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第二章 §4一、选择题1．设随机变量ξ服从二项分布B (6，12)，则P (ξ＝3)等于( )A.516 B.316 C.58 D.38[答案] A[解析] P (ξ＝3)＝C 36(12)3·(12)3＝516. 2．一名学生通过英语听力测试的概率为13，她模拟测试3次，至少有1次通过测试的概率为( )A.49 B.2027 C.1927 D.827 [答案] C[解析] 模拟测试3次相当于做了3次独立重复试验，“测试通过”即试验成功，则模拟测试3次通过测试的次数X ～B (3，13)，故所求概率为1－P (X ＝0)＝1－C 03(13)0(1－13)3＝1927. 3．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5[答案] B[解析] 质点P 移动五次后位于点(2,3)，即质点向上移动了2次，向右移动了3次，将质点移动5次视为做了5次独立重复试验，“向上移动”视为试验成功，设5次移动中向上移动的次数为X ，则X ～B (5，12)，所以P (X ＝2)＝C 25(12)2(12)3＝C 25(12)5. 4．如果X ～B (15，14)，则使P (X ＝k )最大的k 值是( )A ．3B ．4C ．4或5D ．3或4[答案] D[解析] P (X ＝k )＝C k 15(34)15－k (14)k，然后把选择项代入验证． 5．某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 最接近的是( )A ．3×10－4 B ．3×10－5 C ．3×10－6 D ．3×10－7[答案] B[解析] P ＝C 910(14)9(34)＋C 1010(14)10≈3×10－5. 二、填空题6．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案] 0.947 7[解析] 4人服用新药相当于做了4次独立重复试验，设服用新药的4个病人中被治愈的人数为X ，则X ～B (4,0.9)，所求概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34×0.93×0.11＋C 44×0.94×0.10＝0.291 6＋0.656 1＝0.947 7.7．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝34，则P (η≥1)＝________.[答案] 78[解析] 由P (ξ≥1)＝1－p (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝34得p ＝12，则P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－(1－p )3＝78.8．一射手对同一目标独立地进行了四次射击，已知他至少命中一次的概率为6581，则四次射击中，他命中3次的概率为________．[答案]881[解析] 设一次射击中，他命中的概率为p ，则他四次至少命中一次的概率为1－(1－p )4＝6581，解得p ＝13.∴他命中3次的概率为 P 4(3)＝C 34(13)3(1－13)＝881. 三、解答题9.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次3次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．[解析] (1)该射手射击了5次，其中只在第一，三，五次3次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二，四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083 125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 35种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝C 35×(35)3×(1－35)2＝216625. (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C 13种情况，故所求概率为P ＝C 13×(35)3×(1－35)2＝3243 125. 10.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游河漂而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 的概率分布．[解析] (1)解法一：记B 表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X ＝2,3,4,5. X ＝2表明第一次击中，第二次也击中， P (X ＝2)＝23×23＝49；X ＝3表明前2次击中一次，第3次击中，P (X ＝3)＝C 12(23)1(13)1×23＝827； X ＝4表明前3次击中一次，第4次击中， P (X ＝4)＝C 13(23)1(13)2×23＝427； X ＝5表明前4次击中一次，第5次击中， P (X ＝5)＝C 14(23)1(13)3×23＝1635. 所以P (B )＝49＋827＋427＋1635＝232243.解法二：利用P (B )＝1－P (B )．油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．所以P (B )＝1－(13)5－C 13(13)4×23＝232243. (2)X ＝2,3,4时同(1)，当X ＝5时，击中次数分别为0,1,2. ∴P (X ＝5)＝(13)5＋C 15(23)1(13)4＋C 14(23)1×(13)3×23＝19. 所以X 的概率分布为X 2 3 4 5 P4982742719[反思总结] 枪都未中或5枪中只中一枪或第5枪中且前4枪只中了1枪这三种情况，否则P (X ＝5)易出错，也可以用概率分布的性质间接检验.一、选择题1．在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B ．25C.56 D ．以上全不对[答案] A[解析] 设事件A 在1次试验中出现的概率为p .