复旦大学出版社概率论与数理统计第二章课后谜底
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1. 解:设公司赔付金额为X,则X 的可能值为: 投保一年内因意外死亡:20万,槪率为 投保一年内因英他原因死亡:5万,概率为投保一年内没有死亡:0,概率为所以X 的分布律为:2. —袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3. 4、5,在其中同时取三只,以X 表示 取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律解:X 町以取值3, 4, 5,分布律为P(X=3) = P(—球为3号,两球为1.2号)=三冥=君 P(X =4) = P(—球为4号,再在123中任取两球)==寻P(X =5) = P(—球为5号,再在123.4中任取两球)=竺i = Aeg 103, 4, 5 j_ ±10 7^'K)设在15只同类型零件中有2只是次品,在英中取三次,每次任取一只,作不 放回抽样,以X 表示取出次品的只数,("求X 的分布律,(2)画出分布律的图形。
解:任取三只,其中新含次品个数X 叮能为0, 1> 2个0P 仇=0)=算=當35 ci xC|\ 12心2甘=¥P(X=2)=C ;:C ;3 =丄Ch 35 0. 1. 222 12 1 IT 3m4. 进行重复独立实验,设毎次成功的概率为0失败的概率为q=l-p{0<p<l)(i) 将实验进行到出现一次成功为止,以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律。
(此时称X 服从以P 为参数的几何分布。
)第二章 随机变量及其分布也可列为下表 X :P: 3、 再列为下表 X :(2)将实验进行到出现厂次成功为止,以Y表示所需的试验次数•求y的分布律。
(此时称y 服从以为参数的巴斯卡分布0)(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X 表示他首次投中时累i|•已投篮的次数,写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率。
解:(1) P {X=k )=q^ 9 后12(2)Y=r-Fn={最后一次实验前/初-1次有n 次失败,且最后一次成功}P (丫 =尹 + ") = (7爲-凶"//・% = 67*]/“'\ " = 0,12 …,貝中 q=l —p , 或记则 P{/=/^}=C ;:!P "(1-P )*-\ A = r,r + t ■■(3 ) P (X 二k )」 辰12・・« «P (X 取偶数)=》P (X =2切=工(0・55)22 0・45 =导X-) 1-1 35、一房间有3扇同样大小的窗子♦其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计复旦大学此答案非常详细非常全,可供大家在平时作业或考试前使用,预祝大家考试成功习题一1.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC(4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A B)=0.3,求P(AB).【解】P(AB)=1P(AB)=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1) 当AB =A 时,P (AB )取到最大值为0.6.(2) 当A ∪B =Ω时,P (AB )取到最小值为0.3.6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0,P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题:(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P (A 1)=517=(17)5 (亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1P (A 1)=1(17)5 9.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率.如果:(1) n 件是同时取出的;(2) n 件是无放回逐件取出的;(3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m n M N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P n N 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种,从NM 件次品中取n m 件的排列数为P n m N M --种,故P (A )=C P P P mm n m n M N M n N -- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C mn m M N M n N-- 可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,nm 次取得次品,每次都有N M 种取法,共有(N M )n m 种取法,故()C ()/m m n m n n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为M N,则取得m 件正品的概率为()C 1m n m mn M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A == 【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故 ()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A = 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy |>30.如图阴影部分所示.22301604P == 22.从(0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1.(1) x +y <65. 11441725510.68125p =-== (2) xy =<14. 1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B )【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+- 24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯ 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B }由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+ 2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯ 28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯ 29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少? 【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯ 30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤故 n ≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B = 亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为15,13,14,求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则 31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得30()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.【解】(1) 3101100C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1) A =“某指定的一层有两位乘客离开”;(2) B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;(3) C =“恰有两位乘客在同一层离开”;(4) D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.(1) 2466C 9()10P A =,也可由6重贝努里模型: 224619()C ()()1010P A = (2) 6个人在十层中任意六层离开,故6106P ()10P B = (3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有110C 种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有131948C C C 种可能结果;②4人同时离开,有19C 种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有49P 种可能结果,故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ (4) D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=- 37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:(1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;(2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n 个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.【解】 (1) 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>- (3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0,a ]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形,有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形,即02022a x a y a x y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示,故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k =1,2,…,n )才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率P (A i )(i =0,1,2,3).【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色},i =0,1,2,3.在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====. 41.对任意的随机事件A ,B ,C ,试证P (AB )+P (AC )P (BC )≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故 3413C 3!3()48P A == 而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()416P A == 因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币,可能出现:A ={正面次数多于反面次数},B ={正面次数少于反面次数},C ={正面次数等于反面次数},A ,B ,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P (A )=P (B ).所以1()()2P C P A -= 由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数},B ={出现反面次数多于正面次数},由对称性知P(A )=P (B )(1) 当n 为奇数时,正、反面次数不会相等.由P (A )+P (B )=1得P (A )=P (B )=0.5(2) 当n 为偶数时,由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次,乙掷n 次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正(甲乙)=(甲正≤乙正)=(n +1甲反≤n乙反)=(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反)由对称性知P (甲正>乙正)=P (甲反>乙反) 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”(Surething ):若P (A |C )≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C ),则P (A )≥P (B ).【证】由P (A |C )≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢,有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的},(i =1,…,n ),则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1,2,…,n 中的任n 1个.显然n 节车厢全空的概率是零,于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中,某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中,A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrr m m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫(Banach )火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又有多少? 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件,则有121()()2P B P B ==.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r 根,说明已取了2n r 次,设n 次取自B 1盒(已空),n r 次取自B 2盒,第2n r +1次拿起B 1,发现已空。
