武汉市硚口区高一期末调考数学试卷

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

2023-2024学年湖北省武汉市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数是虚数单位，则Z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是()A.这组数据的平均数为7B.这组数据的众数为7C.这组数据的中位数为7D.这组数据的方差为73.设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是()A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则4.下列结论正确的是()A.平行向量不一定是共线向量B.单位向量都相等C.两个单位向量之和不可能是单位向量D.5.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图图、“90后”从事快递行业岗位分布条形图图，则下列结论中错误的是()A.快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的C.快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多6.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为()A.B.C.D.7.如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则()A. B. C. D.8.已知矩形ABCD，，，将沿BD折起到若点在平面BCD上的射影落在的内部不包括边界，则四面体的体积的取值范围是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.武汉某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是()A.B.该样本数据的中位数和众数均为85C.若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改D.为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生4人10.下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.已知m ，，i 是关于x 的方程的一个根，则D.若复数z 满足，则的最大值为11.在锐角中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则下列结论正确的有()A.B.B 的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高一期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足(1−z)i=2，则复数z的虚部为( )A. −iB. −1C. 2iD. 22.已知向量a与b的夹角为30∘，|a|=3，|b|=2，则|a−b|=( )A. 1B. 2−3C. 2+3D. 133.已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是( )A. 3.5B. 4C. 4.5D. 54.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x i(i=1,2,3,4,5)，平均数为x，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为y i(i=1,2,3,4)，平均数为y，下面说法正确的是( )A. 新数据的极差不可能等于原数据的极差B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数C. 若x=y，则新数据的方差一定小于原数据方差D. 若x=y，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数5.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份(如图)，等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量(不计损耗)约为( ) (参考数据：π≈3.14)A. 1.3m 3B. 1.5m 3C. 1.8m 3D. 2.2m 36.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l⊄α，l⊄β，则( )A. α//β，l//αB. α⊥β，l ⊥βC. α与β相交，且交线平行于lD. α与β相交，且交线垂直于l7.如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AC ⊥BC ，∠DAC =30∘，∠BAC =45∘现将△ACD 沿AC 折起，并连接BD ，使得平面ACD ⊥平面ABC ，若所得三棱锥D−ABC 的外接球的表面积为8π，则三棱锥D−ABC 的体积为( )A. 14B.34C.38D.338.已知棱长为4的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1，点E 是棱AB 的中点，点F 是棱CC 1的中点，动点P 在正方形AA 1D 1D(包括边界)内运动，且PB 1//面DEF ，则PD 的长度范围为( )A. [ 13,19]B. [3355,25]C. [121717,25]D. [3395,19]二、多选题：本题共3小题，共15分。

2024届湖北省武汉市部分学校数学高一上期末调研试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若1,2,a b c a b ===+，且c d ⊥则a 与b 的夹角为（ ）A.30B.60C.120D.1502．一个扇形的面积是21cm ，它的半径是1cm ，则该扇形圆心角的弧度数是A.12B.1C.2D.2sin1 3．已知()y f x =是奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，21()log 1f x x=-，则()y f x =在(1,2)内是A.单调增函数，且()0f x <B.单调减函数，且()0f x >C.单调增函数，且()0f x >D.单调减函数，且()0f x < 4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x 1 23 4 ()f x 5 3 2-5- 那么函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是（）A.()–,1∞B.()1,2C.()2,3D.()3,45．若01a b <<<，则错误的是A.32a b <B. 23a b <C.23log log a b <D.log 2log 3a b <6．已知 2log 3a =, 2log b e =, ln2c =, 则a,b,c 的大小关系是A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >> 7．若函数()sin()4f x x π=+，()sin(2)3g x x π=+，则函数()f x 的图像经过怎样的变换可以得到函数()g x 的图像 ①先向左平移12π个单位，再将横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变. ②先向左平移12π个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变.③将横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移24π个单位，纵坐标保持不变. ④将横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移12π个单位，纵坐标保持不变.A.①③B.①④C.②③D.②④ 8．若向量a ＝13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，|b |＝23，若a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角（） A.6π B.4π C.3π D.2π 9．