第8章 相量法
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重点掌握正弦稳态电路“相量 法”求解的固定解题套路 。 求解的固定解题套路。 重点理解“正弦量运算”和“相 量运算”之间的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
•∵
F
θ
o
a +1
a = | F ||cos cosθ
b = | F |sinθ
F = | F | (cos θ + j sin θ )
模 | F |= a +b
jθ
2 2
b 辐角 θ = arctan( ) a
由欧拉公式： e
= cos θ + j sin θ ，想到 ……
3、指数形式
根据欧拉公式：
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
0
i 2 ( t ) Rdt = I 2 RT
I t
def
t
I =
1 T
运算 映射
1 ̇ I jω
̇ = U C 1 × İC jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
映射
§8-3 相量法基础
因为： 正弦量的微积分运算
diL 电感VCR： u L = L dt
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
映射为
小 结
相量的乘法运算
★★★
̇ = jω L × I ̇ U L L
四、同频正弦量的相位差 同频
i1 ( t ) = i2 (t ) =
相位差：
2 I 1 cos( ω t + ϕ 1 )
2 I 2 cos( ω t + ϕ 2 )
习惯上相位差 ∈[ 0°,180°]
ϕ 1 − ϕ 2 = 30°——i1超前i2 30°
-20°—— 滞后20° 200°——滞后160° 0° ——同相 18 0°或 —18 0°——反相 180 180
或 几何解法：基于矢量加减思想，画图求解
+j
F1
F1 + F2
F1
F2
F1 − F2
F2
+1
o
复平面坐标
o
极坐标
2. 乘除：建议先转化为极坐标形式★
F1 F2 = | F1 || F2 | e
j (θ 1 + θ 2 )
= | F1 || F2 | ∠ (θ 1 + θ 2 )
F1 F1 | F1 | j ( θ 1 − θ 2 ) e = =| | ∠ (θ1 − θ 2 ) F2 F2 | F2 |
e jθ = cos θ + j sin θ
jθ
F =| F | e
例： e
π j 2
= j
|F|
0
1+ e
jπ
=0
4、极坐标形式
θ
F =| F | ∠ θ
思考：复数与实数的本质区别？
能表达二维信息
二、复数的运算
1. 加减： 建议先转化为代数形式★
F1 ± F2 = ( a1 ± a 2 ) + j (b1 ± b2 )
̇ 定义为相量 I
问题：1）如何用相量（复数）来映射正弦量？
2）这样做的好处是什么？ ——正弦量之间所有运算都变简单 ! 一、加减运算 设： i1 =
2 I 1 cos( ω t + ϕ 1 )
j ( ω t + ϕ1 )
映射 映射
i2 = 2 I 2 cos(ω t + ϕ 2 )
则：
̇ = I ∠ϕ I 1 1 1 ̇ = I ∠ϕ I 2 2 2
电阻 U = R ⋅ I
受控源 U j = µ U k ……
̇ = Z×I ̇ VCR： 阻抗元件U
VCR：
̇ = µU ̇ 受控源 U j k ……
两大约束形式完全一样！则推导出的各种列方程的方法一致！
重要结论：对于正弦稳态电路，先转化为相量形式电路图，然 后前四章所学的所有列方程的知识均可用！！！
全响应 = 稳态分量 + 暂态分量 低频时可忽略
（是微分方程的特解） 与外电源形式相同
∴当电源是低频的正弦激励时，解≈正弦形式的稳态解 简称“正弦稳态解”
★正弦稳态电路： 本质上还是动态电路，但是具有两大特征：
“正弦”——全部激励源都是同一频率的正弦交流电源； “稳态”——电源是低频的，所以全响应≈稳态分量。
第八章 相量法简介
—— 求解“正弦稳态电路”的专用方法
课件符号： ★ 重要 * 大纲之外的知识扩展
制作：西安理工大学 王馨梅
首要问题：什么是“正弦稳态电路”呢？
当R = 1Ω，L = 2H，iL (0 + ) = 3A且电源uS (t ) = 10 cos 2t V时：
t > 0换路后： iL (t ) = 2.43 cos(2t − 76� ) + 2.4e − 0.5t A
求相位差时注意： （1）两个正弦量同频率！ （2）两个正弦量应同为cos（或同为sin）
例： cos(100t+30°)和 sin(100t+150°)，求相位差。
回忆： sin(ϕ ) = cos(ϕ − 90 )
�
§ §8-3 8-3 相量法基础 相量法基础
问题：1）如何用相量（复数）来映射正弦量？
1∠ ϕ
——称为“旋转因子”
学生练习： 已知： 求：
° F1=3+j4 ， F2= 2 2∠-45 -45° F1+F2=? F1/F2=?