概率论与数理统计第二章习题[])()()()()式,有利用(显然)()(则若))(()()(从而)()()()(的可加性,有:互不相容,因此由概率与而)(则解:AB P A P AB A P B A P A AB AB A P B A P A B B P A P B A P B A P B P B A B P A P B A B C A B A A B -=-=-⊂-=-⊄-=--+=-=--=⊂**.132)(1)()()(1)()()()|()4(2.05.01.0)()()|()3(25.04.01.0|)2(8.0)1(.2=--=--=========-+=B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P A P AB P A B P B P AB P B A P AB P B P A P B A P )()()()()()()(解:7.0)(1)|(1)|()4(4.0)(1)|(1)|()3(72.0)()()()()()()()()2(3.0)()()()()()()|(1.3=-=-==-=-==⋅-+=-+===⋅==A PB A P B A P B P A B P A B P B P A P B P A P AB P B P A P B A P B P B P B P A P B P AB P B A P )解:()()()()()(”成立时“或当)()(”成立时“)(当)()()()()()()(解:B P A P B A P A P AB P A AB B A B AB P A P B A A AB P B A P B P A P AB P B P A P B A P +≤≤≤∴⊆=∅==≤∴⊆==≥+∴-+= 0.4)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()解:(C P B A P C P B A P C P B P A P C B A P C B A P C P AB P C P B P A P ABC P C AB P B A P C P AB P B P A P C P B P A P B P A P C P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P BC AC P C B A P ⋅-=⋅=⋅⋅==-⋅=⋅⋅===-+=-+=-+=-+==][][3][2][][][1.7832.04.03.06.03.04.03.06.04.06.03.04.06.0)()()()()()()()()(3.04.0200150)(4.06.0150100)(6.020*******.8=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=+---++===⨯==⨯======ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P C P B P A P D C B A )(“击中目标”米处射击”“相距米处射击”“相距米处射击”“相距解:设2112632112|31812|6)2(3.0185|8)1(.9222222222222111111111=++++============ )()()()()()()(”“点数和大于“点数和为奇数”)()()()()(”“点数和为“点数和为偶数”解:B P B A P B A P A P B A P A B P B A A P B P A P B A P A B P B A5360160126047514131413141513151413151413151.10=+-=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=+---++=======)()()()()()()()()(,)(,)(“丙破译密码”“乙破译密码”“甲破译密码”解:ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C P B P A P C B A61|1011|.11110=====)()()()()()(解:B P AB P B A P C A P AB P A B P1025515510530520|12C C C C C A B P A P AB P B A ⋅⋅=⋅===)()()(球各半”“第二次取出的黄、白球”“第一次取出的全是黄。
概率论与数理统计复旦大学此答案非常详细非常全,可供大家在平时作业或考试前使用,预祝大家考试成功习题一1.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC(4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A B)=0.3,求P(AB).【解】P(AB)=1P(AB)=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1) 当AB =A 时,P (AB )取到最大值为0.6.(2) 当A ∪B =Ω时,P (AB )取到最小值为0.3.6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0,P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题:(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P (A 1)=517=(17)5 (亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1P (A 1)=1(17)5 9.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率.如果:(1) n 件是同时取出的;(2) n 件是无放回逐件取出的;(3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m n M N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P n N 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种,从NM 件次品中取n m 件的排列数为P n m N M --种,故P (A )=C P P P mm n m n M N M n N -- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C mn m M N M n N-- 可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,nm 次取得次品,每次都有N M 种取法,共有(N M )n m 种取法,故()C ()/m m n m n n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为M N,则取得m 件正品的概率为()C 1m n m mn M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A == 【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故 ()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A = 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy |>30.如图阴影部分所示.22301604P == 22.从(0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1.(1) x +y <65. 11441725510.68125p =-== (2) xy =<14. 1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B )【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+- 24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯ 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B }由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+ 2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯ 28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯ 29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少? 【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯ 30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤故 n ≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B = 亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为15,13,14,求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则 31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得30()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.【解】(1) 3101100C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1) A =“某指定的一层有两位乘客离开”;(2) B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;(3) C =“恰有两位乘客在同一层离开”;(4) D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.(1) 2466C 9()10P A =,也可由6重贝努里模型: 224619()C ()()1010P A = (2) 6个人在十层中任意六层离开,故6106P ()10P B = (3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有110C 种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有131948C C C 种可能结果;②4人同时离开,有19C 种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有49P 种可能结果,故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ (4) D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=- 37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:(1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;(2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n 个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.【解】 (1) 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>- (3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0,a ]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形,有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形,即02022a x a y a x y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示,故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k =1,2,…,n )才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率P (A i )(i =0,1,2,3).【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色},i =0,1,2,3.