第5-3章 连续体系的振动分析-移动荷载列作用下(中英文)
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振型阶数n的选取、荷载列移动 速度v、梁体自身质量m、 梁体自身刚度EI、体系阻尼C
程序计算结果及结论
一、考虑振型阶数的选取
结论：（1）挠度级数表达式收敛很快，在实际分析中只需取前面5~10 阶振型即可满足精度要求。 （2）对于加速度级数，阶数较大时虽可以反应高阶成分，但高阶振型 对加速度的影响不大，而且图形中的点比较离散，不利于数据结果的分 析。因此在考虑梁体加速度响应时可以只考虑前一阶振型。
a0 n 1 n x nnt y ( x, t ) sin e ( A cos t B sin t ) n Dn n Dn l K Kn n 1 n
2 y ( x, t ) n x 2 nnt 1 a ( x, t ) sin e ( A cos t B sin t ) Dn n Dn n Dn t 2 l Kn n 1
当n为偶数时
sin( j
N 4l l b jn P cos j ( t ) i i n (l d N ) ( j l ) 2 1 i 1 2v n v
l ) N 4l l 2 v a jn Pi sin j (ti ) n (l d N ) 1 ( j l ) 2 i 1 2v n v
A
j 1
jn
cos( j t ) B jn sin( j t )
（3-8）
Q( x, t ) M ( x, t ) n n x nnt a0n 1 EI ( )3 cos e ( A cos t B sin t ) A cos( j t ) B sin( j t ) jn n Dn n Dn jn x l l Kn Kn j 1 n 1
V ( x, t ) p( x, t )dx [V ( x, t ) V ( x, t ) dx] f1 ( x, t )dx 0 x
（2-1）
变形得到梁横向弯曲无阻尼受迫振 动的运动偏微分方程(PDE, partial differential equation)
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ( x) ] m( x ) p ( x, t ) x 2 x 2 t 2
1.8 1.7 1.6
梁体挠度动力放大系数
1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9
0
50
100
150
荷载列速度 v(m/s)
（3）匀速情况下桥梁的动力系数与 速度不成简单线性关系，而是随着 速度的提高出现类似正弦波一样振 幅增大的曲线。
程序计算结果及结论
不同速度作用下全桥的变形和内力
1.4 x 10
程序计算结果及结论
一、考虑振型阶数的选取
结论：（1）随着振型阶数增大曲线会越趋近于理论曲线，说明推导的解 析解和所编计算程序是正确的。 （2）弯矩收敛较慢，而剪力的收敛更慢。在计算梁的弯矩和剪力时需要 计入高阶响应影响。从上图中可看出，一般应该取20~50阶振型计算动 内力。
程序计算结果及结论
2 n (t ) 2 nn q n (t ) n q qn (t )
Pn (t ) Mn
（3-2）
N
上式中 Pn (t ) PS i (
i 1
v(t ti ) n v(t ti ) ) sin l l
（3-3）
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型 设移动荷载列过桥时间为T，可把作用在桥梁上的广义荷载 延拓为周期为T的周期函数，该周期函数可展开成傅立叶级 数(Fourier series)的形式，即：
当n为奇数时
cos( j l ) N 4l l 2 v b jn Pi sin j (ti ) n (l d N ) 1 ( j l ) 2 i 1 2v n v cos( j
l ) N 4l l 2 v a jn Pi cos j (ti ) n (l d N ) 1 ( j l ) 2 i 1 2v n v
sin( j
l ) 2v
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型
根据以上系数可以求出梁体振动的稳态解 上述广义坐标微分方程对应的齐次微分方程的解为梁体振动 的瞬态解 则广义坐标微分方程（3-2）式的全解为
qn (t ) e
nn t
a 1 ( An cos Dnt Bn sin Dnt ) 0 n Kn Kn
（3-1）
