第二讲图形的位置关系

第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系考纲展示 命题探究1 圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程(2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2 点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点M 在圆上；(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点M 在圆外；(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点M 在圆内．注意点 圆的标准方程与一般方程的关系圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别.1．思维辨析(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12 －3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )(5)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．圆心在曲线y ＝14x 2(x <0)上，并且与直线y ＝－1及y 轴都相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4答案 D解析 设圆心的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，14x 2，据题意得14x 2＋1＝－x ，解得x ＝－2，此时圆心的坐标为(－2,1)，圆的半径为2，故所求圆的方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.3．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( )A ．2 2B.2－1 C ．22－1D ．1答案 C解析 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，故所求距离d min ＝22－1.[考法综述] 求圆的方程是考查圆的方程中的一个基本点，一般涉及圆的性质，直线与圆的位置关系等．主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用代数方法和几何方法解决问题．命题法1 求圆的方程典例1 (1)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O ′位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O ′的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5(2)求经过A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程．[解析] (1)设圆心坐标为(a,0)(a <0)，因为圆与直线x ＋2y ＝0相切，所以5＝|a ＋2×0|5，解得a ＝－5，因此圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.(2)解法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. ∴⎩⎨⎧ 52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，32＋22＋3D ＋2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－10，F ＝31.∴圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0.解法二：从形的角度，AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P 应在AB 中垂线x ＝4上，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＝4，得圆心P (4,5)． ∴半径r ＝|P A |＝10.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.[答案] (1)D (2)见解析【解题法】 用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程．(2)根据所给条件，列出关于D ，E ，F 或a ，b ，r 的方程组．(3)解方程组，求出D ，E ，F 或a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．命题法2 与圆有关的最值问题典例2 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)y x 的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，半径r ＝3的圆．(1)设yx＝k，即y＝kx，由题知，直线y＝kx与圆恒有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径 3.∴|2k－0|k2＋1≤ 3.∴k2≤3，即－3≤k≤3，∴yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y－x＝b，则当直线y－x＝b与圆相切时，b取最值，由|2－0＋b|2＝3，得b＝－2±6，∴y－x的最大值为6－2，最小值为－2－ 6.(3)令d＝x2＋y2表示原点与点(x，y)的距离，∵原点与圆心(2,0)的距离为2，∴d max＝2＋3，d min＝2－ 3.∴x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.【解题法】与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．命题法3与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x 0，y 0)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x 0－2,2y 0)．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x 0－2)2＋(2y 0)2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ′，y ′)．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |. 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝04D ＋2E ＋F ＋20＝0D －7E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.故选C.2．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________________；(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③解析 (1)依题意，设C (1，r )(r 为圆C 的半径)，因为|AB |＝2，所以r ＝12＋12＝2，所以圆心C (1，2)，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0(x －1)2＋(y －2)2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2－1或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2＋1，因为B 在A 的上方，所以A (0，2－1)，B (0，2＋1)．不妨令直线MN 的方程为x ＝0(或y ＝2－1)，M (0，－1)，N (0,1)，所以|MA |＝2，|MB |＝2＋2，|NA |＝2－2，|NB |＝ 2.所以|NA ||NB |＝2－22＝2－1，|MA ||MB |＝22＋2＝2－1，所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，所以|NB ||NA |－|MA ||MB |＝22－2－(2－1)＝2＋1－(2－1)＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22－2＋(2－1)＝2＋1＋2－1＝22，正确结论的序号是①②③.3.设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 解法一：当x 0＝0时，M (0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N (－1,0)或N (1,0)，使∠OMN ＝45°.当x 0≠0时，过M 作圆的两条切线，切点为A 、B .若在圆上存在N ，使得∠OMN ＝45°，应有∠OMB ≥∠OMN ＝45°，∴∠AMB ≥90°，∴－1≤x 0<0或0<x 0≤1.综上，－1≤x 0≤1.解法二：过O 作OP ⊥MN ，P 为垂足，OP ＝OM ·sin45°≤1，∴OM ≤1sin45°，∴OM 2≤2，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1.4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 因为(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆C 是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.