【全国百强校】浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题

2018-2019学年高二（上）期末数学试卷一.选择题（共10小题）1．“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣8＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而充分不条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为（）A．5πB．6πC．7πD．8π3．在空间直角坐标系中点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（）A．（1，﹣5，6）B．（1，5，﹣6）C．（﹣1，﹣5，6） D．（﹣1，5，﹣6）4．下列命题错误的是（）A．不在同一直线上的三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面5．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．26．直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为（）A．，B．﹣，﹣C．﹣，﹣D．，7．点P在直线3x+y﹣5＝0上，且点P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为，则P点坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，﹣1）D．（2，1）或（﹣2，1）8．与3x+4y＝0垂直，且与圆（x﹣1）2+y2＝4相切的一条直线是（）A．4x﹣3y＝6 B．4x﹣3y＝﹣6 C．4x+3y＝6 D．4x+3y＝﹣6 9．四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BQ所成的角为（）A．B．C．D．10．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形是（）A．一条线段B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为．12．长、宽、高分別为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．13．若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为、．14．已知空间向量，，若∥，则xz＝．15．若直线l为：3y＝x+6，则直线l的倾斜角为．16．圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是．17．设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有条．二.解答题（共4小题，共42分）18．（1）求两条垂直的直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0的交点坐标．（2）求平行于直线x﹣y﹣2＝0，且与它的距离为的直线方程．19．已知：a＞0，p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．20．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆C交于不同的两点A、B，且|AB|＝3，求直线l的方程．21．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EB⊥平面ABCD且EB∥FD．（1）求证：平面AEC⊥平面BEFD；（2）若AB＝2，∠BAD＝60°，EB＝FD，设EA与平面ABCD所成夹角为α，且，求二面角A﹣EC﹣F的余弦值．参考答案一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣8＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而充分不条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若直线l1：ax+2y﹣8＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行，则a（a+1）﹣2＝0，即a2+a﹣2＝0，解得a＝1或a＝﹣2，当a＝﹣2时，直线l1方程为﹣2x+2y﹣8＝0，即x﹣y+4＝0，直线l2：x﹣y+4＝0，此时两直线重合，则a≠﹣2，故“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣8＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充要条件，故选：C．2．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为（）A．5πB．6πC．7πD．8π【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体，根据数据求出它的表面积．解：根据几何体的三视图，知该几何体是底面直径为2，高为2的圆柱体；∴该圆柱体的表面积是S＝2S底+S侧＝2π×12+2π×1×2＝6π．故选：B．3．在空间直角坐标系中点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（）A．（1，﹣5，6）B．（1，5，﹣6）C．（﹣1，﹣5，6） D．（﹣1，5，﹣6）【分析】在空间直角坐标系中，点P（a，b，c）关于平面xOy对称点Q的坐标是（a，b，﹣c）．解：在空间直角坐标系中，点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（1，5，﹣6）．故选：B．4．下列命题错误的是（）A．不在同一直线上的三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面【分析】由公理3可判断A；由公理3和公理1可判断B；由面面垂直的性质定理可判断C；由面面平行的性质定理可判断D．解：由公理3可得，不在同一直线上的三点确定一个平面，故A正确；由公理3和公理1可得，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确；由面面垂直的性质定理可得，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线若与交线垂直，则垂直于另一个平面，故C错误；由面面平行的性质可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，故D正确．故选：C．5．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由变量x、y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为2×1+1＝3．故选：C．6．直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为（）A．，B．﹣，﹣C．﹣，﹣D．，【分析】把直线方程化为斜截式即可得出．解：直线3x+4y+5＝0化为．∴直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为，．故选：C．7．点P在直线3x+y﹣5＝0上，且点P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为，则P点坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，﹣1）D．（2，1）或（﹣2，1）【分析】设出点P的坐标为（a，5﹣3a），利用点到直线的距离公式表示出P到已知直线的距离d，让d等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，写出点P 的坐标即可．解：设P点坐标为（a，5﹣3a），由题意知：＝．解之得a＝1或a＝2，∴P点坐标为（1，2）或（2，﹣1）．故选：C．8．与3x+4y＝0垂直，且与圆（x﹣1）2+y2＝4相切的一条直线是（）A．4x﹣3y＝6 B．4x﹣3y＝﹣6 C．4x+3y＝6 D．4x+3y＝﹣6 【分析】根据题意，设要求直线的方程为4x﹣3y+m＝0，由直线与圆的位置关系可得＝2，解可得m的值，即可得要求直线的方程，分析选项即可得答案．解：根据题意，要求直线与3x+4y＝0垂直，设其方程为4x﹣3y+m＝0，若该直线与圆（x﹣1）2+y2＝4相切，则有＝2，解可得：m＝6或﹣14，即要求直线的方程为4x﹣3y＝﹣6或4x﹣3y＝14，故选：B．9．四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BQ所成的角为（）A．B．C．D．【分析】据题意可知，三直线AQ，AD，AB两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，并设AB＝1，从而可求出A，P，B，Q的坐标，进而可求出向量，的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线AP和BQ所成角的大小．解：根据题意知，三直线AQ，AD，AB两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝1，则：A（0，0，0），P（1，1，0），B（0，0，1），Q（1，0，0），∴，∴＝，且，∴，∴异面直线AP与BQ所成的角为．故选：C．10．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形是（）A．一条线段B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形【分析】我们分平面ABC与α垂直和平面ABC与α不垂直两种情况，分别讨论直角边在平面α上的射影与斜边组成的图形，即可得到答案．解：若平面ABC与α垂直，则直角边BA、直角边AC在平面α上的射影即为线段BC，若平面ABC与α不垂直，A′为A点在α上的投影令直角边AC在平面α上的射影CA′，由三垂线定理可得CA′＜CA；令直角边AB在平面α上的射影BA′，由三垂线定理可得BA′＜BA；故直角边BA、直角边边AC在平面α上的射影与斜边BC组成的图形为钝角三角形故选：D．二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为若函数f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称．【分析】直接写出结论即可．解：命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为：若函数f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称．故答案为：若函数f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称．12．长、宽、高分別为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为9π．【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积．解：长方体的体对角线的长是：＝3球的半径是：这个球的表面积：4π＝9π故答案为：9π13．若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为（0，﹣1）、 1 ．【分析】把圆的方程化为标准式方程后，找出圆心坐标与半径，要求圆的面积最大即要圆的半径的平方最大，所以根据平方的最小值为0即k＝0时得到半径的平方最大，所以把k＝0代入圆心坐标中即可得到此时的圆心坐标．解：∵圆的方程为．∴r2＝1﹣k2＞0，r max＝1，此时k＝0．∴圆心为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1），1．14．已知空间向量，，若∥，则xz＝9 ．【分析】根据空间向量的共线定理，列出方程组求出x、z的值，再计算xz的值．解：空间向量，，当∥时，＝λ，∴，解得λ＝2，x＝6，z＝；∴xz＝6×＝9．故答案为：9．15．若直线l为：3y＝x+6，则直线l的倾斜角为30°．【分析】直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），tan θ＝，解得θ＝30°解：直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），直线l的方程为3y＝x+6，即y＝x+2，则tan θ＝，解得θ＝30°，则直线l的倾斜角为30°，故答案为：30°16．圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax﹣by+2＝0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m＝ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2＝4，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r＝2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax﹣by+2＝0上，把圆心坐标代入直线方程得：﹣2a﹣2b+2＝0，即b＝1﹣a，则设m＝ab＝a（1﹣a）＝﹣a2+a，∴当a＝时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是（﹣∞，]．故答案为（﹣∞，]．17．设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有13 条．【分析】由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，由此分三种情况，即P，Q为正方体一体对角线两顶点时，P，Q为正方两相对棱中点时，P，Q为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ的条数．解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．共有三种情况：如图，当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．综上，符合条件的直线PQ有4+6+3＝13条．故答案为：13．二.解答题（共4小题，共42分）18．（1）求两条垂直的直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0的交点坐标．（2）求平行于直线x﹣y﹣2＝0，且与它的距离为的直线方程．【分析】（1）由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值，再联立方程组求得两直线交点的坐标．（2）由题意利用用待定系数法设出直线的方程x﹣y+m＝0，再利用两条平行线间的距离公式求得m的值，可得要求的直线的方程．解：（1）∵两条垂直的直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0，∴﹣•（﹣）＝﹣1，求得a＝﹣1，两条垂直的直线即 2x﹣y+2＝0和x+2y+1＝0，由，求得，故直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0的交点坐标（﹣1，0）．（2）设平行于直线x﹣y﹣2＝0，且与它的距离为的直线方程为x﹣y+m＝0，则＝，求得m＝2，或m＝﹣4，故要求的直线方程为x﹣y+2＝0，或x﹣y﹣4＝0．19．已知：a＞0，p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【分析】先将条件p，q化简，然后利用p是q的充分不必要条件，确定参数a的取值范围．解：由x2﹣8x﹣20＞0，解得x＞10或x＜﹣2．即p：x＞10或x＜﹣2．由x2﹣2x+1﹣a2＞0得x＞1+a，或x＜1﹣a．即q：x＞1+a，或x＜1﹣a，a＞0，若要使p是q的充分不必要条件，则p推出q，但q推不出p．所以有，即，解得0＜a≤3．即a的取值范围是（0，3]．20．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆C交于不同的两点A、B，且|AB|＝3，求直线l的方程．【分析】（1）直线恒过（1，1），在圆的内部，可得结论；（2）|AB|＝3，所以圆心到直线的距离为＝，求出m，即可求出直线l的方程．解：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0，即m（x﹣1）﹣y+1＝0，恒过（1，1），代入x2+y2﹣2y﹣4＝1+1﹣2﹣4＜0，所以（1，1）在圆的内部，所以直线l与圆C相交；（2）圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，即x2+（y﹣1）2＝5，圆心（0，1），半径为，因为|AB|＝3，所以圆心到直线的距离为＝，所以＝，所以m＝±1，所以直线l的方程为x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．21．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EB⊥平面ABCD且EB∥FD．（1）求证：平面AEC⊥平面BEFD；（2）若AB＝2，∠BAD＝60°，EB＝FD，设EA与平面ABCD所成夹角为α，且，求二面角A﹣EC﹣F的余弦值．【分析】（1）连结BD，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，再由EB⊥平面ABCD，得AC⊥EB，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BEFD，进一步得到平面AEC⊥平面BEFD；（2）设BD∩AC＝O，求解三角形可得AO＝CO＝，EA＝，EB＝1，以O为原点，作Oz∥EB，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面AEC与平面ECF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣EC﹣F 的余弦值．【解答】（1）证明：连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EB⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB，∵EB∩BD＝B，EB，BD⊂平面BEFD，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BEFD；（2）解：设BD∩AC＝O，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD为等边三角形，则BD＝AB＝2，∵O是BD的中点，∴AO＝CO＝，∵EB⊥平面ABCD，∴∠EAB＝α，∴在Rt△EAB中有，EA＝，则EB＝1，以O为原点，作Oz∥EB，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则A（，0，0），C（﹣，0，0），E（0，1，1），F（0，﹣1，1），∴，，．设平面AEC的法向量为，由，取y＝1，得．设平面ECF的法向量为，由，取a＝，得．设二面角A﹣EC﹣F的平面角为θ，则|cosθ|＝．结合图可知，二面角A﹣EC﹣F的余弦值为．。

杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器；2.所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只符—项是符合做目要求的）：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.“是”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，必要，若，则或，即不一定成立，所以“是”成立的充分不必要条件，故选A.3.已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出的坐标后再利用点到直线的距离求解即可.【详解】，故，所以，故点到直线的距离为，故选C.【点睛】从椭圆的标准方程中可以得到一些几何量，如长半轴长、短半轴长、焦点坐标等，注意求焦点坐标时要先确定焦点的位置.4.若直线经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圆心为，再求出其斜率为，利用斜截式可得直线的一般方程.【详解】圆心为，直线的斜率为，故直线即，故选D.【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线和过原点的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.5.已知，是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A. 若，且，则B. 若，，，，则C. 若，且，则D. 若且，则【答案】D【解析】【分析】在正方体中考虑各选项中的线面关系可得正确选项.【详解】如图，在正方体中，平面，平面，，但平面平面，故A错；平面，平面，，，平面，故B错；平面平面，平面，平面，但与所成的角为，故C错；因同垂直于一条直线的两个平面互相平行，故D正确.综上，选D.【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.6.函数的值域是（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】A【解析】试题分析：，根据对钩函数的性质，从而可知值域为或，故选A．考点：函数的值域．7.设满足约束条件则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．8.如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A. 与是异面直线B.C. ，为异面直线，且D.【答案】C【解析】【分析】可证明平面，再根据异面直线的判断方法可得C是正确的，其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.【详解】是共面直线，故A错；若平面，因平面，故，这与矛盾，故B错；因为平面，故平面，因平面，故.由三棱柱可以得到，故，由，可以得到.而，从而有平面，而平面，故，又平面，平面，，故是异面直线，故C正确；若平面，因平面，故.因平面，平面，故，而，故平面，又平面，故，这与矛盾，故D错；综上，选C.【点睛】异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.9.已知点是双曲线右支上的一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段的中垂线，则双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，则为直角三角形且，故可得的长，再利用双曲线的定义可得的关系从而求出离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，设与渐近线的交点为，则为的中点且，所以且，且.因为，，又，所以即，所以，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．10.已知定点都在平面内，，点是平面内异于和的动点，且满足，设与平面所成的角为，二面角的大小为，则（）A. B. C. D. 在大小关系不确定【答案】C【解析】【分析】可证平面，从而利用可计算，它们分别是，根据可得的大小关系．【详解】因为平面，平面，故．又因为，，故平面，所以为与平面所成的角，故且．同理故为二面角的平面角，故由平面，平面，故，所以，因为，故，由都是锐角，故，故选C．【点睛】空间中的角的计算，应通过构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．注意线面角必须依据线面垂直来构造，二面角的平面角需构造与棱垂直的平面．二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11.已知双曲线：，则的离心率为______；渐近线方程为______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】从标准方程得到基本量后可得双曲线的离心率和渐进线方程．【详解】因为，故，故离心率，渐近线方程为：．【点睛】如果双曲线的方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）．12.已知一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是______，表面积是______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的四棱柱，利用公式可计算其体积和表面积．【详解】三视图对应的几何体如图所示，该几何体的底面为梯形，其面积为，高为，故体积为，侧面积为，故表面积为．故填，．【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．13.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列的公式______，如果，则______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】设等比数列的公比为，则成等差数列可转化为关于公比的方程，解这个方程可得公比，再利用公式计算即可．【详解】设等比数列的公比为，因为成等比数列，则即，因，故即，所以．又，故填．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质即通过数列下标的特征或数列和式的特征找到合适的数列性质快速解决问题．14.已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..【答案】(1). (2).【解析】【分析】利用消去，利用二次函数的性质可求的最小值，利用基本不等式可求的最小值．【详解】因为，所以，因，故．，当时，有最小值且为．，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．综上，填，．【点睛】求多元函数的最值，常见的方法有消元法、基本不等式法或线性规划等．消元法要注意变元范围的传递．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.15.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和倍角可求.【详解】由题设有，因，故，所以，也就是，故填.【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把看成．16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值．【详解】由可知为直径，从而，设，则，，当时，的最大值为．填【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.17.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得（，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则（）（，），可得k OM，当且仅当y02＝2p2，取得等号．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）；18.已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助公式可得.（2）求出的范围后可得的值域.【详解】（1），令，则，故的单调递增区间为，（2）当时，，故.故值域为.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．19.已知正项数列的首项，前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增数列，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因为，故，所以，整理得到，因为正项数列，故，所以，所以为等差数列且公差为．又，故，所以．（2）由题设有为等比数列，故，整理得到，所以．令，因为单调增数列，故对任意的，总有，所以，整理得到：，因，故，故．【点睛】（1）数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）含参数的数列单调性应根据数列的单调性的定义来判断（即根据的符号来确定）.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，线段与的中点分别为（1）求证：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而得到平面.（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，因为分别为的中点，所以.因为四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形.故，而平面，平面，所以平面.（2）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，所以，而二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.的垂线交抛物线于点.（1）若，且，求直线的方程（2）若，且，求抛物线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用弦长公式可求直线的斜率，从而得到直线方程.（2）设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理可得，从而，再根据以及韦达定理得到关于的方程，求出后可得抛物线方程.【详解】（1）抛物线，由得到：，故，解得，故直线的方程为或.（2）直线，由得到：.设，从而，故.故，所以，整理得到：，而，，从而，解得（舎）或.抛物线的方程为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由离心率可设椭圆的标准方程为，代入已知的点可得椭圆的标准方程.（2）设，联立直线方程和椭圆的标准方程，消元后利用韦达定理和已知的弦长得到，从而可求出原点到直线距离与的关系式，最后利用换元法求的最大值即得面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由得，故椭圆方程为，代入点得，故椭圆方程为.（2）当的斜率不存在时，或，此时.当的斜率存在时，设，由得，所以，由得，化简得到.设到直线的距离为，则，令，则，令，则，当且仅当等号成立，故的最大值为，又，故的最大值为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。

