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2017届高三年级第一次模拟考试(镇江市)数学(总分160分，考试时间120分钟)参考公式：圆锥的侧面积S＝πrl(r为底面半径，l为母线长)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程．1. 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5)，则集合A∪B中元素的个数为________．2. 复数z＝(1－2i)(3＋i)，其中i为虚数单位，则|z|是________．3. 若圆锥底面半径为2，高为，则其侧面积为________．4. 袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．5. 将函数y＝5sin的图象向左平移φ个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则φ＝________．6. 数列{a n}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d等于________．7. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集为________．8. 双曲线－＝1的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．9. 圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为________．10. 已知椭圆＋＝1(m，n为常数，m>n>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则·＝________．11. 定义在的函数f(x)＝8sin x－tan x的最大值为________．12. 不等式log a x－ln2x<4(a>0，且a≠1)对任意x∈(1，1 00)恒成立，则实数a的取值范围为________．13. 已知函数y＝与函数y＝的图象共有k(k∈N*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，A k(x k，y k)，则(x i＋y i)＝________．14.已知不等式(m－n)2＋(m－ln n＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量m＝(cosα，－1)，n＝(2，sinα)，其中α∈，且m⊥n.(1) 求cos2α的值；(2) 若sin(α－β)＝，且β∈，求角β.16. (本小题满分14分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝EC＝AA1. 求证：(1) AC1∥平面BDE；(2) A1E⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC＝200m，斜边AB＝400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1) 若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2) 设∠CEF＝θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF＝，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．18. (本小题满分16分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．(1) 求椭圆C的方程；(2) 直线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为H，O为坐标原点且OH＝1，求△POQ 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知n∈N*，数列{a n}的各项均为正数，前n项的和为S n，且a1＝1，a2＝2，设b n＝a2n－1＋a2n.(1) 如果数列{b n}是公比为3的等比数列，求S2n；(2) 如果对任意n∈N*，S n＝＋n,2)恒成立，求数列{a n}的通项公式；(3) 如果是S2n＝3(2n－1)，数列{a n a n＋1}也为等比数列，求数列{a n}的通项公式．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．(1) 已知函数y＝f(x)与y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2) 如果λ＝，且x≥1，证明：f(x)≤g(x)；(3) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数λ的取值范围．2017届高三年级第一次模拟考试(镇江市)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是的中点．求证：直线PC经过点E.B. 选修4—2：矩阵与变换已知实数a，b，矩阵A＝对应的变换将直线x－y－1＝0变换为自身，求a，b的值．C. 选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin＝1的距离．D. 选修4—5：不等式选讲已知a>0，b>0，证明：(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E是棱PC的中点．(1) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(2) 若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f1(x)＝，对任意正整数n，有f n＋1(x)＝，求方程f n(x)＝2x的所有解．2017届高三年级第一次模拟考试(镇江市)数学参考答案一、填空题1. 52. 53. 6π4.5.6. 37. (－5，0)∪(5，＋∞)8. 1＋9. (x－1)2＋(y＋4)2＝810. 2n－m11. 312. (0，1)∪13. 214. λ≥1二、解答题15. 解：法一(1) 由m⊥n得，2cosα－sinα＝0，sinα＝2cosα，(2分)代入cos2α＋sin2α＝1，5cos2α＝1且α∈，β∈，则cosα＝，sinα＝，(4分)则cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.(6分)(2) 由α∈，β∈得，α－β∈.因sin(α－β)＝，则cos(α－β)＝.(9分)则sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝(12分)因β∈，则β＝.(14分)法二(1) 由m⊥n得，2cosα－sinα＝0，tanα＝2，(2分)故cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.(4分)(2) 由(1)知，2cosα－sinα＝0，且cos2α＋sin2α＝1，α∈，β∈，则sinα＝，cosα＝，(6分)由α∈，β∈得，α－β∈.因sin(α－β)＝，则cos(α－β)＝.(9分)则sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝(12分)因β∈，则β＝.(14分)16. 证明：(1) 连结AC交BD于O，连结OE.在长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD长方形，点O为AC的中点，(2分)AA1∥CC1且AA1＝CC1，由EC＝AA1，则EC＝CC1，即点E为CC1的中点，于是在△CAC1中，AC1∥OE.(4分)又因为OE 平面BDE，AC1 平面BDE.所以AC1∥平面BDE.(6分)(2) 连结B1E.设AB＝a，则在△BB1E中，BE＝B1E＝a，BB1＝2a，所以BE2＋B1E2＝BB，所以B1E⊥BE.(8分)由ABCDA1B1C1D1为长方体，则A1B1⊥平面BB1C1C，BE 平面BB1C1C，所以A1B1⊥BE.(10分)因B1E∩A1B1，B1E 平面A1B1E，A1B1 平面A1B1E，则BE⊥平面A1B1E.(12分)又因为A1E 平面A1B1E，所以A1E⊥BE.同理A1E⊥DE.又因为BE 平面BDE，DE 平面BDE，所以A1E⊥平面BDE.(14分)17. 解：(1) 依题意得BD＝300，BE＝100，在△ABC中，cos B＝＝，∴ B＝，(2分)在△BDE中，由余弦定理得：DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos B＝3002＋1002－2·300·100·＝70 000，∴ DE＝100.(6分)答：甲乙两人之间的距离为100m.(7分)(2) 由题意得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ，在直角三角形CEF中，CE＝EF·cos∠CEF＝2y cosθ，(9分)在△BDE中，由正弦定理得＝，即＝，∴ y＝＝，0<θ<，(12分)所以当θ＝时，y有最小值50.(13分)答：甲乙之间的最小距离为50m.(14分)18. 解：(1) 由已知得＝，＋＝1，解得a2＝4，b2＝1，(2分)椭圆C的方程是＋y2＝1.(4分)(2) 设l与x轴的交点为D(n，0)，直线l：x＝my＋n，与椭圆交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立x＝my＋n，＋y2＝1，得(4＋m2)y2＋2mny＋n2－4＝0，y1，2＝，∴＝－，y1y2＝，∴＝＝，即H，(6分)由OH＝1，得n2＝，(10分)则S△POQ＝OD|y1－y2|＝|n||y1－y2|，令T＝n2(y1－y2)2＝n2[(y1＋y2)2－4y1y2]＝12·16·，(12分)设t＝4＋m2(t≥4)，则＝＝≤，(14分)当且仅当t＝，即t＝12，S△POQ＝1，(15分)所以△POQ面积的最大值为1.(16分)19. 解：(1) b1＝a1＋a2＝1＋2＝3，(1分)S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝b1＋b2＋…＋b n＝＝.(3分)(2) 当n≥2时，由2S n＝a＋n，2S n－1＝a＋n－1，则2a n＝2S n－2S n－1＝a＋n－(a＋n－1)＝a－a＋1，(a n－1)2－a＝0，(a n－a n－1)(a n＋a n－1－1)＝0，故a n－a n－1＝1，或a n＋a n－1＝1.(*)(6分)下面证明a n＋a n－1＝1对任意的n∈N*恒不成立．事实上，因a1＋a2＝3，则a n＋a n－1＝1不恒成立；若存在n∈N*，使a n＋a n－1＝1，设n0是满足上式最小的正整数，即an0＋an0－1＝1，显然n0>2，且an0－1∈(0，1)，则an0－1＋an0－2≠1，则由(*)式知，an0－1－an0－2＝1，则an0－2<0，矛盾．故a n＋a n－1＝1对任意的n∈N*恒不成立，所以a n－a n－1＝1对任意的n∈N*恒成立．(8分)因此{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n＝1＋(n－1)＝n.(10分)(3) 因数列{a n a n＋1}为等比数列，设公比为q，则当n≥2时，＝＝q.即{a2n－1}，{a2n}是分别是以1，2为首项，公比为q的等比数列；(12分)故a3＝q，a4＝2q.令n＝2，有S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋2＋q＋2q＝9，则q＝2.(14分)当q＝2时，a2n－1＝2n－1，a2n＝2×2n－1＝2n，b n＝a2n－1＋a2n＝3×2n－1，此时S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…(a2n－1＋a2n)＝b1＋b2＋…＋b n＝＝3(2n－1)．综上所述，a n＝(16分)20. 解：(1) f′(x)＝ln x＋1，则f′(1)＝1且f(1)＝0.(1分)所以函数y＝f(x)在x＝1处的切线方程为：y＝x－1，(2分)从而g′(1)＝2λ＝1，即λ＝.(4分)(2) 由题意知：设函数h(x)＝x ln x－(x2－1)，则h′(x)＝ln x＋1－x.(5分)设p(x)＝ln x＋1－x，从而p′(x)＝－1≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，(6分)所以p(x)＝ln x＋1－x≤p(1)＝0，即h′(x)≤0，因此函数h(x)＝x ln x－(x2－1)在[1，＋∞)上单调递减，(7分)即h(x)≤h(1)＝0，所以当x≥1时，f(x)≤g(x)成立．(8分)(3) 设函数H(x)＝x ln x－λ(x2－1)，从而对任意x∈[1，＋∞)，不等式H(x)≤0＝H(1)恒成立．又H′(x)＝ln x＋1－2λx，当H′(x)＝ln x＋1－2λx≤0，即≤2λ恒成立时，函数H(x)单调递减．(10分)设r(x)＝，则r′(x)＝≤0，所以r(x)max＝r(1)＝1，即1≤2λ λ≥，符合题意；(12分)当λ≤0时，H′(x)＝ln x＋1－2λx≥0恒成立，此时函数H(x)单调递增．于是，不等式H(x)≥H(1)＝0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；(13分)当0<λ<时，设q(x)＝H′(x)＝ln x＋1－2λx，则q′(x)＝－2λ＝0 x＝>1(14分)当x∈时，q′(x)＝－2λ>0，此时q(x)＝H′(x)＝ln x＋1－2λx单调递增，所以H′(x)＝ln x＋1－2λx>H′(1)＝1－2λ>0，故当x∈时，函数H(x)单调递增．于是当x∈时，H(x)>0成立，不符合题意；(15分)综上所述，实数λ的取值范围为：λ≥.(16分)21. A. 证明：连接AE，EB，OF，由题意知∠AOE＝∠BOE＝90°，(2分)因为∠APE是圆周角，∠AOE是同弧上的圆心角，所以∠APE＝∠AOE＝45°，(4分)同理可得，∠BPE＝∠BOE＝45°，(6分)所以PE是∠APB的平分线，(8分)PC是∠APB的平分线，所以PC与PE重合，所以直线PC经过点E.(10分)B. 解：设直线x－y－1＝0上任意一点P(x，y)在变换T A的作用下变成点P′(x′，y′)，由＝，得(2分)因为P′(x′，y′)在直线x－y－1＝0上，所以x′－y′－1＝0，即(－1－b)x＋(a－3)y－1＝0，(4分)又因为P(x，y)在直线x－y－1＝0上，所以x－y－1＝0.(6分)因此(8分)解得：a＝2，b＝－2.(10分)C. 解：圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，(2分)即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)；(4分)直线2ρsin＝1的直角坐标方程为2＝1，(6分)即x＋y－1＝0(8分)故圆心到直线的距离为d＝＝(10分)D. 证明：因为a>0，b>0，由均值不等式知a2＋b2＋ab≥3＝3ab；(4分)ab2＋a2b＋1≥3＝3ab；(8分)两式相乘可得(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2(10分)22. (1) 以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，由E为棱PC中点，得E(1，1，1)，故＝(0，1，1)，＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)，(1分)设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则n⊥，n⊥，即不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的法向量，(3分)于是cos〈n，〉＝＝＝.(4分)所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(5分)(2) ＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(1，0，0)，由点F在棱PC，设＝λ，0≤λ≤1，故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)，由BF⊥AC，得·＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，(7分)即＝，设n1＝(x，y，z)为平面F AB的法向量，则n1·＝0，n1·＝0，即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面F AB的方向向量，(8分)取平面ABP法向量n2＝(0，1，0)，cos〈n1，n2〉＝＝－，(9分)即sin〈n1，n2〉＝.故二面角F ABP的正弦值为.(10分)23. 证明：(1) 当n＝1时，＝2x>0，解得x2＝16，又x>0，故x＝4是方程的解；(2分)(2) 假设x＝4是f k(x)＝2x的解，即f k(4)＝8，则n＝k＋1时，f k＋1(4)＝＝8＝2×4综合(1)，(2)可知x＝4是f k＋1(x)＝2x的解；(4分)另一方面，当n＝1时，y＝＝＝在(0，＋∞)上单调递减；(6分)假设n＝k时，y＝在(0，＋∞)上单调递减，则n＝k＋1时，y＝＝＝＝在(0，∞)上单调递减，故n＝k＋1时，y＝在(0，＋∞)上单调递减，(8分)所以，y＝在(0，＋∞)上单调递减，则＝2在(0，＋∞)上至多一解；综上：x＝4是f n(x)＝2x的唯一解．(10分)。
