高考数学一轮复习第五章平面向量..平面向量的基本定理及坐标表示对点训练理

第五章 平面向量第二节 平面向量基本定理及坐标表示A 级·基础过关 |固根基|1.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2；④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B ．2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)解析：选D 4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由题意得，4a ＋(3b －2a)＋c ＝0，所以c ＝(4，－6)，故选D ．3．设a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x)．若a 与b 同向，则x 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D ．0解析：选B 由题意得－x 2＝－4， 所以x ＝±2.又因为a 与b 同向，若x ＝－2，则a ＝(－2，－4)，b ＝(1，2)，a 与b 反向，故舍去，所以x ＝2.故选B ．4．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b)∥c，则x等于( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D 因为a －12b ＝(3，1)，a ＝(1，2)，所以b ＝(－4，2)．所以2a ＋b ＝2(1，2)＋(－4，2)＝(－2，6)． 又(2a ＋b)∥c，所以－6＝6x ，解得x ＝－1.故选D ．5．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →等于( ) A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB →C ．16AC →＋12AB → D ．16AC →＋32AB → 解析：选C 如图，因为EC →＝2AE →，点M 是BC 的中点， 所以EC →＝23AC →，CM →＝12CB →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB → ＝23AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →＋16AC →.故选C ． 6．(2019届河南洛阳模拟)在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )A ．85B ．58C ．1D ．－1解析：选A 设正方形的边长为2，以点A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，M(2，1)，N(1，2)，所以AC →＝(2，2)，AM →＝(2，1)，BN →＝(－1，2)．因为AC →＝λAM →＋μBN →，即(2，2)＝λ(2，1)＋μ(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85，故选A ．7．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)反向共线，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(5，－8)D ．(－8，5)解析：选A 依题意，设AB →＝λa，其中λ<0，则有|AB →|＝|λa|＝－λ|a|，即25＝－5λ，∴λ＝－2，∴AB →＝－2a ＝(－2，4)．又点A 的坐标为(3，－4)，∴点B 的坐标是(－2，4)＋(3，－4)＝(1，0)．故选A ．8．(2019届南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3，1)，P 2(－1，3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→(λ∈R)，则λ等于( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3→＝(x ，y)，则由OP 3→∥a ，得x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x)．若OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，则有(x ，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)＝(4λ－1，3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0， 解得λ＝－1，故选D ．9．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线． 因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， 所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. 答案：k≠110．(2019届河北联盟二模)已知点A(1，0)，B(1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________．解析：因为点A(1，0)，B(1，3)，OC →＝－4OA →＋λOB →，所以C(λ－4，3λ)． 因为点C 在第二象限，∠AOC＝150°， 所以tan 150°＝3λλ－4＝－33，解得λ＝1.答案：111．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b.(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)＝a ＝(5，－5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M(0，20)． 又CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N(9，2)．所以MN →＝(9，－18).B 级·素养提升 |练能力|12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1，0)，B(0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，且|OC|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2 B ． 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC|＝2，∠AOC＝π4，所以C(2，2)．又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝2，μ＝2，所以λ＋μ＝2 2.13．(2019届枣庄模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．25解析：选B 由已知得，3OC →＝2OA →＋OB →，即OC →－OB →＝2(OA →－OC →)，即BC →＝2CA →，如图所示，故C 为BA 的靠近A 点的三等分点， 因而|AC →||AB →|＝13.故选B ．14．(2019届石家庄模拟)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D(点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0)解析：选B 由题意可设OC →＝mOD →，则m>1.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA→＋μm OB →.又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B ． 15．(2019届长沙一模)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 为矩形内部一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________．解析：设点P 在AB 上的射影为Q ，∠PAQ＝θ， 则AP →＝AQ →＋QP →，且|AQ →|＝cos θ，|QP →|＝sin θ. 又AQ →与AB →共线，QP →与AD →共线， 故AQ →＝cos θ3AB →，QP →＝sin θ2AD →，从而AP →＝cos θ3AB →＋sin θ2AD →.又AP →＝xAB →＋yAD →，故x ＝cos θ3，y ＝sin θ2，因此3x ＋2y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，故3x ＋2y 的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]16．在△OAB 中，OA →＝3OC →，OB →＝2OD →，AD 与BC 的交点为M ，过M 作动直线l 交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE →＝λOA →，OF →＝μOB →(λ，μ>0)，则λ＋μ的最小值为________．解析：由A ，M ，D 三点共线，可得存在实数t ，使得OM →＝tOA →＋(1－t)OD →＝tOA →＋12(1－t)OB →.同理，由C ，M ，B 三点共线，可得存在实数m ，使得OM →＝mOB →＋(1－m)OC →＝mOB →＋13(1－m)OA →.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13（1－m ），12（1－t ）＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝25，t ＝15，∴OM →＝25OB →＋15OA →.由E ，M ，F 三点共线，可设OM →＝xOE →＋(1－x)OF →.又OE →＝λOA →，OF ＝μOB →，∴OM →＝xλOA →＋(1－x)μOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x λ＝15，（1－x ）μ＝25，可得1λ＋2μ＝5.∴λ＋μ＝15(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋2μ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋μλ＋2λμ≥3＋225，当且仅当μλ＝2λμ时取等号，∴λ＋μ的最小值为3＋225.答案：3＋225。