注意点 切线长的计算涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解.1．思维辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1， 又∵r ＝2，∴0<d <r .显然圆心(0,0)不在直线y ＝kx ＋1上，故选C.3．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．答案 23解析 圆C 1的方程减圆C 2的方程，即得公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到l 的距离d ＝12，由条件知，r 2－d 2＝234，∴弦长为23. [考法综述] 直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想考查直线和圆的几何性质．命题法 直线与圆的位置关系及应用典例 (1)直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 (2)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] (1)直线ax －y ＋2a ＝0⇒a (x ＋2)－y ＝0，即直线恒过点(－2,0)，因为点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交．(2)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]． [答案] (1)C (2)C【解题法】 1.有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l 2，弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，即r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2. (2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k (－3)－2－2k －3|1＋k 2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.2.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 答案 D解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2x 0y 1＋y 2＝2y 0. 又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2B ．4 2C ．6D ．210 答案 C解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4 C ．(6－25)πD.5π4 答案 A解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝45. ∴圆C 面积的最小值为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.故选A. 解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半． 因此，圆C 半径的最小值为r min ＝45×12＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝4π5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.答案 2解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 答案 2555解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555.8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15.9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253， P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：注意点判别式与两圆的位置关系在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ>0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ<0是两圆外离(内含)的必要不充分条件.1．思维辨析(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y ＝r2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案 B解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.3．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l 对称，则直线l的方程是()A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0答案 C解析圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.[考法综述] 根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题．命题法 圆与圆的位置关系典例 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是______．[解析] (1)两圆心之间的距离为d ＝(－2－2)2＋(0－1)2＝17，两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝3.则r 2－r 1＝1<d <r 1＋r 2＝5，故两圆相交．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1.由题意知，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x ，kx －2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解得0≤k ≤43，故k 的最大值为43.[答案] (1)B (2)43【解题法】 两圆位置关系的相关问题(1)圆与圆的位置关系有5种：外离、外切、相交、内切、内含．在高考中涉及两圆位置关系时，常见有两种命题方式：①已知两圆方程判断两圆的位置关系，一般采用几何法求解． ②圆与圆位置关系的应用，即通过圆与圆的位置关系，研究公共弦及公切线等问题．(2)两圆相交公共弦问题①求相交圆公共弦问题设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如果先求交点坐标，再用两点式求直线方程，显然太繁琐，为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．设两圆任一交点坐标是(x0，y0)，则有：x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②①－②得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0.显然，两交点坐标均满足此方程．因此，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0就是两圆的公共弦方程．②求两圆公共弦长的步骤第一步，先求两圆公共弦所在的直线方程；第二步，利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两圆公共弦长．(3)两圆位置关系与公切线条数，12M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析圆C1，C2如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理可得|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.选A.2．已知两圆⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y －3＝0和⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y －3＝0都经过点A (2，－1)，则同时经过点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)的直线方程为( )A ．2x －y ＋2＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．2x ＋y －2＝0 答案 A解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋2D 1－E 1－3＝05＋2D 2－E 2－3＝0即⎩⎪⎨⎪⎧2D 1－E 1＋2＝02D 2－E 2＋2＝0，∴点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)都在直线2x －y ＋2＝0上，故同时经过(D 1，E 1)和(D 2，E 2)的直线方程为2x －y ＋2＝0.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.答案 1解析 两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y ＝1a ，如图，由已知得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a ＝1，∴a ＝1.创新考向与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最值等．常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等．