§ §8-2 8-2
正弦量 正弦量（ （ sinusoidal ） sinusoidal quantity quantity ）
= I m cos( ω t + ϕ i )
ϕu
ϕi
° ★电感电压超前电流90 90°
3、电容
iC
+
C uC
–
映射
̇ I C
+
1 jω C
̇ U C
–
1 关联时： u C＝ ∫ iC dt C
̇ I C
̇ U C
映射
̇ = U C
1 ̇ ×I C jω C
ϕi
ϕu
° ★电容电压滞后电流90 90°
学生练习： 218页 题8-13
̇ = 公式对比： U R
学生练习： 217页 题8-8 （2）
*相量的严格数学定义：
i=
2 I cos( ω t + ϕ i )
= Re { 2 I [ cos( ω t + ϕ i ) + j sin( ω t + ϕ i ) ]} = Re[ 2 Ie
j (ω t +ϕ i )
]
= Re[
2 Ie
jϕ i
e
jω t
]
相量形式的解
例:已知 i
� ( t ) = 5 2 cos( 1000 t + 43 )A S
iS
+
3Ω
4 mH
1mF
第1问：求电压 u (t )
u
解：是正弦稳态电路，画相量形式的电路模型图
̇ I S
+
3Ω
j4Ω
- j1Ω
̇ U
Z eq
设 İS = 5 ∠ 43 � A （参考相量）
̇ = 5∠0� A 如果设I S
用相量法求解正弦稳态电路的步骤
第1步：判断是否是正弦稳态电路 ——是，则用相量法求解 第2步：映射为
时域电路图
用前4章所学知识列方程
相量形式电路图
第3步：设参考相量 用前4章所学知识列方程
列高阶微分方程
解三角函数 的微分方程 （难！）
列相量的代数方程
第4步：求解（复数运算，易！）
正弦稳态解
第5步：映射为
2）这样做的好处是什么？
映射规则：
—— > 复数的模 正弦量的有效值 < <—— ——> —— > 复数的辐角 正弦量的初相角 < <—— ——>
i2 (t ) = 2 I 2 cos(ωt + ϕ 2 )
映射
İ2 = I 2 ∠ ϕ 2
只有映射电压或电流正弦量的复数，才能被称作“相量”(phasor)。
̇ = U C 1 ̇ ×I C jω C
★★★
所以： 正弦量的微分方程
映射
相量的代数方程
§ §8-4 8-4 相量形式的电路定律 相量形式的电路定律
一、基尔霍夫定律的相量形式
∑ i (t ) = 0
∑ u (t ) = 0
映射 映射
∑ İ = 0
̇ U R
̇ = 0 ∑U
̇ I R
ϕi
ϕu
电阻的电压电流同相
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 � )
�
= ω ⋅ 2 I cos(ωt + ϕ + 90 )
结论：
映射
̇ ω∠90� × I
di dt
运算 映射
j ω İ
重要应用：
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
•∵
F
θ
o
a +1
a = | F ||cos cosθ
b = | F |sinθ
F = | F | (cos θ + j sin θ )
模 | F |= a +b
jθ
2 2
b 辐角 θ = arctan( ) a
由欧拉公式： e
= cos θ + j sin θ ，想到 ……
3、指数形式
根据欧拉公式：
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
0
i 2 ( t ) Rdt = I 2 RT
I t
def
t
I =
1 T
运算 映射
1 ̇ I jω
̇ = U C 1 × İC jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
映射
§8-3 相量法基础
因为： 正弦量的微积分运算
diL 电感VCR： u L = L dt
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
映射为
小 结
相量的乘法运算
★★★
̇ = jω L × I ̇ U L L
四、同频正弦量的相位差 同频
i1 ( t ) = i2 (t ) =
相位差：
2 I 1 cos( ω t + ϕ 1 )
2 I 2 cos( ω t + ϕ 2 )
习惯上相位差 ∈[ 0°,180°]
ϕ 1 − ϕ 2 = 30°——i1超前i2 30°
-20°—— 滞后20° 200°——滞后160° 0° ——同相 18 0°或 —18 0°——反相 180 180
或 几何解法：基于矢量加减思想，画图求解
+j
F1
F1 + F2
F1
F2
F1 − F2
F2
+1
o
复平面坐标
o
极坐标
2. 乘除：建议先转化为极坐标形式★
F1 F2 = | F1 || F2 | e
j (θ 1 + θ 2 )
= | F1 || F2 | ∠ (θ 1 + θ 2 )
F1 F1 | F1 | j ( θ 1 − θ 2 ) e = =| | ∠ (θ1 − θ 2 ) F2 F2 | F2 |
e jθ = cos θ + j sin θ
jθ
F =| F | e
例： e
π j 2
= j
|F|
0
1+ e
jπ
=0
4、极坐标形式