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇固本夯基考点一平面向量的概念及线性运算1.(2017课标Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案 A2.(2022届江西重点中学联考二,5)设e1,e2是两个不共线的平面向量,若a=3e1-2e2,b=e1+ke2,且a与b共线,则实数k的值为( )A.-12B.12C.-23D.23答案 C3.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 A4.(2021宁夏吴忠4月模拟,5)如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ等于( )A.1B.-1C.12D.-12答案 D5.(2021陕西延安重点中学模拟,6)设M是△ABC所在平面上的一点,且EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D是AC的中点,则|EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( )A.13B.12C.1D.2答案 A6.(2020吉林梅河口五中4月模拟,5)在△ABC中,延长BC至点M使得BC=2CM,连接AM,点N为AM上一点且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=()A.13B.12C.-12D.-13答案 A7.(2022届山西吕梁11月月考,9)如图,△ABC中,点M是BC的中点,点N满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM 与CN交于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=()A.23B.34C.45D.56答案 C8.(2022届安徽淮南一中月考,9)已知点M是△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABM与△BC M的面积之比为( )A.83B.52C.2D.43答案 C9.(2022届黑龙江八校期中,13)如图,在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D是BE上的点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数x的值为.答案19考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2022届哈尔滨三中期中,3)已知对任意的平面向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),把EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点A沿逆时针方向旋转角φ得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(acosφ-bsinφ,asinφ+bcosφ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角φ得到点P.已知A(1,2),B(1-√2,2+2√2),把点B绕点A沿逆时针方向旋转π4得到点P,则点P的坐标为( )A.(-3,1)B.(-2,1)C.(2,3)D.(-2,3)答案 D2.(2021云南统一检测一,7)已知向量a=(32,1),b=(-12,4),则( )A.a∥(a-b)B.a⊥(a-b)C.(a-b)∥(a+b)D.(a-b)⊥(a+b)答案 B3.(2020陕西咸阳一模,3)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O逆时针旋转60°得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(0,1) B.(1,0)C.(√32,-12) D.(12,-√32)答案 A4.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA=2,OB=2,OC=1,∠AOB=60°,∠BOC=90°,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE=( )A.√3B.12C.√33D.23答案 C5.(2022届四川绵阳中学模拟二,5)设向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,-1),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1E +2E的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案 C6.(2021全国甲,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .答案-1037.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案128.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B上方,M为抛物线上一点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=.答案 39.(2022届云南五华模拟,15)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以CD为直径的半圆上有一点P,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为.答案73综合篇知能转换考法一平面向量线性运算的解题策略1.(2021广西百色重点中学4月模拟,5)已知点P为△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,点Q是线段BP的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.(20215·3原创题)△ABC中,点M为AC上的点,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1 E -1E的值为( )A.0B.-32C.1D.-1答案 B3.(2022届福州福清西山学校10月月考,8)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a+35bB.35a+45bC.1225a+925bD.1625a+1225b 答案 D4.(2022届河南段考三)已知△ABC 的三个内角分别为A,B,C,动点P 满足EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ·(EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E +EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心 答案 A5.(2021赣中南五校联考二,15)已知△ABC 的重心为G,过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且△AMN 与△ABC 的面积的比值为2554,则实数λ= .答案 5或546.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tanα=7,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n∈R),则m+n= .答案 3考法二 向量共线问题的求解方法1.(2021山西孝义二模,6)已知EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cosα),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sinα),若A,B,D 三点共线,则tanα=( )A.-2B.-12C.12D.2答案 A2.