x f 2)1(+=+ 11)11(2-=+xx f 3.待定系数法例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。
例2：设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．4.赋值（式）法例1：已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。
(1)求)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。
例2：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．5、构造方程组法1.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x2.设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．。
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。
例1．函数()1f x x =- 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D例2．函数y =( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数y 可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±.函数y =的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y =的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。
函数得定义域(1）函数得定义域就就是使得这个函数关系式有意义得实数得全体构成得集合(２）求函数定义域得注意事项☉分式分母不为零；☉偶次根式得被开方数大于等于零；☉零次幂得底数不为零；☉实际问题对自变量得限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”).（3）抽象复合函数定义域得求法☉已知ｙ=f（ｘ）得定义域就是A,求y=f(g(x））得定义域，可通过解关于g(x)∈A得不等式,求出ｘ得范围☉已知ｙ=f（ｇ(x))得定义域就是A,求ｙ=f（x）得定义域，可由x∈A,求g(ｘ)得取值范围（即ｙ=g（ｘ）得值域）。
例1。
函数得定义域为（）A、(—∞，4)B、［4，＋∞)Ｃ、（—∞，4］D、（－∞，１)∪（1,4]【答案】D【解析】要使解析式有意义需满足：,即且所以函数得定义域为（－∞,1）∪(1,4]故选：D例２.函数得定义域为( )A、Ｂ、Ｃ、{1} D、｛—１，１｝【答案】D【解析】函数可知：，解得：、函数得定义域为｛—１，1}、故选D、例3.已知函数得定义域为，函数定义域为_＿_＿____＿_、【答案】【解析】由函数得得定义域为（−２,2），得：，故函数f（ｘ）得定义域就是、例４．若函数得定义域为,则函数得定义域就是（）Ａ、B、C、Ｄ、【答案】A函数得定义域就是，，解不等式组：,故选Ａ、例5.已知函数得定义域就是,则得定义域就是( )A、B、C、D、【答案】C【解析】解：由条件知: 得定义域就是，则，所以，得例6.已知函数定义域就是,则得定义域就是（)A．B、C、D、【答案】A 【解析】例7.函数得定义域为_____＿__＿＿_.【答案】【解析】要使函数有意义，则，即,即，故函数得定义域为，故答案为、函数值域定义：对于函数y＝ｆ（x），ｘ∈A得值相对应得ｙ值叫函数值,函数值得集合{f（x)｜x∈A｝叫做函数得值域。
(2)求函数值域得常用方法☉观察法：通过解析式得简单变形与观察（数形结合）,利用熟知得基本初等函数得值域，求出函数得值域。
函数定义域、值域、解析式综合练习一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域： ⑴221533x x y x --=+- ⑵211()1x y x -=-+ ⑶021(21)4111y x x x =+-+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为 ；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸262x y x -=+ ⑹ 225941x x y x +=-＋⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼245y x x =-++ ⑽ 2445y x x =--++⑾12y x x =--6、已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， 3()(1)f x x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴223y x x =++ ⑵223y x x =-++ ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236x y x -=+的递减区间是 ；函数236x y x -=+的递减区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， 33()g x x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
高中数学必修1：函数的定义域、解析式、值域典型例题知识点总结(教师版)一、求函数的定义域例1.函数 $y=\frac{x-4}{|x|-5}$ 的定义域为 $(-\infty,-5)\cup(-5,0)\cup(0,4)\cup(4,\infty)$。
例2：已知函数 $f(x-1)$ 的定义域为 $x\in(-\infty,5]$，求函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $x\in(-\infty,3]$。
函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $x\in(-\infty,4]$。
二、求函数的解析式例1．函数 $f(x)=\frac{cx^3}{2x+3}$，$(x\neq -\frac{3}{2})$ 满足 $f[f(x)]=x$，则常数 $c$ 等于 $-3$。
f(2)=\frac{16c}{7}$。
例2.已知 $f(x+1)=x^2+4x+1$，求函数 $f(x)$ 的解析式为$f(x)=x^2+2x$。
已知 $f(x+1)=x+4x+1$，$x\in(1,2]$，求函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x^2+3x-2$，$x\in(2,3]$。