2020届江苏省南京市2017级高三三模考试
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分．
3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数,填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸
的指定位置上）
1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23
6． 3 7．2n ＋1－2 8． 62 9．83
10．[2,4] 11．6 12． [－2,＋∞) 13．－94 14．38 二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
证明：(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG ．
在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF ＝12
BC ． 因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,
所以DE ∥BC ,DE ＝12BC , ················· 2分。
2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x ≤0}，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝1＋2i (其中i 为虚数单位)，则|z|＝________．3. 如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是________． Read S ←0For i from 1 to 9 step 2 S ←S ＋i End for Print S End(第3题)4. 顶点在原点且以双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线方程是________．5. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：x －my ＋m －2＝0，l 2：mx ＋(m －2)y －1＝0.若直线l 1∥l 2，则m ＝________．6. 从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是________．7. 若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．8. 将函数f(x)＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(π4)＝________．9. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥BECF 的体积为________．10. 已知等比数列{a n }的前三项和S 3＝42.若a 1，a 2＋3，a 3成等差数列，则公比q ＝________．11. 记集合A ＝[a ，b]，当θ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，函数f(θ)＝23sin θcos θ＋2cos 2θ的值域为B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则b －a 的最小值是________．12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（12）x ＋x 3，x ＜0，－2x －x 3，x ≥0.若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f(1－x)≤f(x ＋m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．13. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A.若存在定点B(x 0，y 0)，使得PA ＝ PB 恒成立，则x 0－y 0＝________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，－2)，C(3，－1)，点P(x ，y)满足(OP →·OA →)×(OP →·OB →)＝－1，则OP →·OC→|OP →|2的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是AP 的中点，AB ⊥BD ，PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD.求证：(1) PC ∥平面BDE ； (2) PD ⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA →·BD →＝66. (1) 若C ＞B ，且cos(C －B)＝1314，求角C 的大小； (2) 若△ACD 的面积为S ，且S ＝12CA →·CD →，求AC 的长度．17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，左准线l 的方程为x ＝－4.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 直线l 1过椭圆E 的左焦点F 1，且与椭圆E 交于A ，B 两点． ①若AB ＝247，求直线l 1的方程；②过A 作左准线l 的垂线，垂足为A 1，点G(－52，0)，求证：A 1，B ，G 三点共线．18. (本小题满分16分)某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，点T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点N 在线段PT 上(不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点N)，轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道MA ︵到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处(设计要求M ，O ，G 三点共线)，最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R.记∠MOT 为α，轨道总长度为l 米．(1) 试将l 表示为α的函数l(α)，并写出α的取值范围； (2) 求l 最小时cos α的值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x＋a(x2－x)(a∈R)．(1) 当a＝0，求证：f(x)≤x－1；(2) 如果函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x1)＋f(x2)≤k恒成立，求实数k的取值范围；(3) 当a<0时，求函数f(x)的零点个数．20. (本小题满分16分)已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n＋1－a1；数列{b n}的前n项和为T n，且满足T n＋b n＝n＋12n(1＋b n)，且a1＝b2.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 求数列{b n}的通项公式；(3) 设c n＝a nb n，问：数列{c n}中是否存在不同两项c i，c j(1≤i＜j，i，j∈N*)，使c i＋c j仍是数列{c n}中的项？若存在，请求出i，j的值；若不存在，请说明理由．2020届高三模拟考试试卷(三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234对应的变换下得到点Q(y －2，y)，求M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .B. (选修43：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标．C. (选修44：不等式选讲)已知函数f(x) ＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为k ，且a ＋b ＋c ＝k ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．(1) 若直线y ＝－x ＋1与抛物线相交于M ，N 两点，且MN ＝26，求抛物线的方程；(2) 直线l 过点Q(0，t)(t ≠0)交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于点C ，如图，设QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，求证：m ＋n 为定值．23. 我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来推导组合数恒等式．例如由等式(1＋x)2n ＝(1＋x)n (1＋x)n可得：等式左边x k 项系数为C k 2n (0≤k ≤n)，等式右边x k 项系数为C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n ，所以我们得到组合数恒等式：C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n ＝C k 2n .(1) 化简：(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋(C 21 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2；(2) 若袋中装有n(n ∈N *)个红球和n 个白球，从中一次性取出n 个球．规定取出k(0≤k ≤n)个红球得k 2分，设X 为一次性取球的得分，求X 的数学期望．2020届高三模拟考试试卷(三)(镇江)数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. 53. 254. y 2＝16x5. －26. 257. 138. －39. 16 10. 2或12 11. 312. [－1，－13] 13. 2±2 14. 52415. 解：(1) 连结AC 交BD 于一点O ，连结OE ，因为底面ABCD 是平行四边形， 所以点O 是AC 的中点．(1分) 因为点E 是AP 的中点，所以OE 是△PAC 的中位线，(2分) 所以OE ∥PC.(3分)因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE.(7分)(2) 因为平面PBD ⊥底面ABCD ，AB ⊥BD ，平面PBD ∩底面ABCD ＝BD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PBD.(9分)因为PD ⊂平面PBD ，所以AB ⊥PD.(11分)因为PB ⊥PD ，PB ∩AB ＝B ，PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB.(14分)16. 解：(1) 在△ABD 中，AB ＝14，BD ＝6，则BA →·BD →＝BA·BD·cos B ＝14×6·cos B ＝66，得cos B ＝1114.(1分)在△ABC 中，sin B ＞0，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（1114）2＝5314.(2分)又C ∈(0，π)，C ＞B ，则B ∈(0，π2)，则C －B ∈(0，π)．又cos(C －B)＞0，则C －B ∈(0，π2)，由cos(C －B)＝1314，则sin(C －B)＝1－cos 2（C －B ）＝1－（1314）2＝3314，(4分)则cos C ＝cos[B ＋(C －B)]＝cos B ·cos(C －B)－sin B ·sin(C －B) ＝1114×1314－5314×3314＝12.(6分) 又C ∈(0，π)，则C ＝π3.(7分)(2) 在△ACD 中，AD 2＝BA 2＋BD 2－2BA·BDcos B ＝142＋62－2×14×6×1114＝102，解得AD ＝10.(9分)由余弦定理得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝102＋62－1422×10×6＝－12.又∠ADB ∈(0，π)，得∠ADB ＝2π3，则∠ADC ＝π3.(10分)因为S ＝12CA →·CD →，即12CA ·CD ·sin C ＝12CA ·CD ·cos C ，得tan C ＝1，又C 为锐角，C ＝π4.(12分)在△ACD 中，因为AD ＝10，C ＝π4，∠ADC ＝π3，则由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝AD sin C ，即AC 32＝1022，解得AC ＝5 6.(14分)17. (1) 解：设椭圆左焦点的坐标为(－c ，0)(c ＞0)，由2a ＝4，a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1.(2分)由b 2＝a 2－c 2＝3，则所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分) (2) ①解：若直线AB 的斜率不存在，则AB ＝3≠247，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k(x＋1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝(8k 2)2－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)＞0， 则x 1＝－4k 2－6k 2＋14k 2＋3，x 2＝－4k 2＋6k 2＋14k 2＋3 (Ⅰ)，x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3 (Ⅱ)．(4分)(解法1)由椭圆的第二定义知AF 1AA 1＝12，则AF 1＝12AA 1＝12(x 1＋4)＝12x 1＋2. 同理BF 1＝2＋12x 2，(5分)则AB ＝AF 1＋BF 1＝4＋12(x 1＋x 2)＝4＋12·－8k 24k 2＋3＝247.(6分)解得k ＝±1，则直线l 1的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1.(8分)(解法2)AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2（x 2－x 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|，(5分) 代入(Ⅰ)得AB ＝1＋k 2×12k 2＋14k 2＋3＝12（k 2＋1）4k 2＋3＝247.(下同解法1)(6分)②证明：当直线AB 的斜率不存在时，不妨设A(－1，32)，B(－1，－32)，则A 1(－4，32)．又G(－52，0)，kA 1G ＝32－4＋52＝－1，k BG ＝32－52＋1＝－1.则kA 1G ＝k BG ，所以A 1，B ，G 三点共线(9分)当直线AB 的斜率存在时，A(x 1，y 1)，A 1(－4，y 1)，又G(－52，0)，要证A 1，B ，G 三点共线，因为kA 1G ＝y 1－32，k BG ＝y 2x 2＋52，只要证y 1－32＝y 2x 2＋52.(10分)即证k(x 1＋1)(2x 2＋5)＋3k(x 2＋1)＝0.(12分)即证2x 1x 2＋5(x 1＋x 2)＋8＝0，代入(Ⅱ)，因为24k 2－124k 2＋3＋5－8k 24k 2＋3＋8＝－32k 2－244k 2＋3＋8＝－8＋8＝0，所以A 1，B ，G 三点共线．综上所述，A 1，B ，G 三点共线．(14分)18. 解：(1) 过点M 作ME ⊥TO ，垂足为E ，过点N 作NF ⊥ME ，垂足为F ，过点G 作GI ⊥OD ，垂足为I.因为圆O 与矩形的三边PS ，SR ，QR 相切， 所以PS ＝130，SR ＝120，圆O 的半径r ＝60， 弧长MA ＝60(π2－α)．(1分)在Rt △MNF 中，MN ＝NF sin α＝OT －OE sin α＝70－60cos αsin α.(2分) 在Rt △OCG 中，OG ＝60sin α，(3分)CG ＝60tan α＝60cos αsin α，GR ＝60－60cos αsin α，(4分)所以l(α)＝70－60cos αsin α＋60(π2－α)＋60＋60sin α＋60－60cos αsin α＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π.(7分)答：将l 表示为α的函数l(α)＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π，α的取值范围是(π4，π2)．(8分)(2) l′(α)＝60cos 2α－130cos α＋60sin 2α＝10·（2cos α－3）（3cos α－2）sin 2α.(10分)令l′(α)＝0，解得cos α＝23或cos α＝32(舍去)．(12分)记cos α0＝23，a 0∈(π4，π2)．