(2021太原一模,6)已知梯形ABCD 中,AB∥DC,且AB=2DC,点P 在线段BC 上,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =56EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ=( )A.34 B.23 C.13 D.12 答案 C3.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC中,E、F分别为AC、AB上的点,BE与CF交于点Q,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ交BC于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 C4.(2022届河南平顶山月考,10)已知点O为正△ABC所在平面上一点,且满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若△OAC的面积与△OAB的面积比为1∶4,则λ的值为( )A.12B.13C.2D.3答案 B5.(2022届拉萨中学月考,15)在△ABC中,点D满足BD=34BC,E点在线段AD上移动,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是.答案9106.(2020吉林桦甸四中等4月联考,15)在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P为线段AM上任意一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x2+2x+y2的最小值为.答案916应用篇知行合一应用向量在物理中的应用1.(2021山西长治二中月考,3探索创新情境)已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为( )A.40NB.10√2NC.20√2ND.40√2N答案 B2.(2021咸阳模拟,9生活实践情境)渭河某处南北两岸平行,如图所示.某艘游船从南岸码头A出发向北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=6km/h.设速度v1与速度v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到达北岸的位置应( )A.在A'东侧B.在A'西侧C.恰好与A'重合D.无法确定答案 A。

第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )．A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴．答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A.答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C三点共线，则1a ＋2b的最小值为________． 解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．答案 (0，－2)三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cosθ，t )， (1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋cos θ－124＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。

高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。

2017高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1.2 平面向量的基本定理及坐标表示对点训练 理1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)答案 B解析 b －a ＝(2，－1)，选B 项．2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案 D解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，由(c ＋a )∥b ，得－3(1＋m )＝2(2＋n )．①对于c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－79，n ＝－73.3.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．答案 －3解析 由向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝5，故m －n ＝－3.5.设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 答案 ±3解析 由题意得(a ＋λb )·(a －λb )＝0，即a 2－λ2b 2＝0，则a 2＝λ2b 2.∴λ2＝a 2b2＝32＋32212＋－122＝182＝9.∴λ＝±3. 6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案7＋1解析 解法一：设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，从而可设x ＝3＋cos α，y ＝sin α，α∈R .而OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， 则|OA →＋OB →＋OD →|＝ x －2＋y ＋32＝＋cos α2＋3＋sin α2＝ 8＋4cos α＋23sin α ＝ 8＋27α＋φ， 其中sin φ＝27，cos φ＝37.显然当sin(α＋φ)＝1时， |OA →＋OB →＋OD →|有最大值8＋27＝7＋1. 解法二：OA →＋OB →＋OD →＝OA →＋OB →＋OC →＋CD →， 设a ＝OA →＋OB →＋OC →＝(2，3)， 则|a |＝7，从而OA →＋OB →＋OD →＝a ＋CD →，则|OA →＋OB →＋OD →|＝|a ＋CD →|≤|a |＋|CD →|＝7＋1， 当a 与CD →同向时，|OA →＋OB →＋OD →|有最大值7＋1.7.如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________.答案 25a ＋15b解析 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE→＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b .由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45.所以AE →＝25a ＋15b .。

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　×　)(2)设{a ，b }是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.(　×　)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)教材改编题1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2,3)，e 2＝(12，－34)答案　BD2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)答案　A解析　设P (x ，y )，由题意知P 1P —→ ＝13P 1P 2—→，∴(x －1，y －3)＝13(4－1,0－3)＝(1，－1)，即Error!∴Error!3．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(2，x －1)，若(2a －b )∥a ，则x 为________．答案　2或－1解析　2a －b ＝(2x －2,3－x )，∵(2a －b )∥a ，∴2x －2＝x (3－x )，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1.题型一　平面向量基本定理的应用例1　(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( )A.34AB → －14AC →B.14AB → －34AC →C.34AB → ＋14AC →D.14AB → ＋34AC →答案　A(2)如图，已知平面内有三个向量OA → ，OB → ，OC → ，其中OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，且|OA → |＝|OB → |＝1，|OC → |＝23.若OC → ＝λOA → ＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝______.