由二项分布的概率公式得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以(1－p )4＝1681，解得p ＝13.2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 依题意有C k 5×(12)k ×(12)5－k ＝C k ＋15×(12)k ＋1×(12)5－(k ＋1)，所以C k 5＝C k ＋15. 故有k ＋(k ＋1)＝5.∴k ＝2.3．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为X ，则P (X ≤2)等于( ) A ．C 210(16)2×(56)8 B ．C 110(16)×(59)9＋(56)10 C ．C 110(16)×(56)9＋C 210(16)2×(56)8D ．以上均不对 [答案] D[解析] 由题意，X ～B (10，16)，∴P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝(56)10＋C 110×16×(56)9＋C 210×(16)2×(56)8. ∴A 、B 、C 三选项均不对．4．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[答案] A[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A.二、填空题5．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一飞机来犯，则至少需要________门高射炮射击，才能以99%的概率击中它．[答案] 6[解析] 设需要n 门高射炮才可达到目的，用A 表示“命中飞机”这一事件，由题意得，没有命中飞机的概率为1－0.6＝0.4，故由对立事件的概率分式得P (A )＝1－0.4n .由题意得1－0.4n ≥0.99，∴n ≥5.02.故应取6.6．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他仅第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是________．[答案] ③[解析] “仅第3次击中目标”意味着其他各次均未击中，故①错；而“恰好击中目标3次”的概率为C 34×0.93×0.1，故②错；由于“至少击中目标1次”的对立事件为“一次都未击中目标”，所以概率为1－0.14.故③正确．三、解答题7.(2014·乌鲁木齐诊断)某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C .(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ＋BC ， ∵P (A )＝12×12＝14，P (B )＝2×12×(1－12)＝12，P (C )＝310，∴P (D )＝P (A ＋BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25.(2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4，A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i ＝0,1,2,3,4)， ∵P (A 0)＝C 04×(35)4＝81625， P (A 1)＝C 14×25×(35)3＝216625， P (A 2)＝C 24×(25)2×(35)2＝216625，P (A 3)＝C 34×(25)3×35＝96625， P (A 4)＝C 44×(25)4×(35)0＝16625. ∴X 的分布列为8.5局内谁先赢3局就算胜出，并停止比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； (2)求按比赛规则甲获胜的概率．[解析] 记事件A 为“甲打完3局才能取胜”，记事件B 为“甲打完4局才能取胜”，记事件C 为“甲打完5局才能取胜”．(1)①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜． ∴甲打完3局取胜的概率为P (A )＝C 33(12)3＝18. ②甲打完4局取才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，∴甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝C 23×(12)2×12×12＝316. ③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，∴甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝C 24×(12)2×(12)2×12＝316. (2)设事件D 为“按比赛规则甲获胜”，则D ＝A ∪B ∪C .又∵事件A 、B 、C 彼此互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝18＋316＋316＝12. 因此按比赛规则甲获胜的概率为12.。
高中数学北师大版选修2-3第二章《二项分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能:
(1)理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。
(2)能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法:在具体问题的解决过程中,领会二项分布需要满足的条件,培养运用概率模型解决实际问题的能力。
3、情感态度与价值观:在利用二项分布解决简单的实际问题过程中深化对某些随机现象的认识,进一步体会数学在日常生活中的广泛应用。
2学情分析
本节课是在学生学习了离散型随机变量的分布列、,互斥事件、相互独立事件、超几何分布的基础上学习的,学生对本节课内容的理解没有多大困难。
3重点难点
教学重点:理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。
教学难点:理解二项分布,利用二项分布解决简单的实际问题。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】二项分布（一）
1、若A、B是互斥事件,则 P(A+B)=?
2、若A、B是相互独立事件,则 P(AB)=?
3、求离散型随机变量的分布列的方法步骤?