α (π4，α0) α0 (α0，π2) l′(α)l (α)递减 极小值递增 (14分)所以当cos α＝23时，l (α)最小．(15分)答：轨道总长度l 最小时，cos α的值为23.(16分)19. (1) 证明：当a ＝0时，f(x)＝ln x ，定义域为(0，＋∞)，记F(x)＝f(x)－(x －1)＝ln x －x ＋1，令F′(x)＝1x －1＝1－x x ＝0，解得x ＝1.(1分)当x ∈(0，1)时，F ′(x)＞0，则F(x)在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x)＜0，则F(x)在(1，＋∞)上单调递减，(2分) 所以F(x)≤F(1)＝0，则f(x)≤x －1.(3分)(2) 解：由题知f′(x)＝1x ＋2ax －a ＝2ax 2－ax ＋1x ①.(4分)因为f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2，令g(x)＝2ax 2－ax ＋1 ②，则方程g(x)＝0的两正根为x 1，x 2， 即x 1＝a －a 2－8a 4a ＞0，x 2＝a ＋a 2－8a4a＞0，等价于a ≠0，Δ＝a 2－8a ＞0 ③，x 1＋x 2＝12＞0 ④，x 1x 2＝12a ＞0 ⑤，解得a ＞8.(5分)令G(a)＝f(x 1)＋f(x 2)＝ln x 1＋a(x 21－x 1)＋ln x 2＋a(x 22－x 2) ＝ln(x 1x 2)＋a[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a(x 1＋x 2)， 将④⑤代入得G(a)＝ln12a －14a －1＝－ln(2a)－14a －1.(6分) 因为G(a)在a ∈(8，＋∞)上为减函数，则G(a)＜G(8)＝－ln 16－3.(7分) 由f(x 1)＋f(x 2)≤k 恒成立，则k 的取值范围是[－ln 16－3，＋∞)．(8分) (3) 解：当a ＜0时，显然f(1)＝0，所以f(x)至少有一个零点为1.(9分) 由(2)中②③⑤知，此时Δ>0，x 1＋x 2＝12＞0，x 1x 2＝12a ＜0，则x 1＜0＜x 2.因为f′(x)＝2ax 2－ax ＋1x ＝2a （x －x 1）（x －x 2）x，x －x 1＞0，当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 2)上为增函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＜0，f(x)在(x 2，＋∞)上为减函数，所以f(x)max ＝f(x 2)．(10分) 因g(1)＝2a －a ＋1＝a ＋1，1° 当a ＝－1时，g(1)＝0，则x 2＝1，f(x)max ＝f(x 2)＝f(1)＝0，此时f(x)有且只有一个零点．(11分)2° 当a ＜－1时，g(1)＜0，则0＜x 2＜1，又由f(x)在(x 2，＋∞)上单调递减，f(x 2)＞f(1)＝0， 则f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点是1.(12分)又a ＜－1，则0＜－1a ＜1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＜0，则0＜－1a ＜x 2.由(1)知当x ＞0且x ≠1时，f(x)＜x －1＋a(x 2－x)＝(ax ＋1)(x －1)，则f(－1a )＜0 ⑥.因为f(x)为连续函数，且在(0，x 2)上递增，则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点， 所以当a ＜－1时，f(x)共有两个零点．(13分)3° 当－1＜a ＜0时，g(1)＞0，则x 2＞1，又由f(x)在(0，x 2)上为增函数，f(x 2)＞f(1)＝0， 则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点是1.(14分)又－1＜a ＜0，则－1a ＞1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＞0，则－1a ＞x 2.由⑥知，f(－1a )＜0，因为f(x)为连续函数，且在(x 2，＋∞)上为减函数，所以当－1＜a ＜0时，f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点， 此时f(x)共有两个零点．(15分)综上所述，当a ＝－1时，f(x)有且只有一个零点；当a ＜－1或－1＜a ＜0时，f(x)共有两个不同零点．(16分) 20. 解：在T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n )中，令n ＝1，得b 1＝1.令n ＝2，得b 2＝2，则a 1＝b 2＝2，(1分)当n ≥2时，由S n ＝a n ＋1－a 1，则S n －1＝a n －a 1， 两式相减得S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＝a n ＋1－a n ，则a n ＋1a n＝2.(2分) 又由S n ＝a n ＋1－a 1，令n ＝1，得a 2a 1＝2，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＝2n .(3分)(2) 当n ≥2时，由T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n ) ①，则T n －1＋b n －1＝n －1＋12(n －1)(1＋b n －1) ②，①－②得b n ＋b n －b n －1＝32＋12nb n －12(n －1)b n －1，(n －4)b n －(n －3)b n －1＋3＝0 ③.(4分)当n ≥3时，则(n －5)b n －1－(n －3)b n －2＋3＝0 ④， 两式相减得(n －4)b n －(2n －8)b n －1＋(n －4)b n －2＝0，所以当n ≥5时，b n ＋1＋b n －1＝2b n ，b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，(5分)由(1)知b 1＝1，b 2＝2，在①中令n ＝3，4，5，求得b 3＝3，b 4＝4，b 5＝5，b 6＝6，(6分) 所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }为首项为1，公差为1的等差数列，即b n ＝n.(7分) (3) 由(1)(2)得c n ＝a n b n ＝2nn，c n ＋1－c n ＝2n ＋1n ＋1－2n n ＝n2n ＋1－（n ＋1）2n n （n ＋1）＝（n －1）2nn （n ＋1）≥0，则c 2＝c 1，当n ≥2时，且c n －1＞c n .(9分)假设存在不同两项c i ，c j ，使c i ＋c j 仍是{c n }中的第k(1≤i ＜j ＜k ，i ，j ，k ∈N *)项， 即c i ＋c j ＝c k .由c i ＋c j ≤c j －1＋c j ＝2j －1j －1＋2j j ＝j2j －1＋（j －1）2j j （j －1）＝（3j －2）2j －1j （j －1）.(11分)又c k ≥c j ＋1＝2j ＋1j ＋1，(12分)则c k －(c i ＋c j )≥2j ＋1j ＋1－（3j －2）2j －1j （j －1）＝j （j －1）2j ＋1－（j ＋1）（3j －2）2j －1j （j －1）（j ＋1）＝（j 2－5j ＋2）2j －1j （j －1）（j ＋1）. 当j ≥5时，c k －(c i ＋c j )＞0，c i ＋c j ＝c k 无解．(14分) 又c 1＝2，c 2＝2，c 3＝83，c 4＝4，c 5＝325，c 6＝643，当j ＝2，3，4，5时，只存在不同两项c 1，c 2，使得c 1＋c 2＝c 4.综上所述，存在i ＝1，j ＝2，使得c 1＋c 2＝c 4.(16分)2020届高三模拟考试试卷(镇江) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：依题意，[1234][x1]＝[y －2y ]，即{x ＋2＝y －2，3x ＋4＝y ，解得{x ＝0，y ＝4.(4分)设逆矩阵M －1＝[a bcd]，由MM －1＝[1001]得a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，(7分)则逆矩阵M －1＝[－2 132－12]，(8分)所以M －1[xy ]＝[－2 132－12][04]＝[ 4－2]．(10分)B. 解：由θ＝π4，得曲线C 1的直角坐标系的方程为x －y ＝0.(4分)由{x ＝cos α，y ＝sin 2α，得曲线C 2的普通方程为x 2＋y ＝1(－1≤x ≤1)．(8分) 由{x －y ＝0，x 2＋y ＝1，得x 2＋x －1＝0，即x ＝1－52(舍去)或x ＝－1＋52，所以曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(－1＋52，－1＋52)．(10分)C. 解：f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，(2分) 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，则k ＝3.(3分)因为a ＋b ＋c ＝3，则由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c)2，(6分) 所以a 2＋b 2＋c 2≥（a ＋b ＋c ）23＝3，(7分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，(8分) 此时a 2＋b 2＋c 2的最小值为3.(10分)22. (1) 解：设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由{y 2＝2px ，y ＝－x ＋1，得x 2－2(1＋p)x ＋1＝0.(1分) 因为p ＞0，所以Δ1＝4(p 2＋2p)＞0，x 1＝p ＋1－p 2＋2p ，x 2＝p ＋1＋p 2＋2p.(2分)由MN ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|＝22p 2＋2p ＝26，解得p ＝1.(3分) 所以抛物线的方程为y 2＝2x ①.(4分)(2) 证明：设A(x 3，y 3)，B(x 4，y 4)，由于直线l 过Q(0，t)(t ≠0)，点C(x 0，0)， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ②.②代入①消去x ，得ky 2－2py ＋2pt ＝0，Δ2＝4p 2－8kpt ＞0，y 3＝p －p 2－2kpt k ，y 4＝p ＋p 2－2kpt k ，则y 3＋y 4＝2p k ③，y 3y 4＝2pt k④.(7分)又QA →＝(x 3，y 3－t)，AC →＝(x 0－x 3，－y 3)，OB →＝(x 4，y 4－t)，BC →＝(x 0－x 4，－y 4)，由QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，则{y 3－t ＝－my 3，y 4－t ＝－ny 4，所以⎩⎨⎧m ＝t y 3－1，n ＝t y 4－1，(8分)则m ＋n ＝t y 3＋ty 4－2＝t y 3＋y 4y 3y 4－2，(9分)将③④代入得m ＋n ＝t 2pk2pt k－2＝－1为定值．(10分)23. 解：(1) 因为已知等式(1＋x)2n ＝(1＋x)n (1＋x)n ， 令n ＝1 010，得(1＋x)1 010(1＋x)1 010＝(1＋x)2 020， 等式右边展开式含x 1 010项的系数为C 1 0102 020.而等式左边展开式含x 1 010的系数为(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2，所以(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2＝C 1 0102 020.(3分)(2) X 的可能取值为0，12，22，…，k 2，…，n 2，且X 的分布表如下(5分)因为C k n＝n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！k （k －1）！（n －k ）！＝n k （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝n k C k －1n －1.(7分) E(X)＝∑nk ＝0k 2C k n C n －k n C n 2n＝∑n k ＝0k 2C k n C k n C n 2n ＝1C n 2n ∑n k ＝0(kC k n )2＝1C n 2n ∑n k ＝1(n·C k－1n －1)2＝n 2C n 2n ∑n k ＝1(C k －1n －1)2 ＝n 2C n 2n ∑n k ＝1C k －1n －1C n －k n －1＝n 2C n 2nC n －12n －2＝n 2（2n －2）！（n －1）！（n －1）！（2n ）！n ！n ！＝n 34n －2， 所以X 的数学期望E(X)＝n 34n －2.(10分)。
江苏省四校联考2025届高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)-，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．162．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．53．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65D ．764．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A ．,,a b c 依次成等差数列BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列5．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．B ．2C ．4D ．36．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-7．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%8．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．09．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺 10．函数24y x =-A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<11．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =12．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届江苏省镇江市高三考前模拟（三模）数学试题一、填空题1．已知集合{|02}A x x =<<，{}1B x x =，则A B ⋂=____.【答案】{}|12x x <<【解析】利用交集定义直接求解．【详解】Q 集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．设复数2(12)z i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为_______.【答案】34i --【解析】根据复数运算整理出34z i =-+，根据共轭复数定义得到结果.【详解】14434z i i =+-=-+ z ∴的共轭复数为：34i --本题正确结果：34i --【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属于基础题.3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为_______.【答案】-1【解析】 执行此程序框图可知，当0x ≥时，121x +=-，此时方程无解；当0x <时，221x -=-，解得1x =-，所以输入x 的值为1-.4．已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______． 【答案】 【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为： s 2=×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______. 【答案】25【解析】列举出任取两个球所有可能的结果，找到两个球不同色的所有情况，根据古典概型求得结果.【详解】设4个白球编号为：1,2,3,4；1个黑球为：A从中任取两个球的所有可能结果为：12、13、14、1A 、23、24、2A 、34、3A 、4A ，共10种所取的两个球不同色的有：1A 、2A 、3A 、4A ，共4种∴所求概率为：42105P == 本题正确结果：25【点睛】 本题考查古典概型的概率问题的求解，考查列举法的应用，属于基础题.6．用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______.【答案】83π 【解析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.