答案　6解析　方法一　如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC → ＝OB 1—→ ＋OA 1—→，因为OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23，所以|OB 1—→ |＝2，|B 1C —→|＝4，所以|OA 1—→ |＝|B 1C —→|＝4，所以OC → ＝4OA → ＋2OB → ，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二　以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B (－12，32)，C (3，3)．由OC → ＝λOA → ＋μOB → ，得Error!解得Error!所以λ＋μ＝6.教师备选1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB → ＝a ，AC → ＝b ，则向量AD →等于( )A ．a ＋b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a ＋23b答案　C解析　设圆的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，所以∠BAC ＝π3，∠ACB ＝π6，又∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，所以∠ACB ＝∠BAD ＝∠CAD ＝π6，则根据圆的性质得BD ＝AB ，又因为在Rt △ABC 中，AB ＝12AC ＝r ＝OD ，所以四边形ABDO 为菱形，所以AD → ＝AB → ＋AO →＝a ＋12b .2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG → ＝λCD → ＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案　12解析　由题图可设CG → ＝xCE →(0<x <1)，则CG → ＝x (CB → ＋BE → )＝x (CB → ＋12CD →)＝x 2CD →＋xCB → .因为CG → ＝λCD → ＋μCB → ，CD → 与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.思维升华　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．跟踪训练1　(1)如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE → ＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14C ．1 D.516答案　A解析　DE → ＝12DA → ＋12DO→＝12DA → ＋14DB →＝12DA → ＋14(DA → ＋AB → )＝14AB → －34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.(2)如图，以向量OA → ＝a ，OB → ＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM → ＝13BC → ，CN → ＝13CD → ，则MN →＝________.(用a ，b 表示)答案　12a －16b解析　∵BA → ＝OA → －OB →＝a －b ，BM → ＝16BA → ＝16a －16b ，∴OM → ＝OB → ＋BM →＝b ＋(16a －16b )＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON → ＝OC → ＋13CD → ＝12OD → ＋16OD → ＝23OD → ＝23a ＋23b .∴MN → ＝ON → －OM → ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .题型二　平面向量的坐标运算例2　(1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.(133，83) B.(－133，－83)C.(133，43)D.(－133，－43)答案　D解析　∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )．∵a －2b ＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c ＝－13(a －2b )＝(－133，－43).(2)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE → ＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85 C ．2 D.83答案　B解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，∴C (2,0)，A (0,2)，B (1,2)，E (0,1)，∴CA → ＝(－2,2)，CE → ＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA → ＝λCE → ＋μDB → ，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴Error!解得Error!故λ＋μ＝85.教师备选已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC → ＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.(2，72)B.(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)答案　A解析　设D (x ，y )，则AD → ＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC → ＝2AD →，所以Error!解得Error!所以顶点D 的坐标为(2，72).思维升华　向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体．跟踪训练2　(1)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案　D解析　以向量a 和b 的交点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO → ＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则Error!解得Error!∴λμ＝－2－12＝4.(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP → ＝2PC → ，点Q 是AC 的中点，若PA → ＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则AQ → ＝________，BC →＝________.答案　(－3,2)　(－6,21)解析　AQ → ＝PQ → －PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC → ＝PA → ＋AC → ＝PA → ＋2AQ →＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，BC → ＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．题型三　向量共线的坐标表示例3　(1)已知a ＝(1,2＋sin x )，b ＝(2，cos x )，c ＝(－1,2)，若(a －b )∥c ，则锐角x 等于( )A ．15° B ．30°C ．45° D ．60°答案　C(2)已知在平面直角坐标系Oxy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3—→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则λ等于( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1答案　D解析　设OP 3—→＝(x ，y )，则由OP 3—→∥a 知x ＋y ＝0，所以OP 3—→＝(x ，－x )．若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即Error!所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.教师备选1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案　12解析　由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.2．已知O 为坐标原点，点A (6,3)，若点P 在直线OA 上，且|OP → |＝12|PA →|，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为________________________．答案　(4,2)或(－12，－6)解析　∵点P 在直线OA 上，∴OP → ∥PA →，又∵|OP → |＝12|PA → |，∴OP →＝±12PA → ，设点P (m ，n )，则OP → ＝(m ，n )，PA →＝(6－m ,3－n )．①若OP → ＝12PA →，则(m ，n )＝12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (2,1)，∵P 是OB 的中点，∴B (4,2)．