第5讲(3)Hilbert空间

集合的Banach空间与Hilbert空间1. 集合的Banach空间定义：Banach空间是一个完备的赋范线性空间，即一个具有范数的线性空间，并且该范数满足完备性。

换句话说，Banach空间是一个具有范数的线性空间，其中任何柯西序列都收敛到空间中的一个元素。

例子：•实数空间ℝ是一个Banach空间，其中范数就是绝对值。

•复数空间ℂ是一个Banach空间，其中范数就是模。

•函数空间C[a,b]是一个Banach空间，其中范数就是函数在区间[a,b]上的最大值。

•平方可积函数空间L2[a,b]是一个Banach空间，其中范数就是函数在区间[a,b]上的平方可积。

2. 集合的Hilbert空间定义：Hilbert空间是一个完备的内积空间，即一个具有内积的线性空间，并且该内积满足完备性。

换句话说，Hilbert空间是一个具有内积的线性空间，其中任何柯西序列都收敛到空间中的一个元素。

例子：•实数空间ℝ是一个Hilbert空间，其中内积就是点积。

•复数空间ℂ是一个Hilbert空间，其中内积就是共轭复数的点积。

•函数空间L2[a,b]是一个Hilbert空间，其中内积就是函数在区间[a,b]上的平方可积。

3. Banach空间与Hilbert空间的区别Banach空间和Hilbert空间都是完备的赋范线性空间，但它们之间存在一些区别。

•内积： Hilbert空间具有内积，而Banach空间不具有。

内积使Hilbert空间具有几何性质，例如正交性、投影等。

•正交性：在Hilbert空间中，两个向量正交当且仅当它们的内积为零。

正交性在Hilbert空间中非常重要，它可以用来定义正交子空间、投影等概念。

•投影：在Hilbert空间中，可以将一个向量投影到另一个向量上。

投影可以用来分解向量、求解方程等。

4. Banach空间与Hilbert空间的应用Banach空间和Hilbert空间在数学和物理学中都有广泛的应用。

有限元的分数阶的hilbert空间全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：有限元方法是一种常用的数值计算方法，被广泛应用于工程、物理和数学领域。

在有限元方法中，我们通常将区域分割成有限个小单元，通过数值求解方法计算每个小单元中的物理量，并在整个区域上进行拼接得到全局解。

而在一些复杂问题或者非整数阶微分方程的求解中，有限元方法也可以进行拓展，使用分数阶的有限元方法进行数值求解。

分数阶微分方程是一类具有非整数阶导数的微分方程，其在描述复杂系统中的行为时具有更好的适用性。

分数阶微分方程的求解可以通过许多数值方法来实现，其中有限元方法是一种常用的方法之一。

在传统有限元方法的基础上，可以将分数阶导数通过分数阶差分的形式进行离散化，从而得到分数阶有限元方法。

在有限元方法中，我们通常将区域分解为有限个小单元，每个小单元上的物理量通过一组基函数的线性组合来近似表示，在分数阶有限元方法中同样可以使用类似的方法来进行离散化。

