2020届湖南省娄底市高三上学期期末教学质量检测数学理科试题

湖南省娄底地区2019-2020年度高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M={x∈Z|﹣3＜x＜0}，N={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A . {﹣2}B . {﹣2，﹣1}C . {﹣2，﹣1，0}D . {﹣2，﹣1，0，1}2. （2分） (2016高二下·赣州期末) =（）A . 1﹣2iB . 1+2iC . ﹣ iD . + i3. （2分）(2017·辽宁模拟) 已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且tanx0=3，则点（a，b）所在的直线为（）A . x﹣3y=0B . x+3y=0C . 3x﹣y=0D . 3x+y=04. （2分）已知向量= (－3 ,2 ) , =(x,－4) , 若，则x=（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分） (2016高一下·永年期末) 甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图）s1 ， s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是（填“＞”、“＜”或“=”）（）A . s1＞s2B . s1=s2C . s1＜s2D . 不确定6. （2分） (2016高三上·新津期中) 在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=240，则a9﹣ a11的值为（）A . 30B . 31C . 32D . 337. （2分）(2020·茂名模拟) 下列函数图象中，函数的图象不可能的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·牡丹江月考) 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三号盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（）A . 0.59B . 0.54C . 0.8D . 0.159. （2分） (2018高一下·长阳期末) 设x ， y满足，则z＝2x－y的最小值为（）A . ﹣5B . ﹣4C . 4D . 010. （2分）(2018·雅安模拟) 某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（）A .B .C .D .11. （2分）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1 ， a3 ，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A . 13，12B . 13，13C . 12，13D . 13，1412. （2分）设函数f（x）=+lnx，则（）A . x=为f（x）的极小值点B . x=2为f（x）的极大值点C . x=为f（x）的极大值点D . x=2为f（x）的极小值点二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·高淳期末) 在△ABC中角A，B，C对应边分别为a，b，c，若，那么c=________．14. （1分）(2017·沈阳模拟) 二项式（x+ ）6的展开式中的常数项为________．15. （1分）三棱锥A﹣BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=，则此三棱锥外接球的体积为________16. （1分） (2019高三上·鹤岗月考) 在中，角所对的边分别为的平分线交于点D ，且，则的最小值为________三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB+ccosC=acosA，试判断△ABC的形状．18. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知数列{an}中的前n项和为Sn= ，又an=log2bn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn．19. （10分） (2016高二上·衡水期中) 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2 ，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H= ．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．20. （10分）(2017·内江模拟) 某工厂为了解用电量y与气温x℃之间的关系，随机统计了5天的用电量与当天气温，得到如下统计表：8月18日8月25日曰期8月1曰8月7日8月14日平均气温（℃）3330323025用电量（万度）3835413630xiyi=5446， xi2=4538， = ， = ﹣（1）请根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象預报9月3日的平均气温是23℃，请预测9月3日的用电量；（结果保留整数）（2）请从表中任选两天，记用电量（万度）超过35的天数为ξ，求ξ的概率分布列，并求其数学期望和方差．21. （10分） (2015高二下·射阳期中) 如图，在半径为3m的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xm，圆柱的体积为Vm3 ．（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？22. （10分） (2017高二下·中原期末) 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．23. （5分）已知函数 f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式 f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较 2（a+b）与ab+4的大小．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2020年湖南省娄底市新化县第四中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的离心率为（）A． B． C．D．参考答案：B略2. 已知程序框图如右图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列的前10项和B．求数列的前10项和C．求数列的前11项和D．求数列的前11项和参考答案：答案：B3. 已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是( )A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．【点评】本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．4. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么(***). Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A5. 若，则( )A．B．C．D．参考答案：A6. 设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得sin2θ=1，综合选项可得结论．【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立∴当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．即g（﹣cosθ）=﹣+=sin2θ=1故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．7. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为( )A．B．（﹣2，1）C．D．参考答案：D【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），求出函数的周期，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），函数的周期为4，则f（﹣7）=f（8﹣7）=f（1）=﹣f（﹣1），又f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）==﹣f（﹣1），∴﹣＞﹣2，即，即解得a∈，故选：D．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8. 执行如图所示的程序框图，输出的s=（）A．5 B．20 C．60 D．120参考答案：C【考点】程序框图．【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的规律，然后根据运行的情况判断循环的次数，从而得出所求．【解答】解：第一次循环，s=1，a=5≥3，s=5，a=4；第二次循环，a=4≥3，s=20，a=3；第三次循环，a=3≥3，s=60，a=2，第四次循环，a=2＜3，输出s=60，故选：C．9. 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线离心率为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据已知可得关于a,b的方程组，解得、的值，再求出双曲线的离心率.【详解】圆的圆心，半径双曲线的右焦点坐标为，即，，①双曲线的一条渐近线方程为，到渐近线的距离等于半径，即②由①②解得：，，所以该双曲线的离心率为.故选：．【点睛】本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用10. 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（）Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3参考答案：答案：选C解析：由展开式通项有由题意得，故当时，正整数的最小值为5，故选C点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。

2020届湖南省娄底市高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．复数z 满足()214z i i +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2 B ．-2C ．2i -D ．2i【答案】A【解析】根据复数的乘法与除法运算,化简即可求得复数z .结合共轭复数的定义即可得z .【详解】将式子()214z i i +=化简可得()244221ii z ii ===+ 根据共轭复数定义可知2z = 故选:A 【点睛】本题考查了复数乘法与除法的运算,共轭复数的概念,属于基础题.2．已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝【答案】C【解析】解不等式可判断命题p ,根据不等式性质可判断q ,即可由复合命题的性质判断命题真假. 【详解】命题p :x R ∀∈,2230x x -+≥因为()2120x -+≥,所以命题p 为真命题命题q ：若22a b <,则a b <,当1,4a b ==-时不等式不成立,所以命题q 为假命题 由复合命题真假判断可知p q ∨为真命题;()p q ∨⌝为真命题;p q ⌝∨为假命题;()p q ⌝∨⌝为真命题 综上可知,C 为假命题 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,复合命题真假的判断,属于基础题.3．已知3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为（ ） A ．20 B ．30C ．40D ．50【答案】C【解析】根据二项式系数和可求得n 的值,由各项系数和可求得a 的值,进而由二项定理展开式的通项求得7x 的系数即可. 【详解】因为3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32 则232n =,解得5n =所以二项式为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式各项系数和为243令1x =,代入可得()5512433a ==+ 解得2a =所以二项式为532x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则该二项式展开式的通项为()5315415522rrr r r r r T C x C xx --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以当展开式为7x 时,即1547r x x -=解得2r =则展开式的系数为225241040C ⋅=⨯=故选：C【点睛】本题考查了二项定理的综合应用,二项式系数与项的系数概念,二项展开式的通项及应用,属于基础题.4．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ） A ．192 B ．48C ．24D ．88【答案】B【解析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列,设出第一天行走的里程,即可由等比数列的前n 项和公式,求得首项.即可求得第三天行走的路程里数. 【详解】由题意可知此人行走的里程数为等比数列 设第一天行走的路程为m ,且等比数列的公比为12q =则由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-代入可得6112378112m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 解得192m =根据等比数列的通项公式11n n a a q -=代入可得231192482a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故选:B 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的实际应用,对题意理解要正确,属于基础题.5．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为（ ） A ．34BC ．1 D【答案】B【解析】根据sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,再由正弦定理可得2b ac =.结合2c a =,代入余弦定理,即可求得cos B ,再由同角三角函数关系式即可求得sin B . 【详解】因为sin A ,sin B ,sin C 成等比数列 则2sin sin sin B A C =⋅ 由正弦定理sin ,sin ,sin ,222a b c A B B R R R===代入可得2b ac = 又因为2c a =,代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-代入化简可得2223cos 24b ac B ac +-==因为0B π<<,所以sin 0B >而由同角三角函数关系式,可知2237sin 1cos 144B B ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭故选:B 【点睛】本题考查了等比中项定义及应用,正弦定理与余弦定理解三角形,同角三角函数关系式应用,综合性强,但难度不大,属于中档题.6．执行如图的程序框图，若输出的6n =，则输入整数p 的最大值是( )A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】C【解析】根据程序框图的循环结构,依次运行,算出输出值为6n =时S 的值,使得S p <不成立时p 的值即可.【详解】根据程序框图可知,1,0n S == 则11021,2S n -=+==21123,3S n -=+== 31327,4S n -=+== 417215,5S n -=+== 5115231,6S n -=+==此时应输出6n =,需31p <不成立.因而整数p 的最大值为31 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据输出结果确定判读框,属于中档题.7．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为$1.31y x =-，则m 的值为（ ）A ．3.1B ．2.9C ．2D ．3【答案】A【解析】根据线性回归方程的性质可知,线性回归方程会经过样本的平均数点,代入即可求得m 的值. 【详解】 由表可知12342.54x +++==0.1 1.84 5.944m m y ++++==根据回归方程的性质可知,线性回归方程会经过样本的平均数点y 关于x 的线性回归方程为$1.31y x =-则满足5.9 1.3 2.514m+=⨯-解方程求得 3.1m = 故选:A 【点睛】本题考查了线性回归方程的性质,线性回归方程必经过样本的平均数点,即可求得样本中的未知量,属于基础题.8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A．12B1C．12- D1【答案】D【解析】可解得点A 、B 坐标，由AF BF ⊥，得0AF BF =u u u r u u u rg ，把222b a c =-代入该式整理后两边同除以4a ，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围 【详解】解：由22221x y a b y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得x =，分别代入y =，A ∴，(B，，∴AF c =u u u r，(BF c =-u u u r，AF BF ⊥Q∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b=--=++u u u r u u u r g ，2222243a b c a b ∴=+，(*)把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-， 两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得24e =-1e ∴=，故选：D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．9．如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3DC BD =u u u v u u u v ，2AD =u u uv ，则AC AD ⋅u u u v u u u v 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】根据题意,建立平面直角坐标系.表示出各个点的坐标,利用向量数量积的坐标运算即可求得AC AD ⋅u u u r u u u r. 【详解】根据题意,由AD AB ⊥可建立如下图所示的平面直角坐标系:过C 作CE AD ⊥交x 轴于E .设AB a =因为3DC BD =u u u r u u u r ,2AD =u u ur则由BAD CED ∆∆:,所以3,6CE a DE == 所以()8,3C a -所以()()8,3,2,0AC a AD =-=u u u r u u u r则()()8,32,016AC AD a ⋅=-⋅=u u u r u u u r 故选:D 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系,利用坐标法求向量的数量积,属于基础题. 10．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且()23000,50X N :.