θ
F =| F | ∠ θ
思考：复数与实数的本质区别？
能表达二维信息
二、复数的运算
1. 加减： 建议先转化为代数形式★
F1 ± F2 = ( a1 ± a 2 ) + j (b1 ± b2 )
̇ 定义为相量 I
问题：1）如何用相量（复数）来映射正弦量？
2）这样做的好处是什么？ ——正弦量之间所有运算都变简单 ! 一、加减运算 设： i1 =
2 I 1 cos( ω t + ϕ 1 )
j ( ω t + ϕ1 )
映射 映射
i2 = 2 I 2 cos(ω t + ϕ 2 )
则：
̇ = I ∠ϕ I 1 1 1 ̇ = I ∠ϕ I 2 2 2
电阻 U = R ⋅ I
受控源 U j = µ U k ……
̇ = Z×I ̇ VCR： 阻抗元件U
VCR：
̇ = µU ̇ 受控源 U j k ……
两大约束形式完全一样！则推导出的各种列方程的方法一致！
重要结论：对于正弦稳态电路，先转化为相量形式电路图，然 后前四章所学的所有列方程的知识均可用！！！
全响应 = 稳态分量 + 暂态分量 低频时可忽略
（是微分方程的特解） 与外电源形式相同
∴当电源是低频的正弦激励时，解≈正弦形式的稳态解 简称“正弦稳态解”
★正弦稳态电路： 本质上还是动态电路，但是具有两大特征：
“正弦”——全部激励源都是同一频率的正弦交流电源； “稳态”——电源是低频的，所以全响应≈稳态分量。
第八章 相量法简介
—— 求解“正弦稳态电路”的专用方法
课件符号： ★ 重要 * 大纲之外的知识扩展
制作：西安理工大学 王馨梅
首要问题：什么是“正弦稳态电路”呢？
当R = 1Ω，L = 2H，iL (0 + ) = 3A且电源uS (t ) = 10 cos 2t V时：
t > 0换路后： iL (t ) = 2.43 cos(2t − 76� ) + 2.4e − 0.5t A
求相位差时注意： （1）两个正弦量同频率！ （2）两个正弦量应同为cos（或同为sin）
例： cos(100t+30°)和 sin(100t+150°)，求相位差。
回忆： sin(ϕ ) = cos(ϕ − 90 )
�
§ §8-3 8-3 相量法基础 相量法基础
问题：1）如何用相量（复数）来映射正弦量？
1∠ ϕ
——称为“旋转因子”
学生练习： 已知： 求：
° F1=3+j4 ， F2= 2 2∠-45 -45° F1+F2=? F1/F2=?
§ §8-2 8-2
正弦量 正弦量（ （ sinusoidal ） sinusoidal quantity quantity ）
= I m cos( ω t + ϕ i )
ϕu
ϕi
° ★电感电压超前电流90 90°
3、电容
iC
+
C uC
–
映射
̇ I C
+
1 jω C
̇ U C
–
1 关联时： u C＝ ∫ iC dt C
̇ I C
̇ U C
映射
̇ = U C
1 ̇ ×I C jω C
ϕi
ϕu
° ★电容电压滞后电流90 90°
学生练习： 218页 题8-13
̇ = 公式对比： U R
学生练习： 217页 题8-8 （2）
*相量的严格数学定义：
i=
2 I cos( ω t + ϕ i )
= Re { 2 I [ cos( ω t + ϕ i ) + j sin( ω t + ϕ i ) ]} = Re[ 2 Ie
j (ω t +ϕ i )
]
= Re[
2 Ie
jϕ i
e
jω t
]
相量形式的解
例:已知 i
� ( t ) = 5 2 cos( 1000 t + 43 )A S
iS
+
3Ω
4 mH
1mF
第1问：求电压 u (t )
u
解：是正弦稳态电路，画相量形式的电路模型图
̇ I S
+
3Ω
j4Ω
- j1Ω
̇ U
Z eq
设 İS = 5 ∠ 43 � A （参考相量）
̇ = 5∠0� A 如果设I S
用相量法求解正弦稳态电路的步骤
第1步：判断是否是正弦稳态电路 ——是，则用相量法求解 第2步：映射为
时域电路图
用前4章所学知识列方程
相量形式电路图
第3步：设参考相量 用前4章所学知识列方程
列高阶微分方程
解三角函数 的微分方程 （难！）
列相量的代数方程
第4步：求解（复数运算，易！）
正弦稳态解
第5步：映射为
2）这样做的好处是什么？
映射规则：
—— > 复数的模 正弦量的有效值 < <—— ——> —— > 复数的辐角 正弦量的初相角 < <—— ——>
i2 (t ) = 2 I 2 cos(ωt + ϕ 2 )
映射
İ2 = I 2 ∠ ϕ 2
只有映射电压或电流正弦量的复数，才能被称作“相量”(phasor)。
̇ = U C 1 ̇ ×I C jω C
★★★
所以： 正弦量的微分方程
映射
相量的代数方程
§ §8-4 8-4 相量形式的电路定律 相量形式的电路定律
一、基尔霍夫定律的相量形式
∑ i (t ) = 0
∑ u (t ) = 0
映射 映射
∑ İ = 0
̇ U R
̇ = 0 ∑U
̇ I R
ϕi
ϕu
电阻的电压电流同相
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 � )
�
= ω ⋅ 2 I cos(ωt + ϕ + 90 )
结论：
映射
̇ ω∠90� × I
di dt
运算 映射
j ω İ
重要应用：