创新例题设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)答案 D解析 由圆的方程得圆心为(1,1)，半径为r ＝1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为d ＝|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1. 整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22 设m ＋n ＝x ，则有x ＋1≤x 24解得，x ≥2＋22或x ≤2－2 2.则m ＋n 的取值范围是(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选D.创新练习1．M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，则M ∩N ≠∅时，a 的最大值与最小值分别为________、________.答案 2＋22 22－2 解析 由已知可得集合M 表示圆x 2＋y 2＝2a 2的上半部分，而集合N 表示圆心(1，3)半径为a 的圆，若M ∩N ≠∅，则圆N 与半圆M 有公共点，设两圆的圆心距为d ，且d ＝2.则(2－1)a ≤d ≤(2＋1)a ，解得a ≥22－2或a ≤22＋2.2．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．答案 5－1解析根据条件画出可行域如图．设z＝|PQ|表示圆上的点到可行域的距离．当点P在A处时，求出|PQ|＝5，即|PQ|min＝5－1.创新指导1．准确转化：解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决．2．方法选取：对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，对于涉及参数的问题，要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否需要分类讨论．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点P(－1,1)的圆的切线方程为________．[错解][错因分析]没有对k进行分类讨论，从而遗漏了k不存在的情况．[正解](1)当直线的斜率不存在时，方程为x＝－1.此时圆心C(1，－2)到直线x＝－1的距离d＝|－1－1|＝2.故该直线为圆的切线．(2)当直线的斜率存在时，设为k，则其方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0.由已知圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k×1－(－2)＋k＋1|k2＋(－1)2＝2，整理得|2k＋3|k2＋1＝2，解得k＝－512，故此时切线方程为－512x－y＋712＝0，即5x＋12y－7＝0，综上，圆的切线有两条：x ＝－1或5x ＋12y －7＝0.[答案] x ＝－1或5x ＋12y －7＝0[心得体会] ………………………………………………………………………………………………时间：50分钟基础组1.[2016·衡水二中仿真]已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8答案 A解析 根据题意，直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －y ＋1＝0，得(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．[2016·枣强中学期中]已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13 答案 C解析 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣孤所对圆心角为23π，设圆心为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.3．[2016·衡水二中热身]圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋()y －32＝3C ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝34D ．x 2＋(y －2)2＝4答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A.4．[2016·武邑中学期末]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11答案 A解析 由题意可知，将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度后，所得直线l 的方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O (－1,2)，半径为 5.解法一：直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离等于圆的半径，即|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或λ＝7.解法二：设直线l 与圆相切的切点为C (x ，y )，由直线与圆相切，可知CO ⊥l ，所以y －2x ＋1×2＝－1.又C (x ，y )在圆上，满足方程x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，解得切点坐标为(1,1)或(－3,3)．又C (x ，y )在直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝7.5. [2016·衡水二中一轮检测]已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径为2，直线l 的斜率为－1，方程为x ＋y －1＝0.圆心到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为22，∴△OAB 的面积为12×22×22＝1，故选A.6．[2016·衡水二中猜题]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0，则|2x －y －2|的最小值是( )A ．5－ 5B ．4－ 5 C.5－1 D ．5 5答案 A解析 将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，|2x －y －2|＝5×|2x －y －2|5，几何意义表示圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上的点到直线2x －y －2＝0的距离的5倍，要使其值最小，只使|2x －y －2|5最小，由直线和圆的位置关系可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －y －2|5min ＝|2×2＋3－2|5－1＝5－1，∴|2x －y －2|的最小值为5×(5－1)＝5－5，选A. 7．[2016·衡水二中猜题]已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(注：此题条件还经常论述为“圆x 2＋y 2－2y －5＝0关于直线ax ＋by ＋c －1＝0对称”．)答案 A解析 依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎨⎧b ＋c ＝1(bc >0)4c b ＝bc，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9，选A.8. [2016·衡水二中一轮检测]已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)答案 C解析 如右图，当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故2<k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．[2016·冀州中学周测]已知点N (3,4)，圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，M 是圆C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 52－1解析 作点N 关于x 轴的对称点N ′(3，－4)，则(|PC |＋|PN |)min＝|CN ′|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－1.10．[2016·冀州中学热身]已知圆C 过定点A (0，a )(a >0)，且被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，若∠MAN ＝45°，则圆C 的方程为________．答案 (x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2 解析 设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，依题意，圆C 的半径r ＝x 2＋(y －a )2，又圆C 被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，所以|y |2＋a 2＝r 2，即y 2＋a 2＝x 2＋(y －a )2，化简得x 2＝2ay .因为∠MAN ＝45°，所以∠MCN ＝90°.从而y ＝a ，x ＝±2a ，圆的半径r ＝x 2＋(y －a )2＝2a ，所以圆C 的方程为(x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2.11．