Mathcad - 变系数常微分方程组求解方法1

常微分方程组的解法常微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的方程组成的方程组，它是数学中的重要研究对象。

常微分方程组的解法可以分为解析解法和数值解法两种。

解析解法是指通过数学方法求出常微分方程组的解析表达式。

常微分方程组的解析解法主要包括分离变量法、一阶线性方程法、变量代换法、常数变易法、特殊函数法等。

其中，分离变量法是指将常微分方程组中的各个变量分离出来，然后对每个变量分别积分，最后得到常微分方程组的解析解。

一阶线性方程法是指将常微分方程组转化为一阶线性方程，然后通过求解一阶线性方程来得到常微分方程组的解析解。

变量代换法是指通过合适的变量代换将常微分方程组转化为更简单的形式，然后通过求解简化后的方程组得到常微分方程组的解析解。

常数变易法是指将常微分方程组中的常数作为未知量，然后通过求解常数得到常微分方程组的解析解。

特殊函数法是指通过特殊函数的性质求解常微分方程组，如指数函数、三角函数等。

数值解法是指通过计算机数值计算的方法求出常微分方程组的数值解。

常微分方程组的数值解法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。

其中，欧拉法是一种简单的数值解法，它的基本思想是将常微分方程组的解曲线上的点离散化为一系列点，然后通过计算机逐步求解得到常微分方程组的数值解。

龙格-库塔法是一种高阶数值解法，它通过计算机采用多个不同的计算公式来逼近常微分方程组的解曲线，从而得到更为准确的数值解。

变步长法是一种自适应数值解法，它通过计算机根据误差大小自动调整步长大小，从而得到更为准确的数值解。

常微分方程组的解法包括解析解法和数值解法两种，每种方法都有其适用的范围和优缺点。

在实际应用中，需要根据具体问题的性质和求解要求选择合适的解法来求解常微分方程组。

如何求解常微分方程求解常微分方程是微积分中的重要内容，常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。

常微分方程的求解方法有多种，下面我将从多个角度进行全面的回答。

1. 分离变量法，对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过将变量分离并进行积分来求解。

首先将方程中的未知函数和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的移项和积分，最后得到未知函数的表达式。

2. 齐次方程法，对于一阶常微分方程，如果可以通过变量的替换将其转化为齐次方程，即方程中的未知函数和导数的比值只与自变量有关，可以使用齐次方程法求解。

通过引入新的变量替换和代换，将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后进行求解。

3. 线性方程法，对于一阶线性常微分方程，可以使用线性方程法求解。

线性方程的特点是未知函数和其导数的一次项系数是常数，通过引入一个积分因子，将线性方程转化为可积分的形式，然后进行求解。

4. 变量替换法，对于某些形式复杂的常微分方程，可以通过引入新的变量替换，将其转化为更简单的形式，然后进行求解。

常见的变量替换包括令导数等于新的变量，令未知函数等于新的变量的幂函数等。

5. 微分方程的特殊解法，对于一些特殊的常微分方程，可以使用特殊解法求解。

例如，对于一些常见的一阶常微分方程，如指数函数、对数函数、三角函数等形式，可以直接猜测其特殊解，然后验证是否满足原方程。

6. 数值解法，对于一些无法通过解析方法求解的常微分方程，可以使用数值解法进行近似求解。

常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，这些方法将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。

总结起来，求解常微分方程的方法包括分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、特殊解法和数值解法。

根据不同的常微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。

希望这些解答对你有帮助。

高中数学备课教案解常微分方程组的方法总结高中数学备课教案：解常微分方程组的方法总结一、引言常微分方程组是高中数学中重要的内容之一，其解法包含了多种方法。

本文将对解常微分方程组的几种常见方法进行总结和讨论，并提供相应的例题进行说明。

二、方法一：变换法变换法是解常微分方程组的一种常见方法，通过引入新的变量来将方程组转化为更简单的形式进行求解。

具体步骤如下：1. 假设方程组为：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)2. 引入新的变量：u = φ(x, y)v = ψ(x, y)3. 计算新的变量的导数：du/dt = (∂φ/∂x)*(dx/dt) + (∂φ/∂y)*(dy/dt)dv/dt = (∂ψ/∂x)*(dx/dt) + (∂ψ/∂y)*(dy/dt)4. 将方程组转化为关于u和v的形式：du/dt = Φ(u, v)dv/dt = Ψ(u, v)5. 求解转化后的方程组，并将u和v转化为x和y。