②若OP →＝－12PA →，则(m ，n )＝－12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (－6，－3)，∵P 是OB 的中点，∴B (－12，－6)．综上所述，点B 的坐标为(4,2)或(－12，－6)．思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3　平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．解　(1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，|d －c|＝5，∴Error!解得Error!或Error!∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．课时精练1．(2022·泉州模拟)若向量AB → ＝(2,3)，AC → ＝(4,7)，则BC →等于( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案　B2．(2022·TOP300尖子生联考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC → ＋AB →＝0，则点C 的坐标为( )A.(12，12) B ．(－3,3)C ．(3，－3)D ．(－4,5)答案　D3．下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是( )A ．a ＝(1,2)，b ＝(0,0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3,5)C ．a ＝(3,2)，b ＝(9,6)D ．a ＝(－34，12)，b ＝(3，－2)答案　B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，b )，n ＝(cos B ，cos A )，则“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　D解析　由m ∥n ，得b cos B －a cos A ＝0，即sin B cos B ＝sin A cos A ，所以sin 2B ＝sin 2A ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形；反之，△ABC 是等腰三角形，若a ＝c ≠b ，则不能得到m ∥n ，所以“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．5．(多选)(2022·聊城一中模拟)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD的中点，AC 与BD 交于点M ，设AB → ＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是( )A.AC → ＝12a ＋b B.BC → ＝－12a ＋b C.BM → ＝－13a ＋23b D.EF → ＝－14a ＋b 答案　ABD解析　AC → ＝AD → ＋DC → ＝AD → ＋12AB → ＝12a ＋b ，故A 正确；BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝－12a ＋b ，故B 正确；BM → ＝BA → ＋AM → ＝－AB → ＋23AC → ＝－23a ＋23b ，故C 错误；EF → ＝EA → ＋AD → ＋DF → ＝－12AB → ＋AD → ＋14AB → ＝－14a ＋b ，故D 正确．6．(多选)已知向量OA → ＝(1，－3)，OB → ＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2 B.12C ．1D ．－1答案　ABD解析　各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB → ＝OB → －OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC → ＝OC → －OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，A ，B ，C 三点就可构成三角形．7．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，若点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案　(2,4)解析　∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC → ＝2AB →，设点D 的坐标为(x ，y )，则DC → ＝(4－x ,2－y )，又AB →＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即Error!∴Error!∴点D 的坐标为(2,4)．8．(2022·开封模拟)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．若(2m ＋n )∥(m －2n )，则λ＝________.答案　0解析　由题意得，2m ＋n ＝(3λ＋4,4)，m －2n ＝(－λ－3，－3)，∵(2m ＋n )∥(m －2n )，∴－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA → ＝c ，且CM → ＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解　由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一　∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴Error!解得Error!方法二　∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，又a ＝m b ＋n c ，∴m b ＋n c ＝－b －c ，∴Error!(3)设O 为坐标原点，∵CM → ＝OM → －OC →＝3c ，∴OM → ＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN → ＝ON → －OC →＝－2b ，∴ON → ＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB → ＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解　(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，解得k ＝－12.(2)方法一　∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴Error!解得m ＝32.方法二　AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.11．(2022·金华模拟)已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(sin B －sin A ，3a ＋c )，n ＝(sin C ，a ＋b )，且m ∥n ，则B 的大小是( )A.π6B.5π6C.π3D.2π3答案　B解析　因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )＝sin C (3a ＋c )．由正弦定理得(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32.又0<B <π，所以B ＝5π6.12．(多选)如图，B 是AC 的中点，BE → ＝2OB → ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP →＝xOA → ＋yOB → (x ，y ∈R )，则下列结论中正确的是( )A ．当x ＝0时，y ∈[2,3]B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．当P 在C 点时，x ＝1，y ＝2答案　BC解析　当OP → ＝y OB →时，点P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故A 中结论错误；当P 是线段CE 的中点时，OP → ＝OE → ＋EP → ＝3OB → ＋12(EB →＋BC → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋AB → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋OB → －OA → )＝－12OA → ＋52OB →，故B 中结论正确；当x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故P 的轨迹是一条线段，故C 中结论正确；因为OB → ＝12(OC →＋OA → )，所以OC → ＝2OB → －OA →，则OP → ＝－OA → ＋2OB →，所以x ＝－1，y ＝2，D 错误．13．已知|OA → |＝1，|OB → |＝3，OA → ·OB → ＝0，点C 在∠AOB 内，且OC → 与OA → 的夹角为30°，设OC →＝mOA → ＋nOB → (m ，n ∈R )，则m n的值为______．