已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个 10．已知，则的值为（ ） A.3B.6C.9D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届湖北省武汉市华科附中、吴家山中学等五校高一数学第二学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）A ．3立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．12立方丈2．将函数()sin(2)3f x x π=-的图像左移3π个单位，则所得到的图象的解析式为A ．sin 2y x =B ．2sin(2)3y x π=+C ．sin(2)3y x π=+D ．2sin 23y x π=-（）3．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+，且()y f x =的图象向左平移()0m m >个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．512π 4．已知单位向量OA ，OB ，满足0OA OB ⋅=.若点C 在AOB ∠内，且60AOC ∠=︒，(,)OC mOA nOB m n =+∈R ，则下列式子一定成立的是（ ）A ．1m n +=B ．1mn =C ．221+=m nD ．3m n =5．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭6．三棱锥A BCD -的高33AH =，若AB AC =，二面角 A BC D --为3π，G 为ABC ∆的重心，则HG 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．107．已知函数sin 3xy π=在区间[]0t ，上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．98．已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A ．22ca ac > B ．ac bc > C ．22ab cb >D ．ab ac >9．在等差数列中，，，则数列的前5项和为（ ）A ．13B ．16C ．32D ．3510．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ） A ．1 B ．4 C ．2D ．3log 5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届湖北武汉市第十一中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知非零向量a 与b 的夹角为23π，且1,22b a b =+=，则a （ ） A ．1B ．2C ．3D ．232．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．83．过点A (3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线方程为 A ．122y x =+ B ．27y x =-+ C ．1522y x =+ D ．1322y x =+ 4．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，函数()8g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()2sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()f x 与()g x 的图象均关于直线4x x π=-对称C ．函数()f x 与()g x 的图象均关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 与()g x 在区间,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上均单调递增 5．设m ,n 为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，给出下列命题: ①若//m α，//m n ，则//n α； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确命题的序号是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④6．若函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是（ ）A ．在59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．图象关于直线12x =对称 C ．图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 的值域为)27．已知点A 、B 、C 在圆221x y +=上运动，且90ABC ∠=，若点P 的坐标为()2,0，PA PB PC ++的最大值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．68．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A ．126B ．127C ．128D ．1299．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知3个县人口数之比为2:3:5，如果人口最多的一个县抽出60人，那么这个样本的容量等于（ ） A ．96B ．120C ．180D ．24010．已知,αβ均为锐角,()5cos 13αβ+=-,π3sin ,35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭则πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=A ．3365B ．6365 C ．3365-D ．6365-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届湖北省武汉市部分学校高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( ) A ．①随机抽样法，②系统抽样法 B ．①分层抽样法，②随机抽样法 C ．①系统抽样法，②分层抽样法 D ．①②都用分层抽样法2．将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ） A ．,22a πϕ== B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ==3．一组数123,,,,n x x x x 平均数是x ，方差是2s ，12，3,3n x ）A ．2sB 2s +C ．2sD 2+4． “6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数cos (0)12y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2，则ω=（ ）A ．1B ．2C ．πD ．2π6．若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．52D ． 37．长方体1111ABCD A B C D -中的8个顶点都在同一球面上，3AB =，4=AD ，15AA =，则该球的表面积为（ ）． A ．200π B ．100πC ．50πD ．25π8．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离9．已知数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列，若2022n a =，则n = （ ） A ．504B ．505C ．506D ．50710．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2580a a +=，则52S S =（ ） A ．-11B ．-8C ．5D ．11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2021-2022学年湖北省高一上学期期末调考数学试题一、单选题1．