2013届高考一轮数学复习理科课时作业 7-3

课时作业一、填空题1．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________． 解析 建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E (0，1，0)，F (0，0，1)， 则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)， ∴EF →·BC 1→＝2， ∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成角为60°. 答案 60°2.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．则由cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2. 答案23．如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．解析 如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)， C (－a ，0，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2.则CA→＝(2a ，0，0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a ，0)． 设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0，1，1)， 则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n|CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB→，n 〉＝60°， ∴直线BC 与平面P AC 的夹角为90°－60°＝30°. 答案：30°4．如图是一副直角三角板．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD ，则下列叙述正确的是________． ①BD→·AC →＝0； ②平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直； ③异面直线BC 与AD 所成的角为60°； ④四面体ABCD 有外接球；⑤直线DC 与平面ABC 所成的角为30°.解析 依题意得，BD ⊥平面ABC ， 又AC ⊂平面ABC ，因此有BD ⊥AC ， 所以BD→·AC →＝0，①正确．由于平面BCD 与平面ACD 不垂直，因此平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量不垂直，②不正确．对于③，作AE ⊥BC 于E ，设AB ＝AC ＝2a ，直线BC 与AD 所成的角为θ， 则BC ＝22a ，BD ＝26a3.以E 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0，0，0)，A (0，0，2a )，B (0，－2a ，0)，C (0，2a ，0)，D (263a ，－2a ，0)，则BC →＝(0，22a ，0)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫263a ，－2a ，－2a， 所以cos θ＝|cos 〈BC →，AD →〉|＝|BC →·AD →||BC →|·|AD →|＝4a 2（22a ）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫263a 2＋（－2a ）2＋（－2a ）2＝3010，因此直线BC 与AD 所成的角不是60°，③不正确．对于④⑤，依题意得，BD ⊥平面ABC ，直线DC 与平面ABC 所成的角是∠BCD ＝30°，又易知BD ⊥AC ，AB ⊥AC ，则AC ⊥平面ABD ，于是有AC ⊥AD ，记CD 的中点是F ，连接BF ，则有AF ＝12CD ＝BF ，因此点F 到A ，B ，C ，D 的距离相等，故四面体ABCD 有外接球，所以④⑤正确．综上所述，其中叙述正确的是①④⑤. 答案 ①④⑤ 三、解答题5．(2014·长春调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点．(1)求证：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；(3)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．解析 (1)证明：∵AA 1＝A 1C ＝AC ＝2， 且O 为AC 中点，∴A 1O ⊥AC . 又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ， 交线为AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(2)连接OB ，如图，以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B (1，0，0)， C (0，1，0)，A 1(0，0，3)，A (0，－1，0)． ∴A 1C →＝(0，1，－3)，令平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·AA 1→＝n ·AB →＝0， 而AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(1，1，0)，则⎩⎨⎧y ＋3z ＝0x ＋y ＝0，可求得一个法向量n ＝(3，－3，3)， ∴|cos 〈A 1C →，n 〉|＝|n ·A 1C →||n |·|A 1C →|＝62×21＝217，∴直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值为217. (3)存在点E ，且E 为线段BC 1的中点．连接B 1C 交BC 1于点M ，连接AB 1、OM ， 则M 为B 1C 的中点，∴OM 是△CAB 1的一条中位线，OM ∥AB 1， 又AB 1⊂平面A 1AB ，OM ⊄平面A 1AB ， ∴OM ∥平面A 1AB ，∴BC 1的中点M 即为所求的E 点．6．(2013·辽宁高考)如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C －PB －A 的余弦值． 解析 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)解法一：过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC . 如图(1)，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1， 所以BC ＝ 3.又因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0.所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)． 因为AP→＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1，3，0)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图(1)知二面角C －PB －A 为锐角， 故二面角C －PB －A 的余弦值为64.解法二：如图(2)，过C 作CM ⊥AB 于M ， 因为P A ⊥平面ABC ， CM ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥CM .又因为P A ∩AB ＝A ，且P A ⊂平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以CM ⊥平面P AB .过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ， 由三垂线定理得CN ⊥PB ，所以∠CNM 为二面角C －PB －A 的平面角． 在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32. 在Rt △P AB 中，由AB ＝2，P A ＝1，得PB ＝ 5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ， 所以MN 1＝325，所以MN ＝3510.所以在Rt △CNM 中，CN ＝305，所以cos ∠CNM ＝64， 所以二面角C －PB －A 的余弦值为64.7．(2014·北京西城二模)如图1，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示．(1)证明：BC ⊥平面PBD ； (2)证明：AM ∥平面PBC ；(3)线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为34？若存在，找到符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，请说明理由． 解析 解法一：(1)证明：由俯视图可得BD 2＋BC 2＝CD 2， 所以BC ⊥BD .又因为PD ⊥平面ABCD ， 所以BC ⊥PD ， 所以BC ⊥平面PBD .(2)证明：取PC 上一点Q ，使PQ ∶PC ＝1∶4，连接MQ ，BQ . 由俯视图知PM ∶PD ＝1∶4， 所以MQ ∥CD ，MQ ＝14CD .在△BCD 中，易得∠CDB ＝60°，所以∠ADB ＝30°. 又BD ＝2，所以AB ＝1，AD ＝ 3.又因为AB ∥CD ，AB ＝14CD ，所以AB ∥MQ ，AB ＝MQ ， 所以四边形ABQM 为平行四边形，所以AM ∥BQ . 因为AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， 所以直线AM ∥平面PBC .(3)线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为34.证明如下：因为PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ， 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .所以D (0，0，0)，A (3，0，0)，B (3，1，0)， C (0，4，0)，M (0，0，3)． 设N (0，t ，0)，其中0≤t ≤4，所以AM→＝(－3，0，3)，BN →＝(－3，t －1，0)． 要使AM 与BN 所成角的余弦值为34， 则有|AM →·BN →||AM →||BN →|＝34，所以|3|23·3＋（t －1）2＝34，解得t ＝0或2，均适合0≤t ≤4.故点N 位于D 点处，此时CN ＝4；或点N 位于CD 的中点处，此时CN ＝2，有AM 与BN 所成角的余弦值为34.解法二：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ， 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .在△BCD 中，易得∠CDB ＝60°，所以∠ADB ＝30°.因为BD ＝2，所以AB ＝1，AD ＝ 3.由俯视图和侧视图可得D (0，0，0)，A (3，0，0)，B (3，1，0)，C (0，4，0)，M (0，0，3)，P (0，0，4)，所以BC→＝(－3，3，0)，DB →＝(3，1，0)． 因为BC →·DB →＝－3×3＋3×1＋0×0＝0， 所以BC ⊥BD .又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ， 所以BC ⊥平面PBD .(2)证明：设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC→＝0，n ·BC →＝0.因为BC→＝(－3，3，0)，PC →＝(0，4，－4)，所以⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋3y ＝0.取y ＝1，得n ＝(3，1，1)．因为AM→＝(－3，0，3)， 所以AM →·n ＝3·(－3)＋1·0＋1·3＝0. 因为AM ⊄平面PBC ， 所以直线AM ∥平面PBC .(3)线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为34. 证明如下：设N (0，t ，0)，其中0≤t ≤4，所以AM→＝(－3，0，3)，BN →＝(－3，t －1，0)．要使AM与BN所成角的余弦值为3 4，则有|AM→·BN→||AM→||BN→|＝34，所以|3|23·3＋（t－1）2＝34，解得t＝0或2，均适合0≤t≤4.故点N位于D点处，此时CN＝4；或点N位于CD的中点处，此时CN＝2，有AM与BN所成角的余弦值为3 4.。