区别在于，分数阶微分方程中存在非整数次的导数项，因此需要采用特定的分数阶基函数来进行表示。

在分数阶有限元方法中，我们通常会构建分数阶Hilbert空间来进行数值计算。

Hilbert空间是数学中的一个重要概念，是一个完备的内积空间，并且在此空间中可以定义一组正交基函数。

在分数阶有限元方法中，我们可以通过构建一组合适的基函数来构建分数阶Hilbert空间，从而实现对分数阶微分方程的数值求解。

分数阶有限元方法的应用可以涉及到许多领域，如弹性力学、流体力学、电磁场等。

在这些领域中，分数阶微分方程能够更准确地描述物理现象，并且分数阶有限元方法能够提供更为精确的数值解。

分数阶有限元方法在实际工程问题中具有重要的应用价值。

第二篇示例：有限元方法是一种常用的数值计算方法，它在工程领域中有着广泛的应用。

在有限元方法中，通常会涉及到空间的离散化，即将具有连续性质的问题转化为离散化的问题进行求解。

在传统的有限元方法中，通常使用分段线性形函数来逼近解函数，这种方法可以很好地逼近一阶微分方程的解。

第5章 Hilbert 空间只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.Hilbert D .(希尔伯特)(1862-1943,德国数学家)Hilbert 空间在历史上比赋范空间出现得早,2l 是最早提出来的Hilbert 空间,它是 1912年Hilbert D .在研究积分方程时给出的,而Hilbert 空间的公理化定义直到1927年才由Neumann V J ..在量子力学的的数学基础这一论文中给出,但它的定义包含了可分性的条件,llich F Lowig H Re .,.和Riesz F .在1934年指出,对于绝大部分理论,可分性是不必要的,因此可分性的条件就去掉了.5.1 内积空间在2R 中,把一个点看成一个向量,对于2R 的任意两个点),(),,(2121y y y x x x ==,定义内积2211),(y x y x y x +=,则可把向量的垂直、交角、投影等用内积来刻画,并且内积具有很好的性质.定义 5.1.1 设X 是线性空间,若存在X X ⨯到K 的一个映射,使得对任意X z y x ∈,,, 有（1） ),(),(x y y x =；（2） ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+；（3） 0),(≥x x , 且0),(=x x 当且仅当0=x 时成立.则称X 内积空间.在.}C ,)||(,|){(21212为复数这里+∞<∈=∑∞=i ii i x C x x l 上,定义内积为∑∞==1),(i i i y x y x ,则明显地,2l 是一个内积空间.n R 中的Schwarz Cauchy -不等式可以追溯Lagrange 和Cauchy ,积分形式的Schwarz Cauchy -不等式是ky Bouniakows 在1859年和Schwarz 在1885证明的.2l 中的Schwarz Cauchy -不等式则是Schmidt 在1908年得到的.抽象的Schwarz Cauchy -不等式是Neumann von 在1930年证明的.在内积空间X 中,有下面的Schwarz Cauchy -不等式成立.定理5.1.1(Schwarz Cauchy -不等式) 若X 是内积空间,则对任意X y x ∈,,有),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤证明 明显地,只须证明0≠y 时不等式成立.对于任意0,≠∈y K λ,有2||),(}),Re{(2),(),(λλλλ⋅++=++y y y x y x y x y x 取),(),(y y y x -=λ, 则 0),(),(|),(|),(|),(|2),(222≥+-y y y y y x y y y x x x 因此),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤.利用Schwarz Cauchy -不等式,可以证明任意的内积空间X 都可以定义范数),(||||x x x =,使之成为赋范空间.定理5.1.2 设X 是内积空间,),(||||x x x =,则||||⋅是X 的范数.证明 由内积的定义可知0||||=x 时,有0=x . 由于),(||),(),(2x x x x x x λλλλλ==因此,||||||),(||),(||||x x x x x x λλλλλ===.对于任意X y x ∈,,由Cauchy 不等式,有),(),(),(2),(),()],Re[(2),(),(||||21212y y y y x x x x y y y x x x y x y x y x ++≤++=++=+ 因而||||||||||||y x y x +≤+,所以||||⋅是X 的范数.由上面定理可知,对于任意内积空间,),(||||x x x =是X 的范数,一般称这一范数为内积),(y x 诱导的范数,在这一范数的意义下,可以把内积空间X 看成赋范空间||)||,(⋅X ,这样的内积空间X 上可以使用赋范空间||)||,(⋅X 的所有概念,如序列的收敛和子集的列紧性、完备性等.定义 5.1.2 若内积空间X 在范数),(||||x x x =下是Banach 空间,则称X 是Hilbert 空间.容易证明,2l 是Hilbert 空间. 内积空间还具有许多很好的性质.定理5.1.3 设X 是内积空间,若y y x x n n →→,,则),(),(y x y x n n →.证明 由于|||||||||||||||||),(||),(||),(),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y y x y x x y x y x y x y x y x y x n n n n n n n n n n n n -⋅+⋅-≤-+-=-+-≤-因此y y x x n n →→,时,有),(),(y x y x n n →.不难证明,对于内积空间X ,有如下的极化恒等式成立.定理5.1.4 设X 是实内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||(||41),(22y x y x y x --+= 定理5.1.5 设X 是复内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=由于内积空间具有很好的几何直观性,而每一个内积空间都可以引入范数),(||||x x x =, 使之成为赋范空间,因此可以考虑如下问题.