2020八年级数学下册试题 解题技巧专题：矩形中的折叠问题

解题技巧专题：矩形中的折叠问题——找准方法，快准解题◆类型一 折叠中求角度1．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图 第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45°◆类型二 折叠中求线段长【方法9】3．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝23，E 为BC 边上一点，BC ＝3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，使B 点恰好落在对角线AC 上的B ′处，则AB ＝________．第3题图 第4题图4．(郴州桂阳县期末)如图，一块矩形纸片的宽CD 为2cm ，点E 在AB 上，如果沿图中的EC 对折，B 点刚好落在AD 上的B ′处，此时∠BCE ＝15°，则BC 的长为________．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使A 点恰好落在对角线BD 上的点A ′处，折痕为DG ，则AG 的长为( )A ．1 B.43 C.32D ．2第5题图 第6题图◆类型三 折叠中求面积6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则△BDE 的面积为( )A.754B.214C ．21D ．247．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△ADE 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )A.12B.98C ．2D ．4 8．★(福州中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM .(1)当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；(2)连接BN ，当DM ＝1时，求△ABN 的面积．参考答案与解析1．B 2.B 3.3 4.4cm 5.C 6.A 7.C8．解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM中，∵AD＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝ 3.(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ.由(1)知△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN ＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.。

专题2.25 平面直角坐标系-矩形折叠问题（专项练习）经过特殊平行四边形--矩形的学习，建立在平面直角坐标系下的矩形是十分重要的，而其中的折叠问题又常常出现在中考压轴题中，因此建立平面直角坐标系中的几何变换图形把矩形与函数结合在一起-----数学形结合思想，就显得尤为重要。

本专题汇集了平面直角坐标系中的几何折叠问题，对培养学生数学思想，提高学生数学素养非常重要。

一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A ，4CF =，则点E 的坐标是（ ）A ．()8,4-B ．()10,3-C ．()10,4-D ．()8,3-2．如图,矩形OABC 在平面直角坐标系中, 5AC =,3OA =,把矩形OABC 沿直线DE 对折使点C 落在点A 处,直线DE 与,,OC AC AB 的交点分别为,,DF E ,点M 在y 轴上,点N 在坐标平面内,若四边形MFDN 是菱形,则菱形MFDN 的面积是（ ）A ．258B ．134C ．278D ．1543．如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC 沿着OB 对折，使点A 落在点A'处，点B 的坐标(8，4)，则点A'的坐标是( )A ．(4，B ．(245，325)C ．(265，345 )D ．(325，245 )4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，6OA =，将ABC D 沿直线AC 翻折，使点B 落在点D 处，AD 交x 轴于点E ，若30BAC Ð=°，则点D 的坐标为（ ）A ．()2-B ．()3-C ．)3-D ．(3,-5．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，连结OB ，将OAB 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置．则cos COD Ð的值是（ ）A ．35B ．12C ．34D ．456．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形OA′B′C′，A′B′与BC 交于点M ，延长BC 交B′C′于N ，若A 0），C （0，1），则点N 的坐标为（ ）A ，1）B ．（2，1）C 2-，1）D ．（11）7．矩形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其各顶点的坐标分别为(0,0),(2,0),(2,1),(0,1)A B C D ，固定点B 并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后点C 的对应点的坐标为(3,0)，则旋转后点D 的对应点的坐标为（ ）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(3,3)D ．(2,2)8．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，点C 在x 轴上，点()D 在BC 上，将矩形OABC 沿AD 折叠压平，使点B 落在坐标平面内，设点B 的对应点为点E ．若抛物线210y ax =-+（0a ¹且a 为常数）的顶点落在ADE 的内部，则a 的取值范围是（ ）A ．213520a <<B ．211520a <<C ．113205a <<D ．313520a <<9．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点1A 处，已知OA =1AB =，则点1A 的坐标是（ ）．A ．（，）B ．（，3）C ．（，）D ．（，）10．如图，把一矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系xoy 中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，现将纸片OABC 沿OB 折叠，折叠后点A 落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（ ）A ．1(2B ．1(2-C ．34()55-，D ．（ (11．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点D 处，已知1OA AB ==，则点D 的坐标为（ ）A ．32ö÷÷ø，B ．3ö÷÷øC ．32æççèD ．12æççè12．如图,在平面直角坐标系中,将长方形OABC 沿OB 对折,使点A 落在点A ¢处,已知060,2BOA OB Ð==,则点A ¢的坐标是( )A ．12æççèB ．12ö÷÷ø-C ．12ö÷÷øD ．12æ-ççè13．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知AB=1，则点A 1的坐标是（ ）A ．32)B ．，3)C ．(32)D ．(1214．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知OA=，AB=1，则点A 1的坐标是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）15．如图，在矩形ABCD 中，1AD AB ==，将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ;沿着CM 折叠,点D 的对应点为,E ME 与BC 的交点为F ;再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G .下列结论:①CMP D 是直角三角形:②点C E G 、、在同一条直线上;③PC =;④AB =;⑤点F 是CMPD 的外心，其中正确的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题16．如图，矩形OABC 放在平面直角坐标系中，2OC =，4OA =，将矩形OABC 绕原点O 按顺时针方向旋转90o 得到矩形'''OA B C ，则点'B 的坐标是________．17．如图，矩形ABCD 的边长AB 9=，AD 3=，将此矩形置于平面直角坐标系中，使AB 在x 轴正半轴上，经过点C 的直线122y x =-与x 轴交于点E ，则AEC D 的面积是__________．18．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形ODEF ，若A （3，0），C （0E 的坐标为_________19．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若6OA =，10AB =，则点E 的坐标是__________．20．先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中()4,3AB BC ==，使点A 与坐标系中原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30o （如图2），则图2中点C 的坐标为________．21．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若8OA =，4CF =，则点E 的坐标是__________．22．如图，矩形OABC 在平面直角坐标系内，其中点()2,0A ，点()0,4C ，点D 和点E 分别位于线段AC ，AB 上，将ABC D 沿DE 对折，恰好能使点A 与点C 重合．若x 轴上有一点P ，能使AEP D 为等腰三角形，则点P 的坐标为___________．23．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10，8），则点E 的坐标为 .24．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A ‘处，已知∠AOB=30°，则点A’的坐标是___________，线段AA’的长度=___________．25．将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，4)，点C 的坐标为(m ，0)(m ＞0)，点D(m ，1)在BC 上，将矩形OABC 沿AD 折叠压平，使点B 的对应点E 落在坐标平面内，当△ADE 是等腰直角三角形时，点E 的坐标为______．26．如图，将矩形纸片ABCD 放入以BC 所在直线为x 轴，BC 边上一点O 为坐标原点的平面直角坐标系中，连结OD 。

