一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性

具非单调功能响应的捕食者与食饵离散系统的动力学性质
捕食者-食饵系统的动力学性质一直深受生态学和数学等方面的研究人员的关注。

根据种群的具体情况,可以用连续模型或离散模型来描述这类系统,模型通常要反映影响捕食者-食饵相互关系的主要因素,比如密度制约、功能响应等。

本文以具非单调功能响应的捕食者与食饵离散系统的三类模型为研究对象,讨论它们的持久性、周期性、概周期解存在性及全局吸引性等问题。

全文分为五个部分、各部分主要内容如下：本文第一章主要介绍非单调功能响应离散捕食者一食饵模型的生物背景及研究进展,并引出本文研究的三种非单调功能响应离散模型。

第二章中研究了一个具Holling-Ⅳ型功能反应函数有分布时滞和密度制约的捕食者-食饵离散系统。

通过运用差分方程的比较定理及分析技巧,获得了保证所研究的系统持久性的两组充分条件,其中一组用于一般的变系数情形,另一组用于特殊的周期系数情形,并用两个实例进行数值模拟去验证了所得分析结果的正确性。

本文第三章主要研究非单调功能响应离散种群模型中一类具比率依赖和分布时滞、捕食者无密度制约模型,通过利用重合度理论中的Mawhin延拓定理获得了系统至少存在两个周期解的充分条件。

本文第四章考虑了一个具Holling-Ⅳ型功能反应函数和密度制约的离散捕食者-食饵系统。

运用差分方程的比较定理,建立了变系数情形和概周期系数情形下保证持久性的两组充分条件,同时分析了此离散模型的全局吸引性,并获得了系统存在唯一全局吸引的概周期解的充分条件。