4、超几何分布。
二项分布教学设计【教学课题】北师大版选修2-3第二章第四节二项分布（第1课时）【教学类型】新授课【课时】一课时【教材分析】“二项分布”是在“互斥事件”和“相互独立事件呢”以及“二项式定理”的基础上，对n次独立重复试验概率的深化研究，教材首先通过一个具体实例（4次射击中击中目标的次数）解决，即事件A在n次试验中发生次的概率的研究，得到离散型随机变量的一种重要的分布模型——二项分布，并通过“思考交流”深化对二项分布的理解与认识，通过例1阐述二项分布在解决某些随机问题中的作用。
【教学目标】1、知识与技能：理解n次独立重复试验及二项分布，并能利用二项分布的概率分布列解决相应的实际问题。
2过程与方法：通过自主探究，相互交流，从具体实例中归纳出教学概念，使学生充分体验知识的发现过程，并渗透有特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法，培养学生自主学习能力，数学建模能力。
3、情感、态度与价值观：通过概念的形成，培养学生的观察、抽象、归纳等能力，使学生体会数学的理性与严谨，了解数学思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。
【教学方法】采用学生自主探究，通过两个问题的比较，引导学生由特殊到一般，通过观察、发现归纳出n次独立重复试验的概念及满足的条件；再通过4次射击问题的分析，得到二项分布的概念，利用二项分布的概率分布列解决相应的实际问题，突出重点，突破难点。
所以本节的教学方法为自主探究与启发式相结合。
【教学手段】利用多媒体辅助教学，节省了时间，增大了信息量。
对于调动积极性有很大帮助。
【教学过程设计】 一、复习引入：1、离散型随机变量及其分布列：设离散型随机变量X 的所有可能取值为,...,21a a ，随机变量X 取i a 时对应的概率为,...)2,1(=i P i ，记作：,...)2,1()(===i P a X P i i则称上式为离散型随机变量X 的分布列。
或把上式列成表格：,...2,1,0=>i P i 1...21=++P P （M ≤N ）件次品。
§4 二项分布1．n 次独立重复试验进行n 次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为1－p ； (3)各次试验是相互独立的，则这n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．思考：二项分布与两点分布有什么关系？[提示] (1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A 发生(X ＝1)或不发生(X ＝0)；二项分布是指在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数X 的分布列，试验次数为n 次(每次试验的结果也只有两种：事件A 发生或不发生)，试验结果有n ＋1种：事件A 恰好发生0次，1次，2次，…，n 次．(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n ＝1的二项分布．1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( ) A ．34 B ．38 C ．13 D ．14B [抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38.]2．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．①②③ [由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．]3．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于________．80243 [P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.]4．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．38[抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38.]【例1】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．[解] (1)甲恰好击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝38. (2)乙至少击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2027.(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233·C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝118＋19＝16.独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验.(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.(2)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率；[解] (1)记“预报一次准确”为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此“5次预报中恰有2次准确”的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数．求(1)随机变量X 的分布列；(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．思路探究：求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率．[解] (1)由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝8125. ∴X 的分布列为(2)到”．因此有P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－27125＝98125.解决这类问题的一般步骤(1)判断所述问题是否是相互独立试验； (2)建立二项分布模型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列.2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列．[解]由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，P(X＝0)＝C02×0.952＝0.902 5；P(X＝1)＝C12×0.05×0.95＝0.095；P(X＝2)＝C22×0.052＝0.002 5.因此，次品数X的分布列如下：1．王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？[提示]做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示]服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示]不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．【例3】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．思路探究：(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23；(2)AB 表示事件A 、B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．[解] (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以ξ的分布列为0分”这一事件，所以AB ＝C ＋D ，且C ，D 互斥，又P (C )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23⎣⎢⎡ 23×13×12＋13×23×⎦⎥⎤12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得 P (AB )＝P (C )＋P (D ) ＝1034＋435＝3435 ＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． [解] (1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验．故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581，所以甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234－2＝827；P (B 2)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫343×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－344－3＝2764. 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.1．P (X ＝k )＝C k n ·p k (1－p )n －k .这里n 为试验次数，p 为每次试验中成功的概率，k 为n 次试验中成功的次数．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n 次；其三是各次试验相互独立.1.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有2次击中目标的概率为( )A ．81125B ．54125C ．36125D ．27125B [恰有两次击中目标的概率是C 23·0.62(1－0.6)＝54125.] 2．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A ．227B ．19C ．29D ．127B [每种颜色的球被抽取的概率为13，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝3×127＝19.] 3．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为________．4 [由1－C 0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>0.9，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<0.1，所以n ≥4.故n 的最小值为4.]4．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________.827[每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A 片区房源记为A ，则P (A )＝13，所以恰有2人申请A 片区的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.]5．某中学学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．[解] 由题意知，用X 表示成功的人数，则X 服从n ＝3，p ＝34的二项分布， 于是有P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫34k×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－343－k ，k ＝0,1,2,3. 所以X 的分布列为。