问题 5.1.1 对于任意赋范空间X ,可否定义内积使之成为内积空间,且满足),(||||x x x = ?例如,在赋范空间1l 中,对于任意1,l y x ∈,定义∑∞==1),(i i i y x y x ,则),(y x 是否为 1l 的内积,并满足),(||||x x x =？定理 5.1.6 设X 是赋范线性空间,则在X 可以定义内积),(,使之成为内积空间,且),(||||x x x =的充要条件为对任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++证明 若X 可以定义内积,使之成为内积空间,且),(||||x x x =,则2222||||2||||2),(2),(2),(),(||||||||y x y y x x y x y x y x y x y x y x +=+=--+++=-++反过来,若对于任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++.为了简明起见,这里只证X 是实赋范空间的情形.令 )||||||(||41),(22y x y x y x --+=,则 （1） ),(),(x y y x =；（2） 0),(≥x x 且0),(=x x 且当仅当0=x ;（3） 对于任意X z y x ∈,,,有)]||2||||)2((||2)||2||||)2((||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||)(||||)((||41),(2222222222y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y x z y x z y x +++--++++=+--++++-+-+-+++++++=-+-++=+ )||2||||2(||2122z y x z y x -+-++= 由于)||2||||2(||21)]||2||||2(||2)||2||||2(||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||||||||||||||(||41),(),(22222222222222z y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y z y z x z x z y z x -+-++=-+-+--+++=---++-+-+---+++-+++=--++--+=+ 因此,),(),(),(z y z x z y x +=+.对于任意X y x R ∈∈,,λ,令),()(y x f λλ=,则)(λf 为连续函数,且)()()(2121λλλλf f f +=+,因此)(λf 是线性的,即λλ⋅=)1()(f f ,因而),(),(y x y x λλ=. 由222||||)||||||(||41),(x x x x x x x =--+=可知),(||||x x x =,因此),(y x 是X 上的内积,且),(||||x x x =.在上面定理的证明中,当X 是复赋范空间时,令)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=, 则可证明),(y x 就是X 上的内积,且满足),(||||x x x =.由以上定理可知,一般的赋范线性空间||)||,(⋅X 不一定可以定义内积),(⋅⋅,使之成为内积空间,且满足),(||||x x x =.例 5.1.1 在∞l 中,取),0,1,1(),,0,0,1,1(ΛΛ-==y x ,则1||||,1||||==y x ,但2||||||||=-=+y x y x ,因此)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +≠-++,所以在∞l 上不能定义内积,使得∞l 成为内积空间,且满足),(||||x x x =.利用前面定理,还可以证明内积空间一定是严格凸的.定理5.1.8 设X 是内积空间,则X 一定是严格凸的赋范空间.证明 对于任意X y x ∈,,若y x ≠,且1||||||||==y x ,则由 )||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++可知4||||4||||22<--=+y x y x ,因而1||2||<+y x ,所以X 是严格凸的.5.2 投影定理内积空间是n R 的自然推广,在内积空间X 上,可以把向量空间n R 的正交和投影等概念引进来.定义5.2.1 设X 是内积空间,X y x ∈,,若0),(=y x ,则称x 与y 正交,记为y x ⊥. 若X M X x ⊂∈,,且对任意M y ∈,有0),(=y x ,则称x 与M 正交,记为M x ⊥.若对任意N y M x ∈∈,,都有0),(=y x ,则称M 与N 正交,记为N M ⊥.若X M ⊂,则称}|{M x X x M ⊥∈=⊥为M 的正交补.例题 5.2.1 设]1,1[-C 为[-1, 1]上的实连续函数全体,内积为⎰-=11)()(),(dt t y t x y x ,若M为[-1, 1]上的实连续奇函数全体,试证明M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.证明 (1) 若y 为[-1, 1]上的实连续偶函数,则对所有,M x ∈)()(t y t x 都是[-1, 1]上的实连续奇函数,从而0)()(),(11==⎰-dt t y t x y x ,因此⊥∈M y . (2) 反过来，若⊥∈M y ，令)()()(t y t y t z --=,则)()()()(t z t y t y t z -=--=-,从而)(t z为奇函数,因此M z ∈,所以0),(=z y .由于)()()()()()]()([)(2t z t y t z t y t z t y t y t z --+=--=,因此 0),(),()()()()()(1111112=+=--+=⎰⎰⎰---z y z y dt t z t y dt t z t y dt t z从而 0)]()([112=--⎰-dt t y t y 由)(t y 是连续函数可知)()(t y t y -=,即)(t y 一定是偶函数.由(1)和(2)可知,M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.明显地,由以上的定义可以看出下面定理成立.