专题四 高考立体几何命题动向

立足立几考纲，把握高考动向一立体几何的考纲要求1.空间几何体：（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．2.空间点、直线、平面之间的位置关系：(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；(2)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题；(3)以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；(4)能运用平行、垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的平行、垂直关系的简单命题．3. 立体几何与空间向量空间向量及其运算：(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直；立体几何中的向量方法:(1)理解直线的方向向量及平面的法向量；(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；(3)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；(4)能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题；了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．近几年，全国卷立体几何考纲要求保持稳定，几乎没有什么变化近五年全国卷17题至22题的考点分布情况如下：二立体几何命题特点和命题趋向从近年来的情况来看，结构为两小题一大题，小题必考三视图问题，以柱体、椎体为主，还常常出现组合体问题。

2024年高考“立体几何”复习指导与命题预测作者：***来源：《中学数学杂志(高中版)》2024年第02期【摘要】本文首先给出2023年高考立体几何命题分析，然后通过近几年高考试题的命题特点，结合各地试题中的经典题目和自编题，给出2024年高考立体几何客观试题（单项选择题、多项选择题、填空题）和主观解答题兩类题型的12个命题视角，探寻高考命题的规律与趋势，更好地把握复习的方向，突破高考的重点和难点．【关键词】立体几何；命题分析；命题视角；学科素养立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的学问，是培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模和数学抽象等学科素养的重要载体，既是高中教学的重点，又是高考的主要考点.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对立体几何有明确细致的要求：理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念；运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系.12023年高考立体几何命题分析2023年高考数学试卷包括6套全国卷和3套地方卷，各套试题均面向全体考生，重视基础知识、基本能力和基本思想方法的考查.从命题形式来看，立体几何题目包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题，一般包括一至三道客观小题，一道两问或三问的主观解答题，总分在22～27分之间，约占全卷总分的15%～18%，难度整体上相对保持稳定，难易适中.其中客观小题一般不给出图形，需要考生自己通过对题设条件的阅读和分析画图、析图和用图解题，命题灵活而多变.例如新高考Ⅰ卷，近4年每年均有一道压轴立体几何客观小题（2020年第16题，2021年第12题，2022年第8题，2023年第12题），选择题选项设计具有不同的难度梯度，有很好的人才选拔功能；解答题都给出图形，命题形式相对固定，既有证明题型，又有计算题型，需要学生“庖丁解牛”，进行严谨的逻辑推理和合理的数学运算.一题多问给不同层次的学生提供了不同的发挥空间.参考文献［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.5［2］刘才华，王俊岭，王传锋.2023年高考“立体几何”复习指导［J］.中学数学杂志，2023（05）。

命题趋势分析：从近三年来的全国试卷来看，立体几何知识的考查比较全面，往往涉及高中高中立体几何数学基础知识的各个方面，同时又注重对于考生的数学能力的考查，试题往往在平凡中体现创新，从而达到有效选材的效果。

有利于高三数学教学回归课本，回归基础---基本知识、基本技能、基本思想方法，基本活动经验复习使用指导：一轮系统复习：坚持教材为主，资料为辅，教师应当帮助、引导学生梳理、把握知识的联系、发展与变化，将点状的知识块状化、网络化，激活学生的思维。

优化学生的认知结构，使网络的知识体系印到每个学生的大脑里二轮专题复习：进一步优化学生的知识结构，强化学生知识之间的联结，数学概念、公式定理的提取，以及知识的交汇和综合。

帮助学生提炼数学方法，感悟数学思想，优化思维结构，以经典的课本问题、高考问题和资料名题为素材，开展变式的教学，一题多解、一题多变、多题一法一理，凸显知识的成长、生成与发展，优化学生的思维空间，积累提出问题、分析问题和解决问题的经验。

三轮临考复习：抓主干知识的“源”和“流”，突出核心概念的理解、重要的数学定理公式的推导，活化网络化的知识结构，在分析问题与解决问题的过程中，检查运用技能，知识方法的缺陷所在。