课时作业(三十三)1．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m )＜0的解集为( ) A ．{x |1m ＜x ＜m } B ．{x |x ＞1m 或x ＜m } C ．{x |x ＞m 或x ＜1m } D ．{x |m ＜x ＜1m }答案 D解析 当0<m <1时，m <1m .2．若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z}，N ＝{x ∈R|3x －1x －9≤1}，则M ∩N的真子集的个数是( )A ．15B ．7C ．16D ．8 答案 B解析 由N ＝{x |－4≤x <9}，M ∩N ＝{4,1,0}， 真子集个数23－1＝7. 3．函数y ＝log 12(x 2－1)的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．[－2，－1]∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0x 2－1≤1，得[－2，－1)∪(1，2]．4．已知集合M ＝{x |x 2－2008x －2009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]，则( )A ．a ＝2009，b ＝－2010B ．a ＝－2009，b ＝2010C ．a ＝2009，b ＝2010D ．a ＝－2009，b ＝－2010 答案 D解析 化简得M ＝{x |x <－1或x >2009}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2010}，即－1,2010是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2010＝－2010，－a ＝－1＋2010，即a ＝－2009. 5．(2011·济南统考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )的最小正周期为3，且f (1)>0，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m <32B ．m <32且m ≠1 C ．－1<m <32 D ．m >32或m <－1 答案 C解析 由题意得f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<0，即2m －3m ＋1<0，∴－1<m <32，故选C.6.已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图像如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析 由导数图像知当x <0时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数， 故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6<0，x 2－6>－2或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)． 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案 B解析 ∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎨⎧x 0<1x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．8．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A ．(－12，32)B ．(－32，12) C ．(－1,1) D ．(0,2)答案 A解析 由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，∴－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，∴4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.故选A .解法2：即y 2－y <x 2－x ＋1对x ∈R 恒成立，∴y 2－y <(x 2－x ＋1)min＝34.∴y 2－y <34，解之得－12<y <32.9．不等式2－xx ＋4>0的解集是________．答案 (－4,2)解析 考查分式不等式的解法2－xx ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0，所以－4<x <2.10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如表：答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析 方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可． 11．关于x 的不等式x 2－(a ＋1a ＋1)x ＋a ＋1a <0(a >0)的解集为________．答案 (1，a ＋1a )解析 不等式可化为[x －(a ＋1a )](x －1)<0， ∵a >0，∴a ＋1a ≥2>1.∴该不等式的解集为(1，a ＋1a )．12．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．答案 －2≤a <65解析 当a 2－4＝0，即a ＝－2或a ＝2时，当a ＝2时不等式为4x －1≥0，解集不是空集．当a ＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a ＝－2符合题意．当a 2－4≠0时，需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0， 解得－2<a <65. 综上可知－2≤a <65.13．(2010·湖南理)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R)，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.证明 易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.14．设函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立？若存在，试求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．思路 首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题．解析 由于f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对任意x ∈[0,1]都成立⇔不等式1－ax －x 2<2－a 对于任意x ∈[0,1]都成立．即不等式x 2＋ax －a ＋1>0在x ∈[0,1]上恒成立．方法一 令g (x )＝x 2＋ax －a ＋1，只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可．g (x )＝x 2＋ax －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24－a ＋1.①当－a2<0，即a >0时，g (x )min ＝g (0)＝1－a >0⇒a <1，故0<a <1； ②当0≤－a2≤1，即－2≤a ≤0时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a24－a ＋1>0⇒－2－22<a <－2＋22， 故－2≤a ≤0；③当－a2>1，即a <－2时，g (x )min ＝g (1)＝2>0，满足，故a <－2. 故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．方法二 由1－ax －x 2<2－a 得(1－x )a <x 2＋1， ∵x ∈[0,1]，∴1－x ≥0，∴①当x ＝1时，0<2恒成立，此时a ∈R ；②当x ∈[0,1)时，a <x 2＋11－x 恒成立．求当x ∈[0,1)时，函数y ＝x 2＋11－x 的最小值．令t ＝1－x (t ∈(0,1])，则 y ＝x 2＋11－x ＝(1－t )2＋1t ＝t ＋2t －2， 而函数y ＝t ＋2t －2是(0,1]上的减函数， 所以当且仅当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1. 故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a <1， 由①②得a <1.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．1．(苏北四市调研)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为Ø，则实数a 的取值范围为________．答案 [24，＋∞)解析 解法1：原命题可等价于不等式ax 2－|x |＋2a ≥0对于任意的实数x 均成立，即a (x 2＋2)≥|x |对于任意的实数x 均成立，由于x 2＋2>0且|x |≥0，故a >0，分别作出f 1(x )＝a (x 2＋2)和f 2(x )＝|x |的图像如图：根据图像的对称性，只需研究x ≥0时满足即可，当x ≥0，二者相切时，应有f 1′(x )＝2ax ＝1，此时x ＝12a ，所以，欲使原命题成立，只需满足f 1(12a )≥f 2(12a )，即a ×14a 2＋2a ≥12a ⇒8a 2≥1，解之得a ≥24(a ≤－24舍去)．解法2：令t ＝|x |≥0，原不等式可化为at 2－t ＋2a <0在t ≥0不存在，即at 2－t ＋2a ≥0在t ≥0恒成立，∴⎩⎨⎧a >0Δ≤0或⎩⎨⎧a >012a <02a ≥0解之得a ≥24.2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定 答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为直线x ＝1， 则有a2＝1，故a ＝2.又f (x )开口向下，所以f (x )在[－1,1]上为增函数． f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， ∴b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.3．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解析 解x 2－x －2>0得x >2或x <－1 解2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0(有解集)得(2x ＋5)(x ＋k )<0由原不等式组，整数解为{－2}．得 －52<x <－k ，∴－2<－k ≤3 ∴－3≤k <2.4．设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2. (1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值； (2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3) 如果x 1x 2∈[110，10]，试求a 的最大值．解析 (1)(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－1a ＋1a ＝1. (2)令f (x )＝ax 2＋x ＋1，由Δ＝1－4a ≥0， 得0<2a ≤12，∴抛物线f (x )的对称轴 x ＝－12a ≤－2<－1. 又f (－1)＝a >0，∴f (x )图像与x 轴的交点都在点(－1,0)的左侧， 故x 1<－1，且x 2<－1.(3)由(1)，x 1＝11＋x 2－1＝－x 21＋x 2.x 1x 2＝－11＋x 2∈[110，10]， 所以－1x 2∈[111，1011]．所以a ＝1x 1x 2＝－1＋x 2x 22＝－[(－1x 2)－12]2＋14.故当－1x 2＝12时，a 取得最大值为14.。