[2016·枣强中学周测]设圆C ：(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1，则圆C 的圆心轨迹方程为________，若k ＝0，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为________．答案 2x －y －1＝0 2155解析 由圆的方程(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1得圆心坐标C (k,2k －1)，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝2k －1，消去k ，得2x －y －1＝0，即圆C 的圆心轨迹方程为2x －y －1＝0；当k ＝0时，圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心到直线l ：3x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1－1|10＝105，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为21－25＝2155.12．[2016·冀州中学预测]已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．答案 1或－7解析 由圆的性质易知，当切线过圆M 的圆心(1,3)时，|PQ |取最大值，这个最大值即为圆M 的直径，设此直线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0(k 显然存在)．由|k －3|k 2＋1＝2得k ＝1或－7.能力组13.[2016·衡水二中月考]圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911答案 C解析 因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.14．[2016·枣强中学模拟]在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差为d ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6,7}B ．{4,5,6}C ．{3,4,5,6}D ．{3,4,5,6,7}答案 A解析 圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，∴圆心为⎝⎛⎭⎪⎫52，0，半径r＝52，则最大的弦为直径，即a n ＝5，当圆心到弦的距离为32，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32为垂足时，弦长最小为4，即a 1＝4，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得d ＝a n －a 1n －1＝5－4n －1＝1n －1，∵16≤d ≤13，∴16≤1n －1≤13，即3≤n －1≤6，∴4≤n ≤7，即n ＝4,5,6,7，选A.15．[2016·衡水二中期末]已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点M 的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．解 (1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r ＝2， 当过点M 的直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心(1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当过点M 的直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34. ∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过点M 的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋(－1)2＝2，解得a ＝0或a ＝43. (3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 16. [2016·武邑中学猜题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a的值．解(1)曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)，故可设圆的圆心坐标为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t ＝1，则圆的半径为32＋(t－1)2＝3.所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a2>0.由根与系数的关系可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.所以y1y2＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2，即2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②可得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.。

第二讲空间点、线、面位置关系的判断年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018Ⅰ卷直线与平面所成角及正方体的截面最值问题·T12命题分析(1)高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择或填空题和一道解答题或一道解答题．(2)选择题一般在第10～11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小．学科素养通过平行、垂直关系的判断与证明重点考查学生直观想象与逻辑推理素养，通过体积计算考查数学运算素养.Ⅱ卷异面直线所成角的求法·T9Ⅲ卷面面垂直的证明·T192017Ⅰ卷面面垂直·T18Ⅱ卷线面平行·T19Ⅲ卷面面垂直·T192016Ⅰ卷面面垂直的证明·T18Ⅱ卷线面垂直证明·T19Ⅲ卷线面平行的证明·T19空间点、线、面位置关系的基本问题授课提示：对应学生用书第37页[悟通——方法结论]空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例．(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( ) 解析：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.答案：A2．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：由正方体的性质，得A 1B 1⊥BC 1，B 1C ⊥BC 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ，又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ，所以A 1E ⊥BC 1，故选C.答案：C3．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：法一：如图(1)，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA ­A 1′B 1′B 1A 1.连接B 1B ′，由长方体性质可知，B 1B ′∥AD 1，所以∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DB ′，由题意，得DB ′＝12＋(1＋1)2＝5，B ′B 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DB ′B 1中，由余弦定理，得DB ′2＝B ′B 21＋DB 21－2B ′B 1·DB 1·cos∠DB 1B ′， 即5＝4＋5－2×25cos ∠DB 1B ′，∴cos ∠DB 1B ′＝55. 故选C.法二：如图(2)，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，∴AD →1＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)， ∴AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， |AD 1→|＝2，|DB 1→|＝5， ∴cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55.故选C. 答案：C4．(2016·高考全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)．解析：根据相关知识，对四个命题逐个判断．对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．答案：②③④判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．平行与垂直关系的证明授课提示：对应学生用书第37页[悟通——方法结论]记住以下几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(5)垂直于同一条直线的两个平面平行．(6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(2018·高考全国卷Ⅲ)(12分)如图，矩形ABM是上异于C，D的点．(1)证明：(2)在使得MC∥平面PBD ？说明理由．