【详解】半圆的弧长为：12442ππ⨯⨯= 42R ππ∴= 即圆锥的底面半径为：2R =圆锥的高为：224223h -=∴圆锥的体积为：2132333V π=⨯⨯⨯= 本题正确结果：833【点睛】 本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222C :1(0)16x y a a -=>的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为_______.【答案】221916x y -= 【解析】根据双曲线方程得到右顶点坐标和渐进线方程；利用点到直线距离公式构造出关于a 的方程，解方程求得a ，从而得到双曲线方程.【详解】 双曲线的右顶点为：(),0a ；渐近线为：4y x a=±212516a =+，解得：3a = ∴双曲线C 的方程为：221916x y -= 本题正确结果：221916x y -= 【点睛】 本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够熟练应用双曲线的几何性质，利用点到直线距离构造出方程.8．在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a +=+_______. 【答案】14【解析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比q 满足32q =，将所求式子化为1a 和q 的形式，化简可得结果.【详解】14a Q ，42a ，7a 成等差数列 17444a a a ∴+=即：6311144a a q a q +=，解得：32q =243511108611911114a a a q a q a a a q a q q ++∴===++ 本题正确结果：14 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.【答案】1【解析】根据图象过(可求得ϕ；利用图象关于()2,0-对称代入23k πωπ-+=，k Z ∈，结合01ω<<求得ω；从而可得()f x ，代入1x =-求得结果.【详解】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin 2ϕ= 02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈ 01ω<<Q 6πω∴= ()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， ()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：1【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数的解析式，利用解析式求值的问题，属于常规题型.10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______.【答案】1-【解析】利用CA CB ⊥求得42AB =；根据直线被圆截得的弦长等于222R d -可利用a 表示出弦长AB ，从而得到方程，解方程求得结果.【详解】圆心C 的坐标为：()1,C a ，半径4R =CA CB ⊥Q ∴弦长224442AB =+=圆心C 到直线20ax y +-=的距离为：2221a d a -=+∴弦长()22222421|22|2421611a a a AB a a -+⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭()22421216421a a a -+∴-=+2210a a ++=解得：1a =-本题正确结果：1-【点睛】本题考查利用直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，关键是能够明确直线被圆截得的弦长等于222R d -11．已知函数ln ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】()2,+∞【解析】将问题转变为()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点，画出()f x 的图象，通过平移直线y x =-找到符合题意的情况，从而确定参数范围.【详解】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12．在等腰中，，，则面积的最大值为__________．【答案】4【解析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可．【详解】以为轴，以的垂直平分线为轴，设，，，，，，，，，当且仅当时，即，，面积的最大值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题．13．若x，y均为正实数，则221(2)x yx y+++的最小值为_______.25【解析】将所求式子变为()222112x ty t y xy y++-++，利用基本不等式可求得()22122x y x y xy y +++≥++，则可知当12=时，可求得最小值. 【详解】()()2222211122x ty t y x y x yxy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时 ()2212x y x y +++5=【点睛】 本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式，易错点是忽略等号成立的条件.14．设()f x t =，若存在实数,()m n m n <，使得()f x 的定义域和值域都是()()f x g x +，则实数t 的取值范围为_______. 【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】根据()f x 单调性可得()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩p =q =，由m n <可整理出1p q p p =+>+，从而求得102p ≤<，将方程组变为2233p t q q t p ⎧-+=-⎨-+=-⎩，整理可得21924t p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据p 的范围求得t 的取值范围.【详解】()f x t =在[3,)-+∞是减函数 ()()f m n f n m ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩即：33m t nn t m ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩……①设3m p+=，3n q+=23m p=-，23n q=-，1p q+=由m n<，得p q<1p q p p∴=+>+12p∴≤<则①变为：2233p t qq t p⎧-+=-⎨-+=-⎩()2226p q t p q∴-++=+-，即：2212(1)6t p p-+=+--2222(1)5192224p pt p p p+--⎛⎫∴==--=--⎪⎝⎭924t∴-<≤-本题正确结果：9,24⎛⎤--⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数定义域和值域的应用问题，关键是能够根据单调性确定最值取得的点从而构造出方程组，通过换元的方式可将问题转化为二次函数值域的求解问题；易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若2AB PC=，求证：CG⊥平面PBD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）连接OE ，根据线面平行的性质定理可知//PD OE ，又O 为BD 中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知PC BD ⊥，正方形可得AC BD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，根据线面垂直性质可知BD CG ⊥，根据等腰三角形三线合一可知CG PO ⊥，根据线面垂直判定定理可证得结论. 【详解】（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点//PD Q 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD I 面ACE OE = //PD OE ∴O Q 为BD 中点 E ∴为PB 的中点 （2）在四棱锥P ABCD -中，2AB PC =Q 四边形ABCD 是正方形 2OC AB ∴= PC OC ∴= Q G 为PO 中点 CG PO ∴⊥又PC ⊥Q 底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD PC BD ∴⊥ 而四边形ABCD 是正方形 AC BD ∴⊥,AC CG ⊂Q 平面PAC ，AC CG C ⋂= BD ∴⊥平面PAC 又CG ⊂平面PAC BD CG ∴⊥,PO BD ⊂Q 平面PBD ，PO BD O =ICG ∴⊥平面PBD 【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.16．已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )m b B =u r，(cos ,2)n C c a =-r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B ；（2）若||m =u r ，且24ac =，求边,a c .【答案】（1）3B π=；（2）64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）利用向量垂直可知数量积等于零，从而得到()cos 2cos 0b C c a B +-=，利用正弦定理可整理为()sin 2sin cos 0B C A B +-=，从而可求得1cos 2B =，根据()0,B π∈求得B ；（2）利用m =u r 构造方程求得b ，利用余弦定理可构造关于,a c 的方程，解方程求得结果.【详解】（1）m n ⊥u r r Q 0m n ∴⋅=u r r，又向量(),cos m b B =u r ，()cos ,2n C c a =-r ， 故()cos 2cos 0b C c a B +-= 由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得：sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B +-= ()sin 2sin cos 0B C A B ∴+-=又()()sin sin sin B C A A π+=-= sin 2sin cos 0A A B ∴-=sin 0A ≠Q 1cos 2B ∴= 又()0,B π∈ 3B π∴=（2）由（1）知3B π= 1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭u rm ∴==u r ∴2111344b ∴+=，即：228b =，解得：b =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- 又3B π=，故2228a c ac =+-，即：()2283a c ac =+-又24ac =，解得：64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量模长的求解和垂直关系的应用、正弦定理化简边角关系式、三角形内角和的应用、余弦定理解三角形，属于中档题.17．江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点,P Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ，MQ 两边为围网）；方案2：在岸边OA ，OB 上分别取点,E F ，用长度为1km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF .请分别计算MPQ △，EOF △面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】MQP ∆，EOF ∆面积的最大值分别为218km 23.其中方案2好.【解析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中MPQ ∆和EOF ∆面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好. 【详解】方案1：设MP xkm =，MQ ykm =由已知“用长度为1km 的围网，MP ，MQ 两边为围网”得(),0,1x y ∈且1x y +=2211111sin sin 12222228MPQx y S xy PMQ π+⎛⎫⎛⎫∴=∠≤⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12x y ==且2PMQ π∠=时，等号成立 MPQ ∴∆面积的最大值为218km方案2：设OE akm =，OF bkm =在EOF ∆中，由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-⋅⋅∠即222212cos3a b a b π=+-⋅⋅22123a b a b ab ab ab ∴=++⋅≥+=（当且仅当a b ==1211sin 2323EOF S ab π∆∴=≤⨯=（当且仅当a b ==时等号成立）EOF ∴∆21128>Q∴方案2好 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.18．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =u u u r u u u r，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）:l y =；（2）（i ）直线l 的方程为y x =；（ii ）存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立.【解析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径构造关于k 的方程，解方程求得结果；（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r 可得1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆的方程可求解出A 点坐标，从而得到斜率，求得直线方程；（ii ）将直线AM 方程代入圆的方程可求得A 点坐标；同理将直线BN 方程代入圆的方程可求得B 点坐标；利用OA OB k k =可求得12,k k 的关系，利用12,k k 表示出P 点坐标，整理可得3115k k =，进而可得到123,,k k k 满足1232k k k +=，得到常数a .【详解】（1）由题意，0k > ∴圆心C 到直线l的距离d =Q 直线l 与圆C 相切1d ∴==，解得：k =∴直线l方程为：15y x =（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r 得：1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭由()2211221141334122x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：11258x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k ∴= ∴直线l的方程为：25y x =（ii ）由题意知：()3,0M ，()5,0N则()1:3AM l y k x =-，与圆()22:41C x y -+=联立得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦ 3M x =Q 2121351A k x k +∴=+ 2112211352,11k k A k k ⎛⎫+∴ ⎪++⎝⎭同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭OAOB k k =Q 122212221222122211355311k k k k k k k k -++∴=++++，整理可得：()()12121350k k k k ++=121k k ≠-Q 2135k k ∴=-设()00,P x y ()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩ 1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫--∴ ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1313141554k k k ∴== 1213225k k k k ∴+==∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程、直线与圆中的存在性、定值类问题，关键是能够灵活运用直线与圆联立，将所涉及的变量用同一变量来表示，从而可整理得到所求参数的值.19．