【K12教育学习资料】2018-2019学年人教版数学高考(文)一轮复习训练：第十章规范练52变量间

课时跟踪检测(十二)[高考基础题型得分练]．某企业投入万元购买了一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )．．．．答案：解析：设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为，则年后的设备维护费用为＋＋…＋＝(＋)，所以年的平均费用为＝＝＋＋(∈*)，由基本不等式得＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝，即＝时取等号，故选.．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润(万元)与营运年数的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为()．．．．答案：解析：由题图，易求得与的关系式为＝－(－)＋，则＝－≤－＝，∴有最大值，此时＝.．[·辽宁五校联考]一个人以米秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间内的路程为＝米，那么，此人( )．可在秒内追上汽车．可在秒内追上汽车．不能追上汽车，但期间最近距离为米．不能追上汽车，但期间最近距离为米答案：解析：已知＝，车与人的间距＝(＋)－＝－＋＝(－)＋.当＝时，取得最小值.．[·山东青岛模拟]世界人口在过去年内翻了一番，则每年人口平均增长率约为(参考数据≈，≈)( )．．．．答案：解析：设每年人口平均增长率为，则(＋)＝，两边取以为底的对数，则(＋)＝，所以(＋)＝)≈，所以＋≈，得＋≈，所以＝.．拟定甲、乙两地通话分钟的电话费(单位：元)由()＝([]＋)给出，其中>，[]是不超过的最大整数(如[]＝，[]＝，[]＝)，则甲、乙两地通话分钟的电话费为元．答案：解析：∵＝，∴[]＝，则()＝×(×＋)＝.．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入与广告费之间满足。

课时跟踪训练(三十一) 等差数列及其前n 项和[基础巩固]一、选择题1．(2018·湖南衡阳二十六中期中)在等差数列{a n }中，a 3＝1，公差d ＝2，则a 8的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12[解析] a 8＝a 3＋5d ＝1＋5×2＝11，故选C. [答案] C2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.[答案] B3．(2018·湖北武汉调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( )A.16 B.13 C.35D.56[解析] 因为S 5＝3(a 2＋a 8)，所以5a 1＋10d ＝3(2a 1＋8d )，即a 1＝－14d ，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d＝－14d ＋4d －14d ＋2d ＝56. [答案] D4．(2017·安徽合肥二模)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54C.413D.134[解析] 由题意，得1a 1＝1，1a 4＝14，所以等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ＝1a 4－1a 13＝－14，由此可得1a n ＝1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－n 4＋54，因此1a 10＝－54，所以a 10＝－45.故选A.[答案] A5．(2017·山西太原一模)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6＝( )A ．8B ．6C ．4D ．3[解析] 由等差数列的性质可知2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6×2a 6＝36，得a 6＝3，故选D.[答案] D6．(2018·辽宁鞍山一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9[解析] 因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，所以a m －1＋a m ＋1＝a 2m .根据等差数列的性质得2a m ＝a 2m ，显然a m ≠0，所以a m ＝2.又因为S 2m －1＝38，所以S 2m －1＝m －a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m .将a m ＝2代入可得(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.故选C.[答案] C 二、填空题7．(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 22＝a 1＋(a 1＋d )2＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝10.解得a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.[答案] 208．(2018·广东深圳中学月考)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 取到最大值的n 等于________．[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，2a 4＝10，故d ＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7－2(n －3)＝13－2n .令a n >0，得n <6.5，所以在等差数列{a n }中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使S n 取到最大值的n 的值为6.[答案] 69．(2017·辽宁师大附中期末)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________. [解析] 在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641. [答案]5641三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12，证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．[证明] ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. ∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列．[能力提升]11．(2017·河南百校联盟质监)等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 2016＝2016，且S 20162016－S 1616＝2000，则a 1等于( ) A ．－2016 B ．－2015 C ．－2014D ．－2013[解析] 解法一：因为S n ＝n a 1＋a n2，所以S n n ＝a 1＋a n 2.因为S 20162016－S 1616＝2000，所以a 2016－a 162＝2000d2＝2000，所以d ＝2.又因为a 2016＝2016，所以a 1＋(2016－1)×2＝2016，解得a 1＝－2014，故选C.解法二：因为S n ＝na 1＋n n －2d ，所以S n n ＝d 2n ＋a 1－d 2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，以d2为公差的等差数列．所以S 20162016－S 1616＝2000×d2＝2000，所以d ＝2.所以a 2016＝a 1＋(2016－1)×2＝2016，所以a 1＝－2014.故选C.解法三：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋－d ＝2016，⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋2016－12d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋16－12d ＝2000，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2014，d ＝2，故选C.