[学审题]条件信息想到方法注意什么由信息❶平面ABCD⊥平面CMD 面面垂直的性质可用来找出需要的线面垂直，即BC⊥平面CMD利用面面垂直判定定理及性质定理时一定要注意定理成立条件的完整性，否则会丢分由信息❷证明平面AMD⊥平面BMC 面面垂直的判定方法可证DM ⊥平面BMC由信息❸在AM上找点P使得MC∥平面PBD猜测P为AM中点，再证明[规范解答](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.(2分)因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM. (4分)因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (6分)(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.(8分)证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点． (10分)连接OP ，因为P 为AM 中点， 所以MC ∥OP .又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD .(12分)1．正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条件直接应用．2．证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．3．证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．4．证明的核心是转化，空间向平面的转化，面面⇔线面⇔线线．5．学科素养：利用空间几何体证明平行或垂直关系主要考查学生的直观想象与逻辑推理素养能力．[练通——即学即用]1．(2018·武汉调研)如图，三棱锥P ­ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，PA ⊥PC ，PB ＝2.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ； (2)若PA ＝PC ，求三棱锥P ­ABC 的体积．解析：(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3. 因为PA ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ，所以BO ⊥平面PAC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面PAC ⊥平面ABC .(2)因为PA ＝PC ，PA ⊥PC ，AC ＝2， 所以PA ＝PC ＝ 2.由(1)知BO ⊥平面PAC ，所以V P ­ABC ＝13S △PAC ·BO ＝13×12×2×2×3＝33.2．(2018·沈阳模拟)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，且PM ＝2MC .(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)若AD ＝2，PD ＝3，∠BAD ＝π3，求三棱锥P ­ADM 的体积．解析：(1)证明：法一：如图，过M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .法二：如图，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，N 为垂足，连接BN .由题意，PM ＝2MC ，则DN ＝2NC ，又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形，∴BN ∥AD . ∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥DC .又MN ⊥DC ，MN ⊂平面PDC ，∴PD ∥MN . ∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝NAD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD ∩PD ＝D ，∴平面MBN ∥平面PAD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面PAD . (2)如图，过B 作AD 的垂线，垂足为E . ∵PD ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥BE .又AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD ∩PD ＝D ，∴BE ⊥平面PAD . 由(1)知，BM ∥平面PAD ，∴点M 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离，即BE . 连接BD ，在△ABD 中，AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝π3，∴BE ＝3，则三棱锥P ­ADM 的体积V P ­A D M ＝V M ­PA D ＝13×S △PA D ×BE ＝13×3×3＝ 3.平面图形的折叠问题授课提示：对应学生用书第39页[悟通——方法结论]平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．(2016·高考全国卷Ⅱ)(12分)如图，的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，，EF 交BD 于点H .(1)(2) 求五棱锥D ′­ABCFE 的体积．[学审题] 条信息件想到方法注意什么信息❶：菱形ABCD菱形的边及对角线的关系：对角线垂直、边相等(1)折叠图形中前后“不变的位置关系和数量关系”及“变的位置关系和数量关信息❷：AE ＝CF三角形中平行线等分线段成比例：AE AD ＝CFCD，可证AC ∥EF 系”(2)三角形中三边的关系也可判断两直线垂直(3)证线面垂直的条件：直线垂直于平面内两条相交直线信息❸：△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置 折叠图形中的“变量”与“不变量”，不变量HD ′⊥EF 信息❹：证明AC ⊥HD ′转化为一直线的平行线垂直于另一条直线信息❺：已知AB ，AC ，AE ，OD ′的长 由边长关系证明线线垂直关系：可求DO ，OH 的长，进而由OD ′，OH ，D ′H 的长满足勾股定理可证OD ′⊥OH[规范解答] (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD .(2分)又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CFCD，故AC ∥EF .由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′， (4分)所以AC ⊥HD ′.(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.(6分)由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.(8分)于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2， 故OD ′⊥OH . 由(1)知，AC ⊥HD ′， 又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′.(10分)又OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO ，得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′­ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322. (12分)翻折问题的3个注意点(1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．(2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．(3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．[练通——即学即用](2018·合肥模拟)如图①，平面五边形ABC D E 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60˚，C D ＝E D ＝7，cos ∠E D C ＝57.将△C D E 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到四棱锥P ­ABCE ，如图②.(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面PAB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△C D E 中， ∵C D ＝E D ＝7，cos ∠E D C ＝57，由余弦定理得CE ＝2.连接AC ， ∵AE ＝2，∠AEC ＝60˚， ∴AC ＝2.又AP ＝3， ∴在△PAE 中，PA 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE .同理，AP ⊥AC .而AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ，故AP ⊥平面ABCE . (2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面PAB ∩平面PCE ＝l . ∴AB ∥l .授课提示：对应学生用书第136页 一、选择题1．(2018·天津检测)设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与β相交，故A选项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l∥a，此时α⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C选项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l 与β的位置关系不确定，故D选项错误．