已知函数()()xf x mx n e -=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x e t R -'=++∈，是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增；（2）①212e +；②存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【解析】（1）利用切线方程可知()21f e =，()11f e'=-，从而构造出方程组求得,m n ，得到()f x 解析式，根据导函数的符号确定()f x 的单调区间；（2）①将问题转化为1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立；设()1x x e x ϕ=+，利用导数求解()max x ϕ，可得()max m x ϕ≥；②设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，将问题转化为()()()()min max 2g x g x <，利用导数分别在1t ≥，0t ≤和01t <<研究()g x 的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得t 的取值范围. 【详解】（1）由题意()()()()2x xxx me mx n e mx m n f x e e -+-+-'==()f x Q 在点()()1,1f 处的切线方程为：30x ey +-=()21f e ∴=，()11f e '=-，即：21m n e en ee +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得：1m =，1n =()1x x f x e +∴=，()xxf x e '=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增 （2）①由1n =-，m R ∈，1x mx x e -≥，即：1xm e x≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立记()1x x e x ϕ=+，()21xx e xϕ'=-设()21xh x e x =-()320xh x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 ()21x h x e x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增而1402h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()21204h e =->()21x x e x ϕ'∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()02x ,上单调递增()x ϕ∴的最大值是12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭和()2ϕ中的较大的一个∴()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩，即2212m m e ⎧≥⎪⎨≥+⎪⎩ 212m e ∴≥+， m ∴的最小值为212e +②假设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()min max 2g x g x <()()211xx t x g x e +-+=Q ()()()1x x t x g x e ---'∴= ⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减()()210g g ∴<，即321t e -⋅<，得：312e t >-> 3,2e t ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭②当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增()()201g g ∴<，即32te-<，得：320t e <-< (),32t e ∴∈-∞- ③当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>，()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增 ∴()()(){}2max 0,1g t g g ∴<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⨯<⎨⎬⎩⎭……（） 由（1）知()1t t f t e +=在[]0,1t ∈上单调递减，故142t t e e+⨯≥，而33t e e -< ∴不等式（）无解综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系，从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题，20．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .【答案】（1）(1)n n -；（2）详见解析；（3）12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥.【解析】（1）根据21n a n =+可得{}n a 为递增数列，从而可得22n b n =-，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得{}{}121121max ,,,min ,,,n n a a a a a a ++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅{}{}1212max ,,,min ,,,n n a a a a a a ≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，即1n n b b +≥，则可知{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=，可证得结论；（3）令1,2,3n =猜想可得12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件，从而可得结论.【详解】（1）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n ∴=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=+-=- 由通项公式可知{}n b 为等差数列{}n b ∴的前n 项和为：()2212n n n n -⨯=- （2）{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅Q{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅()11,2,3,n n b b n +∴≥=⋅⋅⋅，又1110b a a =-= {}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-= {}n b ∴的“收缩数列”仍是{}n b （3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅可得： 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（）可得()32133a a a a -=- 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（）可得32a a =. 猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅的数列{}n a 是： 12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥经验证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-=+⎡⎤⎣⎦ 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+ 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥是成立的假设k a 是首次不符合12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤==⋅⋅⋅=≠由题设条件可得()()2211112222k k k k k k k a a a b ----+=+（） 若12k a a a ≤<，则由（）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件综上所述：12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥【点睛】本题考查新定义运算的问题求解，关键是能够明确新定义的具体意义，从而将问题转化为最大项与最小项的问题，涉及到递增数列、猜想与证明、反证法等知识，对于学生理解与应用能力、转化与化归能力要求较高，属于难题.21．已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直线的方程． 【答案】.【解析】分析：先求出AB ＝，再设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，再求直线的方程．详解：因为A ＝，B ＝，所以AB ＝．设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )． 因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ，即，得, 即,②将②代入①得x －4y ＋4＝0， 所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.22．极坐标中，过点2,4P π⎫⎪⎭作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程.【答案】sin 1ρθ=【解析】将极坐标方程化为普通方程，可验证出点P 在圆上，从而可得过P 点切线的直角坐标方程，将直角坐标方程再化回极坐标方程即可. 【详解】曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：()2211x y -+=点2,4P π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1 ∴点P 在圆上，又因为圆心()1,0故过点P 的切线为1y =∴所求的切线的极坐标方程为：sin 1ρθ=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及到过圆上一点的圆的切线的求解，属于常规题型. 23．已知,0x y >，且1x y +=116x y ++≤【答案】详见解析【解析】根据柯西不等式可证得结果. 【详解】()()2221111x y++++≤Q又1x y+=26∴+≤≤【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型.24．某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X. （1）若取球过程是无放回的，求事件“2X=”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望()E X.【答案】（1）1528；（2）详见解析.【解析】（1）利用超几何分布概率公式即可计算概率；（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B⎛⎫⎪⎝⎭:，根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用二项分布数学期望的计算公式求得期望.【详解】（1）根据超几何分布可知：()21533815228C CP XC===；（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B⎛⎫⎪⎝⎭:()335388kkkP X k C-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k=∴分布列如下：()515388E X =⨯=【点睛】本题考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.25．设{}n a 为下述正整数N 的个数：N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1，3或4 （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）对*n N ∀∈，试探究222n n a a +⋅与221n a +的大小关系，并加以证明.【答案】（1）11a =，21a =，32a =，44a =；（2）222221n n n a a a ++=，证明详见解析.【解析】（1）根据已知条件，依次取1,2,3,4n =，列出符合的正整数N ，从而得到个数，得到所求结果；（2）由（1）猜想可知：222221n n n a a a ++=，首先证得当4n >时，134n n n n a a a a ---=++，再用数学归纳法证得21221n n n a a a +-=+，接着用数学归纳法证明猜想的结论成立. 【详解】（1）1n =，则1N = 11a ∴=；2n =，则11N = 21a ∴=；3n =，则111N =或3N = 32a ∴=；4n =，则1111N =，13N =，31N =，4N = 44a ∴=；综上：11a =，21a =，32a =，44a =（2）由（1）猜想：222221n n n a a a ++=；记12k N x x x ⋅⋅⋅=，其中{}12,,,1,3,4k x x x ⋯∈且12k x x x n ++⋯+=假定4n >，删去1x ，则当1x 依次取1,3,4时，23k x x x ++⋯+分别等于1n -，3n -，4n - 故当4n >时，134n n n n a a a a ---=++先用数学归纳法证明下式成立：21221n n n a a a +-=+①1n =时，由（1）得：312a a a =+，结论成立； ②假设当n k =时，21221k k k a a a +-=+当1n k =+时，2322221k k k k a a a a ++-=++=222212()k k k k a a a a ++++-2221k k a a ++=+∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，21221n n n a a a +-=+，*n N ∈再用数学归纳法证明下式成立：222221n n n a a a ++=①当1n =时，由（1）得：2243a a a =，结论成立； ②假设当n k =时，222221k k k a a a ++=当1n k =+时，()2222422232122223222121k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ++++++++++=++=++= ()()222232122212223212323222123k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++=+=+=∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，222221n n n a a a ++=，*n N ∈【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列中的递推关系的问题，关键是能够明确n a 的定义，通过赋值的方式求解数列中的项；进而采用猜想的方法得到结论，再利用数学归纳法进行证明.。
江苏省镇江市数学2020届高中毕业班理数第三次质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
