1.自反性：
2.对称性：
3.传递性：
则称R是定义在A上的一个等价关系。
例如，设，定义A上的关系R如下：
其中叫做x与y模 3 同餘，即x除以 3 的餘数与y除以3 的餘数相等。不难验证R为A上的等价关系。
。
等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造集合。在X中的给定等价关系 ~ 的所有等价类的集合表示为X/ ~ 并叫做X除以 ~ 的商集。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是如果X是有限的并且等价类都是等势的，则X/~
?如果X是轿车的集合，而~ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。X / ~ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
?考虑在整数集合Z上的“模2”等价关系: x~y当且仅当x-y是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: [0] 由所有偶数组成，[1] 由所有奇数组成。在这个关系下[7] [9] 和[1] 都表示Z / ~ 的同一个元素。
?有理数可以构造为整数的有序对(a,b) 的等价类的集合，b不能为零，这里的等价关系定义为
(a,b) ~ (c,d) 当且仅当ad = bc。
这里的有序对(a,b) 的等价类可以被认同于有理数a/b。
[编辑]性质
因为等价关系的a在 [a] 中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X 的所有等价类的集合形成X的划分: 所有X的元素属于一且唯一的等价类。反过来，X的所有划分也定义了在X上等价关系。
它还得出等价关系的性质
a ~ b当且仅当[a] = [b]。
如果 ~ 是在X上的等价关系，而P(x) 是x的元素的一个性质，使得只要x~ y, P(x) 为真如果P(y) 为真，则性质P被称为良好定义的或在关系 ~ 下“类恒定”的。常见特殊情况出现在f是从X到另一个集合Y的时候；如果x1 ~ x2蕴涵f(x1) = f(x2) 则f被称为在 ~ 下恒定的类，或简单称为在 ~ 下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数f的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不变量。
。由矩阵组成的
，对所有矩阵及矩阵
。矩阵AB = I n( = BA)。
所有矩阵在乘法上组成一个和非零向量满足，则为
是矩阵的对角线元素之和，也是其
1.A可逆;A的反矩阵存在。
2.det（A）≠0.
3.rank（A）= n.
4.Null(A) = 0.
5.A的特征值中没有0。
6.对任意b属于F n，A x = b有唯一解。
7.A x = 0只有平凡解。
8.A T A可逆。
9.A与单位矩阵行（列）等价。
10.A的行向量或列向量张成F n.
11.A的零空间只有零向量。
12.A的值域为F n.
13.A的行（列）向量构成F n (F n)中向量的线性无关集。
矩阵
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目录
[隐藏]
? 1 历史
? 2 用词
? 3 定义和相关符号
o 3.1 一般环上的矩阵
o 3.2 分块矩阵
? 4 特殊矩阵类别
? 5 矩阵运算
? 6 线性变换，秩，转置
?7 雅可比（Jacobian）行列式
?8 参见
?9 参考文献
?10 外部链接
[
可分割成4个2×2的矩阵
。
[编辑]矩阵运算
给出m×n矩阵A和B，可定义它们的和A + B为一m×n矩阵，等i,j项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵A及一数字c，可定义标量积cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。例如
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积AB是一个m×p矩阵，其中
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有i及j。
例如
此乘法有如下性质：
?(AB)C = A(BC)对所有k×m矩阵A, m×n矩阵B及n×p矩阵C（"结合律"）.
?(A + B)C = AC + BC对所有m×n矩阵A及B和n×k矩阵C（"分配律"）。
?C(A + B) = CA + CB对所有m×n矩阵A及B和k×m矩阵C（"分配律"）。
要注意的是：交换律不一定成立，即有矩阵A及B使得AB ≠ BA。
对其他特殊乘法，见矩阵乘法。
[编辑]线性变换，秩，转置
矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
以R n表示n×1矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换f : R n->R m都存在唯一m×n矩阵A使得对所有R n中的元素x，f(x)= Ax。这矩阵A"代表了"线性变换f。今另有k×m矩阵B代表线性变换g : R m->R k，则矩阵积BA代表了线性变换g o f。
矩阵A代表的线性代数的映像的维数称为A的矩阵的秩。矩阵秩亦是A的行（或列）生成空间的维数。