侧视图正视图俯视图浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题-数学（文）高二数学〔文〕试卷一、 选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1、“2x >且2y >”是“4x y +>”的 〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件2.椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么 〔 〕 A.1C 与2C 顶点相同 B.1C 与2C 长轴长相同C.1C 与2C 短轴长相同D.1C 与2C 焦距相等3、某简单几何体的三视图如下图，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，那么那个几何体的体积为 ( ) A 、43B 、83C 、4D 、8A 、命题“假设21x =，那么1=x ”的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠”B 、命题“假设x y =，那么sin sin x y =”的逆否命题为真命题C 、命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈均有210x x ++<”D 、“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件5.空间三条直线.l m n 、、假设l 与m 异面，且l 与n 异面，那么〔〕A 、m 与n 异面B.m 与n 相交C 、m 与n 平行D.m 与n 异面、相交、平行均有可能6、过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，那么ABP ∆的外接圆方程是〔〕A 、22(4)(2)1x y -+-=B 、22(2)4x y +-=C 、22(2)(1)5x y +++=D 、22(2)(1)5x y -+-=7、直三棱柱111ABC A B C -(三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫做直三棱柱)中，假设90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，那么异面直线1BA 与1AC 所成的角等于〔〕A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8.双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为()A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9、如图有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心、那么以下结论不．正确的选项是() A 、a 1＋c 1>a 2＋c 2B 、a 1－c 1＝a 2－c 2C 、a 1c 2<a 2c 1D 、a 1c 2>a 2c 110、点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，假设ABE ∆是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是()A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,1+D.(2,1【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分、11、向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，假设a ⊥b ，那么=x ______. 12、假设直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，那么实数m ＝________.13、从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体〔或平面图形〕的4个顶点，这些几何体〔或平面图形〕是___________〔写出所有正确的结论的编号〕 ①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面基本上等边三角形的四面体14、动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点____、 15、设k 为正实数，假设满足条件)()(y k y k x x -≤-的点(,)x y 都被单位圆覆盖，那么k的最大值为__________、 16、设,A B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上。

杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器；2.所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只符—项是符合做目要求的）：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.“是”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，必要，若，则或，即不一定成立，所以“是”成立的充分不必要条件，故选A.3.已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出的坐标后再利用点到直线的距离求解即可.【详解】，故，所以，故点到直线的距离为，故选C.【点睛】从椭圆的标准方程中可以得到一些几何量，如长半轴长、短半轴长、焦点坐标等，注意求焦点坐标时要先确定焦点的位置.4.若直线经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圆心为，再求出其斜率为，利用斜截式可得直线的一般方程.【详解】圆心为，直线的斜率为，故直线即，故选D.【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线和过原点的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.5.已知，是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A. 若，且，则B. 若，，，，则C. 若，且，则D. 若且，则【答案】D【解析】【分析】在正方体中考虑各选项中的线面关系可得正确选项.【详解】如图，在正方体中，平面，平面，，但平面平面，故A错；平面，平面，，，平面，故B错；平面平面，平面，平面，但与所成的角为，故C 错；因同垂直于一条直线的两个平面互相平行，故D正确.综上，选D.【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.6.函数的值域是（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】A【解析】试题分析：，根据对钩函数的性质，从而可知值域为或，故选A．考点：函数的值域．7.设满足约束条件则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．8.如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A. 与是异面直线B.C. ，为异面直线，且D.【答案】C【解析】【分析】可证明平面，再根据异面直线的判断方法可得C是正确的，其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.【详解】是共面直线，故A错；若平面，因平面，故，这与矛盾，故B错；因为平面，故平面，因平面，故.由三棱柱可以得到，故，由，可以得到.而，从而有平面，而平面，故，又平面，平面，，故是异面直线，故C正确；若平面，因平面，故.因平面，平面，故，而，故平面，又平面，故，这与矛盾，故D错；综上，选C.【点睛】异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.9.已知点是双曲线右支上的一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段的中垂线，则双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，则为直角三角形且，故可得的长，再利用双曲线的定义可得的关系从而求出离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，设与渐近线的交点为，则为的中点且，所以且，且.因为，，又，所以即，所以，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．10.已知定点都在平面内，，点是平面内异于和的动点，且满足，设与平面所成的角为，二面角的大小为，则（）A. B. C. D. 在大小关系不确定【答案】C【解析】【分析】可证平面，从而利用可计算，它们分别是，根据可得的大小关系．【详解】因为平面，平面，故．又因为，，故平面，所以为与平面所成的角，故且．同理故为二面角的平面角，故由平面，平面，故，所以，因为，故，由都是锐角，故，故选C．【点睛】空间中的角的计算，应通过构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．注意线面角必须依据线面垂直来构造，二面角的平面角需构造与棱垂直的平面．二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11.已知双曲线：，则的离心率为______；渐近线方程为______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】从标准方程得到基本量后可得双曲线的离心率和渐进线方程．【详解】因为，故，故离心率，渐近线方程为：．【点睛】如果双曲线的方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）．12.已知一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是______，表面积是______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的四棱柱，利用公式可计算其体积和表面积．【详解】三视图对应的几何体如图所示，该几何体的底面为梯形，其面积为，高为，故体积为，侧面积为，故表面积为．故填，．【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．13.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列的公式______，如果，则______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】设等比数列的公比为，则成等差数列可转化为关于公比的方程，解这个方程可得公比，再利用公式计算即可．【详解】设等比数列的公比为，因为成等比数列，则即，因，故即，所以．又，故填．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质即通过数列下标的特征或数列和式的特征找到合适的数列性质快速解决问题．14.已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..【答案】(1). (2).【解析】【分析】利用消去，利用二次函数的性质可求的最小值，利用基本不等式可求的最小值．【详解】因为，所以，因，故．，当时，有最小值且为．，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．综上，填，．【点睛】求多元函数的最值，常见的方法有消元法、基本不等式法或线性规划等．消元法要注意变元范围的传递．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 15.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和倍角可求.【详解】由题设有，因，故，所以，也就是，故填.【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把看成．16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值．【详解】由可知为直径，从而，设，则，，当时，的最大值为．填【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.17.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得（，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则（）（，），可得k OM，当且仅当y02＝2p2，取得等号．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）；18.已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助公式可得.（2）求出的范围后可得的值域.【详解】（1），令，则，故的单调递增区间为，（2）当时，，故.故值域为.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．19.已知正项数列的首项，前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增数列，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因为，故，所以，整理得到，因为正项数列，故，所以，所以为等差数列且公差为．又，故，所以．（2）由题设有为等比数列，故，整理得到，所以．令，因为单调增数列，故对任意的，总有，所以，整理得到：，因，故，故．【点睛】（1）数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）含参数的数列单调性应根据数列的单调性的定义来判断（即根据的符号来确定）.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，线段与的中点分别为（1）求证：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而得到平面.（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，因为分别为的中点，所以.因为四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形.故，而平面，平面，所以平面.（2）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，所以，而二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.【点睛】（1）线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.21.已知抛物线：的焦点为，直线：交抛物线于两点，是线段的中点，过怍轴的垂线交抛物线于点.（1）若，且，求直线的方程（2）若，且，求抛物线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用弦长公式可求直线的斜率，从而得到直线方程.（2）设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理可得，从而，再根据以及韦达定理得到关于的方程，求出后可得抛物线方程.【详解】（1）抛物线，由得到：，故，解得，故直线的方程为或.（2）直线，由得到：.设，从而，故.，，因，故，所以，整理得到：，而，，从而，解得（舎）或.抛物线的方程为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由离心率可设椭圆的标准方程为，代入已知的点可得椭圆的标准方程.（2）设，联立直线方程和椭圆的标准方程，消元后利用韦达定理和已知的弦长得到，从而可求出原点到直线距离与的关系式，最后利用换元法求的最大值即得面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由得，故椭圆方程为，代入点得，故椭圆方程为.（2）当的斜率不存在时，或，此时.当的斜率存在时，设，由得，所以，由得，化简得到.设到直线的距离为，则，令，则，令，则，当且仅当等号成立，故的最大值为，又，故的最大值为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。

杭州市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．82． 已知圆C ：x 2+y 2﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ） A ．一定相离 B ．一定相切C ．相交且一定不过圆心D ．相交且可能过圆心 3． 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ．C ．D ．4． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）A ．80B ．40C ．60D ．205． 已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）A ． B.C. D. 6． 若某几何体的三视图 （单位：cm ） 如图所示，则此几何体的体积是（ ）cm 3A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7． 把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）A ．y=sin （2x ﹣） B ．y=sin （2x+）C ．y=cos2xD ．y=﹣sin2x8． 下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性相同的是（ ）A．(ln y x = B ．2y x = C ．tan y x = D ．x y e = 9． 过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）A ．x ﹣2y+7=0B ．2x+y ﹣1=0C ．x ﹣2y ﹣5=0D ．2x+y ﹣5=010．已知两不共线的向量，，若对非零实数m ，n 有m+n与﹣2共线，则=（ ）A ．﹣2B ．2 C．﹣ D．11．已知，，那么夹角的余弦值（ ）A．B．C ．﹣2D．﹣12．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x ≤1时，f （x ）=2x ，则f （2015）=（ ） A ．2 B ．﹣2 C．﹣ D．二、填空题13．记等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，若a 4•a 5=2，则Π8= ．14．若曲线f （x ）=ae x +bsinx （a ，b ∈R ）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b ﹣a= ．15．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 16．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ． 17．函数f （x ）=的定义域是 ．18．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．三、解答题19．求点A （3，﹣2）关于直线l ：2x ﹣y ﹣1=0的对称点A ′的坐标．20．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N．求：（Ⅰ）集合M，N；（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．21．已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，（ⅰ）求证：直线CD过定点；（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．阿啊阿22．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2A=a ．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c 2=b 2+a 2，求B ．23．（本小题满分12分）两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.（1）求0x =，1y =，2z =的概率；（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．24．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．杭州市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵﹣2＜0∴f（﹣2）=0∴f（f（﹣2））=f（0）∵0=0∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2∵2＞0∴f（2）=22=4即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4故选C．2．【答案】C【解析】【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心C（1，0），半径r=，∵≥＞1，∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，∴直线l与圆相交且一定不过圆心．故选C3．【答案】D【解析】因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数为减函数且，所以，排除B，故选D答案：D4．【答案】B【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．5． 【答案】 C【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆的面积为1||2AB d '⋅=，选C ． 6． 【答案】B【解析】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，∴此几何体的体积==2π．故选：B ．7． 【答案】D【解析】解：把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x ﹣）﹣]=sin （2x ﹣π）=﹣sin2x ．故选D ． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x 加与减，上下平移，y 的另一侧加与减．8． 【答案】A 【解析】试题分析：()()f x f x -=-所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，C 定义域与()f x 不相同，D 为非奇非偶函数，故选A.考点：函数的单调性与奇偶性． 9． 【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x ﹣2y+7=0 故选A ．【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．10．【答案】C【解析】解：两不共线的向量，，若对非零实数m，n有m+n与﹣2共线，∴存在非0实数k使得m+n=k（﹣2）=k﹣2k，或k（m+n）=﹣2，∴，或，则=﹣．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面的基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．【答案】A【解析】解：∵，，∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，∴cos＜＞===﹣，故选：A．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：因为f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期是3，所以f（2015）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）；又因为函数f（x）是定义R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）=2x，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，即f（2015）=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f（2015）=f （3×672﹣1）=f（﹣1）．二、填空题13．【答案】16．【解析】解：∵等比数列{a n}的前n项积为Πn，∴Π8=a1•a2a3•a4•a5a6•a7•a8=（a4•a5）4=24=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．14．【答案】2．【解析】解：f（x）=ae x+bsinx的导数为f′（x）=ae x+bcosx，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为k=ae0+bcos0=a+b，由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae0+bsin0=a=﹣1，解得a=﹣1，b=1，则b﹣a=2．故答案为：2．15．【答案】2【解析】16．【答案】34 5【解析】考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.17．【答案】{x|x＞2且x≠3}．【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x＞2且x≠3故答案为：{x|x＞2且x≠3}18．【答案】锐角三角形【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角根据余弦定理，得cosC==＞0∵C∈（0，π），∴角C是锐角，由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形故答案为：锐角三角形【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），则线段A′A的中点B（，），由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故2×﹣﹣1=0 ①．再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得×=﹣1 ②，解①②做成的方程组可得：m=﹣，n=，故点A′的坐标为（﹣，）．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．20．【答案】【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得x＞，∴M={x|x＞}．由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或x＞3}．（2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或x＞3}，∴C R（M∪N）=．【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．21．【答案】【解析】满分（13分）．解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，…（2分）∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）∴点H的轨迹方程为x2=4y．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（x C，y C），D（x D，y D）．由y=，得．∴直线PC：y+1=x C（x﹣x1），…（5分）又PC过点C，y C=，∴y C+1=x C（x﹣x1）=x C x1，∴y C+1=，即．…（6分）同理，∴直线CD的方程为，…（7分）∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，得x1=1，直线CD的方程为．设l：y+1=k（x﹣1），与方程联立，求得x Q=．…（9分）设A（x A，y A），B（x B，y B）．联立y+1=k（x﹣1）与x2=4y，得x2﹣4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得x A+x B=4k．x A x B=4k+4…（10分）∵x Q﹣1，x A﹣1，x B﹣1同号，∴+=|PQ|==…（11分）==，∴+为定值，定值为2．…（13分）【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA，=（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．23．【答案】【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，此时的概率213111324P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭.（4分）24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）解法一：依题意有，答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．所以选乙合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．。