） (共12题；共60分)1. （5分） (2018高二下·上海月考) 若为非零实数,则以下四个命题都成立:① ②③若则④若则则对于任意非零复数上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A . 1B . 2C . 3D . 42. （5分）设P={x|x<1},Q={x|x2<4},则=（）A . {x|-1<x<2}B . {x|-3<x<-1}C . {x|1<x<-4}D . {x|-2<x<1}3. （5分） (2016高二下·钦州期末) 某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关，他收集了3月份本班同学的感冒数据，并制出下面一个2×2列联表：感冒不感冒合计男生52732女生91928合计134760参考数据P（K2≥2.072）≈0.15P（K2≥2.706）≈0.10P（K2≥6.635）≈0.010由K2的观测值公式，可求得k=2.278，根据给出表格信息和参考数据，下面判断正确的是（）A . 在犯错概率不超过1%的前提下认为该班“感冒与性别有关”B . 在犯错概率不超过1%的前提下不能认为该班“感冒与性别有关”C . 有15%的把握认为该班“感冒与性别有关”D . 在犯错概率不超过10%的前提下认为该班“感冒与性别有关”4. （5分）与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A .B .C .D .5. （5分）执行右面的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （5分） (2016高二下·汕头期中) 设（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ，则a0+a2+…+a2n的值是（）A . （3n﹣1）B . （3n+1）C . 3nD . 3n+17. （5分）(2017·大庆模拟) 在区间[0，1]内随机取两个数分别为a，b，则使得方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为（）A .B .C .D .8. （5分）设函数，则是（）A . 最小正周期为的奇函数B . 最小正周期为的偶函数C . 最小正周期为的奇函数D . 最小正周期为的偶函数9. （5分）(2017·宜宾模拟) 三棱锥A﹣BCD内接于半径为2的球O，BC过球心O，当三棱锥A﹣BCD体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的表面积为（）A .B .C .D .10. （5分）在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若，则（）A .B .C . -1D . 111. （5分）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A . 6B . 7C . 8D . 912. （5分） (2017高二下·上饶期中) 函数f（x）= x2﹣lnx的递减区间为（）A . （﹣∞，1）B . （0，1）C . （1，+∞）D . （0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年6月2020届江苏省盐城一中2017级高三6月三模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)2020.06.29第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1.已知集合}31|{<<=x x A ，}42|{<<=x x B ，则A∪B＝________．2.若复数满足(2)5i z +=，则在复平面内与复数z 对应的点Z 位于第______象限.3.袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 ．4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．5.如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为________．6.设向量a ＝(1，－1)，a －2b ＝(k －1，2k ＋2)，且a ⊥b ，则k ＝ _______．7.已知等比数列{}n a 满足82=a ，144453-=a a a ，则=3a _______．8.已知双曲线2214x y m -=的渐近线方程为2y x =±，则m = ． 9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知如图堑堵的棱长1,1,2===c b a ，则鳖臑的外接球的体积为 ．10.已知函数2)(x x f =，则不等式2(2)()f x f x ->的解集是 ．11.函数x x y 2cos 2sin +=的图像向右平移6π得到函数()y f x =的图像，则()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的增区间为 ．12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，x x x f e 1)(-=．若关于x 的方程f (x )＝m有解，则实数m 的取值范围是 ．13.在△ABC中，cos cos A B AB +==当sin sin A B +取最大值时，△ABC 内切圆的半径为___.14.已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤-=,2,4321,20,41)(2x x x x f x 若关于x 的方程[]R a a x af x f ∈=++,0167)()(2有且仅有8个不同的实数根，则实数a 的取值范围 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量2(2sin(),3),cos 2,2cos 12B m A C n B ⎛⎫=+=-⎪ ⎭⎝，且向量m ,n 共线． （1）求角B 的大小； （2）如果1b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．。
镇江市高三数学第三次模拟考试试卷数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置． 3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =,若A B ⊆,则实数m = ▲ 2．已知复数512iz =+（i 是虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ． 3．为了镇江市中学生运动会，现要在学生人数比例为5:3:2的A 、B 、C 三所学校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A 学校恰好抽出了6名志愿者， 那么n = ▲ ．4. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是 ▲ ． 5．已知F 为双曲线C ：2224(0)x my m m -=>的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为 ▲ .6. 运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是 ▲ .7. 已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .8. 设,a b 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给 出下列命题：（第6题）（1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ； （2）若a α⊥且a β⊥，则α∥β； （3）若α⊥β，则一定存在平面γ，使得,γαγβ⊥⊥； （4）若α⊥β，则一定存在直线l ，使得,//l l αβ⊥． 上面命题中，所有真命题．．．的序号是 ▲ . 9. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，20]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ▲ . 10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ .11. 在ABC ∆中，6=AB ,2=AC ，3π2=∠BAC ，若AC y AB x AM +=，且13=+y x ，的最小值为 ▲ .12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为221x y +=，()2,0A -，对圆O 上的任意一点P ，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，都有PB PA λ=成立，则b λ+的值为 ▲ .13. 已知函数R 2)(2∈+=x x x x f ，,若方程01)(=--x a x f 恰有4个互异的小于1的实数 根，则实数a 的取值范围为 ▲ .14. 若实数y x ,满足1222112sin cos =x x e y y--++，则x y 2tan 2的值为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()(sin sin )()sin a c A C b B -+=. （1）求角A ；（2）若22()cos ()sin ()f x x A x A =+--，求()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC =，AC AB ⊥,M 为BC 的中点，N 为AC 上一点，ABPNCM（第16题）且MN ∥平面PAB ．求证：（1）直线AB ∥平面PMN ； （2）平面ABC ⊥平面PMN ．17.（本小题满分14分）某学校有长度为14米的旧墙一面，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的活动室，工程条件是：① 建1 m 新墙的费用为a 元；② 修1 m 旧墙的费用是4a元；③ 拆去1 m 旧墙所得的材料，建1 m 新墙的费用为2a元，经过讨论有两种方案： （1）问如何利用旧墙的一段x 米)14(<x 为矩形厂房的一面边长； （2）矩形活动室的一面墙的边长14x .利用旧墙，即x 为多少时建墙的费用最省？（1）（2）两种方案，哪种方案最好？18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知斜率为1-的直线l 与椭圆22221(0)y x a b a b +=>>相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)M . （1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的右焦点为F ，且5AF BF ⋅=，求椭圆的方程.19.（本小题满分16分）已知正项数列{}n a 满足*112(1)(N )n n a a a S n +-=-∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和， 2a t =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1()2n n n a a S +，并指出等号成立的条件.20.（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =,2()g x kx ax =-，其中,k a 为实数. （1）若1,0k a ==,求方程()()0f x g x +=的零点个数；（2）若0a =，实数k 使得()()f x g x <恒成立，求k 的取值范围； （3）若1k =，试讨论函数()()()h x g x f x =-的单调性.2016-2017学年度高三教学情况调研（三）数学Ⅱ试题2017.5注意事项：1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答．题区域．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A．（选修4－1：几何证明选讲）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD AB⊥于D，BC和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：OBP CQP∠=∠.B．（选修4—2：矩阵与变换）QPDCBAO已知矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，31B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足AX B =，求矩阵X ．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）将参数方程(22)cos ,(22)sin ,t tt tx y θθ--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，t 为常数）化为普通方程．D.（选修4—5：不等式选讲） 已知,,x y z 均为正数．求证：111y xz yz zxxy x y z≥．【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某考生从6道预选题一次性随机的抽取3道题作答，其中4道填空题，2道解答题． (1)求该考生至少抽到1道解答题的概率；(2)若所取的3道题中有2道填空题，1道解答题．已知该生答对每道填空题的概率均为23，答对每道解答题的概率均为12，且各题答对与否相互独立．用X 表示该考生答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设整数9n ≥，在集合{1,2,3,,}n 中任取三个不同元素,,a b c ()a b c >>，记()f n 为满足a b c ++能被3整除的取法种数.(1) 直接写出(9)f 的值； (2) 求()f n 表达式.镇江市高三数学第三次模拟考试试卷数学参考答案一、填空题． 1． 3 2．3．30 4．315． 26．[-1,6] 7． 28．（2）（3）（4）9．10 10．50231 11．112．3213．）（32-4,014．21二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. 解：（1）由B c b C A c a sin )3()sin )(sin (-=+-， 及CcB b A a sin sin sin ==，（不交代定理扣1分） 得b c b c a c a )3())((-=+-即 bc c b a 3222-+= ... ... 3分 由余弦定理，（不交代定理扣1分）得： 21cos =A ， .. ... 5分 由0<A<π， 则6π=A . ... ... 7分(2)2)32cos(12)32cos(1)6(sin )6(cos )(sin )(cos )(2222ππππ---++=--+=--+=x x x x A x A x x f ... ...10分x 2cos 21= ... ...12分2222,,2k x k k Zk x k k Zππππππππ+≤≤+∈+≤≤+∈令得： （不交代k Z ∈合计扣1分）()[,],2f x k k k Z ππππ++∈则的单调增区间为 ... ...14分16. 证明：（1）因为MN ∥平面PAB ，MN ⊂平面ABC ， 平面PAB平面ABC AB =，所以MN ∥AB ． ········3分因为MN ⊂平面PMN ，AB ⊄平面PMN ，所以AB ∥平面PMN ． ·········6分 （2）因为M 为BC 的中点，MN ∥AB ，所以N 为AC 的中点． ·········8分 又因为PA PC =，所以PN AC ⊥， ·······10分 又MN AC ⊥．MN PN ⊂，平面PMN ，MNPN N =，所以AC ⊥平面PMN ． ·······12分 因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PMN ． ········14分17. 解：设利用旧墙的一面边长x 米，则矩形另一边长为126x米. ········1分 （1） 当14x <时，总费用25236()(14)(214)7(1)35424a a x f x x x a x a a x x=+-++-=+-≥， 当且仅当12x =时取最小值35a . …… 7分（2） 当14x ≥时，总费用25212649()14(214)2()44a f x a x a x x x =⨯++-=+-，…… 10分 则2126()2(1)0f x a x'=->，故()f x 在[14,)+∞上单调递增， 所以，当14x =时取最小值35.5a . ……13分 答：第（1）种方案最省，即当14x =米时，总费用最省，为35a 元. ……14分18. 解：（1）由题意可知，l 的方程为y =-x +3 ... ... 2分 代入12222=+by a x ，得096)(2222222=-+-+b a a x a x a b 设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则x 1+x 2=2226a b a +，x 1x 2=222229ab b a a +- ① ... ... 5分 由AB 中点为M （2,1）故 2226ab a +=4，即222b a = 故22122=-=a b e ② ... ... 8分（2）由①②知椭圆方程为：122222=+b y b xx 1+x 2=4，x 1x 2=2326b -因为121212221212222,()()()1243354353AFe AF a ex a x cBF a ex AF BF a ex a ex a ae x x e x x b b b b b ==--=-⋅=--=-++=-+-=-+=则同理：则因此： ... ...10分即:061252=--b b)(52,3舍或-==b b ... ... 14分则18222==b a因此椭圆方程为：191822=+y x ... ... 16分19. 解：（1）令1n =，得2121(1)a a a a -=-，即221a a a =⋅， 因0n a >，则11a =，得221a a t a ==， ……2分 当2n ≥时 112(1)n n a a a S +-=-， 121(1)n n a a a S --=- 两式相减得：12(1)n n n a a a a +-=- 即12n n a a a +=，因0n a >则12n na a t a +== ……5分 综上：1(*)n na t n N a +=∈ ……6分 从而，{}n a 是以1为首项，t 为公比的等比数列故1n n a t -=. ……7分（2）令111()(1)()1,022n n n n n n a a n t f t S t t t --++=-=++⋅⋅⋅+->当1t =时，(1)0n f =，即1()2n n n a a S += ……9分当1t ≠时，22(1)'()12(1)2n n n n n t f t t n t ---=++⋅⋅⋅+--，若(0,1)t ∈，22(1)'()[12(1)]02n n n n n t f t n t --->++⋅⋅⋅+--=若(1,)t ∈+∞，22(1)'()[12(1)]02n n n n n t f t n t ---<++⋅⋅⋅+--=即'()n f t 在(0,1)t ∈时单调递增，当(1,)t ∈+∞时单调递减， ……14分 则()(1)0n n f t f <=，即1()2n n n a a S +<， ……15分 故1()2n n n a a S +≤，当且仅当1t =时取“=”. ……16分 20. 