三、方法二：特征方程法特征方程法是解常微分方程组的另一种重要方法，通过求解特征方程来得到方程组的通解。

具体步骤如下：1. 假设方程组为：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)2. 将方程组写成矩阵形式：X' = AX其中，X = [x, y], A = [[∂f/∂x, ∂f/∂y], [∂g/∂x, ∂g/∂y]]3. 求解特征方程：det(A - λI) = 0其中，λ为特征值，I为单位矩阵。

4. 求解特征方程得到的特征值，并代入公式：X = c1*e^(λ1*t)*v1 + c2*e^(λ2*t)*v2其中，c1、c2为常数，v1、v2为特征向量。

5. 根据初值条件确定常数c1和c2，并得到方程组的特解。

四、方法三：欧拉法欧拉法是解常微分方程组的一种近似求解方法，通过使用差分逼近来计算方程组的数值解。

具体步骤如下：1. 假设方程组为：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)2. 将时间区间等分成若干小段：Δt = (b - a) / N其中，a、b为时间区间的起点和终点，N为等分的段数。

常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。

在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。

本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。

一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。

一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。

常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。

显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。

常微分方程的解集通常具有唯一性。

其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。

在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。

二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。

具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。

1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。

首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。

2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。

特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。

特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。

3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。

特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。

Mathcad教程Mathcad是一种强大的数学软件，它能够进行数值计算、符号计算、绘图以及处理各种数学问题。

本教程将向您介绍Mathcad的基本用法和一些常用的功能。

目录1.安装和启动Mathcad2.Mathcad界面的基本组成部分3.Mathcad的使用技巧1.输入和编辑数学表达式2.使用变量和函数3.运行计算和求解方程4.绘制图形和图表5.导入和导出数据4.常用数学函数和运算符1.四则运算和数学函数2.矩阵运算和线性代数3.微积分和微分方程求解4.统计分析和概率计算5.Mathcad中的符号计算1.符号计算的基本概念2.符号代数和方程求解3.求导和积分4.矩阵符号计算6.实例：解决实际问题1.数学建模和优化2.控制系统设计和仿真3.数据分析和可视化7.常见问题和故障排除8.参考资料和学习资源1.官方文档和教程2.网上Mathcad社区3.相关书籍和学习视频1. 安装和启动Mathcad首先，您需要从官方网站下载Mathcad的安装程序并按照提示进行安装。

安装完成后，您可以在计算机的启动菜单或桌面上找到Mathcad的快捷方式。

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2. Mathcad界面的基本组成部分Mathcad的界面由菜单栏、工具栏和工作区组成。

菜单栏包含各种菜单选项，用于执行各种操作。

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3. Mathcad的使用技巧在Mathcad中，您可以输入和编辑各种数学表达式，并进行计算、绘图和数据处理。

