高等数学(工本)自考题-6_真题(含答案与解析)-交互
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高等数学(工本)自考题-6
(总分100, 做题时间90分钟)
一、单项选择题
(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)
1.
函数定义域是( )
A．(x，y)|1≤x2+y2＜4 B．(x，y)|1＜x2+y2≤4
C．(x，y)|1＜x2+y2＜4 D．(x，y)|1≤x2+y2≤4
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 3
答案:C
[解析] 主要考查的知识点为函数的定义域．
[要点透析] 由题意知故选C.
2.
下列结沦不正确的是( )
A．点(0，0)是曲线y=x2的驻点 B．x=0是函数y=x2的极小值点
C．y=0是函数y=x2的极小值 D．点(0，0)不是曲线y=x2的拐点
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 3
答案:D
[解析] 主要考查的知识点为函数的极值．
[要点透析] 函数y=x2的图形，如下图所示，我们可以由图形直接观察出A、B、C正确，D选项错误．
3.
交换积分顺序，则( )
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 3
答案:D
[解析] 主要考查的知识点为交换积分顺序．
[要点透析] 由二重积分可知，积分区域D：0＜x＜1，，如下图所
示，故原积分．
4.
微分方程y″=ex的通解是(
)
A．ex+C1x+C2 B．ex
C．ex+C1x D．ex+C1
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 3
答案:A
[解析] 主要考查的知识点为微分方程的通解．
[要点透析] y″=ex，两边同时积分y′=ex+C1，两边再同时积分y=ex+C1x+C2．
5.
设无穷级数收敛，则( )
A．p＞1 B．p＜-1
C．p＜1 D．p＞-1
SSS_SIMPLE_SIN
A B C D
分值: 3
答案:B
[解析] 主要考查的知识点为p级数．
[要点透析] 无穷级数，当-p＞1，即P＜-1时收敛，故选B．
二、填空题
6.
过点(1，4，-1)并且平行于Oyz坐标面的平面方程为______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:x-1=0
[解析] 主要考查的知识点为平面方程的求法及特殊位置的平面．
[要点透析] 因为所求的平面平行于Oyz坐标面，故设其万程为Ax+D=0，又因为该平面过点(1，4，-1)，所以A+D=0，即A=-D，因此所求平面方程为x-1=0．
7.
设函数z=exy(x2+y-1)，则______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:exy(x2y+2x+y2-y)
[解析] 主要考查的知识点为函数的一阶偏导数．
[要点透析]
函数z=exy(x2+y-1)，则
yexy(x2+y-1)+exy(2x)=exy(x2y+y2-y)+2xexy=exy(x2y+2x+y2-y)
8.
设∑为平面x+y+z=1，第一卦限中的部分，对面积的曲面积分______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:
[解析] 主要考查的知识点为面积的曲面积分．
[要点透析]
9.
已知y1=ex，y2=x2是微分方程y′+P(x)y=Q(x)的两个特解，则Q(x)=______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:
[解析] 主要考查的知识点为微分方程的特解．
[要点透析] 将y1=ex，y2=x2代入微分方程y′+P(x)y=Q(x)得
解方程组得
10.
无穷级数的和为______．
SSS_FILL
分值: 2
答案:
[解析]
主要考查的知识点为无穷级数的和． [要点透析]
故所求无穷级数的和为
三、计算题
11.
求过点(2，4，-1)并且与直线平行的直线方程．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为利用直线间的关系求直线方程．
[要点透析] 直线的方向向量为
因为所求的直线过(2，4，-1)，故其方程式为
12.
设函数z=f(exy，x+y)，其中f是可微函数，求．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为复合函数一阶求导．
[要点透析] =xexyf1+f2
13.
设函数f(x，y，z)=x2+2y2+2xyz，求f(x，y，z)在点p(-1，1，2)处的梯度．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为函数的梯度．
[要点透析] ，，则，，故gardf(-1，1，2)={2，0，-2}．
14.
设函数z=ycosx，求．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为函数的高阶偏导数．
[要点透析]
15.
求曲面z=2x2+y2在点(1，1，3)处的切平面方程．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为曲面的切平面方程．
[要点透析] 令F(x，y，z)=2x2+y2-z，
故所求切平面方程为4(x-1)+2(y-1)-(z-3)=0．
16.
计算二重积分，其中D是由x+y=-1，x=0，y=0所围成的区域．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为二重积分的计算．
[要点透析] 积分区域D，如下图所示，于是
17.
设Ω是由旋转抛物面z=x2+y2，平面z=0及平面z=1所围成的区域，求三重积分.
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为柱坐标下二三重积分的计算．
[要点透析] 积分区域Ω，如下图所示.Ω在Oxy坐标面上的投影域为Dxy：x2+y2≤1，
18.
计算对弧长的曲线积分，其中L为螺旋线x=cost，y=sint，z=2t(0≤t≤π)的一段．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为对弧长的曲线积分．
[要点透析]
19.
计算曲线积分，其中L为上半圆x2+y2=4和y=0所围成的曲线，取逆时针方向．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为用格林公式计算曲线积分．
[要点透析] 令P(x，y)=x2y，Q(x，y)=-xy2，则，将L所围成的积分区域记为D，根据格林公式有
20.
求微分方程y′=ex-y满足初始条件y(0)=1的特解.
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为可分离变量微分方程求特解．
[要点透析] y′=ex-y，即eydy=exdx
两边同时积分得ey=ex+C，
将初始条件y(0)=1代入得C=e-1，
故微分方程的特解为ey-ex-e=-1．
21.
判定级数的收敛性．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为无穷级数的敛做性(比较判刖法)．
[要点透析] 由于当x＞0时，sinx＜x，所以，
令，又因为是等比级数，其中，故收敛级数．
由比较判别法可知收敛．
22.
设函数f(x)=x2(0≤x≤π)展开成为余弦级数为，求系数a2．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为傅里叶系数．
[要点透析]
四、综合题
23.
设矩形的周长为4，如何选取矩形的长和宽．能使得矩形的面积最大．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为条件级值.
[要点透析] 设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则S=xy，x+y=2
构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-2)
解方程组
可得驻点x=1，y=1，λ=-1．
由于驻点惟一，且实际问题存在最大值，故(1，1)是问题的最大值点，最大值为S=1．
24.
求平面2x+2y+z=4在第一卦限部分的面积．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为重积分的应用．
[要点透析] 设所求曲面∑的面积为S，∑在Oxy面上投影区域为D：x+y≤2，则有∑：z=4-2x-2y，(x，y)∈D，故
25.
将函数展开成(x+1)的幂级数．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 5
答案:
[考点点击] 主要考查的知识点为幂级数的展开式．
[要点透析]
1