选B.答案：B2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的命题是( )A．①②B．②③C．①④D．②④解析：两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．答案：B3．(2018·合肥教学质量检测)已知l，m，n为不同的直线，α，β，r为不同的平面，则下列判断正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩r＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α解析：A：m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.答案：C4．(2018·石家庄教学质量检测)设m，n是两条不同的直线，α，β，r是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥r，m⊥α，则m⊥r；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；④若α⊥r，β⊥r，则α∥β.其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；②，根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确；③m∥α或m⊂α，m∥β或m⊂β，故③错误；④，根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误，所以真命题的个数为1，故选B.答案：B5．如图所示，在四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①②B．②④C．①③D．①④解析：①中，∵平面AB∥平面MNP，∴AB∥平面MNP.②中，若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．③中，易知AB∥MP，∴AB∥平面MNP.④中，易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．故能得到AB∥平面MNP的图形的序号是①③.答案：C6．(2018·大庆模拟)α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是( ) A．α⊥β，且a⊥βB．α∩β＝b，且a∥bC．a∥b，且b∥αD．α∥β，且a⊂β解析：对于A ，B ，C 还可能有a ⊂α这种情况，所以不正确；对于D ，因为α∥β，且a ⊂β，所以由面面平行的性质定理可得a ∥α，所以D 是正确的．答案：D7．如图，在三棱锥S ­ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面D EFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B.4532C ．45D ．45 3解析：取AC 的中点G ，连接SG ，BG (图略)．易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形D EFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形D EFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452. 答案：A8．(2018·哈尔滨联考)直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；②若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α；④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由空间直线与平面平行关系可知①②正确；由线面垂直、线面平行的判定和性质可知③正确；由线面垂直、面面垂直的性质定理可知④正确．故选D.答案：D9．(2018·绵阳诊断)已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥mD．l⊂α，l∥m，且m⊥β解析：依题意知，A，B，C均不能得出α⊥β，对于D，由l∥m，m⊥β得l⊥β，又l⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D.答案：D10．(2018·贵阳模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF 内的射影为O，则下列说法正确的是( )A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析：由题意可知PA、PE、PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.答案：A11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( ) A．BM是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．MB∥平面A1DE解析：取CD的中点F，连接MF，BF，AF(图略)，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确．∵∠A1DE＝∠MFB，MF＝12A1D，FB＝DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB，∴MB是定值，故A正确．∵B是定点，BM是定值，∴M在以B为球心，MB为半径的球上，故B正确．∵A1C在平面ABCD中的射影是点C与AF上某点的连线，不可能与DE垂直，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C.故选C.答案：C二、填空题12．如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN 与BE平行；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE，BN，显然①②正确；对于③，连接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN与BM成60°角，所以③正确；对于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正确．答案：①②③④13.如图，在正方体ABC D­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(把你认为正确结论的序号都填上)．解析：AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60°.答案：③④14．(2018·厦门质检)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，α⊥β，则m∥β；②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n；③m⊂α，n ⊂β，m∥n，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)．解析：对于命题①可以有m⊂β，故不成立；对于命题③可以有α与β相交，故不成立．答案：②④15．(2018·武昌调研)在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线A D与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，如图所示，则AE⊥BD，BD⊥AC.又AE∩AC＝A，所以BD⊥平面AEC，从而有BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①错误．②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在这样的直角三角形BAC，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．③假设A D⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB＜BC，故矛盾，假设不成立，③错误．答案：②三、解答题16．(2018·汕头质量监测)如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90˚，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：AC⊥平面BCE；(3)求三棱锥E­BCF的体积．解析：(1)证明：因为四边形ABEF为矩形，所以AF∥BE，又BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)证明：过C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，所以四边形ADCM为矩形．所以AM＝MB＝2，又AD＝2，AB＝4，所以AC＝22，CM＝2，BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(3)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM.又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM ⊥平面ABEF .故V E ­BCF ＝V C ­BEF ＝13×12×BE ×EF ×CM ＝16×2×4×2＝83. 17．