以下是一些常用的使用技巧：3.1 输入和编辑数学表达式在Mathcad的工作区中，您可以直接输入数学表达式，并使用键盘上的各种运算符和函数来编辑表达式。

您可以使用括号来明确运算顺序，并使用空格和换行来提高可读性。

3.2 使用变量和函数在Mathcad中，您可以定义变量并使用它们来进行各种计算。

您还可以定义函数并将它们用于复杂的数学操作。

Mathematica在常微分方程中的应用是高等数学教学的一个实验教学环节，是高等数学课程标准中的一项基本内容。

由于求解常微分方程的过程与导数、微分和不定积分有着密切关系，因此解微分方程成为高等数学教学的一个难点。

Mathematica能很方便快捷地求出常微分方程的各种类型的解，几乎覆盖了人工求解的全部范围，功能十分强大。

用Mathematica求微分方程的数值解也很方便，且有利于作出方程解即未知函数的图形。

用拉普拉斯变换解微分方程也是一件轻而易举的事。

一、用Mathematica解常微分方程在Mathematica中使用DS olve[]命令可以求各类常微分方程的解。

求微分方程的解就是求出的函数的解析式。

在Mathematica系统中，微分方程中未知函数用y[x]表示，其导数或微分用y′[x]、y″[x]等表示。

Mathematica语法也就是方程形式及各项参数的表述方式十分严格，不允许有丝毫错误（若出错计算机会作出警示）。

（一）求微分方程的通解Mathematica系统中求解微分方程命令的输入格式如下：DSolve[eqn，y[x]，x]，求微分方程eqn的通解y[x]，其中自变量是x。

[1]实验一：解下列常微分方程：（1）y′＝2yx+1+（x+1）52，（2）dydx+2xy=xe-x2解：In[1]：=DSolve[y′[x]==2y[x]/（x+1）+（x+1）^（5/2），y[x]，x]Out[1]=y[x]→23（1+x）7/2+（1+x）2c[1→→]→→In[2]：=DSolve[y′[x]+2xy[x]=xE^（-x^2），y[x]，x]Out[2]={{y[x]→12e-x2x2+e-x2C[1]}}Out[1]和Out[2]分别是所给两个微分方程的通解。

式中的C[1]是通解中的任意常数，其中C为大写字母。

上述命令也可以输入为：DSolve[D[y[x]]+2x y[x] ==x E^（-x^2），y[x]，x]。

创3.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验[学习目标]1. 会用Mathematica 求解微分方程(组)；2. 能用Mathematica 求微分方程(组)的数值解；3. 会利用Mathematica 进行拉氏变换与逆变换；4. 能进行幕级数和傅里叶级数的展开。

一、常微分方程(组)Mathematica 能求常微分方程(组)的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围， 功能很强。

但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面)，输出的结果与教材上的答 案可能在形式上不同。

另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。

在本 节中，使用Laplace 变换解常微分方程(组)的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法 如今可以轻而易举的实现了。

求准确解的函数调用格式如下： DSolve[eqn ,y[x] ,x] 求方程 eqn 的通解 y(x )，其中自变量是X 。

DSolve[{eqn ，y[x o ]= =y 0}，y[x]，x] 的特解y (x )。

DSolve[｛eqn1，eqn2，—｝，｛y 1 [x]，y 2[x]，…｝，x]求方程组的通解。

DSolve[｛equ1，…，y 1[x 0]= =y 10，…｝，｛y 1[x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的特解。

说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。

微分方 程的表示法只有通过例题才能说清楚。

例1 解下列常微分方程(组)：52(1) y 斗(x 1)2，(2) y - y 3 ，(3)x 1(x x ) y解：In[1]: =DSolve[y ' [x]= =2y[x]/ (x+1) + (x+1) A (5/2)，y[x]，x]Out[1]=y[x] i (1 x)7/2 (1 x)2c[1]In[2]: =DSolve[y ' [x]= = (1+y[xF2 ) /((x+xA3 ) y[x])，y[x]，x]求满足初始条件y ( x o ) = y o(4)的通解及满足初始条件y (0) =0, z (0) =1的特解。

如何利用Mathematica求微分变换？zwfnepu一、有积分变换也应该有微分变换众所周知，对方程进行数学变换是求解复杂微分方程的很好方法，其中积分变换就是其中一种常用的数学变换工具。

最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。

由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。

是否存在一个与积分变换相反的数学变换？大家都知道，积分与微分是正逆数学过程。

显然，有积分变换也应该有微分变换。

积分变换和微分变换那个更容易？学过微积分的人都知道，求一个函数的微分易，求一个函数的积分难，且有些函数的显式积分并不存在，因此可以断定的是，微分变换一定比积分变换更容易上手，且实用范围更广泛。