解：（1）1,0k a ==，则2()()ln f x g x x x +=+， 记2()ln F x x x =+，因为()F x 在(0,)+∞上单调递增， ……1分 221111()ln 10F e e e e=+=-+<， ……2分(1)10F => ……3分 所以()0F x =仅有一个零点01(,1)x e∈，即方程()()0f x g x +=的零点个数为1. ……4分 （2）由0a =，实数k 使得()()f x g x <恒成立， 可得：2ln x k x ≥在0x >时恒成立，则max 2ln ()xk x >， ……5分 记2ln (),(0)xG x x x =>, 312ln '()xG x x -=……6分当'()0x G x ∈>，()G x在上单调递增，当),'()0x G x ∈+∞<，()G x 在)+∞上单调递减，则x =()G x 取得最大值12e ， 故k 的取值范围是1(,)2e+∞. ……8分 （3）21,()ln ,(0)k h x x ax x x ==-->若0a ，则2()ln h x x ax x =--，故2121()2x ax h x x a x x --'=--=令()0h x '=，得x =（负值舍去）记b =于是，()h x 在区间(0,)b 上单调递减，在区间(,)b +∞上单调递增； ……10分若0a >，则22ln ,()ln ,0x ax x x a h x x ax x x a⎧--⎪=⎨-+-<<⎪⎩≥， 先讨论2()ln ()h x x ax x x a =--≥的单调性，由2121()2x ax h x x a x x --'=--=令()0h x '=，得0x => 当b a >，即1a <时，()h x 在区间(,)a b 上单调递减，在区间(,)b +∞上单调递增；当b a ，即1a ≥时，()h x 在区间(,)a +∞上单调递增； ……12分 再讨论2()ln (0)h x x ax x x a =-+-<<的单调性，注意到2121()2x ax h x x a x x-+-'=-+-= 当280a ∆=-时，即022a <时，()0h x '≤()h x 在区间(0,)a 上单调递减.当280a ∆=->时，即a >()0h x '=得x a =<，则()h x 在区间)a 上单调递减，在区间上单调递增； ……15分综上，当1a <时，()h x 在区间上单调递减，在区间)+∞上 单调递增；当122a 时，()h x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；当a >时，则()h x在区间)a 上单调递减，在区间上单调递增. ……16分数 学 Ⅱ 试 题A ．（选修4－1：几何证明选讲）证：连接OA ，因为OD AB ⊥，OA OB =，所以12BOD AOD AOB ∠=∠=∠， 又12ACB AOB ∠=∠，所以ACB DOB ∠=∠， ………5分 又因为180BOP DOP ∠=-∠，180QCP ACB ∠=-∠，所以BOP QCP ∠=∠，所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以OBP CQP ∠=∠. ………10分B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：设a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 由123211a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦得23,21,a b a b +=⎧⎨-=⎩………6分 解得1,1,a b =⎧⎨=⎩此时11X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. ………10分C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：当t =0时，y =0，x =2cos θ，即y =0，且22x -≤≤； ………2分当t ≠0时，cos 22t t x θ-=+，sin 22t ty θ-=- ， ………6分 所以22221(22)(22)t t t t x y --+=+-. ………10分D.（选修4—5：不等式选讲）证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z +=+≥． ………5分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 111x y z yz zx xy x y z++++≥． ………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解 (1)记该考生至少抽到1道解答题为事件A ， 则()343614()11155C P A P A C =-=-=-=. ………4分 (2)X 所有的可能取值为0，1，2，3.2211(0)(1)(1)3218P X ==-⋅-=； 122221215(1)(1)(1)(1)3323218P X C ==⋅⋅-⋅-+-⋅=； 12222121105(2)(1)()(1)33232189P X C ==⋅⋅-⋅+⋅-==； 22121(3)()32189P X ==⋅==. 所以X 的分布列为：………8分所以155131()0123.18189918E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ………10分 23．（本小题满分10分）解 (1) (9)12=f . ………2分(2)①当*3(3,)N n k k k =∈≥时，记3n k =，集合为{1,2,3,,31,3}k k -. 将其分成三个集合：{1,4,,32}A k =-，{2,5,,31}B k =-，{3,6,,3}C k =. 要使得a b c ++能被3整除，,,a b c 可以从A 取三个或从B 取三个或从C 取三个或从C 取一个，从A 中取一个，从B 中取一个（此数与A 中取的那个数之和能被3整除）.故有323112(1)(2)3183254k k kk k k n n n C C C k ---++=+=种取法； ………5分 ②当*31(3,)N n k k k =+∈≥时，记13n k -=，集合为{1,2,3,,3,31}k k +. 将其分成三个集合：{1,4,,32,31}A k k =-+，{2,5,,31}B k =-，{3,6,,3}C k =. 要使得a b c ++能被3整除，,,a b c 可以从A 取三个或从B 取三个或从C 取三个或从C 取一个，从B 中取一个，从A 中取一个（此数与B 中取的那个数之和能被3整除）.故有2323311221(1)(2)(1)(1)(1)31210236254k k k kk k k k k k k k n n n C C C C k k +--+---+-++=++=+=种取法； ……7分③当*32(3,)N n k k k =+∈≥时，记23n k -=，集合为{1,2,3,,31,32}k k ++. 将其分成三个集合：{1,4,,32,31}A k k =-+，{2,5,,31,32}B k k =-+，{3,6,,3}C k =. 要使得a b c ++能被3整除，,,a b c 可以从A 取三个或从B 取三个或从C 取三个或从C 取一个，从B 中取一个，从A 中取一个（此数与B 中取的那个数之和能被3整除）.故有 232331111(1)(2)(1)(1)(1)318322(1)(1)63254k k k k k k k k k k k k n n n C C C C k k k k ++--+---++++=+++=++=种取法； ………9分综上所述，32*32*32*318,3(3,),5431210(),31(3,),5431832,32(3,).54N N N n n n n k k k n n n f n n k k k n n n n k k k ⎧-+=∈⎪⎪⎪-+-==+∈⎨⎪⎪-++=+∈⎪⎩≥≥≥ ………10分。
2020年江苏省镇江市高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 集合A ={a 2,a +1,−1}，B ={2a −1,|a −2|,3a 2+4}，−1∈A ∩B ，则a = ______ ．2. 已知：(1−2i)z =5+10i(i 是虚数单位 )，则z = ______ ．3. 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的______条件．(填充要关系)4. 某学校高一年级500名学生中，血型为O 型的有200人，A 型的有125人，B 型的有125人，AB 型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O 型的学生中应抽取_______人．5. 两条平行线l 1：3x +4y =2与l 2：ax +4y =7的距离为______ ．6. 已知A,B,C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为_________．7. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=−1，S 10=35，则a 20=________． 8. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2恰为抛物线x =14y 2的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的方程为______ ．9. 一个圆锥，母线长为1，高为h ，当高为________时，其体积取最大值．10. 若圆C 1：(x −a)2+y 2=4(a >0)与圆C 2：x 2+(y −√5)2=9相外切，则实数a 的值为______ ． 11. 在△ABC 中，A =120°，AB =4，若点D 在边BC 上，且BD =2DC ，AD =2√73，则AC 的长为______ ．12. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√22)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)则∠ABC = ______ ．13. 已知f(x)=e x ，g(x)={√1−(x +2)2,−3≤x ≤−12g(x −2),−1<x ≤1，则在区间[−3,1]上的函数y =f(x)−g(x)的零点个数为______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sinB =513，且a ，b ，c 成等比数列．则______ ．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF//平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1．16.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=3，cosA=√63，B=A+π2．(Ⅰ)求b的值；(Ⅱ)求△ABC的面积．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,−√3)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线l交椭圆于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当MF=2FN时，求直线l的方程．18.某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100)，中间每个桥墩的平均造价为803√x万元，桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元．(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x)；(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A、B除外)应建多少个桥墩？19.已知数列{a n}和{b n}满足a1=1318，a n+1=−12a n+n，b n=a n−2n3+49，求数列{b n}的通项公式b n．20.已知函数f(x)=lnx+a2x2−(a2+2)x+2,a∈R，(I)当a=1时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(II)若x∈[1,+∞)时，函数f(x)的最小值为0，求a的取值范围．21.21(本题10分)已知矩阵M =[−12523] ．(1)求M 的特征值和特征向量； (2)若向量α=[116]，求M 3α．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosφy =2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l 1与C 相交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点M 作l 1的垂线l 2交C 于P ，Q 两点． (1)写出曲线C 的普通方程与直线l 1的直角坐标方程； (2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23. 已知a >0，b >0，c >0，函数f(x)=|x +a|+|x −b|+c 的最小值为4．(Ⅰ)求a +b +c 的值；(Ⅱ)求a2+b2+c2的最小值．24.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB=√2，CE=1，CE⊥平面ABCD．(1)求异面直线DF与BE所成角的余弦值；(2)求二面角A−DF−B的大小．25.从集合P={x|1≤x≤9,x∈N∗}中等可能地取出m个不同元素，记所取元素之和为ξ．(1)若m=2，求ξ为偶数的概率；(2)若m=3，η表示ξ被3整除的余数，求η的概率分布及数学期望E(η)．【答案与解析】1.答案：0解析：解：∵−1∈A∩B，∴2a−1=−1，则a=0，此时A={0,1，−1}，B={−1,2，4}．故答案为：0．由−1∈A∩B，2a−1=−1从而得到a的值，验证即可．本题考查了集合的运算，属于基础题．2.答案：−3−4i解析：解：由(1−2i)z=5+10i，得：z=5+10i1−2i =(5+10i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−15+20i5=−3+4i，∴z=−3−4i．故答案为：−3−4i．把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再求其共轭复数得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础的计算题．3.答案：充分不必要解析：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断及其应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，由题意知p⇒r，r⇒s，s⇒q，从而得到p⇒q，由此能求出结果．解：∵p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q 是s 的必要条件，∴p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒q，∴p是q成立的充分不必要条件．故答案为充分不必要．4.答案：16解析：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，由题意知，从500名学生中抽取一个容量为40的样本，采用分层抽样，可以知道每个个体被抽到的概率，用O型血型的人数乘以概率得到这种血型所要抽取的人数，即可求解．解：根据题意知用分层抽样方法抽样，∵40500=450，故O型血抽200×450=16人，故答案为16．5.答案：5解析：解：l2：ax+4y=7为3x+4y=7，由平行线间的距离公式可得：两平行线间的距离d=√9+16=5，故答案为5由平行线间的距离公式可得两平行线间的距离．本题考查平行线间的距离公式，属基础题．6.答案：23解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．先求出基本事件总数n=A33=6，再求出A与B在相邻两天值班包含的基本事件个数m=A33−A22=4，由此能求出A与B在相邻两天值班的概率．解：A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，基本事件总数n=A33=6，A与B在相邻两天值班包含的基本事件个数m=A33−A22=4，∴A与B在相邻两天值班的概率P=mn =46=23．故答案为23．7.