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若()2,X Nμσ:，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.9772【答案】D【解析】根据正态分布符合()23000,50X N :,可求得旅客人数在22X μσμσ-<≤+内的概率.结合正态分布的对称性,即可求得旅客人数不超过3100的概率. 【详解】每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ,且()23000,50X N :根据3σ原则可知30001003000100X -<≤+则()0.9544P X =由正态分布的对称性可知()0.9544300031000.47722P X <≤== 则()31000.47720.50.9772P X ≤=+= 故选:D 【点睛】本题考查了正态分布的应用,3σ原则求概率问题,属于基础题.11．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线 ②圆 ③椭圆 ④抛物线 A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②④【答案】A【解析】讨论两根电线杆是否相等.当两个电线杆的高度相等时,到上端仰角相等的点在地面上为两根电线底部连线的垂直平分线.当两个电线杆的高度不同时,在底面建立平面直角坐标系,可根据轨迹方程的求法求解. 【详解】当两根电线杆的高度相等时,因为在水平地面上视它们上端仰角相等所以由垂直平分线的定义可知,点P 的轨迹为两根电线底部连线的垂直平分线,即轨迹为一条直线当两根电线的高度不同时,如下图所示:在地面上以B 为原点,以BD 所在直线为y 轴 设(),,AB n CD m n m ==>,()(),0,,,BD a D a P x y ==,由题意可知,APB CPD ∠=∠,即tan tan APB CPD ∠=∠ 所以满足n m PB PD=,即n PD m PB ⨯=⨯ 由两点间距离公式,代入可得()2222n x y a m x y +-=+化简可得()()22222222220n mx n m y an y n a -+--+=,()n m >即22222222220an n a x y y n mn m+-+=-- 二次项的系数相同,且满足()222222222222222224440an n a a n m D E F n m n m n m ⎛⎫+-=--⨯=> ⎪ ⎪--⎝⎭- 所以此时动点P 的轨迹为圆综上可知,点P 的轨迹可能是直线,也可能是圆 故选:A 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,圆方程的判别方法,对空间想象能力要求较高,属于中档题. 12．已知(){}0P f αα==，(){}0Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”.若()()2020log 1f x x =-与()2x g x x ae =-（e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ）A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B【解析】先求得函数()f x 的零点,表示出()g x 的零点,根据“n 距零点函数”的定义,求得()g x 的零点取值范围.通过分离参数,用()g x 的零点表示出a .构造函数,利用导函数研究函数的单调性和最值,即可求得a 的取值范围. 【详解】因为()f x 与()g x 互为“1距零点函数”. 且当()()2020log 10f x x =-=时,2x =设()20xg x x ae =-=的解为0x 由定义n αβ-<可知, 021x -<解得013x <<而当()20xg x x ae =-=时, 020x x a e =令()()020001,3,x x h x x e =∈则()()020000,2'1,3x x x h x x e-=∈ 令()0'0h x =,解得02x =或00x =（舍）所以当012x <<时,()0'0h x >, ()0200x xh x e =单调递增且()11h e = 当023x <<时, ()0'0h x <,()020x x h x e =单调递减,且()393h e =所以()()02max 42hx h e==即()0214,h x e e ⎛⎤∈⎥⎝⎦则214,a e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选:B 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,利用导数分析函数的单调性与最值,利用分离参数和构造函数法求参数的取值范围,属于难题.二、填空题 13．31x dx -⎰的值为______.【答案】52【解析】将定积分根据积分区间及绝对值函数,写成分段函数形式,结合微积分基本定理即可求解. 【详解】将定积分根据积分区间及绝对值函数,写成分段函数形式为()()3131111x dx x dx x dx -=-+-⎰⎰⎰根据微积分基本定理可得()()3131111x dx x dx x dx -=-+-⎰⎰⎰2123011122x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211113311222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2211113311222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦52= 故答案为:52【点睛】本题考查了利用微积分基本定理求定积分值,属于基础题. 14．已知函数cos y x =与()sin 202y x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是______. 【答案】3π 【解析】将交点的横坐标分别代入两个函数解析式,根据正弦函数的图像与性质及结合02πϕ<<即可求得ϕ的值.【详解】因为函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+有一个交点的横坐标为6π 则cossin 266ππϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭即sin 32πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 由正弦函数的图像与性质可知233k ππϕπ+=+或22,33k k Z ππϕπ+=+∈ 因为02πϕ<<所以当0k =时,代入可求得2333πππϕ=-= 故答案为:3π 【点睛】本题考查了正弦函数与余弦函数值的求法,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题. 15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段.若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为______（用数字回答）. 【答案】70【解析】由题意可知,平面内任意两点连线可形成直线,而两条直线有一个交点,即平面内4个点的连线有1个交点,进而可求得圆内交点个数. 【详解】由题意可知,平面内任意两点连线可形成直线,而两条直线有一个交点,即平面内4个点的连线有1个交点所以交点个数为4870C =故答案为:70 【点睛】本题考查了平面几何中的组合问题,关键在于分析出交点个数与所给点个数的关系,属于基础题.16．已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222coscos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.【解析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解. 【详解】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=, 则2222sinsin 1sin cos αβγγ+=-=2222sin sin 1sin cos αγββ+=-= 2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=因为,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+可得()()222sin sin 2sin sin αβαβ+≤+开平方可得sin sin αβγ+≤=,同理sin sin βγα+≤=,sin sin γαβ+≤=,相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤++化简得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++≥++故答案为 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.三、解答题17．已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示.将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转()0θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P .（1）求曲线Γ的长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离.【答案】（1）2π；（2）24ππ+【解析】（1）将圆柱的一半展开,可知曲线Γ的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长,即可求得曲线Γ的长度. （2）当2πθ=时,以底面的圆心O 为原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,求得平面ABP 的法向量,即可求得点1C 到平面APB 的距离. 【详解】（1）曲线Γ的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长, 其中AD π=,底面的半圆长为1212ππ⨯⨯⨯= ∴Γ的长为2π （2）当2πθ=时,建立如图所示的空间直角坐标系:则有()0,1,0A -、()0,1,0B 、1,0,2P π⎛⎫- ⎪⎝⎭、()11,0,C π-,所以()0,2,0AB =u u u r 、1,1,2AP π⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 、()11,0,OC π=-u u u ur .设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =r,则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,代入可得2002y x y z π=⎧⎪⎨-++=⎪⎩, 令2z =,得(),0,2n π=r,所以点1C 到平面PAB的距离为1OC n d n ⋅==u u u u r r r 【点睛】本题考查了圆柱的展开图及距离的求法,利用空间向量求点到平面距离,属于中档题.18．已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.(1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）11n n n a S S ++=-Q ，2211n n n S a S λ++=-，∴()2211n n n n S S S S λ++=--，整理后即得结果；（2）由（1）可得()122n n a a n +=≥，检验n=1也适合即可.详解：（1）11n n n a S S ++=-Q ，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--，()1120n n n S S S λ++∴--=，10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=；12n n S S λ+∴=+，（2）12n n S S λ+=+Q ，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列，212S S λ=+Q 即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-， ()21,12,n n a λ-+⎧∴=⎨⎩,1,2,n n =≥若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+，1λ∴=-（舍）或1λ=经检验得符合题意．点睛：已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.19．如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值． 【答案】（I ）；（Ⅱ323． 【解析】【详解】试题分析：（I ）设出PA ，PB 的点坐标，根据PA PB k k =-，得到12122211y y x x --=--，进而根据点在抛物线上，把x 换成y ，即可得出结果；（II ）由211221124()AB y y k x x x x y y -==≠-+，得出1241AB k y y ==-+，设直线AB 的方程为y x b =-+，与抛物线联立可得2121211()4421AB x x x x b =++-=+又点P到直线AB 的距离为32b d -=，所以23114212(1)(3)222ABP b S AB d b b b ∆-=⋅=⋅+⋅=+-，构造关于b 的函数，求导利用单调性求最值即可． 试题解析：解（Ⅰ）由抛物线过点，得，设直线PA 的斜率为，直线PB 的斜率为，由PA 、PB 倾斜角互补可知，即，将，代入得．（Ⅱ）设直线AB 的斜率为，由，得，由（Ⅰ）得，将其代入上式得．因此，设直线AB 的方程为，由，消去y 得，由，得，这时，，2121211()4421AB x x x x b =++-=+，又点P 到直线AB 的距离为，所以23114212(1)(3)222ABP b S AB d b b b ∆-=⋅=⋅+⋅=+-， 令，则由，令，得或． 当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，故的最大值为，故面积的最大值为132323f ⎛⎫=⎪⎝⎭． （附：，当且仅当时取等号，此求解方法亦得分）【考点】直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值．20．为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ (2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k >0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.050k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841【答案】(1)能；(2)分布列见解析，145. 【解析】（1）根据题意,可得列联表.并由公式求得2K 的观测值.结合所给的参考数据即可判断.（2）设5人中男生有表m 人,女生n 人,则m n ξ=+.根据题意可知1,2,3,4,5,ξ=分别求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得数学期望值. 【详解】（1）根据所给条件,制作列联表如下：所以2K 的观测值22()200(64445636)4()()()()120801001003n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯, 因为2K 的观测值41.3233k =>, 由所给临界值表可知,能够在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加交流会的5人中喜欢古典文学的男生代表m 人,女生代表n 人,则m n ξ=+,根据已知条件可得1,2,3,4,5,ξ=12232232541(1)(1,0)20C C C P P m n C C ξ=====⋅=12112232222323232455413(2)(1,1)(2,0)10C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===⋅+⋅=； (3)(1,2)(2,1)(3,0)P P m n P m n P m n ξ====+==+==12221110323223222323232323442545715C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅=； 21203113222322323245451(4)(2,2)(3,1)6C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===⋅+⋅=；03223232451(5)(3,2)60C C C P P m n C C ξ=====⋅=, 所以ξ的分布列是：所以1371114123452010156605E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验方法的应用,离散型随机变量及其分布列的求法,古典概型概率的应用,数学期望的求法,属于中档题. 21．已知函数()1,f x xlnx ax a R =++∈（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<+++<++L ．【答案】（1）[1,)-+∞.（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由()0f x ≥，得1ln a x x -≤+恒成立，令()1ln F x x x=+.求出()F x 的最小值，即可得到a 的取值范围；∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.∴只需证明()()211ln 12n n n n +<++ ()11n n <+即可. 试题解析：（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥ (0)x >. 整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭.令()1ln F x x x =+.则()22111'x F x x x x-=-=. ∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.∴函数()1ln F x x x=+的最小值为()11F =. ∴1a -≤，即1a ≥-.∴a 的取值范围是[)1,-+∞. （2）∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.∴只需证明()()211ln 12n n n n +<++ ()11n n <+即可. 由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1ln x x x ≥-. 令11n x n +=>，即得1ln 11n n n n +>-+ 11n =+. ∴2211ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭()()112n n >++ 1112n n =-++. 现证明()211ln 1n n n n +<+，即< ==()* 现证明12ln (1)x x x x<->. 构造函数()12ln G x x x x =-- ()1x ≥， 则()212'1G x x x =+- 22210x x x-+=≥. ∴函数()G x 在[)1,-+∞上是增函数，即()()10G x G ≥=.∴当1x >时，有()0G x >，即12ln x x x<-成立.令x =()*式成立. 综上，得()()211ln 12n n n n +<++ ()11n n <+. 