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一单一正态总体均值μ的假设检验

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正态总体均值的假设检验

正态总体均值的假设检验
t 检验 用 t 分布
2 用 分布
检验
下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C.
例 1 (用例中数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
X 10.05,S2 0.05, S 0.224 X 10 0.05 , 即未落入拒绝域为 S 10 2.262 0.160 S 10 2.262
抽取 样本
检验 假设
拒绝还是不能 拒绝H0
P(T W)=
类错误的概率， W为拒绝域
对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 显著性 水平
还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
-----犯第一

一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为 U 检验 用正态分布
以上检验法叫U检验法.
X ～tn 1 S/ n
0
于是当原假设 H0:μ =μ X 0 ～tn 1 S/ n
成立时,有:
X 0 P tn 1 2 S / n S 即P X 0 tn 1 n 2 S 拒绝域为 X 0 tn 1 n 2 以上检验法叫t检验法.
第八章 第二节
正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H0:μ = μ
0
H1:μ ≠ μ
0
设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验. 方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ =μ , 有:

8.2-0单正态假设检验

8.2-0单正态假设检验
解 这里方差σ2未知，因此检验统计量为
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：

2
2 (n)
或 2

2 1
2 (n)
2


2 0
2


2 0
2


2

11-正态总体的假设检验

11-正态总体的假设检验
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
解： 原假设 H ， 备择假设 H 70 0 : μ70 1 :μ
检验统计量： T X μ 0
S n
拒绝域：
W {T t （ 1 ） } α n
2
1n X i μ 0 2 ( ) 是σ2的无偏估计量, 此时，因为 n i1 σ 0 n X 2 i μ 0 2 ( ) 偏小或偏大， 拒绝域应表现为 χ σ i 1 0
2 2 ( X μ ) ( X μ ) i i 2 2 i 1 i 1 P { χ ( n )} P { χ ( n )} α α α 2 2 1 2 2 σ σ 0 0
拒绝域：
2 2 W { χ χ ( n 1 ) } α
2 2 ( n 1 ) χ ( 8 ) 15 . 507 n=9 ，α=0.05， χ α 0 . 05
W{χ215 .507 }
2 ( n 1 ) S χ2 σ2
2 8 0 .007 .507 15 .68 15 2 0 .005
因为
χ 2 W
所以拒绝H0，
即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显 著地偏大.
三、两个正态总体均值的假设检验
2 ) 的样本, 为取自总体 N ( X , X , , X 1 1 1 2 n 1
2 ) 的样本, 为取自总体 N ( Y , Y , , Y 2 2 1 2 n 2
2
n=36， α=0.05，
t ( n 1 ) t ( 35 ) 2 . 0301 α / 2 0 . 025

正态总体均值的假设检验

正态总体均值的假设检验

上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的对立假设为H1:μ≠μ0 ,该假设称为双边对立假设。

2. 单边检验 H0: μ=μ0; H1: μ>μ0而现在要处理的对立假设为 H1: μ>μ0, 称为右边对立假设。

类似地，H0: μ=μ0; H1: μ<μ0 中的对立假设H1: μ<μ0，假设称为左边对立假设。

右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。

例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为µ。

我们想了解“µ是否显著地大于μ”,即产品的质量指标是否显著地增加了。

8.2.2 两个正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)均值的比较在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。

例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。

将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)。

比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值µ1和µ2的的问题。

上面，我们假定 σ12=σ22。

当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。

在实用中，只要我们有理由认为σ12和σ22相差不是太大，往往就可使用上述方法。

通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节), 就认为σ12和σ22相差不是太大。

J 说明小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。

单个正态总体的假设检验

单个正态总体的假设检验

计算统计量 Z 的观察值
z0
x 0

n
.
(8.3)
如果：( a ) | z0 |> zα/2，则在显著性水平 α 下，拒绝原假设 H0
(接受备择假设H1)，所以| z 0|> zα/2 便是 H0 的拒绝域。
( b ) | z0 | z /2 ，则在显著性水平 α 下，接受原假设 H0，认
=0.05 下 否 定 H0 ， 即 不 能 认 为 这 批 产 品 的 平 均 抗 断 强 度 是
32.50kg·cm-2。
把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期
望值 μ 的检验步骤:
( a )提出待检验的假设 H0 ：μ = μ0； H1：μ ≠ μ0。
( b )构造统计量 Z ，并计算其观察值 z0 :
1277°(可看作温度的真值)，试问此仪器间接测量有无系统偏差?
这里假设测量值 X 服从 X ~ N ( μ , σ2) 分布。
解
①问题是要检验
提出假设 H0 ：μ = μ0=1227； H1：μ ≠ μ0。
由于
σ2
未知( 即仪器的精度不知道 )，我们选取统计量 T
当 H0 为真时，T ~ t ( n -1) ，T 的观察值为
X
X 0