然而如何构建一个与积分变换相反的数学变换？在这方面，我国学者赵家奎做出了杰出的贡献，1988年赵家奎出版了专著《微分变换及其在电路中的应用》[ 1]，该书得到国内外学者的广泛引用，遗憾的是都将赵家奎翻译为Zhou,JK[ 2]. 初步判定这应该是不熟悉普通话的华人，比如香港人、新加坡人翻译的。

目前微分变换在结构动力学、固体导热、流体力学得到了应用[ 3- 6]。

二、如何利用Mathematica求微分变换的解答微分变换中T方程都是类似数组的代数方程。

那么如何利用Mathematica求T方程的解答？注意到如下数组的构建和运算（1）数组的构建（2）数组的运算参考文献[ 1]赵家奎. 微分变换及其在电路中的应用[M] . 武汉: 华中理工大学出版社, 1988.[ 2] Zhou JK (1986) Differential transformation and its application for electrical circuits. Huazhong University Press, Wuhan[3] MalikM, AllaliM. Characteristic equations of rectangular plates by differential transformation[ J] . Journal of Sound and Vibration,2000, 233( 2) : 359- 366.[ 4] Ho S H, Chen C K. Free vibration analysis of non- homogeneous rectangular membranes using a hybrid method[ J] . Journal of Sound an d Vibration, 2000, 233( 3) : 547- 555.[ 5]Abazari R, Borhanifar A (2010) Numerical study of Burgers an d coupled Bur gers’ equations by differential transformation method. Comput Math Appl 59:2711–2722[ 6]Allahviranloo T, Kiani NA (2009) Solving fuzzy differential equations by differential transformation method. Inf Sci 179:956–966。

第6章微分方程的求解6．1 微分方程解在Mathematica中使用Dsolove[]可以求解线性和非线性微分方程，以及联立的微分分方程组。

在没有给定方程的初值条件下，我们所得到的解包括C[1],C[2]是待定系数。

求解微分方程就是寻找未知的函数的表达式，在Mathematica中，未稳中有降函数用y[x]表示，其微分用y'[x],y''[x]等表示。

下面给出微分方程（组）的求解函数1．用Dsolve求解微分方程y[x]解y[x]仅适合其本身，并不适合于y[x]的其它形式，如y’[x]，y[0]等，也就是说y[x]不是函数，例如我们如果有如下操作，y’[x],y[0]并没有发生变化。

2．解的纯函数形式使用Dsolve命令可以给出解的纯函数形式，即y,请分析下面的例子这里y适合y的所有情况下面的例子可以说明这一点在标准数学表达式中，直接引入亚变量表示函数自变量，用此方法可以生成微分方程的解。

如果需要的只是解的符号形式，引入这样来变量很方便。

然而，如果想在其他的的计算中使用该结果，那么最好使用不带亚变量的纯函数形式的结果。

3．求微分方程组请分析下面的例子当然微分方程组也有纯函数形式。

4．带初始条件的微分方程的解当给定一个微分方程的初始条件可以确定一个待定系数。

请看下面的例子第二个例子由于给出一个初始条件所以只能确定C[1].5.进一步讨论对于简单的微分方程的解比较简单，对一些微分方程它的解就复杂的多。

特别是对一些微分方程组或高阶微分方程，不一定能得具体的解，其解中可能含有一些特殊函数。

并且很多特殊函数的提出就是为了解这些方程的如:上面三个方程中分别使用了三种类型的函数，可以查看系统帮助了解他们的性质和含义。

对于非线性微分方程，仅有一些特殊的情况可用标准数学函数得到解。

Dsolve能够处理所有在标准数学手册有解的非线性微分方程。

例如：可以看出第二个方程的解已经非常复杂。

6.2 微分方程的数值解在Mathematica中用函数DSolve[]得到微分方程的准确解，用函数NDSolve得到微分方程的数值解，当然在此处要给出求解区间（x,xmin,xmax）。