定理5.2.1 设X 为内积空间,X M X x ⊂∈,,则（1） 当y x ⊥时,有222||||||||||||y x y x +=+；（2） 当y x ⊥且z x ⊥时,有)(21z y x λλ+⊥对于任意K ∈21,λλ都成立；（3） 当N M ⊥时,有⊥⊂N M ,且⊥⊂M N ；（4） 当N M ⊂时,有⊥⊥⊃N M ；（5） }0{⊂⊥M M I ,对任意X M ⊂成立.定理5.2.2 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥M 是X 的闭线性子空间.证明 对于任意 ⊥∈M y x ,,及M z ∈,有 0),(=z x 且 0),(=z y因此,对任意 K ∈βα,,有0),(),(),(=+=+z y z x z y x βαβα故⊥∈+M y x βα,即⊥M 是线性子空间.若x x M x n n →∈⊥,,则对任意M z ∈,有0),(lim ),(==∞→z x z x n n , 因此⊥∈M x ,所以,⊥M 是X 的闭线性子空间.定理5.2.3 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥⊥=M M span ))((.证明: 对于M M span ⊃)(因此⊥⊥⊂M M span ))((.反过来,对任意⊥∈M x ,有⊥⊂}{x M ,由上面定理可知⊥}{x 是闭子空间, 故⊥⊂}{x M span ,因而⊥∈))((M span x ,所以⊥⊥⊂))((M span M ,从而⊥⊥=M M span ))((. 定义 5.2.2设X 是内积空间,M ,N 是X 的线性子空间,若N M ⊥,则称},|{N y M x y x H ∈∈+=为M 与N 的正交和,记为N M H +=.如在2R 中,取}|),0{(},|)0,{(2211R x x N R x x M ∈=∈=,则N M ⊥,且N M R +=2.定义5.2.3 设M 是内积空间X 的线性子空间,X x ∈,若存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0则称0x 为x 在M 上的投影.在3R 中,对},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,及任意 X x x x x ∈=),,(321,有⊥∈=∈=M x y M x x x ),0,0(,)0,,(3210,使得y x x +=0即0x 为x 在M 上的投影.定理5.2.4 设X 是内积空间,M 是X 的子空间,X x ∈,若0x 是x 在M 上的投影,则||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈ 证明 由于0x 是x 在M 上的投影,因此M x ∈0且M x x ⊥-0,故对于任意M z ∈,有M z x ∈-0,因而z x x x -⊥-00,故2020202002||||||||||||||)()(||||||x x z x x x z x x x z x -≥-+-=-+-=-,所以,||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈. 在3R 中,若取},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,则对任意X x x x x ∈=),,(321,x 在M 上的投影)0,,(210x x x =与x 的距离是x 到M 上的最短距离.Schmidt E .在讨论 Hilbert 的原型2l 空间时,在2l 证明了对任一固定的闭子空间M ,若x 是2l 的任一点,则存在唯一的⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,这就是现在的投影定理.定理5.2.5 设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间,则对任意X x ∈,x 在M 上存在唯一的投影,即存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,且这种分解是唯一的.证明 对于X x ∈,令||||inf ),(z x M x d d Mz -==∈,则存在M x n ∈,使得 d x x n n =-∞→||||lim . 由于M x x n m ∈+2,因此d x x x n m ≥-+||2||. 故 ||)2||||||(||2)||2||2||||||(||2)||2||2(2||||22222222d x x x x x x x x x x x x x x x n m n m n m n m n m --+-≤-+--+-=-=- 由d x x n →-||||,可知}{n x 是Cauchy 列.由于X 是Hilbert 空间,且M 是闭凸集,因此存在M x ∈0,使得0x x n →,所以),(||||0M x d x x =-.令0x x y -=,则y x x +=0,因此下面只须证明M y ⊥.对任意0,≠∈z M z ,及任意K ∈λ,有M z x ∈+λ0.因此d z x x ≥+-||)(||0λ,故22202020||||||)),(Re(2||||||)(||d z z x x x x z x x ≥+---=--λλλ.取20||||),(z z x x -=λ,则 22202022022020|||||),(||||||||||),(||||||),(|2||||d z z x x x x z z x x z z x x x x ≥---=-+---由d x x =-||||0可知,一定有 0),(0=-z x x ,因此z x x ⊥-0对于任意M z ∈成立,即M y ⊥. 由上面讨论可知对于任意M x ∈,存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0.现证这种分解是唯一的.假设存在另一个M x ∈'0及⊥∈M y ',使得''0y x x +=,则⊥∈-∈-M y y M x x ''00,,故由M x x x x x x y y ∈-=---=-'00'00')()(,可知'y y =.结合前面的定理,还可以得下面推论.推论 5.2.1 设X 是Hilbert 内积空间,M 是X 的闭子空间,X x ∈则M x ∈0使得),(||||0M x d x x =-当且仅当M x x ⊥-0.问题 5.2.1 若M 是Hilbert 空间X 的子空间,但M 不是闭的子空间,那对任意X x ∈,x 在M 上是否存在投影呢？例5.2.2 在2l 中,M 为只有有限项非零的实数列全体构成的子空间,则M 不是2l 的闭子空间。

