省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备七高频考点练透学案

高考数学二轮复习目录1.集合与常用逻辑用语 (2)2.函数与导数 (7)3.三角函数、解三角形、平面向量 (18)4.数列、不等式 (31)5.立体几何 (42)6.解析几何 (50)7.概率与统计 (61)8.推理与证明、复数、算法 (68)1.集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[问题1]已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.答案02．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|y＝f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集．[问题2]已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝__________.答案{y|y≥1}3．在解决集合间的关系和集合的运算时，不能忽略空集的情况．[问题3]已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，4]4．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[问题4]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B＝______.答案[0，＋∞)5．命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，而此命题的否定(非命题)是“若p，则綈q”．[问题5]已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案否命题：已知实数a，b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；命题的否定：已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b6．根据集合间的关系，判定充要条件，若A⊆B，则x∈A是x∈B的充分条件；若A B，则x∈A是x∈B 的充分不必要条件．[问题6]已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是__________．答案(2，＋∞)7．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题；对命题进行否定时要正确地对判断词进行否定，如“>”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”．[问题7]命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是________．(填序号)①∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n；②∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n ； ③∃n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n ； ④∃n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n . 答案 ④8．求参数范围时，要根据条件进行等价转化，注意范围的临界值能否取到，也可与补集思想联合使用． [问题8] 已知命题p ：∃x ∈R ，ax 2＋x ＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0恒成立．当a ＝0时，x >－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－4×12×a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，所以a >12， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.易错点1 忽视空集例1 已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围． 易错分析 忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即B ＝∅时，符合题设． 解决有关A ∩B ＝∅，A ∪B ＝∅，A ⊆B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解． 解 集合A ＝{x |－2≤x ≤5}， ①当B ≠∅时，即p ＋1≤2p －1⇒p ≥2. 由B ⊆A 得－2≤p ＋1且2p －1≤5. 即－3≤p ≤3，∴2≤p ≤3.②当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1⇒p <2. 由①②得p ≤3.易错点2 忽视区间端点的取舍例2 记f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．易错分析 在求解含参数的集合间的包含关系时，忽视对区间端点的检验，导致参数范围扩大或缩小．解 ∵2－x ＋3x ＋1≥0，∴x －1x ＋1≥0.∴x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 由(x －a －1)(2a －x )>0， 得(x －a －1)(x －2a )<0.∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)． ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1， 即a ≥12或a ≤－2，而a <1，∴12≤a <1或a ≤－2. 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.易错点3 混淆充分条件和必要条件例3 已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a >b 成立的必要不充分的条件是__________．(填序号) ①a >b －1；②a >b ＋1；③|a |>|b |；④2a >2b .易错分析 在本题中，选项是条件，而“a >b ”是结论．在本题的求解中，常误认为由选项推出“a >b ”，而由“a >b ”推不出选项是必要不充分条件． 解析 由a >b 可得a >b －1， 但由a >b －1不能得出a >b ，∴a >b －1是a >b 成立的必要不充分条件； 由a >b ＋1可得a >b ， 但由a >b 不能得出a >b ＋1，∴a >b ＋1是a >b 成立的充分不必要条件； 易知a >b 是|a |>|b |的既不充分又不必要条件； a >b 是2a >2b 成立的充要条件． 答案 ①易错点4 对命题否定不当例4 已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________．易错分析 题中5∉M 并不能转化为5a ＋105a －25>0，题意中还有分式无意义的情形，本题可从集合的角度用补集思想来解．解析 方法一 ∵5∉M ，原不等式不成立， ∴5a ＋105a －25>0或5a －25＝0，∴a <－2或a >5或a ＝5，故a ≥5或a <－2. 方法二 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a <5， ∴当5∉M 时，a <－2或a ≥5. 答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)1．(2018·江苏扬州中学模拟)已知集合A ＝{－1,0,2}，B ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，则A ∩B ＝_____. 答案 {－1}2．设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －2<0，B ＝{x |2x <2}，则图中阴影部分表示的集合为_________．答案 {x |1≤x <2}解析 A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x <1}，由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |1≤x <2}． 3．已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a ＝________. 答案 －2解析 ∵集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ⊆B ， ∴a ＋3＝1，解得a ＝－2.4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －4x ＋1≤0，B ＝{x ∈R |(x －2a )·(x －a 2－1)<0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是____________． 答案 {1}∪[2，＋∞)解析 由x －4x ＋1≤0，得A ＝{x ∈R |－1<x ≤4}，B ＝{x ∈R |(x －2a )(x －a 2－1)<0}＝{x ∈R |2a <x <a 2＋1}．若B ≠∅，则在数轴上可以看出2a ≥4，所以a ≥2；若B ＝∅，只能a ＝1.5．(2018·江苏前黄中学等三校联考)已知命题p ：1a >14，q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 p ：0<a <4，关于不等式ax 2＋ax ＋1>0； 当a ＝0时，不等式显然成立； 当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a <0得0<a <4， 因此q ：0≤a <4，从而可知p 是q 的充分不必要条件．6．已知p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎦⎤12，23解析 ∵p ⇔a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，23，q ⇔a ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ∴a ∈⎝⎛⎦⎤12，23.7．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2,4]，则实数m ＝________. 答案 5解析 由题意知，A ＝[－2,4]，B ＝[m －3，m ]， 因为A ∩B ＝[2,4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2，m ≥4， 则m ＝5.8．已知条件p ：x 2＋2x －3>0，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为__________． 答案 [1，＋∞)解析 由x 2＋2x －3>0，可得x >1或x <－3，“綈p 是綈q 的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，故a ≥1.9．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是________． 答案 10解析 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}．因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0,1；因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1,0,1,2,3. 则(x ，y )的可能取值如下表所示：故A *B 中的元素共有10个． 10．给出下列命题：①命题：“存在x >0，使sin x ≤x ”的否定是：“对任意x >0，sin x >x ”；②函数f (x )＝sin x ＋2sin x(x ∈(0，π))的最小值是22； ③在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰或直角三角形； ④若直线m ∥直线n ，直线m ∥平面α，那么直线n ∥平面α. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①③解析 易知①正确；②中函数f (x )＝sin x ＋2sin x (x ∈(0，π))，令t ＝sin x ，则g (t )＝t ＋2t，t ∈(0,1]为减函数，所以g (t )min ＝g (1)＝3，故②错误；③中由sin 2A ＝sin 2B ，可知2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故③正确；④中直线n 也可能在平面α内，故④错误． 2.函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏． 对抽象函数，只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同． [问题1] 函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是________________．答案 (－1,1)∪(1，＋∞)2．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12 解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12.3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数． (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数． (4)导数法：适合于可导函数． (5)换元法(特别注意新元的范围)． (6)分离常数法：适合于一次分式．[问题3] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 方法一 ∵x ≥0，∴2x ≥1，∴y 1－y ≥1，解得12≤y <1.∴其值域为y ∈⎣⎡⎭⎫12，1. 方法二 y ＝1－12x ＋1，∵x ≥0，∴0<12x ＋1≤12，∴y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题4] f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案 奇解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝lg (1－x 2)－x .∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数． 5．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0. “f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分又不必要条件．[问题5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数在定义域上单调递________．答案 增解析 由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0， 解得a ＝－1，故f (x )＝lg1＋x1－x，函数f (x )的定义域是(－1,1)， 在此定义域内f (x )＝lg1＋x1－x＝lg(1＋x )－lg(1－x )， 函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数． 6．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题． (3)对于解析式较复杂的，一般用导数． (4)对于抽象函数，一般用定义法．[问题6] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________________． 答案 [0,1)，[2，＋∞)解析 ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2(x －1)|，x >1，|log 2(1－x )|，x <1，作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．7．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a .[问题7] 设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 －18．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”． (2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上； ②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称． [问题8] 函数y ＝3xx －1的对称中心是________． 答案 (1,3)9．如何求方程根的个数或范围求f (x )＝g (x )根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理．[问题9] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时，斜率为1，当直线g (x )＝kx 过点A 时，斜率为12，故当f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1. 10．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形． [问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，14 11．指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)． [问题11] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a >b >c 12．函数与方程(1)函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．(2)y ＝f (x )在[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a )f (b )<0，那么f (x )在(a ，b )内至少有一个零点，即至少存在一个x 0∈(a ，b )使f (x 0)＝0.这个x 0也就是方程f (x )＝0的根． (3)用二分法求函数零点．[问题12] 函数f (x )＝1212xx ⎛⎫− ⎪⎝⎭的零点个数为________．答案 113．利用导数研究函数单调性的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根．(4)将函数y ＝f (x )的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间．(5)确定f ′(x )在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性． 特别提醒：(1)多个单调区间不能用“∪”连接；(2)f (x )为减函数时，f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.[问题13] 若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是______________． 答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象(图略)可得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.14．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点． [问题14] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________．答案 x ＝115．利用导数解决不等式问题的思想(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，再证明h (x )max <0. (2)不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值．[问题15] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为______． 答案 ⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 因为⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， 所以2a ≥83，即a ≥43.易错点1 忽视函数的定义域例1 函数y ＝12log (x 2－5x ＋6)的单调增区间为__________．易错分析 忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x 2－5x ＋6>0. 解析 由x 2－5x ＋6>0，知x >3或x <2.令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数， ∴y ＝12log (x 2－5x ＋6)的单调增区间为(－∞，2)．答案 (－∞，2)例2 已知奇函数f (x )是定义在(－3,3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)＋f (x 2－3)<0，求x 的取值范围． 易错分析 解函数有关的不等式，除考虑单调性、奇偶性，还要把定义域放在首位．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x －3<3，－3<x 2－3<3，得⎩⎨⎧0<x <6，－6<x <6且x ≠0，故0<x < 6. ∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)＝f (3－x 2)． 又f (x )在(－3,3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2，即x 2＋x －6>0， 解得x >2或x <－3.综上得2<x <6，即x 的取值范围为(2，6)．易错点2 分段函数意义不清例3 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是__________． 易错分析 只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求． 解析 若函数在R 上单调递减， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≥1，解得a ≤－2；若函数在R 上单调递增， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≤1，解得1<a ≤2，故a 的取值范围是(－∞，－2]∪(1，2]． 答案 (－∞，－2]∪(1，2]易错点3 函数零点求解讨论不全面例4 若函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是____________． 易错分析 解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m ＝0的讨论． 解析 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数惟一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)<0，即m <0. 答案 (－∞，0]∪{1}易错点4 混淆“在点”和“过点”致误例5 已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．易错分析 “在点”处的切线，说明点在曲线上，且点是切点．“过点”的切线，说明切线经过点：当这个点不在曲线上时，一定不是切点；当这个点在曲线上时，也未必是切点．解 设切点为M (x 0，x 30－3x 0)．因为点M 在切线上，所以x 30－3x 0＝(3x 20－3)x 0＋16，得x 0＝－2，所以切线方程为y ＝9x ＋16.易错点5 极值点条件不清例6 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值，且极值为10，则a ＋b ＝________. 易错分析 把f ′(x 0)＝0作为x 0为极值点的充要条件，没有对a ，b 值进行验证，导致增解． 解析f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ② 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)． 在x ＝1两侧的符号相反，符合题意． 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同， 所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去． 综上可知，a ＝4，b ＝－11， 所以a ＋b ＝－7.答案 －7易错点6 函数单调性与导数关系理解不准确例7 若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 易错分析 误认为f ′(x )>0恒成立是f (x )在R 上是增函数的必要条件，漏掉f ′(x )＝0的情况． 解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数 f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.答案 ⎣⎡⎭⎫13，＋∞1．函数f (x )＝log 2(x 2－6)的定义域为________________． 答案 (－∞，－6)∪(6，＋∞)解析 由题意得x 2－6>0⇒x >6或x <－6，即定义域为(－∞，－6)∪(6，＋∞)．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >0，x 2，x ≤0，则满足f (a )＝1的实数a 的值为________．答案 －1解析 依题意，满足f (a )＝1的实数a 必不大于零，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＝1，由此解得a ＝－1.3．(2018·江苏溧阳中学等三校联考)若f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2－8x ＋30，则f (10)＝________. 答案 －24解析 由已知，得f (10)＝－f (－10) ＝－f (4－10)，又f (4－10)＝(4－10)2－8(4－10)＋30＝24， 故f (10)＝－24.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x <0，x 2－1，x ≥0，其中m >0，若函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析令f(f(x))＝1，得f(x)＝2或f(x)＝m－1<0，进一步，得x＝2＋1或x＝m－2<0或x＝m.因为m>0，所以只要m<1，即0<m<1即可．5．(2018·南通模拟)若曲线y＝x ln x在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．答案e－2解析因为y′＝ln x＋1，所以(ln 1＋1)(ln t＋1)＝－1，所以ln t＝－2，t＝e－2.6．不等式log a x－ln2x<4(a>0，且a≠1)对任意x∈(1,100)恒成立，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．答案(0,1)∪(14e，＋∞)解析不等式log a x－ln2x<4可化为ln xln a－ln2x<4，即1ln a<4ln x＋ln x对任意x∈(1,100)恒成立．因为x∈(1,100)，所以ln x∈(0,2ln 10)，4ln x＋ln x≥4，故1ln a<4，解得ln a<0或ln a>14，即0<a<1或a>14 e.7．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－3)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为________．答案(－∞，3]解析由导数的几何意义可知，f′(x0)＝(x0－3)(x0＋1)2≤0，解得x0≤3，即该函数的单调减区间是(－∞，3]．8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集为______________．答案(－5,0)∪(5，＋∞)解析方法一不等式f(x)>x的解集，即为函数y＝f(x)图象在函数y＝x图象上方部分x的取值范围．因为函数f(x)和y＝x都是R上的奇函数，且方程f(x)＝x的根为±5,0，由图象知，不等式f(x)>x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．方法二 令x <0，则－x >0，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－4(－x )]＝－x 2－4x .要使f (x )>x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0>x ，解得－5<x <0或x >5，所以不等式f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．9．已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1<x 1<x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 b <a <c解析 因为f (x ＋1)是偶函数， 所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)， 所以y ＝f (x )关于直线x ＝1对称． 又1<x 1<x 2，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， 知y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3， 所以f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x <1，x 3－9x 2＋25x ＋a ，x ≥1.若函数f (x )的图象与直线y ＝x 有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为____________． 答案 {－16，－20}解析 设h (x )＝sin x －x ，x ∈(－∞，1)， h ′(x )＝cos x －1≤0，则h (x )单调递减，由于h (0)＝0， 所以f (x )＝x 在(－∞，1)上仅有一个根．设g (x )＝x 3－9x 2＋24x ＋a ，则g ′(x )＝3x 2－18x ＋24，令g ′(x )＝3x 2－18x ＋24＝0，得x 1＝2，x 2＝4.且g (x )在[1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增， g (1)＝a ＋16，g (2)＝a ＋20，g (4)＝a ＋16， 因为g (x )＝0有且仅有两个根，故g (1)＝g (4)＝a ＋16＝0或g (2)＝a ＋20＝0， 解得a ＝－20或a ＝－16.11．已知函数f (x )＝axx 2＋b 在x ＝1处取得极值2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)当m 满足什么条件时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增？ 解 (1)因为f ′(x )＝a (x 2＋b )－ax ·2x(x 2＋b )2，而函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a (1＋b )－2a ＝0，a 1＋b＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1.所以f (x )＝4x1＋x 2即为所求．(2)由(1)知，f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝－4(x －1)(x ＋1)(1＋x 2)2，由f ′(x )>0可知，－1<x <1， 故f (x )的单调增区间是[－1,1]． 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1，m <2m ＋1，解得－1<m ≤0.所以当m ∈(－1,0]时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增．12．已知函数f (x )＝kx ＋1x 2＋c (c >0且c ≠1，k ∈R )恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c .(1)求函数f (x )的另一个极值点；(2)求函数f (x )的极大值M 和极小值m ，并求M －m ≥1时k 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝k (x 2＋c )－2x (kx ＋1)(x 2＋c )2＝－kx 2－2x ＋ck (x 2＋c )2，由题意知f ′(－c )＝0，即得c 2k －2c －ck ＝0，(*) ∵c ≠0，∴k ≠0.∴c －2k ＝1.由f ′(x )＝0，得－kx 2－2x ＋ck ＝0，∴另一个极值点为x ＝c －2k ，即x ＝1.(2)由(*)式得k ＝2c －1，即c ＝1＋2k .当c >1时，k >0；当0<c <1时，k <－2.①当k >0时，f (x )在(－∞，－c )和(1，＋∞)上是减函数，在(－c,1)上是增函数， ∴M ＝f (1)＝k ＋1c ＋1＝k2>0，m ＝f (－c )＝－kc ＋1c 2＋c ＝－k 22(k ＋2)<0，由M －m ＝k 2＋k 22(k ＋2)≥1及k >0，解得k ≥ 2.②当k <－2时，f (x )在(－∞，－c )和(1，＋∞)上是增函数，在(－c,1)上是减函数， ∴M ＝f (－c )＝－k 22(k ＋2)>0，m ＝f (1)＝k2<0，M －m ＝－k 22(k ＋2)－k2＝1－(k ＋1)2＋1k ＋2≥1恒成立．综上可知，所求k 的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限角 －α π－α π＋α 2π－α π2－α 正弦－sin αsin α－sin α－sin αcos α[问题2]cos 9π4＋tan⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为______________________________________．答案22－333．正弦、余弦和正切函数的常用性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域{y |－1≤y ≤1}{y |－1≤y ≤1}R单调性在⎣⎡－π2＋2k π， ⎦⎤π2＋2k π ，k ∈Z 上递增； 在⎣⎡π2＋2k π，⎦⎤3π2＋2k π ，k ∈Z 上递减在[(2k －1)π，2k π]，k ∈Z 上递增；在[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 上递减在⎝⎛－π2＋k π，⎭⎫π2＋k π，k ∈Z 上递增 最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值奇偶性奇偶奇对称性对称中心：(k π，0)，k ∈Z对称中心：⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0 ，k ∈Z对称中心：⎝⎛⎭⎫k π2，0 ，k ∈Z对称轴：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称轴：x ＝k π，k ∈Z无 周期性2π2ππ[问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间是________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(ⅳ)a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R . ②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B . (2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状． [问题5] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．求三角函数最值的常见类型、方法(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论．(2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决． (3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤2)． [问题6] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，又sin x ∈[－1,1]， ∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1. ∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1. 7．向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0. (2)a·b ＝|a ||b |cos θ，变形：|a |2＝a 2＝a·a ， cos θ＝a·b |a||b |.注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a ，b 不反向．[问题7] 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．答案 22解析 由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.8．向量中常用的结论(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．反之也成立． (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 为△ABC 的垂心．[问题8] 在△ABC 中，D 是边AB 的中点，E 是边AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则x ，y 的值分别为______________． 答案 13，13解析 由题意知，点F 为△ABC 的重心， 如图，设H 为BC 的中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13.易错点1 忽视角的范围例1 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a 为大于1的常数)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是________． 易错分析 本题易忽略隐含条件tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根，α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，从而导致错误．解析 ∵a >1，∴tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0，∴tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根． 又α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，即α＋β2∈⎝⎛⎭⎫－π2，0.由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，可得tanα＋β2＝－2. 答案 －2易错点2 图象变换方向或变换量把握不准例2 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为了得到函数g (x )＝cos 2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象向__________平移________个单位长度．易错分析 (1)没有将f (x )，g (x )化为同名函数；(2)平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4， ∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．答案 左 π8易错点3 三角函数单调性理解不透例3 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 易错分析 对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数，如果ω<0，要求其单调区间，必须先提出负号，然后去求解，否则单调区间正好相反． 解 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .∴函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z . 同理，函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .易错点4 解三角形时漏解或增解例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π3，则角A ＝________；(2)若角A ＝π6，则b ＝________.易错分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．解析 (1)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12，又a <c ，所以A <C .所以A ＝π6.(2)由正弦定理a sin A ＝csin C，得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3，当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1.答案 (1)π6(2)2或1易错点5 忽视题目中的制约条件例5 已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6，若在△ABC 中，满足f (A )＝32，b ＋c ＝2，求边长a 的取值范围． 易错分析 本题中有两点易错：确定角A 时忽视范围；求边长a 的取值范围时，忽视三角形中两边之和大于第三边的条件．解 f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6 ＝1＋cos 2x －⎝⎛⎭⎫－32sin 2x ＋12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. 因为A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2知，bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a ，得a <2， 所以a 的取值范围是[1,2)．易错点6 忽视向量共线例6 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________． 易错分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0，即两向量同向的情况．解析 由θ为锐角，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ·b >0，2≠λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋1>0，λ≠2， ∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ⎪⎪λ>－12且λ≠2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ⎪⎪λ>－12且λ≠21．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________． 答案7π4解析 tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π4>0，cos 3π4<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.2．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin θcos θ－3cos 2θ的值为________． 答案 －2解析 由题意得tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝1＋tan θ1－tan θ＝3， 解得tan θ＝12.∴sin θcos θ－3cos 2θ＝sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ－3tan 2θ＋1＝12－3⎝⎛⎭⎫122＋1＝－2. 3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________. 答案 3或－13解析 因为sin α＋2cos α＝102， 所以sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，所以3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝32，即3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0， 解得tan α＝3或tan α＝－13.4．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 由对称轴完全相同知，两函数周期相同， ∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.5．在斜△ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＋tan C ＝0，则tan C 的最大值是________．答案 －2 2解析 在斜△ABC 中，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝tan(π－(A ＋B ))＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B，又∵1tan A ＋1tan B＋tan C ＝0，∴tan C ＝－⎝⎛⎭⎫1tan A ＋1tan B ＝－tan A ＋tan B tan A tan B ， ∴－tan A ＋tan B tan A tan B ＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B∴tan A tan B ＝1－tan A tan B ， ∴tan A tan B ＝12，∵tan A tan B ＝12>0，tan A 与tan B 同号，又∵在△ABC 中，tan A >0，tan B >0， ∴tan C ＝－2(tan A ＋tan B )≤－2×2tan A tan B ＝－2×2×22＝－22，当且仅当tan A ＝tan B ＝22时“＝”成立， ∴tan C 的最大值为－2 2.6．(2018·苏州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52，则a ，c 的夹角大小为________．答案 120°解析 设a 与c 的夹角为θ，∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则b ＝－2a ， ∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝52，∴a ·c ＝－52，∴cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525·5＝－12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.7．已知f 1(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调增区间是____________．答案 ⎣⎡⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) 解析 由题意知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ， f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ， 令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )， 得x ∈⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， 故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知，AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A ，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°<C <120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.9．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β的值为________．答案 1解析 tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2， sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)] ＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)，分式同除以cos(α＋β)cos(α－β)， tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝1＋21＋1×2＝1.10．在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝1，AD ＝3，P 为平行四边形内一点，且AP ＝32，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则λ＋3μ的最大值为________． 答案 1解析 ∵AP →＝λAB →＋μAD →， ∴|AP →|2＝(λAB →＋μAD →)2， 即⎝⎛⎭⎫322＝λ2|AB →|2＋μ2|AD →|2＋2λμAB →·AD →. 又AB ＝1，AD ＝3，∠BAD ＝60°， ∴AB →·AD →＝|AB →||AD →|cos 60°＝32，∴34＝λ2＋3μ2＋3λμ， ∴(λ＋3μ)2＝34＋3λμ≤34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋3μ22，∴(λ＋3μ)2≤1，∴λ＋3μ的最大值为1， 当且仅当λ＝12，μ＝36时取等号．11．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12.(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，求函数f (x )的值域； (3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的解析式．解 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)所以最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤22，1， 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤12，22.(3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到g (x )＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＝22sin 2x . 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的值； (2)若cos A sin C ＝3－14，求角A 的值． 解 (1)因为a sin A ＝bsin B ，所以b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝3a cos B ，所以3a cos B ＝a sin B ，即tan B ＝3， 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为cos A sin C ＝3－14，所以cos A sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝3－14， cos A ⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝32cos 2A ＋12sin A ·cos A ＝32·1＋cos 2A 2＋14sin 2A ＝34＋34cos 2A ＋14sin 2A ＝34＋12sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝3－14， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－12，因为B ＝π3，所以0<A <2π3，所以2A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π3， 所以2A ＋π3＝7π6，A ＝5π12.。