[答案] C12．(2018·黑龙江齐齐哈尔月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .∵a 6＋a 7＝a 3＋a 10>0，即2a 1＋11d >0，且a 6a 7<0，a 1>0，∴a 6>0，a 7<0.∴d ＝a 7－a 6<0.又∵a 7＝a 1＋6d <0，∴2a 1＋12d <0.当S n ＝a 1＋a nn 2＝[2a 1＋n －d ]·n2>0时，2a 1＋(n －1)d >0.由2a 1＋11d >0,2a 1＋12d <0知n －1最大为11，即n 最大为12.故选C.[答案] C13．(2016·长安一中月考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[解析] ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.[答案] 814．(2017·安徽合肥一中第三次段考)已知数列{a n }是各项为正且首项为1的等差数列，S n 为其前n 项和，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋8a n ＋1的最小值是________．[解析] 设数列{a n }的公差为d (d >0)， 即有a n ＝1＋(n －1)d ，S n ＝n ＋12n (n －1)d ，S n ＝12dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12d n ，由于数列{S n }也为等差数列， 可得1－12d ＝0，即d ＝2，即有a n ＝2n －1，S n ＝n 2，则S n ＋8a n ＋1＝n 2＋82n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋8n ≥12·2·n ·8n＝22，当且仅当n ＝22取得等号，由于n 为正整数，即有n ＝2或3取得最小值．当n ＝2时，取得3；n ＝3时，取得176.故最小值为176.[答案]17615．(2017·河南南阳期终质量评估)设f (x )＝axx ＋a(a >0)，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，又b n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和． [解] (1)证明：a n ＋1＝f (a n )＝a ·a n a n ＋a ，所以1a n ＋1＝a n ＋a a ·a n ＝1a n ＋1a ， 即1a n ＋1－1a n ＝1a，又a 1＝1，所以1a 1＝1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1a 的等差数列．所以1a n ＝1＋(n －1)1a ＝n ＋a －1a.所以a n ＝an ＋a －1.(2)b n ＝a n ·a n ＋1＝a n ＋a －1·an ＋a＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋a －1－1n ＋a ，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －11＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋a －12＋a ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1＋a －1n ＋a ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1n ＋a ＝a 2·n ＋a －a a n ＋a ＝na n ＋a ， 即数列{b n }的前n 项和为nan ＋a. 16．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．[解] ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，n ＋－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝－29＋2×15－2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.[延伸拓展]已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n－1(n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)解法一：假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3. ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1. 事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为首项是2，公差是1的等差数列． 解法二：假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n，由{b n }为等差数列，则有2b n ＋1＝b n ＋b n ＋2(n ∈N *)． ∴2×a n ＋1＋λ2n ＋1＝a n ＋λ2n＋a n ＋2＋λ2n ＋2.∴λ＝4a n ＋1－4a n －a n ＋2 ＝2(a n ＋1－2a n )－(a n ＋2－2a n ＋1) ＝2(2n ＋1－1)－(2n ＋2－1)＝－1.综上可知，当λ＝－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为首项是2、公差是1的等差数列．。

天天练25 基本不等式及简单的线性规划一、选择题 1．(2018·山东临汾一中月考)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案：C解析：由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎨⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.2．(2018·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案：A解析：由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)(a －24)<0，所以－7<a <24.故选A.3．(2018·阜阳一模)下列正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋ab ≥2B ．若x <0，则x ＋4x ≥－2x ×4x ＝－4C ．若ab ≠0，则b 2a ＋a 2b ≥a ＋b D ．若x <0，则2x ＋2－x >2 答案：D解析：对于A ，当ab <0时不成立；对于B ，若x <0，则x ＋4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋4－x ≤－2(－x )·4－x ＝－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立，因此B 选项不成立；对于C ，取a ＝－1，b ＝－2，b 2a ＋a 2b ＝－92<a ＋b ＝－3，所以C 选项不成立；对于D ，若x <0，则2x ＋2－x >2成立．故选D.4．(2018·河北张家口上学期模拟)已知向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.若a ⊥b ，则xy 的最大值为( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案：B解析：因为a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，a ⊥b ，所以a ·b ＝y ＋2(x －1)＝0，即2x ＋y ＝2.又因为x >0，y >0，所以2x ＋y ≥22xy ，当且仅当x ＝12，y ＝1时等号成立，即22xy ≤2，所以xy ≤12，所以当且仅当x ＝12，y ＝1时，xy 取到最大值，最大值为12.故选B.5．(2018·河南八市重点高中联考)函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为( )A ．