思想方法专题矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题是数学中的一个经典问题，涉及到几何形状的变换和计算。

这个问题可以帮助我们锻炼思维能力，培养抽象思维和空间想象能力，同时也有助于解决实际生活中的一些问题。

首先，我们来具体描述一下矩形中的折叠问题。

假设有一张长为a，宽为b的矩形纸，我们可以将其沿着一条边折叠，并将两边粘合在一起，形成一个三维的物体。

那么，这个折叠后的物体的体积是多少呢？要解决这个问题，我们首先需要明确物体的形状。

物体是由两个相同的矩形面围成的，形成一个长方体。

其中，折叠出的两个面作为上下两个底面，长度为a，宽度为b；而另外两个面作为侧面，长度为b，宽度为折叠的厚度。

接下来，我们需要确定物体的厚度。

厚度取决于折叠的方式。

如果将矩形纸沿着长边折叠，那么物体的厚度为a；如果将矩形纸沿着短边折叠，那么物体的厚度为b。

有了这些信息，我们就可以计算物体的体积了。

物体的体积可以通过长方体的体积公式来计算，即V=a*b*h，其中V表示体积，a表示底面的长度，b表示底面的宽度，h表示高度或厚度。

由于问题中给出的是矩形纸的长和宽，我们还需要确定折叠的方式。

不同的折叠方式会得到不同的厚度，从而得到不同的体积。

因此，我们需要分别计算两种折叠方式下的体积，并找出较大的那个作为最终的结果。

那么，如何确定哪种折叠方式下的体积较大呢？我们可以通过比较高度来判断。

在折叠过程中，长边折叠得到的物体的高度为a，短边折叠得到的物体的高度为b。

由于长边折叠得到的物体的高度大于短边折叠得到的物体的高度，所以长边折叠得到的体积必然大于短边折叠得到的体积。

经过上述分析，我们得出结论：在矩形中的折叠问题中，长边折叠得到的体积较大，为a*b*a；短边折叠得到的体积较小，为a*b*b。

总结起来，矩形中的折叠问题可以通过分析物体的形状和厚度，利用长方体的体积公式进行计算。

通过比较两种折叠方式下的体积，我们可以得出哪种方式的折叠会得到更大的物体。

八年级折叠问题解题技巧一、折叠问题的基本性质1. 对应边相等在折叠过程中，折叠前后重合的边长度相等。

例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，那么折叠后重合的两条边是相等的。

例如，在矩形ABCD中，将矩形沿着对角线AC折叠，那么AB = AF（假设F是B折叠后的对应点）。

2. 对应角相等折叠前后重合的角是相等的。

比如将一个四边形进行折叠，原来的角和折叠后对应的角大小相同。

如在上述矩形折叠的例子中，∠B = ∠F，∠BAC = ∠FAC。

3. 对称轴垂直平分对应点连线如果沿着直线l折叠，A点折叠后得到A'点，那么直线l垂直平分AA'。

这一性质在解决折叠问题中常常用于构建直角三角形等。

二、解题技巧与题目解析1. 利用勾股定理求解折叠后的线段长度题目：如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A落在边CD上的点F处。

求CF的长。

解析：因为矩形ABCD沿BE折叠，所以AB = BF = 3，AE = EF。

在Rt△BCF中，BC = 5，BF = 3，根据勾股定理公式。

即公式。

2. 利用相似三角形解决折叠问题题目：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处。

求DE的长。

解析：根据勾股定理可得公式。

因为△ABC沿AD折叠，所以△ACD≌△AED，所以AC = AE = 6，CD = DE，那么BE = AB AE=10 6 = 4。

设DE = CD=x，则BD = 8 x。

因为∠DEB = ∠C = 90°，∠B是公共角，所以△BDE∽△BAC。

根据相似三角形的性质公式，即公式，解得公式，所以DE的长为3。

3. 利用折叠性质建立方程求解角度题目：将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在点D'处，若∠EFC = 125°，求∠D'EF的度数。

矩形中的折叠问题山东省枣庄市峄城区第二十八中学 潘歌 邮编：277300折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

对于折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

一、求角度例1 如图 把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．【解析】在矩形折叠问题中，折叠前后的对应角相等来解决。