必备七高频考点练透高频考点一集合运算1.(扬州高三第三次调研)已知集合A={-1,0,3,5},B={x|x-2>0},则A∩B=.2.(南京高三年级第三次模拟)集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2-4=0},则A∪B=.3.(南通高三第二次调研)已知集合U={-1,0,1,2,3},A={-1,0,2},则∁U A= .4.(江苏南通中学高三考前冲刺练习)已知集合A={0,4},B={3,2m}.若A∪B={0,3,4},则实数m的值为.高频考点二复数1.(苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))若复数z满足(1+i)z=2(i是虚数单位),则z的虚部为.2.(扬州高三第三次调研)已知(1+3i)(a+bi)=10i,其中i为虚数单位,a,b∈R,则ab的值为.3.(江苏徐州模拟)已知复数z=(1-2i)2(i为虚数单位),则z的模为.(i为虚数单位)对应的点位于第象限.4.(扬州高三考前调研)在复平面内,复数z=1-i2i高频考点三统计1.(江苏盐城中学高三数学阶段性检测)一支田径队有男运动员28人,女运动员21人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取14位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取人.2.(淮海中学高三数学3月高考模拟)有100件产品编号从00到99,用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验,分组后每组按照相同的间隔抽取产品,若第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为.3.(徐州铜山高三年级第三次模拟考试)甲在某周五天的时间内,每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数),则该组数据的方差s2的值为.1 8 72 2 1 24.(扬州高三考前调研测试)为了了解一批产品的长度(单位:毫米)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,下图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为.高频考点四概率1.(江苏南京模拟)已知A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,那么A与B在相邻两天值班的概率为.2.(南通高三第二次调研)在长为12cm的线段AB上任取一点C,以线段AC,BC为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32cm2的概率为.3.(扬州高三第三次调研)袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色外完全相同.现从中随机摸出1只球,若摸出的球不是红球的概率为0.8,不是黄球的概率为0.5,则摸出的球为蓝色的概率为.4.(苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是.高频考点五算法1.如图所示的流程图的运行结果是.2.(徐州高三模拟)运行如图所示的伪代码,其结果为.3.(苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))如图是一个算法流程图,若输入值x∈[0,2],则输出S的取值范围是.4.执行如图所示的伪代码,输出的结果是.高频考点六空间几何体的体积与表面积1.(江苏南京高三联考)已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为.2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,点P,Q分别为棱CC1,BC的中点,则四面体A1-B1PQ的体积为.3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.高频考点七空间平行与垂直1.给出下列命题:(1)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;(2)若两个平面平行,则垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面;(3)若两个平面垂直,则垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面;(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.则其中所有真命题的序号为.2.已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论:①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β.其中正确的序号是.3.(江苏南京高三联考)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角. (1)证明:BC∥平面PDE;(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.高频考点八基本初等函数的图象与性质1.(江苏如东高级中学期中)已知函数f(x)=ln(1+x2),则满足不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范围是.2.(江苏盐城期中)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2x,则f(log220)= .3.(苏州期中考试)若函数f(x)={-x+8,x≤2,log x x+5,x>2(a>0且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范围是.4.(常州教育学会学业水平检测)已知当x∈(0,1)时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则实数m的取值范围是.高频考点九函数与方程1.(盐城伍佑中学期末)若方程7x 2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m 的取值范围为 .2.(常州教育学会学业水平检测)若函数f(x)=2x+x-2的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k 的值为 .3.(江苏镇江期末)方程(12)x=|lnx|的解的个数为 .4.(江苏宿迁期末)已知函数f(x)={|log 2x|,0<x ≤2,-x +3, x >2,若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,则(x 1x 2+1)m-x 3的取值范围是 . 高频考点十 导数及其应用1.若函数f(x)=lnx+ax 2-2在区间(12,2)内存在单调递增区间,则实数a 的取值范围是 .2.若函数f(x)=(x 2-ax+a+1)e x(a∈N)在区间(1,3)只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程为 .3.(江苏兴化一中模拟)设函数f(x)=xe x-asinxcosx(a∈R,其中e 是自然对数的底数). (1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)若对于任意的x∈[0,π2],f(x)≥0恒成立,求a 的取值范围;(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间(0,π2)上有两个零点?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.4.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2x 2+x-a(a∈R).(1)若直线x=m(m>0)与曲线y=f(x)和y=g(x)分别交于M,N 两点.设曲线y=f(x)在点M 处的切线为l 1,y=g(x)在点N 处的切线为l 2. ①当m=e 时,若l 1⊥l 2,求a 的值; ②若l 1∥l 2,求a 的最大值;(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内恰有两个不同的极值点x1,x2,且x1<x2.若λ>0,且λlnx2-λ>1-lnx1恒成立,求λ的取值范围.高频考点十一 解不等式1.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A,不等式x 2+x-6<0的解集是B,不等式x 2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b 等于 .2.设函数f(x)={x ,x <1,x 3-1x +1,x ≥1,则不等式f(6-x 2)>f(x)的解集为 .3.已知函数f(x)={-x 2, x ≥0,x 2+2x,x <0,则不等式f(f(x))≤3的解集为 .高频考点十二 线性规划1.(苏州阳光指标调研)已知变量x,y 满足{0≤x ≤3,x +x ≥0,x -x +3≤0,则z=2x-3y 的最大值为 .2.已知变量x,y 满足{x ≥2,x +x ≤4,2x -x ≤x ,目标函数z=3x+y 的最小值为5,则c 的值为 .3.(江苏扬州高三第一次模拟)若实数x,y 满足{x ≤4,x ≤3,3x +4x ≥12,则x 2+y 2的取值范围是 .高频考点十三 基本不等式1.(江苏盐城中学高三上学期期末)若log 4(a+4b)=log 2√xx ,则a+b 的最小值是 .2.(苏州学业阳光指标调研)已知正实数a,b,c 满足1x +1x =1,1x +x +1x=1,则c 的取值范围是 .3.(江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+9x(a∈R),当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)≥4恒成立,则a的取值范围是 .高频考点十四 三角函数的图象与性质1.若-3m,m(m>0)恰好是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻零点,则φ= .2.函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin (2x -π3)的图象重合,则φ= .3.已知函数f(x)=3sin (xx -π6)(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈[0,π2],则f(x)的取值范围是 . 高频考点十五 三角变换求值 1.已知sinθ+2cosθ=0,则1+sin 2θcos 2θ= .2.若a∈(0,π2),cos (π4-a )=2√2cos2α,则sin2α= .3.已知角α,β满足tan x tan x =713,若sin(α+β)=23,则sin(α-β)的值为 .4.已知α∈(π2,π),tanα=-2. (1)求sin (π4+α)的值;(2)求cos (2π3-2α)的值.高频考点十六 解三角形1.在△ABC 中,已知AB=5,BC=3,∠B=2∠A,则边AC 的长为 .2.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若acosB-bcosA=35c,则tan x tan x= .3.在△AB C 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,c=2√3,且asinA-csinC=(a-b)sinB. (1)求角C 的值;(2)若c+bcosA=a(4cosA+cosB),求△ABC 的面积.4.(徐州铜山高三年级第三次模拟考试)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=1,b=2√3,B-A=π6.(1)求sinA 的值; (2)求c 的值.高频考点十七 平面向量1.在梯形ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为CD,BC 的中点,若xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λxx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μxx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= .2.(泰州中学检测)已知O 是△ABC 外接圆的圆心,若4xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则cosC= .3.(徐州铜山第三次模拟)等边△ABC 的边长为2,过边BC 上一点P 分别作AB,AC 的垂线,垂足分别为M,N,则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .4.(泰州中学高三3月检测)设向量a=(sinx,√3cosx),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π]. (1)若(a+b)∥c,求实数x 的值;(2)若a·b=12,求函数y=sin (x +π6)的值.高频考点十八 直线与圆1.已知直线3x-4y-6=0与圆x 2+y 2-2y+m=0(m∈R)相切,则m 的值为 .2.(江苏南京高三联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知AB 是圆O:x 2+y 2=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP 与圆O 交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k 的取值范围是 .3.(兴化一中模拟)若直线l 1:y=x+a 和直线l 2:y=x+b 将圆(x-1)2+(y-2)2=5分成长度相等的四段弧,则ab= .4.已知直线l 与圆C:x 2+y 2+2x-4y+a=0相交于A 、B 两点,弦AB 的中点为M(0,1). (1)求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;(2)若圆C 上存在四个点到直线l 的距离为√2,求实数a 的取值范围;(3)已知N(0,-3),若圆C 上存在两个不同的点P,使PM=√3PN,求实数a 的取值范围.高频考点十九 圆锥曲线的几何性质1.(江苏南通模拟)已知双曲线C:x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线C 的离心率为 .2.若抛物线y=ax 2的焦点坐标是(0,1),则a= .3.(江苏南通模拟)已知圆C 1:x 2+2cx+y 2=0,圆C 2:x 2-2cx+y 2=0,椭圆C:x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的焦距为2c,若圆C 1,C 2都在椭圆C 内,则椭圆C 的离心率的范围是 . 高频考点二十 圆锥曲线的综合问题1.(江苏高考预测卷二)已知过双曲线x 2x 2-x 2x2=1(a>0,b>0)的右顶点A 且斜率为-1的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于B,C 两点,若A,B,C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为 . 2.(江苏高考预测卷四)如图,F 1,F 2是双曲线E:x 24-x 22=1与椭圆F 的公共焦点,A 是它们在第二象限的交点,且AF 1⊥AF 2,则椭圆F 的离心率为 .3.(江苏联考)已知椭圆C:x 2x 2+x 2x2=1(a>b>0)的左顶点,右焦点分别为A,F,右准线为m.(1)若直线m 上不存在点Q,使△AFQ 为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围;(2)在(1)的条件下,当e 取最大值时,A 点坐标为(-2,0),设B,M,N 是椭圆上的三点,且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35OM+45xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求以线段MN 的中点为圆心,过A,F 两点的圆的方程.高频考点二十一 等差、等比数列的基本量运算1.(南京、盐城高三第二次模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15=30,a 7=1,则S 9的值为 .2.(江苏扬州中学模拟)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,公差为d,若x-x18=100,则d的值18为.3.(江苏南通阶段检测)若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20的值为.4.(江苏扬州高三第一次模拟)已知各项都是正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a3=3x22,则S3= .高频考点二十二等差、等比数列的综合运用a4的等差中项为a5,则1.设等比数列{a n}的公比为q(0<q<1),前n项和为S n,若a1=4a3a4,且a6与34S6= .2.(江苏徐州期中)已知数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2a n-1,n∈N*,数列{b n}满足nb n+1-(n+1)b n=n(n+1),n∈N*,且b1=1.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)若c n=a n·√x x,数列{c n}的前n项和为T n,对任意的n∈N*,都有T n≤nS n-a,求实数a的取值范围;(3)是否存在正整数m,n,使b1,a m,b n(n>1)成等差数列?若存在,求出所有满足条件的m,n;若不存在,请说明理由.高频考点二十三实际应用题1.(江苏海安高级中学阶段检测(三))一块圆柱形木料的底面半径为12cm,高为32cm,要将这块木料加工成一只毛笔筒,在木料一端正中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一,设小圆柱底面半径为rcm,高为hcm,要求笔筒底面的厚度超过2cm.(1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/cm2),桶内侧面喷漆费用为2a(元/cm2),而桶内底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/cm2)(其中a为正常数).①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r(cm)的函数;②求出当r取何值时,笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.2.已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元,每生产1万台还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万台并全部销售完,每万台的销售收入为R(x)万美元,且R(x)={400-6x ,0<x ≤40,7400x-40000x2,x >40.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(2)当年产量为多少万台时,苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.3.如图,某广场中间有一块边长为2百米的菱形绿化区ABCD,其中图形BMN 是半径为1百米的扇形,∠ABC=2π3.管理部门欲在该地从M 到D 修建小路:在xx ⏜上选一点P(异于M 、N 两点),过点P 修建与BC 平行的小路PQ.问:点P 选择在何处,才能使得修建的小路xx ⏜与PQ 及QD 的总长度最小?并说明理由.高频考点二十四 矩阵及其变换(理科专用) 1.(苏州学业阳光指标调研)选修4-2:矩阵与变换 已知M=[1 22 1],β=[17],求M 4β.2.(江苏南京模拟)已知矩阵A=[2 00 1],B=[1 -12 5],求矩阵A -1B.高频考点二十五 坐标系与参数方程(理科专用)1.(南京、盐城高三第二次模拟)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =x ,x =√3t +2(t 为参数),圆C 的参数方程为{x =x cos x ,x =x sin x (a>0,θ为参数),点P 是圆C 上的任意一点,若点P 到直线l 距离的最大值为3,求a 的值.2.(苏州学业阳光指标调研)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+x ,x =x -3(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos xsin 2θ,若直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求△AOB 的面积.高频考点二十六 不等式选讲(理科专用)1.(南京、盐城、连云港高三第二次模拟)设a≠b,求证:a 4+6a 2b 2+b 4>4ab(a 2+b 2).2.(江苏高考预测卷四)已知函数f(x)={|x +1|,-2≤x ≤2,3-|x |,x <-2或x >2.(1)求函数f(x)的值域;(2)若关于x 的方程f(x)-a=0(a<0)有两个不相等的实数根,求a+1x 的最大值.高频考点二十七求空间角(理科专用)1.(江苏南京调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.,求BC的长;(1)若直线PB与CD所成角的大小为π3(2)求二面角B-PD-A的余弦值.2.(南京、盐城、连云港高三第二次模拟)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=π,E,F分别是BC,A1C的中点.3(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2)点M在线段A1D上,x1M=λ,若CM∥平面AEF,求实数λ的值.x1D高频考点二十八 随机变量及其分布(理科专用)1.(江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在1,2,3,…,9这9个自然数中,任取3个不同的数. (1)求这3个数中至少有1个数是偶数的概率; (2)求这3个数的和为18的概率;(3)设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ).2.(南京、盐城高三第二次模拟)甲、乙两人站在P 点处分别向A,B,C 三个目标进行射击,每人向三个目标各射击一次,每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中A,B,C 的概率分别都为12,13,14. (1)设X 表示甲击中目标的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两人共击中目标数为2的概率.高频考点二十九 数学归纳法(理科专用)1.(常州教育学会学业水平检测)记(x+1)·(x +12)·…·(x +1x )(n≥2且n∈N *)的展开式中含x 项的系数为S n ,含x 2项的系数为T n . (1)求S n ;(2)若xx x x=an 2+bn+c 对n=2,3,4成立,求实数a,b,c 的值;(3)对(2)中的实数a,b,c,用数学归纳法证明:对任意n≥2且n∈N *,xx x x=an 2+bn+c 都成立.2.(苏州学业阳光指标调研)在正整数集上定义函数y=f(n),满足f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.(1)求证:f(3)-f(2)=910;(2)是否存在实数a,b,使f(n)=1x (-32)x-b+1对任意正整数n 恒成立?并证明你的结论.高频考点三十 抛物线(理科专用)1.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点M(4,0). (1)若点F 到直线l 的距离为√3,求直线l 的斜率;(2)设A,B 为抛物线上两点,且AB 不与x 轴垂直,若线段AB 的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB 中点的横坐标为定值.2.(江苏海安高级中学阶段检测(三))如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l:x-y-4=0,抛物线C:y 2=2px(p>0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程; (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(4-p,-p);②求p的取值范围.答案精解精析 高频考点一 集合运算1.答案 {3,5}解析 由交集定义可得A∩B={3,5}. 2.答案 {-3,-2,2}解析 集合A={2,-3},B={2,-2},则A∪B={-3,-2,2}. 3.答案 {1,3}解析 由补集定义可得∁U A={1,3}. 4.答案 2解析 因为2m>0,则由并集定义可得2m=4,m=2.高频考点二 复数1.答案 -1 解析 复数z=21+i=1-i 的虚部是-1.2.答案 3解析 复数a+bi=10i1+3i =i(1-3i)=3+i,则a=3,b=1,ab=3. 3.答案 5解析 复数z=(1-2i)2=-3-4i,则|z|=5. 4.答案 三 解析 复数z=1-i 2i=(1-i)(-i)2=-12-12i 对应的点(-12,-12)位于第三象限. 高频考点三 统计1.答案 8解析 男运动员应抽取2828+21×14=8人.2.答案 31解析 将100件产品分成5组,每组20件,则抽取的样本编号是以20为公差的等差数列,第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为91-20×3=31. 3.答案225解析 由茎叶图可得这组数据的平均数是18+17+22+21+225=20,则方差s 2=4+9+4+1+45=225.4.答案 100解析 由频率分布直方图可得一等品的频率是0.0625×5=0.3125,二等品的频率是(0.05+0.0375)×5=0.4375,则三等品的频率是1-(0.3125+0.4375)=0.25,又样本容量是400,所以样本中三等品的件数为0.25×400=100.高频考点四 概率1.答案 23解析 A,B,C 三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,有(ABC)、(ACB)、(BAC)、(BCA)、(CAB)、(CBA),共6种,其中A 与B 在相邻两天值班的结果有4种,故所求概率为46=23. 2.答案 13解析 设AC=xcm,x∈(0,12),则由题意得x(12-x)>32,解得4<x<8,故所求概率为8-412=13. 3.答案 0.3解析 因为摸出的球不是红球的概率是0.8,所以摸出的球是红球的概率是0.2,又摸出的球不是黄球的概率是0.5,则摸出的球是黄球的概率是0.5,所以摸出的球是蓝球的概率为1-0.2-0.5=0.3. 4.答案14π解析 本题考查几何概型.油恰好落入孔中的概率为12π×22=14π.高频考点五 算法1.答案 24解析 该流程图运行2次,第1次,S=6,a=4,条件a>2满足,继续运行,第2次,S=24,a=2,条件a>2不满足,结束运行,故输出的S=24. 2.答案 45解析 该伪代码运行9次,则S=1+2+3+……+9=9×(1+9)2=45.3.答案 [0,1]解析 由流程图可得S={1,0≤x <1,2x -x 2,1≤x ≤2,结合函数图象得S∈[0,1].4.答案 8解析 该算法运行3次,第1次,I=4,S=4;第2次,I=6,S=24;第3次,I=8,S=192,运行结束,故输出的I=8.高频考点六 空间几何体的体积与表面积1.答案√33π 解析 设圆锥底面圆半径为r,则2π=2πr,r=1,则圆锥的高h=√22-12=√3,则该圆锥的体积V=13πr 2h=√33π. 2.答案√32解析 x △x 1PQ =x 正方形xxx 1x 1-x △xx 1Q -x △x 1x 1P -S △PCQ =2×2-12×2×1-12×2×1-12×1×1=32, 当△B 1PQ 作为三棱锥的底面时,三棱锥的高是边长为2的等边三角形A 1B 1C 1的边B 1C 1上的高,h=√3,四面体A 1-B 1PQ 的体积为V=13×32×√3=√32. 3.答案 50π解析 如图,ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,∴A 1A⊥AC,又三棱柱的所有顶点都在同一球面上,∴A 1C 是球的直径,∴R=x 1C 2.∵AB⊥BC,∴AC=√32+42=5,∴A 1C 2=52+52=50,故该球的表面积为S=4πR 2=4π(x 1C 2)2=πA 1C 2=50π.高频考点七空间平行与垂直1.答案(1)(2)解析(1)因为两个平面平行,所以两个平面没有公共点,即其中一个平面的直线与另一个平面也没有公共点.由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行,所以(1)正确.(2)因为该直线与其中一个平面垂直,那么该直线必与其中两条相交直线垂直,又两个平面平行,故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直,所以该直线与另一个平面也垂直.故(2)正确.(3)错,反例:该直线可以在另一个平面内.(4)错,反例:其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行.综上,(1)(2)为真命题.2.答案②④解析如图,∵β∩γ=l,∴l⊂γ,由α⊥γ,α∩γ=m,且l⊥m,得l⊥α,故②正确;由β∩γ=l,得l⊂β,由l⊥α,得α⊥β,故④正确;而①③条件不充分,不能判断.3.证明(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又DE⊂平面PDE,BC⊄平面PDE,所以BC∥平面PDE.(2)过点P作PO⊥CD,垂足为O.因为平面PCD⊥平面ABC,PO⊂平面PCD,平面PCD∩平面ABC=CD,所以PO⊥平面ABC.又因为AB⊂平面ABC,所以AB⊥PO.因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD.又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD⊂平面PCD,所以AB⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD,所以AB⊥PC.高频考点八基本初等函数的图象与性质1.答案(-1,2)解析函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)内单调递增,则f(2x-1)<f(3)⇔f(|2x-1|)<f(3)⇔|2x-1|<3⇔-3<2x-1<3,则-1<x<2.2.答案 -45解析 ∵函数f(x)是以4为周期的奇函数,log 220∈(4,5), ∴4-log 220∈[-1,0),∴f(log 220)=f(log 220-4)=-f(4-log 220),∵当x∈[-1,0)时,f(x)=2x,∴f(log 220)=-24-log 220=-1620=-45.3.答案 (1,2]解析 当x≤2时,f(x)=-x+8≥6,所以当x>2时,f(x)=log a x+5≥6恒成立,所以a>1,log a 2≥1=log a a,故1<a≤2.4.答案 (0,1)∪(3,+∞)解析 由图象只有1个交点得m 2x 2-(2m+1)x+1-m=0在(0,1)上只有一个解,当m=0时,显然不成立,当m≠0时,令f(x)=m 2x 2-(2m+1)x+1-m,作出函数f(x)的图象(图略),由图象可得{x (0)=1-x >0,x (1)=x 2-3m <0或{x (0)=1-x <0,x (1)=x 2-3m >0,解得0<m<1或m>3.高频考点九 函数与方程1.答案 (-4,-2)解析 令f(x)=7x 2-(m+13)x-m-2,则{x (0)=-x -2>0,x (1)=-8-2x <0,x (2)=-3x >0,解得-4<m<-2.2.答案 0解析 f(x)在R 上单调递增,且f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以f(x)在(0,1)上有唯一零点,故k=0. 3.答案 2解析 在同一直角坐标系中作出函数y=(12)x,y=|lnx|的图象(图略),可知两函数图象有2个交点,故原方程有两解. 4.答案 (-2,0)解析 函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,即y=f(x),y=m 的图象有3个不同的交点,作出函数图象(图略)可得0<m<1,x 1x 2=1,x 3=3-m,则(x 1x 2+1)m-x 3=2m+m-3,m∈(0,1)单调递增,故(x 1x 2+1)m-x 3的取值范围是(-2,0).高频考点十 导数及其应用1.答案 [-2,+∞)解析由题意得,f'(x)=1x +2ax,f(x)在区间(12,2)内存在单调递增区间,则f'(x)≥0在(12,2)有解,故a≥(-12x2)min,又g(x)=-12x2在(12,2)上是单调递增函数,所以g(x)>g(12)=-2,所以实数a的取值范围是a≥-2.2.答案y=x+6解析f'(x)=[x2+(2-a)x+1]e x(a∈N),设g(x)=x2+(2-a)x+1,因为函数f(x)在区间(1,3)只有1个极值点,所以函数f'(x)在区间(1,3)只有1个零点,则有g(1)·g(3)<0,解得4<a<163,又a∈N,所以a=5, 所以f(0)=6,f'(0)=1,则所求切线方程为y=x+6.3.解析(1)当a=0时,f(x)=xe x,f'(x)=e x(x+1),令f'(x)=0,得x=-1.列表如下:x (-∞,-1) -1 (-1,+∞) f'(x) - 0 +f(x) 单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-1e,无极大值.(2)①当a≤0时,由于对于任意x∈[0,π2],有sinxcosx≥0,所以函数f(x)≥0恒成立,当a≤0时,符合题意;②当0<a≤1时,因为f'(x)=e x(x+1)-acos2x≥e0(0+1)-acos0=1-a≥0,所以函数f(x)在[0,π2]上为增函数,所以f(x)≥f(0)=0,即当0<a≤1,符合题意;③当a>1时,f'(0)=1-a<0,f'(π4)=eπ4(π4+1)>0,所以存在α∈(0,π4),使得f'(α)=0,且在(0,α)内,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,α)上为减函数,所以f(x)<f(0)=0,即当a>1时,不符合题意.综上所述,a的取值范围是(-∞,1].(3)不存在实数a,使得函数f(x)在区间(0,π2)上有两个零点.理由:由(2)知,当a≤1时,f(x)在(0,π2)上是增函数,且f(0)=0,故函数f(x)在区间(0,π2)上无零点.当a>1时,f'(x)=e x(x+1)-acos2x,令g(x)=e x(x+1)-acos2x,g'(x)=e x(x+2)+2asin2x,当x∈(0,π2)时,恒有g'(x)>0,所以g(x)在(0,π2)上是增函数.由g(0)=1-a<0,g(π2)=eπ2(π2+1)+a>0,故g(x)在(0,π2)上存在唯一的零点x0,即方程f'(x)=0在(0,π2)上存在唯一解x0,且当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,当x∈(x0,π2)时,f'(x)>0,即函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,π2)上单调递增, 当x∈(0,x0)时,f(x)<f(0)=0,即f(x)在(0,x0)无零点;当x∈(x0,π2)时,f(x0)<f(0),f(π2)=π2eπ2>0,所以f(x)在(x0,π2)上有唯一零点,所以,当a>1时,f(x)在(0,π2)上有一个零点.综上所述,不存在实数a,使得函数f(x)在区间(0,π2)上有两个零点.4.解析(1)解法一:函数f(x)的定义域为{x|x>0}.f'(x)=1+lnx,g'(x)=ax+1.①当m=e时,f'(e)=2,g'(e)=ae+1.因为l1⊥l2,所以f'(e)·g'(e)=-1,即2(ae+1)=-1.解得a=-32e.②因为l1∥l2,则f'(m)=g'(m)在(0,+∞)上有解,即lnm-am=0在(0,+∞)上有解.设F(x)=lnx-ax,x>0,则F'(x)=1x -a=1-xxx.当a≤0时,F'(x)>0恒成立,则函数F(x)在(0,+∞)上为增函数.(i)当a<0时,取x=e a,F(e a)=a-ae a=a(1-e a)<0.取x=e,F(e)=1-ae>0,所以F(x)在(0,+∞)上存在零点.(ii)当a=0时,F(x)=lnx存在零点x=1,满足题意.(iii)当a>0时,令F'(x)=0,则x=1x ,则F(x)在(0,1x)上为增函数,在(1x,+∞)上为减函数.所以F(x)的最大值为F(1x )=ln1x-1≥0,解得0<a≤1e.取x=1,F(1)=-a<0.因为当a∈(0,1e ]时,方程F(x)=0在(0,+∞)上有解. 所以a 的最大值是1e .解法二:函数f(x)的定义域为{x|x>0}. f'(x)=1+lnx,g'(x)=ax+1. 则f'(m)=1+lnm,g'(m)=am+1.因为l 1∥l 2,则f'(m)=g'(m)在(0,+∞)上有解,即lnm=am 在(0,+∞)上有解. 因为m>0,所以a=ln x x.令F(x)=ln xx(x>0),则F'(x)=1-ln xx 2,令F'(x)=0,解得x=e.当x∈(0,e)时,F'(x)>0,F(x)为增函数; 当x∈(e,+∞)时,F'(x)<0,F(x)为减函数. 所以F(x)max =F(e)=1e . 所以,a 的最大值是1e . (2)h(x)=xlnx-x2x 2-x+a(x>0),h'(x)=lnx-ax.因为x 1,x 2是h(x)在其定义域内的两个不同的极值点, 所以x 1,x 2是方程lnx-ax=0的两个不等实根, 故lnx 1=ax 1,lnx 2=ax 2. 两式作差得a=ln x 1-ln x 2x 1-x 2.由λlnx 2-λ>1-lnx 1,得1+λ<lnx 1+λlnx 2. 因为λ>0,0<x 1<x 2, 所以1+λ<a(x 1+λx 2)⇔a>1+xx 1+λx2⇔ln x 1-ln x 2x 1-x 2>1+xx1+λx2⇔ln x1x 2<(1+x )(x 1-x 2)x 1+λx 2.令t=x 1x 2,则t∈(0,1).由题意得,lnt<(1+x )(x -1)x +x在t∈(0,1)上恒成立.令φ(t)=lnt -(1+x )(x -1)x +x,t∈(0,1),则φ'(t)=1x -(1+x )2(x +x )2=(x -1)(x -x 2)x (x +x )2.①当λ2≥1,即λ≥1时,∀t∈(0,1),φ'(t)>0,所以φ(t)在(0,1)上单调递增, 又φ(1)=0,则φ(t)<0在(0,1)上恒成立. ②当λ2<1,即0<λ<1时,若t∈(0,λ2),则φ'(t)>0,φ(t)在(0,λ2)上为增函数; 若t∈(λ2,1),则φ'(t)<0,φ(t)在(λ2,1)上为减函数. 又φ(1)=0,所以φ(t)不恒小于0,不符合题意. 综上,λ∈[1,+∞).高频考点十一 解不等式1.答案 -3解析 易知A=(-1,3),B=(-3,2), ∴A∩B=(-1,2),则-1+2=-a,-2=b, ∴a=-1,b=-2,∴a+b=-3. 2.答案 (-3,2)解析 函数f(x)在R 上单调递增,则不等式f(6-x 2)>f(x)等价于6-x 2>x,解得-3<x<2,故本题答案为(-3,2).3.答案 {x|x≤√3}解析 不等式f(f(x))≤3⇔{x (x )≥0,-[x (x )]2≤3或{x (x )<0,[x (x )]2+2f(x)≤3,解得f(x)≥-3,即{x ≥0,-x 2≥-3或{x <0,x 2+2x ≥-3,解得0≤x≤√3或x<0,所以不等式f(f(x))≤3的解集为{x|x≤√3}. 高频考点十二 线性规划1.答案 -9解析 约束条件对应的平面区域如图中阴影部分,当目标函数y=23x-13z 在点(0,3)处时,z 取得最大值-9.2.答案 5解析 图中△ABC 为满足条件的可行域,由z=3x+y 得y=-3x+z,当直线y=-3x+z 过点C 时,z 有最小值5,此时{x =2,x =-3x +5,解得{x =2,x =-1,代入2x-y=c,得c=5.3.答案 [14425,25]解析 可行域如图中阴影部分.x 2+y 2的几何意义是可行域内的点与坐标原点的连线的距离的平方, 由图形可知最小值为OB 的平方,最大值为OA 的平方, (√2≤x 2+y 2≤(√32+42)2,可得14425≤x 2+y 2≤25.故答案为[14425,25].高频考点十三 基本不等式1.答案 9解析 由题意可得a+4b=ab,ab>0,则1x +4x =1,所以a+b=(a+b)(1x +4x )=5+x x +4x x ≥5+2√x x ·4xx=9,当且仅当x x =4xx ,a=2b=6时取等号,故a+b 的最小值是9. 2.答案 (1,43]解析 因为a,b 是正实数,且1x +1x =1,则a+b=ab≥2√xx ,ab≥4.又由1x +x +1x=1得1xx +1x=1,c=xx xx -1=1+1xx -1∈(1,43]. 3.答案 (-∞,2]解析 函数f(x)=|x-a|+9x (a∈R),∵x∈(0,+∞),∴当x>a 时,f(x)=x+9x-a≥2√9x·x -a≥4,当且仅当x=3时取等号,即6-a≥4,可得a≤2.当x<a 时,可得f(x)=a-x+9x ,∵y=9x -x 在(0,+∞)上是递减函数,对f(x)≥4不成立. ∴a 无解.综上,a 的取值范围是(-∞,2].高频考点十四 三角函数的图象与性质1.答案3π4解析 ∵ωm+φ=kπ(k∈Z),-3ωm+φ=-π+kπ(k∈Z), ∴4φ=-π+4kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴k=1,φ=3π4.2.答案π6解析 平移后的函数的解析式为y=cos [2(x -π2)+φ]=cos(2x-π+φ)=-cos(2x+φ)=sin (2x +x +3π2)(0<φ<π),此时图象与函数y=sin (2x -π3)的图象重合,故φ+3π2=-π3+2kπ,k∈Z,即φ=-11π6+2kπ,k∈Z,∵0<φ<π,∴φ=π6.3.答案 [-32,3]解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两个函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin (2x -π6).当x∈[0,π2]时,-π6≤2x -π6≤5π6,所以-12≤sin (2x -π6)≤1,故f(x)∈[-32,3].高频考点十五 三角变换求值1.答案 1解析 由题设可知sinθ=-2cosθ,代入得sin 2θ+cos 2θ+2sin x cos x cos 2θ=(4+1-4)cos 2θcos 2θ=1.2.答案1516解析 因为α∈(0,π2),所以cosα+sinα>0,则由cos (π4-α)=√22(cosα+sinα)=2√2(cosα+sinα)·(cosα-sinα)可得cosα-sinα=14,两边平方可得1-sin2α=116,解得sin2α=1516. 3.答案 -15 解析 因为sin(x +x )sin(x -x )=tan x +tan x tan x -tan x ,且sin(α+β)=23,tan x tan x =713,所以sin(α-β)=sin(α+β)×tan x -tan xtan x +tan x=-15.4.解析 (1)由α∈(π2,π),tanα=-2,得sinα=25√5,cosα=-√55,sin (π4+α)=sin π4cosα+cos π4sinα=110√10.(2)sin2α=2sinαcosα=-45,cos2α=cos 2α-sin 2α=-35, cos (2π3-2α)=cos2π3cos2α+sin2π3sin2α=3-4√310. 高频考点十六 解三角形1.答案 2√6解析 由∠B=2∠A 得sinB=sin(2A)=2sinAcosA,由正弦定理和余弦定理可得b=2a·x 2+x 2-x 22xx.又a=3,c=5,代入解得b=2√6. 2.答案 4解析 因为acosB-bcosA=35c,所以sinAcosB-sinBcosA=35sinC=35sin(A+B),化简得sinAcosB=4sinBcosA,所以tan x tan x =sin x cos xsin x cos x =4.3.解析 (1)由正弦定理及asinA-csinC=(a-b)sinB 可得a 2+b 2=c 2+ab, 又由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,得cosC=12,所以C=π3.(2)由正弦定理及c+bcosA=a(4cosA+cosB)可得sinC+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcosB,从而有sinBcosA=2sinAcosA, 当A=π2时,b=2,S △ABC =2√3;当A≠π2时,b=2a,a=2,b=4,S △ABC =12absinC=2√3. 综上,△ABC 的面积是2√3.4.解析 (1)在△ABC 中,因为a=1,b=2√3,B-A=π6,。