(2018·广州五校联考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PD ，∠BAD ＝60˚，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(1)求证：AD ⊥平面PBE ；(2)若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ；(3)若V P ­BCDE ＝2V Q ­ABC D ，试求CP CQ的值．解析：(1)证明：由E 是AD 的中点，PA ＝PD 可得AD ⊥PE .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60˚，所以AB ＝BD ，又E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE ，又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PBE .(2)证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OQ (图略)．因为O 是AC 的中点， Q 是PC 的中点，所以OQ ∥PA ，又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，所以PA ∥平面BDQ .(3)设四棱锥P ­BCDE ，Q ­ABCD 的高分别为h 1，h 2.所以V P ­BCDE ＝13S 四边形BCDE h 1，V Q ­ABCD ＝13S 四边形ABCD h 2. 又V P ­BCDE ＝2V Q ­ABCD ，且S 四边形BCDE ＝34S 四边形ABCD ，所以CP CQ ＝h 1h 2＝83. 18．(2018·郑州第二次质量预测)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1.现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC .(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离．解析：(1)当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC . 理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP .在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12， 在△ADB 中，AP PB ＝12，∴AD ∥PN . ∵AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ，∴AD ∥平面MPC .(2)∵平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝D M ，AM ⊥DM ，∴AM ⊥平面MBCD .∴V P ­MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝16. 在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52，MC ＝2， 又PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， ∴S △MPC ＝12×2× ⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝64. ∴点B 到平面MPC 的距离为d ＝3V P ­MBC S △MPC ＝3×1664＝63.。

第二讲直线与平面的位置关系一、知识点1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.4如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直. 5直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.6直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.二、典型例题例1如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .QAB CDMP FE NGA BCDM FE N例2】 如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .AA DBC BCD1111EFGMN例3已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.ABCD E O MNP（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角.例4在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b .AA CB BC E G F111（1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：A 1C 1⊥AB ；（3）求点B 1到平面ABC 1的距离.例5已知直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，O 、A 为垂足.求证：a ∥b .Oα例6已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .CABP.OE例7在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C .AABBC CDD1111例8如图8—45, AB 是圆O 的直径,C 是圆上异于A,B 的任意一点,ABC PA 平面⊥,PC AF ⊥,求证PBC AF 平面⊥例9如图8—49, ABCD －1111D C B A 是正方形,求证BD C C A 11面⊥ 例10正方形ABCD －1111D C B A 中, 求()11BD 与面ABCD 所成角的正切值.(2)所成的角与面111D ABC BA ()所成角的正切值与面1113ACD D B例11.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m ⊥βB.α∩β=n 且m ∥nC.m ∥n 且n ∥αD.α∥β且m β例12.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④例13.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定abcl αβγ例14设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS =8，BS =9，CD =34，①当S 在α、β之间时，SC =_____________，②当S 不在α、β之间时，SC =_____________.例15设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________.例16在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.三、练习题ABCDMN..1.“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.给出下列命题，其中正确的两个命题是①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α ④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④3.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方 形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A.SG ⊥平面EFGB.SD ⊥平面EFGC.FG ⊥平面SEFD.GD ⊥平面SEF 4.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_____________时，有A 1C ⊥B 1D 1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）A AD DB BC C11115.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则D D AA C CB B1111（1）A 点到CD 1的距离为________； （2）A 点到BD 1的距离为________；（3）A 点到面BDD 1B 1的距离为_____________； （4）A 点到面A 1BD 的距离为_____________； （5）AA 1与面BB 1D 1D 的距离为__________.6.两条直线a 、b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是 A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α7.a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过A 有且只有一个平面平行于a 、b B.过A 至少有一个平面平行于a 、b C.过A 有无数个平面平行于a 、b D.过A 且平行a 、b 的平面可能不存在8已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）9.已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，则AB 到平面α的距离为__________.10.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE =36a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD . A BC DEPGF11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .ABCDMNPQ R。