一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。

希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。

大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。

那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。

欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。

于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。

这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。

注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。

只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。

如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。

Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。

这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。

数学的发展可以说是一部抽象史。

最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。

Hilbert班级：15级自动化三班姓名：谢洪涛学号：115110001090指导老师：姚洪亮[《现代分析基础》读书报告——HILBERT 空间]摘要：本文从初学者的角度详细介绍了Hilbert空间的引出与定义，直交性与投影定理，内积空间的直交系以及Hilbert空间在量子力学中的引用。

其中包括了详细的定义定理阐述与证明，以及相应问题的典型举例。

在文章最后给出了Hilbert个人的一些介绍，可以感受到Hilbert空间理论的深刻的背景，加深对理论的学习和理解，同时也向伟大的数学家致敬。

目录1. 内积与H ILBERT空间 (1)1.1 内积的定义与性质 (1)1.2 Hilbert空间的定义 (3)2. 直交性与投影定理 (4)2.1 直交性 (4)2.2 投影定理 (5)3. 内积空间中的直交系 (8)3.1 标准直交系 (8)3.2 标准直交系的一些性质 (11)4.H ILBERT空间在量子力学中的应用 (13)4.1 对Hilbert空间的描述 (13)4.2 量子力学中对Hilbert空间的描述 (13)4.3 为何要引进Hilbert空间来描述态矢量所在空间 (14)5. 附录 (14)5.1 Hilbert简介 (14)5.3 感想与致谢 (15)5.2 参考文献 (16)1. 内积与Hilbert 空间1.1 内积的定义与性质在欧式空间中有一些重要的基本概念，如向量的内积、夹角、正交以及投影等，这些概念在欧式空间几何学中起着重要的作用。

为此，我们将把这些概念抽象化、引入到线性空间中去，就得到Hilbert 空间。

首先回顾解析几何中的有关概念：例如，在R^2中，任意两个向量),(),,(2121y y y x x x ==的内积为2211),(y x y x y x +=x 与y 的夹角为||||),(cos y x y x =α 当x=y 时，1cos =α，),(||2x x x =，从而向量长度为),(||x x x =当x 与y 正交，2πα=，0cos =α−→−0),(=y x 。

Hilbert 空间定义：完备的内积空间称为Hilbert 空间 （1）内积线性空间K 上的一个共轭双线性函数(,):v K K K ⋅⨯→ 称为一个内积，如果它满足a: (,)(,)x y y x = (,)x y K ∀∈ (共轭对称性)b: (,)0x x ≥ ()x K ∀∈ (,)0x x x θ=⇔= (正定性)（2）具有内积的线性空间称为内积空间（3）完备 空间中所有基本列都是收敛列就称该空间是完备的Hilbert 空间能将更多的集合概念，如角度、垂直性等成功地引入中线公式 22222()x yx yx y ++-=+证明：,,,x y x y x y x y x y y x +=++=+++ 同理有,,,x y x y x y x y x y y x -=--=+-- 故等式显然成立定义：（1）设,x y X ∈若(,)0x y =，则说x 与y 正交，记作x y ⊥（2）设{:}i x i I X ∈⊂，若当i j ≠时i j x x ⊥，则称{}i x 为正交系（或正交集、正交组），若{}i x 是正交系且1i x =（i I ∀∈）则称{}i x 为标准正交基。

（3）设,A B X ⊂,约定A B ⊥ ,:;{}a A b B a b x A x A ⇔∀∈∈⊥⊥⇔⊥{:}A x X x A ⊥=∈⊥称A ⊥为集A 的正交补★定理：设{:}i e i N ∈是Hilbert 空间X 中的标准正交系，则以下条件互相等价 （1）对每个x X ∈有以下Fourier 展开式1i i i x x e ∞∧==∑，其中,(1,2,)iix x e i ∧∆=<>=⋅⋅⋅称为x关于{}i e 的Fourier 系数 （2）{}i e 是X 的基本集（3）{}i e 是极大正交系，即若i x e ⊥ (1,2,)i =⋅⋅⋅，则必有0x =（4）任给x X ∈，成立以下Parseval 等式：221i i x x ∞∧==∑证 显然（1）⇔（2）（2）⇔（3） 设条件（2）满足，i x e ⊥ (1,2,)i =⋅⋅⋅，取{}n x X ⊂，使n x x → ()n →∞，且每个n x 是{}i e 的有限线性组合，则必有,0n x x <>=(1,2,)n =⋅⋅⋅，从而2l i m ,0n nx x x =<>=，这推出0x = （3）⇒（1）设条件（3）满足。