m×n矩阵A的转置是由行列交换角式生成的n×m矩阵A tr（亦记作A T或t A），即对所有i、j，A tr[i, j] = A[j, i] 。若A代表某一线性变换，则A tr表示其对偶算子。
转置有以下特性：
(A + B)tr = A tr + B tr，(AB)tr = B tr A tr。
“关系”一词，在日常生活中十分常见，在学校，有同学关系、师生关系、同事关系等； 在家庭中，有兄弟姐妹关系，父子关系、母女关系等；在一般的工作单位，有师徒关系、上 下级关系等等。在研究科学中也有很多关系，如数学中的数的大小比较关系、整数中整除关 系、函数关系、集合中的包含关系；计算机软件的程序与其子程序关系等。 为了数学的方法来研究这类关系，我们将用集合论的观点来描述这类关系。 例如，集合{}e d c b a A ,,,,=，为五个人组成的集合，其中他们中，a 是b 的父亲，c 是d 的 父亲，c 也是e 的父亲。现将集合A 的父子关系用有序对表示，即为),(),,(),,(e c d c b a 。把 这三个有序对组成一个集合{}),(),,(),,(e c d c b a R =，我们把R 这种由集合A 导出的有序 对组成的集合R ，叫做A 上关系 R 。 我们称集合R 为集合A 的父子关系集合（简称关系）。 我们把13个数组成的集合{}10,,3,2,1 =A 也建立几个关系。 二、建立关系举例： 1、 它们之间的小于等于关系R ； ()()()()()()(){},13,13,13,12,,3,2,2,2,3,1,2,1,1,1 =R 2、 它们除以3以后余数相同的关系1R ； ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()? ?????=,10,10,7,10,4,10,1,10,9,9,6,9,3,9,8,8,5,8,2,8,10,7,7,7,4,7,1,7,9,6,6,6,3,6,8,5,5,5,2,5,10,4,7,4,4,4,1,4,9,3,6,3,3,3,8,2,5,2,2,2,10,1,7,1,4,1,1,12R 3、它们之间的整除关系2R ； ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()? ?????=10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,10,5,5,5,8,4,4,4,9,3,6,3,3,3,10,2,8,2,6,2,4,2,2,2,10,1,2,1,1,13 R 注意：关系有两大类关系：A 到B 的关系，A 上的关系；我们主要讨论A 上的关系。 三、关系的几种表示方法： 1、图形表示； 2、表格表示； 3、矩阵表示； 比如：{ }5,4,3,2,1=A 上的R 关系为()()()()()()(){},4,5,2,4,5,3,3,3,3,2,2,22,1=R 则??????? ? ??=01000000101010000110 00010R A
1.某程序规定："输入三个整数a 、b 、c 分别作为三边的边长构成三角形。通过程序 判定所构成的三角形的类型，当此三角形为一般三角形、等腰三角形及等边三角形时，分别作计算… "。用等价类划分方法为该程序进行测试用例设计。（三角形问题的复杂之处在于输入与输出之间的关系比较复杂。） 分析题目中给出和隐含的对输入条件的要求： （1）整数（2）三个数（3）非零数（4）正数 （5）两边之和大于第三边（6）等腰（7）等边 如果a 、b 、c 满足条件（1 ）~ （4 ），则输出下列四种情况之一： 1)如果不满足条件（5），则程序输出为" 非三角形" 。 2)如果三条边相等即满足条件（7），则程序输出为" 等边三角形" 。 3)如果只有两条边相等、即满足条件（6），则程序输出为" 等腰三角形" 。 4)如果三条边都不相等，则程序输出为" 一般三角形" 。 列出等价类表并编号
覆盖有效等价类的测试用例： a b c 覆盖等价类号码 3 4 5 （1）--（7） 4 4 5 （1）--（7），（8） 4 5 5 （1）--（7），（9） 5 4 5 （1）--（7），（10）4 4 4 （1）--（7），（11）
覆盖无效等价类的测试用例： 2.设有一个档案管理系统，要求用户输入以年月表示的日期。假设日期限定在1990年1 月~2049年12月，并规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。 现用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的"日期检查功能"。（不考虑2月的问题） 1)划分等价类并编号,下表等价类划分的结果