对数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭，21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭分别求前n 项和，得 223ln 2ln 242n n <++ 21ln 1n n n n ++⋅⋅⋅+<+.22．已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩（ϕ为参数）.（1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为()1,1，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值.【答案】（1（2）23 【解析】（1）将直线的参数方程和曲线C 的参数方程化为普通方程,即可利用点到直线距离公式求得曲线C 的右顶点到直线l 的距离.（2）先将直线的参数方程化为标准参数方程,再将直线方程与曲线C 的普通方程联立,根据参数方程的几何意义即可求得PA PB ⋅的值.【详解】（1）直线l 的普通方程为20x y +-=,曲线C 的普通方程为2214y x -=, 曲线C 为双曲线,其右顶点为()1,0利用点到直线距离公式可知2d ==； （2）将直线l的标准参数方程改为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 并代入2214y x -=化简可得2320t --=,设一元二次方程的两根为1t ,2t , 故1223PA PB t t ⋅==. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化,直线标准参数方程的求法,直线与曲线交点的参数方程求法,属于中档题.23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a c a b c b++≥+； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z++++的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】（1）构造三元基本不等式, 即可证明不等式成立.（2）根据三元柯西不等式,可得使等号成立的条件.利用等式成立,结合方程思想,即可求得a b c x y z++++的值. 【详解】（1）由三元基本不等式知1b a c b a b c a b c b a b c b +++=++-++12≥=, 当且仅当b a b c a b c b+==+时取等号. （2）由三元柯西不等式知()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++, 结合方程组可知不等式当a b c x y z==时取等号, 所以设(0)a b c k k x y z===>, 即a kx =,b ky =,c kz =,所以()2222222a b c kx y z ++=++, 即249k =,解得23k =, 从而23a b c k x y z ++==++ 【点睛】本题考查了利用三元基本不等式证明不等式成立,三元柯西不等式的综合应用,属于中档题.。

20-20学年湖南省娄底市高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={−1,1}，N={x|1x<2}，则下列结论正确的是()A. N⊆MB. M⊆NC. M∩N=⌀D. M∪N=R2.复数1+bi1−i的实部和虚部相等，则实数b的值为()A. 0B. 17C. −17D. −13.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中正确的是()A. m⊥α，α⊥β，m//n⇒n//βB. m//α，α∩β=n⇒n//mC. α//β，m//α，m⊥n⇒n⊥βD. m⊥α，n⊥β，m//n⇒α//β4.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为()A. 92，94B. 99，86C. 92，86D. 95，915.己知圆x2+y2=4与直线x+y−t=0，则，“t=2√2”是“直线与圆相切“的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.数列{a n}为等差数列，若a2+a8=23π，则tan(a3+a7)的值为()A. √33B. −√33C. √3D. −√37.设函数y=sinax+b(a>0)的图象如图所示，则函数y=log a(x+b)的图象可能是()A. B.C. D.8.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()A. √22B. √32C. √3−√2D. √3−19.已知函数f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，则f(−π3)=()A. −π6B. −√3π6C. π6D. √3π610.圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为()A. mm+n B. nm+nC. 4mm+nD. 4nm+n11.已知P为双曲线x29−y216=1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为()A. 2B. 3C. 32D. √13212.已知实数a,b满足，c∈R，则√(a−c)2+(b+c)2的最小值为()A. 12B. √22C. 3√22D. 92二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=√20，a⃗⋅b⃗ =4，则|a⃗−b⃗ |=______ ．14.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是____；表面积是____15.在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cosB=35，则c=__________．16.已知函数f(x)=2×9x−3x+a2−a−3，当0≤x≤1时，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为______________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校需从甲、乙两名学生中选一人参加物理竞赛，这两名学生最近5次的物理竞赛模拟成绩如下表：第一次第二次第三次第四次第五次学生甲的成绩(分)8085719287学生乙的成绩(分)9076759282(1)根据成绩的稳定性，现从甲、乙两名学生中选出一人参加物理竞赛，你认为选谁比较合适？(2)若物理竞赛分为初赛和复赛，在初赛中有如下两种答题方案：方案1：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰．方案2：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰．若学生乙只会5道备选题中的3道，则学生乙选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？18.如图，直棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AB=2．AC=CB=√22(1)证明：DC⊥DE；(2)求三棱锥C−A1DE的体积．19.已知{a n}是等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．20. 已知函数f(x)=xlnx −a2x 2有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2).(Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)设g(x)=f(x)−x 22，讨论函数g(x)的零点个数．21. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)上一点P(m,2m)(m ≠0)到其焦点的距离为174．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若斜率为2的直线l 交C 于A 、B 两点，设Q 为C 上一点，C 在Q 处的切线与直线l 平行，且AQ ⊥BQ ，求直线AB 的方程．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标为(1,0)，直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)；以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cosθ．(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)直线l和曲线C交于A，B两点，求1|MA|2+1|MB|2的值．23.(Ⅰ)解不等式|x−1|+|2x+1|>3(Ⅱ)如果a，b∈[−1,1]，求证|1+ab4|>|a+b2|-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合M={−1,1}，N={x|1x <2}={x|x<0或x>12}，则M⊆N，故A错误；M⊆N，故B正确；M∩N={−1,1}，故C错误；M∪N=N，故D错误．故选：B．由集合M={−1,1}，N={x|1x <2}={x|x<0或x>12}，逐一判断即可得答案．本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，考查了分式不等式的解法，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由已知列式求得b值．解：∵1+bi1−i =(1+bi)(1+i)(1−i)(1+i)=1−b2+1+b2i，且复数1+bi1−i的实部和虚部相等，∴1−b2=1+b2，即1−b=1+b，∴b=0．故选：A．3.答案：D解析：本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．解：对于A，m⊥α，α⊥β，m//n⇒n//β或n⊂β，不正确；对于B，m//α，m⊂β，α∩β=n⇒n//m，不正确；对于C，α//β，m//α，m⊥n⇒n、β位置关系不确定，不正确；对于D，m⊥α，m//n，∴n⊥α，∵n⊥β，∴α//β，正确，故选D．4.答案：C解析：本题主要考查了众数与中位数的定义与应用问题，是基础题．根据茎叶图中的数据，写出中位数和众数．解：根据成绩统计的茎叶图知，这组数据按从小到大的顺序排列后，排在中间的数为92，即中位数是92；这组数据出现次数最多的是86，即众数是86．故选C．5.答案：A解析：根据直线和圆相切可得d=r，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．本题考查了直线和圆的位置关系，以及充分条件和必要的条件，属于基础题．，解：由圆心到直线的距离d=√2=2，即|t|=2√2，则t=±2√2，若直线与圆相切，则√2则“t=2√2”是“直线与圆相切“的充分而不必要条件，故选：A．6.答案：D解析：解：由等差数列的性质得，a3+a7=a2+a8=23π，所以tan(a3+a7)=tan23π=−√3，故选：D．由等差数列的性质得，a3+a7=a2+a8，代入tan(a3+a7)求值即可．本题考查等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．7.答案：C解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于中档题．根据函数y=sinax+b(a>0)的图象求出a、b的范围，从而得到函数y=log a(x+b)的单调性及图象特征，从而得出结论．解：由函数y=sinax+b(a>0)的图象可得0<b<1，2π<2πa <3π，即23<a<1．故函数y=log a(x+b)是定义域内的减函数，且过定点(1−b,0)，故选C．8.答案：D解析：本题主要考查了椭圆的几何性质，以及椭圆定义的应用．设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|=2c，则|DF1|=c，|DF2|=√3c，由椭圆的定义知2a=|DF1|+ |DF2|=√3c+c，根据离心率公式求得答案．解：设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|=2c，则|DF1|=c，|DF2|=√3c.由椭圆定义得，2a=|DF1|+|DF2|=√3c+c，所以e=ca =3+1=√3−1，故选D．9.答案：A解析：本题考查三角函数的奇偶性及计算，先通过函数为奇函数f(x)=−f(−x)，求出a的值，再求出答案即可，属于简单题．解：∵f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，∴f(x)=−f(−x)，即axsinx+xcosx=−a(−x)sin(−x)+xcos(−x)，解得a=0，∴f(x)=xcosx，f(−π3)=−π6．故选A．10.答案：C解析：本题主要考查与面积有关的几何概型，属于中档题．由0<x<1,0<y<1,可得(x,y)在以1为边长的正方形内，因为x，y，1组成锐角三角形，1为最大边，(x,y)在以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆外，利用几何概率公式列方程即可求解．解：设所写的两个数为x，y，则0<x<1，0<y<1，(x,y)在以1为边长的正方形内，∵x,y,1组成锐角三角形，1为最大边，∴x2+y2−1>0,x2+y2>1,(x,y)在以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆外，解得故选C．11.答案：B解析：本题考查双曲线的概念，方程和性质，涉及直角三角形的内切圆半径的求法，属中档题，由题意知△AF1P为直角三角形，设内切圆半径为r，则|PF1|+|PA|−|AF1|=2r，，然后结合双曲线的方程，定义进行转化得到|AF2|−|AF1|=2r−6，根据双曲线的对称性可得|AF2|=|AF1|，进而得到r的值．解：由双曲线x 29−y 216=1知，a =3．设△APF 1的内切圆半径为r ，∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PA =90∘， ∴|PF 1|+|PA|−|AF 1|=2r ， ∴|PF 2|+2a +|PA|−|AF 1|=2r ， ∴|AF 2|−|AF 1|=2r −6，由图形的对称性知，|AF 2|=|AF 1|， ∴2r −6=0，解得r =3， 故选B ．12.答案：C解析：本题主要考查函数的化归与转化思想，本题较难，突破口于将函数问题转化为解析几何问题来求解． 本题将最值转化为曲线上点到直线的距离问题，用到切线方程.属于较难题． 解：分别设，y =−x ，则√(a −c)2+(b +c)2可表示曲线上的点(a,b )到直线y =−x 上的点(c,−c )的距离，则√(a −c)2+(b +c)2的最小值表示曲线上与直线y =−x 平行的切线到直线y =−x 的距离，，∴f′(x)=4x −5x =−1，解得x =1，则当a =1，b =f (1)=2时，取到最小值，则曲线过点(1,2)的切线方程为y −2=−(x −1)，即x +y −3=0， 则直线x +y −3=0到直线y =−x 的距离d =√2=3√22， 故√(a −c)2+(b +c)2的最小值为3√22， 故选C ．13.答案：2解析：解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+8=20；∴a⃗2+b⃗ 2=12；∵|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =12−8=4；∴|a⃗−b⃗ |=2；故答案为：2由题意知，充分利用公式|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ 化简求解；本题主要考查了向量的运算公式，以及对向量数量积运算的掌握，属基础题．14.答案：163；16+8√2解析：由三视图知该几何体一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积，利用面积公式即可求得表面积．解：由三视图得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，其中截面是平面ABC，且棱柱和棱锥底面是俯视图：等腰直角三角形，两条直角边是2，棱柱高为4，棱锥的高是4，∴底面面积S=12×2×2=2，∴几何体的体积V=2×4−13×2×4=163，表面积为：S=2+2√2×4+12×2×4+12×2×4+12×2√2×√(2√5)2−(√2)2=16+8√2故答案为163；16+8√2．15.答案：7解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin B，利用正弦定理即可求b的值，利用余弦定理即可解得c的值．解：∵cosB=35，a=5，A=π4，∴sinB=√1−cos2B=45，∴由正弦定理可得：b=asinBsinA =5×45√22=4√2，∴由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，即：32=25+c2−6c，解得：c=7或−1(舍去)．故答案为7．16.答案：{a|a<−1或a>2}解析：本题考查不等式的恒成立问题，指数函数及其性质，属于中档题．令t=3x，则1≤t≤3，则f(t)=2t2−t+a2−a−3在[1,3]上大于0恒成立，求出f(t)的最小值可得答案．解：∵当0≤x≤1时，f(x)>0恒成立，∴令t=3x，则1≤t≤3，则f(t)=2t2−t+a2−a−3在[1,3]上大于0恒成立，∵f(t)在[1,3]上为增函数，∴当t=1时，f(t)取最小值，为f(1)=a2−a−2．令f(1)>0，解得a>2或a<−1，故答案为a>2或a<−1，故答案为{a|a<−1或a>2}=83，17.答案：解：(1)学生甲的平均成绩为x1=80+85+71+92+875=83，学生乙的平均成绩为x2=90+76+75+92+825×[(83−80)2+(83−85)2+(83−71)2+(83−92)2+(83−87)2]=学生甲的成绩方差为s12=1550.8，×[(83−90)2+(83−76)2+(83−75)2+(83−92)2+(83−82)2]=学生乙的成绩方差为s22=1548.8，因为x1=x2,s12>s22，所以学生乙的成绩比较稳定，所以选学生乙参加物理竞赛比较合适．(2)记这5道备选题分别为A，B，C，d，e，其中学生乙会A，B，C这3道备选题，方案1：学生乙从5道备选题中任意抽出1道，有A，B，C，d，e，共5种情况，学生乙恰好抽中会的备选题，有A，B，C，共3种情况，．所以学生乙进入复赛的概率P1=35方案2：学生乙从5道备选题中任意抽出3道，有ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，Ade，Bde，Cde，共10种情况，学生乙至少抽中2道会的备选题，有ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共7种情况，所以．学生乙进入复赛的概率P2=710因为P1<P2，所以学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大．解析：本题考查平均数、方差、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)分别求出学生甲的平均成绩和学生乙的平均成绩，学生甲的成绩方差和学生乙的成绩方差，由x1=x2,s12>s22，得到学生乙的成绩比较稳定，从而选学生乙参加物理竞赛比较合适．(2)记这5道备选题分别为A，B，C，d，e，其中学生乙会A，B，C这3道备选题，方案1：学生乙.方案2：学生乙从5道从5道备选题中任意抽出1道，利用列举法求出学生乙进入复赛的概率P1=35.因为P1<P2，所以学生乙选备选题中任意抽出3道，利用列举法求出学生乙进入复赛的概率P2=710择方案2进入复赛的可能性更大．18.