答案：18解析：设等差数列{a n}的公差为d，由已知列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得a20.本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=−1，S10=35，得10×(−1)+10×(10−1)d2=35，解得d=1．∴a20=a1+19d=−1+19×1=18．故答案为18．8.答案：23−2√222√2−2=1解析：解：抛物线的焦点坐标(1,0)，所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以b2a=2c，c2=a2+b2=1，解得a=√2−1，所以b2=2(√2−1)，所以双曲线C的方程为23−2√222√2−2=1．故答案为：23−22222−2=1．求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出双曲线的方程．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：√33解析：本题考查圆锥的体积计算公式及函数的最大值，属于基础题． 解：设底面半径为r ，则r 2=1−ℎ2，则体积为V =13πr 2ℎ=π3(1−ℎ2)ℎ=π3(ℎ−ℎ3)， 令t =ℎ−ℎ3，由t′=1−3ℎ2=0得ℎ=√33，所以当ℎ∈(0,√33)时，t 单调递增；当ℎ∈(√33,1)时，t 单调递减，所以当ℎ=√33时，圆锥体积V 取得最大值，故答案为√33．10.答案：2√5解析：解：∵圆C 1：(x −a)2+y 2=4(a >0)与圆C 2：x 2+(y −√5)2=9相外切， ∴(0+a)2+(−√5−0)2=(2+3)2， ∴a =2√5． 故答案为2√5．利用两圆外切，圆心距等于半径之和，建立方程，即可求得实数a 的值．本题以圆的方程为载体，考查圆与圆的位置关系，解题的关键是利用两圆外切，圆心距等于半径之和，建立方程．11.答案：3解析：解：如图所示：△ABC 中，∠BAC =120°，AB =4，点D 在边BC 上，BD =2DC ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得9AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 又AD =2√73， ∴9×(2√73)2=4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4×|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |×4×cos120°+42， 化简得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−3=0， 解得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3或|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1(不合题意舍去)， 故答案为：3．画出图形，结合图形，利用BD =2DC ，得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，再利用平面向量的数量积求出|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |即可． 本题考查了利用平面向量的线性运算与数量积运算求三角形边长的应用问题．12.答案：arccos 3+√66解析：解：∵向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√22)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)，则cos∠ABC =BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12⋅√32+√22⋅12√34⋅√34+14=√3+√22√3，∴∠ABC =arccos√3+√22√3=3+√66，故答案为：arccos 3+√66，利用cos∠ABC =BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，求得∠ABC 的值．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．13.答案：4解析：解：当x ∈(−1,1]时，x −2∈(−3,−1]， ∴g(x)=2g(x −2)=2√1−x 2，x ∈(−1,1]． 做出f(x)与g(x)的函数图象如下：由图象可知两图象共有4个交点，∴y=f(x)−g(x)共有4个零点．故答案为4．求出g(x)的解析式，作出两函数的图象，根据函数图象的交点个数判断．本题考查了函数解析式的求解，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．14.答案：135解析：解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac．∴sinAsinC=sin2B.．．故答案为：135利用等比数列可得b2=ac.再利用正弦定理可得sinAsinC=sin2B.利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的正弦公式即可得出．本题考查了等比数列、正弦定理、同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15.答案：证明：(1)连接A1C与AC1交于点O，连接OF，OE，∵F为AC的中点，C1C，∴OF//C1C且OF=12∵E为BB1的中点，C1C，∴BE//C1C且BE=12∴BE//OF且BE=OF，∴四边形BEOF是平行四边形，∴BF//OE，∵BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，∴BF//平面A1EC．(2)∵AB=CB，F为AC的中点，∴BF⊥AC，由(1)知BF//OE，∴OE⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，∴AA1⊥BF，∵BF//OE，∴OE⊥AA1，∵AA1∩AC=A，∴OE⊥平面AA1C1C，∵OE⊂面A1EC，∴平面A1EC⊥平面AA1C1C.解析：本小题主要考查线面平行，平面与平面垂直的判定等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．(1)连接A 1C 与AC 1交于点O ，连接OF 、OE ，证明四边形BEOF 是平行四边形，可得BF//OE ，利用线面平行的判定定理，即可证明BF//平面A 1EC ；(2)证明平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1，只需证明OE ⊥平面A 1EC ．16.答案：解：(Ⅰ)∵cosA =√63， ∴sinA =√1−69=√33， ∵B =A +π2．∴sinB =sin(A +π2)=cosA =√63， 由正弦定理知a sinA =bsinB ， ∴b =asinA ⋅sinB =√33×√63=3√2．(Ⅱ)∵sinB =√63，B =A +π2>π2∴cosB =−√1−69=−√33， sinC =sin(π−A −B)=sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√33×(−√33)+√63×√63=13，∴S =12a ⋅b ⋅sinC =12×3×3√2×13=3√22．解析：(Ⅰ)利用cos A 求得sin A ，进而利用A 和B 的关系求得sin B ，最后利用正弦定理求得b 的值． (Ⅱ)利用sin B ，求得cos B 的值，进而根两角和公式求得sin C 的值，最后利用三角形面积公式求得答案．本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．17.答案：解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由椭圆经过点(0 , −√3)得b =√3，①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等， 得a +c =a 2c−c ，②又a 2=b 2+c 2，③由①②③可得a=2，c=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)当直线l与x轴重合时，M(−2,0)，N(2,0)，此时MF=3FN，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，将直线l与椭圆x24+y23=1联立并消去x得，(3m2+4)y2+6my−9=0．因为，所以y1+y2=−6m3m2+4，④y1y2=−93m2+4，⑤由MF=2FN得y1=−2y2，⑥由④⑥解得y1=−12m3m2+4,y2=6m3m2+4，代入⑤得−72m 2(3m2+4)2=−93m2+4，所以m=±2√55，所以直线方程为√5x±2y−√5=0.解析：本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的综合应用，难度较大．(1)由题意列出关于a，b，c的式子解出即可得到结果；(2)由MF=2FN得y1=−2y2联立方程即可得到关于m的式子，解出即可得到结果．18.答案：解：(1)由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x米，知中间共有(640x−1)个桥墩，于是桥的总造价f(x)=640(2+x√x640)+803√x(640x−1)+100，即f(x)=x32+640×803x−12−803x12+1380=x32+512003x−12−803x12+1380(64<x<100)…(7分)(表达式写成f(x)=x√x3√x −803√x+1380同样给分)(2)由(1)可求f′(x)=32x12−640×403x−32−403x−12，整理得f′(x)=16x−32(9x2−80x−640×80)，由f′(x)=0，解得x 1=80，x 2=−6409(舍)，又当x ∈(64,80)时，f′(x)<0； 当x ∈(80,100)时，f′(x)>0，所以当x =80，桥的总造价最低，此时桥墩数为64080−1=7…(14分)解析：(1)设相邻两个桥墩的距离为x 米，推出桥的总造价的函数关系式． (2)求出函数的导数，利用导函数求解函数的极值点，求出最值即可． 本题考查函数的综合应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查计算能力． 19.答案：解：∵a 1=1318，∴b 1=1318−23+49=12，b n+1=a n+1−2(n+1)3+49=(−12a n +n)−2(n+1)3+49=−12a n +n3−29=−12(a n −2n 3+49)=−12b n ，所以{bn}是以12为首项，−12为公比的等比数列， 所以b n =12(−12)n−1=−(−12)n ．解析：本题考查数列递推关系，考查数列通项公式求法， 依题意，根据a n+1=−12a n +n ，b n =a n −2n 3+49，得b n+1=−12b n ，从而求得通项公式．20.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=lnx +12x 2−52x +2，f′(x)=1x +x −52，f′(1)=−12，f(1)=0，故f(x)在(1,f(1))处的切线方程是：y −0=−12(x −1)， 即x +2y −1=0；(Ⅱ)f′(x)=1x +ax −(a2+2)=(ax−2)(2x−1)2x，a =0时，f′(x)=−2(2x−1)2x<0，故函数在[1,+∞)递减，而f(1)=0， 故此时不合题意，a <0时，任意x ∈[1,+∞)都有f′(x)<0，故函数在[1,+∞)递减，而f(1)=0， 故此时不合题意，当0<a <2时，由f′(x)=0解得：x =12或x =2a >1， x ∈(1,2a )时，f′(x)<0， x ∈(2a ,+∞)时，f′(x )>0．故函数在[1,2a )递减，而f(1)=0， 故此时不合题意；a ≥2时，在x ≥1时，f′(x)=(ax−2)(2x−1)2x≥0，此时函数在[1,+∞)递增，故f(x)≥f(1)=0，即函数的最小值是0，符合题意， 综上，a 的范围是[2,+∞)．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而确定a 的具体范围．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．21.答案：解：(1)M =[−12523]有两个特征值λ1=4,λ2=−2；属于λ1=4的一个特征向量为α1=[25]；属于λ2=−2的一个特征向量为α2=[−21]．(2)α=[116]=3α1+α2，∴M 3α=3λ13α1+λ23α2=[208952]．解析：本题考查特征值、特征向量的定义，考查学生的计算能力，属于中档题． (1)考查矩阵特征值和特征向量；(2)考查的矩阵的运算，利用α=[116]=3α1+α2计算即可．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)∵|x+a|+|x−b|≥|a+b|，∴f(x)≥|a+b|+c，当且仅当(x+a)(x−b)≤0时，等号成立，又a>0，b>0，∴|a+b|=a+b，∴f(x)的最小值为a+b+c，∴a+b+c=4．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a+b+c=4，又a>0，b>0，c>0，∴由柯西不等式得，(a2+b2+c2)×(12+12+12)≥(a×1+b×1+c×1)2=(a+b+c)2=42=16，即a2+b2+c2≥163，当且仅当a=b=c=43时取等号，∴a 2+b 2+c 2的最小值为163．解析：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式，属于中档题． (Ⅰ)由|x +a|+|x −b|≥|a +b|，可得f(x)的最小值； (Ⅱ)利用柯西不等式，即可求出结果．24.答案：解：(1)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D(√2,0，0)，F(√2,√2,1)，E(0,0，1)，B(0,√2,0)，C(0,0，0)，则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,1)， ∴cos <DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√3×√3=−13，∴异面直线DF 与BE 所成角的余弦值为13． (2)平面ADF 的法向量m ⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,0)， 设平面BDF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 由BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，得： {n ⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +z =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−√2)， 设二面角A −DF −B 的大小为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2√4×√2=12，θ=π3，∴二面角A −DF −B 的大小为π3．解析：(1)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DF 与BE 所成角的余弦值．(2)求出平面ADF 的法向量和设平面BDF 的法向量，利用向量法能求出二面角A −DF −B 的大小． 本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.答案：解：(1)从集合P ={x|1≤x ≤9,x ∈N ∗}中等可能地取出2个不同元素，记所取元素之和为ξ．基本事件总数n =C 92=36，ξ为偶数包含的基本事件个数m=C42+C52=16，∴ξ为偶数的概率p=mn =1636=49．(2)从集合P={x|1≤x≤9,x∈N∗}中等可能地取出3个不同元素，记所取元素之和为ξ．η表示ξ被3整除的余数，则η的可能取值为0，1，2，设集合A={1,4，7}，B={2,5，8}，C={3,6，9}，则“η=0”表示从A，B，C中各取1个或从A中取3个或从C中取3个，∴P(η=0)=(C31)3+3×C33C93=3084，“η=1”表示从A中取1个，C中取2个或从A中取2个，B中取1个或从B中取2个，C中取1个，∴P(η=1)=C31⋅C32×3C93=2784，“η=2”表示从A中取2个，C中取1个或从B中取1个，C中取2个，或从A中取1个，B中取2个，∴P(η=2)=C31⋅C32×3C93=2784，∴η的分布列为：数学期望E(η)=0×3084+1×2784+2×2784=2728．解析：(1)基本事件总数n=C92=36，ξ为偶数包含的基本事件个数m=C42+C52=16，由此能求出ξ为偶数的概率．(2)η表示ξ被3带队的余数，则η的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列和数学期望E(η)．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