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型
1, x (x ) 0, x
为Dirac函数，表示位于 x 处的集中力。
上式中
1 0 1 S ( ) 确保所讨论的荷载正作用于梁上。 else 0
将上述运动方程解耦后可得到
采用振型分解法将式（2-3）中 y ( x, t ) 表示为 y ( x, t ) i ( x)qi (t )
i 1
在等式两边分别乘以 n ( x ) 并对全桥进行积分 由正交性条件 orthogonality：
L
0
d2 m( x)i ( x)n ( x)dx 0 和 0 i ( x) 2 dx
荷载列移动速度对梁体动力响应影响的分析
梁体动力放大系数随速度变化曲线
结论： （1）速度增大，梁桥的最大动挠度 不一定增大； （2）当速度增大到30--40间的某一 个值时，该系数突然增大，说明当 速度达到这一值时是该系统动力放 大系数的一个极大值点。当速度达 到大约90m/s时梁的挠度又出现突 然增大。
第5-3章 连续体系的振动分析 ——移动荷载列作用下
李小珍 教 授 西南交通大学
桥梁工程系
一、任意移动荷载列作用下的桥梁动力分析
(一)、几种经典车桥型
匀速移动常量力模型
匀速移动简谐力作用模型
匀速滚动质量作用模型
匀速移动的簧上质量作用模型
梁桥的弯曲受迫振动
运用达朗贝尔(D’Alembert)原理对 图示简支梁微段建立竖直方向平衡 方程
L
d 2n ( x) EI ( x) dx 0 2 dx
2 阻尼条件：Cn a0 M n a1n M n a0 M n a1 K n
Cn a a 0 1 n 引入阻尼比： n 2 M nn 2n 2
M n mn2 ( x)dx m sin 2 (
由初始条件确定
B jn
2 a jn 2 n jn b jn (1 jn )
(1 ) (2 n jn )
2 2 jn
2
1 Bn Kn
j 1
jn
B jn
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型
由以上推导可以得到移动荷载列列作用下梁的动力 响应表达式：
计算 分析模型 分析模型
di 表示 Pi 到 P 上图中， 1 的距离 ，令 d1 0 。坐标系的原点位于梁
的左端处，则梁的范围用坐标表示为 0 x l 。令P 刚好作用于 x 0 1 的时刻为 t 0 时刻，即初始时刻。
建立梁的运动方程
v(t ti ) 4 y 2 y y N EI 4 m 2 c Pi ( x v (t ti )) S ( ) x t t i 1 l
Pn (t ) a0 n [a jn cos( jt ) b jn sin( jt )]
j 1
（3-4）
为荷载傅立叶级数展开的基频，有 上式中，
2 v 2 T dN L
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型
运用高等数学相关知识求解上式的系数得到：
（2-2）
实际情况中梁桥振动存在阻尼，则 上式还应加上阻尼作用项
（2-3）
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) y ( x, t ) [ EI ( x )( )] m ( x ) c ( x ) dx p ( x, t ) x 2 x 2 t 2 t
程序计算结果及结论
不同速度作用下全桥的变形和内力
7 x 10
6
荷载列中心位于跨中时，全桥的动弯矩幅值 理论静弯矩 静弯矩 25m/s时
（3-9）
关于移动荷载列，可参阅论文： (1) 李小珍, 张志俊, 刘全民. 任意移动荷载列作用下简支梁桥的竖向 振动响应解析分析[J], 振动与冲击, 2012, Vol.31 (20): 137-142 (EI检 索) (2) 李小珍, 单春胜, 张志俊等. 任意移动质量弹簧列作用下梁桥动力 响应分析[J], 应用力学学报, 2013, Vol.30(5): 693-699(CSCD) (3) 张 铎, 李小珍. 移动简谐荷载列作用下简支梁竖向动力响应解析解 及应用[J], 应用力学学报, 2014, Vol.31(1): 144-149 (CSCD) (4) 李小珍, 赵鲁峰, 张志俊等. 基于移动质量弹簧列模型的任意跨度 连续梁竖向振动响应分析 [J], 应用力学学报, (已录用)
说明： （1）单位：cm； （2）二期恒载为18000kg/m （3）材料单位体积重为 26.5kN/m3 （4）材料的弹性模量为 E 3.5 10 4 MPa
用MATLAB语言编程实现计算
编程思路