答案：证明：(1)由AC=CB=√22AB，AC2+CB2=AB2故△ABC为等腰直角三角形又由D是AB的中点，知CD⊥AB，又∵直棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1，又∵AB，AA1⊂面A1ABB1，AB∩AA1=A∴CD⊥面A1ABB1，又∵DE⊂面A1ABB1，故DC⊥DE；(2)由(1)知CD⊥面A1ABB1，且CD=√2在Rt△A1AD中，AA1=2，AD=√2，故A 1D=√6在Rt△BDE中，BE=1，BD=√2，故DE=√3Rt△A1B1E中，A1B1=2√2，B1E=1故A 1E=3∵A1E2=A1D2+DE2故三角形△A1DE为直角三角形故V C−A1DE =13⋅CD⋅12⋅A1D⋅DE=13⋅√2⋅12⋅√6⋅√3=1．解析：(1)由韦达定理可得△ABC为等腰直角三角形，进而可得CD⊥AB，结合直棱柱的特征可得CD⊥AA1，结合线面垂直的判定定理可得CD⊥面A1ABB1，进而由线面垂直的定义可得DC⊥DE；(2)由(1)可得CD⊥面A1ABB1，即CD为棱锥的高，求出三角形△A1DE的面积后，代入棱锥的体积公式，可得三棱锥C−A1DE的体积．本题考查的知识点是线面垂直的判定定理及性质，棱锥的体积，其中证明出直线CD⊥面A1ABB1，是解答的关键．19.答案：解：(Ⅰ){a n}是公比为q的等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列，可得a1+a4=2(a3+1)，即有2+2q3=2(2q2+1)，解得q=2(0舍去)，则a n=2⋅2n−1=2n；(Ⅱ)b n=na n=n⋅2n，则前n项和S n=1⋅2+2⋅22+⋯+n⋅2n，2S n=1⋅22+2⋅23+⋯+n⋅2n+1，相减可得−S n=2+22+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1，化简可得S n=(n−1)⋅2n+1+2．解析：(Ⅰ){a n}是公比为q的等比数列，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项；(Ⅱ)求得b n=na n=n⋅2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项性质，以及数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=lnx+1−ax，因为f(x)有两个不同的极值点，则f′(x)有两个不同的零点．令f′(x)=0，则lnx+1−ax=0，即，设，则直线y=a与函数y=ℎ(x)的图象有两个不同的交点，，由ℎ′(x)>0，得lnx<0，即0<x<1，所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，从而ℎ(x)max=ℎ(1)=1．因为当0<x<1e 时，ℎ(x)<0；当x>1e时，ℎ(x)>0；当x→+∞时，ℎ(x)→0，所以a的取值范围是(0,1)；(Ⅱ)因为x1，x2为f(x)的两个极值点，则x1，x2为直线y=a与曲线y=ℎ(x)的两个交点的横坐标，由(I)可知1e<x1<x2，且，因为当0<x<x1或x>x2时，，即f′(x)<0，当x1<x<x2时，，即f′(x)>0，则f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增，所以f(x)的极小值点为x1，极大值点为x2，当0<x≤1时，因为lnx≤0，0<a<1，x2>1，则g(x)=xlnx−a2x2−x22<0，所以g(x)在区间(0,1]内无零点，因为，a=ℎ(x2)，则①当lnx2>2，即x2>e2时，g(x2)>0．又0<a<1，则e a2>1，所以g(e a2)=e a2(lne a2−a2e a2)−x22=a2e a2(1−e a2)−x22<0，此时，g(x)在(1,x2)和(x2,+∞)内各有1个零点，且a<ℎ(e2)=3e，②当lnx2=2，即x2=e2时，g(x2)=0，此时g(x)在(1,+∞)内有1个零点，且a=ℎ(e2)=3e2，③当0<lnx2<2，即1<x2<e2时，g(x2)<0，此时g(x)在(1,+∞)内无零点，且a>ℎ(e2)=3e2，综上分析，当0<a<3e2时，g(x)有2个零点；当a=3e2时，g(x)有1个零点；当3e<a<1时，g(x)没有零点．解析：本题主要考查函数零点的判断以及函数极值与单调性之间的关系，利用导数是解决本题的关键，考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．(Ⅰ)根据函数极值与导数之间的关系，进行求解即可；(Ⅱ)求g(x)的解析式，求函数的导数，根据函数单调性极值关系判断函数零点个数即可．21.答案：解：(Ⅰ)抛物线C：x2=2py(p>0)的准线方程为y=−p2，抛物线上一点P(m,2m)(m≠0)到焦点的距离为174，由定义可得2m+p2=174，且m 2=4pm ， 解得p =12，m =2， 则抛物线的方程为x 2=y ；(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =2x +t ， 代入曲线C ：y =x 2，可得x 2−2x −t =0，设A(x 1,x 12)，B(x 2,x 22)，即有x 1+x 2=2，x 1x 2=−t ， 再由y =x 2的导数为y′=2x ，设Q(m,m 2)，可得Q 处切线的斜率为2m ， 由C 在Q 处的切线与直线AB 平行，可得2m =2， 解得m =1，即Q(1,1)，由AQ ⊥BQ 可得，k AQ ⋅k BQ =−1， 即为x 12−1x1−1⋅x 22−1x2−1=−1，化为x 1x 2+(x 1+x 2)+1=−1， 即为−t +2+1=−1， 解得t =4．则直线AB 的方程为y =2x +4．解析：本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，直线的点斜式，一元二次方程的解法，考查函数与方程思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得抛物线的准线方程，运用抛物线的定义和点在抛物线上，解方程可得m ，p ，进而得到抛物线方程；(Ⅱ)设Q(m,m 2)，求出y =x 2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m ，即有Q 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得x 1，x 2的关系式，再由直线AB ：y =2x +t 与y =x 2联立，运用韦达定理，即可得到t 的方程，解得t 的值，即可得到所求直线方程． 22.答案：解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t (t 为参数)；转换为直角坐标方程为：x −y −1=0， 曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cosθ．转换为直角坐标方程为：y 2=2x ． (Ⅱ)将直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)；代入y 2=2x ，得到：t 2−2√2t −4=0(t 1和t 2为A 、B 对应的参数) 所以：t 1+t 2=2√2，t 1⋅t 2=−4， 则：1|MA|2+1|MB|2=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2(t 1t 2)2=1．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)∵|x −1|+|2x +1|>3，x ≥1时，x −1+2x +1>3，解得：x >1， −12<x <1时，1−x +2x +1>3，无解， x ≤−12时，1−x −2x −1>3，解得：x <−1 故不等式的解集是{x|x <−1或，x >1}； (Ⅱ)若证明|1+ab 4|>|a+b 2|，只需(1+ab 4)2>(a+b 2)2， 只需1+ab 2+(ab)216>a 24+ab 2+b 24，只需1+(ab)216>a 2+b 24，只需16+a 2b 2>4(a 2+b 2)， ∵a ，b ∈[−1,1]，∴a 2b 2∈[0,1]，a 2+b 2∈[0,2]， 故16+a 2b 2>4(a 2+b 2)成立， 故a ，b ∈[−1,1]时，|1+ab 4|>|a+b 2|.解析：(Ⅰ)通过讨论x的范围，解不等式，取交集即可；(Ⅱ)根据分析法证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数＝（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）3．（5分）已知的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．504．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则sin B的值为（）A．B．C．1D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入的整数p的最大值为（）A．7B．15C．31D．637．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x 的线性回归方程为＝1.3x﹣1，则m的值为（）x1234y0.1 1.8m4A．2.9B．3.1C．3.5D．3.88．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．﹣19．（5分）如图，在△ABC中，，则的值为（）A．3B．8C．12D．1610．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X，且X～N（3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（）（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.977211．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④12．（5分）已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）|x﹣1|dx＝．14．（5分）已知函数y＝cos x与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为（用数字回答）．16．（5分）已知，且cos2α+cos2β+cos2γ＝2，则的最小值为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P．（1）求曲线Γ长度；（2）当时，求点C1到平面APB的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈（﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．20．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．附：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2＞k0）0.500.400.250.150.100.05k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84121．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax+1，a∈R．（1）当x＞0时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（参数为t），曲线C的参数方程为（参数为φ）．（1）求曲线C的右顶点到直线l的距离；（2）若点P的坐标为（1，1），设直线l与曲线C交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a，b，c都是正实数，证明：；（2）已知a，b，c，x，y，z都是正实数，且满足不等式组：，求的值．2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数＝（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）2＝4i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）【分析】利用配方法判断命题p为真，举例说明命题q为假，再由复合命题的真假判断得答案．【解答】解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0，∴命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0为真命题；由a2＜b2，不一定有a＜b，如a＝1，b＝﹣2，则命题q：若a2＜b2，则a＜b为假命题．∴p∨q为真命题；p∨（￢q）为真命题；￢p∨q为假命题；￢p∨（￢q）为真命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．3．（5分）已知的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．50【分析】由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n，a．再利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n＝5，a＝2．∴展开式中通项公式T k+1＝（x3）5﹣k＝2k x15﹣4k，令15﹣4k＝7，解得k＝2．∴x7的系数＝＝40．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n}、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可．【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n}，且公比为，∵6天后共走了378里，∴S6＝，解得a1＝192，∴第三天走了a3＝a1×＝192×＝48，故选：B．【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则sin B的值为（）A．B．C．1D．【分析】由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解．【解答】解：由题意可得，sin2B＝sin A sin C，由正弦定理可得，b2＝ac，又c＝2a，则可得b＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝，所以sin B＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入的整数p的最大值为（）A．7B．15C．31D．63【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环Sn循环前/0 1第一圈是1 2第二圈是3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故S＝15时，满足条件S＜pS＝31时，不满足条件S＜p故S的最小值31故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x 的线性回归方程为＝1.3x﹣1，则m的值为（）x1234y0.1 1.8m4A．2.9B．3.1C．3.5D．3.8【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．【解答】解：由题意，＝2.5，代入线性回归方程为＝1.3x﹣1，可得＝2.25，∴0.1+1.8+m+4＝4×2.25，∴m＝3.1．故选：B．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．﹣1【分析】可解得点A、B坐标，由AF⊥BF，得•＝0，把b2＝a2﹣c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围【解答】解：由，消y可得得（3a2+b2）x2＝a2b2，解得x＝±，分别代入y＝±，∴A（，），B（﹣，﹣），∴＝（+c，），＝（c﹣，﹣），∴•＝c2﹣﹣＝0，∴c2＝，（*）把b2＝a2﹣c2代入（*）式并整理得4a2c2﹣c4＝4a2（a2﹣c2），两边同除以a4并整理得e4﹣8e2+4＝0，解得e2＝4﹣2∴e＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．9．（5分）如图，在△ABC中，，则的值为（）A．3B．8C．12D．16【分析】结合已知得到＝﹣3+4代入数量积的计算即可【解答】解：∵在△ABC中，，∴＝（+）•＝（+4）•＝[+4（﹣）]•＝（﹣3+4）•＝﹣3+42＝0+4×22＝16；故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X，且X～N（3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（）（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.9772【分析】利用正态分布的对称性来求解．【解答】解：P（X≤3100）＝P（X≤3000+2×50）＝1﹣[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝0.9772，故选：D．【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题目．11．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④【分析】先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹【解答】解：设电线杆的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线为y轴建系，由仰角的正切相等知a|PD|＝b|PB|，设D（0，t）P（x，y）⇒a＝b则当a＝b时，点P的轨迹为BD的垂直平分线，当a≠b时，点P的轨迹为圆，故选：A．【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查曲线方程的建立，考查方程与曲线的关系，解题的关键是“仰角相等”转化成比例式12．（5分）已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由g（x）＝x2﹣ae x＝0，得x2＝ae x，即．构造函数，结合导数可判断单调性，进而可求．【解答】解：易知函数f（x）只有一个零点2，故P＝{2}，由题意知|2﹣β|＜1，即1＜β＜3．由题意知，函数g（x）在（1，3）内存在零点，由g（x）＝x2﹣ae x＝0，得x2＝ae x，所以．记，则．所以当x∈（1，2）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（2，3）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；所以，而，所以实数a的值范围为．故选：B．【点评】本题主要考查了利用但是研究函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）|x﹣1|dx＝．【分析】将：∫03|x﹣1|dx转化成∫01（1﹣x）dx+∫13（x﹣1）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．【解答】解：∫03|x﹣1|dx＝∫01（1﹣x）dx+∫13（x﹣1）dx＝（x﹣x2）|01+（x2﹣x）|13＝．故答案为：【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．（5分）已知函数y＝cos x与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．【分析】直接利用函数的图象的应用求出结果．【解答】解：函数y＝cos x与，它们的图象有一个横坐标为的交点，所以cosφ），所以：φ＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为70（用数字回答）．【分析】要求交点个数，等价转化为将8个点任意取4个分为一组，总共有多少组．