2)设计测试用例，以便覆盖所有的有效等价类在表中列出了3个有效等价类，编号分别 为①、⑤、⑧，设计的测试用例如下： 测试数据期望结果覆盖的有效等价类 200211 输入有效①、⑤、⑧ 3)为每一个无效等价类设计一个测试用例，设计结果如下： 测试数据期望结果覆盖的无效等价类 95June 无效输入② 20036 无效输入③ 2001006 无效输入④ 198912 无效输入⑥ 200401 无效输入⑦ 200100 无效输入⑨ 200113 无效输入⑩ 3.NextDate 函数包含三个变量：month 、day 和year ，函数的输出为输入日期后一天 的日期。例如，输入为2006年3月7日，则函数的输出为2006年3月8日。要求输入变量month 、day 和year 均为整数值，并且满足下列条件： ①1≤month≤12 ②1≤day≤31 ③1920≤year≤2050 1)有效等价类为： M1＝{月份：1≤月份≤12} D1＝{日期：1≤日期≤31} Y1＝{年：1812≤年≤2012} 2)若条件①~ ③中任何一个条件失效，则NextDate 函数都会产生一个输出，指明相 应的变量超出取值范围，比如"month 的值不在1-12 范围当中" 。显然还存在着大量的year 、month 、day 的无效组合，NextDate 函数将这些组合作统一的输出：" 无效输入日期" 。其无效等价类为： M2＝{月份：月份<1} M3＝{月份：月份>12} D2＝{日期：日期<1} D3＝{日期：日期>31} Y2＝{年：年<1812} Y3＝{年：年>2012} 弱一般等价类测试用例 月份日期年预期输出 6 15 1912 1912年6月16日 强一般等价类测试用例同弱一般等价类测试用例 注：弱--有单缺陷假设；健壮--考虑了无效值
1.自反性： 2.对称性： 3.传递性： 则称R是定义在A上的一个等价关系。 例如，设，定义A上的关系R如下： 其中叫做x与y模 3 同餘，即x除以 3 的餘数与y除以3 的餘数相等。不难验证R为A上的等价关系。 。 等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造集合。在X中的给定等价关系 ~ 的所有等价类的集合表示为X/ ~ 并叫做X除以 ~ 的商集。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是如果X是有限的并且等价类都是等势的，则X/~
?如果X是轿车的集合，而~ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。X / ~ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。 ?考虑在整数集合Z上的“模2”等价关系: x~y当且仅当x-y是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: [0] 由所有偶数组成，[1] 由所有奇数组成。在这个关系下[7] [9] 和[1] 都表示Z / ~ 的同一个元素。 ?有理数可以构造为整数的有序对(a,b) 的等价类的集合，b不能为零，这里的等价关系定义为 (a,b) ~ (c,d) 当且仅当ad = bc。 这里的有序对(a,b) 的等价类可以被认同于有理数a/b。 [编辑]性质 因为等价关系的a在 [a] 中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X 的所有等价类的集合形成X的划分: 所有X的元素属于一且唯一的等价类。反过来，X的所有划分也定义了在X上等价关系。 它还得出等价关系的性质
a ~ b当且仅当[a] = [b]。 如果 ~ 是在X上的等价关系，而P(x) 是x的元素的一个性质，使得只要x~ y, P(x) 为真如果P(y) 为真，则性质P被称为良好定义的或在关系 ~ 下“类恒定”的。常见特殊情况出现在f是从X到另一个集合Y的时候；如果x1 ~ x2蕴涵f(x1) = f(x2) 则f被称为在 ~ 下恒定的类，或简单称为在 ~ 下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数f的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不变量。 。由矩阵组成的 ，对所有矩阵及矩阵
等价关系与偏序关系 何英华 hyh@https://www.doczj.com/doc/8018796032.html, 集合论与图论 04
目录 ?4.1 等价关系 –等价关系 –等价类 –商集 –集合的划分 ?4.2 偏序关系
一、等价关系 ?定义：设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。设R是一个等价关系，若
二、等价类 ?定义：设R为非空集合A上的等价关系，令x∈A [x] R ={y|y∈A∧xRy} 称[x] R 为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简 记为[x]。 ?从以上定义可以知道，x的等价类是A中所有与x 等价的元素构成的集合。例1中的等价类是： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
等价类的性质 ?定理：设R是非空集合A上的等价关系，则 1）?x∈A，[x]是A的非空子集。 2）?x,y∈A，如果xRy，则[x]=[y]。 3）?x,y∈A，如果xRy不成立，则[x]与[y]不交。4）∪{[x]|x∈A}=A 证明： 1）x∈[x]，[x] ?A。 2）集合相等。 3）反正法。 4）集合相等。
三、商集 ?定义：设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记做A/R，即A/R={[x] |x∈A} R ?例1中的商集为{{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}