将动力响应表达式分别写成m函数
（每个函数都用了三层循环嵌套实现）
再用脚本文件分别调用要分析的动力响应函数， 通过变换要考虑的影响参数，将计算数据连成曲线
程序计算结果及结论
一、考虑振型阶数的选取
结论：（1）挠度级数表达式收敛很快，在实际分析中只需取前面5~10 阶振型即可满足精度要求。 （2）对于加速度级数，阶数较大时虽可以反应高阶成分，但高阶振型 对加速度的影响不大，而且图形中的点比较离散，不利于数据结果的分 析。因此在考虑梁体加速度响应时可以只考虑前一阶振型。
a0 n 1 n x nnt y ( x, t ) sin e ( A cos t B sin t ) n Dn n Dn l K Kn n 1 n
2 y ( x, t ) n x 2 nnt 1 a ( x, t ) sin e ( A cos t B sin t ) Dn n Dn n Dn t 2 l Kn n 1
当n为偶数时
sin( j
N 4l l b jn P cos j ( t ) i i n (l d N ) ( j l ) 2 1 i 1 2v n v
l ) N 4l l 2 v a jn Pi sin j (ti ) n (l d N ) 1 ( j l ) 2 i 1 2v n v
A
j 1
jn
cos( j t ) B jn sin( j t )
（3-8）
Q( x, t ) M ( x, t ) n n x nnt a0n 1 EI ( )3 cos e ( A cos t B sin t ) A cos( j t ) B sin( j t ) jn n Dn n Dn jn x l l Kn Kn j 1 n 1
V ( x, t ) p( x, t )dx [V ( x, t ) V ( x, t ) dx] f1 ( x, t )dx 0 x
（2-1）
变形得到梁横向弯曲无阻尼受迫振 动的运动偏微分方程(PDE, partial differential equation)
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ( x) ] m( x ) p ( x, t ) x 2 x 2 t 2
1.8 1.7 1.6
梁体挠度动力放大系数
1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9
0
50
100
150
荷载列速度 v(m/s)
（3）匀速情况下桥梁的动力系数与 速度不成简单线性关系，而是随着 速度的提高出现类似正弦波一样振 幅增大的曲线。
程序计算结果及结论
不同速度作用下全桥的变形和内力
1.4 x 10
程序计算结果及结论
一、考虑振型阶数的选取
结论：（1）随着振型阶数增大曲线会越趋近于理论曲线，说明推导的解 析解和所编计算程序是正确的。 （2）弯矩收敛较慢，而剪力的收敛更慢。在计算梁的弯矩和剪力时需要 计入高阶响应影响。从上图中可看出，一般应该取20~50阶振型计算动 内力。
程序计算结果及结论
2 n (t ) 2 nn q n (t ) n q qn (t )
Pn (t ) Mn
（3-2）
N
上式中 Pn (t ) PS i (
i 1
v(t ti ) n v(t ti ) ) sin l l
（3-3）
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型 设移动荷载列过桥时间为T，可把作用在桥梁上的广义荷载 延拓为周期为T的周期函数，该周期函数可展开成傅立叶级 数(Fourier series)的形式，即：
当n为奇数时
cos( j l ) N 4l l 2 v b jn Pi sin j (ti ) n (l d N ) 1 ( j l ) 2 i 1 2v n v cos( j
l ) N 4l l 2 v a jn Pi cos j (ti ) n (l d N ) 1 ( j l ) 2 i 1 2v n v
sin( j
l ) 2v
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型
根据以上系数可以求出梁体振动的稳态解 上述广义坐标微分方程对应的齐次微分方程的解为梁体振动 的瞬态解 则广义坐标微分方程（3-2）式的全解为
qn (t ) e
nn t
a 1 ( An cos Dnt Bn sin Dnt ) 0 n Kn Kn
（3-1）
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型
1, x (x ) 0, x