N ( , ) ,
n
Z
n
X 0

n
N (0,1) ,
(8.2)
作为此假设检验的统计量，显然当假设 H0 为真(即μ = μ0正确)
时, Z ~ N ( 0 , 1)，所以对于给定的显著性水平 α ，可求出 zα/2，
使
P{| Z | z 2 } .
见图8-3，即

单个正态总体均值的假设检验

单个正态总体均值的假设检验
得否定域W: |t |>4.0322
使 P t t 2 5
(4) 将样本值代入算出统计量 t 的实测值, 没有落入 | t |=2.997<4.0322 拒绝域 故不能拒绝H0 .
这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显
著, 不足以否定H0 .
练习 生产葡萄糖的重量X ~ N 5， 2 , 观察 25个样本 的重量,得X 5.5, S 1, 问生产机器是否正常? 取 0.05
2. 从某批矿砂中，抽取10样本，检验这批砂矿的含 铁量是否为3%？ 双侧检验
H 0 : 0 3%, H1 : 3%
3.某学校学生英语平均分65分, பைடு நூலகம்抽取某个班的平均 分，看该成绩是否显著高于全校整体水平？ 单侧检验
H 0 : 0 65, H1 : 65
解 提出假设 H 0 : 5 H1 : 5 X 5 确定统计量 T ~ t 24 S 25 确定临界值 t 2 24 t0.025 24 2.0639 得否定域W : T 2.0639
由样本值计算T 2.5 t0.025 24
=0.01下, 新生产织物比过去的织物强力是否有提高
? 解 提出假设, H 0 : 21 H1 : 21
X 21 取统计量 U ~ N (0,1) n
否定域为W : U u0.01 =2.33
单侧检验
{U > u0.01}是 小概率事件
解 提出假设, H 0 : 21 H1 : 21
假设强力指标服从假设强力指标服从n2且??12公斤问在显著性水平??001下新生产织物比过去的织物强力是否有提高新生产织物比过去的织物强力是否有提高

正态总体均值的假设检验


假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
3．大样本单个正态总体均值的检验
设总体为 X ，它的分布是任意的，方差 2 未知， X1 ，X2 ， ，Xn 为 来自总体 X 的样本，H0 ： 0（ 0 已知）．当样本容量 n 很大（ n 30 ）
时，无论总体是否服从正态分布，统计量 t X 0 都近似服从正态分 S/ n
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，故选取统计量
H0 ： 0 72，H1 ： 72 ． t X 0 ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | | t |
x 0
s/ n
t
/
2
(n
1)
．
又知 n 26，x 74.2，s 6.2，查表得 t /2 (25) t0.025 (25) 2.06 ，则有 | t | x 0 74.2 72 1.81 2.06 ， s/ n 6.2/ 26
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，取检验统计量
H0 ： 0.8，H1 ： 0.8 ．
t X 0 ~ t(n 1) ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | t x 0 s/ n
t (n 1) ．
又知 n 16 ，x 0.92，s 0.32 ，查表得 t0.05 (16 1) t0.05 (15) 1.75，则有 t x 0 0.92 0.8 1.50 1.75 ， s/ n 0.32/ 16
假设检验 H0 ： 0 ，H1 ： 0 的拒绝域为 W {t | t t (n 1)}．
（7-8） （7-9）
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验

假设检验

假设检验一、基本思想与基本步骤(一)假设检验问题[例1.6-1]某厂生产某种化纤的纤度X服从正态分布N(μ，0.042)，其中μ的设计值为1.40，每天都要对“μ=1.40”作例行检验，以观生产是否正常运行。