方程（组）与级数的Mathematica 求解[学习目标]1. 能用Mathematica 求各种方程（组）的数值解和近似解；2. 能对常见函数进行幂级数的展开。

一、 求解简单方程（组）数学里的方程是带有变量的等式。

一般地说，一个或一组方程总是对于方程中出现的变量的可能取值范围增加了一些限制。

所谓求解方程就是设法把方程对于变量取值的限制弄清楚，最好的结果是用不含变量的表达式把变量的值表示出来。

在这个系统里，方程也用含有变量的等式表示，要注意的是在这里等号用连续的两个等号(==)表示。

方程的两端可以是任何数学表达式。

用户可以自己操作Mathematica 系统去求解方程，例如使用移项一类的等价变换规则对方程加以变形、对方程的两端进行整理、把函数作用于方程的两端等等。

系统也提供了一些用于求解方程的函数。

1、 求方程的代数解最基本的方程求解函数是Solve ，它可以用于 求解方程(主要是多项式方程)或方程组。

Solve 有两个参数，第一个参数是一个方程，或者是由若干个方程组的表(表示一个方程组);第二个参数是要求解的变量或变量表。

例如，下面的式子对于变量X 求解方程016x x x 234=+--：In[1]:=Solve[x^4-x^3-6x^2+1==0,x]输入了这个表达式，系统立刻就能计算出方程的四个根，求出的解都是精确解(代数根)。

对于一般的多项式，这样得出的解常常是用根式描述的复数。

方程的解被表示成一个表，表中是几个子表，每一个子表的形式都是{x->...}，箭头后面是方程的一个解。

Solve 也可以求解多变量的方程或者方程组:In[2]:=Solve[{x-2y==0,x^2-y==1},{x,y}]这个表达式求解方程组: x y x y -=-=⎧⎨⎩2012.有时求解方程会得到非常复杂的解。

例如将上面的第一个方程稍加变形，所得到的解的表达式就会变得很长:In[3]:=Solve[x^4-x^3-6x^2=2==0,x]这个表达式求出的解的表达式非常长，以至一个计算机屏幕显示不下。

用mathematica解常微分方程用Mathematica解常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是数学中的一个重要分支，它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。

在物理学、工程学、生物学等领域中，常微分方程是描述自然现象和过程的重要工具。

为了解决常微分方程，我们可以利用数值方法或符号计算工具。

其中，Mathematica是一种非常强大的符号计算软件，可以帮助我们解决各种数学问题，包括求解常微分方程。

Mathematica提供了多种函数和方法来求解常微分方程，下面将介绍其中的一些常用函数和使用方法。

1. DSolve函数DSolve函数是Mathematica中用于求解常微分方程的主要函数之一。

它可以解析地求解一阶和高阶常微分方程。

例如，我们可以使用DSolve函数求解一阶线性常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。

下面是一个示例：```mathematicaDSolve[y'[x] + x*y[x] == x^2, y[x], x]```这个命令将求解方程y'[x] + x*y[x] = x^2，并给出其通解。

2. NDSolve函数NDSolve函数是Mathematica中用于数值求解常微分方程的函数。

对于不能通过解析方法求解的常微分方程，我们可以使用NDSolve 函数进行数值求解。

例如，我们可以使用NDSolve函数求解二阶常微分方程y''[x] + p(x)*y'[x] + q(x)*y[x] = r(x)，其中p(x)、q(x)和r(x)是已知函数。

下面是一个示例：```mathematicaNDSolve[{y''[x] + x*y'[x] + y[x] == Sin[x], y[0] == 0, y'[0] == 1}, y[x], {x, 0, 10}]```这个命令将求解方程y''[x] + x*y'[x] + y[x] = Sin[x]，并给出其在x=0到x=10之间的数值解。