已知集合{}21,,3A x x =+，若2A ∈，则x =（ ）A ．-1B ．0C ．2D ．3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系列方程求解即可. 【详解】因为2A ∈，所以2x =或232x +=， 而232x +=无实数解，所以2x =. 故选：C.2．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+< D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥【答案】C【解析】【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.【解析】全称命题与存在性命题.3．已知角α的终边经过点(3,4)P ，则5sin 10cos αα+的值为（ ） A ．11 B ．10C ．12D ．13【答案】B【解析】由角α的终边经过点(3,4)P ，根据三角函数定义，求出sin cos αα，，带入即可求解.【详解】∵角α的终边经过点(3,4)P ，∴43sin cos 55||5,O y x r r r P αα==∴===，=， ∴435sin 10cos =510=1055αα++. 故选：B【点睛】利用定义法求三角函数值要注意：(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．4．函数()ln 5f x x x =+-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】D【分析】判断函数()ln 5f x x x =+-的单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点所在区间.【详解】因为函数ln y x =，5y x =-都为(0,)+∞上的增函数， 所以函数()f x 在R 上单调递增，又()140f =-<，()2n2l 30f =-<，()3ln320f =-<，()4ln 410f =->， 根据零点存在性定理可知()f x 的零点所在区间为()3,4. 故选：D.5．幂函数y =f （x ）的图象过点（4，2），则幂函数y =f （x ）的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y=f （x ）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象． 【详解】设幂函数的解析式为y=x a ， ∵幂函数y=f （x ）的图象过点（4，2）， ∴2=4a ， 解得a=12∴y x =[0，+∞），且是增函数， 当0＜x ＜1时，其图象在直线y=x 的上方．对照选项． 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解及幂函数图象及其与指数的关系，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．6．化简()()sin 2cos633sin cos 22παπααααπ---⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B【分析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可. 【详解】原式()()sin cos sin 2cos 222ααπππαπα-⋅-=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ sin cos sin cos 22ααππαα-⋅=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ sin cos sin cos 1cos sin sin cos 22ααααππαααα-⋅-⋅===-⋅⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B7．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约（ ）年到5730年之间？（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3≈） A ．4011 B ．3438 C ．2865 D ．2292【答案】A【分析】由已知条件可得573013225t-≤≤，两边同时取以2为底的对数，化简计算可求得答案【详解】因为碳14的质量是原来的12至35，所以573013225t-≤≤， 两边同时取以2为底的对数得57302231log 2log 5t --≤≤， 所以221log 3log 50.75730t--≤≤-≈-，所以40115730t ≤≤， 则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间. 故选：A.8．已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（ ）A ．t 没有最小值B ．t 的最小值为51-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B【分析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值. 【详解】如图，作出函数()f x 的图象， ()()f n f m =且n m >，则1m ，且1n >， 2311m n ∴+=-，即223n m -=. 由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得15n <≤. 222211317(32)()333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又15n <≤，∴当5n =时，()min 51n m -=-. 故选：B.【点睛】（1）分段函数的图象一般分段来画，在画各段图象时要注意端点实虚. （2）多变量问题研究的核心就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题.根据变量间的关系消元或整体换元将多变量化归单变量是解决此类问题的常用方法. 二、多选题9．已知0a b >>，R c ∈，则下列不等式成立的是（ ） A ．a c b c ->- B ．ac bc >C ．11a b< D ．2a bab +>【答案】ACD【分析】根据不等式的性质判断A ，B ，根据比较法判断C ，根据基本不等式判断D. 【详解】对于A ，因为0a b >>，R c ∈，所以a c b c ->-，所以A 正确； 对于B ，由0a b >>，当0c <时，ac bc <，所以B 不正确；对于C ，因为0a b >>，R c ∈，所以110b aa b ab --=<，故11a b<，所以C 正确；对于D ，因为0a b >>，所以均值不等式得2a b+>D 正确； 故选：ACD.10．下列四组关系中不正确的是（ ）A ．2,,33k k Z k k Z ππααπββπ⎧⎫⎧⎫=±∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣ B ．,2,22k k Z k k Z ππααπββπ⎧⎫⎧⎫=±∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣ C ．,,22k k Z k k Z ππααπββπ⎧⎫⎧⎫=-∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣ D ．{}{}2,,k k Z k k Z ααππββπ=±∈==∈∣∣ 【答案】ABD【分析】由终边相同角的概念结合特殊值，逐一分析四组角即可得答案; 【详解】对于A ，当1k =时，433k πππ+=，不存在23k k Z ππ±∈，与之对应，所以A不正确； 对于B ，2k k Z ππ±∈，表示终边落在y 轴上的角，22k k Z ππ+∈，表示终边落在y 轴正半轴上的角，所以B 不正确；对于C ，2k k Z ππ-∈，与2k k Z ππ+∈，都表示终边落在y 轴上的角，所以C 正确；对于D ，2k k Z ππ±∈，表示终边落在x 轴负半轴上的角，k k Z ，π∈表示终边落在x 轴上的角，所以D 不正确. 故选：ABD.11．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．