我们应知道，数学是关于数与形的科学，数与形的有机结合是数学解题的基本思想，数学是关于模式的科学，这反映了数学解题时，需要进行“模式识别”，需要建构标准的模型，往往遇到的问题是标准模型里的参数是需要待定的，这说明待定系数法属于解题的通性通法。

数学是一种符号，引入符号可以将自然语言转换为符号语言，通过中间量的代换，就能将复杂的问题简单化、陌生的问题熟悉化。

我们要知道，数学题目本身就是“解答这道问题”的信息源，题目中的信息往往通过语言文字、公式符号、数学图形。

以及它们之间的关系间接的告诉我们的。

所以读题、审题一定要逐字逐句看清楚，搞清楚，搞明白，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等方面真正看懂题目，弄清条件是什么（即从何入手）？结论是什么（即向何方向前进）？它们分别和那些知识有联系？从自己掌握的知识模块中提取与之相适应的解答问题的方法，通过已建立的思维链，把知识方法输入大脑，并在大脑里进行整合，找到解题的途径，并注意容易出现错误的点，想出解答方案，只有细致的审题，才能从题目本身获得尽可能多的有用的信息，这是解题思维训练的必经之路，也是提高解答数学问题效益好办法，理应成为我们数学知识，学会数学问题解决的良好习惯。

高考全国卷立体几何命题动向分析作者：***来源：《中学生数理化·高考使用》2019年第11期一.近三年试题特点分析题型上，近三年高考全国卷对立体几何的考查题型有选择题、填空题及解答题。

题量上，多数以“两小一大”为主，偶有“一小一大”，如2018年全国I卷有“三小一大”共27分，而2019年全国I卷才“一大一小”共17分，所以说题量并不是固定的，有时有微调。

知识点分布上，小题主要考查点线面的位置关系与数量关系，求体积、面积等知识，部分试题渗透数学文化、实际背景及知识交汇处命题，突出试题的思想性和知识点的实际应用价值，主要考查同学们的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养。

另外2019年全国9套试卷均未考查三视图，这与新课改中要求删除三视图有一定关系，但2020年高考的命题仍按老课标与老教材进行命题，没有任何信息表明2020年高考不考三视图，因此在备考时一定要注意。

立体几何解答题一般位于17-20题的位置，题型比较常规，第一小题重点考查线线、线面、面面的位置关系的证明，第二小题理科主要考查空间角，文科主要考查求锥体的体积、表面积等问题，要求同学们对基本概念的掌握要清晰，并且具备一定的运算能力。

难度上，小题以容易题和中档题为主，也有压轴小题，比如2018年全国I卷理科第12题，2019年全国I卷理科第12题，2017年全国I卷理科第16题。

解答题基本上是以中档题为主。

二、考查问题分析高考全国卷立体几何的小题主要考查以下几个方面的问题：（1）几何体中的线面位置关系、数量关系，主要情形有：①已知一个球及其内接或外切的几何图形求其中的数量关系;②已知一个多面体中的位置或数量关系求其他的数量关系。

（2）根据某几何体的三视图猜想其几何特征并求该几何体的某个数量关系，主要情形有：①给出几何体的三视图，通过看图、想图和画图得到其直观图，以此确定其几何特征并求其有关数量;②根据三视图的条件确定直观图所表示的几何体的几何特征，计算难度很低，一般是求能反映几何体本身特征的量，并且只要求代公式直接求值。

立体几何考查特点及其新动向立体几何是高考的重要内容，从近几年高考试题可知立体几何高考命题形式比较稳定、难易适中，一般保持着两小一大，重点考查以下四个方面。

其一是空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，这部分内容是立体几何的理论基础，尤其是平行、垂直关系的判定和论证是历年高考的重点和热点。

高考试题中考查直线与平面的位置关系，多数是选择题或多项填空题的形式出现。

在解答题中一般以多面体为载体，重点考查直线、平面平行或垂直的位置关系;其次是空间的角和距离，空间图形中各元素间的位置关系都可以用这两个几何量来定量的描述，所以角度和距离是立体几何的基础和核心。