Mathematica-与常微分方程-----方向场和积分曲线Mathematica 与常微分方程—方向场和积分曲线摘要：长期以来，从小学到大学十几年，数学一直是我们学习的一门主课，老师所讲的、学生所练、所考的主要是定义叙述、定理证明、公式推算、计算方法、……，数学给我们的印象是，沿定义→公理→定理→推论→证明这么一条演绎道路进行的、一个十分严格的数学推理王国和一个充满美感的抽象世界。

然而，我们却不知道，也许也没有想过，这些如此严密、完整、美妙的结论是怎么来的？数学家是通过什么样的方式发现它们的？我们从这些可爱结论本身看不到数学家发现它们的艰辛，也体会不到数学家在发现它们之后的一种喜悦。

关键词：Mathematica常微分方程方向场积分曲线简介Mathematica 是美国Wolfram Research公司研制的一种数学软件，集文本编辑、符号计算、数值计算、逻辑分析、图形、动画、声音于一体，与Matlab、Maple 一起被称为目前国际上最流行的三大数学软件。

它以符号计算见长，同时具有强大的图形功能和高精度的数值计算功能。

在Mathematica中可以进行各种符号和数值运算，包括微积分、线性代数、概率论和数理统计等数学各个分支中公式的推演、数值求解非线性方程、最优化问题等，可以绘制各种复杂的二维和三维图形，并能产生动画和声音。

Mathematic系统与常见的高级程序设计语言相似，都是通过大量的函数和命令来实现其功能的。

要灵活使用Mathematica，就必须尽可能熟悉各种内部函数（包括内置函数和软件包函数）。

由于篇幅限制，本附录仅分类介绍Mathematica的基本功能，及与微积分有关的函数（命令）的使用，其他功能请读者自行查阅帮助或有关参考文献。

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

Mathematica-与常微分方程-----方向场和积分曲线Mathematica-与常微分方程-----方向场和积分曲线Mathematica 与常微分方程—方向场和积分曲线摘要：长期以来，从小学到大学十几年，数学一直是我们学习的一门主课，老师所讲的、学生所练、所考的主要是定义叙述、定理证明、公式推算、计算方法、……，数学给我们的印象是，沿定义公理定理推论证明这么一条演绎道路进行的、一个十分严格的数学推理王国和一个充满美感的抽象世界。

然而，我们却不知道，也许也没有想过，这些如此严密、完整、美妙的结论是怎么来的？数学家是通过什么样的方式发现它们的？我们从这些可爱结论本身看不到数学家发现它们的艰辛，也体会不到数学家在发现它们之后的一种喜悦。

关键词：Mathematica常微分方程方向场积分曲线简介Mathematica 是美国Wolfram Research公司研制的一种数学软件，集文本编辑、符号计算、数值计算、逻辑分析、图形、动画、声音于一体，与Matlab、Maple 一起被称为目前国际上最流行的三大数学软件。

它以符号计算见长，同时具有强大的图形功能和高精度的数值计算功能。

在Mathematica中可以进行各种符号和数值运算，包括微积分、线性代数、概率论和数理统计等数学各个分支中公式的推演、数值求解非线性方程、最优化问题等，可以绘制各种复杂的二维和三维图形，并能产生动画和声音。