答案　3解析　∵OA → ·OB →＝0，∴OA → ⊥OB →，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则OA → ＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA → ＋nOB → ＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3nm ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3.14．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM → ＝34AB → ＋14AC →.则△ABM 与△ABC 的面积之比为________；若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO → ＝xBM → ＋yBN →，则x ＋y ＝________.答案　1∶4　107解析　由AM → ＝34AB → ＋14AC →，可知点M ，B ，C 三点共线，令BM → ＝λBC →(λ∈R )，则AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋λBC → ＝AB → ＋λ(AC → －AB → )＝(1－λ)AB → ＋λAC →，所以λ＝14，即点M 在边BC 上，如图所示，所以S△ABM S △ABC ＝BM BC ＝14.由BO → ＝xBM → ＋yBN →，得BO → ＝xBM → ＋y 2BA →，BO → ＝x 4BC →＋yBN → ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线得Error!解得Error!所以x ＋y ＝107.15．若{α，β}是一个基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a 在基底{p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a 在基底{m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)}下的坐标为______．答案　(0,2)解析　因为a 在基底{p ，q }下的坐标为(－2,2)，所以a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以Error!即Error!所以a 在基底{m ，n }下的坐标为(0,2)．16．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG → ＝λPQ → ，将OG → 用λ，OP → ，OQ →表示；(2)设OP → ＝xOA → ，OQ → ＝yOB → ，求证：1x ＋1y是定值．(1)解　OG → ＝OP → ＋PG →＝OP → ＋λPQ →＝OP → ＋λ(OQ → －OP →)＝(1－λ)OP → ＋λOQ →.(2)证明　由(1)得OG → ＝(1－λ)OP → ＋λOQ →＝(1－λ)xOA → ＋λy OB →，因为G 是△OAB 的重心，所以OG → ＝23OM → ＝23×12(OA →＋OB → )＝13OA → ＋13OB → .又OA → ，OB →不共线，所以Error!解得Error!所以1x ＋1y ＝3，即1x ＋1y 为定值．。

2019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量基本定理的应用． 2．考查坐标表示下向量共线条件． 【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算．基础梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA→＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)． 答案 C2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b解析 设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴c ＝3a －b . 答案 B3．(xx·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析 设a ＝λb (λ＜0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ＜0，∴m ＝－1. 答案 A4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6) 解析 设c ＝(x ，y )， 则4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－6－2＋x ＝0，－12＋12＋6＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－6.答案 C5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(1，m －1)．∵(a ＋b )∥c ，∴2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－1. 答案 －1考向一 平面向量基本定理的应用【例1】►(xx·南京质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.答案 12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析 以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2，则AB →＝(2,0)，AC →＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3， 3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )．即有⎩⎨⎧2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.另解：AD →＝AF →＋FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 答案 1＋32 32考向二 平面向量的坐标运算【例2】►(xx·合肥模拟)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.[审题视点] 求CA →，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N . 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)．∴CM →＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N (9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【训练2】 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析 由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 B考向三 平面向量共线的坐标运算【例3】►已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方[审题视点] 根据共线条件求k ，然后判断方向．解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0. 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )．即两个向量恰好方向相反， 故题设的实数k 存在．向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 【训练3】 (xx·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．∵(c ＋a )∥b ，∴－3×(1＋m )＝2×(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.答案 D阅卷报告5——平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解．【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等．【示例】►(xx·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →误．＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝错因 搞错向量的夹角或计算错 实录 －12(填错的结论多种)．正解 由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案 －14【试一试】 (xx·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． [尝试解析]以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 52019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第3讲 平面向量的数量积教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系． 