○…………○…………绝密★启用前浙江省杭州市高级中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{|}1Ax x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,)+∞2．下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ） A ．1sin y x=B ．||2x y =C ．3cos y x x ＝D ．1ln||y x = 3．下列计算正确的是（ ） A m n =- B ．222log 3log 5log 15⨯= C ．1099222-=D ．2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4．向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）○…………订…※※订※※线※※内※※○…………订…5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以x轴为始边，OA为终边的角为(),k k Zθθπ≠∈，若将OA绕O点顺时针旋转32π至OB，则点B的坐标为（）A．(sin,cos)θθ-B．(cos,sin)θθ-C．(cos,sin)θθ-D．(sin,cos)θθ-6．的正三角形ABC中，设,,AB c BC a AC b===u u u r u u u r u u u r rr r，则2a b b c c a⋅+⋅+⋅r rr r r r等于（）A．1-B．1 C．2 D．47．函数()sin()(0,0,0)f x A x Aωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x性质的描述正确的是（）A．23ϕπ=B．x712π=+kπ，k∈Z为其所有对称轴C．7,12x k k Zππ=+∈为其减区间D．()f x向左移12π可变为偶函数8．已知函数()2f x ax bx c=++，且存在相异实数m，n满足()()0f m f n==.若32a bc++=，则m n-的最小值是（）A．B C D第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 10．已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.11．已知函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f -=_____；若()f a =则a =_____.12．若827712186x x x x+=+，则x =_____. 13．在平面上，正方形ABCD ，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____. 三、解答题14．已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r r r .（1）若存在实数x 使得a b +rr 与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α. 15．某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可）（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 16．已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-. （1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.17．设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性；（2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p-=最大值是2，求p q +的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】化简集合A ，根据补集与交集的运算，即可求出()R B A I ð． 【详解】集合{}11|{|A x x x x =>=<-或1}x >，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 所以|12R B x x =≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭ð， 所以{|1}R B A x x ⋂=<-ð． 故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 2．D 【解析】 【分析】根据题意，可知函数为偶函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案． 【详解】根据题意，函数满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -= ，即函数()f x 为偶函数， 据此依次分析选项： 对于A ，1sin y x=，为奇函数，不符合题意； 对于B ，||2x y =，为偶函数，但在区间()0,1上为增函数，不符合题意； 对于C ，3cos y x x ＝，为奇函数，不符合题意； 对于D ，1ln ln ||y x x ==-，易得函数为偶函数且在()0,1上单调递减，符合题意. 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3．C 【解析】 【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误． 【详解】对于选项A m n =-，故A 不正确；对于选项B ，22222log 15log 3log 5log 3log 5=+≠⨯，故B 不正确； 对于选项C ，()10999222212-=-=，故C 正确；对于选项D ，223233125552527339⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r ，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=rr r ，又c r= a b rrλ+，所以2λ=.故选D 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型. 5．A 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可求点B 的坐标． 【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为,2k k Z πθθπ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos sin 2πθθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，点B 的纵坐标为3sin cos 2πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点B 的坐标为()sin ,cos θθ-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题． 6．C 【解析】 【分析】直接利用平面向量的数量积公式化简求解即可． 【详解】根据题意，作出正三角形ABC 的草图，则a r与b r 夹角为60︒，b r与c r 夹角为60︒，a r 与c r夹角为120︒，由正三角形ABC 和平面向量的数量积公式，则2cos602cos60cos120a b b c c a a b b c c a ⋅+⋅+⋅=︒+︒+⋅︒r r r r r r r r r r r r11121212222⎛⎫⎪⎝⎭++-=+-=．故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，解题过程中注意向量的夹角，属于基础题．7．D 【解析】 【分析】根据函数图像，可求出A 的值，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出ϕ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 【详解】由函数图像可知，1A =，又741234T πππ=-=，所以T π=，又2T ωπ=，得2ω= ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象过7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，将其代入()()sin 2f x x ϕ=+，可得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 03πϕπϕ<<∴=Q ，，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴()f x 向左移12π单位为sin 2cos 212123f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左移12π单位可变为偶函数．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A ，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求ϕ，属于中档题． 8．B 【解析】 【分析】由题意()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==，知方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，进而利用根与系数的关系求解．【详解】由题意得：方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，由032a b c ++=得c ＝32a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理得，m +n ＝b a -，mn ＝c a ， |m ﹣n |. 故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题． 9．12-【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义计算sin ,cos αα的值，再求an 2(t )πα+的值．【详解】角α终边上一点的坐标为(1,2)，则sin α==1cos 5α==， 所以sin cos 12tan 2sin 2cos 2παπααπαα⎛++====--+⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭． 故答案为：12- ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．10 3(0,)2【解析】 【分析】由向量的坐标公式，可得()21AB =-u u u r ，，从而可求出AB u u u r的值；再设(),C x y ，从而求出()1,2BC x y =+-u u u r ，根据12BC BA =u u u r u u u r ，可得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，根据向量相等的坐标运算公式，可求出,x y 的值，进而求出C 点坐标． 【详解】因为(1,1),(1,2)A B -，所以()21AB =-u u u r ，，可得AB ==u u u r设(),C x y ，则()1,2BC x y =+-u u u r，又12BC BA =u u u r u u u r ，得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，即11?122x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得 0?32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴C 点坐标是30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．30,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算． 11．29-12- 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得()()22223f f -=-=- ，计算可得答案；对于()f a = ，分0a >与0a <两种情况讨论，求出a 的值． 【详解】根据题意，函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数， 则()()2222239f f -=-=-=- ；若()f a = 当0a >时，()23a f a ==，无解；当0a <时，()()23af a f a -=--=-=12a =-， 故若()f a -＝，则12a =-. 故答案为：(1). 29-； (2). 12-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 12．±1 【解析】 【分析】直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果． 【详解】由于827712186x x x x +=+，设2,3x xa b ==， 所以33227 6a b a b ab +=+，整理得2261360a ab b -+=， 故23a b =或32a b =，所以1123x x ++=或-1-123x x =，解得1x =-或1x =. 故答案为：±1． 【点睛】本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 13．4 【解析】 【分析】作出草图，根据题意，点P 位于正方形ABCD 的外接圆圆E 上，当AP AC ⋅u u u r u u u r 最大时， APu u u r与AC u u u r的夹角为0︒，点P 与点C 重合，再根据数量积公式，即可求出结果．【详解】如图根据题意，点E 为BD 中点，且||1PE =u u u r；所以点P 在正方形ABCD 的外接圆圆E 上；又cos AP AC AP AC θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中θ为AP u u u r与AC 的夹角；所以当0θ=︒时，有最大值，此时点P 与点C 重合；∴()2max4AP ACAC ⋅==u u u r u u u r u u u r .故答案为：4． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题．14．（1）[1,1]-（2【解析】 【分析】（1）根据条件可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=u r r ，代入坐标，列方程，整理化简，可得到k 关于x 的函数，根据正弦函数的性质得出k 的范围； （2）根据条件可得1sin 3α=，再根据α的范围求出cos α，从而可得tan α的值． 【详解】（1）∵ a b +r r与a b -r r 垂直，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22 0a b -=u r r ，∴22sin 11x k +=+有解，又20sin 1x ≤≤，所以201k ≤≤， 故11k -≤≤，即[1,1]k ∈-．（2）因为()f x a b =⋅rr ，所以()sin f x x k =+，故()sin f k αα=+，又1()3f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=，∵(0,)απ∈，所以当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cos 3α==sin tan cos 4ααα==；当(,)2παπ∈时，cos α==tan 4α=-；所以tan α=或4-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角函数的性质，属于基础题．15．（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（313【解析】 【分析】（1）根据表格数据，即可写出()f x 的解析式； （2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据函数()g x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值求出t 的值，进而求出最小值即可． 【详解】（1）根据表格可得122236πππω⋅=-，所以2ω=； 根据表格可得262ππϕ⨯+=，又||2ϕπ<，所以6π=ϕ，故函数的解析式为:()2sin(2)6f x x π=+. （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（3）因为02x p -＃，所以52666x πππ-≤+≤，故有11sin(2)62x π-≤+≤. 所以，当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-. 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以t 1，所以函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 【点睛】本题考查了三角函数的五点法作图和正弦性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，是中档题. 16．（1）1233x <<（2）{}8|a a ≥（3）{},1,2 123⎛⎤⋃⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果． 【详解】（1）当2a =时，不等式为:()()23log 320f x x =-+<，可得:0321x <-+<，则不等式解为1233x <<. （2）函数()()2224log (3)4(34)f x x a x x a -=--+-⎡⎤⎣⎦，设函数()2(3)4(34)y a x x a =--+-的值域为M ，则(0,)M +∞⊆， 当30a -=，即3a =时，不满足题意， 当30a -≠，即3a ≠时，23016(3)4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨∆=----≥⎩，得实数a 的取值范围是{}8|a a ≥.（3）因[]221log (3)(34)log (2)y a x a a x=-+--+有且只有一个零点， 故1(3)(34)2a x a a x-+-=+，原问题等价于方程2(3)(4)10(*)a x a x -+--= 当满足120a x+>时，只有唯一解，方程(*)化为()–31)10(a x x ⎡⎤+⎣⎦-=，①当3a =时，解得1x =-，此时1250a x+=>，满足题意； ②当2a =时，两根均为1x =-，此时1230a x+=>也满足； ③当2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x = 当13x a =-时，1233a a x+=-， 当1x =-时，1221a a x+=-， 由题意，()()33210a a --<，解得112a <<， 综上，a 的取值范围是{},1,2 123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题．17．（1）见解析（2）证明见解析（3）11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）写出函数y 的解析式，分别判断0q =和0q <时，函数y 的奇偶性； （2）利用单调性定义证明即可；（3）化简函数()h x ，利用换元法将其转化为函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得p q +的取值范围． 【详解】（1）①当0q =时，由于()()()()––cos sin f x g x p x x f x g x =-=-⋅，从而()()f x g x 为奇函数；②当0q <时，由1()()()662f g p q ππ--=-+，1()()()662f g p q ππ=+， 得()()()()6666f g f g ππππ--≠-，且()()()()6666f g f g ππππ--≠.故函数()()y f x g x =为非奇非偶函数. （2）当0q =时，函数22()sin ()1sin f x p x y g x x ==-在(,)22ππ-上递增. 理由:任取12,x x ，且2122x x ππ<<-<，则12sin sin 0x x -<，()()()()1212121222221212sin sin 1sin sin sin sin 01sin 1sin 1sin 1sin p x x x x p x p x y y x x x x -+-=-=<----， 故函数2()()f x y g x =在(,)22ππ-上递增. （3）222|()()|()|sin sin |p g x f x h x p x x p q p-==--+-，下面研究函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，①当11122p -≤-≤-，即112p ≤≤时， (1)|1|H q =+，()111H q q -=-=-， 11()24H p q p p-=+-， 所以max 1()(1),(1),() 2H x max H H H p ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭， 又14p q p +-在112p ≤≤时递增， 所以151,44p q q q p ⎡⎤+-∈--⎢⎥⎣⎦，即有max 1()24H x p q p =+-=， 可得1224p q p p +=+-，在112p ≤≤递增，可得11,24p q ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；②当112p-<-，即12p<<时，max()max{(1),(1)}12H x H H q=-=-=，即1q=-，可得11(1,)2p q p+=-∈--，综上可得，11,4p q⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数最值应用问题，是难题．。

杭州二中2018学年第一学期高二年级期末考数学试卷考试时间：100分钟；总分100分一、单选题（共8题，每题4分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数ii--13等于（）A.1+2iB.12i- C.2+iD.2i-2.双曲线221x my -=的一个焦点坐标为，则双曲线的渐近线方程为（）A.14y x =±B.12y x =±C.2y x =±D.4y x=±3.用反证法证明“,,a b c 中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）A.假设,,a b c 都大于0B.假设,,a b c 都不大于0C.假设,,a b c 都小于0D.假设,,a b c 至多有一个大于04.已知直线l ⊥平面α，直线m //平面β，则“α//β”是“l ⊥m ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件5.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p py x 的交点为,A B .,A B 连线经过抛物线焦点F ，且线段AB 的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A.2B.12C.2D.26.设直线)(01)1(:R m y m mx l ∈=--+，圆4)1(:22=+-y x C ，则下列说法中正确的是（）A.直线l 与圆C 有可能无公共点B.若直线l 的一个方向向量为(1,2)a =-，则1m =-C.若直线l 平分圆C 的周长，则0m =D.若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ,则线段MN 的长的最小值为327.在正方体11111CC E D C B A ABCD 是棱中，-的中点，11B BCC F 是侧面内的动点，且AE D F A 11//平面，记F A 1与平面11B BCC 所成的角为θ，下列说法正确的个数是（）①点F 的轨迹是一条线段②F A 1与E D 1不可能平行③F A 1与BE 是异面直线④22tan ≤θA.1B.2C.3D.48.已知21,F F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且︒=∠6021PF F ,则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）A.33 B.23 C.1D.3二、填空题（共7题，每题4分）9.抛物线22x y =的焦点坐标为.10.设平面α的法向量为()2,2,11-=n ，平面β的法向量为()4,,22λ=n ，若βα⊥，则=n .11.用数学归纳法证明：()112131211n ><-+⋯⋯++n n ，在第二步证明从1+==k n k n 到成立时，左边增加的项是.（用含有k 的式子作答）12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.13.圆082422=---+y x y x 关于直线)0,(022>=-+b a by ax 对称，则ba 41+的最小值为.14.已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点，A 是双曲线上位于第一象限内的一点，满足2OA OF OF = ，直线OA 的方程为x y 332=，则双曲线的离心率为.15.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，=90ABC ∠,1AB =，2AC CD DA ===,M 是边DC 上的动点（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将ADM ∆翻折成AD M '∆，当平面AD M '垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为.三、解答题（共40分）16.（本小题满分9分）已知命题p ：方程02224222=+-++-+m m my x y x 表示圆；命题q ：方程15122=-+-ay m x 表示焦点在y 轴上的椭圆。

杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷 (理科)注意事项：本卷考试时间90分，满分100分。

本卷全部答案一定答在答题卷上，不然无效。

不可以使用计算器。

一．选择题1．已知命题p：xR,sinx1，则（）A.p:x R,sinx1B.p:x R,sinx1C.p:x R,sinx1D.p:x R,sinx12．已知复数z a i(a0,i是虚单位)，若|z|5，则1的虛部是（）11i1i z1A. B. C. D.33553．当a＞0时，设命题P：函数f(x)x a在区间（1，2）上单一递加；命题Q：不等式x2ax10x对随意x∈R都建立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．0a1B．1a2C．0a2D．0a1或a24．已知直线l,m,平面,,且l,m，给出以下四个命题：①若//,则l m;②若l m,则//;③若,则l//m;④若l//m,则.此中正确的命题是（）A．①④B．②④C．①③④D．①②④5．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图为向来角三角形；俯视图为向来角梯形，且AB BC 1,则异面直线PB与CD所成角的正切值是（）。