某天从生产线中随机抽取25根化纤，测得纤度值为:x1，x2，…，x25其纤度平均值=1.38，问当日生产是否正常。

几点评论:(1)这不是一个参数估计问题。

(2)这里要求对某个命题“μ=1.40”回答:是与否。

(3)这一类问题被称为(统计)假设检验问题。

(4)这类问题在质量管理中普遍存在。

(二)假设检验的基本步骤假设检验的基本思想是:根据所获样本，运用统计分析方法，对总体X的某种假设H0做出接受或拒绝的判断。

具体做法如下:1.建立假设H0:μ=1.40这是原假设，其意是:“与原设计一致”，“当日生产正常”等。

要使当日生产与1 40无差别是办不到的，若差异仅是由随机误差引起的，则可认为H0成立；若由其他特殊因素引起的，则认为差异显著，则应拒绝H0。

H1:μ≠1.40 这是备择假设，它是在原假设被拒绝时而应接受的假设。

在这里，备择假设还有两种设置形式，它们是:H12:μ<1.40，或H13:μ>1.40 备择假设的不同将会影响下面拒绝域的形式，今后称H0对H1的检验问题是双边假设检验问题H0对H12的检验问题是单边假设检验问题H0对H13的检验问题也是单边假设检验问题注:若假设是关于总体参数的某个命题，称为参数的假设检验问题，比如:H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0，H0:σ2≤σ20，H1:σ2>σ20，H0:P≥P0，H1:P<P0，都是参数假设检验问题。

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假设检验 正态总体均值的假设检验

如在前面实例中,
拒绝域 |u|为 u/2,
临界点 u/2及 为 u/2.
.
11
3. 两类错误及记号
假设检验是根据样本的信息并依据小概率原 理，作出接受还是拒绝H0的判断。由于样本具有 随机性，因而假设检验所作出的结论有可能是错 误的. 这种错误有两类:
(1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而 作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃
第八章 假 设 检 验
第1节 假设检验
一、假设检验的基本原理 二、假设检验的相关概念 三、假设检验的一般步骤
.
1
一、假设检验的基本原理
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、 但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性 质, 提出某些关于总体的假设.
例如, 提出总体服从泊松分布的假设;
又如 ,对于正态总体 期提 望出 等 0的 数 于学
1.9 0 1.6 0 1.8 0 1.5 0 1.7 0 1.2 0 1.7 0 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常?
解 X~N(,2),0.15,
1.提出假设
H0:1.0 5, H 1:1.0 5,
.
17
2.求统计量值
n15, X 10.48, 则 uX01.048 1.05 0.51,6
下面结合实例来说明假设检验的基本思想.
.
3
实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的 袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当 机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015 公斤.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机 地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(公斤): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常?