1．(2012·衡水调研卷)若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)的值为( )A．3·2－2 B．3·2－10C．2－4 D．2－8答案 B解析Eξ＝np＝6，Dξ＝np(1－p)＝3p＝，n＝12，P(ξ＝1)＝C()12＝3·2－10.2．设随机变量的分布列如表所示，且Eξ＝1.6，则a×b＝( )ξ0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2B．0.1C．0.15 D．0.4解析由分布列的性质得0.1＋a＋b＋0.1＝1，a＋b＝0.8又由Eξ＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3由解得a＝0.3，b＝0.5，a×b＝0.3×0.5＝0.15.答案 C3．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( )A．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52 B．Eξ＝3.5，Dξ＝C．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5 D．Eξ＝3.5，Dξ＝答案 B4．(2012·沧州七校联考)某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( )A．60.82元 B．68.02元C．58.82元 D．60.28元答案 A解析E(ξ)＝100×＋(－10)×≈60.82，选A.5．(2012·岳阳联考)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )A. B.C. D.答案 D解析设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X 3 2 0 P a b c E(X)＝3a＋2b＝2≥2，所以ab≤，当且仅当3a＝2b时，等号成立．6．随机变量ξ的分布列如下：ξ－1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝，则Dξ的值是( )A. B.C. D.解析a，b，c成等差数列，2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，且Eξ＝－1×a＋1×c＝c－a＝.联立三式得a＝，b＝，c＝，Dξ＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.答案 C7．若随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a.若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于________．答案0解析依题意有a＝1－＝，所以Eξ＝m＋n＝2，即m＋2n＝6，又Dξ＝(m－2)2＋(n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2，所以当n＝2时，Dξ取最小值为0. 8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案，25解析Dξ＝100p(1－p)≤100·()2＝25当且仅当p＝1－p.即p＝时，Dξ最大为25.9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．解析设要求投保人交x元，公司的收益额ξ作为随机变量，则p(ξ＝x)＝ 1－p，p(ξ＝x－a)＝p，故Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，x－ap＝0.1a，x＝(0.1＋p)a.答案(0.1＋p)a10．(2011·江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.答案解析可以先把这组数都减去6再求方差，11．(2010·浙江理)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案解析P(X＝0)＝＝(1－p)2×，p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X ＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.12．(2012·江南十校联考)甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为.(1)求这一技术难题被攻克的概率；(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．解析(1)这一技术难题被攻克的概率P＝1－(1－)(1－)(1－)＝1－××＝.(2)X的可能取值分别为0，，，a.P(X＝0)＝＝，P(X＝)＝＝，P(X＝)＝＝，P(X＝a)＝＝.X的分布列为X 0 a P E(X)＝0×＋×＋×＋a×＝a. 13．(2012·广州综合测试)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)．参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球，则没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望．解析设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000,800,600,0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金减半，即分别为500,400,300,0.则ξ的所有可能取值为1000,800,600,500,400,300,0.依题意得P(ξ＝1000)＝P(ξ＝800)＝P(ξ＝600)＝，P(ξ＝500)＝P(ξ＝400)＝P(ξ＝300)＝P(ξ＝0)＝，则ξ的分布列为ξ1000 800 600 500 400 300 0 P 所以所求的期望为E(ξ)＝×(1000＋800＋600)＋×(500＋400＋300＋0)＝675(元)．即一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望是675元．14．(2012·衡水调研卷)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：甲运动员射击环数频数频率7 10 0.1 8 10 0.1 9 x 0.4510 35 y 合计100 1 乙运动员射击环数频数频率7 8 0.1 8 12 0.15 9 z10 0.35 合计80 1若将频率视为概率，回答下列问题：(1)求甲运动员击中10环的概率；(2)求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率；(3)若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E(ξ)．解析由题意得x＝100－(10＋10＋35)＝45，y＝1－(0.1＋0.1＋0.45)＝0.35.因为乙运动员的射击环数为9时的频率为(1－(0.1＋0.15＋0.35)＝0.4，所以z＝0.4×＝32.由上可得表中x处填45，y处填0.35，z处填32.(1)设“甲运动员击中10环”为事件A，则P(A)＝0.35，即甲运动员击中10环的概率为0.35.(2)设甲运动员击中9环为事件A1，击中10环为事件A2，则甲运动员在一次射击中9环以上(含9环)的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.45＋0.35＝0.8，故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率P＝1－[1－P(A1＋A2)]3＝1－0.23＝0.992.(3)ξ的可能取值是0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝0.22×0.25＝0.01，P(ξ＝1)＝C×0.2×0.8×0.25＋0.22×0.75＝0.11，P(ξ＝2)＝0.82×0.25＋C×0.8×0.2×0.75＝0.4，P(ξ＝3)＝0.82×0.75＝0.48.所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3 P 0.01 0.11 0.4 0.48 E(ξ)＝0×0.01＋1×0.11＋2×0.4＋3×0.48＝2.35.1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )A. B.C. D．1答案 A解析离散型随机变量X服从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，EX＝＝＝.2．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为( )A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.6答案 B解析途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，EX＝3×0.4＝1.2. 3．设ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，则n与p的值分别为( ) A．18， B．12，C．18， D．12，答案 C解析由，解得n＝18，p＝.4．(2012·沈阳模拟)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－2，－，－，0，，，2.用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案解析当l的斜率为±时，直线方程为±2x－y＋1＝0，此时d1＝；k＝±时，d2＝；k＝±时，d3＝；k＝0时，d4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下：X 1 P EX＝×＋×＋×＋1×＝. 5．(2011·江西理)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解析(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)，即X 0 1 2 3 4 P (2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝，EY＝3500×＋2800×＋2100×＝2280，所以此员工月工资的期望为2280元．6．(2011·陕西理)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的频率0.1 0.20.3 0.2 0.2 L2的频率0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．()为了尽量大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？()用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对()的选择方案，求X的分布列和数学期望．【解析】()Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6。