A.1B.2C.1D.1226．已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA平面ABC，AB BC，SAAB1，BC2，则球O的表面积等于(球的表面积为S4R2)（）A．4B．3C．2D．7．直线l经过A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是A．[0,)B．[0,][3,)C．[0,]D．[0,](,)444428．若圆x2y21和x2y24x4y70对于直线l对称，则l的方程是（）A.x y0 B.x y 2 0 C.x y 2 0 D.x y 2 09.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，知足 MF 1 MF 2 0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B．(0,1]C ．(0,2) D ．[ 2,1)222y 2 x 2 1(a,b0)的一条渐近线与椭圆x 2 y 2 10．双曲线a 2a 21(ab0)交于点M 、b 2b 2N ，则MN=（）A.2(a 2b 2)B.2(a 2 b 2)C.2a D.a +b二．填空题1 2i R 在复平面上对应的点位于第一象限，则m 的取值范围是 。

【高二】浙江省杭州高级中学高二上学期期末考试数学（文）试
题（无答案）
试卷说明：
注意事项：1．2．一、选择题：本小题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是最符合要求的．的值为（）A．3B．4C．5D．62、已知
m,a都是实数，且，则“”是“成立的”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必
要条件 D.不充分也不必要条件 3、设，，，则（）A．B．C．D．4、用、、表示三条不
同的直线，表示平面，给出下列命题：①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.A. ①②B. ②③C. ①④D.③④5、等差数列为数列的前项和，则使的的最小值为（）A．11 B．10 C．6 D． 56、若，，则（）A. > B. 0，
ω>0，）在一个周期内的图象如图所示。

（1）求f（x）的表达式；（2）求直线y=与函
数f（x）图象的所有交点的坐标.19 （本小题满分10分）中，底面四边长为1的菱
形，, , ,为的中点，为的中点（1）证明：直线；（2）求0B与平面OCD所成角的正弦值。

20（本小题满分10分），（1）若存在使成立，求实数的取值范围；（2）设，且在[0，1]上单调递增，求实数的取值范围. 21（本小题满分1分）与抛物线交于两点 (坐标原点)，直线与抛物线C交于两点．（1）若，求实数的值；（2）过分别作轴的垂线，垂
足分别为A1，B1，D1．记S1，S2分别为三角形和四边形的面积，求的取值范围．第3页高考
我做主@浙江省杭州高级中学
高二
上学期期末考试数学（文）试题（无答案）
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浙江省杭州地区重点中学2019-2020学年上学期期末考试高二数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（ ） A ． 圆锥 B ．圆柱 C ．圆台 D ．球2.抛物线2x y =的准线方程是（ ） A ．21-=y B ．41-=y C ．41=y D ．21=y 3.直线0433=++y x 的倾斜角大小是（ ） A ．6π-B ． 3πC ． 65πD ． 32π 4.已知平面α与两条直线m l ,，α⊥l ，则“l m //”是“α⊥m ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 5.两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是（ ） A ．两条平行直线 B ．两条相交的直线 C. 一条直线与直线外一个点 D ． 一条直线6.直线042=-+by ax 被圆012422=+-++y x y x 截得的弦长为4，则22b a +的最小值是（ ）A ． 3B ．3 C. 2 D ．27.一个结晶体的形状是平行六面体1111ABCD A B C D -，以A 顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是3π，则对角线1AC 的长度是（ ） A ．3 B ．2 C. 5 D ．68.已知21,F F 分别是双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在点22221x y a b-=(0,0)a b >>，使02160=∠AF F ，且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离心率是（ ）A ．332 B ．3 C. 334 D ．32 9.已知直线)(01sin cos :R a y x l ∈=-+αα与圆4)5()2(22=-+-y x 相切，则满足条件的直线l 有（ ）条A ． 1B ．2 C. 3 D ．410.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，F E ,分别为线段111,CC B A上两个动点且23=EF ，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在某个位置F E ,，使DF BE ⊥ B ．存在某个位置F E ,，使//EF 平面11BCD A C.三棱锥BEF B -1的体积为定值 D ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11.双曲线1322=-y x 的焦距是 ；渐近线方程是 ．12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ；最长边的大小是 ．13.长方体1111ABCD A B C D -中，1==AD AB ，21=AA ，则异面直线1AA 与1BD 所成角的大小是 ；1BD 与平面11A ADD 所成角的大小是 ．14.点P 是抛物线y x 42=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 距离的最小值是 ；距离最小时点P 的坐标是 ．15.已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，)2,1,(-=x c ，若c b a ,,是共面向量，则=x ． 16.矩形ABCD 与ABEF 所在平面相互垂直，AB AF AD 3==，现将ACD ∆绕着直线AC 旋转一周，则在旋转过程中，直线AD 与BE 所成角的取值范围是 ．17. 若椭圆)15(1151022>=-++t t y t x 与双曲线191622=-y x 在第一象限内有交点A ，且双曲线左、右焦点分别是21,F F ，021120=∠A F F ，点P 是椭圆上任意一点，则21F PF ∆面积的最大值是 ．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知直线012:=+-y ax l 与圆03222=--+x y x C ：相交于B A ,两个点. （1）求圆C 的圆心与半径； （2）若32||=AB ，求实数a 的值.19. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ABC ，21===AA BC AB ，⊥1AA 平面ABC ，F E ,分别是111,C A BB 的中点.（1）求证：CE AF ⊥；（2）求平面AEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.20.平面上的动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与到直线1-=x 的距离相等. （1）求点P 的轨迹方程C ；（2）过点F 作直线l 与点P 的轨迹交于B A ,两个不同的点，若3=，求直线l 的方程.21. 如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，5=AB ，7=BC ，8==PA AC ，32π=∠PAC ，G 是ABC ∆重心，E 是边PC 上点，且PC PE λ=.（1）当31=λ时，求证：//EG 平面PAB ；（2）若PC 与平面ABE 所成角的正弦值为552时，求λ的值.22.如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，)1,2(P 是椭圆E 上一点。

10．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，那么点P的轨迹是〔〕A、直线B、抛物线C、椭圆D、双曲线的一支二．填空题〔共6小题,双空每空3分，单空每空4分，共30分〕11.直线的斜率为；倾斜角大小为______．12.圆：, 那么圆在点处的切线的方程是___________；过点〔2，2〕的切线方程是 .13．某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积为cm3，该几何体的外表积为cm214．m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点〔m，n〕是双曲线一条弦的中点，那么此弦所在的直线方程为．15．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x2=2py〔p＞0〕交于M，N 两点．假设|MF|+|NF|=4|OF|，那么该双曲线的离心率为．16．在三棱锥T﹣ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，以下命题：①D一定是△ABC的垂心；②D一定是△ABC的外心；③△ABC是锐角三角形其中正确的选项是三、解答题〔共4题，50分〕17．〔总分值12分〕抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F〔1，0〕，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=﹣2相交于M，N两点．〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．18.〔总分值12分〕如下图，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°SA=2,，BC=1，，∠ACD=60°，E为CD的中点．〔1〕求证：BC∥平面SAE；〔2〕求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．19．〔总分值12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=．〔1〕证明：平面CEF⊥平面PAD；〔2〕设=k〔0＜k＜1〕，且二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，求实数k的值．20．〔总分值14分〕对于曲线C上一点T，假设在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TM⊥TN，那么称点T为曲线C的“T点〞，△TMN是点T的一个“特征三角形〞．椭圆的一个顶点为B〔0，1〕，A1，A2分别为椭圆G的左、右顶点．〔 I〕证明：△BA1A2不是点B的“特征三角形〞；〔 II〕当a=2时，点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的“特征三角形〞，求出点M，N的一组坐标；〔 III〕试判断点B是否为椭圆G的“T点〞，假设是，求出其“特征三角形〞的个数；假设不是，请说明理由．高二数学期末复习卷答案二．填空题〔共6小题,双空每空3分，单空每空4分，共30分〕11.； 12.；x=2或y=213． , 14．x﹣2y+1=015．．16．①③④三、解答题〔共4题，50分〕17．〔总分值12分〕抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F〔1，0〕，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=﹣2相交于M，N两点．〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．【解答】解：〔Ⅰ〕由焦点坐标为〔1，0〕可知，p=2∴抛物线C的方程为y2=4x〔Ⅱ〕当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，∴．当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k〔x﹣1〕，设M〔﹣2，y M〕，N〔﹣2，y N〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由整理得 k2x2﹣〔4+2k2〕x+k2=0，∵∠AOB=∠MON，∴x1•x2=1．∴．综上18.〔总分值12分〕如下图，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，，BC=1，，∠ACD=60°，E为CD的中点．〔1〕求证：BC∥平面SAE；〔2〕求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．【解答】证明：〔1〕因为，BC=1，∠ABC=90°，所以AC=2，∠BCA=60°，在△ACD中，，AC=2，∠ACD=60°，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以△ACD是直角三角形，又E为CD的中点，所以又∠ACD=60°，所以△ACE为等边三角形，所以∠CAE=60°=∠BCA，所以BC∥AE，又AE⊂平面SAE，BC⊄平面SAE，所以BC∥平面SAE．〔2〕由〔1〕可知∠BAE=90°，以点A为原点，以AB，AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么S〔0，0，2〕，，，．所以，，．设为平面SBC的法向量，那么，即设x=1，那么y=0，，即平面SBC的一个法向量为，所以所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为．19．〔总分值12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=．〔1〕证明：平面CEF⊥平面PAD；〔2〕设=k〔0＜k＜1〕，且二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，求实数k的值．【解答】〔1〕证明：由PA=PD=2，点E是AD的中点，∴PA⊥AD，ABCE是矩形，∴EC⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，EC∴PA⊥平面ABCDEC⊂平面ABCD∴PA⊥EC．∵BC=AD=1，AD∥BC，AB⊥AD，∴EC⊥AD，AD⊂平面PAD，∴平面CEF⊥平面PAD．〔2〕由〔1〕可得PA⊥AD，EC⊥AD，PA⊥EC，以E为坐标原点，向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如下图的空间直角坐标系A﹣xyz．E〔0，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔0，，0〕，B〔﹣1，，0〕，设F〔x，y，z〕，那么=〔x，y，z﹣〕，=〔﹣1，，﹣〕，∵，∴，可得：x=﹣k，y=，z=，即F〔﹣k，，〕，设平面CEF的法向量为〔p，q，r〕，=〔﹣k，，〕，=〔﹣k，，〕∴，即，，那么q=0，p=，即〔，0，〕，PCE的法向量为=〔﹣1，0，0〕，二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，即cos30°=||=||=，解得：k=，故得实数k的值为．20．〔总分值14分〕对于曲线C上一点T，假设在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TM⊥TN，那么称点T为曲线C的“T点〞，△TMN是点T的一个“特征三角形〞．椭圆的一个顶点为B〔0，1〕，A1，A2分别为椭圆G的左、右顶点．〔 I〕证明：△BA1A2不是点B的“特征三角形〞；〔 II〕当a=2时，点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的“特征三角形〞，求出点M，N的一组坐标；〔 III〕试判断点B是否为椭圆G的“T点〞，假设是，求出其“特征三角形〞的个数；假设不是，请说明理由．【解答】〔本小题总分值14分〕解：〔 I〕证明：，，因为a＞1，所以，即A1B与A2B不垂直．所以△BA1A2不是点B的“特征三角形〞．…〔4分〕〔 II〕当a=2时，椭圆．因为点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的一个“特征三角形〞，不妨设M〔m，n〕，N〔m，﹣n〕〔﹣2＜m＜2〕．由题意得：解得或〔舍〕所以〔或〕…．〔8分〕〔III〕点B是椭圆G的“T点〞．不妨设点B的“特征三角形〞为△BPQ．设直线BP的方程为y=kx+1〔k＞0〕，那么直线BQ的方程为，由得〔1+a2k2〕x2+2a2kx=0．因为B〔0，1〕，所以．所以=．同理可得．因为|BP|=|BQ|，所以，即〔k﹣1〕[k2+〔1﹣a2〕k+1]=0．〔1〕所以k=1或k2+〔1﹣a2〕k+1=0〔2〕．由〔2〕式可得△=〔1﹣a2〕2﹣4=〔a2+1〕〔a2﹣3〕．当时，〔2〕式有两个相等的正根1，所以〔1〕式有三个相等的正根为k=1；当时，〔2〕式有两个不等于1 的正根，所以〔1〕式有三个不相等的正根；当时，〔2〕式无实根，所以〔1〕式只有一个正根为k=1．综上：当时，满足条件的“特征三角形〞有1个．当时，满足条件的“特征三角形〞有3个．…．〔14分〕。