在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====. 41.对任意的随机事件A ,B ,C ,试证P (AB )+P (AC )P (BC )≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故 3413C 3!3()48P A == 而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()416P A == 因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币,可能出现:A ={正面次数多于反面次数},B ={正面次数少于反面次数},C ={正面次数等于反面次数},A ,B ,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P (A )=P (B ).所以1()()2P C P A -= 由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数},B ={出现反面次数多于正面次数},由对称性知P(A )=P (B )(1) 当n 为奇数时,正、反面次数不会相等.由P (A )+P (B )=1得P (A )=P (B )=0.5(2) 当n 为偶数时,由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次,乙掷n 次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正(甲乙)=(甲正≤乙正)=(n +1甲反≤n乙反)=(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反)由对称性知P (甲正>乙正)=P (甲反>乙反) 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”(Surething ):若P (A |C )≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C ),则P (A )≥P (B ).【证】由P (A |C )≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢,有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的},(i =1,…,n ),则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1,2,…,n 中的任n 1个.显然n 节车厢全空的概率是零,于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中,某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中,A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrr m m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫(Banach )火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又有多少? 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件,则有121()()2P B P B ==.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r 根,说明已取了2n r 次,设n 次取自B 1盒(已空),n r 次取自B 2盒,第2n r +1次拿起B 1,发现已空。
第二章 随机变量及其分布习题2.11. 口袋中有5个球,编号为1, 2, 3, 4, 5.从中任取3只,以X 表示取出的3个球中的最大号码.(1)试求X 的分布列;(2)写出X 的分布函数,并作图. 解:样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ,(1)X 的全部可能取值为3, 4, 5,且事件“X = 3”所含样本点个数为k 1 = 1,有1.0101}3{===X P , 事件“X = 4”所含样本点个数为31223232=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,有3.0103}4{===X P , 事件“X = 5”所含样本点个数为61234243=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,有6.0106}5{===X P , 故X 的分布列为6.03.01.0543P X;(2)因分布函数F (x ) = P {X ≤ x },分段点为x = 3, 4, 5,当x < 3时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0,当3 ≤ x < 4时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} = 0.1,当4 ≤ x < 5时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} = 0.1 + 0.3 = 0.4,当x ≥ 5时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} + P {X = 5} = 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1,故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.5,1;54,4.0;43,1.0;3,0)(x x x x x F2. 一颗骰子抛两次,以X 表示两次中所得的最小点数.(1)试求X 的分布列; (2)写出X 的分布函数. 解:样本点总数n = 62 = 36,(1)X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6,且事件“X = 1”所含样本点个数为k 1 = 62 − 52 = 11,有3611}1{==X P , 事件“X = 2”所含样本点个数为k 2 = 52 − 42 = 9,有369}2{==X P ,事件“X = 3”所含样本点个数为k 3 = 42 − 32 = 7,有367}3{==X P ,事件“X = 4”所含样本点个数为k 4 = 32 − 22 = 5,有365}4{==X P ,事件“X = 5”所含样本点个数为k 5 = 22 − 1 = 3,有363}5{==X P , 事件“X = 6”所含样本点个数为k 6 = 1,有361}6{==X P , 故X 的分布列为3613633653673693611654321PX ; (2)因分布函数F (x ) = P {X ≤ x },分段点为x = 1, 2, 3, 4, 5, 6,当x < 1时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0,当1 ≤ x < 2时,3611}1{}{)(===≤=X P x X P x F , 当2 ≤ x < 3时,36203693611}2{}1{}{)(=+==+==≤=X P X P x X P x F , 当3 ≤ x < 4时,36273673693611}3{}2{}1{}{)(=++==+=+==≤=X P X P X P x X P x F ,当4 ≤ x < 5时,36323653673693611}{}{)(41=+++===≤=∑=k k X P x X P x F , 当5 ≤ x < 6时,36353633653673693611}{}{)(51=++++===≤=∑=k k X P x X P x F , 当x ≥ 6时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1,故X 的分布函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=.6,1;65,3635;54,3632;43,3627;32,3620;21,3611;1,0)(x x x x x x x x F 3. 口袋中有7个白球、3个黑球.(1)每次从中任取一个不放回,求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列;(2)如果取出的是黑球则不放回,而另外放入一个白球,此时X 的概率分布列如何. 解:(1)X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4,且107}1{==X P ,30797103}2{=×==X P ,12078792103}3{=××==X P , 1201778192103}4{=×××==X P , 故X 的概率分布列为120112073071074321PX ;(2)X 的全部可能取值仍为1, 2, 3, 4,且7.0107}1{===X P ,24.0108103}2{=×==X P ,054.0109102103}3{=××==X P , 006.01010101102103}4{=×××==X P ,故X 的概率分布列为006.0054.024.07.04321P X .4. 有3个盒子,第一个盒子装有1个白球、4个黑球;第二个盒子装有2个白球、3个黑球;第三个盒子装有3个白球、2个黑球.现任取一个盒子,从中任取3个球.以X 表示所取到的白球数. (1)试求X 的概率分布列;(2)取到的白球数不少于2个的概率是多少?解:设A 1 , A 2 , A 3分别表示“取到第一个、第二个、第三个盒子”,(1)X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3,且P {X = 0} = P (A 1) P {X = 0 | A 1} + P (A 2) P {X = 0 | A 2} + P (A 3) P {X = 0 | A 3}610301304031353331353431=++=×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=, P {X = 1} = P (A 1) P {X = 1 | A 1} + P (A 2) P {X = 1 | A 2} + P (A 3) P {X = 1 | A 3}2130330630635221331352312313524131=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛××=, P {X = 2} = P (A 1) P {X = 2 | A 1} + P (A 2) P {X = 2 | A 2} + P (A 3) P {X = 2 | A 3}10330630303512233135132231031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×=, P {X = 3} = P (A 1) P {X = 3 | A 1} + P (A 2) P {X = 3 | A 2} + P (A 3) P {X = 3 | A 3}30130100353331031031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×+×=, 故X 的概率分布列为30110321613210PX ; (2)所求概率为3130********}3{}2{}2{==+==+==≥X P X P X P . 5. 一批产品共有100件,其中10件是不合格品.根据验收规则,从中任取5件产品进行质量检验,假如5件中无不合格品,则这批产品被接受,否则就要重新对这批产品逐个检验. (1)试求5件产品中不合格品数X 的分布列; (2)需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少?解:样本点总数7528752012345969798991005100=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n , (1)X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,且事件“X = 0”所含样本点个数为439492681234586878889905900=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k , 事件“X = 1”所含样本点个数为25551900123487888990104901101=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k , 事件“X = 2”所含样本点个数为5286600123888990129103902102=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,事件“X = 3”所含样本点个数为48060012899012389102903103=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,事件“X = 4”所含样本点个数为18900901234789101904104=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,事件“X = 5”所含样本点个数为252123456789105105=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,则583752.07528752043949268}0{===X P ,339391.07528752025551900}1{===X P ,070219.0752875205286600}2{===X P ,006384.075287520480600}3{===X P ,000251.07528752018900}4{===X P ,000003.075287520252}5{===X P ,故X 的分布列为000003.0000251.0006384.0070219.0339391.0583752.0543210P X ;(2)所求概率为P {X > 0} = 1 − P {X = 0} = 1 − 0.583752 = 0.416248. 6. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,21;31,31;10,41;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P {X < 3},P {X ≤ 3},P {X > 1},P {X ≥ 1}. 解:X 的全部可能取值为其分布函数F (x ) 的分段点0, 1, 3, 6,且41041)00()0(}0{=−=−−==F F X P ,1214131)01()1(}1{=−=−−==F F X P , 613121)03()3(}3{=−=−−==F F X P ,21211)06()6(}6{=−=−−==F F X P ,故X 的概率分布列为2161121413210PX ; 且31)03(}3{=−=<F X P ;21)3(}3{==≤F X P ;32311)1(1}1{1}1{=−=−=≤−=>F X P X P ; 43411)01(1}1{1}1{=−=−−=<−=≥F X P X P .7. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.e ,1e;1,ln ;1,0)(x x x x x F试求P {X < 2},P {0 < X ≤ 3},P {2 < X < 2.5}.解:P {X < 2} = F (2 − 0) = ln 2;P {0 < X ≤ 3} = F (3) − F (0) = 1 − 0 = 1;P {2 < X < 2.5} = F (2.5 − 0) − F (2) = ln 2.5 − ln 2 = ln 1.25.8. 若P {X ≥ x 1} = 1 − α ,P {X ≤ x 2} = 1 − β ,其中x 1 < x 2 ,试求P {x 1 ≤ X ≤ x 2}.解:P {x 1 ≤ X ≤ x 2} = P {X ≤ x 2} − P {X < x 1} = P {X ≤ x 2} + P {X ≥ x 1} − 1 = 1 − β + 1 − α − 1 = 1 − α − β . 9. 从1, 2, 3, 4, 5五个数字中任取三个,按大小排列记为x 1 < x 2 < x 3 ,令X = x 2 ,试求(1)X 的分布函数;(2)P {X < 2}及P {X > 4}.解:样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ,(1)X 的全部可能取值为2, 3, 4,且事件“X = 2”所含样本点个数为k 1 = 3,有3.0103}2{===X P , 事件“X = 3”所含样本点个数为k 2 = 2 × 2 = 4,有4.0104}3{===X P ,事件“X = 4”所含样本点个数为k 3 = 3,有3.0103}4{===X P ,因分布函数F (x ) = P {X ≤ x },分段点为x = 2, 3, 4, 当x < 2时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0,当2 ≤ x < 3时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} = 0.3,当3 ≤ x < 4时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} + P {X = 3} = 0.3 +0.4 = 0.7, 当x ≥ 4时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1,故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=;4,1;43,7.0;32,3.0;2,0)(x x x x x F(2)P {X < 2} = P (∅) = 0,P {X > 4} = P (∅) = 0.10.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤−−=.,0;11|,|1)(其他x x x p试求X 的分布函数.解:分布函数F (x ) = P {X ≤ x },分段点为x = −1, 0, 1,当x < −1时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0,当−1 ≤ x < 0时,21221122)](1[)()(22121++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−−==−−∞−∫∫x x x x u u du u du u p x F xxx, 当0 ≤ x < 1时,xxxu u u u du u du u du u p x F 021200122)1()](1[)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−+−−==−−∞−∫∫∫21202211022++−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−=x x x x , 当x ≥ 1时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1,故X 的分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++−<≤−++−<=.1,1;10,212;01,212;1,0)(22x x x x x x x x x F11.如果X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=.,0;21,2;10,)(其他x x x x x p试求P {X ≤ 1.5}. 解:16132325.13021222)2()(}5.1{25.112125.11105.1=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+==≤∫∫∫∞−x x x dx x xdx dx x p X P . 12.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.2π||,0;2π||,cos )(x x x A x p 试求(1)系数A ;(2)X 落在区间 (0, π /4) 内的概率. 解:(1)由密度函数正则性知122πsin 2πsinsin cos )(2π2π2π2π==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−===−−∞+∞−∫∫A A A xA xdx A dx x p , 故21=A ;(2)所求概率为4204πsin 21sin 21cos 21}4π0{4π04π=−===<<∫x xdx X P .13.设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求(1)系数A ;(2)X 落在区间 (0.3, 0.7) 内的概率; (3)X 的密度函数.解:(1)由连续随机变量分布函数的连续性知A A x F F F x =⋅==−==−→211)(lim )01()1(1,故A = 1; (2)所求概率为P {0.3 < X < 0.7} = F (0.7) − F (0.3) = 0.7 2 − 0.3 2 = 0.4;(3)密度函数p (x ) = F ′(x ),当x < 0时,F (x ) = 0,有p (x ) = F ′(x ) = 0,当0 ≤ x < 1时,F (x ) = x 2,有p (x ) = F ′(x ) = 2x , 当x ≥ 1时,F (x ) = 1,有p (x ) = F ′(x ) = 0,故X 的密度函数为⎩⎨⎧<≤=.,0;10,2)(其他x x x p 14.学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量,单位为小时.它的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=.,0;5.00,)(2其他x x cx x p (1)确定常数c ;(2)写出X 的分布函数;(3)试求在20min 内完成一道作业的概率; (4)试求10min 以上完成一道作业的概率. 解:(1)由密度函数正则性知1812423)()(5.00235.002=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=∫∫∞+∞−c x x c dx x cx dx x p ,故c = 21; (2)分布函数F (x ) = P {X ≤ x },分段点为x = 0, 0.5,当x < 0时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0,当0 ≤ x < 0.5时,2727)21()()(2302302x x u u du u u du u p x F xxx+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+==∫∫∞−,当x ≥ 0.5时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1,故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=;5.0,1;5.00,27;0,0)(23x x x x x x F(3)所求概率为5417181277312131731}316020{23=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==≤F X P ;(4)所求概率为1081037212167161216171611}616010{23=−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==≥F X P . 15.设随机变量X 和Y 同分布,X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A = {X > a }和B = {Y > a }独立,且P (A ∪B ) = 3/4,求常数a . 解:由于事件A 和B 独立,且显然有P (A ) = P (B ),则43)]([)(2)()()()()()()()(2=−=−+=−+=A P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P ∪, 可得21)(=A P 或23)(=A P (舍去), 显然0 < a < 2,有218181d 83}{)(32322=−===>=∫a x x x a X P A P a a , 故34=a .16.设连续随机变量X 的密度函数p (x ) 是一个偶函数,F (x ) 为X 的分布函数,求证对任意实数a > 0,有(1)∫−=−=−adx x p a F a F 0)(5.0)(1)(;(2)P {| X | < a } = 2F (a ) − 1;(3)P {| X | > a } = 2[1 − F (a )]. 证:(1)因p (x ) 为偶函数,有∫∫+∞−∞−=a a dx x p dx x p )()(且5.0)(0=∫∞−dx x p ,则∫∫∫∫+=+==∞−∞−a aa dx x p dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)()()()(,故∫∫∫∫−=−=−===−∞−+∞−∞−a aadx x p a F dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)(1)(1)()()(;(2)P {| X | < a } = P {−a < X < a } = F (a ) − F (−a ) = F (a ) − [1 − F (a )] = 2 F (a ) − 1; (3)P {| X | > a } = 1 − P {| X | ≤ a } = 1 − P {| X | < a } = 1 − [2 F (a ) − 1] = 2 − 2 F (a ).习题2.21. 设离散型随机变量X 的分布列为3.03.04.0202P X −试求E (X ) 和E (3X + 5).解:E (X ) = (−2) × 0.4 + 0 × 0.3 + 2 × 0.3 = −0.2;E (3X + 5) = (−1) × 0.4 + 5 × 0.3 + 11 × 0.3 = 4.4. 2. 某服装店根据历年销售资料得知:一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为04.009.013.031.033.010.0543210P X试求顾客在商店平均购买服装件数.解:平均购买服装件数为E (X ) = 0 × 0.10 + 1 × 0.33 + 2 × 0.31 + 3 × 0.13 + 4 × 0.09 + 5 × 0.04 = 1.9. 3. 某地区一个月内发生重大交通事故数X 服从如下分布002.0006.0026.0087.0216.0362.0301.06543210P X试求该地区发生重大交通事故的月平均数. 解:月平均数E (X ) = 0 × 0.301 + 1 × 0.362 + 2 × 0.216 + 3 × 0.087 + 4 × 0.026 + 5 × 0.006 + 6 × 0.002 = 1.201. 4. 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶,现已知其中有5桶被海水污染了.若从中随机抽取8桶,记X 为8桶中被污染的桶数,试求X 的分布列,并求E (X ).