必备七高频考点练透高频考点一集合运算1.(2018扬州高三第三次调研)已知集合A={-1,0,3,5},B={x|x-2>0},则A∩B=.2.(2018南京高三年级第三次模拟)集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2-4=0},则A∪B=.3.(2018南通高三第二次调研)已知集合U={-1,0,1,2,3},A={-1,0,2},则∁U A= .4.(2018江苏南通中学高三考前冲刺练习)已知集合A={0,4},B={3,2m}.若A∪B={0,3,4},则实数m的值为.高频考点二复数1.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))若复数z满足(1+i)z=2(i是虚数单位),则z的虚部为.2.(2018扬州高三第三次调研)已知(1+3i)(a+bi)=10i,其中i为虚数单位,a,b∈R,则ab的值为.3.(2018江苏徐州模拟)已知复数z=(1-2i)2(i为虚数单位),则z的模为.(i为虚数单位)对应的点位于第象限.4.(2018扬州高三考前调研)在复平面内,复数z=1-i2i高频考点三统计1.(2018江苏盐城中学高三数学阶段性检测)一支田径队有男运动员28人,女运动员21人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取14位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取人.2.(2018淮海中学高三数学3月高考模拟)有100件产品编号从00到99,用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验,分组后每组按照相同的间隔抽取产品,若第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为.3.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟考试)甲在某周五天的时间内,每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数),则该组数据的方差s2的值为.1 8 72 2 1 24.(2018扬州高三考前调研测试)为了了解一批产品的长度(单位:毫米)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,下图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为.高频考点四概率1.(2018江苏南京模拟)已知A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,那么A与B在相邻两天值班的概率为.2.(2018南通高三第二次调研)在长为12cm的线段AB上任取一点C,以线段AC,BC为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32cm2的概率为.3.(2018扬州高三第三次调研)袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色外完全相同.现从中随机摸出1只球,若摸出的球不是红球的概率为0.8,不是黄球的概率为0.5,则摸出的球为蓝色的概率为.4.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是.高频考点五算法1.如图所示的流程图的运行结果是.2.(2018徐州高三模拟)运行如图所示的伪代码,其结果为.3.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))如图是一个算法流程图,若输入值x∈[0,2],则输出S的取值范围是.4.执行如图所示的伪代码,输出的结果是.高频考点六空间几何体的体积与表面积1.(2018江苏南京高三联考)已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为.2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,点P,Q分别为棱CC1,BC的中点,则四面体A1-B1PQ的体积为.3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.高频考点七空间平行与垂直1.给出下列命题:(1)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;(2)若两个平面平行,则垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面;(3)若两个平面垂直,则垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面;(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.则其中所有真命题的序号为.2.已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论:①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β.其中正确的序号是.3.(2018江苏南京高三联考)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角. (1)证明:BC∥平面PDE;(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.高频考点八基本初等函数的图象与性质1.(2018江苏如东高级中学期中)已知函数f(x)=ln(1+x2),则满足不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范围是.2.(2018江苏盐城期中)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2x,则f(log220)= .3.(2018苏州期中考试)若函数f(x)={-x+8,x≤2,log x x+5,x>2(a>0且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范围是.4.(2018常州教育学会学业水平检测)已知当x∈(0,1)时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则实数m的取值范围是.高频考点九函数与方程1.(2018盐城伍佑中学期末)若方程7x 2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m 的取值范围为 .2.(2018常州教育学会学业水平检测)若函数f(x)=2x+x-2的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k 的值为 .3.(2018江苏镇江期末)方程(12)x=|lnx|的解的个数为 .4.(2018江苏宿迁期末)已知函数f(x)={|log 2x|,0<x ≤2,-x +3, x >2,若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,则(x 1x 2+1)m-x 3的取值范围是 . 高频考点十 导数及其应用1.若函数f(x)=lnx+ax 2-2在区间(12,2)内存在单调递增区间,则实数a 的取值范围是 .2.若函数f(x)=(x 2-ax+a+1)e x(a∈N)在区间(1,3)只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程为 .3.(2018江苏兴化一中模拟)设函数f(x)=xe x-asinxcosx(a∈R,其中e 是自然对数的底数). (1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)若对于任意的x∈[0,π2],f(x)≥0恒成立,求a 的取值范围;(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间(0,π2)上有两个零点?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.4.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2x 2+x-a(a∈R).(1)若直线x=m(m>0)与曲线y=f(x)和y=g(x)分别交于M,N 两点.设曲线y=f(x)在点M 处的切线为l 1,y=g(x)在点N 处的切线为l 2.①当m=e 时,若l 1⊥l 2,求a 的值; ②若l 1∥l 2,求a 的最大值;(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内恰有两个不同的极值点x1,x2,且x1<x2.若λ>0,且λlnx2-λ>1-lnx1恒成立,求λ的取值范围.高频考点十一 解不等式1.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A,不等式x 2+x-6<0的解集是B,不等式x 2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b 等于 .2.设函数f(x)={x ,x <1,x 3-1x +1,x ≥1,则不等式f(6-x 2)>f(x)的解集为 .3.已知函数f(x)={-x 2, x ≥0,x 2+2x,x <0,则不等式f(f(x))≤3的解集为 .高频考点十二 线性规划1.(2018苏州阳光指标调研)已知变量x,y 满足{0≤x ≤3,x +x ≥0,x -x +3≤0,则z=2x-3y 的最大值为 .2.已知变量x,y 满足{x ≥2,x +x ≤4,2x -x ≤x ,目标函数z=3x+y 的最小值为5,则c 的值为 .3.(2018江苏扬州高三第一次模拟)若实数x,y 满足{x ≤4,x ≤3,3x +4x ≥12,则x 2+y 2的取值范围是 .高频考点十三 基本不等式1.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)若log 4(a+4b)=log 2√xx ,则a+b 的最小值是 .2.(2018苏州学业阳光指标调研)已知正实数a,b,c 满足1x +1x =1,1x +x +1x=1,则c 的取值范围是 .3.(2018江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+9x (a∈R),当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)≥4恒成立,则a 的取值范围是 . 高频考点十四 三角函数的图象与性质1.若-3m,m(m>0)恰好是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻零点,则φ= .2.函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin (2x -π3)的图象重合,则φ= .3.已知函数f(x)=3sin (xx -π6)(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈[0,π2],则f(x)的取值范围是 . 高频考点十五 三角变换求值 1.已知sinθ+2cosθ=0,则1+sin 2θcos 2θ= .2.若a∈(0,π2),cos (π4-a )=2√2cos2α,则sin2α= .3.已知角α,β满足tan x tan x =713,若sin(α+β)=23,则sin(α-β)的值为 . 4.已知α∈(π2,π),tanα=-2. (1)求sin (π4+α)的值;(2)求cos (2π3-2α)的值.高频考点十六 解三角形1.在△ABC 中,已知AB=5,BC=3,∠B=2∠A,则边AC 的长为 .2.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若acosB-bcosA=35c,则tan xtan x = . 3.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,c=2√3,且asinA-csinC=(a-b)sinB. (1)求角C 的值;(2)若c+bcosA=a(4cosA+cosB),求△ABC 的面积.4.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟考试)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=1,b=2√3,B-A=π6. (1)求sinA 的值; (2)求c 的值.高频考点十七 平面向量1.在梯形ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为CD,BC 的中点,若xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λxx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μxx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= .2.(2018泰州中学检测)已知O 是△ABC 外接圆的圆心,若4xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则cosC= .3.(2018徐州铜山第三次模拟)等边△ABC 的边长为2,过边BC 上一点P 分别作AB,AC 的垂线,垂足分别为M,N,则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .4.(2018泰州中学高三3月检测)设向量a=(sinx,√3cosx),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π]. (1)若(a+b)∥c,求实数x 的值;(2)若a·b=12,求函数y=sin (x +π6)的值.高频考点十八 直线与圆1.已知直线3x-4y-6=0与圆x 2+y 2-2y+m=0(m∈R)相切,则m 的值为 .2.(2018江苏南京高三联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知AB 是圆O:x 2+y 2=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP 与圆O 交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k 的取值范围是 . 3.(2018兴化一中模拟)若直线l 1:y=x+a 和直线l 2:y=x+b 将圆(x-1)2+(y-2)2=5分成长度相等的四段弧,则ab= .4.已知直线l 与圆C:x 2+y 2+2x-4y+a=0相交于A 、B 两点,弦AB 的中点为M(0,1). (1)求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;(2)若圆C 上存在四个点到直线l 的距离为√2,求实数a 的取值范围;(3)已知N(0,-3),若圆C 上存在两个不同的点P,使PM=√3PN,求实数a 的取值范围.高频考点十九 圆锥曲线的几何性质1.(2018江苏南通模拟)已知双曲线C:x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线C 的离心率为 .2.若抛物线y=ax 2的焦点坐标是(0,1),则a= .3.(2018江苏南通模拟)已知圆C 1:x 2+2cx+y 2=0,圆C 2:x 2-2cx+y 2=0,椭圆C:x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的焦距为2c,若圆C 1,C 2都在椭圆C 内,则椭圆C 的离心率的范围是 . 高频考点二十 圆锥曲线的综合问题 1.(2018江苏高考预测卷二)已知过双曲线x 2x 2-x 2x2=1(a>0,b>0)的右顶点A 且斜率为-1的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于B,C 两点,若A,B,C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为 . 2.(2018江苏高考预测卷四)如图,F 1,F 2是双曲线E:x 24-x 22=1与椭圆F 的公共焦点,A 是它们在第二象限的交点,且AF 1⊥AF 2,则椭圆F 的离心率为 .3.(2018江苏联考)已知椭圆C:x 2x 2+x 2x2=1(a>b>0)的左顶点,右焦点分别为A,F,右准线为m.(1)若直线m 上不存在点Q,使△AFQ 为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围;(2)在(1)的条件下,当e 取最大值时,A 点坐标为(-2,0),设B,M,N 是椭圆上的三点,且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35OM+45xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求以线段MN 的中点为圆心,过A,F 两点的圆的方程.高频考点二十一 等差、等比数列的基本量运算1.(2018南京、盐城高三第二次模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15=30,a 7=1,则S 9的值为 .2.(2018江苏扬州中学模拟)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,公差为d,若x20182018-x1818=100,则d的值为.3.(2018江苏南通阶段检测)若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20的值为.4.(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知各项都是正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a3=3x22,则S3= .高频考点二十二等差、等比数列的综合运用1.设等比数列{a n}的公比为q(0<q<1),前n项和为S n,若a1=4a3a4,且a6与34a4的等差中项为a5,则S6= .2.(2018江苏徐州期中)已知数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2a n-1,n∈N*,数列{b n}满足nb n+1-(n+1)b n=n(n+1),n∈N*,且b1=1.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)若c n=a n·√x x,数列{c n}的前n项和为T n,对任意的n∈N*,都有T n≤nS n-a,求实数a的取值范围;(3)是否存在正整数m,n,使b1,a m,b n(n>1)成等差数列?若存在,求出所有满足条件的m,n;若不存在,请说明理由.高频考点二十三实际应用题1.(2018江苏海安高级中学阶段检测(三))一块圆柱形木料的底面半径为12cm,高为32cm,要将这块木料加工成一只毛笔筒,在木料一端正中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一,设小圆柱底面半径为rcm,高为hcm,要求笔筒底面的厚度超过2cm.(1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/cm2),桶内侧面喷漆费用为2a(元/cm2),而桶内底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/cm2)(其中a为正常数).①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r(cm)的函数;②求出当r取何值时,笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.2.已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元,每生产1万台还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万台并全部销售完,每万台的销售收入为R(x)万美元,且R(x)={400-6x ,0<x ≤40,7400x-40000x2,x >40.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(2)当年产量为多少万台时,苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.3.如图,某广场中间有一块边长为2百米的菱形绿化区ABCD,其中图形BMN 是半径为1百米的扇形,∠ABC=2π3.管理部门欲在该地从M 到D 修建小路:在xx ⏜上选一点P(异于M 、N 两点),过点P 修建与BC 平行的小路PQ.问:点P 选择在何处,才能使得修建的小路xx ⏜与PQ 及QD 的总长度最小?并说明理由.高频考点二十四 矩阵及其变换(理科专用)1.(2018苏州学业阳光指标调研)选修4-2:矩阵与变换 已知M=[1 22 1],β=[17],求M 4β.2.(2018江苏南京模拟)已知矩阵A=[2 00 1],B=[1 -12 5],求矩阵A -1B.高频考点二十五 坐标系与参数方程(理科专用)1.(2018南京、盐城高三第二次模拟)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =x ,x =√3t +2(t 为参数),圆C 的参数方程为{x =x cos x ,x =x sin x (a>0,θ为参数),点P 是圆C 上的任意一点,若点P 到直线l 距离的最大值为3,求a 的值.2.(2018苏州学业阳光指标调研)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+x ,x =x -3(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos xsin 2θ,若直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求△AOB 的面积.高频考点二十六 不等式选讲(理科专用)1.(2017南京、盐城、连云港高三第二次模拟)设a≠b,求证:a 4+6a 2b 2+b 4>4ab(a 2+b 2).2.(2018江苏高考预测卷四)已知函数f(x)={|x +1|,-2≤x ≤2,3-|x |,x <-2或x >2.(1)求函数f(x)的值域;(2)若关于x 的方程f(x)-a=0(a<0)有两个不相等的实数根,求a+1x 的最大值.高频考点二十七求空间角(理科专用)1.(2018江苏南京调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.,求BC的长;(1)若直线PB与CD所成角的大小为π3(2)求二面角B-PD-A的余弦值.2.(2017南京、盐城、连云港高三第二次模拟)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=π,E,F分别是BC,A1C的中点.3(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2)点M在线段A1D上,x1M=λ,若CM∥平面AEF,求实数λ的值.x1D高频考点二十八 随机变量及其分布(理科专用)1.