2018-2019学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.直线x+y+1=0与直线x+y−1=0之间的距离是()A. √2B. √22C. 1 D. 12【答案】A【解析】解：直线x+y+1=0与直线x+y−1=0之间的距离是d=|1−(−1)|√12+12=√2．故选：A．根据两条平行直线间的距离公式计算即可．本题考查了求两条平行线间的距离应用问题，是基础题．2.若a<b<0下列不等式中不成立的是的是()A. |a|>|b|B. 1a−b >1aC. 1a>1bD. a2>b2【答案】B【解析】解：∵a<b<0，∴a<a−b<0，∴1a−b <1a．因此B不正确．故选：B．由a<b<0，可得a<a−b<0，可得1a−b <1a.即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.不等式2x−3x−1≤1的解集为()A. (−∞,2]B. [1,+∞)C. (1,2]D. [1,2]【答案】C【解析】解：根据题意，2x−3x−1≤1⇒x−2x−1≤0⇒(x−1)(x−2)≤0且x−1≠0，解可得：1<x≤2，即不等式的解集为(1,2]；故选：C．根据题意，2x−3x−1≤1⇒x−2x−1≤0⇒(x−1)(x−2)≤0且x−1≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查分时不等式的解法，注意将分时不等式变形为整式不等式，属于基础题．4.已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，a32=a5，则该数列的前5项的和为()A. 20B. 24C. 31D. 32【答案】C 【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，a32=a5，∴a1(q+2)=4，(a1q2)2=a1q4，联立解得a1=1，q=2．∴该数列的前5项的和=25−12−1=31．故选：C．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设x，y满足{2x+y≥4x−y≥−1x−2y≤2，则z=x+y()A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】解析：如图作出不等式组表示{2x+y≥4x−y≥−1x−2y≤2的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2,0)时，z有最小值，但z没有最大值．故选：B．本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件{2x+y=4x−y≥−1x−2y≤2对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．6.已知两条异面直线，以及空间给定一点，则()A. 必存在经过该点的平面与两异面直线都垂直B. 必存在经过该点的平面与两异面直线都平行C. 必存在经过该点的直线与两异面直线都垂直D. 必存在经过该点的直线与两异面直线都相交【答案】C【解析】解：在A中，如果两条异面直线都垂直于同一平面，则这两条异面直线平行，与已知矛盾，故A 错误；在B中，若该点在这两条异面直线其中一条上，经过该点无法作一平面与两异面直线都平行，故错误；在C中，经过空间一点作与两条异面的公垂线段平行的直线，与两条异面直线都垂直，而且这样的直线有且只有一条，故C正确；在D中，若该点不在两条异面直线的公垂直线段长，则经过该点与两异面直线都相交的直线不存在，故D 错误．故选：C．利用平行公理能判断A的正误；在B中，若该点在这两条异面直线其中一条上，不成立；利用两异面直线的公垂线性质能判断C的正误；在D中，若该点不在两条异面直线的公垂直线段长，不成立．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7.已知正四面体的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a3：b3的值为()A. 3π：√3B. √3：3πC. √3：2πD. 3π：√2【答案】D【解析】解：正四面体的体积V1=13×√34a2×√a2−(23×√32a)2=√212a3．圆柱的体积V2═π×(b2)2×b=π4b3．它们的体积相等，√212a3=π4b3．∴a3：b3=3π：√2．故选：D．分别求出正四面体和圆柱的体积，根据体积相等列出方程得出比值．本题考查了空间几何体的体积公式，属于基本知识的考查．8.圆心在曲线y=2x(x>0)上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为()A. (x−1)2+(y−2)2=5B. (x−2)2+(y−1)2=5C. (x−1)2+(y−2)2=25D. (x−2)2+(y−1)2=25【答案】A【解析】解：设圆心为(a,2a) (a>0)，则r=|2a+2a+1|√5≥|2√2a⋅2a+1|√5=√5，当且仅当a=1时等号成立．当r最小时，圆的面积S=πr2最小，此时圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=5；故选：A．设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．9.三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC，∠BAC=90∘，AB=AC，则下列异面直线所成角最大的是()A. PA与BCB. PB与ACC. PC与ABD. 无法确定【答案】A【解析】解：如图，∵PA=PB=PC，∴顶点P在底面的射影为底面三角形的外心，设为O，∵∠BAC=90∘，AB=AC，∴O为BC的中点，则AO⊥BC，又PO⊥BC，可得BC⊥平面PAO，则PA⊥BC，∴PA与BC所成角为90∘；假设PB⊥AC，∵PO⊥AC，∴AC⊥平面PBC，则AC⊥BC，与∠BAC为90∘矛盾；同理PC与AB所成角小于90∘．故PA与BC所成角为最大角，等于90∘．故选：A．由已知画出图形，证明PA与BC所成角为90∘，再由反证法说明B，C错误，则答案可求．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用反证法证明数学问题，是中档题．10.Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=1，BC=√3，P为△ABC所在平面内一点，PA⊥PC，M为PC中点，则MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为()A. 15+6√38B. 14+7√36C. 22+3√57D. 7+2√74【答案】D【解析】解：以B为坐标原点，建立如图所示的坐标系：∵AB=1，BC=√3，故A(−1,0)，C(0,√3)，AC=2，若P为△ABC所在平面内一点，PA⊥PC，则P落中以AC中直径的圆上，设PC 的中点M(x,y)，则P 点坐标为(2x,2y −√3)，由P 点所在圆的圆心坐标为(−12,√32)，半径为1，故2x =−12+cosθ，2y −√3=√32+sinθ，(θ为参数)，故x =−14+12cosθ，y =3√34+12sinθ，(θ为参数)，即M 点的坐标为(−14+12cosθ,3√34+12sinθ)，故MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34−12cosθ,−3√34−12sinθ)， MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14−12cosθ,−3√34−12sinθ)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =74+2√74sin(θ+φ)，其中tanφ=√39， 故MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为7+2√74故选：D ．以B 为坐标原点，建立坐标系：先求出M 点的坐标为(−14+12cosθ,3√34+12sinθ)，再求出两个向量的坐标，代入数量积公式，结合辅助角公式，进而可得答案．本题考查的知识点是与向量有关的最值问题，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．二、填空题（本大题共6小题，共28.0分）11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______；表面积为______．【答案】2π 8+5π【解析】解：由题意，几何体为底面直径为2，高为2的半圆柱体， 所以几何体的体积是12×π×12×4=2π，表面积为：π×12+2×4+π×4=8+5π． 故答案为：2π；8+5π．由题意，几何体为底面直径为2，高为2的半圆柱体，即可求出几何体的体积以及表面积．本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．12. 已知圆C ：x 2+y 2−2ax −2y +a 2−3=0的圆心在直线1：x +y −3=0上，则a =______；此时圆C 的标准方程为______．【答案】2 (x −2)2+(y −1)2=4【解析】解：∵x 2+y 2−2ax −2y +a 2−3=0， ∴(x −a)2+(y −1)2=4， 故圆心是(a,1)，半径是2，将(a,1)代入直线l 得：a +1−3=0，解得：a =2， 故圆的方程是：(x −2)2+(y −1)2=4， 故答案为：2，(x −2)2+(y −1)2=4．求出圆的标准方程，求出圆心的坐标，代入直线方程求出a 的值，从而求出圆的方程即可． 本题考查了圆的标准方程，考查转化思想，是一道常规题．13. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3=3，则a5a 3=______．【答案】179【解析】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则S n =na 1+n(n−1)d2，由S 5S 3=3，得5a 1+10d3a 1+3d =3，即d =4a 1， ∴a 5a 3=a 1+4d a 1+2d=17a 19a 1=179．故答案为：179．设出等差数列的首项，由S 5S 3=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得a 5a 3．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题．14. 已知正数a ，b ，c 满足3a −b +2c =0，则√acb 的最大值为______．【答案】√612【解析】解：根据题意，设t =√acb，由3a −b +2c =0可得3a +2c =b ，则t =√ac b=√ac 3a+2c=13√a c+2√c a≤12√3√a c⋅2√c a=12√6=√612；当且仅当3a =2c 时“=”成立， 则t ≤√612，即√acb的最大值为√612；故答案为：√612．消去b ，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案．本题考查基本不等式的运用，关键将3a −b +2c =0变形为3a +2c =b ，本题是一道中档题．15. 在区间(−∞,t]上存在x ，使得不等式x 2−4x +t ≤0成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】[0,4]【解析】解：∵不等式x 2−4x +t ≤0成立， ∴△=(−4)2−4t ≥0， 解得t ≤4①；又x ∈(−∞,t]，不等式x 2−4x +t ≤0成立， ∴x ≤t ≤4x −x 2， 即x ≤4x −x 2， 解得0≤x ≤3， ∴t ≥0②；综上，实数t 的取值范围是[0,4]． 故答案为：[0,4]．根据不等式x 2−4x +t ≤0成立，△≥0求出t ≤4①；再根据x ∈(−∞,t]，不等式x 2−4x +t ≤0成立，得x ≤t ≤4x −x 2，求出0≤x ≤3，得t ≥0②；由此求出t 的取值范围．本题考查了不等式的应用问题，也考查了等价转化思想的应用问题，是基础题目．16. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AB =AC =3√2，F 为线段BC 上的点，CF =2，E 为线段AB 上的点，现将四边形AEFC 沿EF 折起，使点A 在平面BEF 上的射影Q 在直线BF 上，且二面角A −EF −B 的大小为60∘，则此时线段AE 的长度为______．【答案】53√2【解析】解：如图所示，在△ABC 中，作AM ⊥EF 交BC 于点Q ，M 点为垂足． ∵点A 在平面BEF 上的射影Q 在直线BF 上，且二面角A −EF −B 的大小为60∘，在折叠图中，∠AMQ 为二面角A −EF −B 的平面角，大小为60∘．∴AM =2MQ ．在△ABC 中，BC 边所在直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.O 点为坐标原点.BC =3√2×√2=6．则O(0,0)，F(1,0)，A(0,3)，B(−3,0)． 设Q(t,0)，∵QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)+13(−t,3)=(23t,1)． ∵AQ ⊥MF ，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,−3)⋅(23t −1,3)=t(23t −1)−9=0． 化为：2t 2−3t −9=0，t <0．解得t =−32.∴M(−1,1)．直线EF 的方程为：y =1−1−1(x −1)，化为：x +2y −1=0． 直线AB 的方程为：−x +y =3．联立为：{x +2y −1=0−x+y=3，解得x =−53，y =43．∴E(−53,43).∴AE =√(−53)2+(43−3)2=53√2． 故答案为：53√2．如图所示，在△ABC 中，作AM ⊥EF 交BC 于点Q ，M 点为垂足.根据点A 在平面BEF 上的射影Q 在直线BF 上，且二面角A −EF −B 的大小为60∘，在折叠图中，∠AMQ 为二面角A −EF −B 的平面角，大小为60∘.可得AM =2MQ.在△ABC 中，BC 边所在直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.O 点为坐标原点.BC =6.设Q(t,0)，利用QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⊥MF ，可得AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得M 点坐标.联立直线EF 的方程与直线AB 的方程可得E 点坐标.即可得出AE ．本题考查了空间角、相互垂直的直线与数量积之间的关系、平面向量坐标运算性质、两点之间的距离公式、直线交点，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共72.0分）17. 已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −4)2+(y −4)2=R 2(R >0)．(Ⅰ)R 为何值时，圆C 1与圆C 2外切；(Ⅱ)在(1)的条件下，设切点为P ，过P 作直线l 与圆C 1相交于E 点，若|PE|=√2，求直线l 的方程． 【答案】解：(Ⅰ)由已知圆的方程可得：C 1(0,0)，C 2(4,4)，则|C 1C 2|=4√2=R +1． ∴R =4√2−1；(Ⅱ)∵C 1(0，0)，C 2(4,4)，∴P 为直线C 1 C 2与圆 C 2的交点(第一象限)． 联立{x 2+y 2=1y=x，得P(√22,√22).当直线斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， ∴l ：kx −y +√22(1−k)=0，则圆心C 1到直线l 的距离d =√12−(√22)2=|−√22k+√22|√1+k2，解得：k =0，此时直线方程为y =√22．当直线斜率不存在时，直线方程为x =√22也满足条件．【解析】(Ⅰ)由两圆圆心距与半径的关系列式求得R 值；(Ⅱ)联立直线方程与圆的方程，求出P 的坐标，然后分类求解得答案．本题考查圆与圆位置关系的判定，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．18. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中.(I)证明：AC 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)求直线CC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值．【答案】(本题满分14分)证明：(Ⅰ)连结AC交BD于点O，∵OC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴OC1⊥BD，又∵AC⊥BD，AC与BD交于点O，∴BD⊥平面ACC1，………………………………(3分)而AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，……………(4分)同理可证AC1⊥A1B，∵A1B∩BD=B，……(6分)∴AC1⊥平面A1BD．解：(Ⅱ)∵AA1//CC1，故直线CC1与平面A1BD所成角即为直线AA1与平面A1BD所成角，…………(9分)由(1)知AC1⊥平面A1BD，设AC1与平面A1BD的交点为H，由题意知，点H在直线A1Q上，∴直线AA1在平面A1BD上的射影即为直线A1Q，…………………………………(10分)故∠AA1Q即为直线AA1与平面A1BD所成角，………………………………………(11分)设正方体棱长为1，则在Rt△AA1O中，AA1=1,AO=√22,A1O=√62，………………………………(13分)∴直线CC1与平面A1BD所成角的正弦值sin∠AA1O=√33.……………………………(14分)【解析】(Ⅰ)连结AC交BD于点O，推导出OC1⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面ACC1，进而AC1⊥BD，同理AC1⊥A1B，由此能证明AC1⊥平面A1BD．(Ⅱ)由AA1//CC1，得直线CC1与平面A1BD所成角即为直线AA1与平面A1BD所成角，由此能求出直线CC1与平面A1BD所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a n+n2−1(n∈N∗)．(Ⅰ)求a1及{a n}的通项公式；(Ⅱ)记b n=3n−1a n，求{b n}的前n项和T n．【答案】解：(Ⅰ)当n=2时，S2=a1+a2=a2+3，即a1=3，n≥2时，S n=a n+n2−1，S n−1=a n−1+(n−1)2−1，两式相减得a n=a n−a n−1+2n−1，即a n−1=2n−1，综上数列{a n}的通项公式a n=2n+1，n∈N∗；(Ⅱ)b n=3n−1a n=(2n+1)⋅3n−1，前n项和T n=3⋅30+5⋅31+7⋅32+⋯+(2n+1)⋅3n−1，3T n=3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n+1)⋅3n，两式相减得−2T n=3+2(3+32+⋯+3n−1)−(2n+1)⋅3n=3+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n+1)⋅3n，化简可得T n=n⋅3n．【解析】(Ⅰ)令n=1可得首项；将n换为n−1，两式相减可得所求数列的通项公式；(Ⅱ)求得b n=3n−1a n=(2n+1)⋅3n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．20.如图，三棱台ABC−A1B1C1中，上下底面均为正三角形AB=4，A1B1=2，AA1=BB1=CC1=4，设l为平面A1B1C1与平面ABC1的交线．(Ⅰ)证明：l//平面A1ABB1；(Ⅱ)求平面A1B1C1与平面ABC1所成锐二面角的余弦值．【答案】(本题满分15分)证明：(Ⅰ)∵ABC−A1B1C1是三棱台，∴A1B1//AB，∵AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，∴AB//平面A1B1C1.………………………………………………(3分)∵l是平面ABC1与平面A1B1C1的交线，∴AB//l，…………(5分)∵l⊄平面A1B1BA，∴l//平面A1B1BA.………………………(7分)解：(Ⅱ)三棱台ABC−A1B1C1中，平面ABC//平面A1B1C1，平面ABC1和平面A1B1C1所成锐二面角即为平面ABC1和平面ABC所成的锐二面角，………………………………………………………………………………………………(10分)由题意知AC1=BC1，且AC=BC，取AB中点O，连结CO，C1O，则CO⊥AB，C1O⊥AB，∴∠C1OC就是平面ABC1和平面ABC所成的锐二面角的平面角………………………(12分)由题意得C1O=2√5，CO=2√3，且CC1=4，…………………………………………(14分)在△C1OC中，由余弦定理可知cos∠C1OC=2√1515.………………………………(15分)【解析】(Ⅰ)推导出A1B1//AB，从而AB//平面A1B1C1.进而AB//l，由此能证明l//平面A1B1BA．(Ⅱ)平面ABC//平面A1B1C1，平面ABC1和平面A1B1C1所成锐二面角即为平面ABC1和平面ABC所成的锐二面角，由此能求出平面A1B1C1与平面ABC1所成锐二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.已知直线l1：x−y=0与直线l2：x+y−2=0交于点P1，过P1作x轴的平行线与直线l3：x=2交于Q1点，OQ1与l2交于点P2，过P2作x轴的平行线与直线l3：x=2交于Q2点，……，OQ n−1与l2交于点P n，过P n作x轴的平行线与直线l3：x=2交于Q n点，设直线OP n的斜率为1a n，b n=|P n Q n|.(Ⅰ)求a2，a3，a4，b2，b3；(Ⅱ)求a n和b n；(Ⅲ)已知T=1a n+2+1a n+3+1a n+4+⋯+12a n+2，求证：T>2n+23n+4．【答案】解：(Ⅰ)a 2=2，a 3=3，a 4=4，b 2=23，b 3=12 (Ⅱ)设P n (x n ,y n )，Q n (2,y n )，则P n−1(x n−1,y n−1)，Q n−1(2,y n−1)， ∴y n =−x n +2，y n−1=−x n−1+2，直线OP n 的斜率为1a n，故a n =x n y n ，a n−1=x n−1y n−1，y n−1=2a n，∴a n −a n−1=x n y n−xn−1y n−1=2−y n y n−2−y n−1y n−1=2y n−2yn−1=a n+1−a n ，即2a n =a n−1+a n+1，∴{a n }为等差数列，结合(1)易得a n =n ， 而b nbn−1=|2−x n ||2−x n−1|=y n y n−1=a n a n+1=nn+1，(n ≥2)累乘得：b n =2n+1， (Ⅲ)证明：T =1an+2+1a n+3+1a n+4+⋯+12a n+2=1n+2+1n+3+1n+4+⋯+12n+2 倒序相加得：2T =(1n+2+12n+2)+(1n+3+12n+1)+(1n+4+12n )+⋯+(1n+2+12n+2) ≥43n+4+43n+4+43n+4+⋯+43n+4=4(n+1)3n+4，(可由均值不等式当a ，b >0，1a +1b ≥2√ab ≥4a+b ，当且仅当a =b 时取等号) ∴T >2n+23n+4．【解析】(Ⅰ)根据题意代值计算即可，(Ⅱ)设P n (x n ,y n )，Q n (2,y n )，则P n−1(x n−1,y n−1)，Q n−1(2,y n−1)，根据等差数列的定义即可求出通项公式，再利用累乘法可得数列{b n }的通项公式，(Ⅲ)利用倒序相加法求和，再放缩证明即可．本题考查了数列的通项公式的求法和数列求和的方法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