解:样本点总数125970820=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ,X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,且事件“X = 0”所含样本点个数64358150=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,有0511.01259706435}0{===X P , 事件“X = 1”所含样本点个数32175715151=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,有2554.012597032175}1{===X P , 事件“X = 2”所含样本点个数50050615252=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,有3973.012597050050}2{===X P , 事件“X = 3”所含样本点个数30030515353=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,有2384.012597030030}3{===X P , 事件“X = 4”所含样本点个数6825415454=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,有0542.01259706825}4{===X P , 事件“X = 5”所含样本点个数455315555=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,有0036.0125970455}5{===X P , 故X 的分布列为0036.00542.02384.03973.02554.00511.0543210PX且E (X ) = 0 × 0.0511 + 1 × 0.2554 + 2 × 0.3973 + 3 × 0.2384 + 4 × 0.0542 + 5 × 0.0036 = 2. 5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中),现有三组砝码:(甲)1, 2, 2, 5, 10(g );(乙)1, 2, 3, 4, 10(g );(丙)1, 1, 2, 5, 10(g ),称重时只能使用一组砝码.问:当物品的质量为1g 、2g 、…、 10g 的概率是相同的,用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少? 解:设X 1 , X 2 , X 3分别表示使用甲、乙、丙组砝码称重时需要的砝码个数,当物品的质量为1g 、2g 、…、10g 时,有X 1 = 1、1、2、2、1、2、2、3、3、1,即P {X 1 = 1} = 0.4,P {X 1 = 2} = 0.4,P {X 1 = 3} = 0.2, X 2 = 1、1、1、1、2、2、2、3、3、1,即P {X 2 = 1} = 0.5,P {X 2 = 2} = 0.3,P {X 2 = 3} = 0.2, X 3 = 1、1、2、3、1、2、2、3、4、1,即P {X 3 = 1} = 0.4,P {X 3 = 2} = 0.3,P {X 3 = 3} = 0.2,P {X 3 = 4} = 0.1,则平均砝码数E (X 1 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 = 1.8,E (X 2 ) = 1 × 0.5 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 = 1.7, E (X 3 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 2, 故用乙组砝码称重所用的平均砝码数最少.6. 假设有十只同种电器元件,其中有两只不合格品.装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是不合格品,则扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,则扔掉再取一只,试求在取到合格品之前,已取出的不合格品只数的数学期望.解:设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数,X 的全部可能取值为0, 1, 2,则54108}0{===X P ,45898102}1{=×==X P ,4518891102}2{=××==X P , 故9245124581540)(=×+×+×=X E .7. 对一批产品进行检查,如查到第a 件全为合格品,就认为这批产品合格;若在前a 件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格.设产品的数量很大,可以认为每次查到不合格品的概率都是p .问每批产品平均要查多少件?解:设X 表示检查一批产品要查的件数,X 的全部可能取值为1, 2, …, a – 1, a ,则P {X = 1} = p ,P {X = 2} = (1 – p )p ,…,P {X = a – 1} = (1 – p ) a − 2 p ,P {X = a } = (1 – p ) a − 1, 即E (X ) = 1 ⋅ p + 2 (1 – p ) p + … + (a – 1) (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1,有(1 – p )E (X ) = 1 ⋅ (1 – p ) p + 2 (1 – p )2 p + … + (a – 2) (1 – p ) a − 2 p + (a – 1) (1 – p ) a − 1 p + a (1 – p ) a , 得E (X ) – (1 – p )E (X ) = p + (1 – p ) p + … + (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1 – (a – 1) (1 – p ) a − 1 p – a (1 – p ) a ,即)]1()1([)1()1(1])1(1[)(11p a p a a p p p p X pE a a −−−−−+−−−−=−−= 1 – (1 – p ) a − 1 + (1 – p ) a − 1 ⋅ p = 1 – (1 – p ) a − 1 ⋅ (1 – p ) = 1 – (1 – p ) a ,故pp X E a)1(1)(−−=.8. 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量(单位:h ),其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e 02.0)(02.0t t t p t 试求平均维修时间. 解:平均维修时间5002.0e e e )e (e 02.0)(002.0002.0002.0002.0002.0=−=+−=−=⋅=+∞−∞+−∞+−∞+−∞+−∫∫∫tttt t dt t d t dt t T E .9. 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间 (0, 1) 上取值的随机变量,它的密度函数为⎩⎨⎧<<−=.,0;10,)1(4)(3其他x x x p 试求平均市场占有率.解:平均市场占有率∫∫−+−=−⋅=143213)412124()1(4)(dx x x x x dx x x X E5154342105432=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=x x x x .10.设随机变量X 的密度函数如下,试求E (2 X + 5).⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x 解:7e 25e 2e )52()e )(52(e )52()52(0=−=++−=−+=+=++∞−+∞−+∞−+∞−+∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x X E .11.设随机变量X 的分布函数如下,试求E ( X ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x解:因分布函数F (x ) 是连续函数,有X 为连续型,密度函数p (x ) = F ′(x ),当x < 0时,2e )()(xx F x p =′=,当0 < x < 1时,p (x ) = F ′(x ) = 0,当x > 1时,)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ,∫∫∞+−−∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅+⋅=1)1210][e 21)(e 21x x d x d x 则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(210e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x ,因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x , 6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ,故1641)1(21)(=×+−×=X E .12.某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)是一个随机变量,它的分布列为1.02.03.04.013121110P X(1)试求该工程队完成此项工程的平均月数;(2)设该工程队所获利润为Y = 50(13 – X ),单位为万元.试求该工程队的平均利润; (3)若该工程队调整安排,完成该项工程的时间X (单位:月)的分布为1.04.05.0121110P X则其平均利润可增加多少?解:(1)平均月数E (X ) = 10 × 0.4 + 11 × 0.3 + 12 × 0.2 + 13 × 0.1 = 11.(2)平均利润为E (Y ) = E [50 (13 – X )] = 150 × 0.4 + 100 × 0.3 + 50 × 0.2 + 0 × 0.1 = 100(万元); (3)因E (Y 1) = E [50 (13 – X 1)] = 150 × 0.5 + 100 × 0.4 + 50 × 0.1 = 120,有E (Y 1) – E (Y ) = 20,故平均利润增加20万元.13.设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π;0,2cos 21)(其他x x x p 对X 独立重复观察4次,Y 表示观察值大于π /3的次数,求Y 2的数学期望.解:Y 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4,因216πsin 2πsin2sin2cos 21}3π{π3ππ3π=−===>=∫x dx x X P p , 则161)1(}0{4=−==p Y P ,164)1(14}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ,166)1(24}2{22=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P , 164)1(34}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ,161}4{4===p Y P , 故5168016141643166216411610)(222222==×+×+×+×+×=Y E .14.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 试求21X 的数学期望. 解:438383112020222==⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫dx dx x x X E .15.设X 为仅取非负整数的离散随机变量,若其数学期望存在,证明∑+∞=≥=1}{)(k k X P X E .证:)(}{}{}{}{11111X E n X nP n X P n X P k X P n n nk k kn k =======≥∑∑∑∑∑∑+∞=+∞==+∞=+∞=+∞=.16.设连续随机变量X 的分布函数为F (x ),且数学期望存在,证明∫∫∞−+∞−−=0)()](1[)(dx x F dx x F X E .证:设X 的密度函数为p (x ),有p (x ) = F ′(x ),故∫∫∫∫∞−∞−+∞+∞∞−+∞+−−−−=−−000)]([)()](1[)](1[)()](1[x F xd x xF x F xd x F x dx x F dx x F)()()()()(0)]([00000X E dx x xp dx x xp dx x xp dx x xp dx x p x ==+=+−−−=∫∫∫∫∫+∞∞−∞−+∞∞−+∞.习题2.31. 设随机变量X 满足E (X ) = Var (X ) = λ ,已知E [(X − 1) (X − 2)] = 1,试求λ . 解:因E (X ) = Var (X ) = λ ,有E (X 2) = Var (X ) + [E (X )]2 = λ + λ 2 ,则E [(X − 1) (X − 2)] = E (X 2 – 3X + 2) = E (X 2) – 3E (X ) + 2 = λ + λ 2 – 3λ + 2 = λ 2 – 2λ + 2 = 1, 得λ 2 – 2λ + 1 = 0,即 (λ – 1)2 = 0, 故λ = 1.2. 假设有10只同种电器元件,其中有两只不合格品.装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是不合格品,则扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,则扔掉再取一只,试求在取到合格品之前,已取出的不合格品数的方差.