例3.已知 $f(x)$ 是二次函数，且 $f(1)=0$，$f(x+1)=f(x)+x+1$，求 $f(x)$ 的解析式为$f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x$。
已知 $f(x)$ 是一次函数，且 $x\in[1,4)$ 满足 $3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17$，求 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=2x+7$，$x\in[2,3)$。
例4.定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2f(-x)=2x+1$，求 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=-2x-1$。
已知函数 $f(x)$ 满足条件 $f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求$f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\frac{2x}{x^2+2}$，$x\neq 0$。
函数值域、定义域、解析式专题一、函数值域的求法 1、直接法：例1：求函数y = 例2：求函数1y =的值域。
2、配方法：例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-例2：求 函 数y =例3：求函数y125xx -+的值域。
例2：求函数122+--=x x xx y 的值域．例3：求函数132x y x -=-得值域.4、换元法：例1：求函数2y x =例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。
5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例1：求函数y x =例2：求函数()x x x f -++=11的值域。
例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。
63||5|x x ++-的值域。
结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
例1、(1)求函数216x y -=的值域。
(2)求函数1322+-=x x y 的值域。
二、函数定义域例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．例3：求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ xx x f -++=211)( 例4：求下列函数的定义域：④ 14)(2--=x x f⑤ ②2143)(2-+--=x x x x f⑥ 373132+++-=x x y ④f (的解析式．例2：已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。
例3 ：已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．3、待定系数法例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。
例2：设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．4、赋值（式）法例1：已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。
高一函数定义域、值域、解析式题型【1】一、 具体函数的定义域问题1 求下列函数的定义域（1）1y = （2）y =（2）（3）若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）(A)04m <<(B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤二、 抽象函数的定义问题（一）已知函数()f x 的定义域，求函数[()]f g x 的定义域2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，求函数2(2)f x 的定义域。
（二）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域。
（三）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数[()]f h x 的定义域4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5)，求函数1()f x 的定义域。
5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
三、 求函数解析式的方法（一） 配凑法5 .已知22113(1)x f x x x ++=+，求()f x 的解析式。
（二） 换元法6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。
（三） 特殊值法7 .已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =，求()f x 。
待定系数法8.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。
（四） 转化法9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0f x f x ++=，当11x -≤≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。
（五） 消去法11.已知函数()f x21()()x f x x -=，求()f x（六） 分段求解法12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ⎧≥=-=⎨-<⎩，求[()]f g x 的解析式 四、 求函数值域的方法(一）配方法13. 求二次函数256(32)y x x x =-+-≤≤的值域。
高一函数定义域、值域、分析式题型一、 详细函数的定义域问题1 求以下函数的定义域1（ 1） yx 1 ；（2） yx 12 5x 6x xx （ 2）（ 3）若函数 f ( x) mx 2 mx 1 的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围是（ ）(A) 0 m 4 (B) 0 m 4 (C) m 4 (D) 0 m 4二、抽象函数的定义问题（一）已知函数 f (x) 的定义域，求函数 f [ g( x)] 的定义域2. 已知函数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ，求函数 f (2 x 2 ) 的定义域。