为Dirac函数，表示位于 x 处的集中力。
上式中
1 0 1 S ( ) 确保所讨论的荷载正作用于梁上。 else 0
将上述运动方程解耦后可得到
采用振型分解法将式（2-3）中 y ( x, t ) 表示为 y ( x, t ) i ( x)qi (t )
i 1
在等式两边分别乘以 n ( x ) 并对全桥进行积分 由正交性条件 orthogonality：
L
0
d2 m( x)i ( x)n ( x)dx 0 和 0 i ( x) 2 dx
荷载列移动速度对梁体动力响应影响的分析
梁体动力放大系数随速度变化曲线
结论： （1）速度增大，梁桥的最大动挠度 不一定增大； （2）当速度增大到30--40间的某一 个值时，该系数突然增大，说明当 速度达到这一值时是该系统动力放 大系数的一个极大值点。当速度达 到大约90m/s时梁的挠度又出现突 然增大。
第5-3章 连续体系的振动分析 ——移动荷载列作用下
李小珍 教 授 西南交通大学
桥梁工程系
一、任意移动荷载列作用下的桥梁动力分析
(一)、几种经典车桥型
匀速移动常量力模型
匀速移动简谐力作用模型
匀速滚动质量作用模型
匀速移动的簧上质量作用模型
梁桥的弯曲受迫振动
运用达朗贝尔(D’Alembert)原理对 图示简支梁微段建立竖直方向平衡 方程
L
d 2n ( x) EI ( x) dx 0 2 dx
2 阻尼条件：Cn a0 M n a1n M n a0 M n a1 K n
Cn a a 0 1 n 引入阻尼比： n 2 M nn 2n 2
M n mn2 ( x)dx m sin 2 (
由初始条件确定
B jn
2 a jn 2 n jn b jn (1 jn )
(1 ) (2 n jn )
2 2 jn
2
1 Bn Kn
j 1
jn
B jn
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型
由以上推导可以得到移动荷载列列作用下梁的动力 响应表达式：
计算 分析模型 分析模型
di 表示 Pi 到 P 上图中， 1 的距离 ，令 d1 0 。坐标系的原点位于梁
的左端处，则梁的范围用坐标表示为 0 x l 。令P 刚好作用于 x 0 1 的时刻为 t 0 时刻，即初始时刻。
建立梁的运动方程
v(t ti ) 4 y 2 y y N EI 4 m 2 c Pi ( x v (t ti )) S ( ) x t t i 1 l
Pn (t ) a0 n [a jn cos( jt ) b jn sin( jt )]
j 1
（3-4）
为荷载傅立叶级数展开的基频，有 上式中，
2 v 2 T dN L
建立、分析计算模型
----移动荷载列作用下的动力响应分析模型
运用高等数学相关知识求解上式的系数得到：
（2-2）
实际情况中梁桥振动存在阻尼，则 上式还应加上阻尼作用项
（2-3）
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) y ( x, t ) [ EI ( x )( )] m ( x ) c ( x ) dx p ( x, t ) x 2 x 2 t 2 t
程序计算结果及结论
不同速度作用下全桥的变形和内力
7 x 10
6
荷载列中心位于跨中时，全桥的动弯矩幅值 理论静弯矩 静弯矩 25m/s时
（3-9）
关于移动荷载列，可参阅论文： (1) 李小珍, 张志俊, 刘全民. 任意移动荷载列作用下简支梁桥的竖向 振动响应解析分析[J], 振动与冲击, 2012, Vol.31 (20): 137-142 (EI检 索) (2) 李小珍, 单春胜, 张志俊等. 任意移动质量弹簧列作用下梁桥动力 响应分析[J], 应用力学学报, 2013, Vol.30(5): 693-699(CSCD) (3) 张 铎, 李小珍. 移动简谐荷载列作用下简支梁竖向动力响应解析解 及应用[J], 应用力学学报, 2014, Vol.31(1): 144-149 (CSCD) (4) 李小珍, 赵鲁峰, 张志俊等. 基于移动质量弹簧列模型的任意跨度 连续梁竖向振动响应分析 [J], 应用力学学报, (已录用)
说明： （1）单位：cm； （2）二期恒载为18000kg/m （3）材料单位体积重为 26.5kN/m3 （4）材料的弹性模量为 E 3.5 10 4 MPa
用MATLAB语言编程实现计算
编程思路
将动力响应表达式分别写成m函数
（每个函数都用了三层循环嵌套实现）
再用脚本文件分别调用要分析的动力响应函数， 通过变换要考虑的影响参数，将计算数据连成曲线