1．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4C ．8D ．16解析：选D.原式＝⎠⎛-60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ， ∵原函数为偶函数，∴在y 轴两侧的图象对称．∴对应的面积相等．故选D.2．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确解析：选A.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin t ＋t 33＋2t |x -x ＝2sin x ＋2x 33＋4x ，为奇函数． 3．一物体的下落速度为v (t )＝9.8t ＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是( )A ．249米B ．261.2米C ．310.3米D ．450米解析：选B.所求路程为⎠⎛48(9.8t ＋6.5)dt＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(米)．4．(2008年高考海南、宁夏卷)由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x轴所围成图形的面积为( )A.154B.174C.12ln2 D ．2ln25．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：选D.a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83， b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|204， c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos2， 因为1<1－cos2<2，所以c <a <b .6．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x <0)cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1C ．2 D.12 解析：选 A.作出图象可知：S ＝⎠⎛-10－1(x ＋1)d x ＋⎠⎜⎜⎛0 π2 cos x d x ＝ 7．已知a ∈[0，π2]，则当ʃa 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|a 0＝sin a ＋cos a －(sin0＋cos0)＝2sin(a ＋π4)－1，当a ＝π4时，⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值2－1. 答案：π48．⎠⎛-aa (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________.解析：⎠⎛-aa (2x －1)d x ＝(x 2－x )|a -a ＝a 2－a －[(－a )2－(－a )]＝a 2－a －a 2－a ＝－2a ＝－8，∴a ＝4.答案：49．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________. 解析：∵⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ， ∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛01f (x )d x ＝－1－1＝－2. 答案：－210.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，x 2＋6，x >0.求⎠⎛-11f (x )d x . 解：⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛-10 (x －1)d x ＋⎠⎛01 (x 2＋6)d x＝(12x 2－x )|0-1＋(13x 3＋6x )|10＝－(12＋1)＋13＋6＝296.11．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，P 点的坐标为(x ，y )，则⎠⎛0x (kx －x 2)d x ＝⎠⎛x 2(x 2－kx )d x ，即(12kx 2－13x 3)|x 0＝(13x 3－12kx 2)|2x ，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12kx 2)，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．12．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝ －2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a b ＝0. ∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 [ax 2＋(2－a )]d x＝[13ax 3＋(2－a )x ]|10＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.。

课时作业(三十八)1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2 B .13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 答案 D2．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1) D.1(2n ＋1)(2n ＋2) 答案 C解析 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ， 得S 2＝2(2×2－1)a 2，即a 1＋a 2＝6a 2， ∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3.∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C.3．n 为正奇数时，求证：x n ＋y n 被x ＋y 整除，当第二步假设n ＝2k －1命题为真时，进而需证n ＝________，命题为真．答案 2k ＋14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n .(1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式并证明． 解析 (1)由(S 1－1)2＝S 21得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23； 由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34. (2)猜想：S n ＝n n ＋1. 证明：①当n ＝1时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，S k ＝kk ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，由(S k ＋1－1)2＝a k ＋1S k ＋1得：S k ＋1＝12－S k＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2， 从而n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综合①②得结论成立．5．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512.解析 (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2.那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)1a 1＋b 1＝16<512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)·n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <16＋12(12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1))＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝16＋12(12－1n ＋1)<16＋14＝512.6．已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12a n ·(4－a n )，(n ∈N)．证明：a n <a n ＋1<2，(n ∈N)．证明 解法一 用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32， 所以a 0<a 1<2，命题正确．(2)假设n ＝k 时命题成立，即a k －1<a k <2. 则当n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1 ＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k ) ＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k ) ＝12(a k －1－a k )(4－a k －1－a k )．而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0，所以a k －a k ＋1<0. 又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]<2. 所以n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N 时有a n <a n ＋1<2. 解法二 用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32， 所以0<a 0<a 1<2；(2)假设n ＝k 时有a k －1<a k <2成立， 令f (x )＝12x (4－x )，f (x )在[0,2]上单调递增， 所以由假设有：f (a k －1)<f (a k )<f (2)，即12a k －1(4－a k －1)<12a k (4－a k )<12×2×(4－2)， 也即当n ＝k ＋1时，a k <a k ＋1<2成立． 所以对一切n ∈N ，有a k <a k ＋1<2.7．已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1，a ∈R(1)当a ＝2时，试比较f (x )与1的大小；(2)求证：ln(n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，其定义域为(0，＋∞)．令h (x )＝f (x )－1＝ln x ＋2x ＋1－1，∵h ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2>0，∴h (x )在(0，＋∞)上是增函数． ①当x >1时，h (x )>h (1)＝0，即f (x )>1； ②当0<x <1时，h (x )<h (1)＝0，即f (x )<1； ③当x ＝1时，h (x )＝h (1)＝0，即f (x )＝1.