解:设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数,X 的全部可能取值为0, 1, 2,则54108}0{===X P ,45898102}1{=×==X P ,4518891102}2{=××==X P , 得9245124581540)(=×+×+×=X E ,且154451245124581540)(2222==×+×+×=X E , 故4058892154)]([)()Var(222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=X E X E X . 3. 已知E (X ) = –2,E (X 2) = 5,求Var (1 – 3X ).解:因Var (X ) = E (X 2) – [E (X )]2 = 5 – (–2) 2 = 1,故Var (1 – 3X ) = (–3)2 Var (X ) = 9 × 1 = 9. 4. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x试求Var (X ).解:因分布函数F (x ) 是连续函数,有X 为连续型,密度函数p (x ) = F ′(x ),当x < 0时,2e )()(xx F x p =′=,当0 < x < 1时,p (x ) = F ′(x ) = 0, 当x > 1时,)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ,则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(21e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x ,因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x , 6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ,可得1641)1(21)(=×+−×=X E ,且∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)1(212021)1(2120222e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x p x X E x x x x因2e 202e e )(e e 00020202=−=⋅−⋅=⋅=∫∫∫∫∞−∞−∞−∞−∞−dx x xdx x d x dx x x x xx x ,∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−⋅+−=⋅−=1)1(211)1(2121)1(2121)1(2122e2e2][e2exdx x d x dx x x x x x26642e421)1(21=×+=+=∫∞+−−dx x x ,可得2152641221)(2=×+×=X E ,故2131215)]([)()Var(222=−=−=X E X E X .5. 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<−≤<−+=.,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var (3X + 2).解:因061613232)1()1()()(13201321001=+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x xp X E , 且611211214343)1()1()()(1043014310201222=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x p x X E , 则61)]([)()Var(22=−=X E X E X , 故23619)Var(9)23Var(=×==+X X .6. 试证:对任意的常数c ≠ E (X ),有Var (X ) = E (X – E (X ))2 < E (X – c )2.证:因E (X – c )2 = E (X 2 – 2cX + c 2) = E (X 2) – 2c E (X ) + c 2 = E (X 2) – [E (X )]2 + [E (X )]2 – 2c E (X ) + c 2= E (X – E (X ))2 + [E (X ) – c ]2 > E (X – E (X ))2 = Var (X ).7. 设随机变量X 仅在区间[a , b ]上取值,试证a ≤ E(X) ≤ b ,22)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤a b X .证:因X ≥ a ,有X – a ≥ 0,得E (X – a ) = E (X ) – a ≥ 0,即E (X ) ≥ a ,又因X ≤ b ,同理可得E (X ) ≤ b ,故a ≤ E (X ) ≤ b ;因a ≤ X ≤ b ,有222a b b a X a b −≤+−≤−−,得2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X , 则022222222≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E a b b a X E ,即2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E , 故22222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=a b b a X E X E X E X .8. 设随机变量X 取值x 1 ≤ … ≤ x n 的概率分别是p 1 , …, p n ,11=∑=nk k p .证明212)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤x x X n .证:因x 1 ≤ X ≤ x n ,有222111x x x x X x x n n n −≤+−≤−−,得212122⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−x x x x X n n ,故2121212222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=x x x x E x x X E X E X E X n n n .9. 设g (x ) 为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数,且E (g (X )) 存在,证明:对任意的ε > 0,有)())((}{εεg X g E X P ≤>.注:此题应要求g (ε ) ≠ 0.证:以连续型随机变量为例加以证明,设连续型随机变量X 的密度函数为p (x ),因g (x ) 为非负不减函数,当x > ε 时,有g (x ) ≥ g (ε ) > 0,即1)()(≥εg x g , 故)())(()()()()()()()()()(}{εεεεεεεg X g E g X g E dx x p g x g dx x p g x g dx x p X P =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=>∫∫∫∞+∞−∞+∞+. 10.设X 为非负随机变量,a > 0.若E (e aX)存在,证明:对任意的x > 0,有axaX E x X P e )(e }{≤≥.证:以连续型随机变量为例加以证明,设连续型随机变量X 的密度函数为p (x ),故ax aX ax aX ax au xax auxE E du u p du u p du u p x X P e )(e e e )(e e )(e e )(}{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=≥∫∫∫∞+∞−∞+∞+. 11.已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3 × 10 9,标准差是0.7 × 10 9.试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2 × 10 9至9.4 × 10 9之间的概率的下界. 解:设X 表示“每升血液中的白细胞数”,有E (X ) = 7.3 × 10 9,Var (X ) = (0.7 × 10 9) 2 = 0.49 × 10 18,则P {5.2 × 10 9 ≤ X ≤ 9.4 × 10 9} = P {–2.1 × 10 9 ≤ X – 7.3 × 10 9 ≤ 2.1 × 10 9} = P { | X – E (X ) | ≤ 2.1 × 10 9}989111041.41049.01)101.2()Var(1181829=−=××−=×−≥X ,故所求概率的下界为98.习题2.41. 一批产品中有10%的不合格品,现从中任取3件,求其中至多有一件不合格品的概率. 解:设X 表示“取到的不合格品个数”,有X 服从二项分布b (3, 0.1),故所求概率为972.09.01.0139.0}1{}0{}1{23=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+==+==≤X P X P X P . 2. 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8,现检查5件,求至少有2件一级品的概率. 解:设X 表示“检查到的一级品个数”,有X 服从二项分布b (5, 0.8),故所求概率为99328.02.08.0152.01}1{}0{1}2{45=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P . 3. 某优秀射手命中10环的概率为0.7,命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率.解:设X 表示“三次射击所中的10环次数”,有X 服从二项分布b (3, 0.7),故所求概率为784.07.03.07.023}3{}2{}2{32=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P .4. 经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%.如今餐厅有50个座位,但预定给了52位 顾客,问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少? 解:设X 表示“到时来到餐厅的顾客人数”,有X 服从二项分布b (52, 0.8),故所求概率为0001279.08.02.08.05152}52{}51{}51{5251=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P .5. 设随机变量X ~ b (n , p ),已知E (X ) = 2.4,Var (X ) = 1.44,求两个参数n 与p 各为多少? 解:因X ~ b (n , p ),有E (X ) = np = 2.4,Var (X ) = np (1 – p ) = 1.44,有6.04.244.11==−p , 故p = 0.4,64.04.2==n . 6. 设随机变量X 服从二项分布b (2, p ),随机变量Y 服从二项分布b (4, p ).若P {X ≥ 1} = 8/9,试求P {Y ≥ 1}.解:因X 服从二项分布b (2, p ),有98)1(1}0{1}1{2=−−==−=≥p X P X P ,即32=p ,故8180311)1(1}0{1}1{44=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−==−=≥p Y P Y P .7. 一批产品的不合格率为0.02,现从中任取40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品.分别用以下方法求拒收的概率:(1)用二项分布作精确计算;(2)用泊松分布作近似计算. 解:设X 表示“发现的不合格品个数”,有X 服从二项分布b (40, 0.02),(1)所求概率为1905.098.002.014098.01}1{}0{1}2{3940=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ;(2)因n = 40较大,p = 0.02很小,取λ = np = 0.8,有)8.0(~P X ,故查表可得所求概率为191.0809.01}1{1}2{=−=≤−=≥X P X P . 8. 设X 服从泊松分布,且已知P {X = 1} = P {X = 2},求P {X = 4}. 解:设X 服从泊松分布P (λ ),有λ > 0,则λλλλλ−−=====e 2}2{e 1}1{21P X P ,得22λλ=,即λ = 2,故查表可得P {X = 4} = P {X ≤ 4} – P {X ≤ 3} = 0.947 – 0.857 = 0.090.9. 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为λ 的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为p ,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λ p 的泊松分布. 证:设Y 表示“该商场一天内购买商品的顾客人数”,Y 的全部可能取值为0, 1, 2, …,有∑∑∞=−−∞=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅======rk rk r k rk p p r k k k X r Y P k X P r Y P )1(!e }|{}{}{λλ ∑∑∑∞=+−∞=−−∞=−−−=−−=−−⋅⋅=0!)1(!e )!()1(!e )1()!