分析题目中给出和隐含的对输入条件的要求： （1）整数 （2）三个数 （3）非零数 （4）正数 （5）两边之和大于第三边 （6）等腰 （7）等边 如果 a 、 b 、 c 满足条件（ 1 ） ~ （ 4 ），则输出下列四种情况之一： 1)如果不满足条件（5），则程序输出为 " 非三角形 " 。 2)如果三条边相等即满足条件（7），则程序输出为 " 等边三角形 " 。 3)如果只有两条边相等、即满足条件（6），则程序输出为 " 等腰三角形 " 。 4)如果三条边都不相等，则程序输出为 " 一般三角形 " 。 列出等价类表并编号 覆盖有效等价类的测试用例： a b c 覆盖等价类号码 3 4 5 （1）--（7） 4 4 5 （1）--（7），（8） 4 5 5 （1）--（7），（9） 5 4 5 （1）--（7），（10） 4 4 4 （1）--（7），（11） 覆盖无效等价类的测试用例： 2. 设有一个档案管理系统，要求用户输入以年月表示的日期。假设日期限定在1990 年1月~2049年12月，并规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。现用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的"日期检查功能 "。（不考虑2月的问题） 1)划分等价类并编号,下表等价类划分的结果
2)设计测试用例，以便覆盖所有的有效等价类在表中列出了3个有效等价类，编号分 别为①、⑤、⑧，设计的测试用例如下： 测试数据期望结果覆盖的有效等价类 200211 输入有效①、⑤、⑧ 3)为每一个无效等价类设计一个测试用例，设计结果如下： 测试数据期望结果覆盖的无效等价类 95June 无效输入② 20036 无效输入③ 2001006 无效输入④ 198912 无效输入⑥ 200401 无效输入⑦ 200100 无效输入⑨ 200113 无效输入⑩ 3.NextDate 函数包含三个变量：month 、 day 和 year ，函数的输出为输入日期 后一天的日期。例如，输入为 2006年3月 7日，则函数的输出为 2006年3月8日。 要求输入变量 month 、 day 和 year 均为整数值，并且满足下列条件： ①1≤month≤12 ②1≤day≤31 ③1920≤year≤2050 1)有效等价类为： M1＝{月份：1≤月份≤12} D1＝{日期：1≤日期≤31} Y1＝{年：1812≤年≤2012} 2)若条件① ~ ③中任何一个条件失效，则 NextDate 函数都会产生一个输出，指明相 应的变量超出取值范围，比如 "month 的值不在 1-12 范围当中 " 。显然还存在着大量的 year 、 month 、 day 的无效组合， NextDate 函数将这些组合作统一的输出： " 无效输入日期 " 。其无效等价类为： M2＝{月份：月份<1} M3＝{月份：月份>12} D2＝{日期：日期<1} D3＝{日期：日期>31} Y2＝{年：年<1812} Y3＝{年：年>2012} 弱一般等价类测试用例 月份日期年预期输出 6 15 1912 1912年6月16 日 强一般等价类测试用例同弱一般等价类测试用例
一、等价类划分法实例： 1.输入条件为某个范围的取值： 例： 在某大学学籍管理信息系统中，假设学生年龄的输入范围为16～40，则根据黑盒测试中的等价类划分技术，它的有效和无效等价类分别为？ 2.输入条件为输入值的集合： 例： 假设PowerPoint打印输出幻灯片的页数分别为{1，2，3，6，9 }，则根据黑盒测试中的等价类划分技术，它的有效和无效等价类分别为？ 3．输入为BOOL变量，它的有效和无效等价类分别为？ 4．输入条件中由若干规则组成，其中各个规则都是独立的：例： 一条输入的字符串中不能含有“#”和“&”两个特殊字符（其他字符都是合法的）的规则，它的有效和无效等价类分别为？5．输入条件由一个合法的规则组成： 例： 某个变量的取值必须为100，那么它的有效和无效等价类分别为？ 6．为输入条件的组合关系划分等价类： 输入条件同时满足ｘ＞10和y<200两个判断表达式决定，那
么它的有效和无效等价类分别为？ 二、边界值分析法实例： １．大小范围边界 例： 若10≤ｘ≤200，利用边界值分析法需要选择哪些测试数据？ 若10 定义10.6.1对非空集合上的关系，如果是自反的、对称的和传递的，则称为上的等价关系。 等价关系的例子很多，如平面上三角形集合中，三角形的相似关系是等价关系；上海市的居民的集合中，住在同一区的关系也是等价关系。 等价关系的关系图具有以下特征： 1．每个结点都由自回路，即R是自反的； 2．两个结点a,b之间若有从a指向b的弧，就有从b指向a的弧，即R是对称的； 3．若有从a指向b的弧，且有从b指向c的弧，就有从a指向c的弧，即R是传递的。 第9章给出了用平面坐标系中的矩形表示笛卡儿积的图形表示法。显然可以用正方形表示 ，如图10.6.2(a)所示。A上的关系是的子集，因此可以用正方形的子集表示。A上的等价关系可以用正方形的一条对角线和线上的若干正方形表示。如图10.6.2(b)所示。但图10.6.2(c)所表示的关系不是等价关系。它包括了对角线，所以有自反性。它以对角线为对称轴，所以有对称性。但它没有传递性。因为R中的a和b点对应的有序对，经传递得到c点对应的有序对应在R中，但c点不在R中。 图10.6.2 例1在非空集合A上的恒等关系和全关系都是等价关系。在所有谓词公式的集合上的等值关系也是等价关系。 例2集合上的关系 。 其中表示可被3整除。 对任意的可被3整除。若可被3整除，则也可被3整除。若和 可被3整除，则可被3整除。所以，R具有自反性、对称性和传递性， R是A上的等价关系。 R的关系图如图10.6.1所示。在图中，A的元素被分成三组，每组中任两个元素之间都有关系，而不同组的元素之间都没有关系。