由此结合排列组合公式加以计算，可得本题答案【解答】解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形，该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点，故交点个数为．故答案为：70【点评】本题给出圆上的8个同的点，求经过其中任意两点作弦在圆内所得交点个数．着重考查了圆的性质和排列组合公式等知识，属于基础题16．（5分）已知，且cos2α+cos2β+cos2γ＝2，则的最小值为．【分析】根据基本不等式可知，同理可得sinβ+sinγ≤，sinγ+sinα≤，进一步求出的最小值．【解答】解：由题意，知sin2α+sin2β+sin2γ＝1，由基本不等式可知，同理，，上述式子相加可得，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想，属基础题．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P．（1）求曲线Γ长度；（2）当时，求点C1到平面APB的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，从而可求曲线Γ长度；（2）当θ＝时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB 的距离与点B1到平面APB的距离相等．（3）由于二面角D﹣AB﹣B1为直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否为即可．【解答】解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．由于AB＝πr＝π，AD＝π，所以这实际上是一个正方形．所以曲线Γ的长度为BD＝π．（2）当θ＝时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．连接AP、BP，OP．由AB⊥B1P且AB⊥A1B1知：AB⊥平面APB，从而平面A1B1P⊥平面APB．作B1H⊥OP于H，则B1H⊥平面APB，所以B1H即为点B1到平面APB的距离．在Rt△OB1P中，，所以．于是：．所以，点C1到平面APB的距离为．（3）由于二面角D﹣AB﹣B1为直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否为即可．过B1作B1Q⊥AB于Q，连接PQ．由于B1Q⊥AB，B1P⊥AB，所以AB⊥平面B1PQ，所以AB⊥PQ．于是∠PQB1即为二面角P﹣AB﹣B1的平面角．在Rt△PB1Q中，．若，则需B1P＝B1Q，即sinθ＝θ．令f（x）＝sin x﹣x（0＜x＜π），则f′（x）＝cos x﹣1＜0，故f（x）在（0，π）单调递减．所以f（x）＜f（0）＝0，即sin x＜x在（0，π）上恒成立．故不存在θ∈（0，π），使sinθ＝θ．也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D﹣AB﹣B1为．【点评】本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用已知条件通过a n+1＝S n+1﹣S n，推出S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，然后证明：S n+1＝2S n+λ；（2）求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可．【解答】（1）证明：∵a n+1＝S n+1﹣S n，，∴，∴S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，∴a n＞0，∴S n+1＞0，∴S n+1﹣2S n﹣λ＝0；∴S n+1＝2S n+λ．（2）解：∵S n+1＝2S n+λ，S n＝2S n﹣1+λ（n≥2），相减得：a n+1＝2a n（n≥2），∴{a n}从第二项起成等比数列，∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n＝，若使{a n}是等比数列则，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意．【点评】本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈（﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．【分析】（1）把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，设直线P A的斜率为k P A，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k P A和k PB，根据倾斜角互补可知k P A＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值；（2）表示出面积，利用导数方法求△ABP面积S△ABP的最大值．【解答】解：（1）∵点P（1，2）在抛物线上，∴22＝2p，解得p＝2．设直线P A的斜率为k P A，直线PB的斜率为k PB．则k P A＝（x1≠1），k PB＝（x2≠1），∵P A与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A＝﹣k PB．由A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上，得y12＝4x1，①y22＝4x2②∴y1+2＝﹣（y2+2），∴y1+y2＝﹣4．（2）由①﹣②得直线AB的斜率为k AB＝﹣1．因此设直线AB的方程为y＝﹣x+b，由直线与抛物线方程联立，消去y得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，由△＞0，得b＞﹣1，这时x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，|AB|＝4，又点P到直线AB的距离为d＝，所以S△ABP＝，令f（x）＝（x+1）（3﹣x）2（x∈[﹣1，3]），则由f′（x）＝（3x﹣1）（x﹣3）＝0，得x＝或x＝3，当x∈（﹣1，）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，当x∈（，3）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递减，故f（x）的最大值为，故△ABP面积S△ABP的最大值为．【点评】本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力．20．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．附：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2＞k0）0.500.400.250.150.100.05 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841【分析】（1）根据所给条件，制作列联表，求出K2的观测值，由所给临界值表得在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关．（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m人，女代表n人，则ξ＝m+n，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：男女总计喜欢阅读古典文学6436100不喜欢阅读古典文学5644100总计12080200所以K2的观测值，因为K2的观测值，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m人，女代表n人，则ξ＝m+n，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，，，P（ξ＝3）＝P（m＝1，n＝1）+P（m＝2，n＝1）+P（m＝3，n＝0）＝+＝，；，所以ξ的分布列是：ξ12345p所以．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax+1，a∈R．（1）当x＞0时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：．【分析】（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得恒成立，即．令．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由为数列的前n项和，为数列的前n项和．因此只需证明即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx ﹣x+1≥0，即．令，即得＝．可得＝．现证明，即＝＝．通过构造函数利用导数研究函数的单调性极值即可证明．【解答】解：（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得恒成立，即．令．则．∴函数F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴函数的最小值为F（1）＝1．∴﹣a≤1，即a≥﹣1．∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．（2）∵为数列的前n项和，为数列的前n项和．∴只需证明即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即．令，即得＝．∴＝．现证明，即＝＝．（*）现证明．构造函数（x≥1），则＝．∴函数G（x）在[﹣1，+∞）上是增函数，即G（x）≥G（1）＝0．∴当x＞1时，有G（x）＞0，即成立．令，则（*）式成立．综上，得．对数列，，分别求前n项和，得．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（参数为t），曲线C的参数方程为（参数为φ）．（1）求曲线C的右顶点到直线l的距离；（2）若点P的坐标为（1，1），设直线l与曲线C交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．【分析】（1）先求出直线l和曲线C的普通方法，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C的右顶点到直线l的距离；（2）将直线l的方程改写为，然后代入曲线C中，再根据|P A|•|PB|＝|t1t2|求出|P A|•|PB|的值．【解答】解：（1）直线l的普通方程为x+y﹣2＝0，曲线C的普通方程为，故曲线C的右顶点（1，0）到直线l的距离．（2）将直线l的参数方程改为，并代入，得，设其两根为t1，t2，则，，∴|P A|•|PB|＝|t1t2|＝．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a，b，c都是正实数，证明：；（2）已知a，b，c，x，y，z都是正实数，且满足不等式组：，求的值．【分析】（1）直接利用三元基本不等式求出的最小值，即可证明；（2）柯西不等式可得（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，再结合方程组即可得到a，b，c之间的关系，进一步求出的值．【解答】解：（1）由三元基本不等式知，＝≥，当且仅当，即a＝b且c＝0时取等号，∴．（2）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，∵，结合上述不等式取等号，可设（k＞0），即a＝kx，b＝ky，c＝kz，∴a2+b2+c2＝k2（x2+y2+z2），∴4＝9k2，∴，∴．【点评】本题考查了利用基本不等求最值和柯西不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。

湖南省2020届高三上学期期末统测数学（理）试题一、单选题1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R I ð（ ）A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅【答案】A【解析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂ð. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=ð. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得z 【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题. 3．设133a =，13log 2b =，1213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】利用“0,1分段法”比较出,,a b c 三者的大小关系. 【详解】 因为1331a =>，13log 20b =<，121013c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以b c a <<.故选：C 【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题. 4．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π【答案】D【解析】利用降次公式化简()f x 表达式，再由此求得最小正周期. 【详解】因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π.故选：D 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.5．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（ ） A ．16B ．112C ．13D ．12【答案】B【解析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】骰子向上为6点的概率为16，硬币向上为正面的概率为12，故所求事件的概率为1116212⨯=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.6．设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n B ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥【答案】C【解析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项. 【详解】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题. 7．若执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ） A ．3ln2 B ．2ln3C ．ln7【答案】A【解析】根据程序框图运行所计算的S 的表达式，结合对数运算，求得输出的S 的值. 【详解】运行程序框图中的程序，可得23482348ln ln ln ln ln ln83ln 212371237S =++++=⨯⨯⨯⨯==L L .故选：A 【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，考查对数运算，属于基础题. 8．已知函数||()32x a f x -=+，且满足(5)(3)f x f x +=-，则(6)f =（ ） A ．29 B ．5 C ．3 D ．11【答案】D【解析】根据(5)(3)f x f x +=-求得()f x 的对称轴，也即求得a 的值，从而求得()6f 的值. 【详解】因为(5)(3)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于4x =对称，所以644,(6)3211a f -==+=.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数值的求法，属于基础题.9．已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ） A ．16 B ．10C ．12D ．8【答案】C【解析】根据圆的几何性质，结合抛物线的AF .定义，根据F 到准线的距离，求得【详解】因为,,A F B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥.由抛物线定义知1||2||||2AD EF AF AB ===，所以30ABD ︒∠=.因为F 到准线的距离为6，所以||||2612AF BF ==⨯=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查抛物线的定义和几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 10．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-【答案】A【解析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①④D ．①②④【答案】D【解析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =I ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为112234448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确. 故选：D 【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题13．已知数列{}n a 是等比数列，131,36a a ==，则2a =__________. 【答案】6±【解析】根据等比数列通项公式，首先求得q ，然后求得2a . 【详解】设{}n a 的公比为q ，由131,36a a ==，得236,6q q ==±，故26a =±.故答案为：6± 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.14．已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-r r ，,a b r r的夹角为θ，则sin θ=__________.【解析】利用两个向量夹角计算公式，求得cos θ的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得sin θ的值. 【详解】依题意[]0,πθ∈，所以cos ||||a b a b θθ⋅=====r r r r【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.15．381(2)x x-展开式中常数项为______.【答案】112【解析】求得二项展开式的通项，令3(8)0r r --=，解得6r =，代入即可得到展开式的常数项． 【详解】由题意，二项展开式的通项为3883(8)1881(2)()2(1)r r r r r r r rr T C x C x x----+=-=-， 令3(8)0r r --=，解得6r =，所以常数项为6866782(1)112T C -=-=．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>与椭圆()2211221110x y a b a b +=>>有相同的焦点，且左、右焦点分别为12,F F ，它们在第一象限的交点为P ，若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为____________.【答案】12+ 【解析】利用正弦定理求得1222F F PF =，利用椭圆和双曲线的定义求得12a a c =+，进而由121⋅=e e 列方程，并转化为含有双曲线离心率2e 的方程，由此求得双曲线的离心率. 