最后总结全文,指出了论文没有考虑到一些问题及今后的研究方向。

一类带有比率依赖型反应函数的捕食-食饵模型正解的存在性和多重性李海侠【摘要】讨论了一类带有Crowley-Martin和比率依赖反应函数的扩散捕食-食饵模型.首先利用局部分歧理论考察了系统关于强半平凡解处产生正解的存在性,再运用扰动理论得到了正解的稳定性.最后借助全局分歧理论和不动点指数理论给出了正解多重性的条件.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(043)002【总页数】8页(P156-163)【关键词】捕食-食饵模型;Crowley-Martin反应函数;分歧;扰动;多解【作者】李海侠【作者单位】宝鸡文理学院数学与信息科学学院,陕西宝鸡721013【正文语种】中文【中图分类】O175.26在齐次Robin边界条件下讨论如下带有Crowley-Martin和比率依赖反应函数的捕食-食饵模型:ut-Δu=,x∈Ω, t>0,vt-Δv=,x∈Ω, t>0,,,,u(x,0)=u0(x)≥0,≢0, x ∈Ω,v(x,0)=v0(x)≥0,≢0, x∈Ω,w(x,0)=w0(x)≥0,≢0, x∈Ω,其中，Ω∈RN是带有光滑边界∂Ω的有界区域.系统(1)是三物种的捕食-食饵模型, 其中u是食饵, v和w是2个以u为食物的捕食者.ai(i=1,2,3)分别是u,v和w 的增长率,r1,p1,b和c分别描述了捕食者v的捕获率、转化率、处理时间和捕食者间的强度,r2和p2分别代表了捕食者w的捕获率和转化率,e代表半饱和常数. 食饵u和捕食者v之间以Crowley-Martin(C-M)型反应函数相互作用, 食饵u和捕食者w之间以比率依赖型反应函数相互作用.初值u0(x),v0(x)和w0(x)是连续函数.参数b,c,e,a1,a2,a3,pi,ri(i=1,2)都是正常数.如果系统(1)没有捕食者w且c=0, 则系统(1)成为经典的带有Holling-II反应函数的两物种捕食-食饵模型. 在齐次Dirichlet边界条件下, 文献[1]应用局部和全局分歧理论讨论了系统正解的存在性；文献[2]运用不动点指数理论、分歧理论和扰动理论研究了当参数b充分大时系统正解的存在性、稳定性和多重性. 如果系统(1)没有捕食者w, 则其变为带有C-M反应函数的两物种捕食-食饵模型. 在齐次Dirichlet边界条件下, 文献[3]首先讨论了模型正解的存在性以及当b充分大和r1充分小时正解的多重性和唯一性; 文献[4]在此基础上进一步讨论了当参数c充分大时系统正解的唯一性和稳定性，并采用数值模拟对所得结果进行验证和补充. 如果系统(1)没有捕食者v, 则系统(1)成为带有比率依赖反应项的两物种捕食-食饵模型. 文献[5]在齐次Robin边界条件下讨论了此模型正平衡解的存在性、稳定性、唯一性，以及抛物系统的渐近行为.C-M反应函数是一类既依赖食饵又依赖捕食者的经典反应函数, 正常数r,b和c分别描述了捕食者的捕获率、处理时间和捕食者间的强度. 不管目前某个捕食者是否在寻找或捕获食饵, C-M反应函数都允许存在捕食者之间的干扰. 因此, 近年来带有C-M反应函数的捕食-食饵模型受到了国内外生物学家和数学家的广泛关注[6-10]. 然而, 据笔者所知，关于带有C-M反应函数的三物种扩散捕食-食饵模型的研究并不多见. 另一方面, 由于三物种捕食-食饵模型动力学行为的复杂性, 在三物种扩散模型中,关于系统在强半平凡解处产生正解的研究以及正解多重性的研究亦非常少见.综上所述，本文主要考虑系统(1)对应的平衡态系统,,,正解的存在性、稳定性和多重性.首先，给出一些预备知识. 令),λ1(q)为如下特征值问题的主特征值:-Δϑ+q(x)ϑ=λϑ,ϑ=0,x∈∂Ω，则λ1(q)连续依赖q,λ1(q)是简单的.而且,如果q1≤q2,q1≢q2, 则λ1(q1)<λ1(q2).为简单起见, 定义λ1(0)为λ1,则λ1的主特征函数记为ϑ1.考虑如下非线性问题：若r>λ1,则式(3)有唯一正解,若r≤λ1,则式(3)只有零解.定义唯一正解为Θr.特别地,Θr<r且Θr连续依赖r.1.1 正解的先验估计和不存在性首先，由上下解方法可得系统(2)的共存解的先验估计.引理1 系统(2)的任意共存解(u,v,w)有先验估计引理2 如果系统(2)有共存解, 则证明假设(u,v,w)是系统(2)的共存解. 由特征值的比较原理可知a1>λ1且u≤Θa1.则由系统(2)的第2个方程和特征值的比较原理，得0=.因此,.类似证得a3+p2>λ1.由引理2和上下解方法易得：引理3 如果系统(2)有共存解(u,v,w), 则u≤Θa1,v≤Θ(a2,a1),w≤Θa3+p2.而且，如果，则这里Θ(a2,a1)是如下问题的唯一正解：Ω.由引理2得系统(2)正解的不存在性.定理1 如果以下条件之一成立，则系统(2)没有共存解.