cos 2y x =【答案】CD【分析】函数sin y x =在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不符合要求，故A 错；函数cos y x=的最小正周期为2π，不符合要求，故B 错；tan y x =符合题中要求，故C 正确；cos 2y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.【详解】对于A ，sin y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上sin sin y x x ==单调递减，所以A 错误；对于B ，cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以B 错误；对于C ，tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以C 正确；对于D ，cos 2y x =最小正周期为22T ππ==，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 正确， 故选:CD .12．若定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意的实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ特征函数”.下列结论正确的是（ ）A ．()0f x =是常数函数中唯一的“λ特征函数”B ．()21f x x =+不是“λ特征函数”C ．“13特征函数”至少有一个零点 D ．()e xf x =是一个“λ特征函数”【答案】BCD 【分析】根据“λ特征函数”的定义逐个分析判断【详解】对于A ，设()f x C =是一个“λ-特征函数”，则()10C λ+=，当1λ=-时，C R ∈，因此()0f x =不是常数函数中唯一的“λ-特征函数”，故A 不正确；对于B ，()()()()21210f x f x x x λλλλ++=++++=，即()2131x λλ+=--，要使该式恒成立，则1310λλ+=--=，而该方程无解，故B 正确；对于C ，令0x =，得()110033f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()11033f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()00f =，显然()0f x =有实数根；若()00f ≠，则()()21100033f f f ⎛⎫⋅=-< ⎪⎝⎭，又因为()f x 的函数图象是连续不断的，所以()f x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上必有实数根，因此任意“13-特征函数”至少有一个零点，故C 正确；对于D ，若()e xf x =是一个“λ-特征函数”，则e e 0x x λλ++=对任意实数x 恒成立，即e 0λλ+=，令()e ,xf x y x ==-，则由两函数的图象可知，两图象有一个交点，所以e 0λλ+=有解，故D 正确.故选：BCD. 三、填空题13．若命题p 是命题“:0q xy >”的充分不必要条件，则p 可以是___________.（写出满足题意的一个即可）【答案】0x >，0y >（答案不唯一）.【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可 【详解】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立， 而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<， 所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件， 故答案为：0,0x y >>（答案不唯一） 14．已知一个扇形的面积为3π，半径为2，则其圆心角为___________. 【答案】6π【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小. 【详解】解：设圆心角为α，半径为r ，则2r =，由题意知，2114322r παα==⋅，解得6πα=，故答案为:6π15．设2372x y ==，则32x y+=______.【答案】1【解析】根据指数式与对数式的互化，得到2log 72x =，3log 72y =，再结合对数的运算法则，即可求解.【详解】由2372x y ==，可得2log 72x =，3log 72y =，所以7272727272323log 22log 3log 9log 8log 721x y+=+=+==.故答案为：1.16．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh 2x x e e x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh 2x x e e x --=.设函数()sinh cosh x f x x =，若实数m 满足不等式()()2230f m f m ++->，则m 的取值范围为___________.【答案】()1,3-【分析】先判断()f x 为奇函数，且在R 上为增函数，然后将()()2230f m f m ++->转化为()()223f m f m +>，从而有223m m +>，进而可求出m 的取值范围【详解】由题意可知，()x xx x e e f x e e---=+的定义域为R ，因为()()x xxxe ef x f x e e----==-+，所以()f x 为奇函数. 因为()22212111x x x x x x x e e e f x e e e e ----===-+++，且()221x g x e =+在R 上为减函数，所以由复合函数的单调性可知()2211x f e x =-+在R 上为增函数.又()()2230f m f m ++->，所以()()223f m f m +>，所以2230m m --<，解得13m -<<. 故答案为：()1,3-. 四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}24xA x =>，{}221B x a x a =-≤≤+，{}15C x x =≤≤.(1)若1a =，求()U A B ⋂； (2)若C B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}12x x ≤≤ (2)2a ≥【分析】（1）1a =时，分别求出集合A ，B ，UA ，再根据集合的运算求得答案；（2）根据C B ⊆，列出相应的不等式组，解得答案. (1)当1a =时，{}2A x x =>，{}13B x x =≤≤， 所以{}2UA x x =≤，故(){}12U A B x x ⋂=≤≤. (2)因为C B ⊆，所以21521a a +≥⎧⎨-≤⎩, 解得2a ≥.18．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈(2)()min 1f x =-，()max f x =【分析】（1）利用余弦函数的增减性列不等式可得答案； （2）先讨论函数的增减区间，再结合所给角的范围，可得最值. (1)令2223k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈，可得236k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈ 故()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. (2)由（1）知当1k =时，()f x 在5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，可得()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，而,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，从而()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故()min 13f x f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()max max ,12212f x ff f πππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭. 