(!!!e n nr n r rk rk k r rk rk r k n p r p r k p r p p p r k r k k λλλλλλpr p r n n r r r p r p n p r p λλλλλλλλ−−−−∞=−=⋅=−=∑e !)(e !e )(!)]1([!e )1(0, r = 0, 1, 2, …, 故Y 服从参数为λ p 的泊松分布.10.从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋子中返回地摸球,直到摸到白球时停止.试求取到黑球数的期望. 解:设X 表示“取到的黑球数”,有X + 1服从参数为n m mp +=的几何分布,有mn m p X E +==+1)1(, 故mnm n m X E =−+=1)(. 11.某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列:121}{+==k k X P ,k = 0, 1, …,求此种产品上的平均缺陷数.解:因X + 1服从参数为21=p 的几何分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛21Ge ,有21)1(==+p X E ,故E (X ) = 2 – 1 = 1. 12.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X ≤ 1/2}出现的次数,试求P {Y = 2}.解:因412}21{212210===≤∫x xdx X P ,有Y 服从二项分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛41,3b , 故649434123}2{2=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P .13.某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进行检查,若发现其中不合格品数多于1,就去调整设备.若检验员每天检查4次,试问每天平均要调整几次设备. 解:设X 表示“所取10件中的不合格品数”,有X 服从二项分布b (10, 0.1),则需要调整设备的概率为2639.09.01.01109.01}1{}0{1}2{910=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P , 设Y 表示“每天调整设备的次数”,有X 服从二项分布b (4, 0.2639), 故E (X ) = 4 × 0.2639 = 1.0556,即每天平均要调整1.0556次设备.习题2.51. 设随机变量X 服从区间 (2, 5)上的均匀分布,求对X 进行3次独立观察中,至少有2次的观察值大于3的概率. 解:设Y 表示“X 大于3的次数”,有Y 服从二项分布b (3, p ),且322535}3{=−−=>=X P p , 故所求概率为272032313223}2{32=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≥Y P . 2. 在 (0, 1)上任取一点记为X ,试求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+−081432X X P .解:因X 服从区间 (0, 1)上的均匀分布,且021*******≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+−X X X X ,即41≤X 或21≥X ,故432110412141081432=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+−X X P X X P 或.3. 设K 服从 (1, 6)上的均匀分布,求方程x 2 + Kx + 1 = 0有实根的概率.解:因方程x 2 + Kx + 1 = 0有实根,有判别式 ∆ = K 2 – 4 ≥ 0,即K ≤ – 2或K ≥ 2,故所求概率为5416260}22{=−−+=≥−≤K K P 或. 4. 设流经一个2 Ω 电阻上的电流I 是一个随机变量,它均匀分布在9A 至11A 之间.试求此电阻上消耗的平均功率,其中功率W = 2I 2.解:因电流I 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,119,21)(其他x x p故平均功率36023212)(2)2()(1193119222==⋅===∫∫∞+∞−x dx x dx x p x I E W E . 5. 某种圆盘的直径在区间 (a , b )上服从均匀分布,试求此种圆盘的平均面积. 解:设d 表示“圆盘的直径”,S 表示“圆盘的面积”,有2π41d S =, 因直径d 密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,,1)(其他b x a ab x p 故平均面积)(4π)(4π1π41)(π41π41)(223222b ab a a b x dx a b x dx x p x d E S E ba b a ++=−=−⋅==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∞+∞−. 6. 设某种商品每周的需求量X 服从区间 (10, 30)上的均匀分布,而商店进货数为区间 (10, 30)中的某一整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每一单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.解:因X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,3010,201)(其它x x p 并设每周进货量为a 单位商品,商店所获利润为Y 元,当X ≤ a 时,Y = 500X − 100 (a − X ) = 600X − 100a ;当X > a 时,Y = 500a + 300 (X − a ) = 300X + 200a ,即⎩⎨⎧>+≤−==,,200300,,100600)(a X a X a X a X X g Y则∫∫∫++−==+∞∞−3010201)200300(201)100600()()()(a adx a x dx a x dx x p x g Y E5250350215)10215()515(2302102++−=++−=a a ax x ax x a a ,要使得92805250350215)(2≥++−=a a Y E ,有040303502152≤+−a a ,可得26362≤≤a ,故a 可取21, 22, 23, 24, 25, 26,即最少进货量为21单位商品. 7. 已知X ~ Exp (λ ),试在λ = 0.1下求P {5 ≤ X ≤ 20}.解:因X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−,0,0,0,e )(x x x p x λλ 故4712.0e e )e (e 1.0e }205{25.02051.02051.0205=−=−===≤≤−−−−−∫∫x x x dx dx X P λλ.8. 统计调查表明,英格兰在1875年至1951年期间,在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T (以日计)服从均值为241的指数分布.试求P {50 ≤ T ≤ 100}.解:因T 服从指数分布,且2411)(==λT E ,有T 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=−,0,0,0,e 2411)(241t t t p t故1523.0ee)e(e 2411}10050{241100241501005024110050241=−=−==≤≤−−−−∫x t dt T P .9. 若一次电话通话时间X (单位:min )服从参数为0.25的指数分布,试求一次通话的平均时间. 解:因X 服从参数为λ = 0.25的指数分布,故一次通话的平均时间41)(==λX E .10.某种设备的使用寿命X (以年计)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可盈利100元,而调换一台设备需花费300元.试求每台设备的平均利润.解:因X 服从指数分布,且41)(==λX E ,有X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=−,0,0,0,e 41)(4x x x p x设Y 表示“每台设备的利润”,当X ≤ 1时,Y = 100 − 300 = −200;当X > 1时,Y = 100.故平均利润∫∫∞+−−+−=>+≤−=14104e 41100e 41200}1{100}1{200)(dx dx X P X P Y E xx 6402.33200e 300e100)e 1(200)e (100)e (2004141411414=−=+−−=−+−−=−−−+∞−−x x.11.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以min 计)服从指数分布,其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=−.,0,0,e 51)(5其他x x p x某顾客在窗口等待服务,若超过10min ,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未。
概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律;(2)X 的分布函数并作图; (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为(2)当x <0时,F (x )=P (X ≤x )=0当0≤x <1时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)=2235当1≤x <2时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时,F (x )=P (X ≤x )=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0,1,2,3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.(1)设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ,其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a . (2)设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ,k =1,2,…,N ,试确定常数a . 【解】(1)由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即1a =.5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1)两人投中次数相等的概率; (2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数,则X~b (3,0.6),Y~b (3,0.7)(1)(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则X ~b (200,0.02),设机场需配备N 条跑道,则有()0.01P X N ><即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?【解】设X 表示出事故的次数,则X ~b (1000,0.0001)8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则故所以4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1)设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则X ~6(5,0.3)5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b (7,0.3)7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率; (2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1)32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C ,m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ,Y 的概率分布,如果已知P {X ≥1}=59,试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=,故4(1)9P X <=. 而2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得24(1),9p -= 即1.3p =从而465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数,则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得25e 2(5)0.00185!P X -=≈=13.进行某种试验,成功的概率为34,失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++ 213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求: (1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.