(2)证法一：根据(1)的结论，当x >1时，ln x ＋2x ＋1>1，即ln x >x －1x ＋1.令x ＝k ＋1k (k ∈N *)，则有ln k ＋1k >12k ＋1，∴∑nk ＝1ln k ＋1k >∑nk ＝1 12k ＋1.∵ln(n ＋1)＝∑nk ＝1ln k ＋1k ，∴ln(n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)． 证法二：当n ＝1时，ln(n ＋1)＝ln2.∵3ln2＝ln8>1，∴ln2>13，即n ＝1时命题成立．假设当n ＝k 时，命题成立，即ln(k ＋1)>13＋15＋…＋12k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，ln(n ＋1)＝ln(k ＋2)＝ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1>13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1. 根据(2)的结论，当x >1时，ln x ＋2x ＋1>1，即ln x >x －1x ＋1.令x ＝k ＋2k ＋1，则有ln k ＋2k ＋1>12k ＋3，则有ln(k ＋2)>13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3，即n ＝k ＋1时命题也成立．8．已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项的和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．思路 (1)求得a 2、a 5的值即可得a n 的表达式，再利用T n －T n －1＝b n 求出{b n }的通项公式；(2)首先求出S n ＋1与1b n的表达式，先进行猜想，再进行证明．解析 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.又∵{a n }的公差大于0，∴a 5>a 2.∴a 2＝3，a 5＝9.∴d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1.∵T n ＝1－12b n ，b 1＝23，当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1， ∴b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －(1－12b n －1)， 化简，得b n ＝13b n －1，∴{b n }是首项为23，公比为13的等比数列， 即b n ＝23·(13)n －1＝23n ，∴a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2)∵S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2， 以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1<S 2.当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，∴1b 2<S 3.当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，则1b 3<S 4.当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，得1b 4>S 5.猜想：n ≥4时，1b n >S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知n ∈N *，n ≥4时，1b n>S n ＋1成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n <S n ＋1，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.1．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)是真命题，则F (k ＋1)是真命题，现已知F (7)是假命题，则有：①F (8)是假命题；②F (8)是真命题；③F (6)是假命题；④F (6)是真命题；⑤F (5)是假命题；⑥F (5)是真命题．其中真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④ 答案 A解析 用反证法，假设F (6)真，则F (7)真，与已知矛盾；假设F (5)真，则F (6)真，进而F (7)真，与已知矛盾．2．(2011·山东济南模拟)设函数f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2(x ∈R)．(1)求函数y ＝f (x )的单调区间； (2)求y ＝f (x )在[－1,2]上的最小值；(3)当x ∈(1，＋∞)时，用数学归纳法证明：∀n ∈N *，e x －1>xnn ！.解析 (1)f ′(x )＝2x e x －1＋x 2e x －1－x 2－2x ＝x (x ＋2)(e x －1－1)，令f′(x)＝0，可得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：－2)和(0,1)．(2)当x∈[－1,2]时，f(－1)＝1e2－23<0，f(2)＝4(e－53)>0，f(x)极小值＝f(1)＝－13>f(－1)，f(x)极大值＝f(0)＝0.所以f(x)在[－1,2]上的最小值为1e2－2 3.(3)证明：设g n(x)＝e x－1－x nn！，当n＝1时，只需证明g1(x)＝e x－1－x>0，当x∈(1，＋∞)时，g1′(x)＝e x－1－1>0，所以g1(x)＝e x－1－x 在(1，＋∞)上是增函数．∴g1(x)>g1(1)＝e0－1＝0，即e x－1>x.当x∈(1，＋∞)时，假设n＝k时不等式成立，即g k(x)＝e x－1－x kk！>0，当n＝k＋1时，因为g k＋1′(x)＝e x－1－(k＋1)x k(k＋1)！＝e x－1－x kk！>0，所以g k＋1(x)在(1，＋∞)上也是增函数．所以g k ＋1(x )>g k ＋1(1)＝e 0－1(k ＋1)！＝1－1(k ＋1)！>0，即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 所以当x ∈(1，＋∞)时，∀n ∈N *，ex －1>x nn ！. 3．已知函数f (x )＝x －sin x ，数列{a n }满足：0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2,3，….证明：(1)0<a n ＋1<a n <1，(2)a n ＋1<16a 3n .解析 (1)先用数学归纳法证明0<a n <1，n ＝1,2,3，…. (ⅰ)当n ＝1时，由已知结论成立． (ⅱ)假设当n ＝k 时结论成立，即0<a k <1. 因为0<x <1时，f ′(x )＝1－cos x >0， 所以f (x )在(0,1)上是增函数． 又f (x )在[0,1]上连续，从而f (0)<f (a k )<f (1)，即0<a k ＋1<1－sin 1<1. 故当n ＝k ＋1时，结论成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，0<a n <1对一切正整数都成立．又因为0<a n <1时，a n ＋1－a n ＝a n －sin a n －a n ＝－sin a n <0， 所以a n ＋1<a n .综上所述0<a n ＋1<a n <1. (2)设函数g (x )＝sin x －x ＋16x 3,0<x <1. 由(1)知，当0<x <1时，sin x <x .从而g ′(x )＝cos x －1＋x 22＝－2sin 2x 2＋x 22>－2(x 2)2＋x22＝0.所以g (x )在(0,1)上是增函数． 又g (x )在[0,1]上连续，且g (0)＝0， 所以当0<x <1时，g (x )>0成立．于是g (a n )>0，即sin a n －a n ＋16a 3n >0.故a n ＋1<16a 3n .。

课时作业一、选择题1．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是() A．1 B．2C．3 D．4A[命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．]2．(2014·长春调研)一个简单几何体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图不可能为()A．正方形B．圆C．等腰三角形D．直角梯形D[当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A可能；当几何体是横放的一个圆柱时，B可能；当几何体是横放的三棱柱时，C可能；只有D不可能，故选D.]3．(2014·昆明调研)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为()A ．1＋ 2B ．2＋2 2 C.13D ．2＋ 2D [依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P －ABCD (如图)，其中底面边长为1，PD ＝1，PD ⊥平面ABCD ，S △P AD ＝S △PCD ＝12×1×1＝12，S △P AB ＝S △PBC ＝12×1×2＝22，S 四边形ABCD ＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋2，选D.] 二、填空题4．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) ①锐角三角形 ②直角三角形 ③四边形 ④扇形 ⑤圆解析 如图1所示，直三棱柱ABE －A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案 ①②③5．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 解析 ∵OE ＝（2）2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ′＝24.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案 226．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________． 解析 由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而P A ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2. 答案 2＋2 2 三、解答题7．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解析图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．8．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE ∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．解析(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE.∵E为AA1的中点，O为AC的中点，∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．∴OE∥A1C.∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴OE ∥平面A 1C 1C .(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，SA 1B 1C 1D 1＝a 22，S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22，S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1＝12×2a 2×32a 4＝3a 28， ∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.。