Mathematic系统与常见的高级程序设计语言相似，都是通过大量的函数和命令来实现其功能的。

要灵活使用Mathematica，就必须尽可能熟悉各种内部函数（包括内置函数和软件包函数）。

由于篇幅限制，本附录仅分类介绍Mathematica的基本功能，及与微积分有关的函数（命令）的使用，其他功能请读者自行查阅帮助或有关参考文献。

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

常微分方程的解法与应用常微分方程是数学中的一类重要方程，它描述了函数的导数与自变量之间的关系。

在科学研究和工程应用中，常微分方程被广泛应用于物理、化学、生物等领域。

本文将介绍常微分方程的解法和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用案例。

一、常微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是求解常微分方程的常用方法之一。

它的基本思想是将方程中的变量分离开来，使得一个变量只与自身有关，而与其他变量无关。

通过对两边积分，可得到方程的解析解。

2. 变量代换法变量代换法是常微分方程求解的另一种常用方法。

通过引入新的自变量替代原方程中的自变量，可以将原方程转化为一个更容易求解的形式。

常见的变换包括线性变换、指数变换等。

3. 解特征方程法某些特殊类型的常微分方程可以利用解特征方程的方法求解。

特征方程可以通过代入特定解形式得到，进而求得方程的一般解。

二、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中的应用非常广泛。

例如，牛顿第二定律可以用常微分方程描述，通过求解该方程可以得到物体在给定力下的运动规律。

另外，电路中的电流变化、振动系统的运动等也可以通过常微分方程进行建模。

2. 经济学中的应用经济学中许多问题都可以用常微分方程进行描述和求解。

比如，经典的凯恩斯消费函数模型可以转化为常微分方程，通过求解该方程可以研究经济中的收入分配和消费行为。

此外，投资模型和供给需求模型等也都可以用常微分方程来建模分析。

3. 生态学中的应用常微分方程在生态学中有着重要的应用。

通过建立生态系统中不同物种之间的关系方程，可以得到物种的数量随时间的变化规律。

这对于研究物种竞争、群落演替等生态现象具有重要意义。

4. 医学中的应用医学领域常常需要研究生物体内各种物质的代谢过程，这些过程可以通过常微分方程进行建模。

例如，用常微分方程描述药物在体内的吸收、分布和排泄过程，可以帮助医生合理给药，提高治疗效果。

三、应用案例1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。

-179-第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。

如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22x y dxdy+=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。

§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(y a y bx a y x f dxdy(1)在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|||),(),(|y y L y x f y x f -≤-这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点b x x x x a N =<<<<= 210处的近似值),,2,1(N n y n =的方法，),,2,1(N n y n =称为问题（1）的数值解，n n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。

今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。

建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数若用向前差商hx y x y n n )()(1-+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得),1,0())(,()()(1 =≈-+n x y x f hx y x y n n n n化简得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有),1,0(),(1 =+=+n y x hf y y n n n n （2）这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ⎩⎨⎧==+=+)(),1,0(),(01a y y n y x hf y y n n n n （3）得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出 ,,21y y 。

变系数线性常微分方程的求解张慧敏，数学计算机科学学院摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。

幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。

关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法Solving linear ordinary differential equations with variablecoefficientsHuimin Zhang , School of Mathematics and Computer ScienceAbstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation.Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.前言随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的领域也存在着微分方程问题。