（二）已知函数 f [ g( x)] 的定义域，求函数 f (x) 的定义域3. 已知函数 f (2 x 1) 的定义域为 [1,2] ，求函数 f ( x) 的定义域。
（三）已知函数 f [ g( x)] 的定义域，求函数 f [ h(x)] 的定义域4. 已知函数 f ( x 21) 的定义域为 (2,5) ，求函数 f ( 1) 的定义域。
x5.已知函数 f (x) 的定义域为 [ 1, 1] ，且函数存在，务实数 m 的取值范围。
F ( x)f (xm)f ( xm) 的定义域（一）配凑法5 .已知f (11) x2 13，求 f (x) 的分析式。
x x2 x（二）换元法6.已知f (1 2 x) 2x x ，求 f ( x) 的分析式。
（三）特别值法7 .已知对全部x, y R ，关系式 f (x y) f ( x) (2 x y 1) y 且 f (0) 1 ，求 f ( x) 。
待定系数法8.已知f (x)是二次函数，且 f ( x 1) f ( x 1) 2x2 4x 4 ，求 f ( x) 。
（四）转变法9. 设f ( x)是定义在( , ) 上的函数，对全部x R ，均有f ( x) f (x 2) 0 ，当 1 x 1 时，f ( x) 2x 1 ，求当1 x 3 时，函数 f (x)的分析式。
复合函数定义域和值域练习题一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ yx 2 2 x 15 （ 2） y1 1 (2x 1)0 4 x 2x 3 31 1x2、设函数 f ( x) 的定义域为 [0，1] ，则函数 f ( x 2 ) 的定义域为 ___；函数 f (x 2) 的定义域为________；3、若函数 f ( x 1) 的定义域为 [2， 3] ，则函数 f (2 x1) 的定义域是；函数 f (12) 的定义域x为。
4、 已知函数 f ( x) 的定义域为 [1, 1] ，且函数 F ( x) f ( x m)f (x m) 的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴ y x22x 3 (x R) ⑵ yx22x3 x [1,2]⑶ y3x 1⑷ y3x 1(x5)x 1x1⑸ 2 x6y2x 三、求函数的解析式1、 已知函数 f ( x 1) x 24x ，求函数 f (x) ， f (2 x1) 的解析式。
2、 已知 f ( x) 是二次函数，且 f ( x 1) f (x 1)2x 2 4x ，求 f ( x) 的解析式。
3、已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x)f ( x) 3x 4 ，则 f ( x) =。
4、设 f (x) 是 R 上的奇函数， 且当 x[0,) 时， f ( x) x(13x ) ，则当 x ( ,0) 时 f ( x) =_____f (x) 在 R 上的解析式为5 、 设 f ( x) 与 g( x) 的 定 义 域 是 { x | x R,且 x1} ， f ( x)是 偶 函 数 ， g( x) 是 奇 函 数 ， 且f ( x) g( x)1 ，求 f ( x) 与 g (x) 的解析表达式 x 1四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ y x 22x 3⑵ yx 2 2x 3⑶ y x 26 x 17、函数 f ( x) 在 [0, ) 上是单调递减函数，则f (1 x 2 ) 的单调递增区间是8、函数 y2 x的递减区间是；函数 y2 x 的递减区间是3x63x 6五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （）⑴ y 1( x 3)( x 5) ， y 2x 5 ；⑵ y 1x 1 x 1 ，y 2( x 1)( x 1) ；x3⑶f ( x) x ，g (x)x 2 ；⑷f ( x)x ，g( x)3x 3； ⑸f 1 (x)( 2 x 5 ) 2 ， f 2 (x) 2x 5 。
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零；☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零；☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f（x）的定义域是A，求y=f（g（x））的定义域，可通过解关于g（x）∈A的不等式，求出x 的范围☉已知y=f（g（x））的定义域是A，求y=f（x）的定义域，可由x∈A，求g（x）的取值范围（即y=g（x）的值域）。
例1．函数()f x = 的定义域为 ( )A. (－∞，4)B. [4，＋∞)C. (－∞，4]D. (－∞，1)∪(1,4]【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{ 10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4]故选：D 例2．函数y 的定义域为( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数y =可知:2210{ 10x x -≥-≥,解得：1x =±. 函数y =的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得：2113x -≤-≤，故函数f(x)的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f x g x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃D. ()0,1【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2，022{ 10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ）A. []1,4-B. []0,16C. []2,2-D. []1,4 【答案】C 【解析】解：由条件知：()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（）A ．[]052， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 【答案】 A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y 的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f（x），x∈A的值相对应的y值叫函数值，函数值得集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