【详解】设椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122F F c =，由正弦定理得2121212sin sin PF F F PF F F PF =∠∠.∵1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，∴1222F F PF =，∴2PF c =.∵1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，∴11222PF a c a c =-=+，∴12a a c =+.又∵1212221c c c c e e a a a c a ⋅=⋅=⋅=+，2222c a a c =+，两边除以22a 并化简得22210e e --=，∴212e +=.【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查双曲线离心率的求法，考查正弦定理进行边角互化，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且(3)cos cos 0a c B b C ++=. （1）求sin B ；（2）若1,a b ==ABC ∆的面积.【答案】（1）sin 3B =（2）9【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos B 的值，进而求得sin B 的值.（2）利用余弦定理列方程，由此求得c ，再利用三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）因为(3)cos cos 0a c B b C ++=，所以3sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=， 所以3sin cos (sin cos sin cos )sin A B B C C B A =-+=-. 因为sin 0A >，所以1cos 3B =-，所以22sin 3B =. （2）由余弦定理得2222222cos 3b ac ac B a c ac =+-=++. 因为1,22a b ==，所以22703c c +-=，即23221(3)(37)0c c c c +-=+-=， 所以73c =. 所以ABC ∆的面积为1172272sin 122339ac B =⨯⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .（1）证明：BP ⊥平面DCP .（2）三棱锥D BPC -的体积最大时，求二面角B PD E --的余弦值. 【答案】（1）见解析（215【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BPC ，由此证得DC BP ⊥，根据圆的几何性质证得BP PC ⊥，由此证得BP ⊥平面DCP .（2）判断出三棱锥D BPC -的体积最大时P 点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD 和平面EPD 的法向量，计算出二面角B PD E --的余弦值. 【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形， 所以DC ⊥平面BPC .因为BP ⊂平面BPC ，所以DC BP ⊥.因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥. 又DC PC C ⋂=，所以BP ⊥平面DCP .（2）解：显然，当点P 位于»BC的中点时，BCP ∆的面积最大，三棱锥D BPC -的体积也最大. 不妨设2BC =，记AD 中点为G ，以E 为原点，分别以,,EB EP EG u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)E B D P -，(2,0,2),(1,0,2),(1,1,2)BD ED PD =-=-=--u u u r u u u r u u u r设平面BDP 的法向量为()111,,m x y z =r，则11111220,20,BD m x z PD m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u v r u u u v r令11x =，得(1,1,1)m =r . 设平面DEP 的法向量为()222,,n x y z =r，则2222220,20,ED n x z PS n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u v r u u u v r 令22x =，得(2,0,1)n =r ， 所以15cos ,||||535m nm n m n ⋅〈〉===⨯r rr r r r r . 155. 由图可知，二面角B PD E --为锐角，故二面角B PD E --的余弦值为【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.【答案】（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布列见解析，167EX =【解析】（1）根据题目所给数据，计算并填写出22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求X 的分布列及数学期望. 【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=.22⨯列联表如下：22200(60554540)600 3.84110595100100133K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1，2，3，4.1343474(1)35C C P X C ⋅===； 224344C C 18(2)C 35P X ⋅===；314344C C 12(3)C 35P X ⋅===；44471(4)35C P X C ===.X 的分布列为418121161234353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.20．已知12,F F 分别为椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B .（1）证明：点B 恒在椭圆C 上.（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，(1,0)T【解析】（1）根据题意求得2,F A 的坐标，设出,M N 的坐标，求得直线2,MF AN 的方程，由此求得B 的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到1，由此判断出B 恒在椭圆C 上.（2）首先判断直线n 的斜率是否存在.然后当直线n 斜率存在时，设出直线n 的方程y kx b =+，判断出T 的位置并设出T 的坐标.联立直线n 的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得,k b 的关系式，进而求得P 的坐标，结合Q 点坐标以及2PTQ π∠=，利用0TP TQ ⋅=u u r u u u r列方程，结合等式恒成立求得T 的坐标.【详解】（1）证明：由题意知2(1,0),(4,0)F A ，设(,),(,)M s t N s t -，则22143s t+=.直线2MF 的方程为(1)1t y x s =--，直线AN 的方程为(4)4t y x s -=--， 联立可得5825B s x s -=-，325B t y s =-，即B 的坐标为583,2525s t s s -⎛⎫⎪--⎝⎭.因为22222222(58)12(58)3691434(25)4(25)B B x y s t s s s s -+-+-+===--， 所以B 点恒在椭圆C 上.（2）解：当直线n 的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线n 的方程为y kx b =+，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立，则T 一定在x 轴上，故设()0,0T x ，由22,1,43y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2224384120k x kbx b +++-=.因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，所以()()()2222226444341248430k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以43,P P P k x y kx b b b=-=+=.又因为(4,4),2Q k b PTQ π+∠=，所以()0043,4,40k TP TQ x x k b bb ⎛⎫⋅=--⋅-+= ⎪⎝⎭u u r u u u r ， 即()0043(4)40k k b x x b b+⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭. 所以()200043440kx x x b-++-=对于任意的满足22430k b -+=的,k b 恒成立， 所以0200440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得01x =.故在平面内存在定点(1,0)T ，使得2PTQ π∠=恒成立.【点睛】本小题主要考查直线与直线交点坐标，考查点与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()ln 12af x x a x x=+--+有两个不同的极值点12,x x . （1）求a 的取值范围.（2）求()f x 的极大值与极小值之和的取值范围.（3）若110,,,22m n ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f m f n -是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 【答案】（1）104a <<（2）(,2ln 21)-∞-+（3）()()f m f n -没有最小值.见解析 【解析】（1）先求得函数()f x 的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得a 的取值范围.（2）根据（1）求得1212,1x x a x x =+=，求得()()12f x f x +的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.（3）由（2）假设()1()f x f x =极小值，()2()f x f x =极大值，则()()min 12[()()]f m f n f x f x -=-，求得()()12f x f x -的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即()()f m f n -没有最小值.【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，2221()1a x x af x x x x -+-'=--=. 因为()f x 有两个不同的极值点12,x x ，且0x >，所以20x x a -+=有两个不同的正根，1212140100a x x x x a ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得104a <<.（2）因为1212,1x x a x x =+=，不妨设12x x <，所以()1()f x f x =极小值，()2()f x f x =极大值，所以()()()()1212121212()()ln 2(12)a x x f x f x f x f x x x a x x x x ++=+=⋅+-+-+极小值极大值 ln 24a a =+-.令()ln 42a a a ϕ=-+，则1()40a aϕ'=->， 所以()a ϕ在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1()2ln 214a ϕϕ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 即()f x 的极大值与极小值之和的取值范围是(,2ln 21)-∞-+.（3）由（2）知1212,1x x a x x =+=.因为121110,,,,222m n x x ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()min 1max 2(),()f m f x f n f x ==， 所以()()121min 1221212[()()]lnx x x f m f n f x f x x x a x x x --=-=+-+. 因为121x x =-，所以()2min 221[()()]ln221x f m f n x x --=+- ()22221ln 1ln 4212x x x x ⎛⎫=--+-<< ⎪⎝⎭.令1()ln(1)ln 4212h x x x x x ⎛⎫=--+-<< ⎪⎝⎭，则211(21)()401(1)x h x x x x x -'=-+=<--， 所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()h x 无最小值，故()()f m f n -没有最小值. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是11cos ,421sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值. 【答案】（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+⎪⎝⎭（2）最大值为34【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值. 【详解】（1）由11cos ,421sin ,42x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去α得曲线C的普通方程为22102x y x y +--=.所以C的极坐标方程为1cos 22ρ=θ+θ， 即sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭.（2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭112cos 2444θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当6πθ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题. 23．已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值. 【答案】（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169【解析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤；当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=， 所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=，1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号.故13211a b +++的最小值为169.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

湖南省娄底市上学期期末教学质量检测试题高三数学(理)第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设复数121,1z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则12z z 的模为 A.14C. 12D. 1 2.下列说法正确的是A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B. 在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”必要不充分条件 C.“若tan α≠3πα≠”是真命题D.()0,0x ∃∈-∞使得0034xx<成立3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果n = A. 4 B. 5 C. 2 D. 34.下列四个图中，函数ln 11x y x +=+的图象可能是5.设实数,x y 满足22202y x x y x ≤-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则13y x -+的取值范围是A. 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B. 1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,53⎛⎤- ⎥⎝⎦ D. 1,13⎛⎤⎥⎝⎦6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S 为()S R r l π=+（注：圆台侧面积公式为）A. 17π+B. 20π+C.22πD. 17π+7.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为A. 33- D.8.在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为 A.6π B. 3π C.512π D.2π9.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,()1f x +为奇函数，()00f =,当(]0,1x ∈时，()2log f x x =，则在区间()8,9内满足方程()122f x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的实数x 为A.172 B. 658 C. 334D.678 11.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 12.已知函数()()ln ln ,1xf x x f x x=-+在0x x =处取得最大值，以下各式中：①()00f x x <②()00f x x =③()00f x x >④()012f x <⑤()012f x > 正确的序号是A. ②④B. ②⑤C. ①④D. ③⑤第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()2,12,1x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则满足()110xf x -≥的x 取值范围为 .14.多项式()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为 .（用数字作答）15.有一个电动玩具，它有一个96⨯的长方形（单位：cm ）和一个半径为1cm 的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点A 出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 . 16.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知函数()()21, 1.f x x g x a x =-=-（1）若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC ∆中，角A,B,C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外接圆的半径R=2，求ABC ∆的面积的最大值.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，n 为正整数.（1）令2nn n b a =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++，求n T .20.（本题满分12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n 户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n 的值.21.（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，160.A AC ∠=（1）求侧棱1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值的大小； （2）已知点D 满足BD BA BC =+，在直线1AA 上是否存在点P,使DP//平面1AB C ？若存在，请确定点P 的位置，若不存在，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）记两个极值点为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式12x x e λλ+⋅>恒成立，求λ的取值范围.一、选择题 1-12 DCACB DBDDB CA二、填空题： 13.14. -6480 15.16.2016三：解答题 17.解：（Ⅰ）方程|f （x ）|=g （x ），即|x 2﹣1|=a |x ﹣1|，变形得|x ﹣1|（|x +1|﹣a ）=0，显然，x =1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x +1|=a 有且仅有一个等于1的解或无解，∴a ＜0．…………5分（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………10分18.（Ⅰ）由图知，解得∵∴，即由于，因此……………………3分∴∴即函数的解析式为………………6分（Ⅱ）∵∴∵，即，所以或1（舍），……8分由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当a=b等号成立）∴∴的面积最大值为.……………………12分19.解：（I）在中，令n=1，可得，即当时，，.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.……6分(II)由（I）得，所以由①-②得……12分20.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户。