这样的组称为等价类。 图10.6.1 定义10.6.2R是非空集合A上的等价关系，对任意的，令 则称集合为x关于R的等价类，简称x的等价类，也可简记作[x]或。 例3对例2的等价关系R,有三个不同的等价类: ， ， 。 A的8个元素各有一个等价类。各等价类之间，或者相等，或者不相交。而且所有等价类的并集就是A。 整数集合Z上的模n等价关系，即 可以根据任何整数除以n（n为正整数）所得余数进行分类，构成n个等价类，记作 即 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒ 定理10.6.1R是非空集合A上的等价关系，对任意的，成立 （1）且， （2）若，则， （3）若，则， 第5章 等价关系与偏序关系 一、选择题（每题3分） 1、设Z 为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ A ） A 、)(,小于关系：<>< §1.4等价关系 初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间． 定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△． 定义1.4.2 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果△(X)R，即对于任何x∈X，有xRx；关系R称为对称的，如果，即对于任何x，y∈X，如果xRy则 yRx；关系R称为反对称的，如果，即对于任何x，y∈X，xRy和yRx不能同 时成立；关系R称为传递的，如果R R R，即对于任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz． 集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系． 容易验证集合X中的恒同关系△（X）是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集 {（A，B）|A，B∈P(X)，A=B} 从定理1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）×P(X)的子集 {（A，B）|A，B∈P (X)，A B} 根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X)中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集 {(A，B)|A，B∈P(X)，A B,A≠B} 根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X)中的一个等价关系． 概念问题 二进制关系：A和B的笛卡尔积的子集称为从A到B的二进制关系。集合上的关系：从a到a的关系。 关系的性质 反射，抗反射，对称，抗对称和传输。 没有列出概念，但应注意以下方面： （1）所有属性的概念都是逻辑表达式，即判断是非，必须严格按照定义判断是非； （2）它们都是用全名量词表示的逻辑表达式，因此必须为真才能保持一致； （3）它们全部由隐含条件语句表示。如果前提为假，则它也为真，也就是说，所有未出现在真之后再为假的内容都为真。 关系代表 （1）设置符号（适合定义和表示）； （2）图表表示（适合直观感觉和观察特性）； （3）关系矩阵表示（适合计算）；特别地，关系矩阵是布尔矩阵，即逻辑矩阵，其描述A中的第i个元素是否与B中的第j个元素有关。 关系运作 （1）交叉，合并与区别 R1?R2————M1ùM2 R1èR2————M1úM2 （2）综合 合成操作非常重要且容易出错。注意其顺序以及对集合，图形和矩阵的相应计算。 自我及其综合运算形成力量。 例如，R 2对应于由点直接连接的边，这些点可以从图形上的每个点分两步到达。 另一个例子 R1°R2 ————M2M1 R ^ 2 ————M ^ 2 关系的应用 （1）n元关系的应用 一般来说，当2元关系扩展到N元关系时，它就成为数据库的基本框架。N元有序对是N个字段的记录，因此关系操作对应于数据库操作。我们只知道这部分内容（与数据库重复）。 （2）封闭的应用 首先，介绍了三种闭包的概念。如果用一句话来概括，R的自反/对称/传递闭包是包含R的自反/对称/传递关系中最小的。 然后其应用着重于掌握传递闭包的应用，它可以显示传递性直接通过连接边可到达的点的连通性。 然后讨论三个闭包的计算： （3）等价关系的应用 首先是等价关系的概念，以及等价类和划分的扩展概念。 其次，等价关系的应用仅仅是分类。因为等价与划分之间存在一一对应的关系。 A.如果一个关系是集合a上的等价关系，写出每个元素的等价类，然后删除重复项，则由非重复等价类组成的集合就是原始集合a的除法。B，如果子集族是集合A的划分，则根据“属于同一个子集的人如果有关系就可以配对”的规则，二元有序对的集合必须满足反射性，对称性和可传递性，是等价的关系。 （4）偏序关系的应用 第一个是偏序的概念，并扩展了“小于或等于”，“小于”和“可比”。然后是整个顺序，然后是良好顺序（自己比较概念）。 假设有一个把数字串转变成整数的函数。运行程序的计算机字长16位，用二进制补码表示整数。这个函数是用PASCAL语言编写的，它的说明如下： function strtoint(dstr：shortstr)：integer； 函数的参数类型是shortstr，它的说明是； type shortstr＝array[1..6]of char； 被处理的数字串是右对齐的，也就是说，如果数字串比六个字符短，则在它的左边补空格。 