2019学年浙江省杭州市余杭区高二上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名 _____________ 班级 _______________ 分数 ___________、选择题1. 在平面直角坐标系中，过(1，0)点且倾率为—1的直线不经过()A •第一象限_________B •第二象限____________C •第三象限___________D •第四象限2. 已知数列；_■是等差数列，若广；-旷.+二=7 ,则厂,・©.-()A •____________________________ B• 1 匚 |_____________________________ C. - - _______________________ D . 7/ 打-1}3. 圆W的圆心坐标、半径分别是 ()A . ( 2,—3)、5 _____________________________________ B.(—2, 3 )、5C •(—2, 3 )、叮D •( 3 , —2)、 <4. 设"上.上 E F.,且，.：：•「，贝V ()A •:, ■ ------------- B. — - —--------------------- C - ■■ ■--------------n hD--5. 无论，取何实数，直线；I -恒过一定点，贝V该定点坐标为()A. 1 I ____________________B. 1- _____________C. i '_____________ D. 1 I6. 如图，在正方体ABC—A 1 B 1 C 1 D 1 中，E, F, G, H分别为AA 1 , AB BB1 , B 1 C 1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()8. 设.是两条不同的直线,- 是两个不同的平面，则下列四个命题正确的 是()A. 若厂丄匚！［〕--------------- B.若 ,丄"C. 若门丄工旅亠■-.? r -----------------------------------D.若、1 讥.: I....；x -y > 0.9.若变量池v 满足约束条件且二=3胃+ v 的最小值为一 £ ，则F# > 0-()A. j ___________________________________B. - > ______________________C. 3 ___________________________D. -3io.不等式 卄3卜 X~1|<2''对任意实数x 恒成立，则实数 总 的取值范围是 ()A. (- 1B.(-工-2111『十)C.门严)D.右己尺11. 若正实数 讣满足“十占=1 ，贝V ()A . 有最大值A h4B •血有最小值-4C .需+亦有最大值运.有最小值乞B. 60° _____________C. 90° _________D. 120°7. 已知点A ( 2,3 ) 且与线段AB 相交，则直线IB ( — 5,2 ) 斜率的取值范围是，若直线I 过点P (—1,6)A . MUB(-叫 T1U 】+s)C .A . 45°()12. 已知直线[ 与圆「，：交于不同的两点•、一，：-』是坐标原点，若：：；訂,则实数-的取值范围是（）A.•丨 -------------------------------- B- | J r「C . h'：.. ■: I ___________________________________D. a ' “.[二、填空题13. 数列〕！二门的一个通项公式a n =若一•成等差数列，则：15.16. 有条弦的长度成等差数列，最小弦长为数14. 已知直线ax+ y + 2 = 0与直线x —（3a —1 ）y —1 = 0互相垂直,则a =列的首项，最大弦长为•，若公差, 那么的取值集合为17. 如图是某几何体的三视图（单位：cm）,则该几何体的表面积是c在圆-: 内过点体积是18. 已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB=1,若将-DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P）,则当AD取最小值时，边AF的长是 ______________________ ;此时四面体F—AD P的外接球的半径是_____________ .三、解答题19. 已知函数」 (1) 当——时，解不等式■::；(2)若函数 「有最大值 ，求实数.•的值.20. 已知圆： I •,「 I ，点.：(6， 0).(1 ) 求过点1且与圆C 相切的直线方程；(2 ) 若圆M 与圆C 外切，且与■■轴切于点,，求圆M 的方程.21. 如图,几何体ABCD 中,△ AB (是正三角形,EA 和DC 都垂直于平面 ABC ,且EA =为EB 的中点，G 为AB 的中点.(2 )求二面角 B — FC — G 的正切值.22. 已知数列 ：是首项-1.3的等差数列，设久 + 2 =.(1) 求证：•「：是等比数列；AB = 2 a, DC = a , F(1 ) 求证： FD //平面 ABC ;(2)记- ,求数列的前，项和、;(3)记 _ ：，若对任意正整数■,不等式 - - - 恒成立，求整数m的最大值冲十di时+也用十41 24参考答案及解析第1题【答案】C【解析】试题分析；由已知条件可知直线万程为y-D = -lx(j-l)/.j*.v-l = O ,團像不过第三象限第2题【答案】【解析】试訓分析；Q曲■為牛時・7 ,.码■丁二丐■马了■终第3题【答案】C【解析】试题分析：由圆的标;隹方程d-町十0-疔■尹可扌嘔心坐乐鞘空分别是(-肚3> .运第4题【答案】【解析】试题分析:由国數y在尺丄是单诣増画数可知当心□时有X、戸第5题【答案】A【解析】h _j_ 勺D r Y -=?J5J试题分析：直线方程娈形为曲("2)7-F冷" ；『定点为(-邛)1 - j?W 0 [) -1第6题【答案】【解析】试题分析：EF与举平行』GH^ BC.平行『宙料左©是正三角形可知异面直统EF与爼所成的甬为第7题【答案】B【解析】试题分析；直线氏的斜率1洱=-1 ，倾斜角等于1断,直线朗的斜率"学,倾斜角尊2 十1 -5 + 1于45。

2018-2019学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷1.（单选题，4分）复数3−i1−i等于（）A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i2.（单选题，4分）已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(√5，0)，则其渐近线的方程为（）A. y=±14xB.y=±4xC. y=±12xD.y=±2x3.（单选题，4分）用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于04.（单选题，4分）已知直线l⊥平面α，直线m || 平面β，则“α || β”是“l⊥m”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件5.（单选题，4分）已知椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）与抛物线x2=2py（p＞0）的交点为A，B．A，B连线经过抛物线焦点F，且线段AB的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A. √72B. 12C. √22D. √326.（单选题，4分）设直线l：mx+（m-1）y-1=0（m∈R），圆C：（x-1）2+y2=4，则下列说法中正确的是（）A.直线l与圆C有可能无公共点B.若直线l的一个方向向量为a⃗ =（1，-2），则m=-1C.若直线l平分圆C的周长，则m=1或m=0D.若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为2 √37.（单选题，4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F || 平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法正确的个数是（）① 点F的轨迹是一条线段② A1F与D1E不可能平行③ A1F与BE是异面直线④ tanθ≤2√2A.1B.2C.3D.48.（单选题，4分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2= π3，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A. √3B. √33C. √32D.19.（填空题，4分）抛物线y=2x2的焦点坐标是___ ．10.（填空题，4分）设平面α的法向量为n1⃗⃗⃗⃗⃗=(1，−2，2)，平面β的法向量为n2⃗⃗⃗⃗⃗=(2，λ，4)，若α⊥β，则|n2⃗⃗⃗⃗⃗| =___ ．11.（填空题，4分）用数学归纳法说明：1+ 12+13+⋯+12n−1＜n(n＞1)，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是___ 项．12.（填空题，4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___ ．13.（填空题，4分）圆x 2+y 2-4x-2y-8=0关于直线ax+2by-2=0（a ，b ＞0）对称，则 1a +4b的最小值为___ ．14.（填空题，4分）已知F 是双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 （a ＞0，b ＞0）的、右焦点，A 是双曲线上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点， OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，直线OA 的方程y= 2√33x ，则双曲线的离心率为___ ． 15.（填空题，4分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB || CD ，∠ABC=90°，AB=1，AC=CD=DA=2，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD'M ，当平面AD'M 垂直于平面ABC 时，线段PD'长度的最小值为___ ．16.（问答题，9分）已知命题p ：方程x 2+y 2-4x+2my+2m 2-m+2=0表示圆；命题q ：方程x 2m−1 + y 25−a =1表示焦点在y 轴上的椭圆．（Ⅰ）若命题p 为真命题时．求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.（问答题，10分）若a 1＞0，a 1≠1，a n+1= 2a n 1+a n（n=1，2，…）． （1）求证：a n+1≠a n ；（2）令a 1= 12 ，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ，并用数学归纳法证明．18.（问答题，10分）在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=12BC=1，E是PC 的中点，平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：ED || 平面PAB；（2）若PC=PA=√7，求二面角A-PC-D的余弦值．19.（问答题，11分）已知椭圆E：x2a2+y24=1（a＞0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√53，点P是直线x=- √5a25上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•QF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0．（1）试求出实数a；（2）设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1与k2，求积k1•k2的值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明点H恒在一条定直线上．。