2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z 满足2(1)4z i i +=，则复数z 的共轭复数(z = ) A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i2．（5分）已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+…；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是( ) A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝3．（5分）已知3()n a x x+的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为( ) A ．20B ．30C ．40D ．504．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了( ) A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里5．（5分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为( )A ．34B C ．1 D 6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的6n =，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．637．（5分）已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m 的值为( ) x1 2 34 y0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.88．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于A ，B两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为( )A ．21- B ．21-C ．31- D ．31- 9．（5分）如图，在ABC ∆中，,3,||2AD AB DC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r ，则AC AD u u u r u u u rg 的值为( )A ．3B ．8C ．12D ．1610．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且~(3000X N ，250)．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为( )（参考数据：若2~(,)X N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=„，(22)0.9544P X μσμσ-<+=„，(33)0.9974)P X μσμσ-<+=„ A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.977211．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( ) ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．（5分）已知{|()0}P f αα==，{|()0}Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”若2020()log (1)f x x =-与2()(x g x x ae e =-为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）30|1|x dx -=⎰ ．14．（5分）已知函数cos y x =与sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是 ．15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 （用数字回答）．16．（5分）已知,,(0,)2παβγ∈，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为 ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转(0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D AB P --的大小为4π？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数．（1）证明：12n n S S λ+=+；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． 19．（12分）如图，过抛物线22(0)y px p =>上一点(1,2)P ，作两条直线分别交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求12y y +的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距(1b ∈-，3]时，求ABP ∆面积ABP S ∆的最大值．20．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（12分）已知函数()1f x xlnx ax =++，a R ∈．（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<++⋯+<++． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为(1,1)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a ca b c b+++…； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z ++++的值．2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z 满足2(1)4z i i +=，则复数z 的共轭复数(z = ) A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i【解答】解：由2(1)4z i i +=，得2442(1)2i iz i i===+， ∴2z =．故选：A ．2．（5分）已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+…；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是( ) A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝【解答】解：2223(1)20x x x -+=-+>Q ，∴命题:p x R ∀∈，2230x x -+…为真命题；由22a b <，不一定有a b <，如1a =，2b =-，则命题q ：若22a b <，则a b <为假命题． p q ∴∨为真命题；()p q ∨⌝为真命题；p q ⌝∨为假命题；()p q ⌝∨⌝为真命题．故选：C ．3．（5分）已知3()n ax x+的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为( ) A ．20B ．30C ．40D ．50【解答】解：由题意可得：232n =，(1)243n a +=， 解得5n =，2a =．∴展开式中通项公式351541552()()2k kk k k k k T x x x--+==痧，令1547k -=，解得2k =．7x ∴的系数225240==ð． 故选：C ．4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了( ) A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里 【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{}n a ，且公比为12， 6Q 天后共走了378里，1661(1)2378112a S -∴==-， 解得1192a =，∴第三天走了23111()1924824a a =⨯=⨯=， 故选：B ．5．（5分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为( ) A ．34BC ．1 D【解答】解：由题意可得，2sin sin sin B A C =， 由正弦定理可得，2b ac =， 又2c a =，则可得b =，由余弦定理可得2222222423cos 244a c b a a a B ac a +-+-===，所以sin B ==． 故选：B ．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的6n =，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环S n 循环前/0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否故15S =时，满足条件S p < 31S =时，不满足条件S p <故S 的最小值31 故选：C ．7．（5分）已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m 的值为( ) x1 2 34 y0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.8【解答】解：由题意， 2.5x =，代入线性回归方程为ˆ 1.31y x =-，可得 2.25y =， 0.1 1.844 2.25m ∴+++=⨯， 3.1m ∴=．故选：B ．8．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于A ，B两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为( ) A ．212- B ．21- C ．31- D ．31-【解答】解：由222213x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得223x a b =±+，分别代入2233ab y a b=±+，22(3A a b∴+，223)3ab a b+，22(3B a b-+，223)3ab a b-+，∴22(3AF c a b=++u u u r，223)3ab a b+，22(3BF c a b=-+u u u r，223)3ab a b-+，∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b =--=++u u u r u u u r g ，2222243a b c a b ∴=+，(*) 把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-， 两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得2423e =- 31e ∴=-，故选：D ．9．（5分）如图，在ABC ∆中，,3,||2AD AB DC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r ，则AC AD u u u r u u u rg 的值为( )A ．3B ．8C ．12D ．16【解答】解：Q 在ABC ∆中，,3,||2AD AB DC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r，∴()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g(4)AB BD AD =+u u u r u u u r u u u r g [4()]AB AD AB AD =+-u u u r u u u r u u u r u u u r g (34)AB AD AD =-+u u u r u u u r u u u r g 234AB AD AD =-+u u u r u u u r u u u r g204216=+⨯=； 故选：D ．10．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且~(3000X N ，250)．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为( )（参考数据：若2~(,)X N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=„，(22)0.9544P X μσμσ-<+=„，(33)0.9974)P X μσμσ-<+=„ A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.9772【解答】解：1(3100)(3000250)1[1(22)]0.97722P X P X P X μσμσ=+⨯=---<+=剟?，故选：D ．11．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( ) ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④【解答】解：设电线杆的下端分别为B ，D 且高度分别为a ，b 以B 为原点，BD 所在直线为y 轴建系，由仰角的正切相等知||||a PD b PB =，设(0D ，)(t P x ，)y ⇒= 则当a b =时，点P 的轨迹为BD 的垂直平分线， 当a b ≠时，点P 的轨迹为圆，故选：A ．12．（5分）已知{|()0}P f αα==，{|()0}Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”若2020()log (1)f x x =-与2()(x g x x ae e =-为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e 【解答】解：易知函数()f x 只有一个零点2，故{2}P =，由题意知|2|1β-<，即13β<<．由题意知，函数()g x 在(1,3)内存在零点，由2()0xg x x ae =-=，得2xx ae =，所以2x x a e=．记2()((1,3))x x h x x e =∈，则222(2)(),(1,3)()x x x xxe e x x x h x x e e --'==∈．所以当(1,2)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当(2,3)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 所以24()(2)h x h e =„，而3219114(1),(3),()(2)h h h x h e e e e e==><=„， 所以实数a 的值范围为214(,]e e ．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）30|1|x dx -=⎰52． 【解答】解：3132100011|1|(1)(1)()|(2x dx x dx x dx x x -=-+-=-+⎰⎰⎰23115)|22x x -=． 故答案为：5214．（5分）已知函数cos y x =与sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是3π．【解答】解：函数cos y x =与sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，所以cossin(2)66ππϕ==⨯+，所以：(0)32ππϕφ=<<．故答案为：3π． 15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 70 （用数字回答）． 【解答】解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形， 该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点， 故交点个数为4870C =． 故答案为：7016．（5分）已知,,(0,)2παβγ∈，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最【解答】解：由题意，知222sin sin sin 1αβγ++=，由基本不等式可知sin sin αβγ+„，同理sin sin βγα+„，sin sin γαβ+„，上述式子相加可得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++所以cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转(0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ．（1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D AB P --的大小为4π？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ．由于AB r ππ==，AD π=，所以这实际上是一个正方形． 所以曲线Γ的长度为2BD π． （2）当2πθ=时，点1B 恰好为AB 的中点，所以P 为11B C 中点，故点1C 到平面APB 的距离与点1B 到平面APB 的距离相等． 连接AP 、BP ，OP ．由1AB B P ⊥且11AB A B ⊥知：AB ⊥平面APB ，从而平面11A B P ⊥平面APB ． 