【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别的，a ·a ＝|a |2或者|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝a ·b |a ||b |；(5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a ；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 6．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (2)|a |＝x 21＋y 21； (3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.7．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝a ，则|a |＝x 1－x 22＋y 1－y 22(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 两个探究(1)若a ·b ＞0，能否说明a 和b 的夹角为锐角？ (2)若a ·b ＜0，能否说明a 和b 的夹角为钝角？ 三个防范(1)若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c 若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )． A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π4 解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案 C2．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )答案 D3．(xx·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0解析 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )． A ．9 B ．4 C ．0 D ．－4 解析 a －b ＝(1－x,4)． 由a ⊥(a －b )，得1－x ＋8＝0. ∴x ＝9. 答案 A5．(xx·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． 解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )(a －b )＝－2， 得a ·b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]所以〈a ，b 〉＝π3. 答案π3考向一 求两平面向量的数量积【例1】►(xx·合肥模拟)在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝________.[审题视点] 由M 是BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →.解析 如图，因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49，故填－49.答案 －49当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识． 【训练1】 如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.解析 AB →＝AO →＋OB →，故CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝CA →·AO →＋CA →·OB →.而AO →＝－12CA →，CA →⊥OB →.所以CA →·AB →＝－12CA 2＝－8.答案 －8考向二 利用平面向量数量积求夹角与模【例2】►已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得a ·b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，解得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， ∴|a ＋b |＝13.|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．【训练2】 已知a 与b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解 设a 与a ＋b 的夹角为θ，由|a |＝|b |得|a |2＝|b |2. 又由|b |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2.∴a ·b ＝12|a |2， 而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |. ∴cos θ＝a a ＋b |a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.考向三 平面向量的数量积与垂直问题【例3】►已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.[审题视点] 利用a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0及a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，求解．解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，∴|a －b |＝－2＋02＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．【训练3】 已知平面内A ，B ，C 三点在同一条直线上，OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．解 由于A ，B ，C 三点在同一条直线上，则AC →∥AB →，AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )，AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2,1－m )，∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0，即mn ＋n －5m ＋9＝0，①又∵OA →⊥OB →，∴－2n ＋m ＝0.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝32.规范解答10——如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】 平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题．【解决方案】 解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答．【示例】► (本题满分12分)(xx·安徽)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．先求sin A ，再利用面积公式求bc ，最后利用数量积及余弦定理可解决．[解答示范] 由cos A ＝1213，得sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.(2分) 又12bc sin A ＝30， ∴bc ＝156.(4分)(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144(8分) (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，又a ＞0(10分) ∴a ＝5.(12分)三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．【试一试】 已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，设AB →与BC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．[尝试解答] (1)∵AB →·BC →＝6，∴|AB →|·|BC →|·cos θ＝6.∴|AB →|·|BC →|＝6cos θ. 又∵S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝3tan θ， ∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴π6≤θ≤π4. (2)f (θ)＝1＋2cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋2， 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤712π，34π. ∴当2θ＋π4＝34π即θ＝π4时，f (θ)min ＝3.。