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在1,2,3,…,9这9个自然数中,任取3个不同的数. (1)求这3个数中至少有1个数是偶数的概率; (2)求这3个数的和为18的概率;(3)设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ).2.(2018南京、盐城高三第二次模拟)甲、乙两人站在P 点处分别向A,B,C 三个目标进行射击,每人向三个目标各射击一次,每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中A,B,C 的概率分别都为12,13,14. (1)设X 表示甲击中目标的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两人共击中目标数为2的概率.高频考点二十九 数学归纳法(理科专用)1.(2018常州教育学会学业水平检测)记(x+1)·(x +12)·…·(x +1x )(n≥2且n∈N *)的展开式中含x项的系数为S n ,含x 2项的系数为T n . (1)求S n ;(2)若xx x x=an 2+bn+c 对n=2,3,4成立,求实数a,b,c 的值;(3)对(2)中的实数a,b,c,用数学归纳法证明:对任意n≥2且n∈N *,xx x x=an 2+bn+c 都成立.2.(2018苏州学业阳光指标调研)在正整数集上定义函数y=f(n),满足f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.(1)求证:f(3)-f(2)=910;(2)是否存在实数a,b,使f(n)=1x (-32)x-b+1对任意正整数n 恒成立?并证明你的结论.高频考点三十 抛物线(理科专用)1.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点M(4,0). (1)若点F 到直线l 的距离为√3,求直线l 的斜率;(2)设A,B 为抛物线上两点,且AB 不与x 轴垂直,若线段AB 的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB 中点的横坐标为定值.2.(2018江苏海安高级中学阶段检测(三))如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l:x-y-4=0,抛物线C:y 2=2px(p>0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程; (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(4-p,-p);②求p的取值范围.答案精解精析 高频考点一 集合运算1.答案 {3,5}解析 由交集定义可得A∩B={3,5}. 2.答案 {-3,-2,2}解析 集合A={2,-3},B={2,-2},则A∪B={-3,-2,2}. 3.答案 {1,3}解析 由补集定义可得∁U A={1,3}. 4.答案 2解析 因为2m>0,则由并集定义可得2m=4,m=2.高频考点二 复数1.答案 -1 解析 复数z=21+i=1-i 的虚部是-1.2.答案 3解析 复数a+bi=10i1+3i =i(1-3i)=3+i,则a=3,b=1,ab=3. 3.答案 5解析 复数z=(1-2i)2=-3-4i,则|z|=5. 4.答案 三 解析 复数z=1-i 2i=(1-i)(-i)2=-12-12i 对应的点(-12,-12)位于第三象限. 高频考点三 统计1.答案 8解析 男运动员应抽取2828+21×14=8人.2.答案 31解析 将100件产品分成5组,每组20件,则抽取的样本编号是以20为公差的等差数列,第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为91-20×3=31. 3.答案225解析 由茎叶图可得这组数据的平均数是18+17+22+21+225=20,则方差s 2=4+9+4+1+45=225.4.答案 100解析 由频率分布直方图可得一等品的频率是0.0625×5=0.3125,二等品的频率是(0.05+0.0375)×5=0.4375,则三等品的频率是1-(0.3125+0.4375)=0.25,又样本容量是400,所以样本中三等品的件数为0.25×400=100.高频考点四 概率1.答案 23解析 A,B,C 三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,有(ABC)、(ACB)、(BAC)、(BCA)、(CAB)、(CBA),共6种,其中A 与B 在相邻两天值班的结果有4种,故所求概率为46=23. 2.答案 13解析 设AC=xcm,x∈(0,12),则由题意得x(12-x)>32,解得4<x<8,故所求概率为8-412=13. 3.答案 0.3解析 因为摸出的球不是红球的概率是0.8,所以摸出的球是红球的概率是0.2,又摸出的球不是黄球的概率是0.5,则摸出的球是黄球的概率是0.5,所以摸出的球是蓝球的概率为1-0.2-0.5=0.3. 4.答案14π解析 本题考查几何概型.油恰好落入孔中的概率为12π×22=14π.高频考点五 算法1.答案 24解析 该流程图运行2次,第1次,S=6,a=4,条件a>2满足,继续运行,第2次,S=24,a=2,条件a>2不满足,结束运行,故输出的S=24. 2.答案 45解析 该伪代码运行9次,则S=1+2+3+……+9=9×(1+9)2=45.3.答案 [0,1]解析 由流程图可得S={1,0≤x <1,2x -x 2,1≤x ≤2,结合函数图象得S∈[0,1].4.答案 8解析 该算法运行3次,第1次,I=4,S=4;第2次,I=6,S=24;第3次,I=8,S=192,运行结束,故输出的I=8.高频考点六 空间几何体的体积与表面积1.答案√33π 解析 设圆锥底面圆半径为r,则2π=2πr,r=1,则圆锥的高h=√22-12=√3,则该圆锥的体积V=13πr 2h=√33π.2.答案√32解析 x △x 1PQ =x 正方形xxx 1x 1-x △xx 1Q -x △x 1x 1P -S △PCQ =2×2-12×2×1-12×2×1-12×1×1=32,当△B 1PQ 作为三棱锥的底面时,三棱锥的高是边长为2的等边三角形A 1B 1C 1的边B 1C 1上的高,h=√3,四面体A 1-B 1PQ 的体积为V=13×32×√3=√32.3.答案 50π解析 如图,ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,∴A 1A⊥AC,又三棱柱的所有顶点都在同一球面上,∴A 1C 是球的直径,∴R=x 1C 2.∵AB⊥BC,∴AC=√32+42=5,∴A 1C 2=52+52=50,故该球的表面积为S=4πR 2=4π(x 1C 2)2=πA 1C 2=50π.高频考点七 空间平行与垂直1.答案(1)(2)解析(1)因为两个平面平行,所以两个平面没有公共点,即其中一个平面的直线与另一个平面也没有公共点.由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行,所以(1)正确.(2)因为该直线与其中一个平面垂直,那么该直线必与其中两条相交直线垂直,又两个平面平行,故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直,所以该直线与另一个平面也垂直.故(2)正确.(3)错,反例:该直线可以在另一个平面内.(4)错,反例:其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行.综上,(1)(2)为真命题.2.答案②④解析如图,∵β∩γ=l,∴l⊂γ,由α⊥γ,α∩γ=m,且l⊥m,得l⊥α,故②正确;由β∩γ=l,得l⊂β,由l⊥α,得α⊥β,故④正确;而①③条件不充分,不能判断.3.证明(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又DE⊂平面PDE,BC⊄平面PDE,所以BC∥平面PDE.(2)过点P作PO⊥CD,垂足为O.因为平面PCD⊥平面ABC,PO⊂平面PCD,平面PCD∩平面ABC=CD,所以PO⊥平面ABC.又因为AB⊂平面ABC,所以AB⊥PO.因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD.又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD⊂平面PCD,所以AB⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD,所以AB⊥PC.高频考点八基本初等函数的图象与性质1.答案(-1,2)解析函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)内单调递增,则f(2x-1)<f(3)⇔f(|2x-1|)<f(3)⇔|2x-1|<3⇔-3<2x-1<3,则-1<x<2.2.答案-45解析 ∵函数f(x)是以4为周期的奇函数,log 220∈(4,5), ∴4-log 220∈[-1,0),∴f(log 220)=f(log 220-4)=-f(4-log 220),∵当x∈[-1,0)时,f(x)=2x,∴f(log 220)=-24-log 220=-1620=-45.3.答案 (1,2]解析 当x≤2时,f(x)=-x+8≥6,所以当x>2时,f(x)=log a x+5≥6恒成立,所以a>1,log a 2≥1=log a a,故1<a≤2.4.答案 (0,1)∪(3,+∞)解析 由图象只有1个交点得m 2x 2-(2m+1)x+1-m=0在(0,1)上只有一个解,当m=0时,显然不成立,当m≠0时,令f(x)=m 2x 2-(2m+1)x+1-m,作出函数f(x)的图象(图略),由图象可得{x (0)=1-x >0,x (1)=x 2-3m <0或{x (0)=1-x <0,x (1)=x 2-3m >0,解得0<m<1或m>3.高频考点九 函数与方程1.答案 (-4,-2)解析 令f(x)=7x 2-(m+13)x-m-2,则{x (0)=-x -2>0,x (1)=-8-2x <0,x (2)=-3x >0,解得-4<m<-2.2.答案 0解析 f(x)在R 上单调递增,且f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以f(x)在(0,1)上有唯一零点,故k=0. 3.答案 2解析 在同一直角坐标系中作出函数y=(12)x,y=|lnx|的图象(图略),可知两函数图象有2个交点,故原方程有两解. 4.答案 (-2,0)解析 函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,即y=f(x),y=m 的图象有3个不同的交点,作出函数图象(图略)可得0<m<1,x 1x 2=1,x 3=3-m,则(x 1x 2+1)m-x 3=2m+m-3,m∈(0,1)单调递增,故(x 1x 2+1)m-x 3的取值范围是(-2,0).高频考点十 导数及其应用1.答案 [-2,+∞)解析由题意得,f'(x)=1x +2ax,f(x)在区间(12,2)内存在单调递增区间,则f'(x)≥0在(12,2)有解,故a≥(-12x2)min,又g(x)=-12x2在(12,2)上是单调递增函数,所以g(x)>g(12)=-2,所以实数a的取值范围是a≥-2.2.答案y=x+6解析f'(x)=[x2+(2-a)x+1]e x(a∈N),设g(x)=x2+(2-a)x+1,因为函数f(x)在区间(1,3)只有1个极值点,所以函数f'(x)在区间(1,3)只有1个零点,则有g(1)·g(3)<0,解得4<a<163,又a∈N,所以a=5, 所以f(0)=6,f'(0)=1,则所求切线方程为y=x+6.3.解析(1)当a=0时,f(x)=xe x,f'(x)=e x(x+1),令f'(x)=0,得x=-1.列表如下:x (-∞,-1) -1 (-1,+∞) f'(x) - 0 +f(x) 单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-1e,无极大值.(2)①当a≤0时,由于对于任意x∈[0,π2],有sinxcosx≥0,所以函数f(x)≥0恒成立,当a≤0时,符合题意;②当0<a≤1时,因为f'(x)=e x(x+1)-acos2x≥e0(0+1)-acos0=1-a≥0,所以函数f(x)在[0,π2]上为增函数,所以f(x)≥f(0)=0,即当0<a≤1,符合题意;③当a>1时,f'(0)=1-a<0,f'(π4)=eπ4(π4+1)>0,所以存在α∈(0,π4),使得f'(α)=0,且在(0,α)内,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,α)上为减函数,所以f(x)<f(0)=0,即当a>1时,不符合题意.综上所述,a的取值范围是(-∞,1].(3)不存在实数a,使得函数f(x)在区间(0,π2)上有两个零点.理由:由(2)知,当a≤1时,f(x)在(0,π2)上是增函数,且f(0)=0,故函数f(x)在区间(0,π2)上无零点.当a>1时,f'(x)=e x(x+1)-acos2x,令g(x)=e x(x+1)-acos2x,g'(x)=e x(x+2)+2asin2x,当x∈(0,π2)时,恒有g'(x)>0,所以g(x)在(0,π2)上是增函数.由g(0)=1-a<0,g(π2)=eπ2(π2+1)+a>0,故g(x)在(0,π2)上存在唯一的零点x0,即方程f'(x)=0在(0,π2)上存在唯一解x0,且当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,当x∈(x0,π2)时,f'(x)>0,即函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,π2)上单调递增, 当x∈(0,x0)时,f(x)<f(0)=0,即f(x)在(0,x0)无零点;当x∈(x0,π2)时,f(x0)<f(0),f(π2)=π2eπ2>0,所以f(x)在(x0,π2)上有唯一零点,所以,当a>1时,f(x)在(0,π2)上有一个零点.综上所述,不存在实数a,使得函数f(x)在区间(0,π2)上有两个零点.4.解析(1)解法一:函数f(x)的定义域为{x|x>0}.f'(x)=1+lnx,g'(x)=ax+1.①当m=e时,f'(e)=2,g'(e)=ae+1.因为l1⊥l2,所以f'(e)·g'(e)=-1,即2(ae+1)=-1.解得a=-32e.②因为l1∥l2,则f'(m)=g'(m)在(0,+∞)上有解,即lnm-am=0在(0,+∞)上有解.设F(x)=lnx-ax,x>0,则F'(x)=1x -a=1-xxx.当a≤0时,F'(x)>0恒成立,则函数F(x)在(0,+∞)上为增函数.(i)当a<0时,取x=e a,F(e a)=a-ae a=a(1-e a)<0.取x=e,F(e)=1-ae>0,所以F(x)在(0,+∞)上存在零点.(ii)当a=0时,F(x)=lnx存在零点x=1,满足题意.(iii)当a>0时,令F'(x)=0,则x=1x ,则F(x)在(0,1x)上为增函数,在(1x,+∞)上为减函数.所以F(x)的最大值为F(1x )=ln1x-1≥0,解得0<a≤1e.取x=1,F(1)=-a<0.因为当a∈(0,1e ]时,方程F(x)=0在(0,+∞)上有解. 所以a 的最大值是1e .解法二:函数f(x)的定义域为{x|x>0}. f'(x)=1+lnx,g'(x)=ax+1. 则f'(m)=1+lnm,g'(m)=am+1.因为l 1∥l 2,则f'(m)=g'(m)在(0,+∞)上有解,即lnm=am 在(0,+∞)上有解. 因为m>0,所以a=ln x x.令F(x)=ln xx(x>0),则F'(x)=1-ln xx 2,令F'(x)=0,解得x=e.当x∈(0,e)时,F'(x)>0,F(x)为增函数; 当x∈(e,+∞)时,F'(x)<0,F(x)为减函数. 所以F(x)max =F(e)=1e . 所以,a 的最大值是1e . (2)h(x)=xlnx-x2x 2-x+a(x>0),h'(x)=lnx-ax.因为x 1,x 2是h(x)在其定义域内的两个不同的极值点, 所以x 1,x 2是方程lnx-ax=0的两个不等实根, 故lnx 1=ax 1,lnx 2=ax 2. 两式作差得a=ln x 1-ln x 2x 1-x 2.由λlnx 2-λ>1-lnx 1,得1+λ<lnx 1+λlnx 2. 因为λ>0,0<x 1<x 2, 所以1+λ<a(x 1+λx 2)⇔a>1+xx 1+λx2⇔ln x 1-ln x 2x 1-x 2>1+xx1+λx2⇔ln x1x 2<(1+x )(x 1-x 2)x 1+λx 2.令t=x 1x 2,则t∈(0,1).由题意得,lnt<(1+x )(x -1)x +x在t∈(0,1)上恒成立.令φ(t)=lnt -(1+x )(x -1)x +x,t∈(0,1),则φ'(t)=1x -(1+x )2(x +x )2=(x -1)(x -x 2)x (x +x )2.①当λ2≥1,即λ≥1时,∀t∈(0,1),φ'(t)>0,所以φ(t)在(0,1)上单调递增, 又φ(1)=0,则φ(t)<0在(0,1)上恒成立. ②当λ2<1,即0<λ<1时,若t∈(0,λ2),则φ'(t)>0,φ(t)在(0,λ2)上为增函数; 若t∈(λ2,1),则φ'(t)<0,φ(t)在(λ2,1)上为减函数. 又φ(1)=0,所以φ(t)不恒小于0,不符合题意. 综上,λ∈[1,+∞).高频考点十一 解不等式1.答案 -3解析 易知A=(-1,3),B=(-3,2), ∴A∩B=(-1,2),则-1+2=-a,-2=b, ∴a=-1,b=-2,∴a+b=-3. 2.答案 (-3,2)解析 函数f(x)在R 上单调递增,则不等式f(6-x 2)>f(x)等价于6-x 2>x,解得-3<x<2,故本题答案为(-3,2).3.答案 {x|x≤√3}解析 不等式f(f(x))≤3⇔{x (x )≥0,-[x (x )]2≤3或{x (x )<0,[x (x )]2+2f(x)≤3,解得f(x)≥-3,即{x ≥0,-x 2≥-3或{x <0,x 2+2x ≥-3,解得0≤x≤√3或x<0,所以不等式f(f(x))≤3的解集为{x|x≤√3}. 高频考点十二 线性规划1.答案 -9解析 约束条件对应的平面区域如图中阴影部分,当目标函数y=23x-13z 在点(0,3)处时,z 取得最大值-9.2.答案 5解析 图中△ABC 为满足条件的可行域,由z=3x+y 得y=-3x+z,当直线y=-3x+z 过点C 时,z 有最小值5,此时{x =2,x =-3x +5,解得{x =2,x =-1,代入2x-y=c,得c=5.3.答案 [14425,25]解析 可行域如图中阴影部分.x 2+y 2的几何意义是可行域内的点与坐标原点的连线的距离的平方, 由图形可知最小值为OB 的平方,最大值为OA 的平方, (√2≤x 2+y 2≤(√32+42)2,可得14425≤x 2+y 2≤25.故答案为[14425,25].高频考点十三 基本不等式1.答案 9解析 由题意可得a+4b=ab,ab>0,则1x +4x =1,所以a+b=(a+b)(1x +4x )=5+x x +4x x ≥5+2√x x·4xx=9,当且仅当x x =4xx,a=2b=6时取等号,故a+b 的最小值是9.2.答案 (1,43]解析 因为a,b 是正实数,且1x +1x =1,则a+b=ab≥2√xx ,ab≥4.又由1x +x +1x=1得1xx +1x=1,c=xx xx -1=1+1xx -1∈(1,43]. 3.答案 (-∞,2]解析 函数f(x)=|x-a|+9x (a∈R),∵x∈(0,+∞),∴当x>a 时,f(x)=x+9x-a≥2√9x·x -a≥4,当且仅当x=3时取等号,即6-a≥4,可得a ≤2.当x<a 时,可得f(x)=a-x+9x ,∵y=9x -x 在(0,+∞)上是递减函数,对f(x)≥4不成立. ∴a 无解.综上,a 的取值范围是(-∞,2].高频考点十四 三角函数的图象与性质1.答案3π4解析 ∵ωm+φ=kπ(k∈Z),-3ωm+φ=-π+kπ(k∈Z), ∴4φ=-π+4kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴k=1,φ=3π4.2.答案π6解析 平移后的函数的解析式为y=cos [2(x -π2)+φ]=cos(2x-π+φ)=-cos(2x+φ)=sin (2x +x +3π2)(0<φ<π),此时图象与函数y=sin (2x -π3)的图象重合,故φ+3π2=-π3+2kπ,k∈Z,即φ=-11π6+2kπ,k∈Z,∵0<φ<π,∴φ=π6.3.答案 [-32,3]解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两个函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin (2x -π6).当x∈[0,π2]时,-π6≤2x -π6≤5π6,所以-12≤sin (2x -π6)≤1,故f(x)∈[-32,3].高频考点十五 三角变换求值1.答案 1解析 由题设可知sinθ=-2cosθ,代入得sin 2θ+cos 2θ+2sin x cos x cos 2θ=(4+1-4)cos 2θcos 2θ=1.2.答案1516解析 因为α∈(0,π2),所以cosα+sinα>0,则由cos (π4-α)=√22(cosα+sinα)=2√2(cosα+sinα)·(cosα-sinα)可得cosα-sinα=14,两边平方可得1-sin2α=116,解得sin2α=1516. 3.答案 -15 解析 因为sin(x +x )sin(x -x )=tan x +tan x tan x -tan x ,且sin(α+β)=23,tan x tan x =713,所以sin(α-β)=sin(α+β)×tan x -tan xtan x +tan x=-15.4.解析 (1)由α∈(π2,π),tanα=-2,得sinα=25√5,cosα=-√55,sin (π4+α)=sin π4cosα+cos π4sinα=110√10.(2)sin2α=2sinαcosα=-45,cos2α=cos 2α-sin 2α=-35, cos (2π3-2α)=cos2π3cos2α+sin2π3sin2α=3-4√310.高频考点十六 解三角形1.答案 2√6解析 由∠B=2∠A 得sinB=sin(2A)=2sinAcosA,由正弦定理和余弦定理可得b=2a·x 2+x 2-x 22xx.又a=3,c=5,代入解得b=2√6. 2.答案 4解析 因为acosB-bcosA=35c,所以sinAcosB-sinBcosA=35sinC=35sin(A+B),化简得sinAcosB=4sinBcosA,所以tan x tan x =sin x cos xsin x cos x =4.3.解析 (1)由正弦定理及asinA-csinC=(a-b)sinB 可得a 2+b 2=c 2+ab, 又由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,得cosC=12,所以C=π3.(2)由正弦定理及c+bcosA=a(4cosA+cosB)可得sinC+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcosB,从而有sinBcosA=2sinAcosA, 当A=π2时,b=2,S △ABC =2√3;当A≠π2时,b=2a,a=2,b=4,S △ABC =12absinC=2√3. 综上,△ABC 的面积是2√3.4.解析 (1)在△ABC 中,因为a=1,b=2√3,B-A=π6,。