(iii) a1>λ1且a3+p2≤λ1.1.2 正分歧解的存在性和稳定性重点将a3作为分歧参数，考察系统(2)关于强半平凡解,0)处产生的分歧，从而得到系统(2)正解存在的充分条件，并利用扰动理论给出正解的稳定性，这里)是如下问题的正解关于问题(4), 用类似于文献[2]的方法可得：引理4 如果,a2>λ1,则系统(4)至少存在1个正解. 而且存在充分小的正常数1使得当1时, 系统(4)存在唯一正解，且)是非退化和线性稳定的.任意给定),则由引理4可知问题：存在唯一解, 这里.为了应用分歧理论, 引入如下空间:定理2 设则是系统(2)的分歧点, 在的邻域内系统(2)存在正解(φ1+ν2(s)),s(ψ1+ν3(s))),0<s<ε.而且当s→0+,r2→0时, 正解(u(s),v(s),w(s))是非退化和线性稳定的,这里是对应的主特征函数且‖ψ1‖2=1,(φ1,φ1)是式(5)对应于的唯一解.证明令G(a3,u,v,w)=.记).容易验证于是，dimN(L)=dimR(L)=1.令,则因此,由Crandall-Rabinowitz分歧理论[11]可知,存在常数ε>0和C1曲线Γ=(a3(s),u(s),v(s),w(s)):(0,ε)→R×E,使得(φ1+ν2(s)),w(s)=s(ψ1+ν3(s))且ν1(0)=ν2(0)=ν3(0)=0,ν1(s),ν2(s),ν3(s)∈Z,其中E=span{(φ1,φ1,ψ1)}⊕Z.进而，(u(s),v(s),w(s))(0<s<ε)是系统(2)的正解.其次，证明(u(s),v(s),w(s))是非退化和线性稳定的. 简单起见，记(u(s),v(s),w(s))=(u,v,w).系统(2)在(u,v,w)处的线性化特征值问题为L(s)(η,ξ,ζ)T=τ(s)(η,ξ,ζ)T,其中，(η,ξ,ζ)T≠0,,,,,,,.显然,当s→0+时,因此,当s→0+,r2→0时,L(s)趋于这里3+p2.与文献[12]的证明类似,可得L0的特征值由算子-Δ-S和的特征值构成.由引理4可知，L1的特征值都有正实部且远离0. 因此，0是L0的简单特征值, 对应的特征函数为(0,0,ψ1).又由Riesz-Schauder定理可知，0是L0的最小特征值, 其余特征值都大于且远离0,则由线性算子的扰动理论,有当s→0+,r2>0充分小时, L(s)有唯一的特征值τ(s)→0,L(s)的其余特征值都有正实部且远离0. 而且, 可取τ(s)相应的特征函数为(η,ξ,ζ),使得当τ(s)→0时(η,ξ,ζ)→(0,0,ψ1).下面判别Reτ(s)的符号.对L(s)(η,ξ,ζ)=τ(s)(η,ξ,ζ)的第3个方程乘w并在Ω上积分, 得-∫ΩwΔ.对系统(2)的第3个方程乘以ζ并在Ω上积分, 有.由式(6)和(7)，得τ(s)∫Ωwζdx=x.取式(8)的实部, 两边同除以s2并令s→0+,τ(s)→0,得.于是当s→0+时,Reτ(s)≠0.因此分歧正解(u(s),v(s),w(s))是非退化的. 而且, 因为L(s)的其余特征值都有正实部且远离0, 所以分歧正解(u(s),v(s),w(s))稳定.类似地, 可将a2作为分歧参数, 得到系统(2)关于强半平凡解)处产生的分歧, 这里)是如下问题的正解:关于问题(9)同理有:引理5 如果,a3>λ1,则系统(9)至少存在1个正解. 而且存在充分小的正常数2使得当2时,系统(9)存在唯一正解)且是非退化和线性稳定的.任意给定), 则由引理5可知问题存在唯一解.定理3 设,则是系统(2)的分歧点, 在的邻域系统(2)存在正解且当s→0,r1→0时,正解(u(s),v(s),w(s))是非退化和线性稳定的, 这里,κ1(0)=κ2(0)=κ3(0)=0,β1>0是对应的主特征函数且‖β1‖2=1,(α1,γ1)是式(10)对应的唯一解.应用分歧理论和不动点指数理论,讨论了系统(2)正解的稳定性和多重性条件. 以a1为分歧参数，研究了系统(2)关于强半平凡解(0,Θa2,Θa3)的分歧.令U=u,V=v-Θa2,W=w-Θa3,则U,V,W>0满足,,,,其中,G1(U,V,W)=,G2(U,V,W)=,U.令G(U,V,W)=(G1(U,V,W),G2(U,V,W), G3(U,V,W)).显然,G(0,0,0)=0且G连续.而且,fréchet导数D(U,V,W)G(0,0,0)=0.令K是带有Robin边界条件的-Δ的逆.定义T:R+×E→E为T(a1,U,V,W)=则T(a1,U,V,W)是可微紧算子. 令F=I-T.显然, F是C1函数且F(a1,0,0,0)=0.而且,F(a1,U,V,W)=0当且仅当(a1,U,Θa2+V,Θa3+W)是系统(2)的非负解.类似于定理2的证明,可得：定理4 设a2>λ1,a3>λ1,则是系统(2)的分歧点且在的邻域式(2)有正解而且当ε→0+,I>0时, 正解(u(ε),v(ε),w(ε))是非退化线性稳定的, 这里是对应的主特征函数且‖,I=x.