2B ．7C ．9D ．10 答案：C解析：因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当(x ＋1)2＝4，即x ＝1时等号成立，所以要求函数的最小值在x＝1处取到，最小值为9.故选C.6．(2018·河南郑州一中模拟)已知正数a ，b 满足4a ＋b ＝3，则e 1a ·e 1b的最小值为( )A ．3B ．e 3C ．4D ．e 4 答案：B解析：因为正数a ，b 满足4a ＋b ＝3，所以1a ＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1＋b a ＋4a b ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝3(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，4a ＋b ＝3，即2a ＝b ＝1时取等号)，所以e 1a ·e 1b ＝e 11a b+≥e 3，即当2a ＝b ＝1时，e 1a·e1b的最小值为e 3.故选B.7．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥12x ，x ＋y ≤3，x ≥a ，z ＝3x ＋y 的最大值比最小值大14，则a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案：A解析：如图，不等式组所表示的可行域为△ABC 及其内部，作出目标函数z ＝3x ＋y 对应的直线l .因为z 的几何意义为直线l 在y 轴上的截距．显然，当直线l 过点B 时，z 取得最大值；当直线l 过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋y ＝3，解得B (2,1)；由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＝a ，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2.所以目标函数的最大值为z max ＝3×2＋1＝7，最小值为z min ＝3×a＋a 2＝72a .由题意可得7－72a ＝14，解得a ＝－2.故选A.8．(2018·山西运城上学期期中)某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1件需消耗A 原料2千克，B 原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元 答案：C解析：设生产甲产品x 件，乙产品y 件，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ，y ∈N ，目标函数z ＝300x ＋400y ，作出⎩⎨⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12的可行域，其中A (0,6)，B (4,4)，C (6,0)，如图所示．由图可知，目标函数在点B (4,4)取得最大值，最大值为2 800.所以公司共可获得的最大利润是2 800元．故选C.二、填空题9．设a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是________． 答案：[－25，25]解析：∵a 2＋b 2＝10，a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥2ab ＋a 2＋b 2＝(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，即(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)＝20，∴－25≤a ＋b ≤25，所以a ＋b 的取值范围是[－25，25]．10．(2018·广东清远模拟)若x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．答案：16解析：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋y x ≥10＋29x y ·y x ＝16，当且仅当9x 2＝y 2，即y ＝3x ＝12时等号成立．故x ＋y 的最小值是16.11．(2018·河北保定联考)若点(x ，y )所在的平面区域满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －8≤0，x ≥0，y >0，在区域内任取一点P ，则点P 落在圆x 2＋y 2＝2内的概率为________________________________________________________________________．答案：π16解析：不等式组对应的平面区域为△OAB (不包括线段OA )，其中A (8,0)，B (0,2)，如图所示，对应的面积为S ＝12×2×8＝8.x 2＋y 2＝2表示的区域为半径为2的圆O .圆O 在△OAB 内的部分对应的面积为14×π×(2)2＝π2，所以根据几何概型的概率公式，得到所求概率P ＝π28＝π16.三、解答题 12．(2018·河北唐山一模)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y .(1)求1x ＋1y 的最小值．(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解析：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.。

考点规范练13 函数模型及其应用基础巩固1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+1003.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3B.4C.6D.124.已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为()A.800米B.900米C.1 000米D.1 200米5.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元7.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况8.世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.0075≈1.017)()A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%9.一个人以6 m/s的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=t2 m,则此人()A.可在7 s内追上汽车B.可在9 s内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14 mD.不能追上汽车,但期间最近距离为7 m10.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣,若顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算.某人在此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,则y关于x的解析式为y=若y=30元,则他购物总金额为元.11.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是.能力提升12.点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周,O,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图,则点P所走的图形是()13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是()A.16 hB.20 hC.24 hD.28 h14.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.15.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①若不超过200元,则不予优惠;②若超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若超过500元,则其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为.