考前回扣一、集合、复数与常用逻辑用语知识方法1.集合的概念、关系及运算(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.(2)集合与集合之间的关系:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.(3)集合的基本运算①交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.②并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.③补集:∁U A={x|x∈U,且x∉A}.重要结论:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔B⊆A.(1)逆命题与否命题互为逆否命题;(2)互为逆否命题的两个命题同真假;(3)当判断原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.3.充分、必要条件假设p⇒q,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件;假设p⇔q,那么p,q互为充要条件.命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真; p和p为真假对立的命题.(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定 p:∃x0∈M, p(x0).(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定 p:∀x∈M, p(x).(1)复数的有关概念(2)运算法那么加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.除法:==.易忘提醒1.求解集合运算时,要注意集合端点值的取舍,涉及含参数的集合运算时,要注意集合中元素的“互异性〞.2.判断一些命题的真假时,如果不能直接判断,可以转化为判断其逆否命题的真假.3.否命题是既否定条件,又否定结论;而命题的否定是只否定命题的结论.在否定结论时,应将“且〞改成“或〞,将“或〞改成“且〞.4.A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A,且A⇒/ B)两者的不同.5.只有当两个复数全是实数时,两复数才能比较大小,即当z1,z2∈C时,假设z1,z2能比较大小,它们的虚部均为0.习题回扣(命题人推荐)1.(集合的运算)假设集合M=x y=,N={y|y=},那么M∩∁R N=.答案:{x|x<0}2.(复数的概念与运算)+1=.答案:3.(复数相等)假设x,y∈R,且(x-3y)+(2x+3y)i=5+i,那么x-y=.答案:34.(充要条件)两直线斜率相等是两直线平行的条件.答案:既不充分又不必要5.(命题真假判断)以下命题是真命题的序号是.①“空集是集合A的子集〞的否定;②有些整数只有两个正因数;③∃x是无理数,x2也是无理数;④“任意两个等边三角形都是相似〞的否定.答案:②③二、平面向量、框图与合情推理知识方法(1)平面向量的两个重要定理①向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.②平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.(2)两个非零向量平行、垂直的充要条件假设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么:①a∥b⇔a=λb(λ≠0)⇔x1y2-x2y1=0.②a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(3)平面向量的三个性质①假设a=(x,y),那么|a|==.②假设A(x1,y1),B(x2,y2),那么||=.③假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,那么cos θ==.(4)常用的重要结论:①假设直线l的斜率为k,那么(1,k)是直线l的一个方向向量;②假设=λ+μ(λ,μ为常数),那么A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构:如图(1)所示;(2)条件结构:如图(2)和(3)所示;(3)循环结构:如图(4)和(5)所示.合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理.易忘提醒1.注意向量平行与三点共线的区别与联系,当两向量平行且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.2.向量相等具有传递性,向量平行不具有传递性.如a∥b,b∥c,只有b≠0时,a∥c.3.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.4.a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要不充分条件.5.利用循环结构表示算法,第一要准确地选择表示累计的变量,第二要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环体.6.直到型循环是先执行再判断,直到条件满足才结束循环;当型循环是先判断再执行,假设满足条件那么进入循环体,否那么结束循环.7.合情推理的结论不一定是正确的,要确定其结论的正确性还需证明.习题回扣(命题人推荐)1.(程序框图)执行如下图的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],那么输出的s属于( A )(A)[-3,4] (B)[-5,2](C)[-4,3] (D)[-2,5]2.(共线向量)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),假设a∥b,那么|2a-b|=.答案:43.(数量积的应用)向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,那么a与b的夹角为.答案:4.(数量积的应用)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,假设向量=xe1+ye2,那么把有序数对(x,y)叫做向量=3e1+2e2,那么||=.答案:5.(类比推理)设P是△ABC内一点,△ABC三边上的高分别为h A,h B,h C,P到三边的距离依次为l a,l b,l c,那么有++=1;类比到空间,设P是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别是h A,h B,h C,h D,P到这四个面的距离依次是l a,l b,l c,l d,那么有.答案:+++=1三、不等式与线性规划、计数原理与二项式定理知识方法先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.(1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法.在直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的某一侧任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来确定Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或者最小值.(3)求解实际生活中线性规划问题时,应根据条件确定可行域及目标函数,根据可行域及目标函数特征求最值.(1)x,y∈(0,+∞),如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;(2)x,y∈(0,+∞),如果和x+y是定值S,那么当x=y时积xy有最大值.(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成,那么要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过假设干步才能将规定的事件完成,那么要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.(2)排列数、组合数的公式及性质①=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=公式②===①0!=1;=n!性质②=;=+(1)二项式定理二项式定理(a+b)n=a n+a n-1b1+…+a n-k b k+…+b n(n∈N*)二项展开式T k+1=a n-k b k,它表示第k+1项的通项公式二项式系数二项展开式中各项的系数(k∈{0,1,2,…,n})(2)二项式系数的性质①0≤k≤n时,与的关系是=.②二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为和.③各二项式系数和:+++…+=2n,+++…=+++…=2n-1.易忘提醒2+bx+c>0(a≠0)的一元二次不等式时,易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解,应分a>0,a<0进行讨论.在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.2求解线性规划问题时应明确:“直线定界,特殊点定域〞,定界时注意是否包含边界.3.求线性目标函数最值时,应将z=ax+by转化为y=-x+.要注意b>0或b<0对目标函数最值的影响,且应注意正切函数y=tan α在,π时,函数是增函数.≥时应注意“一正、二定、三相等〞的条件,在多次使用基本不等式求最值时,应注意取“等号〞的条件是否一致.习题回扣(命题人推荐)1.(不等式的解法)函数y=的定义域为R,那么m的取值X围是.答案:,+∞2.(线性规划)假设x,y满足约束条件那么z=2x+3y的最大值为.答案:703.(基本不等式单调性法)(1)函数f(x)=的最小值为;(2)函数f(x)=的最小值为.答案:(1)2 (2)4.(不等式性质)那么2x+y的取值X围是.答案:[1,5]四、函数图象与性质、函数与方程知识方法(1)单调性对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在D上是增(减)函数;对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,>0(<0)⇔f(x)在D上是增(减)函数.(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数;对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数.(3)周期性设函数y=f(x),x∈D.假设T为f(x)的一个周期,那么nT(n≠0,n∈Z)也是f(x)的周期.(1)常见抽象函数的周期.(设函数y=f(x),定义域为D)①假设∀x∈D,且f(x+a)=-f(x),那么T=2|a|;(a≠0,下同)②假设∀x∈D,且f(x+a)=±,那么T=2|a|;③假设∀x∈D,且f(x+a)=f(x+b),那么T=|b-a|(a≠b).(2)抽象函数对称性.(y=f(x),定义域为D)①假设对∀x∈D,且f(a+x)=f(b-x),那么函数f(x)的图象关于直线x=对称;特别地,当a=b,即f(a+x)=f(a-x)时,函数f(x)的图象关于直线x=a对称;②假设对∀x∈D,f(a+x)=-f(b-x)(即f(x+a+b)=-f(-x)),那么函数图象关于点,0中心对称,特别地,当a=b时,即f(a+x)=-f(a-x),那么函数图象关于点(a,0)中心对称.(3)关于奇偶性结论①假设奇函数y=f(x)在原点处有定义,那么一定有f(0)=0;②假设函数y=f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|);③奇函数在关于原点对称的区间有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间单调性相反.(1)a m·a n=a m+n;(2)(a m)n=a mn;(3)log a(MN)=log a M+log a N;(4)log a=log a M-log a N;(5)log a M n=nlog a M;(6)=N;(7)log a N=(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0).指数函数对数函数图象单调性0<a<1时,在R上单调递减;a>1时,在R上单调递增a>1时,在(0,+∞)上单调递增;0<a<1时,在(0,+∞)上单调递减函数值性质0<a<1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1当x>1时,y<0,当0<x<1时,y>0 a>1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0(1)函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.易忘提醒1.判断函数奇偶性时,首先考虑函数定义域是否关于原点对称.2.函数有多个单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪〞和“或〞,它们之间一般用“,〞隔开或者用“和〞字连接.3.底数含参数的指数、对数函数单调性,要分底数a>1和0<a<1两种情况讨论.4.函数的零点不是一个“点〞,而是函数图象与x轴交点的横坐标.习题回扣(命题人推荐)1.(函数的定义域)函数f(x)=的定义域为.答案:(-∞,-2)∪(4,+∞)2.(函数的奇偶性)函数f(x)=x2+(a-1)x+b在定义域(-5,b+2)上是偶函数,那么a+b=.答案:43.(指数函数的图象和性质)函数f(x)=3+(a-1)x-2(a>1且a≠2)必过定点.答案:(2,4)4.(对数的运算)(lg 5)2+lg 50·lg 2=.答案:15.(函数的零点)函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N*)内,那么n=.答案:2五、导数的简单应用与定积分知识方法(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,即k=f'(x0).(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(1)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0(f'(x)<0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤①确定函数f(x)的定义域;②求导数f'(x);③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.设函数y=f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点x都有f(x)<f(x0),那么f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.将函数y=f(x)在[a,b]内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(1)定积分的性质①kf(x)dx=k f(x)dx;②[f1(x) ±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx;③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.(其中a<c<b)(2)微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).易忘提醒1.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线〞与“过点P(x0,y0)的切线〞是不同的.前者只有一条,后者那么可能有多条.2.求复合函数y=f(ax+b)的导数时应注意复合函数求导法那么,其导数为y'=af'(ax+b).3.利用导数研究函数的单调性,首先确定函数的定义域.4.单调性求参数时,应明确f'(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上是增函数的充分条件.当f(x)在(a,b)上是增函数时,应有f'(x)≥0恒成立(其中满足f'(x)=0的x只有有限个),否那么答案不全面.5.可导函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.6.求定积分时应明确定积分结果可负,但曲边形的面积非负.习题回扣(命题人推荐)1.(导数的运算)函数f(x)=xsin x的导数为f'(x)=.答案:sin x+xcos x2.(导数几何意义)曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,那么a+b=.答案:23.(函数的单调性与导数)函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是.答案:(-∞,0),(2,+∞)4.(函数的极值与导数)函数f(x)=x3-4x+在x=处取极大值,其值是.答案:-25.(定积分)x+dx=.答案:4+ln 3六、导数的综合应用知识方法(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路:①将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为函数图象交点的个数问题;②利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等;③画出函数的大致图象;④结合图象求解.(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:①在该区间上构造与方程相应的函数;②利用导数研究该函数在该区间上的单调性;③判断该函数在该区间端点处的函数值异号;④作出结论.不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.易忘提醒在解决导数的综合问题时,应注意:(1)树立定义域优先的原那么.(2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法那么.(3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程.(4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.(5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:假设f(x)≤m恒成立,那么f(x)max≤m;假设f(x)≥m恒成立,那么f(x)min≥m.假设f(x)≤m有解,那么f(x)min≤m;假设f(x)≥m有解,那么f(x)max≥m.七、三角函数的图象与性质、三角恒等变换知识方法(1)三角函数的定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号;一全正,二正弦,三正切,四余弦.(2)诱导公式及记忆对于“±α,k∈Z的三角函数值〞与“α角的三角函数值〞的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.2.“牢记〞五组公式(1)同角三角函数关系式①平方关系:sin2α+cos2α=1;②商数关系:tan α=.(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;tan(α±β)=.(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin αcos α;cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan 2α=;cos2α=,sin2α=.(4)辅助角公式asin α+bcos α=sin(α+φ)tan φ=.(5)关于α与的正弦、正切、余弦公式①tan ===±.②sin α=,cos α=.3.“明确〞三种三角函数图象、性质及两种图象变换(1)三种函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x 图象单调性在-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递增;在+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递减在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减在-+kπ,+kπ(k∈Z)上单调递增对称性对称中心:(kπ,0)(k∈Z);对称轴:x=+kπ(k∈Z)对称中心:+kπ,0(k∈Z);对称轴:x=kπ(k∈Z)对称中心:,0(k∈Z);无对称轴(2)两种三角函数图象变换(以y=sin x变为y=sin (ωx+φ)(ωφ≠0)为例)①先平移后伸缩:y=sin x y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).②先伸缩后平移:y=sin x y=sin ωx y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).易忘提醒1.使用诱导公式时,要根据“口诀〞确定符号.2.研究形如y=Asin(ωx+φ)(ωφ≠0)的性质时,要将ωx+φ作为一个整体考虑,而当ω<0时,求y=Asin(ωx+φ)的单调性,应先利用诱导公式将x系数变为正数后再求其单调区间,要注意单调区间一定写成“区间〞的形式,且角度制与弧度制不能混用,并且k∈Z.3.由函数y=Asin ωx(ω≠0)的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,平移长度是,而不是|φ|.4.三角函数平移时,假设两三角函数名称不一致,需利用诱导公式化为同名函数后再平移.5.利用三角恒等变换公式研究给角求值或给值求角时,不要忽视角的X围.习题回扣(命题人推荐)1.(定义转化法)假设α是第二象限角且cos =-cos ,那么是第象限角.答案:三2.(转化法)假设<α<π,那么-=.答案:-2tan α3.(数形结合、定义法)函数y=|cos 2x|的最小正周期T=.答案:八、解三角形知识方法===2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.sin A=,sin B=,sin C=.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.推论:cos A=,cos B=,cos C=.S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.(1)三角形内角和A+B+C=π;(2)a>b>c⇔A>B>C⇔sin A>sin B>sin C;(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.易忘提醒1.根据正弦值求角时,应分类讨论.2.判断三角形形状时,应注意等式两边不要约分.3.两边及一边的对角,利用正、余弦定理求解时,解的情况可能不唯一.习题回扣(命题人推荐)1.(解三角形)在三角形ABC中,分别根据以下条件解三角形,其中有两个解的序号是.①a=30,b=40,A=30°②a=25,b=30,A=150°③a=8,b=16,A=30°④a=72,b=60,A=135°答案:①2.(实际应用)一只船以均匀的速度由A点向正北方向航行,如图,开始航行时,灯塔C在点A的北偏东30°方向,行驶60海里后,测灯塔C在点B的北偏东45°方向,那么A到C的距离为海里.答案:(60+60)3.(公式变形)△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=11∶8∶5,那么cos B=.答案:4.(解三角形)△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,假设A=,a=1,b=,那么B=.答案:或九、等差数列与等比数列知识方法(1)基本公式:通项公式、前n项和公式.(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,a m+a n=a p+a q,当p=q时,a m+a n=2a p.(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{a n}为等差数列,其他证明方法均为定义法的延伸;③函数方法处理等差数列的前n项和问题.(1)基本公式:通项公式、前n项和公式(分公比等于1和不等于1).(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,a m a n=a p a q,当p=q时,a m a n=.(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{a n}为等比数列,其他证明方法均为定义法的延伸.易忘提醒2=ac是a,b,c为等比数列的必要不充分条件;2.当等比数列的公比不确定时,求前n项和要分公比等于1和不等于1分别进行计算.习题回扣(命题人推荐)1.(等差数列的判定)数列{a n}满足如下条件:①a n=an+b(a,b为常数);②2a n+1=a n+a n+2对∀n∈N*恒成立;③前n项和S n=2n2+3n+2.在上述条件中能够判定{a n}为等差数列的是.答案:①②2.(等差数列的基本运算)等差数列{a n}的前n项和为S n,假设S10=310,S20=1 220,那么S n=. 答案:3n2+n3.(等比数列的基本运算)等比数列{a n}的前n项和为S n,假设S5=10,S10=50,那么S15=.答案:2104.(等比数列的判定)数列{a n},{b n}均为等比数列,那么数列:①{a n+b n};②{ka n}(k为非零常数);③{a n b n};④;⑤{b3n-2}中一定为等比数列的是.答案:②③④⑤5.(等差、等比数列的综合){a n}是公差为d的等差数列,其前n项和为S n;{b n}是公比为q的等比数列,其前n项和为T n.有以下结论:①=d;②=q m-n;③S k,S2k-S k,S3k-S2k为等差数列;④T k,T2k-T k,T3k-T2k为等比数列(其中m,n,k为正整数).其中正确结论的序号是.解析:④中,当k为偶数时,有T k=0的可能,如果k为奇数,那么④的结论也正确.答案:①②③十、数列求和及简单应用知识方法n,S n的关系a n=等差数列、等比数列求和公式.(1)=-;(2)=-;(3)=-(n≥2);(4)=-等.(1)a n+1=a n+f(n)(叠加法);(2)=f(n)(叠乘法);(3)a n+1=ca n+d(c≠0,1,d≠0)(转化为a n+1+λ=c(a n+λ));(4)a n+1-qa n=p·q n+1(p≠0,q≠0,1)转化为-=p等.易忘提醒n求通项时,不要忘记分类求解.2.裂项求和时注意验证裂项前后的等价性;错位相减求和时,不要忘记检验第一项与后面的项是否组成等比数列,不要忘记最后一项.习题回扣(命题人推荐)1.(由a n与S n的关系求a n)数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,那么a n=.答案:2.(逆推数列求和)数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+2=a n+1+a n,那么该数列的前6项之和是.答案:323.(转化为等比数列求和)数列{a n}满足a1=1,a n+1=4a n+3,那么该数列的前n项和S n=.解析:a n+1+1=4(a n+1),a n=2×4n-1-1,所以S n=-n=·4n-n-.答案:·4n-n-4.(裂项相消法求和)数列的前2 017项的和是.答案:十一、空间几何体的三视图、表面积与体积知识方法1.棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形.(2)正棱锥的性质侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.(1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高;(2)三视图排列规那么:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线.(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何问题.4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)(1)表面积公式①圆柱的表面积S=2πr(r+l);②圆锥的表面积S=πr(r+l);③圆台的表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl);④球的表面积S=4πR2.(2)体积公式①柱体的体积V=Sh;②锥体的体积V=Sh;③台体的体积V=(S'++S)h;④球的体积V=πR3.易忘提醒在有关体积、表面积的计算应用中注意等积法的应用.习题回扣(命题人推荐)1.(直观图的面积)一个水平放置的平面图形,其直观图的面积是,那么原图形的面积是.答案:42.(多面体)构成多面体的面最少是.答案:四个3.(三视图求体积)某三棱锥的侧视图和俯视图如下图,那么该三棱锥的体积为.答案:44.(球的有关计算)如果两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为.答案:4∶95.(棱台的体积计算)棱台的上下底面面积分别为4,16,高为3,那么该棱台的体积为.答案:28十二、点、直线、平面之间的位置关系知识方法(1)判定①判定定理:a∥b,b⊂α,a⊄α⇒a∥α.②面面平行的性质:α∥β,a⊂α⇒a∥β.③a⊥b,α⊥b,a⊄α,那么a∥α.(2)性质:l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m.(1)判定①判定定理:a⊥b,a⊥c,b,c⊂α,b∩c=O ⇒a⊥α.②a∥b,a⊥α⇒b⊥α.③l⊥α,α∥β⇒l⊥β.④α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.(2)性质①l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.②l⊥α,m⊥α⇒l∥m.(1)判定①判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.②l⊥α,l⊥β⇒α∥β.③α∥γ,α∥β⇒β∥γ.(2)性质:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.(1)判定:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.(2)性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.易忘提醒习题回扣(命题人推荐)1.(面面位置关系)三个平面两两相交有三条交线,这三条直线的位置关系是. 答案:交于一点或者互相平行2.(面面位置关系)如果α∥β,β⊥γ,那么α,γ的位置关系是.答案:α⊥γ3.(线面位置关系)如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l与γ的位置关系是.答案:l⊥γ4.(线面位置关系)直线a在平面β外,平面α∥平面β,a∥平面α,那么直线a与平面β的位置关系是.答案:平行5.(面面平行的性质)如图,三个平面α,β,γ互相平行,a,b是异面直线,a与α,β,γ分别交于A,B,C三点,b与α,β,γ分别交于D,E,F三点,连接AF交平面β于G,连接CD交平面β于H,那么四边形BGEH必为.答案:平行四边形十三、立体几何中的向量方法知识方法1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.2. 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,那么cos φ=|cos θ|=(其中φ为异面直线a,b所成的角).(2)直线和平面所成角的求法如下图,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,那么有sin φ=|cos θ|=.(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如下图,<m,n>即为所求二面角αABβ的平面角.②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如下图,二面角αlβ,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,<n1,n2>=θ,那么二面角αlβ的大小为θ或π-θ.易忘提醒异面直线所成角的X围是0,,线面角的X围是0,,二面角的X围是[0,π].习题回扣(命题人推荐)1.(直线的方向向量和平面的法向量)平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,那么直线l的单位方向向量是.答案:±0,,-2.(平面的法向量)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),那么平面ABC中的单位法向量是.答案:±,,3.(空间向量的计算)A(4,-7,1),B(6,2,z),假设||=11,那么z=.答案:7或-54.(向量法求线线角)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,那么异面直线DE与AC所成的角的余弦值为.答案:5.(向量法求线面角)正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,那么AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于.答案:十四、直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质知识方法1.直线:直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式.2.圆:圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆的位置关系(三种,距离判断方法)、圆与圆的位置关系(距离判断方法).圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M标准方程+=1(a>b>0)-=1(a>0,b>0)y2=2px(p>0)图形X围|x|≤a,|x|≥a x≥0|y|≤b顶点(±a,0)(0,±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0),0续表名称椭圆双曲线抛物线轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e==(0<e<1)e==(e>1)e=1准线x=-渐近线y=±x易忘提醒1.椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在复习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点〞(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点),“四线〞(两条对称轴、两渐近线),“两形〞(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系.3.涉及抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线〞,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.4.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,假设过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,假设不过焦点,那么必须用一般弦长公式.。