19．为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层､某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C （万元）与隔热层厚度x （厘米）满足关系式：()()01038kC x x x =≤≤+，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设()f x 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.(1)求()C x 和()f x 的表达式；(2)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用()f x 最小，并求出最小值. 【答案】(1)()4038C x x =+，()()800601038f x x x x =+≤≤+ (2)隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元 【分析】(1)由已知()()01038kC x x x =≤≤+，又不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．所以可得C （0）＝5，由此可求k ，进而得到()C x ．由已知建造费用为6x ，根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f （x ），可得f （x ）的表达式． (2)由(1)中所求的f （x ）的表达式，利用基本不等式求出总费用f （x ）的最小值． (1) 因为()()01038kC x x x =≤≤+， 若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以40k =，故()4038C x x =+， 因为()f x 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和， 所以()()800601038f x x x x =+≤≤+. (2)()()80080062381616643838f x x x x x =+=++-≥=++， 当且仅当()80023838x x +=+，即4x =时，等号成立， 即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元.20．已知关于x 的不等式2tan 0x θ-+≥对x ∈R 恒成立. (1)求tan θ的取值范围；(2)当tan θ取得最小值时，求22sin 3sin cos θθθ+的值.【答案】(1)tan 2θ≥ (2)145【分析】（1）根据已知条件，利用判别式小于等于零列不等式可得范围；（2）根据（1）可得()min tan 2θ=，利用22sin cos 1θθ+=转化分母，把正弦和余弦化为正切值，可得答案.(1)关于x 的不等式2tan 0x θ-+≥对x ∈R 恒成立，所以84tan 0θ=-≤，解得tan 2θ≥.(2)由（1）可知()min tan 2θ=，由22sin cos 1θθ+=得2222222sin 3sin cos 2tan 3tan 142sin 3sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ+++===++. 21．已知函数()22cos sin f x x a x =-+.(1)当3a =时，解不等式()0f x ≥；(2)设()22x g x =--，若[]10,1x ∀∈，20,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12g x f x ≤，求实数a 的取值范围.【答案】(1)52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈(2))⎡-+∞⎣【分析】(1)由同角关系原不等式可化为22sin 3sin 20x x +-≥，化简可得1sin 2x ≥，结合正弦函数可求其解集，(2)由条件可得()g x 在[]0,1x ∈上的最大值小于或等于()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，利用单调性求()g x 的最大值，利用换元法，通过分类讨论求()f x 的最小值，由此列不等式求实数a 的取值范围.(1)由22sin cos 1x x +=得，()222cos sin 2sin sin 2f x x a x x a x =-+=+-，当3a =时，()()()22sin 3sin 22sin 1sin 2f x x x x x =+-=-+，由()0f x ≥，而sin 20x +>，故2sin 10x -≥解得1sin 2x ≥，所以()0f x ≥的解集为52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. (2)由题意可知()g x 在[]0,1x ∈上的最大值小于或等于()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值. 因为()22x g x =--在[]0,1上单调递减，所以()g x 在[]0,1上的值域为[]4,3--.则()22sin sin 23f x x a x =+-≥-恒成立，令[]sin 0,1t x =∈，于是()2222121048a a h t t at t ⎛⎫=++=++-≥ ⎪⎝⎭在[]0,1t ∈恒成立. 当04a -≤即0a ≥时，()h t 在[]0,1t ∈上单调递增， 则只需()00h ≥，即10≥，此时恒成立，所以0a ≥； 当14a -≥即4a ≤-时，()h t 在[]0,1t ∈上单调递减， 则只需()10h ≥，即303a a +≥⇒≥-，不满足，舍去； 当014a <-<即40a 时，只需2108a -≥，解得a -≤40a ，所以0a -<.综上所述，实数a 的取值范围为)⎡-+∞⎣.22．已知函数()x f x -=3，函数()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称. (1)求()9g 的值；(2)若函数()3y f x k =--在[]2,1x ∈-上有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得函数()()23log 440f x y m x x -=-->在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)2-(2){8|63k k <≤或}0k = (3)存在，(),0∞-【分析】（1）由题意()13log g x x =，将9x =代入可得答案.（2）由题意即关于x 的方程33x k -=-在[]2,1x ∈-上有且仅有一个实根，设()33x h x -=-,作出其函数图像，数形结合可得答案.（3）设记()44F x m x x =-+-，则函数()F x 在,a b 上单调递增，根据题意若存在实数m 满足条件，则a ，b 是方程()2F x x =的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案. (1)由题意，()13log g x x =，所以()139log 92g ==- (2)由题意即关于x 的方程33x k -=-在[]2,1x ∈-上有且仅有一个实根，设()33x h x -=-，作出函数()33x h x -=-在[]2,1x ∈-上的图像（如下图）()26h -=，()813h =，由题意，直线y k =与该图像有且仅有一个公共点， 所以实数k 的取值范围是{8|63k k <≤或}0k = (3)记()()23log 4444f x F x m m x x x-=--=-+-， 其中0x >，()F x 在定义域()0,+∞上单调递增，则函数()F x 在,a b 上单调递增， 若存在实数m ，使得()F x 的值域为[]2,2a b ，则()()22F a a F b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a ，b 是方程()2F x x =的两个不等正根， 即a ，b 是()2440x m x +-+=的两个不等正根，所以()2Δ4160,40,40,m a b m a b ⎧=-->⎪+=->⎨⎪⋅=>⎩解得0m <，所以实数m 的取值范围是(),0-∞.【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.。