高考预测16.如图,正方形ABCD的顶点A,B,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数s=f(t)的图象大致是()答案：1.D解析:由题意可得y=(1+10.4%)x,函数是底数大于1的指数函数,故选D.2.C解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.3.A解析:设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,则y=x·=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y 最大.4.A解析:设这个广场的长为x米,则宽为米.故其周长为l=2≥800,当且仅当x=200时取等号.5.C解析:设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.6.B解析:由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.7.B解析:设该股民购这支股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这支股票略有亏损.8.C解析:设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,则40lg(1+x)=lg 2,所以lg(1+x)=≈0.007 5,所以100.007 5=1+x,得1+x=1.017,所以x=1.7%.9.D解析:已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.结合选项可知选D.10.1 350解析:若x=1 300,则y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元),因此x>1300.故10%(x-1 300)+25=30,得x=1 350.11.16解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.12.C解析:函数的运动图象有两个特点,①点P运动到周长的一半时,OP最大;②点P的运动图象是抛物线.选项A,B中点P开始运动后的一段路程是直线,故不符合;选项D中OP的距离不是对称变化的,也不符合,故选C.13.C解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=e kx+b图象上的两个点,所以由②得,48=e22k·e b,③把①代入③得e22k=,即(e11k)2=,所以e11k=.所以当储藏温度为33 ℃时,保鲜时间y==(e11k)3·e b=×192=24(小时).14.16解析:当t=0时,y=a,当t=8时,y=aa,可得e-8b=.故容器中的沙子只有开始时的八分之一时,可得y=a e-bt=a,即e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.15.546.6元解析:依题意,价值为x元的商品和实际付款额f(x)之间的函数关系式为f(x)=当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x=470.故两次共购得价值为470+168=638元的商品.又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.16.C解析:依题意得s=f(t)=分段画出函数的图象可得图象如选项C所示,故选C.。

天天练 40 选修系列1．(2017·北京卷，11)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．答案：1解析：由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵ 点P 的坐标为(1,0)，∴ 点P 在圆C 外．又∵ 点A 在圆C 上，∴ |AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.2．(2017·天津卷，11)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．答案：2解析：由4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0， 故直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0.由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为1.∵ 圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|(23)2＋22＝34＜1，∴ 直线与圆相交，有两个公共点．3．(2018·山西五校联考(一))在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.解析：(1)由题意知，直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.(2)解法一：由(1)知，曲线C 是以点(0,2)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，则|AB |＝2× 4－12＝14.解法二：由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－4y ＝0可取A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋72，3＋72，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－72，3－72， 由两点间的距离公式可得|AB |＝14.解法三：设A ，B 两点所对应的参数分别为t A ，t B ，将⎩⎨⎧ x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t代入x 2＋y 2－4y ＝0，并化简整理可得t 2＋2t －3＝0， 从而⎩⎨⎧t A ＋t B ＝－2，t A t B ＝－3，因此|AB |＝(t A ＋t B )2－4t A t B ＝14. 4．(2017·新课标全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解析：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sinθ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17， 所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.5．设函数f (x )＝|x |＋|x ＋10|，不等式f (x )≤x ＋15的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，求证：5|a ＋b |≤|ab ＋25|.解析：(1)由f (x )≤x ＋15得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋15≥0，x ≤－10，－x －x －10≤x ＋15或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋15≥0，－10<x <0，－x ＋x ＋10≤x ＋15或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋15≥0，x ≥0，x ＋x ＋10≤x ＋15，解得－5≤x ≤5，所以f (x )≤x ＋15的解集M ＝[－5,5]．(2)当a ，b ∈M ，即－5≤a ≤5，－5≤b ≤5时，要证5|a ＋b |≤|ab ＋25|，即证25(a ＋b )2≤(ab ＋25)2.因为25(a ＋b )2－(ab ＋25)2＝25(a 2＋2ab ＋b 2)－(a 2b 2＋50ab ＋625)＝25a 2＋25b 2－a 2b 2－625＝(a 2－25)(25－b 2)≤0，所以25(a ＋b )2≤(ab ＋25)2，即5|a ＋b |≤|ab ＋25|.6．(2017·新课标全国卷Ⅰ，23)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为x －1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．。