第一板块考前练透3个送分专题送分专题(一)集合与常用逻辑用语[考情分析]1．集合作为高考的必考内容，多年来命题较稳定，多在选择题第1题的位置进行考查，难度较小，命题的热点集中在集合的基本运算上，有时与简单的一元二次不等式结合命题．2．充要条件是高考的必考内容，考查重点仍为充要条件等基本知识点，但它可与函数、数列、向量、不等式、三角函数、立体几何、解析几何中的知识进行综合．考点一集合[题组练透]1．(2018·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析：选A ∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B 中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B ∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．则∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.5.设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|ln(3－2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3 解析：选B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32，故选B.6．(2017·云南统考)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B ⊇AC ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A 因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >52，所以B ⊆A ，故选A.7．(2018·下城区校级模拟)已知集合P ＝{x ∈N |0≤x ≤3}，Q ＝{x |x 2－1>0}，则P ∩Q ＝( )A ．[1,3]B ．(1,3]C ．{2,3}D ．{1,2,3}解析：选C ∵集合P ＝{x ∈N |0≤x ≤3}＝{0,1,2,3}， Q ＝{x |x 2－1>0}＝{x |x >1或x <－1}， ∴P ∩Q ＝{2,3}．故选C.[临考指导]集合运算中的3种常用方法[B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．考点二 充要条件的判断[题组练透]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α，但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面，∴“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．2．(2018·西安八校联考)在△ABC 中，“AB ―→·BC ―→>0”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设AB ―→与BC ―→的夹角为θ，因为AB ―→·BC ―→>0，即|AB ―→|·|BC ―→|cos θ>0，所以cos θ>0，θ<90°，又θ为△ABC 内角B 的补角，所以∠B >90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB ―→·BC ―→>0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.3．已知a ＞0且a ≠1，则log a b ＞0是(a －1)(b －1)＞0的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a ＞0且a ≠1，且log a b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，b >1或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，0<b <1，从而(a－1)(b －1)＞0，充分性成立；而由(a －1)(b －1)＞0可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b <1，必要性不成立．所以log a b ＞0是(a －1)(b －1)＞0的充分不必要条件．4．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n|2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n<0.反之，由m ·n ＝|m||n|cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 5．(2018·金华模拟)“x >a >1”是“log a x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵log a x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<x <1，∴x >a >1是log a x >0的充分不必要条件，故选A.6．(2018·诸暨二模)已知圆x 2＋y 2＝4与直线x ＋y －t ＝0，则“t ＝22”是“直线与圆相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由圆心到直线的距离d ＝|t |2，若直线与圆相切，则|t |2＝2，即|t |＝22，则t ＝±22，则“t ＝22”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，故选A.7．“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数，则－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.从而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z)．因此若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数；若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.所以“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.[临考指导]判定充分条件与必要条件的3种方法 定义法正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且qp ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)集合法利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件等价法 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题[易错提醒] “A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .送分专题(二)复数、排列组合、二项式定理[考情分析]1．高考对复数的考查形式为选择题或填空题，主要考查复数的代数形式及运算，多为容易题．2．高考对排列组合的考查形式主要为选择题或填空题，近两年每年一道小题，有时与概率一起出题，难度一般．3．高考对二项式定理的考查主要为小题的形式，是高考常考内容之一，主要考查通项公式、项的系数，二项式系数及赋值法的应用，难度中等以下．考点一 复 数 [题组练透]1．(2018·浙江高考)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B ∵21－i ＝21＋i 1－i 1＋i＝21＋i2＝1＋i ， ∴其共轭复数为1－i.2．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2 C. 3D ．2解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.3．(2018·湖州二模)若复数z 满足方程z ＝(z ＋1)i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z －对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝(z ＋1)i(i 为虚数单位)，∴z ＝i 1－i ＝i 1＋i 1－i 1＋i ＝－12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z －＝－12－12i 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12在第三象限．4．(2018·温州模拟)若复数z 1，z 2在复平面内关于虚轴对称，且z 1＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 1z 2＝( )A ．－iB ．iC ．－2iD ．2i解析：选A ∵z 1＝1＋i ，复数z 1，z 2在复平面内关于虚轴对称， ∴z 2＝－1＋i ，则z 1z 2＝1＋i －1＋i ＝1＋i －1－i －1＋i －1－i ＝－2i2＝－i.故选A.5．(2018·绍兴二模)若复数z ＝2＋ii 5－1，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵z ＝2＋i i 5－1＝2＋i i －1＝2＋ii ＋1i －1i ＋1＝1＋3i －2＝－12－32i ，∴其对应点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32位于第三象限，故选C.6．复数z ＝2＋ii (i 是虚数单位)，则|z ＋1|＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．8 解析：选A ∵复数z ＝2＋i i ＝2＋i ii 2＝1－2i ， ∴|z ＋1|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.故选A.7．(2018·嘉兴模拟)复数(1＋i)2＋21＋i 的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B 因为(1＋i)2＋21＋i＝2i ＋21－i1＋i 1－i＝2i ＋1－i ＝1＋i ，所以复数(1＋i)2＋21＋i的共轭复数是1－i ，故选B.[临考指导]1．复数的相关概念及运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但也可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．2．与复数几何意义、模有关问题的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与向量OZ ―→对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．考点二 排列组合 [题组练透]1．(2018·杭州七校联考)一个不透明盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共10张，其中黑色卡片3张．已知从盒中任意摸出2张卡片，摸出的2张卡片中至少有1张是白色的情况有35种，则盒中红色卡片的张数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设盒中白色卡片有x 张，则C 210－C 210－x ＝35，∴x 2－19x ＋70＝0，∴x ＝5或x ＝14(舍去)，∴红色卡片的张数为10－3－5＝2.故选B.2．(2018·浙江考前冲刺卷)某学校社团准备从A ，B ，C ，D ，E 5个不同的节目中选3个分别去3个敬老院慰问演出，在每个敬老院表演1个节目，A 节目是必选的节目，则不同的分配方法共有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．64种解析：选B 从B ，C ，D ，E 4个节目中选2个，有C 24种选法，将选出的2个节目与A 节目全排列，共有A 33种情况，又C 24A 33＝36，所以不同的分配方法共有36种．3．(2018·镇海区校级模拟)甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有( ) A．18种B．12种C．36种D．24种解析：选D 根据题意，分2种情况讨论：①甲单独一个人旅游，在B，C景点中任选1个，有2种选法；再将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有C13A22＝6种情况，则此时有2×6＝12种方案．②甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B，C景点中任选1个，有C13C12＝6种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有A22＝2种情况，则此时有2×6＝12种方案．所以甲不到A景点的方案有12＋12＝24种，故选D.4.(2018·宁波二模)若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有( )A．48种B．72种C．96种D．216种解析：选C 根据题意，如图，设6个方格依次为A，B，C，D，E，F，对于中间的4个表格：B，C，D，E都有公共顶点，有A44＝24种安排方法；对于方格A，有2种颜色可选，即有2种情况；对于方格F，有2种颜色可选，即有2种情况，则一共有24×2×2＝96种不同的涂色方案．故选C.5．(2018·郑州第二次质量预测)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有( ) A．240种B．188种C．156种D．120种解析：选D 因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．当A在第一位时，有A44A22＝48种；当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有C13A33A22＝36种；当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有A22A33种，②E，F在A之后，此时应有A23A22A22种，故A在第三位时有A22A33＋A23A22A22＝36种．综上，共有48＋36＋36＝120种不同的安排方案．6．(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)解析：不含有0的四位数有C25C23A44＝720(个)．含有0的四位数有C25C13C13A33＝540(个)．综上，组成没有重复数字的四位数的个数为720＋540＝1 260.答案：1 2607．(2018·杭州高三四校联考)在一个质地均匀的正四面体中，一个面上标有数字1，一个面上标有数字2，另外两个面上标有数字3，将该正四面体抛掷三次，则向下一面的数字之和为7的情况有________种．解析：向下一面的数字之和为7的所有可能的组合有2,2,3和3,3,1.当向下一面的数字分别为2,2,3时，可能有C13C12＝6种情况；当向下一面的数字分别为3,3,1时，可能有C13C12 C12＝12种情况．所以向下一面的数字之和为7的情况有6＋12＝18种．答案：188．(2017·丽水、衢州、湖州三市质检)现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人．从中选出4人负责“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有________种不同的选法．解析：不选只会俄语的，有C03·C24C22A22·A22＝6种选法；选1名只会俄语的，有(C13·C14)·C23＝36种选法；选2名只会俄语的，有C23·C24＝18种选法．所以共有60种不同的选法．答案：60[临考指导]求解排列应用问题的常用方法考点三二项式定理[题组练透]1．(2018·下城区校级模拟)若(2x＋1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5，则a4＝( )A ．－32B ．32C ．－80D ．80解析：选C ∵(2x ＋1)5＝[－1＋2(x ＋1)]5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)3＋a 4(x ＋1)4＋a 5(x ＋1)5，∴a 4＝－C 45·24＝－80，故选C.2．(2018·朝阳三模)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，∴A ＝4n，二项展开式的二项式系数和为2n ，∴B ＝2n， ∴4n ＋2n＝72，解得n ＝3.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 3x 3－3r 2， 令3－3r2＝0，得r ＝1. 故展开式的常数项为T 2＝3C 13＝9.故选B.3．(2018·浙江名校联考)若(3ax －1)5(2x －1)3的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中x 2项的系数为( )A ．56B ．112C ．168D ．224解析：选B 令x ＝1，得(3a －1)5(2－1)3＝1，解得a ＝23，则(3ax －1)5(2x －1)3＝(2x－1)8，其二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8·(2x )8－r·(－1)r ，所以x 2项为T 7＝C 68(2x )8－6·(－1)6＝4C 68x 2＝112x 2，所以x 2项的系数为112.4．(2018·浙江高考)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是________．解析：由题意，得T r ＋1＝C r8·(3x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x8－4r 3. 令8－4r3＝0，得r ＝2. 因此T 3＝C 28·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.答案：75．(2018·浙江考前冲刺卷)若2x ＋1x2(x ＋1)a的展开式中所有项的系数和为192，则a＝________，展开式中的常数项为________．解析：2x ＋1x 2(x ＋1)a 的展开式中所有项的系数和为192，令x ＝1，则2×1＋112×(1＋1)a＝192，解得a ＝6，因为2x ＋1x2(x ＋1)6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2(x ＋1)6＝2x (x ＋1)6＋1x 2(x ＋1)6，其中2x(x ＋1)6的展开式中的常数项为2x C 56x ＝12，1x 2(x ＋1)6的展开式中的常数项为1x 2C 46x 2＝15，所以2x ＋1x2(x ＋1)6的展开式中的常数项为12＋15＝27.答案：6 276．(2018·丽水三模)若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项的系数的绝对值之和大于100，则n 的最小值为________；当n 取最小值时，该展开式中的常数项是________．解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项的系数的绝对值之和大于100，可得(3＋1)n＞100，则n 的最小值为4.那么二项式为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 4， 由通项可得：T r ＋1＝C r 4⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 13r ＝34－r ·C r 4·(－1)r x r 3－4＋r ，令r3－4＋r ＝0，可得r ＝3.故常数项为3·C 34(－1)3＝－12. 答案：4 －12[临考指导]1．通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点 (1)C r n an －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项；(2)通项公式中a ，b 的位置不能颠倒；(3)通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．2．二项式系数的三个注意点(1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r ＋1项的二项式系数与第r ＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．送分专题(三)概率、随机变量及其分布[考情分析]1．随机事件及其概率在高考中难度较低，常与等可能事件、互斥事件、对立事件等结合．2．古典概型的概率求法是高考常考内容，也是高考热点内容，其往往与排列、组合相结合命题，难度不大．3．随机变量及其分布是概率部分的重要内容，也是高考的热点，主要考查随机变量分布列的性质及运算求解能力，难度中等偏下．考点一 随机事件及其概率[题组练透]1．甲、乙两人进行象棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是( )A ．0.6B ．0.8C ．0.2D ．0.4解析：选A 甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，所以甲不输的概率为0.4＋0.2＝0.6，故选A.2．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A.110 B ．310 C.710D ．35解析：选C “取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝C 23C 25＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710.3．现有4张卡片，正面分别标有1,2,3,4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽，若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( )A.23B ．712212解析：选A 甲获胜有两种情况：第一种情况，甲第一次就抽到标有偶数的卡片，对应概率为24＝12；第二种情况，甲、乙抽到的第一张卡片均标有奇数，此时所剩两张卡片均标有偶数，甲必然可以获胜，对应概率为24×13＝16.故所求概率为12＋16＝23.故选A.[临考指导]1．随机事件的频率与概率问题的注意点(1)理解频率与概率的区别：概率可看成是频率在理论上的稳定值，频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数．(2)理解概率的基本性质：①0≤P (A )≤1；②P (Ω)＝1，P (∅)＝0. 2．求复杂的互斥事件概率的两种方法[题组练透]1．学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将“梅”“兰”“竹”“菊”四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三名学生，每名学生至少获得一幅，则甲得到名画“竹”的概率是( )A.23 B ．12 C.13D ．16解析：选C 由题意可知，将四幅画先分3组，有C 24＝6(种)方法，再分配，有A 33＝6(种)方法，由分步乘法计数原理可知总方法数N ＝C 24A 33＝36，满足条件的方法数N 1＝C 23A 22＋A 33＝12，故所求概率P ＝N 1N ＝1236＝13.故选C.2．(2017·台州期末质量评估)袋子里装有编号分别为“1,2,2,3,4,5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为( )A.1720B ．71085解析：选B 基本事件总数为C 36＝20.取出的3个球编号之和大于7的事件为(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,2,4)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其包含的基本事件数分别是2,1,1,1,1,1,2,2,2,1，共14个．所以取出的3个球编号之和大于7的概率为1420＝710，故选B.3．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)袋中共有7个球，其中3个红球，2个白球，2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率为( )A.435 B ．3135 C.1835D ．2235解析：选D 所取3个球中没有红球的概率是P 1＝C 34C 37＝435，所取3个球中恰有1个红球的概率是P 2＝C 13C 24C 37＝1835，则所取3个球中至多有1个红球的概率是P ＝P 1＋P 2＝2235.4．(2018·温州二模)某人先后三次掷一颗骰子，则其中某两次所得的点数之和为11的概率为( )A.118 B ．112 C.536D ．136解析：选C 从反面来考虑该问题，因为11＝5＋6，所以要使得两次所得的点数之和均不为11，则5和6两个数最多只有一个数可被选到，下面分情况讨论：第一种，5和6一个都不被选到，则有4×4×4种选法；第二种，5和6恰好有一个被选到，不妨设5被选到，则有(5×5×5－4×4×4)种不同的选法，故5和6恰好有一个被选到的选法有2×(5×5×5－4×4×4)种不同的选法．所以满足条件的概率为1－43＋2×53－4363＝536，故选C. 5．(2018·杭州二中期中)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球．若两个球颜色不同，则有________种不同取法(用数字回答)，在两个球颜色不同的条件下，两球编号之差最大的概率为________．解析：先从四种不同色的球中选出两种，有C 24＝6种选法，再从选出的两种颜色的球中选出编号不同的球，各有C 14＝4种选法，由分步乘法计数原理知共有C 24C 14C 14＝96种选法，两编号相差最大为3，故有C 24×2＝12种选法，从而两球编号之差最大的概率为1296＝18.答案：96 18[临考指导]求解古典概型问题概率的技巧考点三 随机变量及其分布[题组练透]1．(2018·浙江新高考调研卷)设随机变量X 的分布列为P (X ＝m )＝p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12m，m ＝1,2,3，则X 的期望E (X )为( )A ．1B ．97 C.117D ．1113解析：选C ∵随机变量X 的分布列为P (X ＝m )＝p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12m，m ＝1,2,3，∴p ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，解得p ＝87，∴E (X )＝1×87×12＋2×87×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×87×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝117.故选C.2．(2018·浙江高考)设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大 C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小解析：选D 由题意知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12，D (ξ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－⎝⎛⎭⎪⎫p ＋122×1－p 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×p2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×1－p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2×p 2＝－p 2＋p ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋12，∴D (ξ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上递减，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)先增大后减小．3．(2018·上城区校级模拟)若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53 B ．73 C ．3D ．113解析：选C ∵E (X )＝43，D (X )＝29，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 1＋13x 2＝43，23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23(舍去)，∴x 1＋x 2＝3.故选C.4．(2018·宁波高三期末)一个箱子中装有形状和大小完全相同的5个白球和n (n ∈N *)个黑球．现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若D (X )＝1，则E (X )＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题意知每次取出白球的概率为p ＝5n ＋5，显然X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5n ＋5，所以4×5n ＋5×n n ＋5＝1，解得n ＝5，故p ＝12，所以E (X )＝4×12＝2，故选B. 5．(2018·温州二模)随机变量X 的分布列如下表所示，若E (X )＝13，则D (3X －2)＝( )X －1 0 1P16abA ．9 C ．5D ．3解析：选C 由题意知a ＋b ＋16＝1，由数学期望可知b －16＝13，所以a ＝13，b ＝12.而E (X 2)＝(－1)2×16＋12×12＝23，所以D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝59，故D (3X －2)＝9D (X )＝5.6．(2018·温州十校联合体期末联考)袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字0,1,2，随机摸出一个将其上的数字记为a 1，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为a 2，依次下去，第n 次随机摸出一个，将其上的数字记为a n ，记ξn ＝a 1a 2…a n ，则：(1)随机变量ξ2的数学期望是________； (2)ξn ＝2n －1时的概率是________．解析：可以求得随机变量ξ2的分布列如表所示：ξ 0 1 2 4 P59192919所以随机变量ξ2n n －1(n －1)次取到了2，有1次取到了1，故所求概率是n3n .答案：1n3n[临考指导]随机变量及其分布问题的求解策略(1)解题“4步骤”(2)解题“1关键”求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．[送分考点组合练]“10＋7”送分考点组合练(一) 一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．2．已知集合A ＝{x |－x 2＋4x ≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 181<3x <27，C ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，则(A ∪B )∩C＝( )A ．{2,4}B ．{0,2}C ．{0,2,4}D ．{x |x ＝2n ，n ∈N}解析：选C ∵A ＝{x |－x 2＋4x ≥0}＝{x |0≤x ≤4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 181<3x <27＝{x |3－4<3x <33}＝{x |－4<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |－4<x ≤4}，又C ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}， ∴(A ∪B )∩C ＝{0,2,4}，故选C.3．(2018·杭州第二次质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数是( )A ．80B ．48C ．－40D ．－80解析：选D ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项为C r 5(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 525－r (－1)r x 5－2r ，∴x3项的系数为C 1524·(－1)＝－80，选D.4．(2018·嘉兴期末测试)若复数z ＝2－i ，i 为虚数单位，则(1＋z )(1－z )＝( ) A ．2＋4i B ．－2＋4i C ．－2－4iD ．－4解析：选B 因为z ＝2－i ，所以(1＋z )(1－z )＝1－z 2＝1－(2－i)2＝1－(3－4i)＝－2＋4i.故选B.5．(2018·嘉兴期末测试)已知x ，y 是非零实数，则“x >y ”是“1x <1y”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 法一：若1x <1y ，则1y －1x ＝x －yxy >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，xy >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <y ，xy <0，所以“x >y ”是“1x <1y”的既不充分也不必要条件．故选D.法二：当x >0>y 时，1x >1y ，1x <1y 不成立．反之，当1x <1y时，有可能y >0>x ，x >y 不一定成立．所以“x >y ”是“1x <1y”的既不充分也不必要条件．故选D.6．(2017·宁波期初联考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足41＋z ＝1－i ，则z ·z ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：选B 由41＋z ＝1－i ，得z ＝41－i－1＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ，则z ·z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，故选B.7．(2018·浙江考前冲刺卷六)已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m ⊥α，l 与m 无交点”是“l ∥m ，l ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若l 与m 无交点，则l ∥m 或l 与m 为异面直线．若l ∥m ，l ⊥α，则m ⊥α，l 与m 无交点，∴“m ⊥α，l 与m 无交点”是“l ∥m ，l ⊥α”的必要不充分条件．故选B.8．(2017·绍兴六校高三质检)从装有若干个质地均匀、大小相同的红球、白球和黄球的不透明袋子中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为14，12，14，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的球的颜色中有红有白但没有黄的概率是( )A.116B ．732 C.14D ．932解析：选D 由题意知，连续摸3次，记下的球的颜色中有红有白但没有黄的情况有：1红2白，2红1白，则所求概率P ＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×12＝932.9．(2018·浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、“三位一体”综合评价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018年有3所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收24名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是( )A ．252B ．253C ．222D ．223解析：选C 采用隔板法，在24名学生排列所形成的23个间隔中，任插入2个隔板，分成三组，共有C 223＝253种，其中三组人数都相同的情况是(8,8,8)，1种；有两组人数相同的人数组合情况是(1,1,22)，(2,2,20)，(3,3,18)，(4,4,16)，(5,5,14)，(6,6,12)，(7,7,10)，(9,9,6)，(10,10,4)，(11,11,2)，则有两组人数相同的情况共有10×3＝30种．所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有253－1－30＝222种．故选C.10．(2018·杭州二模)已知0<a <14，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小解析：选A 0<a <14，由随机变量ξ的分布列，得：E (ξ)＝a －34，∴当a 增大时，E (ξ)增大．D (ξ)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－a ＋342×34＋⎝⎛⎭⎪⎫0－a ＋342×⎝⎛⎭⎪⎫14－a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋342×a ＝－a 2＋52a ＋316＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －542＋74， 错误!∵0<a <14，∴当a 增大时，D (ξ)增大．二、填空题11．(2018·杭州高三质检)设复数z ＝52－i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的实部为________，虚部为________．解析：因为z ＝52－i ＝52＋i 2－i 2＋i＝2＋i ，所以复数z 的实部为2，虚部为1. 答案：2 112．(2018·杭州七校联考)若(1＋x －x 2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 0＝________，a 2＝________.解析：令x ＝0，则a 0＝1，(1＋x －x 2)5＝[1＋(x －x 2)]5＝1＋C 15(x －x 2)＋C 25(x －x 2)2＋…＋C 55(x －x 2)5，则a 2＝C 15×(－1)＋C 25×1＝－5＋10＝5.答案：1 513．(2018·杭州七校联考)已知随机变量X 的分布列如表所示，则a ＝________，D (X )＝________.X 1 2 3P2515a解析：由离散型随机变量的分布列知5＋5＋a ＝1，解得a ＝25，所以E (X )＝1×25＋2×15＋3×25＝2，D (X )＝25×(1－2)2＋15×(2－2)2＋25×(3－2)2＝45. 答案：25 4514．(2018·嘉兴期末测试)有编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个黑球，从中随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是________．解析：8个球，从中取出3个，基本事件共有C 38＝56(种)，其中取出的球的编号互不相同的有C 34×23＝32(种)，所以所求概率为3256＝47.答案：4715．袋中装有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同．现从该袋中随机摸取3个球，则这3个球中恰有2个黑球和1个白球的取法总数是________，设摸取的这3个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：从该袋中随机摸取3个球，则这3个球中恰有2个黑球和1个白球的取法总数是C 26C 13＝45.由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，P (X＝2)＝C 26C 13C 39＝4584，P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，∴P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2.答案：45 216．(2018·杭州高三质检)在一次随机试验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则期望E (ξ)＝________，方差D (ξ)的最大值为________．解析：法一：由题意知ξ可能的取值为0,1，ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×(1－p )p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p (1－p )≤14，故期望E (ξ)＝p ，方差D (ξ)的最大值为14.法二：由题意知，随机变量ξ服从两点分布，其发生的概率为p ，不发生的概率为1－p ，所以E (ξ)＝p ，D (ξ)＝p (1－p )≤14.答案：p 1417．(2018·杭州高三质检)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x5(a ∈R)的展开式中，若含x 7的项的系数为－10，则a ＝________.解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xr ＝a r ·C r 5·x 10－3r，由10－3r＝7，得r ＝1，所以含x 7的项的系数为C 15a 1＝－10，所以a ＝－2.答案：－2“10＋7”送分考点组合练(二)一、选择题1．(2018·浙江高三调研)设全集U ＝{x |－4<x <10}，集合A ＝{x |x 2＋3x －4<0}，集合B ＝{x |1≤|x －1|≤2}，则B ∩(∁U A )＝( )A ．[－1,0]∪[2,3]B ．[2,3]C ．[－1,0]D ．[－1,0]∪[1,10)解析：选B 法一：由x 2＋3x －4<0得－4<x <1，所以集合A ＝(－4,1)，所以∁U A ＝[1,10)；由1≤|x －1|≤2得－1≤x ≤0或2≤x ≤3，所以集合B ＝[－1,0]∪[2,3]．所以B ∩(∁U A )＝[2,3]．故选B.法二：由选项可知，若取x ＝0，则0∈A,0∉∁U A,0∈B .所以0∉B ∩(∁U A )．故选B. 2．(2018·台州三校适考)已知集合A ＝{x |log 4(x ＋1)≤1}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．{－1,1}解析：选B 由log 4(x ＋1)≤1，得0<x ＋1≤4，－1<x ≤3，即集合A ＝(－1,3]，则A ∩B ＝{1,3}，故选B.3．(2018·浙江名校联考信息卷)已知复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，那么5z的共轭复数为( )A.5＋25i B ．5－25i C ．1＋2iD ．1－2i解析：选C 5z ＝51＋2i ＝51－2i 1＋2i 1－2i＝51－2i5＝1－2i ，它的共轭复数为1＋2i ，故选C.4．(2018·浙江高三调研)已知直线l 1：x ＋y －2a ＝0和l 2：(a 2－2)x －y ＋2＝0，则“l 1∥l 2”是“a ＝－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当l 1∥l 2时，a 2－2＝－1，解得a ＝±1，当a ＝1时，l 1：x ＋y －2＝0与l 2：－x －y ＋2＝0重合，所以a ≠1，故a ＝－1.当a ＝－1时，l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：－x－y ＋2＝0平行．所以“l 1∥l 2”是“a ＝－1”的充要条件．故选C.5．(2017·温州高考适应性测试)已知α，β∈R ，则“α>β”是“cos α>cos β ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α>β ⇒/ cos α>cos β，如α＝π3，β＝π6，π3>π6，而cos π3<cos π6；cos α>cos β ⇒/ α>β，如α＝π6，β＝π3，cos π6>cos π3，而π6<π3.故选D.6．(2018·绍兴二模)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选A 根据二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，可得。