课时作业(十)1．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图像重合的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 12xC ．y ＝4x2 D ．y ＝log 21x ＋1答案 C3．若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)答案 D解析 依题意，由f (x ＋4)＝f (4－x )知，f (x )的对称轴为x ＝4，所以f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，由于f (x )在(4，＋∞)上是减函数，所以f (3)＝f (5)>f (6)，选D.4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0，的图像大致是( )答案 B解析 当x <0时，函数的图像是抛物线y ＝x 2(x <0)的图像；当x ≥0时，函数的图像是指数函数y ＝2x (x ≥0)的图像向下平移一个单位所得的图像，所以选B.5．(2011·安徽江南十校联考)函数y ＝2|log 2x |的图像大致是( )答案 C解析 当log 2x >0，即x >1时，f (x )＝2 log 2x ＝x ； 当log 2x <0，即0<x <1时，f (x )＝2－log 2x ＝1x .所以函数图像在0<x <1时为反比例函数y ＝1x 的图像，在x >1时为一次函数y ＝x 的图像．6．(2012·温州模拟)当直线y ＝kx 与曲线y ＝|x |－|x －2|有3个公共点时，实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A 解析依题意得，当x <0时，y ＝－x ＋(x －2)＝－2； 当0≤x ≤2时，y ＝x ＋(x －2)＝2x －2； 当x >2时，y ＝x －(x －2)＝2.在坐标系下画出该函数的图像，将x 轴绕着原点逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线与该函数的图像都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图像都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k 的取值范围是(0,1)，选A.7．(2012·南昌一模)定义a *b ＝ab －1－ka －2，则方程x *x ＝0有唯一解时，实数k 的取值范围是( )A ．{－5，5}B ．[－2，－1]∪[1,2]C ．[－5，5]D ．[－5，－1]∪[1，5]答案 B解析 依题意得，关于x 的方程x 2－1－kx －2＝0，即kx ＋2＝x 2－1有唯一解．在直角坐标系中画出函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像，注意到函数y ＝x 2－1的图像是由双曲线x 2－y 2＝1上除去位于第三、四象限的部分所组成，并且该双曲线的渐近线是y ＝±x ，函数y ＝kx ＋2的图像恒过点(0,2)，结合图像分析可知，当函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像有唯一的公共点时，k 的取值范围是[－2，－1]∪[1,2]，选B.8．f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( )A ．f (0)<f (1)<f (5)B ．f (1)<f (5)<f (0)C ．f (5)<f (0)<f (1)D ．f (5)<f (1)<f (0)答案 C解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )． ∴f (x )的图像关于直线x ＝2对称 又x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数 ∴x ∈(－∞，2]时，f (x )为增函数 而f (5)＝f (－1)，∴f (5)<f (0)<f (1)，选C.9．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．答案 －1≤m <0 解析首先作出y ＝(12)|1－x |的图像(如上图所示)，欲使y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有交点，则－1≤m <0.10．若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．答案 1≤m < 2解析 曲线y ＝1－x 2表示x 2＋y 2＝1的上半圆(包括端点)，如图． 要使y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则直线只能在l 1与l 2之间变动，故此1≤m < 2.11．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(12)x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝(12)x(x ≤0)的图像关于y 轴对称的这部分图像，即可得到偶函数g (x )的图像，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |12．已知x 2>x 13，则实数x 的取值范围是________．答案 {x |x <0或x >1}解析 分别画出函数y ＝x 2与y ＝x 13的图像，如图所示，由于两函数的图像都过点(1,1)，由图像可知不等式x 2>x 13的解集为{x |x <0或x >1}．点评 本题根据幂函数的图像求解，不等式x 2>x 13的解集即为幂函数y ＝x 2的图像在幂函数y ＝x 13的图像上方部分的所有点的横坐标的集合．13．作图：(1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log a |(x －1)|，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)． 答案解析 (1)的变换是：y ＝a x →y ＝a |x |→y ＝a |x －1|，而不是：y ＝a x →y ＝a x －1→y ＝a |x －1|，这需要理解好y ＝f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．14．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)作出图像如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图像．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0.得a ＝－34.由图像知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．1．(2012·陕西宝鸡质检)函数f (x )＝ln x －12x 2的图像大致是( )答案 B解析 ∵f ′(x )＝1x －x ＝0在(0，＋∞)上的解为x ＝1，且在x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数单调递增；故x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，函数单调递减． 故x ＝1为极大值点，f (1)＝－12<0，故选B.2．设a >1，对于实数x ，y 满足：|x |－log a 1y ＝0，则y 关于x 的函数图像是( )答案 B解析由题意知1y ＝a |x |，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(1a )x ，x ≥0，(1a )－x，x <0.∵a>1，∴函数在[0，＋∞)上是减函数，经过点(0,1)，且函数为偶函数．故图像关于y轴对称．故选B.3．(2012·福建龙岩模拟)如图，当参数λ分别取λ1，λ2时，函数y＝x1＋λx(x≥0)的部分图像分别对应曲线C1和C2，则()A．0<λ1<λ2B．0<λ2<λ1C．λ1<λ2<0D．λ2<λ1<0答案 A解析由图可知，λ显然不为0.当λ分别取λ1、λ2时，x1＋λ1x≥x1＋λ2x(x≥0)，则1＋λ1x≤1＋λ2x，因为λ1≠λ2，所以λ1<λ2.又x1＋λ1x≥0(x≥0)，则1＋λ1x>0，即λ1>0，故0<λ1<λ2.4．(2011·东营联考)函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上()A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增答案 D解析 当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图像的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．5．(2011·浙江金华模拟)M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3π D ．2π答案 C解析 当|MN |最小时，点M 、N 必为两曲线的相邻的两个交点， 所以可设为M (π4，2π2)，N (5π4，－2π2)，根据两点间距离公式得|MN |＝π2＋(2π)2＝3π.6．已知幂函数y ＝x4－3m －m2(m ∈Z )的图像与y 轴有公共点，且其图像关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图像．解析 依题意，其图像与y 轴有公共点，则 4－3m －m 2>0，即m 2＋3m －4<0，解得－4<m <1. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－3，－2，－1,0.当m ＝－3或m ＝0时，函数可化为y ＝x 4，符合题意，其图像如图①.当m ＝－2或m ＝－1时，函数可化为y ＝x 6，符合题意，其图像如图②.7．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值． (2)作出函数f (x )的图像；(3)根据图像指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图像写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．解析 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图像如图所示． (3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)由图像可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，由图像知，函数在[1,5]上的值域为[0,5)．8．(2011·济南期末)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围．(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解析 (1)方法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根．方法二：作出g (x )＝x ＋e 2x 的图像如图． 可知若使g (x )＝m 有实根，则只需m ≥2e. 方法三：解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎨⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎨⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的图像．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．9．(2012·宁夏银川模拟)已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋ 1|. (1)作出y ＝f (x )的图像； (2)解不等式f (x )≤6.解析(1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x ≤3，2x －2，x >3，图像如下图所示：(2)由f (x )≤6得：当x ≤－1时，－2x＋2≤6，x≥－2，∴－2≤x≤－1；当－1<x≤3时，4≤6成立；当x>3时，2x－2≤6，x≤4，∴3<x≤4.∴不等式f(x)≤6的解集为[－2,4]．另解：(数形结合)由上图可知，不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤4}．。