2018-2019学年浙江省杭州市杭州第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题 1．复数31ii--等于（ ） A ．B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】C【解析】因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --++===+--+,故选C.2．已知双曲线221-=x ky 的一个焦点是()5，，则其渐近线的方程为（ ）A ．14y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =±【答案】C【解析】先根据题意求出k 的值，从而得出双曲线方程，即可写出渐近线方程． 【详解】由221-=x ky 变形可得2211-=y x k，又双曲线221-=x ky 的一个焦点是()5，，所以()21150+=>k k，所以14k =，所以双曲线方程为2214y x -=，所以其渐近线方程为为2y x =±． 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其渐近线方程，解题的关键是会根据焦点坐标求方程中参数的值．3．用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，下列假设正确的是 A ．假设a ，b ，c 都小于0 B ．假设a ，b ，c 都大于0C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于0D ．假设a ，b ，c 中都不大于0【解析】分析：根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立，根据要证命题的否定为：“假设a ，b ，c 中都不大于0”，从而得出结论.详解：用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“假设a ，b ，c 中都不大于0”. 故选：D.点睛：用反证法证明命题的基本步骤 (1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾． (3)否定反设，得出原命题结论成立．4．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果. 详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与抛物线()220x py p =>的交点为A ，B ．A ，B连线经过抛物线焦点F ，且线段AB 的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．12C ．2D 【答案】B【解析】先由题意根据抛物线和椭圆的对称线可设2，⎛⎫- ⎪⎝⎭p A b ，2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b ，点2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b 代入椭圆和抛物线方程求出2234b a =，再根据c e a =，222c a b =-即可求出离心率．由抛物线和椭圆的对称线可设2，⎛⎫- ⎪⎝⎭p A b ，2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b ，将点2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b 代入椭圆和抛物线方程可得22222214b p a b b p ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以2234b a =，所以12===c e a ．故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质和离心率，解题的关键是找出a ，b ，c 间的关系． 6．设直线l ：()()110+--=∈mx m y m R ，圆C ：()2214x y -+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 有可能无公共点B ．若直线l 的一个方向向量为()1,-2=ra ，则1m =- C ．若直线l 平分圆C 的周长，则0m =D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN的长的最小值为【答案】D【解析】直线l 过定点()1,1P -，圆C ：()2214x y -+=的圆心()10C ，半径2r =，所以点P 在圆C 的内部，所以直线l 与圆C 一定有公共点；若直线l 的一个方向向量为()1,-2=ra ，则2m =；因为l 平分圆C 的周长，所以直线过圆心()10C ，，所以1m =； 线段MN的长的最小值为．【详解】由直线l ：()()110+--=∈mx m y m R 变形可得()()10+-+=m x y y ，联立100y x y +=⎧⎨+=⎩，解得直线l 过定点()1,1P -，圆C ：()2214x y -+=的圆心()10C ，半径2r =，点()1,1P -与圆心()1,1C -的距离1=<PC r ，所以点P 在圆C 的内部，所以直线l 与圆C 一定有公共点，所以A 项错误； 由线l 的一个方向向量为()1,-2=ra ，则21=--mm，解得2m =，故B 项误； 因为l 平分圆C 的周长，所以直线过圆心()10C ，，即10m -=，所以1m =，故C 项错误；若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN 的长的最小值为22224123-=-=r PC ，故D 项正确．故选：D 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，以及弦长公式，解题关键是熟练掌握圆的有关性质． 7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F ∥平面D 1AE ，记A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角为θ，下列说法正确的个数是（ ） ①点F 的轨迹是一条线段 ②A 1F 与D 1E 不可能平行 ③A 1F 与BE 是异面直线 ④22tan θ≤A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】在①中设平面D 1AE 与直线BC 交于点G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取BB 1、C 1B 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，推出面A 1MN ∥平面D 1AE ，即可得出结论；在②中F 与M 重合时，A 1F 与D 1E 平行；③中A 1F 与BE 既不平行也不相交；在④中当F 与MN 重合时B 1F 最小，此时()11max 122θ==A B tan B F【详解】在①中设平面D 1AE 与直线BC 交于点G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取BB 1、C 1B 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，所以A 1M ∥平面D 1AE ，MN ∥平面D 1AE ， 所以平面A 1MN ∥平面D 1AE ，又A 1F ∥平面D 1AE ，所以F 应在线段MN 上运动，故①正确；在②中由①知当F 与M 重合时，A 1F 与D 1E 平行，故②错误； 在③中A 1F 与BE 既不平行也不相交，故③正确；在④中当F 与M ，N 重合时B 1F 最小，此时()11max 122θ==A B tan B F，故④正确．故选：C 【点睛】本题主要考查立体几何中的线面关系、线线关系及线面角．8．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且1260F PF ∠=o.则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）. A ．3B 3C ．lD 3【答案】B 【解析】【详解】设1PF m =，()2PF n m n =>.椭圆方程为2222111x y a b -=，双曲线方程为2222221x y a b -=两曲线的半焦距为1c 、2c ，且12c c =. 由圆锥曲线定义得12m n a +=，22m n a -=.于是，12m a a =+，12n a a =-. 又由余弦定理得()()()()222222221212121212124444m n mn c c a a a a a a a a c c +-==⇒++--+-== 22221212344a a c c ⇒+==2212134e e ⇒+=.由均值不等式得122212134e e e e =+≥≥.当1e =，2e =时，上式等号成立.二、填空题9．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标__________________ 【答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】先把抛物线化成标准型，再求焦点坐标. 【详解】 由题意知212x y =，所以抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用抛物线的方程求解焦点坐标，注意要把非标准方程化为标准形式，再进行求解.10．设平面α的法向量为()1122n =-u r ，，，平面β的法向量为()224n λ=u u r，，，若α⊥β，则2n =u u r_____．【答案】【解析】根据题意可知1n u r ⊥2n u u r ，所以1n u r •2n =u u r 0，解出λ的值，从而得出2n u u r，利用模长公式求出向量模长即可． 【详解】平面α的法向量为()1122n =-u r ，，，平面β的法向量为()224n λ=u u r，，， 因为α⊥β，所以1n u r ⊥2n u u r ，所以1n u r •2n =uu r 2﹣2λ+8＝0，解得λ＝5，所以2n =u u r （2，5，4），所以2n ==u u r故答案为：35 【点睛】本题主要考查法向量及其模长公式，属于基础题． 11．用数学归纳法证明: 1111(1)2321n n n +++⋯⋯+<>-,在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是__________（用含有k 的式子作答).【答案】2k【解析】假设n=k 成立，即111 (2321)k k +++<-，则n=k+1成立时有11111......123212221k k k k k ++++++<+-+-，所以左边增加得项数是： 221(21)2k k k k +---=12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____．53【解析】先由三视图分析出原图为一个三棱柱剪去一个三角锥，所以几何体的体积为三棱柱的体积减去三棱锥的体积． 【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥， 三棱柱的体积V 1为：1232232⨯=剪去的三棱锥体积V 2为：113231323⨯⨯=所以几何体的体积为：332333=． 故答案为：533【点睛】本题主要考查三视图以及几何体体积的计算方法，解题关键是能根据三视图还原几何体．13．圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣8＝0关于直线ax +2by ﹣2＝0（a ，b ＞0）对称，则14a b+的最小值为_____． 【答案】9【解析】先由直线过圆心得出1a b +=，再由基本不等式即可出14a b+的最小值． 【详解】由圆方程为224280+---=x y x y 可转化为()()222+113--=x y 圆心为()21，，由题意可知圆心在直线220+-=ax by 上，所以1a b +=，14a b +=（14a b+）（a +b ）＝54b a a b ++≥5+4＝9，当且仅当4b aa b =，因为a ，b ＞0，a 13=，b 23=时取最小值9． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是熟练应用基本不等式．14．已知F 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点，A 是双曲线上位于第一象限内的一点，2OA OF OF ⋅=u u u v u u u v u u u v ，直线OA 的方程为y x ，则双曲线的离心率为__________．【解析】分析：由2OA OF OF ⋅=u u u v u u u v u u u v ，可得AF x ⊥轴，从而求得2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入直线OA 的方程为y =，可得结果. 详解：2cos OA OF OA OF AOF OF ⋅=⋅<=u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v Q ，cos OA AOF OF ∴<=u u u v u u u v u u u v，AF x ∴⊥轴，令x c =，得22,,A b b y A c a a ⎛⎫=∴⎪⎝⎭， 又OA Q 的方程为23y x =，223b a c ∴=，22223b a c ac ac -∴==， 即123e e -=，22310e e --=，3e =，故答案为3.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝1，AC ＝CD ＝DA ＝2，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD 'M ，当平面AD 'M 垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为_____．15【解析】过D ′作AM 的垂线，垂足为H ，根据H 到直线AB 的距离最小值及勾股定理计算即可． 【详解】过D ′作AM 的垂线，垂足为H ，由题意可知D′A ＝DA ＝2，随着点M 在边DC 上向点C 方向移动，DM 逐渐变大，即D 'M 越来越大，又D ′H 为三角形AD 'M 中AM 边上的高，D′A 长度不变，D 'M 越来越大，所以垂足为H 越来越靠近点A ，所以当点M 与C 重合即折痕为AC 时，H 到直线AB 的距离最小，又AC ＝CD ＝DA ＝2，所以AC ＝CD ′＝D′A ＝2，此时H 为AC 的中点，所以D ′H ＝DH 3=H 到直线AB 的最小距离为h 12=BC 3=PD ′2215'D H h +=．故答案为：2【点睛】本题主要考查立体几何中的综合应用，利用勾股定理求线段长．三、解答题16．已知命题p ：方程22242220x y x my m m +-++-+=表示圆；命题q ：方程22115x y m a+=--表示焦点在y 轴上的椭圆. （1）若命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12m -<<;（2）45a ≤<.【解析】试题分析：(1) 若命题p 为真命题，根据圆的一般方程与椭圆的标注方程满足的条件建立不等式关系，即可求实数m 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件，则q p Ø，从而建立关于实数a 的不等关系. 试题解析：（1）若命题p 为真命题时，则由方程22242220x y x my m m +-++-+=即()()22222x y m m m -++=-++表示圆，∴220m m -++>解之得 ∴12m -<<（2）由q 成立得510a m ->-> ∴16m a <<-，若p 是q 的必要不充分条件，则q p Ø， ∴162a <-≤解之得45a ≤< ∴45a ≤<17．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．【答案】（1）证明见解析（2）23452481635917a a a a ====，，，，猜想：a n 11221n n --=+，证明见解析【解析】（1利用反证法假设1n n a a +=，代入121+=+n n na a a 进而得出此数列是0或1的常数列，与10a >，11a ≠矛盾，所以假设错误； （2）由112a =在通过递推公式直接写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，猜想出11221--=+n n n a ，再用数学归纳法进行证明．【详解】（1）证明：假设1n n a a +=，又a n +121n na a =+，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而1210-=====L n n a a a a 或1211-=====L n n a a a a ，这与题设10a >或11a ≠ 相矛盾，所以1n n a a +=不成立．故1+≠n n a a 成立．（2）由题意得12345124816235917a a a a a =====，，，，， 由此猜想：11221--=+n n n a ． ①当n ＝1时，a 10021212==+，猜想成立， ②假设n ＝k 时，11221--+=k k k a 成立， 当n ＝k +1时，()()1111111112222221212121121-+--+-+--⨯+====+++++k k k k k k k k k k k a a a ， 所以当n ＝k +1时，猜想也成立，由①②可知，对一切正整数，都有a n 11221n n --=+成立． 【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用以及数学归纳法证明命题的运用．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，112AD BC AD AB DC BC ====P ，，E 是PC 的中点，平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：ED ∥平面PAB ；（2）若7PC PA ==A ﹣PC ﹣D 的余弦值．【答案】（1）证明见解析（25309 【解析】（1）取PB 的中点F ，连接AF ，EF ，通过证明四边形ADEF 是平行四边形，得到DE ∥AF ，从而证出ED ∥平面P AB ；（2）通过做辅助线找到二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角，求出其余弦值即可．【详解】（1）证明：取PB 的中点F ，连接AF ，EF ．∵EF 是△PBC 的中位线，∴EF ∥BC ，且EF 12BC =． 又AD ＝BC ，且AD 12=BC ，∴AD ∥EF 且AD ＝EF ， ∴四边形ADEF 是平行四边形．∴DE ∥AF ，又DE ⊄面ABP ，AF ⊂面ABP ，∴ED ∥面P AB ．（2）解：取BC 的中点M ，连接AM ，则AD ∥MC 且AD ＝MC ，∴四边形ADCM 是平行四边形，∴AM ＝MC ＝MB ，则A 在以BC 为直径的圆上．∴AB ⊥AC ，可得AC 3=过D 作DG ⊥AC 于G ，∵平面P AC ⊥平面ABCD ，且平面P AC ∩平面ABCD ＝AC ，∴DG ⊥平面P AC ，则DG ⊥PC ．过G 作GH ⊥PC 于H ，则PC ⊥面GHD ，连接DH ，则PC ⊥DH ，∴∠GHD 是二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角．在△ADC 中，GD 2231()1242AC AD =-=-=，连接AE，cos∠ACE3 23727 ==⨯，AE7731332342227=+-⨯⨯⨯=，∵点P到AC的距离d135742=-=，∴点A到PC的距离5352127⨯==d．GH1521228d==．在Rt△GDH中，HD221751034112112DG HG=+=+=，∴cos∠GHD521530928103103112===GHHD．即二面角A﹣PC﹣D的余弦值为5309．【点睛】本题主要考查线面平行的证明和二面角的求法．19．已知椭圆E：2224x ya+=1（a＞0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，5P是直线x25a=上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足11PF QF⋅=u u u r u u u r0．（1）试求出实数a；（2）设直线PQ 与直线OQ 的斜率分别为k 1与k 2，求积k 1•k 2的值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PN HN =，证明点H 恒在一条定直线上． 【答案】（1）a ＝3（2）49-（3）证明见解析 【解析】（1）根据椭圆的离心率列方程求出实数a 的值；（2）由（1）可设点P（t ），Q （x 0，y 0），根据11PF QF ⋅=u u u r u u u r 0得出004ty x =再由点Q 在椭圆E 上得出2200419x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，用斜率公式及可求出k 1•k 2的值； （3）设过P（5-，1）的直线l 与椭圆交于两个不同点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 点H （x ，y ），代入椭圆方程得出22114936x y +=，22224936x y +=，再设PMMHPN HN ==λ，即PM PN λ=u u u u r u u u r ，MH HN λ=u u u u r u u u r ，代入数据整理即可得出点H 恒在一条定直线上．【详解】（1）解：设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可得224c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得a ＝3； （2）解：由（1）可知，直线x 255=-=-，点F 1（0）． 设点P（，t ），Q （x 0，y 0）， ∵11PF QF ⋅=u u u r u u u r 0，∴（，﹣t ）•（x 0，﹣y 0）＝0，得004ty x =+． ∵点Q （x 0，y 0）在椭圆E 上，∴2200194x y +=，即2200419x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴k1•k22200 00002200000445444959 959595x xyxx x x x x---=⋅===-+++，∴k1•k2的值是49-；（3）证明：设过P（955-，1）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则22114936x y+=，22224936x y+=，设PM MHPN HN==λ，则PM PNλ=u u u u r u u u r，MH HNλ=u u u u r u u u r，∴（x195+，y1﹣1）＝λ（x295+，y2﹣1），（x﹣x1，y﹣y1）＝λ（x2﹣x，y2﹣y），整理得21951x xλλ-=-，x121x xλλ+=+，1121y yλλ-=-，y121y yλλ+=+，从而222212951x xxλλ-=-，y2221221y yλλ-=-，由于22114936x y+=，22224936x y+=，∴365x-9y()()2222222222222112112224949449911x y x yx x y yλλλλλ+-+--+===---36．∴点H恒在直线36593605x y-+=．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．。

2019学年浙江省高二上期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件_______________________________________ B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2. 函数（）的图像关于点对称，则的增区间（）A．______________ B．C．_________ D．3. 已知函数，若对任意的，关于<ahref=""> 的方程都有3个不同的根，则等于（）A．1_________________________ B．2___________________________________C．3___________________________________ D．44. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（）A．1___________________________________ B．2____________________________C．3_________________________________ D．45. 右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（）6. 将一个棱长为的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则的最大值为（）A．______________ B．___________ C．___________ D．7. 如图，已知双曲线 : 的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点 .若且，则双曲线的离心率为（）A．______________ B．______________ C．______________D．8. 某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两地方出错，那么出错的数据是（）A．______________________________ B．____________________________ C．____________________ D．二、填空题9. 设函数，则该函数的最小正周期为___________ ，在的最小值为___________ ．10. 设二次函数 , ,且时，恒成立，是区间上的增函数。