如果数字串是负的，则负号和最高位数字紧相邻（负号在最高位数字左边一位）。 考虑到PASCAL编译程序固有的检错功能，测试时不需要使用长度不等于6的数组做实在参数，更不需要使用任何非字符数组类型的实在参数。 分析这个程序的规格说明，可以划分出如下等价类： 有效输入的等价类有 ⑴1～6个数字字符组成的数字串（最高位数字不是零）； ⑵最高位数字是零的数字串； ⑶最高位数字左邻是负号的数字串； 无效输入的等价类有 ⑷空字符串（全是空格）； ⑸左部填充的字符既不是零也不是空格； ⑹最高位数字右面由数字和空格混合组成； ⑺最高位数字右面由数字和其他字符混合组成； ⑻负号与最高位数字之间有空格； 合法输出的等价类有 ⑼在计算机能表示的最小负整数和零之间的负整数； ⑽零； ⑾在零和计算机能表示的最大正整数之间的正整数； 非法输出的等价类有 ⑿比计算机能表示的最小负整数还小的负整数； ⒀比计算机能表示的最大正整数还大的正整数。 因为所用的计算机字长16位，用二进制补码表示整数，所以能表示的最小负整数是-32768，能表示的最大正整数是32767。 根据上面划分出的等价类，可以设计出下述测试方案（注意，每个测试方案由三部分内容组成）： ⑴l～6个数字组成的数字串，输出是合法的正整数。 输入：‘1’ 预期的输出：1 ⑵最高位数字是零的数字串，输出是合法的正整数。 输入：‘000001’ 预期的输出：1 ⑶负号与最高位数字紧相邻，输出合法的负整数 输入：‘-00001’ 预期的输出：-1 ⑷最高位数字是零，输出也是零。 输入：‘000000’ 预期的输出：0 等价关系（4学时） 【教学目的】 了解、掌握等价关系及相应的等价类与集合划分的基本概念及例子 【教学要求】 正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；给定A上的等价关系R，会求所有的等价类和商集A/R，或者求与R相对应的划分；反之给定集合 A上的划分π，求对应于π的等价关系 【教学重点】 等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明； 【教学难点】 如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系 【教学方法】 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 【教学手段】 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 【课型】新授课 教学过程 4.1一种特殊的二元关系——等价关系(Equivalence Relation). 一、等价关系(Equivalence Relation) 1、定义4.18 设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的, 则称R为A 上的等价关系.设R是一个等价关系, 若 等价类划分 商品之间的等价交换 1、价值规律的基本内容 ①商品生产要遵循商品的价值量由社会必要劳动时间决定——商品的价值量 由生产商品的社会必要劳动时间决定。 ②商品交换要遵循等价交换原则——以价值量为基础，实行等价交换。 2、价值规律表现形式：价格受供求关系影响围绕价值上下波动。 ①价值规律的表现形式也称价值规律的实现形式和发生作用的形式。 ②等价交换是商品交换的一个重要原则。“等价”是指交换双方商品的价值都 要相等，即各自商品所消耗的社会必要劳动时间相等。货币出现以后，商品的价格却由货币来衡量，表现为价格。等价交换也就是要求商品的价格应该与价值相符合，因为价格由价值决定。 ③在现实生活中，价格与价值经常不一致，这是由商品的供求关系的变化引 起的，使价格上涨或下跌；反过来，价格的上涨或下跌也会影响供求关系，使供求趋于平衡，从而使价格接近价值。 ④由于价格与供求之间存在着相互制约的关系，这样就会产生以下情况： 第一：价格的上涨和下跌，都不会距离价值太远，它总是围绕价值上下波动。 第二：从一个较长时间来看，从全社会来看，商品的平均价格还是与它的价值相一致。 ⑤价格围绕价值上下波动表明：社会必要劳动时间决定价值量这一内容，始 终作为一种趋势，作为一个规律在贯彻着。所以，价值规律的表现形式不仅不违背规律，反而正是价值规律的表现形式，而且是唯一的表现形式。价值规律基本内容和表现形式是一致的，价格围绕价值上下波动就是价值规律基本内容的外在表现，价格和价值相符的本质，在实际交换中只能通过价格围绕价值波动这种形式才能实现。价格最终还是由价值决定。 等价类划分 等价类划分法是一种典型的、重要的黑盒测试方法，它将程序所有可能的输入数据（有效的和无效的）划分成若干个等价类。然后从每个部分中选取具有代表性的数据当做测试用例进行合理的分类，测试用例由有效等价类和无效等价类的代表组成，从而保证测试用例具有完整性和代表性。利用这一方法设计测试用例可以不考虑程序的内部结构，以需求规格说明书为依据，选择适当的典型子集，认真分析和推敲说明书的各项需求，特别是功能需求，尽可能多地发现错误。等价类划分法是一种系统性的确定要输入的测试条件的方法。由于等价类是在需求规格说明书的基础上进 一、等价类划分 等价类划分，就是首先将输入的各种情况划分成若干等价类。所谓等价类，是指将某个输入域的集合，在这个集合中每个输入条件都是等效的，如果其中一个的输入不能导致问题发生，那么集合中其它输入条件进行测试也不可能发现错误。 