在高考试卷中，每年都至少有一个以角度和距离为内容的选择题或填空题，还有一个是以多面体或球为载体，重点考查如何计算空间中角的大小和距离的解答题；其三是多面体和球的面积和体积问题是每年都要考查的一类问题。

这类问题多在高考的选择题、填空题、解答题中某一小题出现；其四是在立体几何与排列组合、解析几何、函数等知识的交汇处设计综合试题，以体现在知识的交汇处设计试题的命题原则。

在解答立体几何的过程中要注意立体问题平面化，面面问题线面化，线面问题线线化，几何问题代数化；注意掌握立体几何与排列组合、概率、函数、方程、不等式、解析几何等知识的交叉与渗透，不断提高综合运用数学知识和数学思想方法解决数学中的综合问题的能力。

【例1】平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线L 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的集合是 。

【解析】设'L 与L 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线垂直于这个平面，故过定点A 与L 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上。

【答案】一条直线【例2】（2011·北京高考）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ） A.8B. C.10D.【解析】选 C.该四面体的直观图，如图所示，090B ∠=，P A A B C ⊥面，PA=4,AB=4,BC=3.该四面体的四个面都是直角三角形.四个面的面积分别为 6,8,10.ABC PAB PBC PAC S S S S ∆∆∆∆==== 故最大面积为10.【例3】如下的三个图中，左侧的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如右图（单位：cm ）。

立体几何试题的创新动向上虞中学 沈波近几年高考立体几何试题在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查，其中包括空间想象能力、逻辑思维能力、归纳推理能力、综合探究能力等等，试题看似平常，但创新知识层出不穷，以下结合试题的命题方向，对试题的创新动向做了归类和总结，希望能给读者带来一些启示。

一、突现新增内容例1．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ） A. 22B. 32C. 4D. 52解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。

如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ，由题意得=1n ⇒=a =b =，所以22(1)(1)6a b -+-=228a b ⇒+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ⇒+≤当且仅当2a b ==时取等号。

故选出答案A.例2．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M,N 分别是AF,BC 中点 （1） 求证：MN//平面CDEF; （2） 求 MN 与AC 所成角的余弦值。

正视图 侧视图2F解析：（1）连接EC,BF ，则AF,BE 交于点M ，在△ECB 中，M 、N 分别为BE 、BC 的中点，所以MN//EC, 又因为CE ⊆平面EFCD,MN ⊄平面EFCD,所以MN//平面EFCD (2)因为MN//EC ，所以MN 与AC 所成角就是EC 与AC 所成角。

由三视图可知：四边形ABFE,EFCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形， 所以AE ⊥平面EFCD,故AE ⊥EC, 在△AEC 中，因为EC=22,AC=32 所以36cos ==∠AC CE ACE ，故得MN 与AC 所成角的余弦值为36。

点评：在新课程实施的几个省市中，高考试题都涉及了空间几何体的三视图。

探索高考立体几何命题动向高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。

近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。

考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。

其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。

本文就是在对新课标思想的深入理解、对最新考纲的深入研究和对近年高考试题细致归纳总结的基础上深入研究，力图揭示立体几何高考命题新动向，为更有效备战高考支招。

一、立体几何命题特点立体几何是高中数学领域的重要模块，是高考考查考生的空间感、图形感、语言转化能力、几何直观能力、逻辑推理能力的主要载体。

通过研究近年各地高考试卷，不难发现有关立体几何的命题较稳定，难易适中，体现出“一小一大”的特点，即1～2道小题，一道大题，占17～22分，小题灵活多变且有一定的难度，其中常有组合体三视图问题和开放型试题；而解答题大多属中档题，其中，在几何体中考查直线与平面的平行与垂直、空间角与距离的计算等。

高考命题既注意“知识的重新组合”，又采用“小题目综合化，大题分步设问”的命题思路，朝着“重基础、直观感、空间感、探究与创新”的方向发展。

二、客观题命题规律第一类：以三视图为载体考查空间想象能力，由几何体的三视图识别几何体，由几何体的三视图得到几何体的直观图，由几何体（组合体）的三视图求几何体的表面积和体积等，成为新课标高考必考的内容。