2019-2020学年浙江省杭州市高级中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知直线:20l ax y +-=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．-2D ．2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，直线的截距式方程为122x ya+=，所以221a a=⇒=，故选A ．【考点】直线的截距式方程的应用．2．边长为 ） A．4B ．1C．D ．8【答案】C【解析】正方形的边长为8，而原图和直观图面积之间的关系S S =直观图原图， 故直观图的面积为8故选C ．3．已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(,1)-∞D ．(3,)+∞【答案】B【解析】方程()()()()221313m x m y m m -+-=--，化为22131x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，可得130m m ->->，解得23m <<，实数m 的取值范围为(2,3），故选B.4．若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x y -的最大值等于（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-4【答案】A【解析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值. 【详解】根据题意作出可行域如图：平移直线:0l x y -=可得在点A 处取到最大值，联立22020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩可得(2,0)A ,代入x y -可得最大值为2，故选A. 【点睛】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.5．与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（ ）A ．x ﹣y+8=0或x ﹣y ﹣1=0B ．x+y+8=0或x+y ﹣1=0C ．x+y ﹣3=0或x+y+3=0D ．x+y ﹣3=0或x+y+9=0 【答案】D【解析】试题分析：设所求直线方程为x+y+m=0，运用两平行直线的距离公式，解关于m 的方程，即可得到所求方程． 解：设所求直线方程为x+y+m=0， 则由两平行直线的距离公式可得d==3，解得m=9或﹣3．则所求直线方程为x+y ﹣3=0或x+y+9=0， 故选D ．【考点】两条平行直线间的距离．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．5C ．2D ．22【答案】A【解析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于1-列方程，结合222c a b =+求得双曲线离心率.【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则112b a -⨯=-，即2ba=，又，所以215b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于1-，属于基础题.7．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°的角； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .其中正确的是( ) A ．①② B ．③④C ．②③D ．①③【答案】D 【解析】【详解】将展开图还原为正方体，由于EF ∥ND ，而ND ⊥AB ，∴EF ⊥AB ；显然AB 与CM 平行；EF 与MN是异面直线，MN 与CD 也是异面直线，故①③正确，②④错误.8．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B ，若，则l的斜率是（ ） A ．3 B ．2-C ．3±D ．2±【答案】C【解析】试题分析：由题意得，抛物线2:4C y x =准线方程为:1l x =-，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别作点,A B 作,AM l AN l ⊥⊥，垂足为,M N ，过点B 作BC AM ⊥交于点C ，则,AM AF BN BF ==，因为334AF BF AB ==，所以12AM BN AC AF BF AB -==-=，在Rt ABC ∆中，由12AC AB =，可得60BAC ∠=o ，因为//AM x 轴，所以60BAC AFx ∠=∠=o ，此时3AB k =；当直线AB 的倾斜角为钝角时，可得3AB k =-，故选C ．【考点】直线与抛物线的综合应用．9．如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成的角为β，直线DA 与BC 所成的角为γ，则（ ）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．αγ≥D ．αγ≤【答案】A【解析】不妨设三棱锥D-ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ，由此能求出结果． 【详解】不妨设三棱锥D-ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ， 则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ， 4132DE CE DC ==-=＝，， ∴13233cos α==⨯⨯ ，22234133AO CO CE ===-＝， ∴233323AO cos AD β===， 取BC 中点E ，连结DE 、AE ，则DE ⊥BC ，AE ⊥BC ， 又DE ∩AE=E ，∴BC ⊥平面AED ，∴BC ⊥AD ，∴γ=90°． ∴γ≥α≥β． 故选A ． 【点睛】本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．已知,,A B C 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右焦点F ，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ）A ．22B ．5 C ．74D ．115【答案】B【解析】设椭圆的另一个焦点为E ，令|CF|=m ，|BF|=|AE|=4m ， |AF|=2a-4m ，在直角三角形EAC 中，4m 2+（2a-4m +m ）2=（2a-m ）2， 化简可得a=3m ，在直角三角形EAF 中，4m 2+（2a-4m ）2=（2c ）2， 即为5a 2=9c 2，可得e=53． 故选B ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题11．边长为2的等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体的体积是________，该几何体的表面积是________． 【答案】2π，43π【解析】【详解】试题分析：如图所示，绕AB 所在的直线旋转一周，得到两个相同的圆锥，因为等边三角形的边长为2，所以圆锥的高为1h =，底面半径为3r =，母线长为2l =．所以该几何体的表面积为223243S rl πππ=⨯=⨯⨯⨯=；该几何体的体积为221122(3)1233V r h πππ=⨯=⨯⨯⨯=．【考点】旋转体的定义及表面积与体积的计算． 12．已知点(),m n 在曲线24y x =-上，则23n m --的取值范围是________，2m n +的最小值为________.【答案】[]0,2； 2-.【解析】根据题意，得到曲线表示圆224x y +=的一半，画出图形，根据23n m --表示点(3,2)与点(),m n 连线的斜率，结合图形即可得出结果；记(,)x y 是曲线24y x =-上任意一点，令2t x y =+，根据图像求出最小值，即可得出2m n +的最小值. 【详解】 因为曲线24y x =-可化为224(0)x y y +=≥，表示圆224x y +=的一半，画出图形如下：式子23n m --表示点(3,2)与点(),m n 连线的斜率， 根据图像可得：半圆上的点(0,2)与点(3,2)连线的斜率最小为0， 半圆上的点(2,0)与点(3,2)连线的斜率最大为2； 所以23n m --的取值范围是[]0,2； 记(,)x y 是曲线24y x =-上任意一点，令2t x y =+，则122t y x =-+， 所以2t x y =+表示直线122ty x =-+在y 轴截距的2倍，由图像可得：当直线122ty x =-+经过点(2,0)-时，该直线在y 轴截距最小，此时min 2t =-；又点(),m n 在曲线y =上，所以2m n +的最小值等于min 2t =-.故答案为：[]0,2；2-. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需结合图像，以及所求式子的几何意义即可求解，属于常考题型.13．若12F F ，是双曲线()22y C :x 1y 024-=≠的左，右焦点，点P 是双曲线C 上一点，若1|PF |6=，则2|PF |=_____，12ΔPFF 的面积12ΔPF F S =______. 【答案】8 24【解析】根据双曲线的概念得到若1|PF |6=，则122||PF |PF 2a 2|PF 48-==⇒=或，因为y 0≠，而当P 点落在ｙ轴上时才会有2|PF |4=，故舍掉．最终2|PF |8=．因为三角形12PF F 是直角三角形，故12ΔPF F S = 16824.2⨯⨯= 故答案为(1). 8 (2). 24.14．设P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则该球的体积为_____.【解析】将三棱锥补成长方体，从而得到外接球的球心为长方体的中心，再利用长方体的体对角线的平方等于三条棱的平方和，即可求得球的半径，从而得到球的体积. 【详解】Q P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，将三棱锥P ABC -补成长方体，则三棱锥的外接球的球心与长方体的球心为同一个， 都是长方体体对角线的中点，设球的半径为R ，∴222223(2)62R PA PB PC R =++=⇒=，∴3443332V R ππ=⋅⋅=⋅⋅=..【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、球的体积计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意补形法的应用.15．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，,,M E F 分别为,,PQ AB BC 的中点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为________；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．230【解析】【详解】试题分析：由,,AB AD AQ 两两垂直，分别以,,AB AD AQ 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,1,2)A E F M ，所以(1,1,2),(2,1,0)EM AF =-=u u u u r u u u r，其中平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r，所以ME 与平面ABCD 所成角的正弦值为6sin EM n EM nα⋅==⋅u u u u r r u u u u r r tan 2α=；又向量EM u u u u r 与AF u u u r 所成角的余弦值为cos EM AFEM AF β⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r30=，又(0,]2πβ∈，所以异面直线EM 与AF 30【考点】空间向量的运算及空间角的求解．16．定长是3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，M 是线段AB 的中点，则M 到y 轴距离的最小值是________.【答案】54【解析】由抛物线定义可求得1212AF BF x x +=++，根据AF BF AB +≥可求得12x x +的最小值，由所求距离为122x x +可确定所求距离的最小值. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y由抛物线方程知焦点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：14x =-由抛物线定义知：114AF x =+，214BF x =+ 3AF BF AB +≥=Q （当且仅当,,A F B 三点共线时取等号）即12132x x ++≥，解得：1252x x +≥ AB Q 中点M 到y 轴距离为12524x x d +=≥，故所求最小值为54故答案为：5 4【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的距离最值问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线的定义得到,AF BF的长，根据三角形两边之和大于第三边可确定三点共线时取最小值.17．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，E是AB中点，F在1CC上，且12CF FC=，点P是侧面11AA D D（包括边界）上一动点，且1//PB平面DEF，则tan ABP∠的取值范围是________.【答案】1133⎡⎢⎣⎦【解析】先作出平面1//MNQB平面DEF，结合题意，得到点P的轨迹是线段QN，分别求出点P与点Q，点N重合时，tan ABP∠的值，即可得出结果.【详解】作出平面1//MNQB平面DEF，则12AQ AQ=，12DN D N=，因为1//PB平面DEF，所以点P的轨迹是线段QN，因此，当点P运动到点Q处时，tan ABP∠取得最小值，此时1tan3AQABPAB∠==；当点P运动到点N处时，tan ABP∠取得最大值，此时2212313tanAD DDANABPAB⎛⎫+ ⎪⎝⎭∠===；所以tan ABP∠的取值范围是113,33⎡⎢⎣⎦.故答案为：11333⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题主要考查由线面平行求角的问题，熟记线面平行的性质即可，属于常考题型.三、解答题18．已知直线:230m x y --=与直线:30n x y +-=的交点为P ．（1）直线l 过点P ，且点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）直线1l 过点P 且与,x y 正半轴交于A B 、两点，ABO ∆的面积为4，求直线1l 的方程．【答案】（1）240x y +-=或2x =；（2）122y x =-+． 【解析】【详解】试题分析：首先解方程组得到交点P 的坐标，由点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等可知直线AB 与直线l 平行或l 过AB 中点，由此可求得直线l 方程；（2）设出直线的截距式方程，由点的坐标和三角形面积可求得关于截距的方程组，解方程组求得截距值，从而得到直线方程试题解析：（1）直线:230m x y --=与直线:30n x y +-=联立方程可得交点()2,1P ；点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等，所以321132AB l k k -===--或直线l 过AB 中点52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l 方程为240x y +-=或2x =（2）由题可知，直线1l 的横、纵截距a b 、存在，且00a b >>、，则1:1x yl a b+=，又1l 过点(2,1)，ABO ∆的面积为4，∴211 {14 2a bab+==，解得4{2ab==，故1l方程为142x y+=，即122y x=-+．【考点】直线方程19．如图，在三棱锥P ABC-中，BC⊥平面APC，23AB=，2AP PC CB===.（1）求证：AP⊥平面PBC；（2）求二面角P AB C--的大小.【答案】（1）见解析；（2）3π.【解析】（1）根据题中条件，证明BC AP⊥，AP PC⊥，再由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）在平面APC内作PQ AC⊥于Q，过点Q作QR AB⊥于R，连结PR，根据线面垂直的判定定理与性质定理，得到AB PR⊥，推出PRQ∠即为二面角P AB C--，再由题中数据，即可求解.【详解】（1）因为BC⊥平面APC，所以BC AC⊥，BC AP⊥，因为2CB=，23AB=2222AC AB CB=-=；又2AP PC==，所以222AP PC AC+=，即AP PC⊥；又BC PC C⋂=，且PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC；（2）因为BC⊥平面APC，所以平面ABC⊥平面APC，在平面APC内作PQ AC⊥于Q，则PQ⊥平面ABC，所以PQ AB⊥；过点Q作QR AB⊥于R，连结PR，因为QR PQ Q⋂=，且PQ⊂平面PQR，RQ⊂平面PQR，所以AB ⊥平面PQR ，因此AB PR ⊥， 则PRQ ∠即为二面角P AB C --， 在RT APC V 中，2AP PC PQ AC ⋅==，在RT ABC V 中，6BC AQ QR AB ⋅==， 所以tan 3PQPRQ QR∠==， 从而二面角P AB C --的大小为3π.【点睛】本题主要考查证明线面垂直，求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及二面角的几何求法即可，属于常考题型.20．已知圆M 的半径为3，圆心在x 轴正半轴上，直线3490x y -+=与圆M 相切. （1）求圆M 的标准方程；（2）过点(0,3)N -的直线L 与圆M 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，而且满足221212212x x x x +=，求直线L 的方程. 【答案】(1) （x ﹣2）2+y 2=9 (2) x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0，x=0 【解析】试题分析：（1）可设圆心坐标为(,0)(0)a a >，由直线与圆相切，知圆心M 到切线的距离等于半径，可求得a ，从而得圆的标准方程；（2）注意分类讨论，当直线l 斜率不存在时，代入求出A 、B 两点坐标，检验是否符合题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，得直线方程为3y kx =-，代入圆的方程，由韦达定理得1212,x x x x +，代入已知等式221212212x x x x +=可求得k 的值，从而得直线方程．试题解析：（I ）设圆心为M （a ，0）（a ＞0）， ∵直线3x ﹣4y+9=0与圆M 相切 ∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x ﹣2）2+y 2=9 （II ）当直线L 的斜率不存在时，直线L ：x=0，与圆M 交于A （0，），B （0，﹣），此时+=x 1x 2=0，所以x=0符合题意当直线L 的斜率存在时，设直线L ：y=kx ﹣3， 由消去y ，得（x ﹣2）2+（kx ﹣3）2=9，整理得：（1+k 2）x 2﹣（4+6k ）x+4=0.........................................................（1） 所以由已知得：整理得：7k 2﹣24k+17=0，∴把k 值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k ）2﹣16（1+k 2）=48k+20k 2中， 判别式的值都为正数，所以，所以直线L 为：，即x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0综上：直线L 为：x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0，x=0点睛：在直线与圆相切时，一般都用圆心到切线的距离等于圆的半径来求解，这样可以简化计算．在解决直线与圆（二次曲线）相交问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，把直线方程与圆的方程联立后得一元二次方程，然后利用韦达定理得出1212,x x x x +，再由交点满足的条件得出坐标的关系，代入1212,x x x x +可得参数值．这就是解析几何中的“设而不求”思想．21．已知等腰梯形ABCD 中（如图1），4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E 、M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2）（1）求证：//AM 平面BCD ；（2）在图2中，若6BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（23. 【解析】（1）先连接CM ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，证明平面BCFE ⊥平面BOD ，得到点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上，记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ，得出DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，再由题中数据求解，即可得出结果. 【详解】（1）连接CM ，因为等腰梯形ABCD 中（如图1），2AM AE EM CD =+==，//AB CD ，所以AM 与CD 平行且相等，即四边形AMCD 为平行四边形；所以//AD CM ； 又F 为线段CD 的中点，E 为AM 中点，易得：四边形AEFD 也为平行四边形，所以//AD EF ；将四边形AEFD 沿EF 折起后，平行关系没有变化，仍有：//AD CM ，且AD CM =， 所以翻折后四边形AMCD 也为平行四边形；故//AM CD ； 因为AM ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以//AM 平面BCD ；（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，因为2AD =，1AE =，翻折前梯形ABCD 的高为22213FM DE ==- 所以60DAE DFE ∠=∠=o ，则3sin 602DO DF =⋅=o ，1cos602OF DF =⋅=o；所以32OE EF OF =-=； 又3BE EM MB =+=，60FEM DFE ∠=∠=o ， 所以9333923cos 60422BO =+-⨯⨯⨯=o ，即222BO OE BE +=，所以BO OE ⊥；又DO BO O ⋂=，且DO ⊂平面BOD ，BO ⊂平面BOD ， 所以EO ⊥平面BOD ；因此，平面BCFE ⊥平面BOD ； 所以点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上； 记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ， 则DH ⊥平面BCFE ；所以DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，因为6BD =，所以2221cos 23OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅，因此3226sin DH DO DOB =⋅∠=⋅=，313cos 3OH DO DOB =⋅∠=⋅=， 故33343BH BO OH =-=-=； 因为120OFC EFC FCB ∠=∠=∠=o ，所以3601201209030HBC OBC ∠=∠=---=o o o o o ， 因此22232cos 3CH BH BC BH BC HBC =+-⋅⋅∠=，故222CD DH HC =+=， 所以3sin DH DCH CD ∠==. 即直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值为3.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.22．椭圆22 221(0)x ya ba b+=>>，右焦点为(3,0)F，AB是斜率为(0)k k≠的弦，AB 的中点为E，AB的垂直平分线交椭圆于C，D两点，CD的中点为N.当1k=时，直线OE的斜率为14-（O为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设原点O到直线AB的距离为d，求ENd的取值范围；（3）若直线OA，直线OB的斜率满足2(0)OA OBk k k k=⋅>，判断并证明22175AB EN⎛⎫+ ⎪⎝⎭是否为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）16,125⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（3）是定值，证明过程见解析.【解析】（1）先设11(,)A x y，22(,)B x y，根据题意，得到22112222222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，根据弦中点的坐标，由题意，求出224a b=，再根据焦点坐标，得到223c a b=-两式联立，即可求出结果；（2）先设直线AB的方程为：y kx m=+，与椭圆方程联立，设11(,)A x y，22(,)B x y，根据韦达定理，求出224,1414mk mk kE⎛-++⎫⎪⎝⎭，得到CD的方程为：22141414m mky xk k k骣琪-=-+琪琪桫++，与椭圆方程联立，设33(,)C x y，44(,)D x y，求出()()()()22222123,144144mk mk N k k k k 骣琪琪--琪琪++++琪桫，表示出(()()22241144m k EN kk +=++，根据点到直线距离公式，表示出d ，进而可根据换元法求取值范围；（3）根据（2）的结果，由2(0)OA OB k k k k =⋅>，求出214k =，再由弦长公式，分别求出AB 与EN ，进而可得出结果. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，得22221212220x x y y a b --+=， 整理得：2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，又AB 是斜率为(0)k k ≠的弦，AB 的中点为E ，当1k =时，直线OE 的斜率为14-， 所以212212N N x y y b y k x x a =⋅--=-，即222222141N N OE x b b b a a k ay -⋅=-⋅==，即224a b =①，又椭圆右焦点为F，所以c = 由①②解得：24a =，21b =，因此，椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）设直线AB 的方程为：y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，222(14)8440k x kmx m +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221228144414mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以212228221414mk m y y m k k +=-+=++，故224,1414mkm k k E ⎛-++⎫ ⎪⎝⎭， 因为CD 是AB 的垂直平分线，所以CD 的方程为：22141414m mk y x k k k 骣琪-=-+琪琪桫++， 即21314my x k k =--+，由222131414m y x k k x y ⎧=--⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩消去y 得，()()22222242436(1)401414m m x x k k k k +++-=++， 设33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则()()342224144mkx x k k +=-++，所以()()()()23422222246614144144m m mk y y k k k k k +=-=-+++++， 即CD 的中点N 的坐标为()()()()22222123,144144mk mk k k k k 骣琪琪--琪琪++++琪桫，因此()()22241214144E N EN x mk m x kk k k =-=++++(()()22241144m k kk +++=，又原点O 到直线AB的距离d =所以()()()222241144k k kEN d+=++，令21(1)t k t =+>，则()()22244416,1994332511254924t t t t t t ENd ⎡⎫==∈⎪⎢-+⎣⎭⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭=；（3）由（2）可得：()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，第 21 页 共 21 页 所以2222212221224414444414OA OB m k m k k m m k y y k k x x ⋅===--+--+， 因为直线OA ，直线OB 的斜率满足2(0)OA OB k k k k =⋅>， 所以2222444m k m k -=-，整理得：214k =，所以12212422x x mk x x m +=-⎧⎨=-⎩，所以AB =(()()()222411441144m E k k k N +==++++ ⎪⎝⎭=因此222222105105510171755m m AB m EN ⎛=-+=-⎛⎫++ ⎪ ⎝⎭=⎭⎝. 即22175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取定值10. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，椭圆中的范围，以及定值问题，熟记椭圆的标准方程的求法，中点弦问题，椭圆的性质，根据韦达定理，弦长公式等即可求解，难度较大.。