划分等价类的方法：下面给出六条确定等价类的原则。 1、在输入条件规定了取值范围或值的个数的情况下，则可以确立一个有效等价类和两个无效等价类。 2、在输入条件规定了输入值的集合或者规定了“必须如何”的条件的情况下，可确立一个有效等价类和一个无效等价类。 3、在输入条件是一个布尔量的情况下，可确定一个有效等价类。 4、在规定了输入数据的一组值（假定n个），并且程序要对每一个输入值分别处理的情况下，可确立n个有效等价类和一个无效等价类。 5、在规定了输入数据必须遵守的规则的情况下，可确立一个有效等价类（符合规则）和若干个无效等价类（从不同角度违反规则）。 6、在确知已划分的等价类中各元素在程序处理中的方式不同的情况下，则应再将该等价类进一步的划分为更小的等价类。 根据等价类划分原则，将等价类填入下表。 1、如果输入条件规定了取值范围或值的格式，则可以确定一个有效等价类和两个无效等价类。例如：程序规格说明提到的输入条件包括“......项数可以从1到999”，则可以去有效等价类为“1<项数<999”, 无效等价类为“项数<1”及“项数>999”。 2、输入条件规定了输入值的集合，或是规定了必须如何的条件，则可以确定一个有效等价类和一个无效等价类。例如，某程序规格说明中提到输入条件包括”...统计全国各省，市，自治区的人口”，则应该取“国内省，市，自治区”为有效等价类，非国内省，市，自治区为无效等价类。 3、如果我们确知，已经划分的等价类中各个元素在程序中的处理方式不同的，则应该将此等价类进一步划分。 等价类划分完成后，可以按照以下形式列出等价类表。 具体例子： 1.PowerPoint的打印功能界面做例子，用等价类方法，划分等价类； 输入条件有效等价类无效等价类 打印机名称可选择的打印机 打印到文件TRUE、FALSE 打印范围全部、当前幻灯片、幻灯 片 幻灯片不大于幻灯片总数的自小于1的整数 1.等价类划分法 等价类划分是一种典型的黑盒测试方法，使用这一方法时，完全不考虑程序的内部结构，只依据程序的规格说明来设计测试用例。 等价类划分方法把所有可能的输入数据，即程序的输入域划分成若干部分，然后从每一部分中选取少数有代表性的数据做为测试用例。 使用这一方法设计测试用例要经历划分等价类（列出等价类表）和选取测试用例两步。2.划分等价类： 等价类是指某个输入域的子集合。在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其它值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。等价类划分可有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。 等价类的划分有两种不同的情况： ①有效等价类：是指对于程序的规格说明来说，是合理的，有意义的输入数据构成的集合。利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明中所规定的功能和性能。 ②无效等价类：是指对于程序的规格说明来说，是不合理的，无意义的输入数据构成的集合。对于具体的问题，无效等价类至少应有一个，也可能有多个。 在设计测试用例时，要同时考虑有效等价类和无效等价类的设计。 3.划分等价类的标准： 1）完备测试、避免冗余； 2）划分等价类重要的是：集合的划分，划分为互不相交的一组子集，而子集的并是整 个集合； 3）并是整个集合：完备性； 4）子集互不相交：保证一种形式的无冗余性； 5）同一类中标识（选择）一个测试用例，同一等价类中，往往处理相同，相同处理映 射到"相同的执行路径". 4.划分等价类的原则。 (1) 如果输入条件规定了取值范围，或值的个数，则可以确立一个有效等价类和两个无效等价类。 例如，在程序的规格说明中，对输入条件有一句话： “…… 项数可以从1到999 ……” 则有效等价类是“1≤项数≤999” 两个无效等价类是“项数＜1”或“项数＞999”。在数轴上表示成: (2) 如果输入条件规定了输入值的集合，或者是规定了“必须如何”的条件，这时可确立一个有效等价类和一个无效等价类。 例如，在Pascal语言中对变量标识符规定为“以字母打头的……串”。那么所有以字母打头的构成有效等价类，而不在此集合内（不以字母打头）的归于无效等价类。 等价类划分法实例 1.某程序规定："输入三个整数 a 、 b 、 c 分别作为三边的边长构成三角形。通过程序 判定所构成的三角形的类型，当此三角形为一般三角形、等腰三角形及等边三角形时，分别作计算… "。用等价类划分方法为该程序进行测试用例设计。（三角形问题 的复杂之处在于输入与输出之间的关系比较复杂。） 分析题目中给出和隐含的对输入条件的要求： （1）整数（2）三个数（3）非零数（4）正数 （5）两边之和大于第三边（6）等腰（7）等边 如果 a 、 b 、 c 满足条件（ 1 ） ~ （ 4 ），则输出下列四种情况之一： 1)如果不满足条件（5），则程序输出为 " 非三角形 " 。 2)如果三条边相等即满足条件（7），则程序输出为 " 等边三角形 " 。 3)如果只有两条边相等、即满足条件（6），则程序输出为 " 等腰三角形 " 。 4)如果三条边都不相等，则程序输出为 " 一般三角形 " 。 列出等价类表并编号 覆盖有效等价类的测试用例： a b c 覆盖等价类号码 3 4 5 （1）--（7） 4 4 5 （1）--（7），（8） 4 5 5 （1）--（7），（9） 5 4 5 （1）--（7），（10） 4 4 4 （1）--（7），（11） 覆盖无效等价类的测试用例： 2.