(1)在1月1日,保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ,则X~b (2500,0.002),则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大,p 很小,λ=np =5,故用泊松近似,有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于20000)(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求:(1)A 值;(2)P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】(1)由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰ (3) 当x <0时,11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时,0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x -=-故1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求:(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率; (2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3)F (x ). 【解】(1)15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F (x )=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d xf t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰故1001,100()0,x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩17.在区间[0,a ]上任意投掷一个质点,以X 表示这质点的坐标,设这质点落在[0,a ]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ],密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F (x )=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xxxx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时,F (x )=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5],即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟计)服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y 的分布律,并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ,即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X 服从N (40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X 服从N (50,42). (1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? (2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些? 【解】(1)若走第一条路,X~N (40,102),则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路,X~N (50,42),则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若X~N (40,102),则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N (50,42),则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N (3,22),(1)求P {2<X ≤5},P {-4<X ≤10},P {|X |>2},P {X >3}; (2)确定c 使P {X >c }=P {X ≤c }. 【解】(1)23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm )X ~N (10.05,0.062),规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭ 1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X (小时)服从正态分布N (160,σ2),若要求P {120<X ≤200}≥0.8,允许σ最大不超过多少? 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤=24.设随机变量X 分布函数为F (x )=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩ (1)求常数A ,B ;(2)求P {X ≤2},P {X >3}; (3)求分布密度f (x ).【解】(1)由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩(2)2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F (x ),并画出f (x )及F (x ).【解】当x <0时F (x )=0当0≤x <1时00()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰ 当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为(1)f (x )=a e - |x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx试确定常数a ,b ,并求其分布函数F (x ). 【解】(1)由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故2a λ=即密度函数为e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F (x )=0 当0<x <1时00()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F (x )=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点, (1)α=0.01,求z α; (2)α=0.003,求z α,/2z α. 【解】(1)()0.01P X z α>=即1()0.01z αΦ-= 即()0.09z αΦ= 故 2.33z α=(2)由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即/2()0.9985z αΦ= 查表得/2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0,1,4,91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-= 2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N (0,1).(1)求Y =e X 的概率密度; (2)求Y =2X 2+1的概率密度; (3)求Y =|X |的概率密度.【解】(1)当y ≤0时,()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时,()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故d ()()d Y Y X X f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U (0,1),试求:(1)Y =e X的分布函数及密度函数; (2)Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】(1)(01)1P X <<=故(1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他(2)由P (0<X <1)=1知(0)1P Z >=当z ≤0时,()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时,()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时,()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时,()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰ 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--()()2arcsin πy =当y ≥1时,()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下:⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
(完整版)概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)习题⼀1.设A,B,C为三个事件,⽤A,B,C的运算式表⽰下列事件:(1)A发⽣⽽B与C都不发⽣;(2)A,B,C⾄少有⼀个事件发⽣;(3)A,B,C⾄少有两个事件发⽣;(4)A,B,C恰好有两个事件发⽣;(5)A,B⾄少有⼀个发⽣⽽C不发⽣;(6)A,B,C都不发⽣.解:(1)A CB或A-B-C或A-(B∪C).(2)A∪B∪C.(3)(AB)∪(AC)∪(BC).(4)(AB C)∪(AC B)∪(BC A).(5)(A∪B)C.(6)CY或CBA IA.B2.对于任意事件A,B,C,证明下列关系式:(1)(A+B) (A+B)(A+ B)(A+B)= ?;(2)AB+A B +A B+A B AB-= AB;(3)A-(B+C)=(A-B)-C.证明:略.3.设A,B为两事件,P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1,求:(1)A发⽣但B不发⽣的概率;(2)A,B都不发⽣的概率;(3)⾄少有⼀个事件不发⽣的概率.解(1)P(A B)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.4;(2) P(B A)=P(BA )=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3;(3) P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD 的占20%;其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD 占10%,购买电脑和DVD占5%,三种电器都购买占2%。
求下列事件的概率。
(1)⾄少购买⼀种电器的;(2)⾄多购买⼀种电器的;(3)三种电器都没购买的.解:(1)0.28, (2)0.83, (3)0.725.10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。
解:8/156.任意将10本书放在书架上。
其中有两套书,⼀套3本,另⼀套4本。
《概率论与数理统计》第二章习题解答(总16页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1第二章 随机变量及其分布1、解:设公司赔付金额为X ,则X 的可能值为; 投保一年内因意外死亡:20万,概率为 投保一年内因其他原因死亡:5万,概率为投保一年内没有死亡:的分布律为:2、一袋中有53、4、5,在其中同时取三只,以X 表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律解:X 可以取值3,4,5,分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X : 3, 4,5P :106,103,1013、设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样,以X 表示取出次品的只数,(1)求X 的分布律,(2)画出分布律的图形。
解:任取三只,其中新含次品个数X 可能为0,1,2个。
3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X : 0, 1, 2P : 351,3512,352224、进行重复独立实验,设每次成功的概率为p ,失败的概率为q =1-p (0<p <1)(1)将实验进行到出现一次成功为止,以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律。
(此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
)(2)将实验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Y 的分布律。
(此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
)(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率。