解：根据矩形的性质AD ∥BC ，有∠EFG =∠FEC =58°，再由折叠可知，∠FEC =∠C ′EF =58°，由此得∠BEG =64°例2 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD = 度．【解析】折叠前后的对应角相等．解：BC 、BD 是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC ，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90°．例4 如图 四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）8【解析】在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决．解：由折叠可知，AE =AB =DC =6，在Rt △ADE 中AD =6，DE =3由勾股定理，得AD =33，设EF =x ，则FC =x -33，在Rt △EFC 中由勾股定理求得x =32,则EF =32，在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF =A ．A B CDEFA B E C D F G C 'D 'C三、求图形面积例5如图3-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm解析：折叠后重合部分为直角三角形． 解：重合部分其面积为22122=⨯⨯，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 － 两个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（2cm ）．故选B ．∴62 + (8 - x )2 = x2解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754 cm2四、数量及位置关系例7 如图 将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF =． （2）AE BD ∥ 【解析】（1）欲证明BF =DF ，只需证∠FBD =∠FDB ； （2）欲证明AE BD ∥，则需证AEB DBE ∠=∠。

解题技巧专题：矩形中的折叠问题——找准方法，快准解题◆类型一 折叠中求角度1．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图 第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45°◆类型二 折叠中求线段长【方法9】 3．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝23，E 为BC 边上一点，BC ＝3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，使B 点恰好落在对角线AC 上的B ′处，则AB ＝________．第3题图 第4题图4．(郴州桂阳县期末)如图，一块矩形纸片的宽CD 为2cm ，点E 在AB 上，如果沿图中的EC 对折，B 点刚好落在AD 上的B ′处，此时∠BCE ＝15°，则BC 的长为________．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使A 点恰好落在对角线BD 上的点A ′处，折痕为DG ，则AG 的长为( )A ．1 B.43 C.32D ．2第5题图 第6题图◆类型三 折叠中求面积6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则△BDE 的面积为( )A.754B.214C ．21D ．24 7．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB边上，折痕为AE ，再将△ADE 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )A.12B.98 C ．2 D ．4 8．★(福州中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM .(1)当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；(2)连接BN ，当DM ＝1时，求△ABN 的面积．参考答案与解析1．B 2.B 3.3 4.4cm 5.C 6.A 7.C8．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ .由(1)知△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN 2＋NQ 2，即(x ＋1)2＝32＋x 2，解得x ＝4，∴NQ ＝4，AQ ＝5.∵△NAB 和△NAQ 在AB 边上的高相等，AB ＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12×AN ·NQ ＝45×12×3×4＝245.。