2019高考数学第二轮复习抓牢七点求突破高三二轮复习是考生之间拉开成绩距离的关键阶段，考生们一定要提前做好复习计划，抓住时机实现成绩上的突破!如何做到突破，以下是数学第二轮复习抓牢七点求突破，希望给备考考生以帮助。

抓学习节奏数学的复习备考分为不同的阶段，不同的教学方式交替使用。

没有一定的速度是无效率的复习与学习，慢腾腾的学习训练不出思维速度，训练不出思维的敏捷性，是培养不出数学能力的，这就要求在高三复习备考教学的全过程中一定要有节奏，这样久而久之，思维的敏捷性和数学能力就会逐步提高。

抓知识结构的疏理数学的一个概念、定义、公式、法则、定理等都是数学的基础知识，这些知识的形成过程容易被忽视。

事实上，这些知识的形成过程正是数学能力的培养过程。

一个定理的证明，往往是新知识的发现过程。

因此，要改变重结论轻过程的教学方法，解题过程的教学就是数学能力培养的过程。

抓复习资料的整理复习备考的过程是活的，学生的学习也是不断变化的，都在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，复习资料并不能完全反映出来。

数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是重温一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。

通过老师的引导，理解所复习内容在高中数学体系及高考中的地位，弄清与前后知识的联系等。

抓漏洞的处理在数学课堂教学中，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随着问题讨论。

因此可以听到许多的信息，这些问题是开放的。

对于那些典型问题，带有普遍性的问题都必须及时解决，不能把问题的症结遗留下来，甚至沉淀下来。

因此暴露了的问题要及时抓，遗留的问题要有针对性地补，注重实效。

抓课堂练习数学课的课堂练习时间每节课大约占20%左右，这是对数学知识记忆、理解、掌握的重要手段，必须坚持不懈，这既是一种速度训练，又是能力的检测。

学生做题是无心的，而教师所寻找的例题是有心的，哪些知识需要补救、巩固、提高，哪些知识、能力需要培养、加强应用，上课应有针对性。

必备二 审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题. 一审 审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误. 典型例题例1 (2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sinx-x+1-4x 2x,则关于x 的不等式f(1-x 2)+f(5x-7)<0的解集为 .▲审题指导 sin(-x)=-sinx, 2-x=12xf'(x)<0f(1-x 2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x 2>7-5x答案 (2,3)解析 ∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cosx -1-ln22x -2xln2, ∴f'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x 2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x 2)<f(7-5x),即1-x 2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3). 跟踪集训1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时,f(x+1)≤f[(2x+a)2]恒成立,则a 的取值范围为 . 二审 审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向. 典型例题例2 已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导 思路: 证明两曲线有 唯一公共点函数φ(x)=e x-12x 2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x-x-1结论证明 曲线y=e x与曲线y=12x 2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x-12x 2-x-1零点的个数. ∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0. 又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1, 则h'(x)=e x -1. 当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减; 当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0, 即φ'(x)在R 上的最小值为φ'(0)=0. ∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立), ∴φ(x)在R 上是单调递增的, ∴φ(x)在R 上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x 都满足g(x-1)+g(1-x)=x 2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g (x +12)+mlnx+98(m∈R,x>0).(1)求g(x)的表达式;(2)若∃x>0,f(x)≤0成立,求实数m 的取值范围;(3)设1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:∀x 1,x 2∈[1,m],恒有|H(x 1)-H(x 2)|<1.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案. 典型例题例3 设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列{1x x }的前n项和为T n,求使得|T n-1|<11000成立的n的最小值.▲审题指导(1)(2)a n=2n→1x x =12x→T n=1-12x→解不等式|T n-1|<11000n取10解析(1)由已知S n=2a n-a1,得S n-1=2a n-1-a1(n≥2),所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n.(2)由(1)得1x x=12x ,所以T n =12+122+…+12x =12[1-(12)x ]1-12=1-12x .由|T n -1|<11000,得|1-12x-1|<11000,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10. 所以使|T n -1|<11000成立的n 的最小值为10. 跟踪集训3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{a n }中,a 1=192,a n+1=38x x -14x x +42,b n =202x x +1,其中n∈N *.(1)求证:数列{b n }为等差数列;(2)设c n =b n b n+1cosnπ,n∈N *,数列{c n }的前n 项和为T n ,若当n∈N *且n 为偶数时,T n ≤tn 2恒成立,求实数t 的取值范围;(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ,试求数列{S 2n -S n }的最大值.四审 审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键. 典型例题例4 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x ∈R,x >0,0<x <x2)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f (x -π12)-f (x +π12)的单调递增区间.▲审题指导 第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A 和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx 的单调区间,通过解不等式求得结果.解析 (1)由题图知,周期T=2(11π12-5π12)=π,所以ω=2πx=2,因为点(5π12,0)在函数图象上,所以Asin (2×5π12+φ)=0,即sin (5π6+φ)=0.又因为0<φ<π2,所以5π6<5π6+φ<4π3,从而5π6+φ=π,即φ=π6.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin π6=1,得A=2. 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6).(2)g(x)=2sin [2(x -π12)+π6]-2sin 2(x +π12)+π6=2sin2x-2sin (2x +π3)=2sin2x-2(12sin2x +√32cos2x ) =sin2x-√3cos2x=2sin (2x -π3).由2kπ-π2≤2x -π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z. 所以函数g(x)的单调递增区间是[x π-π12,kπ+5π12],k∈Z.跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)= .五审 审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法. 典型例题例5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij (i,j∈N *)是这个三角形数表中从上往下数第i 行,从左往右数第j 个数,如a 42=8,若a ij =2015,则i+j= .1 2,4 3,5,7 6,8,10,12 9,11,13,15,17 14,16,18,20,22,24…▲审题指导 i 是奇数2015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案 110解析 由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2015=2×1008-1,所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为31×1+31×302×2=961,前32个奇数行内奇数的总个数为32×1+32×312×2=1024,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是961×2-1=1921,所以第63行的第一个数为1923,所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110. 跟踪集训5.已知数列{a n },a n =2·(13)x,把数列{a n }的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m 行,第n 列的项,则A(10,8)= .a 1 a 2 a 3a4a5a6a7a8a9a10…6.下表给出一个“三角形数阵”.141 21 43 438316…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij(i≥j,i,j∈N*).(1)求a83;(2)试写出a ij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6 已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值lna+a-1<0g(a)=lna+a-1解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x -a. 若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(0,1x )时,f'(x)>0;当x∈(1x ,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1x )上单调递增,在(1x ,+∞)上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=1x 处取得最大值,最大值为f (1x )=ln 1x +a (1-1x )=-lna+a-1.因此f (1x )>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,a>0,g'(a)=1x +1>0, 则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0, 于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0. 因此,a 的取值范围是(0,1). 跟踪集训7.在三角形ABC 中,已知2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,设∠CAB=α, (1)求角α的值; (2)若cos(β-α)=4√37,其中β∈(π3,5π6),求cosβ的值.七审 审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍. 典型例题例7 已知椭圆C:x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为√63.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线x=-3上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P,Q 两点.当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.▲审题指导(1)(2)四边形OPTQ 是平行四边形S ▱OPTQ =2S △OPQ →S △OPQ =12|OF||y 1-y 2|→y 1与y 2的关系→联立直线PQ 的 方程与椭圆的方程解析 (1)由已知可得x x =√63,c=2,所以a=√6. 由a 2=b 2+c 2,得b=√2,所以椭圆C 的标准方程是x 26+x 22=1.(2)设T 点的坐标为(-3,m), 则直线TF 的斜率k TF =x -0-3-(-2)=-m.当m≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1x , 则直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2, 也满足方程x=my-2.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得{x =xx -2,x 26+x 22=1,消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0,∴Δ=16m 2+8(m 2+3)>0,y 1+y 2=4x x 2+3,y 1y 2=-2x 2+3, 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-12x 2+3. 因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以{x 1+x 2=-12x 2+3=-3,x 1+x 2=4xx 2+3=m,解得m=±1.所以S 四边形OPTQ =2S △OPQ =2×12·|OF|·|y 1-y 2| =2√(4xx 2+3)2-4·-2x 2+3=2√3.跟踪集训8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的右焦点为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN,且xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43b2.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若S△ANM+S△POF=103a,求椭圆C的标准方程.答案精解精析 一审 审条件挖隐含跟踪集训1.答案 {a|a≥1或a≤-8} 解析 因为f(x)=2x是单调增函数,所以由f(x+1)≤f[(2x+a)2]得x+1≤(2x+a)2, 则问题转化为x+1≤(2x+a)2对x∈[0,3]恒成立, 即4x 2+(4a-1)x+a 2-1≥0对x∈[0,3]恒成立, 令h(x)=4x 2+(4a-1)x+a 2-1, 若1-4x 8<0,则h(0)≥0,此时a≥1; 若1-4x 8>3,则h(3)≥0,此时a≤-8;若0≤1-4x 8≤3,则Δ=(4a -1)2-16(a 2-1)≤0,此时无解.综上,a 的取值范围是{a|a≥1或a≤-8}.二审 审结论会转换跟踪集训2.解析 (1)设g(x)=ax 2+bx+c,a≠0,于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以{x =12,x =-1.又g(1)=-1,则b=-12.所以g(x)=12x 2-12x-1.(2)f(x)=g (x +12)+mlnx+98=12x 2+mlnx(m∈R,x>0). 当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R; 当m=0时,f(x)=x 22,∀x>0,f(x)>0恒成立;当m<0时,由f'(x)=x+xx =0⇒x=√-x ,列表:x (0,√-m )√-m (√-m,+∞)f'(x) - 0 + f(x)减极小值增这时,f(x)min =f(√-x )=-x2+mln √-x .f(x)min >0⇔{-x2+mln √-x >0,x <0⇒-e<m<0.所以若∀x>0,f(x)>0恒成立,则实数m 的取值范围是(-e,0]. 故∃x>0,f(x)≤0成立,实数m 的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞). (3)证明:因为∀x∈[1,m],H'(x)=(x -1)(x -x )x≤0,所以H(x)在[1,m]内单调递减.于是|H(x 1)-H(x 2)|≤H(1)-H(m)=12m 2-mlnm-12, |H(x 1)-H(x 2)|<1⇒12m 2-mlnm-12<1⇒12m-lnm-32x<0,记h(m)=12m-lnm-32x(1<m≤e),则h'(m)=12-1x+32x 2=32(1x -13)2+13>0, 所以函数h(m)=12m-lnm-32x 在(1,e]上是单调增函数, 所以h(m)≤h(e)=e2-1-32e =(e -3)(e +1)2e<0,故命题成立.三审 审结构定方案跟踪集训3.解析 (1)证明:∵b n+1=202x x +1+1=202·38x x -14x x +42+1=20(4x x +42)2(38x x -1)+(4x x +42)=2x x +212x x +1,∴b n+1-b n =2x x +212x x+1-202xx +1=1.∴数列{b n }是公差为1的等差数列. (2)由题意可知,b 1=202x 1+1=1,故b n =n.因为c n =b n b n+1cosnπ,n∈N *,所以T n =c 1+c 2+…+c n =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)nb n b n+1. 当n∈N *且n 为偶数时,设n=2m,m∈N *. 则T n =T 2m =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)2mb 2m b 2m+1. =b 2(-b 1+b 3)+b 4(-b 3+b 5)+…+b 2m (-b 2m-1+b 2m+1) =2(b 2+b 4+…+b 2n )=4(1+2+…+m)=2m 2+2m=12n 2+n. 要使T n ≤tn 2对n∈N *且n 为偶数恒成立, 只要使12n 2+n≤tn 2对n∈N *且n 为偶数恒成立,即使t≥12+1x 对n 为正偶数恒成立. ∵(12+1x)min =12+12=1,∴t≥1,故实数t 的取值范围是[1,+∞). (3)由(2)知b n =n,又b n =202xx+1,∴a n =10x -12. ∴S n =10(1+12+…+1x )-x2,∴S 2n =10(1+12+…+1x +1x +1+1x +2+…+12x )-2x 2,设M n =S 2n -S n =10(1x +1+1x +2+…+12x )-x2, ∴M n+1=10(1x +2+1x +3+…+12x +12x +1+12x +2)-x +12,∴M n+1-M n =10(12x +1+12x +2-1x +1)-12 =10(12x +1-12x +2)-12=10(2x +1)(2x +2)-12, ∴当n=1时,M n+1-M n =103×4-12>0,即M 1<M 2, 当n≥2时,M n+1-M n <0,即M 2>M 3>M 4>…. ∴(M n )max =M 2=10×(13+14)-1=296. 因此数列{S 2n -S n }的最大值为296.四审 审图形抓特点跟踪集训 4.答案 -√22解析 由三角函数的图象可得34T=3-1=2,所以最小正周期T=83=2πx ,解得ω=3π4.又f(1)=sin (3π4+φ)=1,解得φ=-π4+2kπ,k∈Z, 所以f(x)=sin (3π4x -π4+2kπ),k∈Z,则f(2)=sin (3π2-π4)=sin5π4=-√22.五审 审图表找规律跟踪集训5.答案 2×(13)53解析 由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n 行共n+1项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S 9=9×(1+9)2=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a 53=2×(13)53,故答案为2×(1353).6.解析 (1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a 11=14,a 21=12,所以公差d=14,a 81=14+(8-1)×14=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a 31=34,a 32=38,所以,每行的公比q=12,故a 83=2×(12)2=12.(2)由(1)知a i1=14+(i-1)14=x4,所以a ij =a i1·(12)x -1=x4·(12)x -1=i·(12)x +1.(3)A n =a n1[1+12+(12)2+…+(12)x -1]=x4[2-(12)x -1]=x2-n (12)x +1.B m =12(1+2+…+m)-12(12+24+38+…+x2x ). 设T m =12+24+38+…+x2x ,①则12T m =14+28+316+…+x2x +1,②由①-②,得12T m =12+14+18+…+12x +1-x 2x +1=1-12x -x2x +1=1-x +22x +1,所以B m =12·x (1+x )2-(1-x +22x +1)=x (1+x )4+x +22x +1-1.六审 审范围防易错跟踪集训7.解析 (1)由2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, 得2|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosα=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cosα=12,又因为α为三角形ABC 的内角,所以α=π3.(2)由(1)知sinα=√32,且β-α∈(0,π2),又cos(β-α)=4√37,所以sin(β-α)=17,故cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=4√37×12-17×√32=3√314.七审 审方法寻捷径跟踪集训8.解析 (1)由题意知{x 2x 2+x 2x 2=1,(x +x 2)2+x 2=(x2)2,消去y, 得x 2x 2x 2+ax+b 2=0, 解得x 1=-a,x 2=-xx 2x 2, 所以x M =-xx 2x 2∈(-a,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x M x A =xx 2x 2a=43b 2,x 2x 2=34,所以e=√32.(2)由(1)知M (-23b,-2√23b ),右准线方程为x=4√33b,直线MN 的方程为y=√2x,所以P (4√33b,4√63b ),S △POF =12OF·y P =√32b·4√63b=2√2b 2,S △AMN =2S △AOM =OA×|y M |=2b×2√23b=4√23b 2,所以2√2b 2+4√23b 2=103a,10√23b 2=203b 2,所以b=√2,a=2√2,椭圆C 的标准方程为x 28+x 22=1.。