方便起见,给出如下引理.引理6 a1(ε)在ε=0处的微分满足x.证明将(a1(ε),u(ε),v(ε),w(ε))=(a1(ε),ε(ξ1+r(ε)),Θa2+ε(η1+t(ε)),Θa3+ε(χ1+s(ε)))代到系统(2)的第1个方程中, 两边同除ε,关于ε微分并令ε=0,得,两边同乘ξ1并在Ω上积分，知结论成立.接下来, 将局部分歧延拓为全局分歧.令a1,i(μ)(μ≥1)是如下问题的特征值：则a1,i(μ)关于μ≥1递增且可排列为0<a1,1(μ)<a1,2(μ)≤…→∞,且.类似文献[13]的方法，得当时,i(T(a1,·),0)=(-1)0=1,当时,i(T(a1,·),0)=(-1)1=-1.故由文献[14]中的全局分歧定理可知，在R×E中存在系统(2)从,0,Θa2,Θa3)分歧出来的连续分支Y且满足以下3点之一:的连接点,其中在R+×E内延伸到∞;包含点(a1,u, Θa2-v,Θa3-w)和(a1,-u,Θa2+v,Θa3+w),其中(u,v,w)≠(0,0,0).基于以上讨论, 有如下全局分歧结果.定理5 设a2>λ1,a3>λ1,则在P内从点出发延伸到∞,这里或,其中=inf{a>λ1:(a1,u,v,w)∈Y}.证明(a)首先证明⊂P.假设⊄P.则存在序列{(a1,i,ui,vi,wi)}∈Y∩P和点,使得).因为,所以或且存在使得,或且存在使得,或且存在使得.由强极值原理可知或或.由于当a2>λ1,a3>λ1时因此只有1种情况:令Ui=ui/‖ui‖∞,则Ui满足-ΔUi=Ω.由Lp估计和Sobolev嵌入定理可假设当i→∞时, 在中Ui→U≥0,≢0,则U满足又由强极值原理可知.故,矛盾.因此,⊂P.于是,(i)和(iii)是不可能的,只有情况(ii). (b)由引理1、Lp估计和Sobolev嵌入定理可知，存在正常数M,使得‖u‖≤M,‖v‖≤M,‖w‖≤M.因此, Y在R+×E内延伸到∞的唯一方式就是随着参数a1到∞.最后,又由引理2可得或,其中}.下面应用不动点指数理论讨论系统(2)共存解的稳定性和多重性. 为此, 首先给出一些空间.记W=K⊕K⊕<.令.显然(0,0,0)是系统(2)的奇异点,应用KUANG等[15]的思想.假设f(0,·,0)=0,h(0,·,0)=0,更确切地说, 因为所以可以将延拓到{(u,v,w):u≥0,v≥0,w≥0}，使得(0,0,0)是系统(2)的平凡解.定义算子At:D→W为At(u,v,w)=(-Δ+q)-1×.其中,t∈[0,1],q是充分大的正常数且满足令A=A1,则系统(2)有非负解当且仅当A在D中有不动点.再运用类似文献[16]的方法，给出算子A在平凡解和半平凡解处的不动点指数,在此省略其证明.引理7 (i)indexW(A,D)=1;(ii)若a1>λ1,a2≠λ1,a3>λ1,则(iii)设a1>λ1,a2≠.若或a3+p2>λ1,则(iv)设.若a1>λ1,a3>λ1 ,则indexW(A,(0,Θa2,0))=0;(v)设若或a2>λ1,则indexW(A,(0,0,Θa3))=0;(vi)若,则indexW(A,(0,Θa2,Θa3))=0;设⊕Q2⊕{0}:这里是式(4)的正解},⊕Q3:这里是式(9)的正解}. 下面计算A在P1 和P2的指数.结合引理4和5，采用类似文献[16]的方法有：引理8 (i) 若则indexW(A,P1)=0;(ii)若则indexW(A,P2)=0.由引理7与8和度的可加性,得系统(2)正解的存在条件.定理6 若,则系统(2)至少存在1个正解.由引理6可知，存在充分大的常数>0使得如果,则(0)<0,也就是说, 此时在点,0,Θa2,Θa3)的分歧曲线Y是次临界的.而且, 结合定理5 可知,这里.由引理2和定理6可看出系统(2)正解存在的必要条件和充分条件之间存在代沟,下面针对这个代沟来讨论当参数b充分大时系统(2)正解的多重性.类似于文献[9]的证明可得：引理9 设a1>λ1,a2>λ1,a3>λ1,则系统有唯一正解(Θa1,Θa2,Θa3)且其是非退化和线性稳定的.定理7 设,则存在常数,使得当时系统(2)至少有2个正解; 当时系统(2)至少有1个正解, 这里是充分大的正常数.证明首先，由定理5可知当时系统(2)至少有1个正解. 需要证明当)时系统(2)至少有2个正解且时系统(2)至少有1个正解.取Q充分大使得定义算子Bν:D→W为Bν(u,v,w)=(-Δ+Q)-1×，这里ν∈[0,1].显然系统(2)有非负解当且仅当B1在D中有不动点.令Dδ={(u,v,w)∈W:‖(u,v,w)-(0,Θa2,Θa3)‖X<δ}.由前面的讨论可知，对于存在常数δ和使得系统(2)有唯一正解(ua1,va1,wa1)∈Dδ.因此, 证明对于系统(2)在D\Dδ上有正解即可.令D1=D\Dδ.由引理1可知Bν在∂D1上没有不动点. 