思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一 矩形折叠问题中求角的度数1．如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在点D′处．若∠CED′＝60°，则∠BAD′的大小是( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．60°第1题图 第2题图2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使顶点B 落在边AD 上的点E 处，折痕FG 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接BE.若∠AEF ＝20°，则∠FGB 的度数为( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．40° ◆类型二 矩形折叠问题中求长度 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点O.若AO ＝5cm ，则AB 的长为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图 第4题图4．(2017·芜湖市期中)将矩形纸片ABCD 按如图折叠，得到菱形AECF.若AB ＝3，则BC 的长为( ) A ．2 B ．1 C . 3 D . 5 5．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点F 处，则DE 的长是【方法18①】( )A ．3B .245C ．5D .8916第5题图 第6题图6．(2017·芜湖繁昌县期中)将矩形纸片ABCD 按如图折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，BE ＝1.折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则EC 的长为( )A . 3B ．2C ．3D ．2 3 7．★(2017·安庆潜山县期末)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．第7题图第8题图◆类型三矩形折叠问题中求面积8．(2017·阜阳市期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A 重合，则△AEF的面积是()A．8 B．10 C．12 D．149．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．参考答案与解析1．A 2.C 3.C4．C解析：∵四边形AECF为菱形，∴AE＝CE，∠FCO＝∠ECO.由折叠可得∠ECO＝∠ECB.又∵∠FCO＋∠ECO＋∠ECB＝90°，∴∠FCO＝∠ECO＝∠ECB＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴CE＝2BE，∴AE＝2BE.∵AB＝AE＋BE＝3，∴BE＝1，CE＝AE＝2，∴BC＝CE2－BE2＝ 3.故选C.5．C解析：四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝BC2＋CD2＝10.由折叠可得BF ＝AB ＝6，EF ＝AE ，∠BFE ＝∠A ＝90°，∴∠DFE ＝90°.设DE ＝x ，则EF ＝AE ＝8－x .在Rt △DEF 中，DE 2＝EF 2＋DF 2，即x 2＝(8－x )2＋(10－6)2，解得x ＝5.即DE ＝5.故选C.6．B 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠BAD ＝90°.∵∠BAE ＝30°，BE ＝1，∴AE ＝2BE ＝2×1＝2，∠AEB ＝90°－∠BAE ＝90°－30°＝60°，∠EAC 1＝∠BAD －∠BAE ＝90°－30°＝60°.由折叠可得∠AEB 1＝∠AEB ＝60°.∴∠AC 1E ＝180°－∠EAC 1－∠AEB 1＝60°，∴△AEC 1是等边三角形，∴EC 1＝AE ＝2.由折叠可得EC ＝EC 1＝2.故选B.7.185 解析：如图，连接BF 交AE 于点H .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3.由折叠可得BF ⊥AE ，BH ＝12BF .∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH＝125，∴BF ＝2BH ＝245.由折叠可得FE ＝BE ，∴FE ＝BE ＝CE ，∴∠EBF ＝∠BFE ，∠ECF ＝∠EFC .又∵∠EBF ＋∠BFE ＋∠EFC ＋∠ECF ＝180°，∴∠BFE ＋∠EFC ＝90°，即∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.8．B 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，AD ＝BC ＝8，CD ＝AB ＝4.由折叠可得AG ＝CD ＝4，∠G ＝∠D ＝90°，DF ＝GF .设AF ＝x ，则GF ＝DF ＝8－x .在Rt △AGF 中，AF 2－GF 2＝AG 2，即x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5，即AF ＝5.∴S △AEF ＝12AF ·AB ＝12×5×4＝10.故选B.9．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.由折叠可得∠F ＝∠B ，AF ＝AB ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝8.由折叠可得CF ＝BC ＝8.由(1)可知△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .设EF ＝DE ＝x ，则CE ＝8－x .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∴DE ＝3，∴AE ＝AD －DE ＝5，∴S 阴影＝12AE ·CD ＝12×5×4＝10.。

学校班级姓名思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想 ◆类型一 折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图 第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45° ◆类型二 折叠中求线段长 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图 第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC ＝∠EFC ′＝125°.∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF ＝∠DEF ＝55°，∴∠BED ＝110°.∵四边形ABCD 为矩形，∠A ＝90°，∴∠ABE ＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5.185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10.7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN 2＋NQ 2，即(x ＋1)2＝32＋x 2，解得x ＝4，∴NQ ＝4，AQ ＝5.∵△NAB 和△NAQ 在AB 边上的高相等，AB ＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12×AN ·NQ ＝45×12×3×4＝245.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。