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4r2
+6 (8+7π)r2,定义域为
r
3
2
8
,3
2
4
.
(2)令f(r)= 6 +(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+7π)r2,所以f '(r)=-6 +(16+14π)r,
r
r2
令f '(r)=0,即 r 6 2
=(16+14π)r,解得r=3 ,3
8 7
当r> 3 时3 , f '(r)>0,函数y=f(r)为增函数;
4
(1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证上述采光要求; (2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心
的截面面积最大?(注:计算中π取3)
解析 如图所示,以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标 系.
(1)因为AB=18米,AD=6米,所以半圆的圆心为H(9,6),半径r=9,设太阳光线所在
第23讲 与几何相关的应用题
第23讲 与几何相关的应用题
1.一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处,发现 在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击. 已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按 直线方向以最大航速航行. (1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在 领海内拦截成功;
9 4
,为94 圆3 心,
为半3 径的圆.因为圆心
2
9 4
,
9 4
3
到领海边界线l:x=3.8的距离为1.55,大于圆的半径 3 ,所以缉私艇总能在领海
2
内截住走私船.
2.如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AB上建 一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看 活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半 圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射 下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满 足tan θ= 3 .
直线的方程为y=- 3 x+b,
4
即3x+4y-4b=0,
则由| 27=92,4 4b |
32 42
解得b=24或b= 3 (舍).
2
故太阳光线所在直线的方程为y=- 3
4
令x=30,得EG=1.5米<2.5米.
所以能保证采光要求.
x+24,
(2)设AD=h米,AB=2r米, 则半圆的圆心为H(r,h),半径为r. 设太阳光线所在直线的方程为y=- 3 x+b,
2
2
2
=- 5 r2+50r=5 - (r-10)2+250≤250.
2
2
当且仅当r=10时取等号.
所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大.
题型一 与平面几何相关的应用题 例1 (2018徐州高三年级考前模拟)图1是一个仿古的首饰盒,其左视图是由 一个半径为r分米的半圆及矩形ABCD组成,其中AD长为a分米,如图2.为了美 观,要求r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为4r分米,容积为4立方分米(不计厚度), 假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关,下半部分的制作费用为每平方 分米1百元,上半部分制作费用为每平方分米2百元,设该首饰盒的制作费用为 y百元. (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)当r为何值时,该首饰盒的制作费用最低?
8 7
当r< 3 时3 , f '(r)<0,函数y=f(r)为减函数.
8 7
又因为 3 ≤2 r≤ ,3所以2 函数y=f(r)在
8
4
所以当r= 3 时2 ,首饰盒制作费用最低.
8
上为3增8函2数, 3,
4
2
【核心归纳】 弄清平面图形的结构及相关定理、结论,由此建立目标函数, 再根据目标函数的特征选择函数、导数或不等式解决问题.
题型二 与立体几何相关的应用题 例2 (2017江苏,18)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形 玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 7 cm,容器Ⅱ 的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ 中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃 棒粗细均忽略不计) (1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中 部分的长度; (2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中 部分的长度.
图1
图2
解析
(1)由题意可知:4=4r
1 2
=r22πr32+a8rar2,
所以a= 4 =2 r 3 . 2 r 3
8r2
4r2
又因为r≤a≤2r,所以 3 2≤r≤ .3 2
8
4
所以y=4r(2a+2r)+4ar+2(πr×4r+πr2)=12ar+8r2+10πr2
=12r× 2 + 8r r2+10πr2=
4
即3x+4y-4b=0,由| 3r =r4,h 4b |
32 42
解得b=h+2r或b=h-2r(舍).
故太阳光线所在直线的方程为y=- 3 x+h+2r,
4
令x=30,得EG=2r+h- 4 5 ,由EG≤2.5,得h≤25-2r,
2
所以S=2rh+ 1 πr2=2rh+3 ×r2≤2r(25-2r3 )+ ×r2
(2)如图乙,以A为原点,正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
图乙 则B(2,2 3),设缉私艇在P(x,y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相
遇,则 P A =3,即 =3. x2 y2
PB
(x2)2 (y2 3)2
整理得
x
+9
4
2
=
y
, 9
4
3
2
9 4
所以点P(x,y)的轨迹是以点
参 考 数 据 :sin176 3,
335.7446
(2)无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理
由.
解析 (1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图甲),
图甲
依题意,AC=3BC.
在△ABC中,sin∠BAC= B C sin∠ABC= s in=1 2 0 . 3
AC
3
6
因为sin 17°≈ 3 ,所以∠BAC=17°.
6
从而缉私艇应向北偏东47°方向追击.
在△ABC中,cos 120°= 42 , BC2 AC2
8BC
解得BC=1 ≈3 31.686 15.又B到边界线l的距离为3.8-4sin 30°=1.8,
4
1.686 15<1.8,所以能在领海内成功拦截走私船.