课时作业(七)1．(2012·郑州质检)给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32 ＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若2x ＝16,3y＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B解析 (a 2) 32 >0，a 3<0，故①错， ∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y＝127，∴y ＝－3.∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，故④错．2．函数f (x )＝3－x－1的定义域、值域是( ) A ．定义域是R ，值域是R B ．定义域是R ，值域是(0，＋∞) C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞) D ．以上都不对 答案 C解析 f (x )＝(13)x－1，∵(13)x>0，∴f (x )>－1. 3．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2答案 D解析 y 1＝21.8，y 2＝21.44，y 3＝21.5，∵y ＝2x在定义域内为增函数， ∴y 1>y 3>y 2.4．下列函数中值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝5 12－xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝12x－1D ．y ＝1－2x答案 B5．若函数f (x )＝(a ＋1e x－1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12答案 D 6．函数f (x )＝x |x |·a x(a >1)的图像的大致形状是()答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx －a xx7．已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 答案 A解析 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像上，所以有a n＝a n，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，又2a 5＝2a 5，故选A.8．(2012·菏泽联考)已知函数y ＝4x－3×2x＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( )A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x－32)2＋34∈[1,7]，∴(2x－32)2∈[14，254]．∴2x－32∈[－52，－12]∪[12，52]．∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．9．函数y ＝12π·(2a －3) －x 23 的部分图像大致是如图所示的四个图像的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A.12B.32 C ．2 D ．4答案 D解析 函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图像只能是③，再根据图像先增后减的特征可知2a －3>1，即a >2，符合条件的只有D 选项，故选D.10．(2012·哈师大附中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈(－32，0)时，f (x )＝－(12)1＋x ，则f (2011)＋f (2013)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 A解析 由已知得，f (2011)＋f (2013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.11．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a<2c; ④2a ＋2c<2. 答案 ④ 解析作出函数f (x )＝|2x－1|的图像如图中实线所示．又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图像知f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a<1，∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a， ∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c<2，f (c )＝|2c－1|＝2c－1， 又f (a )>f (c )，即1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2.12．已知f (x )＝a x (a >1)，g (x )＝b x(b >1)，当f (x 1)＝g (x 2)＝2时，有x 1>x 2，则a 、b 的大小关系是________．答案 a <b解析 x 1＝log a 2>x 2＝log b 2>0，∴log 2a <log 2b . ∴a <b .13．已知f (x )＝a x －a －xa x ＋a－x (0＜a ＜1)．(1)证明：f (x )是定义域上的减函数； (2)求f (x )的值域． 答案 (1)略 (2)(－1,1)解析 (1)由已知f (x )的定义域为R ，f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1＝1－2a 2x ＋1，设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则(2)令y ＝f (x )＝a 2x －1a 2x ＋1，解得a 2x＝1＋y 1－y∵a 2x＞0， ∴1＋y 1－y ＞0，解得－1＜y ＜1.故f (x )的值域为(－1,1)．14．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0, 且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14?答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]， ∴a x∈[1a ，a ]，即t ∈[1a，a ]．∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[1a ，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<1a)．∴当t ＝a 时y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3. (2)当0<a <1时t ∈[a ，1a]，∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上是增函数，∴y max ＝(1a＋1)2－2＝14，∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a <1，∴a ＝13.综上，a ＝3或a ＝13.15．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 答案 (1)奇函数 (2)在R 上是增函数 (3)(－∞，－1] 解析 (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x－a －x为减函数．所以f (x )为增函数． 故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数． 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1.所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]．1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6－2；－342＝4－4×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A 解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0，6－2＝622＝32>0，∴3－2≠6－2；－342<0，4－4×2>0，故－342≠4－4×2.故选A.2．函数y ＝4－2x的定义域是( ) A ．(0,2] B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 B解析 由4－2x≥0，得x ≤2.3．(2010·重庆)函数y ＝16－4x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)答案 C4．若0<a <1,0<b <1，且a log b(x －3)<1，求x 的取值范围．答案 (3,4)解析 log b (x －3)>0，∴0<x －3<1，∴3<x <4.5．(2011·上海高考理)已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中a ，b 满足a ·b ≠0 (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围． 解析 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x>0.当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .1．集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B 2．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________．答案 m ≤－23．(2012·太原模拟)设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则f (12)＋f (1)＋f (32)＋f (2)＋f (52)＝________.答案2解析 由题意知f (x )为奇函数且为周期函数，周期为2， ∴f (32)＝f (－12)＝－f (12)，f (52)＝f (12)，f (2)＝f (0)，∴所求为f (12)＋f (1)＝212 －1＋1＝ 2.4．在数列{a n }中，a 1＝2，且对任意正整数m 、n 都有a m ＋n ＝a n ·a m ，令f (n )＝a n ，则满足f (n )>100的最小正整数n 为________．答案6解析由a m＋n＝a n·a m，令m＝1，则a n＋1＝a1·a n＝2a n，∴a n＝2n，∴f(n)＝2n，∴2n>100⇒n≥6，∴n＝6.。