第5讲：平面向量一、知识梳理 1．向量的有关概念及表示(1)若D 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OD →＝12(OA →＋OB →) (2) P A →＋PB →＋PC →＝0 ⇔P 为△ABC 的重心．(3) A 、B 、C 三点共线⇔ A⇔ 存在实数λ，μ，对任意一点O ，O A →＝μO B→＋)1( OC → 3．向量的数量积 (1)向量数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝__________，规定，零向量与任一向量的数量积为____，即________． (2)向量的投影设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，________称为向量a 在b 方向上的投影；________称为向量b 在a 方向上的投影．(3)公式：已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是向量a ，b 的夹角．向量表示 坐标表示向量a 的模 |a |＝a 2 |a |＝x 21＋y 21a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2a 与b 共线 a ∥b ⇔b ＝λa a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0a 与b 垂直 a ⊥b ⇔a ·b ＝0 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 a ，b 的夹角 cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22二、基础知识(一)向量共线和向量的表示1．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝21AB ，BE ＝32BC.若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC u u u r＝0，则有( )A. AO u u u r ＝2OD u u u rB. AO u u u r ＝OD u u u rC. AO u u u r ＝3OD u u u r D ．2AO u u u r ＝OD u u u r4．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2 AC AB DA DC DB 则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．在△ABC 所在的平面上有一点P 满足PA u u u r ＋PB u u u r ＋PC uuu r＝AB uuu r ，则△PBC与△ABC 的面积之比是________．6．如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，c BC b AE a AB ,,，则)(b a c =（二）向量的模、夹角、数量积、坐标运算 例：已知4|| a ，2|| b ，且a 与b 夹角为120°求（1）)()2(b a b a • ； （2）|2|b a ； （3）a 与b a 的夹角1．已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m)， a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．2 B ．－ 2 C ．－3 D ．32．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB u u u r同方向的单位向量为( )．A. 34,55B. 43,55C. 34,55D. 43,553．已知向量,a b r r 满足||||||1a b a b r r r r ，则向量,a b r r的夹角为 ( ) A ．3B ．23 C ．6 D ．564．若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________． 5.已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b r r r r r r.则,a br r 的夹角为_______________.6．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为________．7．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB u u u r 在向量CDuuu r 上的投影为______8.已知向量AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为120°，且|AB u u u r |＝3，|AC uuu r |＝2.若AP u u u r ＝λAB u u u r ＋AC uuu r ，且AP u u u r⊥BC uuu r ，则实数λ的值为________．9．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD u u u r u u u r＝________.10．如图，在矩形ABCD 中，AB 2，BC ＝2，点E为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB uuu r ·AF u u u r2，则AE uuu r ·BF uuu r的值是________．11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，21 ，则BD AD 的值为( ) A ．－25 B. 25 C ．－45 D. 45三、提升训练：1．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若2 AM ，则)(•OC OB OA 的最小值是2.在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA u u u r ＋3PB u u u r|的最小值为______．3.已知点3)A ，O 为坐标原点，点(,)P x y 满足303200x y x y,则||OA OPZ OA u u u r u u u r u u u r 的最大值是四、课后作业：1．若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝3，－1)，则|a －b |的最大值为2．已知)2,4( ，),6(y ，若a r ∥b r，则y =3．已知点(6,2)A ，(1,14)B ，则与AB u u u r共线的单位向量为（ ）A ．512(,)1313或512(,)1313 B ．512(,)1313 C ．125(,)1313 或125(,)1313 D ．512(,)13134．设向量b a b a //),1,sin 3(),sin ,1( 则 2cos =5．,1,1||,2|| 则向量在向量方向上的投影为 ；向量b 在向量a 方向上的投影为 ；6．△ABC 中AB ＝2，AC ＝3，点D 是△ABC 的重心，则 ＝________．7．如图，在ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF u u u r u u u r，若AD x AF y AEu u u r u u u r u u u r ， ,x y R ，则x y 的值为 .8．如图，边长为l 的菱形ABCD 中， DAB=60o，,2CM MD ND BN u u u u r u u u u r u u u r u u u r，则AM AN u u u u r u u u r 。

考前回扣一、集合、复数与常用逻辑用语知识方法1.集合的概念、关系及运算(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.(2)集合与集合之间的关系:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.2.复数(1)复数的相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔a=c,b=d.(2)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.(3)运算:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0).(4)复数的模:|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R).3.四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.4.充分条件与必要条件若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.5.全(特)称命题及其否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x).它的否定 p:∃x0∈M, p(x0).(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0).它的否定 p:∀x∈M, p(x).易忘提醒1.遇到A∩B=⌀时,注意“极端”情况:A=⌀或B=⌀;同样在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B 时,不要忽略A=⌀的情况.2.区分命题的否定和否命题的不同,否命题是对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.3.“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,但A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,但B不能推出A.4.复数z为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0(z=a+bi(a,b∈R)).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.习题回扣(命题人推荐)1.(集合的运算)设U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∩B=,A∪B= ,A ∪∁U B= .答案:{x|2<x≤3}{x|1≤x<4}{x|x≤3或x≥4}2.(复数的运算)已知(1+2i)=4+3i,则z= ,= .答案:2-i -i3.(充分必要条件)“a>b”是“a2>b2”的条件.答案:既不充分也不必要4.(命题的否定)已知p:∃x0∈R,-x0+1≤0,则 p为.答案:∀x∈R,x2-x+1>0二、平面向量、框图与合情推理知识方法1.平面向量中的四个基本概念(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,与a同向的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).(4)向量的投影:|b|cos<a,b>叫做向量b在向量a方向上的投影.2.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.3.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0;(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.4.平面向量的三个性质(1)若a=(x,y),则|a|==.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ==.易忘提醒1.若a=0,则a·b=0,但由a·b=0,不能得到a=0或b=0,因为a⊥b时,a·b=0.2.两向量夹角的范围为[0,π],向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价.习题回扣(命题人推荐)1.(平面向量的线性运算)设D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且AF=AB,BD=BC,CE=CA,若记=m,=n,则= (用m,n表示).答案:-m-n2.(平面向量的坐标运算)设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),若A,B,C三点共线,则k= .答案:-2或113.(平面向量的数量积)已知向量a与b不共线,|a|=3,|b|=4,若a+kb与a-kb垂直,则k= .答案:±4.(类比推理)在等差数列{a n}中,若a10=0,则有a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,且n∈N*)成立,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b9=1,则有.答案:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17且n∈N*)三、不等式与线性规划知识方法1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+bx+c>0(a>0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.2.线性规划(1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来判断Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.3.五个重要的不等式(1)|a|≥0,a2≥0(a∈R);(2)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(3)≥(a>0,b>0);(4)ab≤2(a,b∈R);(5)≥≥≥(a>0,b>0).易忘提醒1.解分式不等式时注意同解变形.2.作可行域时,注意边界线的虚实;及非线性目标函数的几何意义.3.在利用基本不等式求最值时,不要忽略“一正、二定、三相等”.习题回扣(命题人推荐)1.(求线性目标函数的最值)若x,y满足约束条件则z=3x+5y的最大值为,最小值为.答案:17 -112.(不等式的解法)若关于x的一元二次方程mx2-(1-m)x+m=0没有实数根,则m的取值范围为.答案:(-∞,-1)∪,+∞3.(利用基本不等式求最值)函数f(x)=x+的值域是.答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)四、函数图象与性质、函数与方程知识方法1.函数的性质(1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;(2)奇偶性:①若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);②若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0;③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;(3)周期性:①若y=f(x)对x∈R,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数;②若y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数;③若y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数;④若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数. 2.函数的图象对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.3.函数的零点与方程的根(1)函数的零点与方程根的关系函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意以下两点:①满足条件的零点可能不唯一;②不满足条件时,也可能有零点.易忘提醒1.函数具有奇偶性时,定义域关于原点对称,但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性.2.求单调区间时易忽略函数的定义域,切记:单调区间必须是定义域的子集且当同增(减)区间不连续时,不能用并集符号连接.3.忽略函数的单调性、奇偶性、周期性的定义中变量取值的任意性.4.画图时容易忽略函数的性质,图象左右平移时,平移距离容易出错.习题回扣(命题人推荐)1.(奇偶性)若函数f(x)=x2-mx+m+2是偶函数,则m= .答案:02.(单调性)若函数f(x)=x2+mx-2在区间(-∞,2)上是单调减函数,则实数m的取值范围为.答案:(-∞,-4]3.(函数图象)已知函数y=log a(x+b)的图象如图所示,则a= ;b= .答案: 34.(零点的应用)若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围是.答案:(-4,-2)五、导数的简单应用知识方法1.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f'(x0).2.导数与函数单调性的关系(1)若可导函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x)≥0在区间(a,b)上恒成立;若可导函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x)≤0在区间(a,b)上恒成立.可导函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数是f'(x)>0的必要不充分条件.(2)可导函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.3.函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题.(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有.(3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.易忘提醒1.求切线方程时,注意“在点A处的切线”与“过点A的切线”的区别.2.利用导数研究函数的单调性时不要忽视函数的定义域.3.函数y=f(x)在区间上单调递增不等价于f'(x)≥0.一般来说,已知函数y=f(x)单调递增,可以得到f'(x)≥0(有等号);求函数y=f(x)的单调递增区间,解f'(x)>0(没有等号)和确定定义域.4.对与不等式有关的综合问题要有转化为函数最值的化归思想;对含参数的综合问题要有分类讨论的思想.习题回扣(命题人推荐)1.(导数的几何意义)曲线y=在点M(π,0)处的切线方程为.答案:y=-+12.(极值)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c= .答案:63.(最值)已知函数f(x)=x2+px+q,当x=1时,f(x)有最小值4,则p= ,q= . 答案:-2 54.(单调性)函数f(x)=x+cos x,x∈0,的单调增区间为.答案:0,六、导数的综合应用知识方法1.利用导数求函数最值的几种情况(1)若连续函数f(x)在(a,b)内有唯一的极大值点x0,则f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的最大值,min{f(a),f(b)}是函数f(x)在[a,b]上的最小值;若函数f(x)在(a,b)内有唯一的极小值点x0,则f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的最小值,max{f(a),f(b)}是函数f(x)在[a,b]上的最大值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)是函数f(x)在[a,b]上的最小值,f(b)是函数f(x)在[a,b]上的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)是函数f(x)在[a,b]上的最大值,f(b)是函数f(x)在[a,b]上的最小值.(3)若函数f(x)在[a,b]上有极值点x1,x2,…,x n(n∈N*,n≥2),则将f(x1),f(x2),…,f(x n)与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是函数f(x)在[a,b]上的最大值,最小的一个是函数f(x)在[a,b]上的最小值.2.与不等式有关的恒成立与存在性问题(1)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)-g(x)]min>0(x∈I).(2)存在x0∈I使f(x)>g(x)成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈I).(3)对∀x1,x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.(4)对∀x1∈D1,∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min,f(x)定义域为D1,g(x)定义域为D2.3.证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.易忘提醒1.不要忽略函数的定义域.2.在需分类讨论时,要做到不重不漏,不要忽略导函数中二次项系数的正负,以及根的大小比较.3.存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若f(x)≤m恒成立,则f(x)max≤m;若f(x)≥m恒成立,则f(x)min≥m.若f(x)≤m有解,则f(x)min≤m;若f(x)≥m有解,则f(x)max≥m.习题回扣(命题人推荐)1.(导数几何意义的应用)如图,直线l和圆C,当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,这个函数的图象大致是( D )2.(比较大小)当x∈(0,π)时,sin x x.答案:<七、三角函数的图象与性质、三角恒等变换知识方法1.“巧记”诱导公式对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“角α的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.2.“牢记”三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;tan(α±β)= .(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin αcos α;cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan 2α=;cos2α=,sin2α=.3.三种三角函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x图象单调性在-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递增;在+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递减在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减在-+kπ,+kπ(k∈Z)上单调递增续表函数y=sin x y=cos x y=tan x对称性对称中心:(kπ,0)(k∈Z);对称轴:x=+kπ(k∈Z)对称中心:+kπ,0(k∈Z);对称轴:x=kπ(k∈Z)对称中心:,0(k∈Z);无对称轴易忘提醒1.求单调区间时应先把变量系数化为正值再求解,且不要忘记周期性及k∈Z.2.注意“在区间[a,b]上单调递增(减)”与“单调区间是[a,b]”的区别.3.图象变换时,变换前后的函数名称要一致.4.图象变换时,注意“先相位后周期”与“先周期后相位”图象平移的单位个数的区别.(平移只对“x”而言)5.解三角变换问题的基本思路是:一角、二名、三结构.习题回扣(命题人推荐)1.(同角三角函数间关系)已知sin α+cos α=(0<α<π),则tan α=.答案:-2.(同角三角函数间关系)设tan α=-,则= .答案:-13.(三角函数图象变换)要得到函数y=3sin2x+的图象,只需将y=3sin 2x的图象个单位长度.答案:向左平移4.(三角函数性质)函数y=sin x+的单调递增区间为.答案:2kπ-,2kπ+(k∈Z)八、解三角形知识方法1.正弦定理===2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.sin A=,sin B=,sin C=.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.2.余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.推论:cos A=,cos B=,cos C=.3.面积公式S△ABC =bcsin A=acsin B=absin C.4.解三角形(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解.(4)已知三边,利用余弦定理求解.易忘提醒1.已知三角函数值求角时,要注意角的范围的挖掘.2.利用正弦定理解三角形时,注意解的个数的讨论,可能有一解、两解或无解.在△ABC 中,A>B⇔sin A>sin B.3.已知两边和其中一边的对角,利用余弦定理求第三边时,应注意检验,否则易产生增根.4.在判断三角形的形状时,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.习题回扣(命题人推荐)1.(正弦定理)在△ABC中,已知a=6,b=6,B=120°,则c= .答案:62.(余弦定理)在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A= .答案:3.(求三角形面积)在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,则b= ,S△ABC= . 答案:5+525(+1)4.(三角形形状判断)在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,则△ABC是三角形.答案:等腰或直角5.(解三角形实际应用问题)在一座20 m高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为60°,塔底俯角为45°,则这座水塔的高度是m.答案:20(1+)九、等差数列与等比数列知识方法1.等差、等比数列的通项公式及前n项和公式等差数列等比数列通项公式a n=a1+(n-1)d a n=a1q n-1(q≠0)前n项和S n==na1+ d(1)q≠1,S n==;(2)q=1,S n=na12.等差、等比数列的性质类型等差数列等比数列项的性质2a k=a m+a l (m,k,l∈N*且m,k,l成等差数列)=a m·a l(m,k,l∈N*且m,k,l成等差数列) a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q) a m·a n=a p·a q(m,n,p,q∈N*且m+n=p+q)和的性质当n为奇数时,S n=n当n为偶数时,=q(公比)依次每k项的和:S k,S2k-S k,S3k-S2k,…构成等差数列依次每k项的和:S k,S2k-S k ,S 3k-S2k,…构成等比数列(公比q≠-1)3.证明(或判断)数列是等差(比)数列的四种基本方法(1)定义法:a n+1-a n=d(常数)(n∈N*)⇒{a n}是等差数列;=q(q是非零常数)⇒{a n}是等比数列.(2)等差(比)中项法:2a n+1=a n+a n+2(n∈N*)⇒{a n}是等差数列;=a n·a n+2(n∈N*,a n≠0)⇒{a n}是等比数列.(3)通项公式法:a n=pn+q(p,q为常数)⇒{a n}是等差数列;a n=a1·q n-1(其中a1,q为非零常数,n ∈N*)⇒{a n}是等比数列.(4)前n项和公式法:S n=An2+Bn(A,B为常数)⇒{a n}是等差数列;S n=Aq n-A(A为非零常数,q≠0,1)⇒{a n}是等比数列.4.等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d>0⇔{a n}为递增数列,S n有最小值.d<0⇔{a n}为递减数列,S n有最大值.d=0⇔{a n}为常数列.(2)等比数列的单调性当或时,{a n}为递增数列.当或时,{a n}为递减数列.易忘提醒1.忽略公式a n=S n-S n-1成立的条件是n≥2,n∈N*.2.证明一个数列是等差或等比数列时,由数列的前几项,想当然得到通项公式,易出错,必须用定义证明.3.应用等比数列的前n项和公式时,应注意条件是否暗示了q的范围,否则,应注意讨论.4.等差数列的单调性只取决于公差d的正负,等比数列的单调性既要考虑公比q又要考虑首项a1.习题回扣(命题人推荐)1.(等差数列综合)等差数列{a n}中,已知a1=,d=-,S n=-5,则a n= .答案:-2.(等差数列最值问题)已知等差数列{a n}中,a1=16,公差d=-,则|a n|最小时,n= . 答案:22十、数列求和及简单应用知识方法1.数列的通项公式数列综合问题一般先求数列的通项公式,这是做好该类题的关键.若是等差数列或等比数列,则直接运用公式求解,否则常用下列方法求解:(1)a n=(2)递推关系形如a n+1-a n=f(n),常用累加法求通项公式.(3)递推关系形如=f(n),常用累乘法求通项公式.(4)递推关系形如“a n+1=pa n+q(p,q是常数,且p≠1,q≠0)”的数列求通项公式,常用待定系数法.可设a n+1+λ=p(a n+λ),经过比较,求得λ,则数列{a n+λ}是一个等比数列.2.数列求和常用的方法(1)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成c n=a n+b n形式的数列求和问题的方法(其中{a n}与{b n}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列).(2)裂项相消法:将数列的通项分成两个代数式的差,即a n=f(n+1)-f(n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形如(其中{a n}是各项均不为0的等差数列,c为常数)的数列等.(3)错位相减法:形如{a n·b n}(其中{a n}为等差数列,{b n}为等比数列)的数列求和,一般分三步:①巧拆分;②构差式;③求和.(4)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法,一般步骤:①求通项公式;②定和值;③倒序相加;④求和;⑤回顾反思.(5)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求S n.易忘提醒1.求解{a n}的前n项和的最值时,无论是利用S n还是a n,都要注意条件n∈N*.2.运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的n+1项中的前n项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以代数式时,注意要讨论代数式是否为零.习题回扣(命题人推荐)1.(分组法求和)(a-1)+(a2-2)+…+(a n-n)= .答案:2.(裂项法求和)数列的前n项和S n= .答案:3.(错位相减法求和)+2×2+3×3+…+n×n= .答案:2-(n+2)×n十一、空间几何体的三视图、表面积与体积知识方法1.棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形.(2)棱锥的性质棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.2.三视图(1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高;(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.3.几何体的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线.(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何问题.4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)(1)表面积公式①圆柱的表面积S=2πr(r+l);②圆锥的表面积S=πr(r+l);③圆台的表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl);④球的表面积S=4πR2.(2)体积公式①柱体的体积V=Sh;②锥体的体积V=Sh;③台体的体积V=(S'++S)h;④球的体积V=πR3.【温馨提示】在有关体积、表面积的计算应用中要注意等积法的应用.易忘提醒1.台体可以看成是由锥体截得的,但要注意截面与底面平行.2.空间几何体以不同位置放置时,对三视图会有影响.3.画三视图的轮廓线时,可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线.习题回扣(命题人推荐)1.(直线与球的关系)一条直线被一个半径为5的球截得的线段长为8,则球心到直线的距离为.答案:32.(球与几何体的接切问题)已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上,则球的表面积与正方体的全面积之比为.答案:3.(三视图)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则它的体积为.答案: m34.(几何体间的关系)正三棱柱的内切圆柱与外接圆柱的体积比为.答案:1∶4十二、点、直线、平面之间的位置关系知识方法1.直线与平面平行的判定和性质(1)判定:①判定定理:a∥b,b⊂α,a⊄α⇒a∥α;②面面平行的性质:α∥β,a⊂α⇒a∥β;③a⊥b,α⊥b,a⊄α,则a∥α.(2)性质:l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m.2.直线与平面垂直的判定和性质(1)判定:①判定定理:a⊥b,a⊥c,b,c⊂α,b∩c=O ⇒a⊥α.②a∥b,a⊥α⇒b⊥α.③l⊥α,α∥β⇒l⊥β.④α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.(2)性质:①l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.②l⊥α,m⊥α⇒l∥m.3.两个平面平行的判定和性质(1)判定:①判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.②l⊥α,l⊥β⇒α∥β.③α∥γ,α∥β⇒β∥γ.(2)性质:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.4.两个平面垂直的判定和性质(1)判定:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.(2)性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.易忘提醒1.在应用平行或垂直的判定定理时,常因忽略定理的条件或步骤跳跃而失分.2.“展开”“翻折”问题易忽略展开及翻折前后元素之间的关系.3.将空间问题转化为平面问题时,易忽略挖掘平面图形的几何性质.习题回扣(命题人推荐)1.(两平行平面的性质)已知:如图,α∥β,点P是平面α,β外的一点,直线PA,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.已知PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,则PD= .答案: cm2.(两直线的关系)如图,在三棱锥A BCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则(1)AC与BD 时,四边形EFGH为菱形;(2)AC与BD 时,四边形EFGH为正方形.答案:(1)相等(2)相等且垂直3.(线面垂直的判定)如图,在△ABC中,M为边BC的中点,沿AM将△ABM折起,使点B在平面ACM外.当时,直线AM垂直于平面BMC.答案:AB=AC4.(两平面的关系)已知:如图,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=4 cm,AC,BD 分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线l,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD= . 答案:13 cm十三、直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质知识方法1.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-y0=k(x-x0) 不含垂直于x轴的直线斜截式y=kx+b 不含垂直于x轴的直线名称方程适用范围两点式不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)=不含垂直于坐标轴和过原点的直线截距式+=1一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用2.直线的两种位置关系(1)两直线平行①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2.②对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0.(2)两直线垂直①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1.②对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.3.三种距离公式(1)点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离:|AB|=.(2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:d=.(3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离为d=.【温馨提示】运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中(a,b)为圆心,r为半径.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,其中圆心为-,-,半径r=.5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,根据圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系.(2)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离,根据圆心距离与半径之和差的关系判断两圆的位置关系.6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M标准方程+=1(a>b>0)-=1(a>0,b>0)y2=2px(p>0)图形范围|x|≤a,|y|≤b|x|≥a x≥0顶点(±a,0),(0,±b)(±a,0) (0,0)对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x 轴对称焦点(±c,0),0轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e==(0<e<1)e==(e>1)e=1准线x=-渐近线y=±x【温馨提示】 (1)椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在学习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.(2)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(3)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则用一般弦长公式.易忘提醒1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性.2.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.3.过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况.4.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.5.抛物线中出现与焦点有关的问题时,易忽略定义的使用.6.圆锥曲线中焦点位置没有明确给出时,应对焦点位置进行分情况讨论.7.混淆椭圆、双曲线中a,b,c的关系,椭圆:a2=b2+c2,双曲线:c2=a2+b2.习题回扣(命题人推荐)1.(两直线垂直的条件)已知直线l1:(m+2)x-(m-2)y+2=0,直线l2:3x+my-1=0,且l1⊥l2,则m 的值为.答案:-1或62.(圆的方程)已知半径为5的圆过点P(-4,3),且圆心在直线2x-y+1=0上,则该圆的方程为.答案:(x-1)2+(y-3)2=25或(x+1)2+(y+1)2=253.(椭圆的方程)若椭圆+=1(a>b>0)过点(3,-2),离心率为,则a= ,b= .答案:4.(双曲线的性质)已知双曲线的方程为-=1,过点(a,0),(0,b)的直线的倾斜角为150°,则双曲线的离心率为.答案:5.(抛物线定义的应用)抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为5,则该点的坐标为. 答案:(4,4)或(4,-4)6.(双曲线的方程)双曲线的离心率等于,且与椭圆+=1有公共焦点,则双曲线的方程为.答案:-y2=1十四、直线与圆锥曲线的位置关系知识方法1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法将直线方程与圆锥曲线方程联立,由方程组解的组数确定直线与圆锥曲线的位置关系,特别地,当直线与双曲线的渐近线平行时,该直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行时,该直线与抛物线只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=或|P1P2|=.(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接计算弦长.3.弦的中点问题。