目录1 引言12 一阶变系数常微分方程的解法探讨12.1 变系数一阶微分方程的几个可积类型12.2 应用举例73二阶变系数线性微分方程的解法探讨93.1用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解93.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索113.1.2 确定的通解123.1.3用常数变易法确定的特解143.1.4应用举例153.2二阶变系数线性微分方程的积分因子解法173.2.1关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论173.2.2讨论如何求出193.2.3应用举例203.3二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法223.3.1利用自变量的变换实现常系数化223.3.2利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化243.3.3 应用举例264三阶变系数线性微分方程的解法探讨284.1 方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件294.2 应用举例33结束语34参考文献34致35变系数常微分方程的解法探讨数学计算机学院数学与应用数学专业2013届余小艳摘要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法. 本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件. 又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解围.关键词：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换中图分类号：O175.1Discussion on the Solution of Ordinary Differential Equation withVariable CoefficientAbstract: So far, there hasn’t been an established method on how to solve Ordinary Differential Equation (ODE) with Variable Coefficients. This paper presents some methods of solving the second order linear ODE with variable coefficients by means of searching special solution and variable transformation, etc. This paper also gives an introduction to the necessary and sufficient conditions of first order linear ODE and 3 rd order linear ODE with variable coefficient that can be translated into constant coefficients. Moreover, we give some examples to illustrate the feasibility of these methods. Hence, the results effectively extend the solvable for the variable coefficient differential equations.Key words: variable coefficients ordinary differential equations；second order differential equations with variable coefficients；general solutions；variable transformation变系数常微分方程的解法探讨1 引言常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科,并且在求解问题,模型,指导实践中有着极为广泛的应用.二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中一类常见的方程，但迄今为止，二阶变系数常微分方程的通解问题在数学领域并没有解决.变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，因此，研究变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的理论意义和应用价值.众所周知，变系数一阶微分方程具有一般的解法，由于在理论研究和实际应用中出现有大量的二阶及三阶以上的高阶变系数线性微分方程，因此，近年来数学领域对高阶变系数线性微分方程求解方程的研究，并取得了一些成果.本文在总结变系数一阶常微分方程解法的同时，着重就二阶及三阶变系数线性微分方程的求法进行了探讨，最后又给出了这些解法的应用及推广.2一阶变系数常微分方程的解法探讨2.1变系数一阶微分方程的几个可积类型对于一阶常微分方程我们常用解法有：分离变量法，变量替换法，积分因子法，常数变易法等.在此，主要讨论变系数一阶微分方程的几个可积类型.为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数一阶微分方程的标准形式为：(2.1)定理2.1[2]设.如果等式(2.2)在I上成立（k为常数），则方程(2.3) 是可积的.证明令,则(2.4) 将（2.2），（2.4）代入（2.3），得,. 属于可分离变量型，而V可由（2.4）解出，所以方程（2.2）是可积的.推论2.1 设为常数，则方程(2.5) 是可积的.在定理2.1中，令,则,即得推论2.1.利用推论2.1，可以用化归为可分离变量型的求解方法，统一处理有关类型的一阶方程.(1)奇次方程(2.6)是（2.5）式，当时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.6）式化归为可分离变量型来求解.(2)线性一阶方程(2.7)是(2.5)式，当时的特例.由定理2.1，可令,将（2.7）化归为来求解，其中.(3) Bernoulli方程.(2.8)这是（2.5）式，在时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.8）化归为可分离变量型来求解.推论2.2 设如果存在常数,使得(2.9) 成立，则Riccati方程(2.10) 是可积的.证明将（2.9）式变形为令它是Brinoulli方程的通解.显然，.在定理2.1中，令,应用定理2.1（此时定理中的），知方程即（2.10）是可积的.推论2.3 为常数，则一阶微分方程是可积的，其中为常数.在定理2.1中，令即可得推论2.3.定理2.2设为常数，则方程（2.11）是可积的.证明令则（2.11）可变形为.由定理2.1推论2.1，知（2.11）是可积的.推论2.4 设为常数，则下列方程都是可积的..在（2.11）中，令分别等于即得结论.2.2 应用举例例2.1解方程(2.12)解将（2.11）变形为,.由定理2.1，推论2.1知，可令(2.12)可化为两边积分，得(2.12)的通解为例2.2解方程(2.13)解取，容易验证条件（2.9）是满足的.由定理2.1，推论2.2知，故（2.13）可积.令（2.13）变形为两边积分，得为任意常数. 令则为任意常数为（2.13）的通解.3 二阶变系数线性微分方程的解法探讨3.1 用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解众所周知，的通解为其中，,且线性独立.引理3.1[3]若为之解，则仍为之解，且时，为的通解.引理 3.2若为之一特解，则为之通解.关键性的问题是如何找的两线性无关的解和的特解.3.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索关于变系数线性二阶微分方程如何视查其特解，有如下的探索.（1）若，则为其特解.特殊地：当，即时，为其特解.当，即时，为其特解.例：①,为其特解；②,为其特解；③,为其特解；（2）若,则为其特解；（3）科西-尤拉方程(为常数) 令去试探例：解方程令,a得=0故有通解.3.1.2确定的通解定理3.1 若方程，已知一个特解，则可用公式确立其另一个特解：,且线性独立.证明令, 则带入方程整理：由有积分从而只要不是常数。

第一章绪论1.1 引言常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。

微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。

1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。

现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。

这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。

研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。

在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。

微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。

到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。

由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。

由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。

首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。

目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。

与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。

最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。

用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。

本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。

从而得到常微分方程的常用数值解法。