课时作业(三十七)1．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是( )A ．f (2.5)<f (1)<f (3.5)B ．f (2.5)>f (1)>f (3.5)C ．f (3.5)>f (2.5)>f (1)D ．f (1)>f (3.5)>f (2.5) 答案 B解析 函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴y ＝f (x )关于x ＝2对称，又∵函数y ＝f (x )在(0,2)上单增，∴在(2,4)上单减，∴f (1)＝f (3)， ∴f (2.5)>f (3)>f (3.5)， ∴选B.2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，则a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 答案 B3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b2≤18答案 D解析 取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D. 4．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2中，正确的不等式是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 C解析 取a ＝－1，b ＝－2，验证即可．5．已知函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 答案 D解析 根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )得f (2n )＝f 2(n )， 又f (1)＝2，则f (n ＋1)f (n )＝2. 由f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝16. 6．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确．．命题的序号为________(把所有正确．．命题的序号都．填上)答案 ①②④解析 ∵x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，∴f (x )在[0,3]上递增． ∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得f (3)＝f (－3)＋f (3)， ∴f (－3)＝f (3)＝0.①对．∴f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )周期为6，画出示意图如下：由图像知，②④正确，③不正确，故填①②④.7．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .解析 ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b 2≥ab ，b ＋c 2≥bc ，c ＋a2≥ca ，∴lg a ＋b 2≥12(lg a ＋lg b )，lg b ＋c 2≥12(lg b ＋lg c )，lg c ＋a 2≥12(lg c ＋lg a )．以上三式相加，且注意到a 、b 、c 不全相等，故得lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .8．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )<0.(1)求证：f (x )为奇函数； (2)求证：f (x )为R 上的增函数． 解析 (1)f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. 再令y ＝－x ，f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (2)设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 由已知得f (x 1－x 2)<0，∴f (x 1－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在R 上是增函数．9．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)f (3)>0， (1)若a ＝1，求f (2)的值；(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1，x 2，且3<x 1＋x 2<5. 思路 本小题主要考查二次函数图像及性质，二次函数、二次方程、二次不等式的关系．解析 (1)∵6a ＋2b ＋c ＝0，a ＝1， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ＝－2. (2)证明：首先说明a ≠0，∵f (1)f (3)＝(a ＋b ＋c )(9a ＋3b ＋c )＝－(5a ＋b )(3a ＋b )>0， 若a ＝0，则f (1)f (3)＝－b 2≤0与已知矛盾， ∴a ≠0，其次说明二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2， ∵f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ，∴若a >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，而此时f (2)<0， ∴若a <0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，而此时f (2)>0. 故二次函数图像必与x 轴有两个不同的交点． ∴二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1，x 2，(或利用Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (6a ＋2b )＝b 2＋8ab ＋24a 2＝(b ＋4a )2＋8a 2>0来说明)∵a ≠0，∴将不等式－(5a ＋b )(3a ＋b )两边同除以－a 2得(b a ＋3)(ba＋5)<0，∴－5<b a <－3，∴3<x 1＋x 2＝－ba <5. 10．(2012·聊城)如图所示，点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解析 (1)∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN . ∴BB 1⊥MN .又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角． ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP .1．已知：f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－52.求证：a ≠0且|b a |<2.思路 先反设，即假设a ＝0或|ba |≥2，再分两种情况一一推出矛盾即可．解析 假设a ＝0或|ba |≥2.(1)当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0.由题意，得f (x )＝bx 在[－1,1]上是单调函数，所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |.由已知条件，得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.(2)当|b a |≥2时，由二次函数的对称轴为直线x ＝－b2a ，知f (x )在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．所以⎩⎨⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，f (－1)＝a －b ＋c ＝－52或⎩⎨⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝－52，f (－1)＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以|ba |<2. 由(1)(2)，得a ≠0且|ba |<2.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)．其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列． 思路 本题主要考查使用定义证明等差数列、等比数列，证明方法属于综合法，解题的关键是恰当地处理递推关系．证明 (1)∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， ∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3. ∴(3＋m )a 1＝m ＋3. ∵m ≠－3，∴a 1＝1.由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3. 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ， ∵m ≠－3， ∴a n ＋1a n＝2m m ＋3.∵m 为常数，且m ≠－3， ∴{a n }是等比数列．(2)由(1)知，b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3， ∴n ∈N *，且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1 ⇒1b n－1b n －1＝13.∴{1b n}是首项为1，公差为13的等差数列．3．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求证：{a n ＋3}为等比数列，并求{a n }的通项公式．(2)数列{a n }是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明 ∵S n ＝2a n －3n (n ∈N *)， ∴a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3.又由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝2a n －3n ，S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3， ∴a a ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)．(2)解 假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r <s <t )，它们可以构成等差数列．由(1)知a r <a s <a t ，则2a s ＝a r ＋a t ，∴6(2s －1)＝3(2r －1)＋3(2t －1)，即2s ＋1＝2r ＋2t ， ∴2s ＋1－r ＝1＋2t －r (*)∵r 、s 、t 均为正整数且r <s <t ， ∴(*)左边为偶数而右边为奇数，∴假设不成立，即数列{a n }不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列．。