作1B H OP ⊥于H ，则1B H ⊥平面APB ，所以1B H 即为点1B 到平面APB 的距离． 在Rt △1OB P 中，·1111,2OB B P BB π===， 所以22241()2OP ππ+=+=于是：111221244OB B PB H OPπππ⨯⨯===++．所以，点1C 到平面APB 24π+．（3）由于二面角1D AB B --为直二面角，故只要考查二面角1P AB B --是否为4π即可． 过1B 作1B Q AB ⊥于Q ，连接PQ ．由于1B Q AB ⊥，1B P AB ⊥，所以AB ⊥平面1B PQ ，所以AB PQ ⊥． 于是1PQB ∠即为二面角1P AB B --的平面角． 在Rt △1PB Q 中，·111sin ,B Q B P BB θθ===． 若14PQB π∠=，则需11B P B Q =，即sin θθ=．令()sin (0)f x x x x π=-<<，则()cos 10f x x '=-<， 故()f x 在(0,)π单调递减．所以()(0)0f x f <=，即sin x x <在(0,)π上恒成立． 故不存在(0,)θπ∈，使sin θθ=．也就是说，不存在(0,)θπ∈，使二面角1D AB B --为4π．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数．（1）证明：12n n S S λ+=+；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：11n n n a S S ++=-Q ，2211nn n S a S λ++=-， ∴2211()nn n n S S S S λ++=--， 11(2)0n n n S S S λ++∴--=， 0n a ∴>，10n S +∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴-+（2）解：12n n S S λ+=+Q ，12(2)n n S S n λ-=+…， 相减得：12(2)n n a a n +=…，{}n a ∴从第二项起成等比数列， 212S S λ=+Q 即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-，21,1(1)2,2n n n a n λ-=⎧∴=⎨+⎩…， 若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，22(1)(1)λλ∴+=+，1λ∴=经检验得符合题意．19．（12分）如图，过抛物线22(0)y px p =>上一点(1,2)P ，作两条直线分别交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求12y y +的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距(1b ∈-，3]时，求ABP ∆面积ABP S ∆的最大值．【解答】解：（1）Q 点(1,2)P 在抛物线上，222p ∴=，解得2p =． 设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ． 则1112(1)1PA y k x x -=≠-，2222(1)1PB y k x x -=≠-， PA Q 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，PA PB k k ∴=-．由1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均在抛物线上，得2114y x =，①2224y x =②122(2)y y ∴+=-+，124y y ∴+=-．（2）由①-②得直线AB 的斜率为1AB k =-．因此设直线AB 的方程为y x b =-+，由直线与抛物线方程联立，消去y 得22(24)0x b x b -++=，由△0>，得1b >-，这时1224x x b +=+，212x x b =， ||421AB b =+P 到直线AB 的距离为2d ，所以22(1)(3)ABP S b b ∆=+- 令2()(1)(3)([1,3])f x x x x =+-∈-， 则由()(31)(3)0f x x x '=--=，得13x =或3x =， 当1(1,)3x ∈-时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，当1(3x ∈，3)时，()0f x '>，所以()f x 单调递减，故()f x 的最大值为25627，故ABP ∆面积ABP S ∆32320．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【解答】解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：所以2K 的观测值()()()()120801001003k a b c d a c b d ===++++⨯⨯⨯， 因为2K 的观测值41.3233k =>， 由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则m n ξ=+， 根据已知条件可得1ξ=，2，3，4，5，12232232541(1)(1,0)20C C C P P m n C C ξ======g ，12121123223222323254543(2)(1,1)(2,0)10C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=g g ， (3)(1P P m ξ===，1)(2n P m =+=，1)(3n P m =+=，0)n =1221022323223233325554715C C C C C C C C C C C =++=g ， 21032113223222323254541(4)(2,2)(3,1)6C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ=====+===+=g g ； 03223232541(5)(3,2)60C C C P P m n C C ξ======g ， 所以ξ的分布列是：所以1371114123452010156605E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知函数()1f x xlnx ax =++，a R ∈．（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<++⋯+<++． 【解答】解：（1）由()0f x …，得10(0)xlnx ax x ++>…． 整理，得1a lnx x -+„恒成立，即1()min a lnx x-+„． 令1()F x lnx x =+．则22111()x F x x x x-'=-=． ∴函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴函数1()F x lnx x=+的最小值为F （1）1=． 1a ∴-„，即1a -…．a ∴的取值范围是[1-，)+∞．（2）Q24nn +为数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．∴只需证明2111(1)(2)(1)n ln n n n n n +<<+++即可．由（1），当1a =-时，有10xlnx x -+…，即1lnx x x-…． 令11n x n +=>，即得11111n n ln n n n +>-=++． ∴2211111()1(1)(2)12n lnn n n n n n +>>=-+++++． 现证明211(1)n ln n n n +<+，即2==(*) 现证明12(1)lnx x x x<->．构造函数1()2(1)G x x lnx x x=--…， 则2221221()10x x G x x x x-+'=+-=…． ∴函数()G x 在[1-，)+∞上是增函数，即()G x G …（1）0=． ∴当1x >时，有()0G x >，即12lnx x x<-成立．令x =(*)式成立． 综上，得2111(1)(2)(1)n ln n n n n n +<<+++．对数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭，21n ln n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭分别求前n 项和， 得2223122421n n nln ln ln n n n +<++⋯+<++． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为(1,1)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值． 【解答】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，曲线C 的普通方程为2214y x -=，故曲线C 的右顶点(0,1)到直线l的距离d =． （2）将直线l的参数方程改为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 并代入2214y x -=，得2320t --=，设其两根为1t ，2t，则12t t +=，1223t t =-， 122||||||3PA PB t t ∴==g ． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a ca b c b+++…； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z ++++的值．【解答】解：（1）由三元基本不等式知，1b a c b a b ca b c b a b c b+++=++-++12=…，当且仅当b a b ca b c b +==+时取等号， ∴2b a c a b c b +++…．． （2）由柯西不等式可得2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++++…， Q 222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，结合上述不等式取等号， 可设(0)a b ck k x y z===>，即a kx =，b ky =，c kz =， 2222222()a b c k x y z ∴++=++，249k ∴=，∴23k =， ∴23a b c k x y z ++==++．。

湖南省娄底地区2020年高三上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，则（∁UA）∩（∁UB）=（）A . {1，3，4，8}B . {1，2，4，5，6，7，8}C . {2，7，8}D . {2，3，4，7}2. （2分）已知复数z= ，是z的共轭复数，则为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·芒市期中) 如图是某校举行歌唱比赛时，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数依次为（）A . 87，86B . 83，85C . 88，85D . 82，864. （2分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α．其中正确命题的序号是（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④5. （2分） (2018高一下·芜湖期末) 网上大型汽车销售某品牌A型汽车，在2017年“双十一”期间，进行了降价促销，该型汽车的价格与月销量之间有如下关系价格（万元）2523.52220.5销售量（辆）30333639已知A型汽车的购买量与价格符合如下线性回归方程：，若A型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（）A . 39B . 42C . 45D . 506. （2分）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分） (2016高三上·上海期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A . ﹣4B . 6C . 10D . 179. （2分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到f（x）图象，则只需将g （x）=sin2x的图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向右平移个长度单位D . 向左平移个长度单位10. （2分）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上,若,,则球O的半径为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·昆明模拟) 若双曲线M：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1 ， F2 ，以F1F2为直径的圆与双曲线M相交于点P，且|PF1|=16，|PF2|=12，则双曲线M的离心率为（）A .B .C .D . 512. （2分） (2017高二下·眉山期末) 已知函数f（x）= ，则y=f（x）的图象大致为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是________ ．14. （1分） (2016高一下·桐乡期中) 若等差数列{an}的公差d≠0且a9 ， a3 ， a1成等比数列，则=________．15. （1分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知点在抛物线上，抛物线的焦点满足＋＋＝ ,则 ________.16. （1分）设x，y∈R，向量 =（x，1）， =（1，y）， =（3，﹣6），且⊥ ，∥ ，则（ + ）• =________．三、解答题 (共8题；共70分)17. （5分） (2018高一下·安庆期末) 在△ 中，内角所对的边分别为 .若，求△ 的面积.18. （10分） (2018高二下·大庆月考) 在数列中，已知（1）求，并由此猜想数列的通项公式的表达式。

湖南省娄底市白塘中学2019-2020学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，则( )A. 5B. 8C. 9D. 17参考答案：C【分析】根据根据分段函数的解析式，求得，进而可求解的值，得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 设在函数的图象上的点处的切线斜率为k，若，则函数的图像大致为参考答案：A3. 已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，设（e为自然对数的底），则（）A． B．C． D．F（2012）与F（0）的大小不确定参考答案：A略4. 在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）参考答案：A5. 已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是参考答案：B解析：由，得，则,选B.6. 已知，，则的值是A. －B. －C.D.参考答案：C略7. 已知函数f(x)=2mx3?3nx2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点，则lg2m+lg2n的最小值为（）A、 B、 C、D、参考答案：D试题分析：,由得，，，即函数的两个极值点为，，又因为，函数有两个不同的零点，所以，即，所以,当时，有最小值，故选D.考点：1.导数与函数的极值；2.函数与方程；3.二次函数.8. 已知双曲线，以原点O为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，这四点围成的四边形面积为b，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．3 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得圆得方程，则双曲线的两条渐近线方程为y=±bx，利用四边形ABCD的面积为b，求得A点坐标，代入圆的方程，即可求得b得值，【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=1，双曲线的两条渐近线方程为y=±bx，设A（x，bx），∵四边形ABCD的面积为b，∴2x?2bx=b，∴x=±，将A（，）代入x2+y2=1，可得+=1，∴b=故选A．9. 若?x∈（0，），均有9x＜log a x（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是( )A．[2，1）B．（0，2] C．（2，3）D．（1，2）参考答案：A考点：指、对数不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：对任意的0＜x＜时，总有9x≤log a x恒成立，则在0＜x＜时，y=log a x的图象恒在y=9x的图象的上方，在同一坐标系中，分别画出指数和对数函数的图象，由此能求出实数a的取值范围．解答：解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当0＜x＜时，函数y=9x的图象如右图所示：∵对任意的0＜x＜，总有9x＜log a x恒成立，若不等式9x＜log a x恒成立，则y=log a x的图象恒在y=9x的图象的上方，∵y=log a x的图象与y=9x的图象交于（，3）点时，a=，故所求的y=log a x的图象对应的底数a应满足≤a＜1．故选A．点评：本题以指数函数与对数函数图象与性质为载体考查了函数恒成立问题，其中熟练掌握指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键．10. 设, ,，则A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD.参考答案：D因为,,，因为，所以，所以，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相交于A、B两点，则线段AB的中点的直角坐标为参考答案：12. 函数的最小正周期T= .参考答案：答案：π13. 函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意，|AB|=2，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π﹣（α+β），过P作AB的垂线．即可求sinα，sinβ，cosα，cosβ，从而求sin2θ的值．【解答】解：由题意，函数y=sin（πx+φ），T=，∴|AB|=2，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π﹣（α+β），过P作AB的垂线交于C，|AC|=，|AP|=，|PC|=1，那么：sinα=，cosα=，|BC|=，|PB|=，那么：sinβ=，cosβ=，则：sin2θ=2sinθcosθ=﹣2sin（α+β）cos（α+β）=﹣2（sinαcosβ+cosαsinβ）（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数图象及性质的运用和计算能力，属于中档题．14. 已知实数，求直线与圆有公共点的概率为___________.参考答案：15. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．参考答案：y=±x【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．16. 设函数是奇函数，则= ．参考答案：17. 给出下列四个结论：①函数在其各自定义域上具备相同单调性；②函数为非零常数）的图象可由函数y=3x的图象经过平移得到；③函数是偶函数；④函数y=cos|x|是周期函数.其中正确结论的序号是 .（填写你认为正确的所有结论序号）参考答案：答案：③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。