于是根据不动点指数的同伦不变性，可知indexW(B1,D1)=indexW(B0,D1).显然B0在D1内有不动点(0,0,0),(Θa1,0,0),(0,Θa2,0),(0,0,Θa3),(Θa1,Θa2,0),(Θa1,0,Θa3),(Θa1,Θa2,Θa3).由文献[17]中定理1易证得在已知条件下B0在平凡解和这些半平凡解处的指数都为0.另一方面, 利用引理9得在上可逆,由，可知在上没有α性质.于是i ndexW(B0,(Θa1,Θa2,Θa3))=(-1)δ.利用特征值的比较原理易得δ=0.因此,由文献[17]中定理1，知indexW(B0,(Θa1,Θa2,Θa3))=1.于是，indexW(B1,D1)=indexW(B0,D1)=1.最后结合引理7和8，得indexW(B1,D1)=indexW(B1,(0,0,0))+表明系统(2)在D\Dδ内至少有1个正解.【相关文献】[1]BLAT J, BROWN K J. 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一类时滞周期捕食-食饵模型的持久性
霍海峰;付强;孙小科;张小兵;向红
【期刊名称】《兰州理工大学学报》
【年(卷),期】2009(35)3
【摘要】研究一类具有Beddington-Deangelis功能性反应函数和无限时滞的周期捕食-食饵模型,且食饵具有幼年与成年两个阶段,利用比较原理获得保证系统持久性的充分必要条件.
【总页数】5页(P134-138)
【作者】霍海峰;付强;孙小科;张小兵;向红
【作者单位】兰州理工大学,理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学,理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学,理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学,理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学,理学院,甘肃,兰州,730050
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性 [J], 吴书韬;梁峰
2.一类基于比率的Leslie时滞捕食-食饵模型的持久性 [J], 吴丽萍
3.一类具有修正Leslie-Gower和Holling-type Ⅲ型的时滞食饵捕食模型的周期解与持久性 [J], 王利波;徐瑰瑰
4.一类具 Michaelis-Menten 功能反应的时滞比率依赖捕食-被捕食模型的一致持
久性和周期解 [J], 刘华祥;曾广洪
5.一类带有脉冲和时滞的相互干扰食饵-捕食模型的概周期解 [J], 王利波; 徐瑰瑰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类捕食-食饵模型解的存在性和稳定性张聪晖;王治国;李艳玲【摘要】在齐次Dirichlet边界条件下,研究了一类捕食-食饵模型.证明了局部分歧解的存在性;将局部分歧延拓为整体分歧,刻画出分歧解随参数的整体走向,并且讨论了局部分歧解的稳定性;通过数值模拟分析验证了理论分析的结果.%The predator-prey model is investigated under homogeneous Dirichlet boundary conditions.Firstly,the existence of the local bifurcation solutions is proved.Secondly,the local bifurcation can be extended to global bifurcation and the jumps of the bifurcation solutions are established,meanwhile,the stability of the local bifurcation solutions are discussed.Finally,some numerical simulations are shown to support the analytical results.【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(045)001【总页数】7页(P6-12)【关键词】捕食-食饵;分歧;稳定性;数值模拟【作者】张聪晖;王治国;李艳玲【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119【正文语种】中文【中图分类】O175.26MR subject classification: 35K57近年来,Allee效应受到了国内外生态学家和数学家的关注[1-7]。