设有一个档案管理系统，要求用户输入以年月表示的日期。假设日期限定在1990年 1月~2049年12月，并规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。现用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的"日期检查功能"。（不考虑2月的问题） 1)划分等价类并编号,下表等价类划分的结果 输入等价类有效等价类无效等价类 离散数学等价关系 离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。 离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。 离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。 离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。那么这能否从数学上进行证明呢？100多年后的1976年，肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）使用计算机辅助计算，用了1200个小时和100亿次的判断，终于证明了四色定理，轰动世界，这就是离散数学与计算机科学相互协作的结果。 离散数学可以看成是构筑在数学和计算机科学之间的桥梁，因为离散数学既离不开集合论、图论等数学知识，又和计算机科学中的数据库理论、数据结构等相关，它可以引导人们进入计算机科学的思维领域，促进了计算机科学的发展。 4.4 等价关系与划分 等价关系：同时具有自反、对称和传递性。等价关系是最重要、最常见的二元关系之一。 4.4 等价关系与划分 定义4.13设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的定义4.13 ，则称R为A上的等价关系。设R为等价关系，如果 设A ={1, 2, …, 8}，A 上的关系R 定义如下： R={ Sed ut perspiciatis unde omnis.68%定义4.14设R 为非空集合A 上的等价关系， x ∈A ，令[x]R ={y | y ∈A ∧xRy} 称[x]R 为x 关于R 的等价类，简称为x 的等价类，简记为[x]。x 的等价类就是A 中所有与x 等价的元素构成的集合。如例4.21中的等价类有： [1] = [4] = [7] = {1, 4, 7} [2] = [5] = [8] = {2, 5, 8} [3] = [6] = {3, 6}4.4 等价关系与划分 定理4.14 §10 等价关系与集合的分类 一、关系 定义10.1 设A 是集合，{} 对，错=D 。一个A A ?到D 的映射R 叫做A 的元间一个关系如果对=),(b a R ，则说a 与b 符合关系R ，记作aRb ；如果错=),(b a R ，则说a 与b 不符合关系R 。 例1 设A =R (实数集)。 0),(:1>-a b b a R 对，若 ; 0),(≤-a b b a 错，若 ； b a b a R =对，若 ),(:2; b a b a ≠错，若 ),(； b a b a R 2),(:3=对，若 ; b a b a 2),(≠错，若 ； 1),(:224=+b a b a R 对，若 ; 1),(22≠+b a b a 错，若 ； 都是实数R 的元间的关系。其中21,R R 分别是通常的<的关系和=的关系。 作为一种特殊的关系，有 定义10.2 集合A 的元间一个关系~叫做一个等价关系，如果~满足以下规律： (1) ,~A a a a ∈?， (自反性)；(2) A b a a b b a ∈?,~~， (对称性)； (3) c a c b b a ~~~?， A c b a ∈,, (传递性)。 若b a ~，则称a 与b 等价。 例1中2R 是等价关系。 二．分类 定义10.3 设一个集合A 分成若干个非空子集，使得A 中每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集的全体称为A 的一个分类。每一个子集称为一个类。类里任何一个元素称为这个类的一个代表。刚好由每一类一个代表作成的集合叫做一个全体代表团。 注：由定义可知，A 的非空子集S }|{I i A i ∈=是A 的一个分类当且仅当其满足下列性质： (1) A A I i i =∈ (2)当j i ≠时，Φ=j i A A ，即不同的类互不相交。 例2 设}6,5,4,3,2,1{=A ，则 }}6,5,4}.{3{},2,1{{1=S 是A 的一个分类，但是}}6,5{},4,3,2{},2,1{{2=S 不是A 的一个分类，因为}2{}4,3,2{}2,1{= 。}}6,5{},4,3{},1{{3=S 也不是A 的一个分类，因为}2{不等价关系与等价类
等价关系与偏序关系复习题答案
第1章 §1.4 等价关系
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等价类划分的例子
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等价类的定义
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等价类划分法含例子
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