这样的情况下，通过一些转换就使这个非线性方程的求解问题被转化为解 一个线性方程组的问题，那么 就是这个方程的决定性算子，称之为三维空间
3
的定位算子 。
3
x1 x2 8det x1 x3 x x 1 4
3
y1 y2 y1 y3 y1 y4
z1 z2 z1 z3 z1 z4
即，一定存在 k1 , k2 , k3 ，使得下列关系成立：
k1 PP 1 2 k2 PP 1 3 k3 PP 1 4 0
不失一般性，首先假定 k1 0 。在这种情况下， P 1P 2 可以被写为 P 1P 3 和P 1P 4 的线性结合。也就是说向量 P 1P 2 ,P 1P 3 和P 1P 4 是在一个平面上。因此 P1, P2, P3 和 P4 四个节点在同一个平面上。 这样证明了定理 1 的必要性。 通过了充分性和必要性的证明，定理 1 得到了证明。
p1 P1
P3 p3
p2 P2 p O p4 P4
图 2 参考点共面 Fig 2 Reference nodes on a plane
证明：
1．充分性：如果这四个节点中的任意两个是相同的，那么能够推导出定(i 1, 2,3, 4) 四个节点是不同的节点。如果
定理 1 的充分性得到了证明。
3 2．必要性：首先假定定位算子 0 ，那么这里一定存在 k1 , k2 , k3 ，这
样：
k1 ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) k2 ( x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 ) k3 ( x4 x1 , y4 y1 , z4 z1 ) 0
空间定位的几何基础