单个正态总体参数的假设检验

单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。

在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。

2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。

根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。

3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。

在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。

4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。

如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。

5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。

根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。

6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。

下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。

假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。

我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。

现在我们要进行假设检验。

1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。

2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。

z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。

4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。

5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。

在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。

6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。

如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。

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检验统计量： T
11
n1 n2
X Y
(n1
1)S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
拒绝域： W { T t（α n1 n2 2）}
2
n1 7， x 140.7143， s12 6.5714，
n2 6， y 138.5
s22 7.1
α=0.10
t（α n1 n2 2） t0.0（5 11） 1.7989
2
W {| T | t（α n1 n2 2）} {| T | 1.7989}
2
1 1 1 1 0.5563
n1 n2
76
(n1 1)s12 (n2 1)s22 6 6.5714 5 7.1 2.6099
n1 n2 2
11
t
x y
1 1 (n1 1)s12 (n2 1)s22
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
第一批：140，138，143，142，144，137，141
第二批：135，140，142，136，138，140.
设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同，
试判断这两批学生的平均身高是否相等（α=0.10 ）。
解: 原假设 H 0 : μ1 μ2 ， 备择假设 H1 : μ1 μ2 ，
W {U zα } {U 1.645}
u xy
σ12
σ
2 2
n1 n2
174.34 172.42 1.6717 5.352 6.112 50 50
1.645
因为 u W 所以拒绝H0， 认为该校经常参加体育锻炼的男生比不经常参 加体育锻炼的男生平均身高要高些.
四、两个正态总体方差的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验
1．已知 μ μ0 时，总体方差σ2的假设检验
χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边
检验
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
单边
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
检验
σ2
σ
2 0
σ2பைடு நூலகம்
σ
2 0
χ2
n
i 1
Xi σ0
μ0
2
拒绝域
χ2
χ
2 1
α
(
n)
2
χ2
χ
2
α
(
Sn
拒绝域： W { T t（α n 1）}
2
n=36， α=0.05，
tα / 2 (n 1) t0.025 (35) 2.0301
W { T tα / 2 (n 1)} {| T | 2.0301} t x μ0 66.5 70 1.4 2.0301
s n 15 / 36
双边 检验
原假设 H0
1 2
单边 检验
1 2 1 2
备择假设 检验统计量 H1
1 2 1 > 2 1 < 2
U X Y
σ12
σ
2 2
n1 n2
拒绝域
U zα
2
U zα
U zα
2．σ12
，σ
2未知，但
2
σ12
σ
2 2
时，总体均值的假设
检验
T 检验法
类型 原假设 备择假设 检验统计量
H0
W
{
χ2
χ
2 α
(n
1)
}
n=9 ，α=0.05，
χ
2 α
(n
1)
χ
2 0.05
(8)
15.507
W { χ 2 15.507}
χ2
(n 1)S 2 σ2
因为 χ 2 W
8 0.0072 0.0052 15.68
15.507
所以拒绝H0，
即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显 著地偏大.
P{拒绝H0|H0为真} P ( X μ0 k μ μ0 )
P{| X μ0 | k } P{| U | k } α
σ0 n σ0 n
σ0 n
所以
k σ0
n zα/2，
即： P{| U | zα / 2 } α
由此知，拒绝域为： W {| U | zα / 2 }
统计中把拒绝域在某个区间的两侧的检验称为双边 检验（这里是区间（ zα / 2，zα / 2）的两侧） (2) μ的单边检验：
三、两个正态总体均值的假设检验
X1 , X 2 , , X n1
为取自总体
N
(
1
2 1
)
的样本,
Y1 ,Y2 , ,Yn2
为取自总体 N
(
2
2 2
)
的样本,
且两总体相互独立。
X , S12 ;
Y
,
S
2 2
分别表示两样本的样本均值与样本方差
1．已知
σ12
，σ
2 2
时，总体均值的假设检验
U 检验法
类型
n)
2
χ2
χ
2 α
(n)
χ2
χ
2 1α
(n)
推导（双边检验情形） ：
当H0为真时，
χ2
i
n 1
X i μ0 σ0
2
~
χ 2 (n)
此时，因为 1 n ( X i μ0 )2 是σ2的无偏估计量,
n i1
σ0
拒绝域应表现为 χ 2 n ( X i μ0 )2偏小或偏大，
i 1
σ0
P{拒n绝H0|H0为真}
因为 t W 所以接受H0，
在显著性水平0.05下，可以认为在这次考试 中全体考生的平均成绩为70分。
例2.一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布
N(0.095,0.022）（单位：mm)。机床经调整后随机取
20根测量其椭圆度，算得 x 0.088 mm 。已知总
体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值
解: 原假设 H 0 : σ 2 60， 备择假设 H1 : σ 2 60
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
W
{
χ2
χ
2 1
α
(
n
1)，χ
2
χ
2
α
(n
1)
}
2
2
n=10 ，α=0.1，
χ2 1 α
(n 1)
χ
2 0.95
(9)
3.325
2
χ
2
α
(
n
1)
χ
2 0.05
(9)
σ
2 0
单边
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
检验
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
χ2
(n 1)S 2
σ
2 0
拒绝域
χ2
χ
2 1
α
(n
1)
2
χ2
χ
2
α
(
n
1)
2
χ2
χ
2 α
(n
1)
χ2
χ
2 1α
(n
1)
例4. 在生产线上随机地取10只电阻测得电阻值
（单位：欧姆）如下：114.2，91.9，107.5，89.1， 87.2，87.6，95.8 ，98.4，94.6，85.4 设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性 水平α=0.1下方差与60是否有显著差异？
H1
拒绝域
双边 1 2
检验
单边 1 2
检验
1 2
1 2 1 > 2 1 < 2
T (X Y ) 11 n1 n2 Sw
S
2 w
(n1
1)S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
T t（α n1 n2 2）
2
T t（α n1 n2 2）
T t（α n1 n2 2）
例6.测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：
16.919
W { χ 2 3.325，χ 2 16.919}
2
s2 87.6823
χ2
(n
1)S σ2
2
9 87.6823 13.15235 60
因为 χ 2 W
所以接受H0，
即在显著性水平α=0.1下，认为方差与60无显著差异.
例5. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过
0.005欧姆，今在生产的一批导线中取样本9根，测
σ2
σ
2 0
时，总体均值μ
的假设检验
(1) μ的双边检验：
原假设 H 0 : μ μ0 ， 备择假设 H1 : μ μ0 取检验统计量： U X μ0
σ0 n 则拒绝域为： W {| U | zα / 2 }
推导：
当H0为真时，U
X σ0
μ0 n
~N(0, 1)
此时，因为 X 是μ0的无偏估计量, | X μ0 不| 应太大.
有无显著降低？ (α 0.05)
解: x 0.088 0.095
原假设H 0 : μ 0.095， 备择假设H1 : μ 0.095